常见的九种二次曲面方程
第七章第5节几种常见的二次曲面
x x 0 2 y y 0 2 z z 0 2 R 2
特殊地：球心在原点时方程为
x2y2z2R2 4
例 2求 与 原 点 O 及 M 0 ( 2 ,3 ,4 )的 距 离 之 比 为 1 :2 的 点 的 全 体 所 组 成 的 曲 面 方 程 .
与平面 z z1 (|z1|c)的交线为圆.
24
截面上圆的方程
x2
y2
a2 c2
(c2
z12).
z z1
(2 ) abc,
x2 a2
ay22
az22
1
球面
方程可写为 x2y2z2a2.
25
（二）抛物面
x2 y2 z （ p与 q同号） 2 p 2q
cz22
1
双叶双曲面
o
y
x
37
五、小结
曲面方程的概念 F (x ,y,z)0 . 旋转曲面的概念及求法. 柱面的概念(母线、准线). 椭球面、抛物面、双曲面、截痕法.
（熟知这几个常见曲面的特性）
38
习题 75 P235
A组
1(1)2,， 3(2)4 ()， 4,5
39
思考题
指出下列方程在平面解析几何中和空 间解析几何中分别表示什么图形？
20
四、二次曲面
曲面方程: F(x,y,z)0
二次曲面： 三元二次方程所表示的曲面称之．
如 x2(y1)2z21
相应地平面被称为一次曲面．
如2xy3z0
讨论二次曲面方法:截痕法： 特殊的二次曲面．
21
（一）椭球面
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
椭球面与
高数九大曲面方程总结
高数九大曲面方程总结1. 一次曲面方程一次曲面方程是指一个关于x,y和z的方程，其中x,y和z的最高次数均为1。
一次曲面方程的一般形式可以表示为：Ax+By+Cz+D=0其中A,B,C和D为常数。
一次曲面方程描述了一个平面，可以通过平面上的一点和法向量来确定。
平面的法向量可以通过将x,y和z的系数标准化得到。
2. 二次曲面方程二次曲面方程是指一个关于x,y和z的方程，其中x,y和z的最高次数为2。
二次曲面方程的一般形式可以表示为：Ax2+By2+Cz2+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz+J=0其中A,B,C,D,E,F,G,H,I和J为常数。
二次曲面方程可以描述各种曲面，例如椭球面、双曲面和抛物面。
通过适当选择系数，可以调整曲面的形状和方向。
3. 椭球面方程椭球面是一个光滑的曲面，其所有点到两个固定点（焦点）的距离之和相等。
椭球面方程的一般形式可以表示为：$$\\frac{x^2}{a^2} + \\frac{y^2}{b^2} + \\frac{z^2}{c^2} = 1$$其中a,b和c是椭球面的半轴。
椭球面可以分为三种类型：长轴与z轴平行的旋转椭球面、长轴与x轴平行的旋转椭球面和长轴与y轴平行的旋转椭球面。
通过合适选择系数，可以调整椭球面的大小和形状。
4. 双曲面方程双曲面是一个光滑的曲面，其所有点到两个固定点（焦点）的距离之差相等。
双曲面方程的一般形式可以表示为：$$\\frac{x^2}{a^2} + \\frac{y^2}{b^2} - \\frac{z^2}{c^2} = 1$$或$$\\frac{x^2}{a^2} - \\frac{y^2}{b^2} + \\frac{z^2}{c^2} = 1$$其中a,b和c是双曲面的半轴。
双曲面可以分为三种类型：长轴与z轴平行的旋转双曲面、长轴与x轴平行的旋转双曲面和长轴与y轴平行的旋转双曲面。
通过合适选择系数，可以调整双曲面的大小和形状。
二次曲面
首页
上页
返回
下页
结束
椭球面 x 2 y 2 z 2 = 1的图形： a2 b2 c2
椭球面的画法： 1．选择坐标系； 2．画坐标面与曲面的交线； 3．画出轮廓线。
x
椭球面
z c O a
b y
首页
上页
返回
下页
结束
抛物面
椭圆抛物面 x 2 y 2 = z (p>0, q>0)的图形： 2 p 2q
z z=x2y2
O
y
首页
上页
返回
x
下页
结束
抛物面
双曲抛物面z=y2-x2的图形。 平面z=c(c0)与曲面的交线是双曲线；交线是两条相交的直线 ；
