常见旋转曲面的方程
几种常用的二次曲面与空间曲线
1. 指出下列方程的图形:
方程 x5
平面解析几何中 空间解析几何中 平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面
x2 y2 9 圆心在(0,0) 半径为 3 的圆
以 z 轴为中心轴的 圆柱面
y x 1 斜率为1的直线 平行于 z 轴的平面
55
例4：求抛物柱面 x 2y2 和平面 x z 1
椭圆抛物面
x2 y2 z 2 p 2q
双曲抛物面
• 双曲面: 单叶双曲面
双叶双曲面
x2 a2
y2 b2
1
x2 a2
y2 b2
1
• 椭圆锥面:
x2 a2
y2 b2
z2
53
3、几种常用的空间曲线
• 空间曲线 • 求投影曲线
三元方程组 或参数方程 (如, 圆柱螺线)
54
思考与练习
解:绕 x 轴旋转 所成曲面方程为
x2 a2
y2 z2 c2
1
绕 z 轴旋转所成曲面方程为
x2 y2 a2
z c
2 2
1
x
y
z
这两种曲面都叫做旋转双曲面.
20
二、柱面
z
引例. 分析方程
表示怎样的曲面 .
M
解:在 xoy 面上，
表示圆C,
C
o
M1
y
在圆C上任取一点M1(x, y,0), 过此点作 x
o y
S : x2 z2 2 py
例如:将yoz平面上的抛物线C: y2 2 pz
x
绕z轴旋转一周所产生的抛物面为:
z
S : x2 y2 2 pz
4.3旋转曲面
绕y轴旋转一周,所成旋转曲面S S的方程为
f y,
x2 z2 0
o
y
x
xoz平面上的曲线 C f ( x , z ) 0 y0 绕x轴旋转一周,所成旋转曲面S S的方程为
f
o
z
C y
x, y2 z2 0
x
xoy平面上的曲线
f ( x, y ) 0 C z0
所求旋转曲面方程为
x y z 2 2 2 1 2 a a a b
2 2 2
x
P
M0
M
l1
这是由 xoz平面上的双曲线
x z 2 2 1 2 a a b y0
2 2
l2
y
O
z
x
绕z轴旋转而成的 单叶旋转双曲面.
z
y
写出下列旋转曲面的方程 (1) 母线
4 x 2 9 y 2 36 : z0
z0 z
2 0
2 2
y x y z z0 0 x2 y2 z2 x 2 y 2 z 2 0 0 0 y0 x 2 y 2 f ( y0 , z0 ) 0 x0 0 f x 2 y 2 , z 0 为S的方程
v i ( 1,0,0 ) 1X 0Y 0Z 0 X 0 v ( 0,Y , Z ) k (0,0,1) Y 0 可设 v ( 0,1, b )
故 l1 的方程为
x a y z 1 b 0
x a y z 设 l1 绕 l2 旋转,所成旋转曲面S l1 : 0 1 b x l1 M ( x , y , z ) 旋转曲面S P M 0 ( x0 , y0 , z0 ) M 0 ( x0 , y0 , z0 ) l1 使得 M 0 M ( x x0 , y y0 , z z0 ) k (0,0,1) M ( x, y, z )
空间直线绕z轴旋转的曲面方程
旋转是将物体从其原本的方向移到新方向的过程。
在数学中，旋转有
着重要的应用，比如在多维空间中给出一条直线绕z轴旋转的曲面方程。
首先，我们需要明确一些概念。
空间是指三维空间，它有三个坐标，
分别是x，y，z。
z轴是一个特殊的坐标轴，它是垂直于x，y轴的线段。
旋转是面对某个特定轴的持续运动。
此外，一条直线在二维空间上也
可以用直线方程表示，即y=kx+b，k表示斜率，b表示截距。
当一条直线绕着z轴旋转时，就产生了一条曲线，这也就定义了一个
三维曲面方程，即通过旋转变换可以构建的三维曲面的方程。
该曲面
的方程为：
z=Ak³+Bk²+Ck+D，
其中 A,B,C,D 为常量
K是原来直线的斜率，由此可以看出，当K增大时，曲面也会随之增高，从而形成一个新的曲面，其三维坐标也会受到同样的影响，即被
旋转了K度。
因此，可以知道，一条直线绕着z轴旋转的曲面可以表示为：
z=Ak³+Bk²+Ck+D，其中 A,B,C,D 为常量，K为原来直线的斜率。
经过这样的旋转变换，原来平面上的一条直线便变成了一个立体的曲面，它打破了平面的界限，从而将原先的概念扩展到三维空间。
“旋转” 不仅大大拓宽了数学表达能力，而且解开了许多问题，从而极大地促进了数学发展。
椭圆绕x轴旋转的曲面方程
椭圆绕x轴旋转的曲面方程【椭圆绕x轴旋转的曲面方程】1. 定义椭圆绕x轴旋转的曲面，又称为旋转椭球面，是一种特殊的曲面。
它的形状类似于椭圆，但是它绕着x轴旋转，使得它的形状在立体空间中发生了变化。
