高二数学奥赛试题
高二数学竞赛试卷
高二数学竞赛试卷考试范围：xxx ；考试时间：xxx 分钟；出题人：xxx 姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.复数在复平面内对应的点不可能位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2.已知函数，且成立，则实数的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．3.曲线在点处的切线方程是 A ．B ．C ．D ．4.已知命题：若，则；命题：若，则，在命题：①；②；③；④中，真命题是（ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④ 5.函数的最小正周期是（ ）A ．B ．C ．D ． 6.设向量，，，则实数的值是（ ）A ．B ．C ．D ．7.已知变量，满足约束条件若目标函数（，）的最小值为2，则的最小值为（ ）A ．B ． 2C ．D ．8.下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y=±2x 的是（ ）A ．x 2﹣=1B ．﹣y 2=1C ．﹣x 2=1 D ．y 2﹣=19.圆与圆的公共弦长为（）A． B． C．2 D．210.下列各对点中，都在不等式x+y+1＜0表示的平面区域内的是（）A．（－2，－1），（1，1）B．（－1，0），（1，－2）C．（－1，－1），（－5，3）D．（1，2），（3，0）11.（2014•福建）复数z=（3﹣2i）i的共轭复数等于（）A．﹣2﹣3i B．﹣2+3i C．2﹣3i D．2+3i12.过点作一直线与圆相交于两点，则的最小值为（）A．B．C．D．13.高二（3）班共有学生56人，座号分别为1，2，3，…，56，现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本.已知3号，17号，45号同学在样本中，那么样本中另外一个同学的座号是（）A．30 B．31 C．32 D．3314.设曲线及直线所围成的封闭图形为区域，不等式组所确定的区域为，在区域内随机取一点，则该点落在区域内的概率为（）A． B． C． D．15.甲、乙、丙、丁四人参加全运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下：平均环数方差则参加全运会射击项目的最佳人选为（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁16.对于自然数作竖式运算时不进位，那么称是“良数”，如32是“良数”，由于计算时不进位，23是“良数”，由于计算时要进位，那么小于1000的“良数”有（）A．36个 B．39个 C．48个 D．64个17.已知是R上的单调增函数，则的取值范围是（）A．B．C．D．18.抛物线上的一点到焦点的距离为1，则点的纵坐标为（）A． B． C． D．019.函数的部分图象是（）A． B． C． D．20.．如图，在一个长为，宽为的矩形内，曲线与轴围成如图所示的阴影部分，向矩形内随机投一点（该点落在矩形内任何一点是等可能的），则所投的点落在阴影部分的概率是A． B． C． D．二、填空题21.过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是________．22.由数字0，1，2，3，4，5组成六位数，其中奇数和偶数相间的不同排法为______种.23.已知24.数列的前n项和是．25.从6人中选4人分别到巴黎，伦敦，悉尼，莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲，乙两人不去巴黎游览的概率为 .(用分数表示)26.如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是___________27.若函数（）在上有2个零点，则的取值范围是__________．28.设某几何体的三视图如图（尺寸的长度单位为m）则该几何体的体积为_________m3．29.已知一颗粒子等可能地落入如图所示的四边形ABCD内的任意位置，如果通过大量的实验发现粒子落入△BCD内的频率稳定在附近，那么点A和点C到直线BD的距离之比约为30.已知F1、F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左右焦点，P 是椭圆上一点，∠F1PF2＝90°，求椭圆离心率的最小值为三、解答题31.