平面y=b与曲面的交线是抛物线；
平面x=a与曲面的交线也是抛物线。
y
x
首页
上页
返回
下页
结束
双曲面
单叶双曲面 x 2 y 2 - z 2 = 1 的图形： a2 b2 c2
二次曲面
一、椭球面 二、抛物面
椭圆抛物面、 旋转抛物面、 双曲抛物面 三、双曲面
单叶双曲面、 双叶双曲面
首页
上页
返回
下页
结束
椭球面
椭球面 x 2 y 2 z 2 = 1的图形： a2 b2 c2
平面 z=k (|k|<c) 与椭球面的交线是椭圆； 平面 x=k (|k|<a) 与椭球面的交线也是椭圆； 平面 y=k (|k|<b) 与椭球面的交线也是椭圆；
平行于坐标面z=0的平面与曲面的交线是椭圆； 平行于坐标面y=0的平面与曲面的交线是双曲线； 平行于坐标面x=0的平面与曲面的交线也是双曲线。
第八节二次曲面
5 柱面
x2 y 2 椭圆柱面 2 2 1 母线平行于 z 轴 a b
双曲柱面
抛物柱面
x y 2 1 2 a b
2
2
母线平行于 z 轴
母线平行于 z 轴
x ay
2
内容小结
1. 空间曲面 • 旋转曲面 三元方程 F ( x , y , z ) 0
第八节 二次曲面
一、椭球面
二、抛物面
三、双曲面
第八章
二次曲面
•
空间直角坐标系中的空间曲面用方程F(x,y,z)=0表示. 若方程F(x,y,z)=0中的x、y、z是一次(或某些项为零)
的，则表示的曲面为平面，也称平面为一次曲面.
即：三元一次方程 A x +B y + C z +D = 0 所表示的平面
z
x 2 y2 2 z 2 a b
x
y
(2) 双曲抛物面（鞍形曲面）
x2 y2 z ( p , q 同号) 2p 2q
当z=h>0时，截线是双曲线
当z=h=0时，截线是xoy平面上的两条相交于原点的直线;
当z=h<0时，截线是双曲线，但实轴平行于x轴，虚轴 平行于y轴. 当x=h=0时，截线是yOz平面上的顶点为原点的抛物线 当y=h=0时，截线是xOz平面上的顶点为原点的抛物线， 且开口向下.
2 2 2
x y z 1, 2 2 a b
2
2
2
椭球面也可由下面方法伸缩变形而来 （1）将球面
x y z a
2 2 2
2
c a 沿 z 轴方向伸缩 倍： z z, 得旋转椭球面： a c 2 2 2 2 a x y z x2 y 2 2 z 2 a2 , 或 2 1 2 c a c a b y y, （2）再将旋转椭球面沿 y 轴方向伸缩 倍： b a
二次曲面
z
o x
y
椭球面的几种特殊情况：
x2 y2 z2 (1) a b, 2 2 1 旋转椭球面 2 a a c 2 2 x z 由椭圆 2 2 1 绕 z 轴旋转而成． a c x2 y2 z2 2 1 方程可写为 2 c 2 a 2 x y z2 ( 2) a b c , 2 2 1 球面 2 a a a
则M 0 M // l
M0
M
x x0 y y0 z 1 1 1
x0 x z , y0 y z
( x z )2 ( y z )2 1为柱面方程。
（三）旋转曲面
定义. 一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转
一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转
用平面 x=1 去截图形为 x=1
z ( y 2) 2 1 平面抛物线 x 1 ：
1. 椭圆锥面
x2 y2 2 z 2 ( a, b 为正数 ) 2 a b 在平面 z t 上的截痕为 椭圆 x2 y2 1 , z t 2 2 (at ) (bt )
轴 . 例如 :
建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程: 给定 yoz 面上曲线 C:f ( y, z ) 0
若点 M1 (0, y1 , z1 ) C , 则有
z
C
M 1 (0, y1 , z1 )
f ( y1 , z1 ) 0
当绕 z 轴旋转时, 该点转到 M ( x, y, z ) , 则有 故旋转曲面方程为
二、空间曲线的一般方程
1、空间曲线的一般方程 空间曲线C可看作空间两曲面的交线.