2. 曲面方程椭圆绕x轴旋转的曲面方程可以用以下公式表示：(x/a)^2 + (y/b)^2 + (z/c)^2 = 1其中，a、b、c分别表示椭圆在x轴、y轴、z轴方向上的轴长。
这个公式实际上是一个椭圆在三维空间中的方程。
3. 曲面特征椭圆绕x轴旋转的曲面有以下几个特征：（1）椭圆绕x轴旋转的曲面是一个二次曲面。
（2）当a=b=c时，椭圆绕x轴旋转的曲面变成了一个球体。
（3）当a和b相等，但c不等于它们时，椭圆绕x轴旋转的曲面称为旋转椭球面。
（4）当a和b不等时，椭圆绕x轴旋转的曲面称为椭球面。
4. 参数方程我们可以利用参数方程来表示椭圆绕x轴旋转的曲面：x = a*cos(u)*sin(v)y = b*sin(u)*sin(v)z = c*cos(v)其中，u和v分别是参数，u的取值范围为[0, π]，v的取值范围为[0,2π]。
可以看出，这个参数方程的几何意义是在二维平面的椭圆上取点，然后将这个椭圆绕x轴旋转，通过这个参数方程随着旋转角度的改变不断生成曲面。
5. 应用椭圆绕x轴旋转的曲面在物理学和工程学中有很广泛的应用，例如在天体物理学研究中，椭圆绕x轴旋转的曲面被用来描述天体的形状；在工程学中，椭圆绕x轴旋转的曲面则被用来表示旋转零件的形状。
6. 总结椭圆绕x轴旋转的曲面是一种二次曲面，其方程为(x/a)^2 + (y/b)^2 + (z/c)^2 = 1，通过参数方程可以将它表示为一个旋转椭球面或椭球面。
它在物理学和工程学中有很重要的应用价值。
1曲面方程(轨迹)2曲面形状
x
x 2y z 0
（1）消去z 得投影
x2 5 y2 4xy x 0
,
z 0
（2）消去y 得投影
x2 5z2 2xz 4x 0
,
y 0
（3）消去x
得投影
y2
z2
2
y
z
0 .
x 0
x2 y2 z2 1
例6
求曲线
z
1 2
在坐标面上的投影.
解 （1）消去变量z后得
x2 y2 3, 4
五、空间曲线及其方程
1、空间曲线的一般方程
F(x, y,z) 0 G( x, y, z) 0
z
例1
x2 y2 1
表示怎样的曲线？ S1
2x 3 y 3z 6
S2
交线为椭圆.
C
o
y
x
2、空间曲线的参数方程
x x(t)
y
y(t )
空间曲线的参数方程
z z(t)
当给定t t1 时，就得到曲线上的一个点 ( x1 , y1 , z1 )，随着参数的变化可得到曲线上的全
而：z
x2 a2
y2 b2
椭圆抛物面（图7-25）
xo
y
圆锥面：
z a x2 y2
zz
或z2 a（2 x2 y2）
yoz面上直线 z ay 绕z轴旋转 o
x
y
z ay
y2 z2 （例 7.6.4）椭圆 a 2 c2 1绕 y 轴和 z 轴；
x 0
绕 y 轴旋转
y2 x2 z2 a2 c2 1
F(x, y,z) 0 G( x, y, z) 0
x x(t)
y
y(t )
常见曲面方程总结(一)
常见曲面方程总结(一)前言•引言：曲面是数学中的重要概念，广泛应用于计算机图形学、工程设计等领域。
在形状设计和模拟中，掌握常见曲面方程是非常重要的基础知识。
本文将介绍几种常见的曲面方程，并分析其特性和应用场景。
正文一、球面方程•定义：球面是由到定点距离相等于固定半径的点所组成的曲面。
它的方程一般可以表示为：(x-a)² + (y-b)² + (z-c)² = r²，其中(a,b,c)为球心坐标，r为半径。
•特性：球面是空间中对称性最高的曲面，具有旋转对称性、轴对称性和平面对称性。
•应用：球面方程广泛应用于计算机图形学中的三维建模，如球体、球形光源等。
二、圆柱面方程•定义：圆柱面是围绕某条直线旋转而形成的曲面。
它的方程可以表示为：(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。
•特性：圆柱面在与旋转轴垂直的方向上是无限延伸的，而在旋转轴方向上是有限长度的。
•应用：圆柱面方程常用于描述圆柱体、柱形物体等实际物体的几何特征。
三、锥面方程•定义：锥面是由定点到平面上所有点的连线所组成的曲面。
它的方程可以表示为：(x-a)² + (y-b)² = z²，其中(a,b)为锥顶坐标。
•特性：锥面在平面上形成对称的圆锥形状，而在垂直于平面的方向上是无限延伸的。
•应用：锥面方程常用于描述圆锥体、棱锥体等实际物体的几何特征。
四、椭球面方程•定义：椭球面是由到两个定点的距离之和等于常数的点所组成的曲面。
它的方程可以表示为：(x-a)²/r₁² + (y-b)²/r₂² + (z-c)²/r₃² = 1，其中(a,b,c)为椭球中心坐标，r₁、r₂、r₃为轴长。
•特性：椭球面可以是旋转椭球、扁椭球或球体等不同形状，取决于轴长的比值。
高等数学6(6)曲面及其方程
用平面 z z1 ( z1 0)去截这曲面, 截痕为圆.