（10分）已知满足约束条件，求的最大值和最小值.32.（本小题共12分）如图，在中，，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角的直二面角．是的中点．（I）求证：平面平面；（II）求异面直线与所成角的大小．33.已知函数.（Ⅰ）确定函数的单调性；（Ⅱ）证明：函数在上存在最小值.34.(本小题满分12分)已知函数在时有极值．（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）求函数在上的最大值、最小值．35.用三段论证明：直角三角形两锐角之和为90°参考答案1 .A【解析】试题分析：则，故选A考点：复数与平面上的点成一一对应关系2 .B【解析】，，就是.3 .D【解析】解：因为曲线在点处的切线方程是4 .C【解析】试题分析：显然是真命题，不能推得，比如，所以命题是假命题；所以命题为假命题，为真命题，为真命题，为真命题；为假命题，为假命题，所以真命题的为（2）（3），故选C．考点：复合命题的真假判定．5 .B【解析】由二倍角公式和诱导公式得到由三角函数的周期公式得到故答案为B.6 .D【解析】试题分析：考点：向量数量积的坐标运算7 .B【解析】试题分析：由题意得，画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，目标函数可化为，当直线平移过点时，目标函数取得最小值，则，且（当且仅当等号是成立的），所以，所以的最小值为，故选B．考点：基本不等式求最值；简单的线性规划．【方法点晴】本题主要考查了基本不等式求最值，简单的线性规划问题，其中解答中涉及到简单的线性规划求最值、利用基本不等式求最值等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，其中解答中正确作出约束条件画出平面区域，得到目标函数的最值及合理转化是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．8 .C【解析】试题分析：对选项首先判定焦点的位置，再求渐近线方程，即可得到答案．解：由A可得焦点在x轴上，不符合条件；由B可得焦点在x轴上，不符合条件；由C可得焦点在y轴上，渐近线方程为y=±2x，符合条件；由D可得焦点在y轴上，渐近线方程为y=x，不符合条件．故选C．考点：双曲线的简单性质．9 .C【解析】试题分析：由题意得，两圆的方程相减，得两圆的公共弦的方程为，则圆的圆心到直线的距离为，由圆的弦长公式可得，故选C．考点：圆的弦长公式．10 .C【解析】答案A错误；B 错误；C正确；D错误；故选C11 .C【解析】试题分析：直接由复数代数形式的乘法运算化简z，则其共轭可求．解：∵z=（3﹣2i）i=2+3i，∴．故选：C．考点：复数代数形式的乘除运算．12 .C【解析】试题分析：由圆的方程，可知圆心，半径，则点和圆心连线的长度为，当过点和圆心的连线垂直时，所得弦长最短，由圆的弦长公式可得，故选C.考点：直线与圆的位置关系及其应用.13 .B【解析】试题分析：系统抽样抽取的数据构成等差数列，由抽中的号码3号，17号，45号可知样本中另外一个同学的座号是31考点：系统抽样14 .D【解析】如图所示，由几何概型公式，图中阴影部分的面积：，则点落在区域内的概率为.本题选择D选项.点睛：解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比．15 .C【解析】略16 .C【解析】如果是良数，则的个位数字只能是，非个位数字只能是（首位不为），而小于的数至多三位，一位的良数有，共个，二位良数个位可取，十位可取，共有个，三位良数个位可取，十位可取，百位可取，共有，综上，小于“良数”的个数为个，故选C.【方法点睛】本题考查分类技术加法原理分步计数乘法原理及新定义问题，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题通过定义“良数”达到考查两计数原理的目的.17 .D【解析】恒成立，所以18 .B【解析】试题分析：因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，而抛物线的准线方程为，设点的纵坐标为，则考点：本小题主要考查抛物线上点的性质的应用和抛物线准线方程的求解.点评：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，这个性质特别好用，要灵活应用.19 .A【解析】试题分析：,为偶函数．