二次曲面
(1) 平面
y x
(2) 圆柱面
(3) 抛物柱面
(4) 椭圆柱面
x 2 y 2 R2
x 2 2 py ( p 0)
x2 y2 2 1 2 a b
空间曲线
[1] 空间曲线的一般方程
F ( x, y, z ) 0 G ( x , y , z ) 0
[2] 空间曲线的参数方程
（1）球面
2 2 2
（2）圆锥面
（3）旋转双曲面
2
x y z 1
x y z
2 2Biblioteka x2 y2 z2 2 2 1 2 a a c
[2] 柱面
定义：平行于定直线并沿定曲线C移动的直线 L所形成的曲面称之.
这条定曲线叫柱面 的准线，动直线叫 柱面的母线.
从柱面方程看柱面的特征：
只含 x , y 而缺 z 的方程 F ( x , y ) 0 ，在 空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱 面，其准线为 xoy面上曲线C .
空间曲线在坐标面上的投影
F ( x, y, z ) 0 设空间曲线的一般方程： G ( x , y , z ) 0
消去变量z后得： H ( x , y ) 0 曲线关于 xoy 的投影柱面 投影柱面的特征： 以此空间曲线为准线， 垂直于所投影的坐标面.
空间曲线在xoy 面上的投影曲线
旋转椭球面与椭球面的区别： 与平面 z
z1 ( | z1 | c )的交线为圆.
2 2 a 2 2 2 x y ( c z 1) 2 . 截面上圆的方程 c z z1
( 2) a b c ,
x2 y2 z2 2 2 1 球面 2 a a a
二次曲面的分类
二次曲面的分类在空间直角坐标系下，二次曲面的一般方程可以写成222111222333121213132323141242343442222220a x a x a x a x x a x x a x x a x a x a x a +++++++++=即()11121311232122232141242343443132333,,2220a a a x x x x a a a x a x a x a x a a a a x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪++++= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 其中，ij ji a a =. 记123x X x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，那么实二次型()111213112312321222323132333(,,),,a a a x x x x x x x a a a x a a a x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪Φ= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的矩阵为111213212223313233a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，通过正交线性替换X TY =，其中123y Y y y ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，有 122221122333(,,)''(')'x y z X AX Y T AT Y Y Y y y y λλλλλλ⎛⎫ ⎪Φ====++ ⎪ ⎪⎝⎭， 其中123,,λλλ是实对称矩阵A 的全部特征值，它们与正交矩阵T 无关，由矩阵A 唯一确定. 这样，在上述正交线性替换X TY =下（即所谓的转轴变换），原二次曲面的方程变成了 222112233141242343442220y y y b y b y b y a λλλ++++++=.最后，再通过适当的平移变换消去一次项，二次曲面的一般方程可以化成下列十七种标准形之一，并且它们分别表示十七种曲面：（一）假设123,,λλλ都非零，即0A ≠，那么二次曲面的方程再通过适当的平移变换消去一次项后可以变为2221122330z z z d λλλ+++=的形式。
曲面及其方程、二次曲面-PPT
•大家有疑问的，可以询问和交流
•可以互相讨论下，但要小声点
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
10
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
2
以下给出几例常见的曲面.
例 1 建立球心在点 M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为 R 的球面方程.
