第6章习题答案

习题6－1

在6.1节中曾指出，流场的分离式求解方法所遇到的问题是压力没有独立的方程，为了解决压力与速度之间的耦合问题，引入了SIMPLE 等一系列算法。但另一方面可以从动量方程与连续性方程来导出关于压力的Poisson 方程，例如在二维直角坐标中对不可压缩流体可有：

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂+∂∂y u x v y v x u y p

x p ρ22

222 试导出这一方程。有人认为，可以把这个压力方程与动量方程联立来求解流动，即依次求解u 方程，v 方程及压力方程（此时u ，v 已知道，可作为压力方程的源项）就完成了分离式求解方法中的一轮迭代，从而不必采用SIMPLE 之类的算法。试对这种观点作出评价。

解：二维稳态不可压流体的动量方程为：

2222uu vu u u p x y x y x

ρρ∂∂∂∂∂+=Γ+Γ-∂∂∂∂∂ 6-1-1

2222uv vv v v p x y x y y

ρρ∂∂∂∂∂+=Γ+Γ-∂∂∂∂∂ 6-1-2

连续性方程为：

0=∂∂+∂∂y

v

x u 6-1-3 将式（6-1-1）对x 求偏导数、式（6-1-2）对y 求偏导数，有：

222222222

x p y u x x u x x u y v y u x v x u u x u ∂∂-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛∂∂∂∂Γ=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂+⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂ρρρρ 6-1-4 2222222

y

p y v y x v y y v y v y v y v x u x v y u ∂∂-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂Γ=⎪⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂ρρρρ6-1-5 考虑到：

y v x u y v x u y v x u ∂∂∂∂-⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛∂∂+∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂22

22

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂y v x u x y v x x

u 22 ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛∂∂+∂∂∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂y v x u y y v y x u y ⎪⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂+∂∂∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂y v x u x x v y x u x 222222 ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂y v x u y y v y y u x 222222

根据连续性方程，并将上面各式代入式（6-1-4）、式（6-1-5）中，相加该两式并整理，就可以得到：

⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂+∂∂y u x v y v x u y p

x p ρ22222 6-1-6 评述：

实际求解流场时依次求解u 方程，v 方程及压力方程是无法保证质量守衡条件的，因为

导出压力方程中，引入了质量守衡的条件，无法在迭代过程中保证其成立，必须采用SIMPLE 这样的压力修正方案才能保证质量守衡条件的满足。

习题6－4

对图6-11所示二维流动情形，已知：50=w u ，20=s v ，0=N P ，10=E p ，流动是

稳态的，且密度是常数。e u ，n v 的离散方程为：E P e p p u -=；()N P n p p v -=7.0试利用SIMPLE 算法求解e u ，n v 及P p 之值。

解： 首先假定5=P p ，则可以利用给定的E P e p p u -=；()N P n p p v -=7.0计算式，获

得**n

e v u ,之值： 5105-=-=*

e u ，()5.3057.0=-⨯=*n

v 设在n e ,两界面上满足连续性条件的速度为n e v u ,，则连续性方程为：

n e s w v u v u +=+

按SIMPLE 算法，n e v u ,可以表示为：

()

//E

p e e e p p d u u -+=*；()//N P n n n p p d v v -+=* 按已知条件，1=e d ，7.0=n d ，0/=E p ，0/

=N p （因为0=N P ，10=E p ）

，得到： /5P

e p u +-=；/

7.05.3P n p v ⨯+= 将此两式代入连续性方程得/

P p 的方程：

/

/7.05.352050P

P p p ⨯+++-=+ 由此得到：06.42/

=P p 06.4706.425/

=+=+=*P P P p p p

06.3706.4255/

=+-=+-=P e p u

94.3206.427.05.37.05.3/=⨯+=⨯+=P n p v

此时，连续性方程已经满足，而且给定的动量方程都是线性的，不包含与所求解的变量有关的量，因而上述之值即为所求之值。

习题6－5

一管路系统如图6-33所示，从节点1向节点2，3，4，5，6，7泵送流体。节点1，2，4，5的压力表示在括号内。两节点间的流量可用公式()p C Q ∆=示之，其p ∆为两节点间的压差，C 可称为水传导性。为简便起见，相邻两节点间的传导性用示于两节点连线中点上的字母作为下标，例如节点3，6间的水力传导性表示为D C 。已知：

2.0,1.0,2.0,1.0,2.0,4.0======F E D C B A C C C C C C 。已知节点6，7间的流量20=F Q 。以上各量的单位都是协调一致的。试采用类似SIMPLE 的算法，确定

E D C B A Q Q Q Q Q p p ,,,,,,63及7p （提示：先假定*3

p ，*6p ，计算各段流量；再利用节点3，6的质量守恒关系来计算压力修正值）。