图像关于轴对称．故排除B,D．当时,．所以排除C,选A．考点：函数图像．20 .A【解析】本题考查几何概型长为，宽为的矩形的面积为；曲线与轴围成的阴影部分的面积为因为，所以的原函数为则则所投的点落在阴影部分的概率故正确答案为A21 .2x－y＋4＝0【解析】易求y′＝6x－4，y′|x＝1＝2.∴所求直线的斜率k＝2.∴所求直线的方程为y－2＝2(x＋1)，即2x－y＋4＝0.22 .60【解析】：由题意知本题是一个分类计数问题，当首位为奇数时，则计数位上都是奇数才能满足题意，这样三个位奇数在三个奇数位置排列，三个偶数在三个偶数位置排列共有=36种结果，当首位是偶数时，三个奇数在偶数位置排列，三个偶数有两个利用排在首位，共有2×2 =24种结果，∴根据分类计数原理可以得到共有36+24=60种结果，23 .2013【解析】试题分析：根据题意，由于故可知答案为2013.考点：归纳推理点评：主要是考查了归纳推理的运用，属于基础题。
奥赛高中数学试题及答案
奥赛高中数学试题及答案1. 题目：设函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a≠0。
若f(1) = 3，f(-1) = 1，f(0) = 2，求a、b、c的值。
解答：根据题意，我们可以得到以下方程组：\begin{cases}a +b +c = 3 \\a -b +c = 1 \\c = 2\end{cases}解得：a = 2，b = 1，c = 2。
2. 题目：已知数列{an}是等差数列，且a1 = 1，a3 = 5，求a5的值。
解答：设等差数列的公差为d，则有：a3 = a1 + 2d5 = 1 + 2dd = 2所以，a5 = a1 + 4d = 1 + 4 × 2 = 9。
3. 题目：设函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求f(x)的单调区间。
解答：首先求导数f'(x)：f'(x) = 3x^2 - 6x令f'(x) > 0，解得：x > 2 或 x < 0令f'(x) < 0，解得：0 < x < 2所以，f(x)在(-∞, 0)和(2, +∞)上单调递增，在(0, 2)上单调递减。
4. 题目：已知圆C的方程为(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 9，直线l的方程为y = x + 1，求圆C与直线l的交点坐标。
解答：将直线l的方程代入圆C的方程，得到：(x - 1)^2 + (x + 1 - 2)^2 = 9化简得：2x^2 - 2x - 8 = 0解得：x1 = -2，x2 = 2代入直线l的方程，得到对应的y值：y1 = -1，y2 = 3所以，圆C与直线l的交点坐标为(-2, -1)和(2, 3)。
5. 题目：设函数f(x) = ln(x + √(x^2 + 1))，求f(x)的导数f'(x)。
解答：根据复合函数求导法则，我们有：f'(x) = (1 / (x + √(x^2 + 1))) × (1 + x / √(x^2 + 1))化简得：f'(x) = 1 / √(x^2 + 1)以上就是奥赛高中数学试题及答案的完整内容。
高二数学竞赛试卷
高二数学竞赛试卷考试范围：xxx ；考试时间：xxx 分钟；出题人：xxx 姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1. 已知空间三条直线若与异面,且与异面,则（ ）A ．与异面.B ．与相交.C ．与平行.D ．与异面、相交、平行均有可能. 2.关于x 的不等式的解集不是空集，则实m 的取值范围是A ．m 3B ．m<－3C ．m≥3D ．m≤－3 3.已知集合A={x|},B=，则A=A ．B ．C ．D ．4.函数的定义域为 ()5.如下图，已知四边形是圆内接四边形，且，，.现有以下结论：①，两点间的距离为； ②是该圆的一条直径；③；④四边形的面积.其中正确结论的个数为（ ） A ． B ． C ． D ．6.= （）A． B． C． D．7.如图，某人拨通了电话，准备手机充值须如下操作（）A．1－5－1－1 B．1－5－1－5 C．1－5－2－3 D．1－5－2－1 8.若，是第三象限的角，则等于( )A． B． C．-2 D．29.是偶函数，则，，的大小关系为（）A．B．C．D．10.已知等比数列中等于（）A．35 B．63 C． D．11.已知长方体中，,则长方体外接球的表面积为A． B． C． D．12.