解 设M ( x, y, z)是球面上任一点，
根据题意有 | MM0 | R
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R 所求方程为 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
21
例5 证明以oz轴为旋转轴，yoz坐标面上的已知曲线
f ( y, z) 0
C:
x
0
为母线所产生的旋转曲面S的方程为： f ( x2 y2 , z) 0
11
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
12
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
13
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
观察柱面的 形成过程:
播放
高等数学几种常见的曲面及其方程
一、二次曲面
1-1球面
(X-X0)2+(Y-Y0)2+(Z-Z0)2=R2
球心为M0(X0,Y0,Z0)
1-2椭圆锥面
1-3椭球面
其中，表示xOz平面上的椭圆绕z轴旋转而成的椭球面。
1-4单叶双曲面
其中，表示xOz平面上的双曲线绕z轴旋转而成的单叶双曲面。
1-5双叶双曲面
其中，表示xOz平面上的双曲线绕x轴旋转而成的双叶双曲面。
1-6椭圆抛物面
1-7双曲抛物面（马鞍面）
二、柱面
2-1圆柱面
X2+Y2=R2
2-2椭圆柱面
2-3双曲柱面
2-4抛物柱面
y2=2px
注：形如二、柱面只含x,y而缺少z的方程F(x,y)=0在空间直角坐标系中表示母线平行于z 轴的柱面，其准线为xOy平面上的曲线C：F(x,y)=0
特别地，
1.球x2+y2+z2=R2
2.圆柱面x2+y2=R2
3.旋转抛物面X2+Y2=z(以原点为顶点，上下两个开口分别向上向下的抛物线旋转而成的图形)
4.X2+Y2=z2(以原点为顶点，上下两个开口分别向上向下的圆锥，锥顶角为90。
)。
二次曲面
x2 a2
y2 a2
z2
x2 y2 a2 z2 圆锥面
二、小结 椭球面、抛物面、双曲面、截痕法.
（熟知这几个常见曲面的特性）
思考题
方程
x2 4y2 z2
25
表示怎样的曲线？
x 3
思考题解答
x2 4y2 z2 x 3
25
4 y2 z2 x 3
16 .
表示平面 x = -3上的一条双曲线.
(2)
a b c,
x2 a2
y2 a2
z2 a2
1
球面
方程可写为 x2 y2 z2 a2.
（二）抛物面
1. 椭圆抛物面
x2 y2 z （ p 与 q 同号） 2 p 2q
椭圆抛物面
用截痕法讨论：设 p 0, q 0 （1）用坐标面 xoy (z 0) 与曲面相截
截得一点，即坐标原点 O(0,0,0)
截得抛物线
x2
2
pz
y 0
x2 y2 z （ p 与 q 同号）
2 p 2q
与平面 y y1 的交线为抛物线.
x
2
2
p
z
y12 2q
y y1
它的轴平行于z 轴
顶点
0,
y1 ,
y12 2q
（3）用坐标面 yoz ( x 0)，x x1与曲面相截
均可得抛物线.
同理当 p 0, q 0 时可类似讨论.
z 0
z
x2 a2
z2 c2
1 ,
y
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
y2 b2
z2 c2
1.
x 0
x
o
y
x2 a2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
常见的九种二次曲面方程
1.椭圆方程：(x/a)^2+(y/b)^2=1，其中a和b分别表示椭圆在x轴和y轴上的半轴长。
2. 双曲线方程：(x/a)^2 - (y/b)^2 = 1，其中a和b分别表示双曲线在x轴和y轴上的半轴长。
3. 抛物线方程：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a不等于0。
4. 椭圆抛物线方程：y = ax^2 + bx，其中a和b为常数。
5. 双曲线抛物线方程：y = ax^2 - bx，其中a和b为常数。
6. 椭圆柱面方程：(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1，其中a和b分别表示椭圆柱面在x轴和y轴上的半轴长，z为常数。
7. 双曲柱面方程：(x/a)^2 - (y/b)^2 = 1，其中a和b分别表示双曲柱面在x轴和y轴上的半轴长，z为常数。
8. 抛物柱面方程：y = ax^2 + bx + z，其中a、b、z为常数，且a不等于0。
9. 面向z轴的旋转曲面方程：(x/a)^2 + (y/b)^2 = z/c，其中a和b分别表示旋转后的曲面在x轴和y轴上的半轴长，c为常数。
- 1 -。