高等数学：2009期末考试试题

高等数学期末模拟试卷 2009,12,26

一．填空题(本题20分) 1．._______cos sin 1lim

=-+→x

x x

x

2． 设._______,)1()10(2=-=y e x y x 则

3．dx x x ⎰--1

21tan =_________________.

4. 若x

e e

dt t f dx d x =⎰-0

)(，则=)(x f _______. 5. 设2

)13(x xe x f =+，则

=⎰

1

)(dt t f ________________________.

二．单项选择题(本题20分) 1．设n

n n x n x f )2

(

lim )1(-+=+∞

→，则=)(x f ( ) 。 A ．1

-x e

； B ．2

+x e ； C ．1

+x e

； D ．x

e

-。

2. 当-∞→x 时，)(54)(2b ax x x x f +-+-=

为无穷小，则（ ）

。 A ．2,1=-=b a ； B ．2,1-=-=b a ； C ．2,1==b a ； D ．2,1-==b a 。

3. 若)(x f 在a x =处不可导,则下列函数中在a x =处必不可导的是( ).

(A ) )(sin x f x ⋅ (B ) )(sin x f x + (C ) )(2

x f (D )

)

(1x f 4. 若曲线b ax x y ++=2与3

12xy y +-=在点)1,1(-处相切，则（ ）。 A ．1,1-=-=b a ； B. 3,1-==b a ； C. 1,3=-=b a ； D. 2,0==b a 。

5．已知bx ax x x f ++=2

3

)(在1=x 处取极小值2-，则（ ）。 A ．2,1==b a ； B. 3,0-==b a ； C. 2,2==b a ； D. 1,1==b a 。 三．（本题12分）求下列极限

1．].)

1(121[

lim 0

+-→x

x e x x π 2． .)

1(d sin )1(lim 2

1

21

2x t t t x x --⎰

→

四．（本题21分）求导数与积分

1．设⎩⎨⎧-=-=)

1(2)(t

e f y t f x ，且)(x f 二阶可导，0)0('≠f ，求0=t dx dy ，022=t dx y d 2．设y xy e

xy

=+)tan(，则)0('y ，)0("y

3．设)(x f 连续，且)arctan(2

1)2(2

0x dt t x tf x

=-⎰，若1)1(=f ，求⎰21)(dx x f

五．（本题7分）几何题 求由曲线x y =

上点)1,1(处法线与该曲线及x 轴所围平面图形的面积。

六．（本题6分）应用题

求由a xy =，a y =（0>a ），3=x 所围图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积

七．（本题8分）设函数2

1

x

xe y =, 填写下表并作出函数的图像.

八．（6分）设n

n x x x x f +++= 2)(，)1(>n ，证明：

（1）方程1)(=x f n 在],0[+∞内有唯一实根n x ； （2）数列}{n x 有极限，并求该极限。

单增区间 单减区间 凸区间 凹区间 极大值 极小值 渐近线

y

x

O

高等数学期末模拟试卷（解答） 2009,12,26

一．填空题(本题20分)

1. 2

2. )8920(2

++x x e x

3. C x +--1sin ln

4. 21

x

- 5. C e

t t +--6

1)7(2

二．单项选择题(本题20分) 1.C 2.A 3.B 4.A 5.B 三．（本题12分）求下列极限 1．].)

1(1

21[

lim 0

+-→x x e x x π 解：4

)1(2lim )1(2lim )1(21lim ])1(121[lim 0000π

πππππππ=+=+=+-=+-→→→→x x x x x x x x x e e x x e x e e x x 2． .)

1(d sin )1(lim 2

1

21

2x t t t x x --⎰

→

解：1sin 22

sin )1(2lim )1(2sin )1(2lim )1(d sin )1(lim

4

214212

1

21

2-=-+=---=--→→→⎰

x x x x x x x x t t t x x x x 四．（本题21分）求导数与积分

1．设⎩⎨⎧-=-=)1(2)(t

e f y t f x ，且)(x f 二阶可导，0)0('≠f ，求0=t dx dy

，0

22=t dx y d 解：)

(')1('''t f e e f x y dx dy t t t t -=

=，10==t dx dy

； )

(')(")1(')(')1(")(')1('])(')1('[322t f t f e f t f e f e t f e f e dx dt t f e e f dt d dx y d t

t t t t t t ---+-=-= )

0('1

022f dx y d t ==

2．设y xy e

xy

=+)tan(，则)0('y ，)0("y

解：令，0=x ，有1=y ，

求导：')')((sec )'(2

y xy y xy xy y e xy

=+++。所以，2)0('=y

再求导：

"

)"'2)((sec )')(tan()(sec 2)"'2()'(2222y xy y xy xy y xy xy xy y e xy y e xy xy =+++++++