x y 2 pz1 z z1
2 2
当 z1 变动时，这种圆 的中心都在 z 轴上.
22
x y z（ p 与 q 同号） 双曲抛物面 2 p 2q (马鞍面)
特点是: 有两个异号的平方项,另一变量
是一次项, 无常数项. 用截痕法讨论： 设 p 0, q 0 图形如下：
绕y轴旋转一周的 旋转曲面方程为
f ( y,
x z )0
2 2
4
例3 直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周 所得旋转曲面称为圆锥面. 两直线的交点称为
圆锥面的顶点, 两直线的夹角 (0
2 圆锥面的半顶角. 试建立顶点在坐标原点O, 旋
) 称为
转轴为z轴, 半顶角为 的圆锥面的方程. 解 yOz面上直线方程为
2
2
y2 x2 z2 绕 y 轴旋转 2 1 2 a c x2 y2 z2 绕 z 轴旋转 2 1 2 a c
x 2 y 2 2 pz
旋 转 椭 球 面
(3) yOz坐标面上的抛物线 y 2 2 pz 绕z轴.
旋转抛物面
9
四、二次曲面
1. 二次曲面的定义
三元二次方程所表示的曲面称为 二次曲面.
2 2 y1 x 2 p z 2q y y 1
它的轴平行于 z 轴
2 y1 顶点 0, y1 , 2q
20
(3) 用坐标面 yOz ( x 0)及平面 x x1 去截这曲面, 截痕为抛物线. 同理当 p 0, q 0 时可类似讨论.
x
7
例4 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周,求生成 的旋转曲面的方程.
平面曲线绕x轴旋转的曲面方程
平面曲线绕x轴旋转的曲面方程平面曲线绕x轴旋转的曲面方程是数学中的一个基础知识点，它是描述曲线与曲面之间的关系，也是很多应用问题的基础。
本文将详细讲解平面曲线绕x轴旋转的曲面方程的定义、求解方法、性质及实际应用。
一、定义平面曲线绕x轴旋转的曲面方程是指，将一条平面曲线绕x轴旋转一周所形成的曲面方程。
一条平面曲线的方程可以用一元多项式表示，而曲面方程的表示则需要使用更高级的数学工具和方法。
绕x轴旋转的曲面方程可以用数学的形式加以定义。
假设有一条平面曲线y = f(x)，将其绕x轴旋转一周，得到的曲面方程可以表示为y^2 + z^2 = f^2(x)，其中x、y、z分别表示三维坐标系中的横坐标、纵坐标和深度。
二、求解方法平面曲线绕x轴旋转的曲面方程可以通过以下步骤求解：1.将平面曲线y = f(x)沿着x轴方向旋转一周，得到一个圆锥形的曲面。
2.由于旋转后，平面曲线上每个点到x轴的距离是不变的，因此在圆锥形的曲面上，任意一点(x,y,z)到x轴的距离始终等于f(x)。
所以，可以得到一个方程y^2 + z^2 = f^2(x)，表示旋转后的曲面方程。
3.得到旋转后的曲面方程后，就可以根据需要进行参数化表示，或者使用其他数学工具和方法进行分析。
三、性质平面曲线绕x轴旋转的曲面方程具有以下性质：1.对于任意给定的一条平面曲线，绕x轴旋转所得的曲面都是旋转对称的，即曲面在旋转中不改变其旋转角度。
2.当平面曲线在x轴的正半轴上时，绕x轴旋转所得的曲面在z轴的负半轴上，即曲面在旋转后位于x轴正半轴、y轴正半轴和z轴负半轴的八分之一空间中。
3.绕x轴旋转的曲面方程是一个方程组，可以通过求解的方法得到曲面的具体参数。
四、实际应用平面曲线绕x轴旋转的曲面方程在实际应用中有着广泛的应用。
其中，最为常见的应用是在工程领域中。
例如，在机械工程领域中，很多零部件都是通过平面曲线绕x 轴旋转的方式进行加工和制造的。
在物理学领域中，平面曲线绕x轴旋转的曲面方程也可以用来描述质点在旋转中所受到的力，进而研究物理问题。