正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，那么经过底边的中点且平行于侧棱的截面面积为（）A． B． C． D．13.ΔABC中，a=1，b=, A=30°，则B等于 ( )A．60°B．60°或120°C．30°或150°D．120°14.已知数列满足：，则=（）A． B． C． D．15.已知是抛物线上的一个动点,是圆上的一个动点,是一个定点,则的最小值为（）A． B． C． D．16.（2014秋•延边州校级期末）在△ABC中，若a、b、c成等比数例，且c=2a，则cosB等于（）A． B． C． D．17.在等差数列中，已知则等于（）A．10 B．42 C．43 D．4518.设点是函数图象上的任意一点，点，则的最小值为A． B． C． D．19.p或q为真命题是p且q为真命题的( )条件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．以上都不对20.如图，为了测量河对岸电视塔CD的高度，小王在点A处测得塔顶D的仰角为30°，塔底C与A的连线同河岸成15°角，小王向前走了1200 m 到达M处，测得塔底C与M的连线同河岸成60°角，则电视塔CD的高度为( )A． B． C． D．二、填空题21.若，则的最小值为22.已知椭圆的方程是(),它的两个焦点分别为,且,弦AB(椭圆上任意两点的线段)过点,则的周长为23.用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有___个.24.已知直线，与的夹角为（）A．45° B．60° C．90° D．120°25.二项式的展开式中，常数项是_____．26.命题：的否定是27.要排1 个有5 个独唱节目和3 个舞蹈节目的节目单，如果舞蹈节目不在排头，且任何两个舞蹈节目不相邻，则不同的排法总数为种。
高中数学奥数试题及答案
高中数学奥数试题及答案1. 已知函数\( f(x) = ax^2 + bx + c \)，其中\( a \)，\( b \)，\( c \)为常数，且\( f(1) = 5 \)，\( f(2) = 14 \)，\( f(3) = 29 \)。
求\( f(0) \)的值。
答案：首先，我们可以通过代入\( x \)的值来建立一个方程组：\[\begin{align*}a(1)^2 + b(1) + c &= 5 \\a(2)^2 + b(2) + c &= 14 \\a(3)^2 + b(3) + c &= 29\end{align*}\]即：\[\begin{align*}a +b +c &= 5 \\4a + 2b + c &= 14 \\9a + 3b + c &= 29\end{align*}\]通过解这个方程组，我们可以得到\( a \)，\( b \)，\( c \)的值。
然后计算\( f(0) = a(0)^2 + b(0) + c \)。
2. 一个圆的直径为10，求该圆的周长。
答案：圆的周长公式为\( C = \pi d \)，其中\( d \)是直径。
将直径\( d = 10 \)代入公式，得到：\[C = \pi \times 10\]3. 一个等差数列的前三项分别为2，5，8，求该数列的第10项。
答案：等差数列的通项公式为\( a_n = a_1 + (n - 1)d \)，其中\( a_1 \)是首项，\( d \)是公差，\( n \)是项数。
已知首项\( a_1 = 2 \)，公差\( d = 5 - 2 = 3 \)，求第10项\( a_{10} \)：\[a_{10} = 2 + (10 - 1) \times 3 = 2 + 9 \times 3 = 29\]4. 一个三角形的三个内角分别为\( \alpha \)，\( \beta \)，\( \gamma \)，已知\( \alpha = 45^\circ \)，\( \beta =60^\circ \)，求\( \gamma \)的度数。
高中奥林匹克数学竞赛试题
高中奥林匹克数学竞赛试题（正文内容）1500字在高中阶段，数学作为一门重要的学科，在学生的学习中起着至关重要的作用。
为了提高学生的数学能力和解题的思维方式，高中奥林匹克数学竞赛应运而生。
本文将介绍一套高中奥林匹克数学竞赛试题，并对其解题思路进行探讨。
第一题：已知正整数x和y满足方程x^2 - y^2 = 2022，求x的最小正整数解。
解析：首先，我们注意到等式左边的形式是一个差平方，即(a+b)(a-b)。
所以，我们可以将原方程改写为(x+y)(x-y) = 2022。
要求解x的最小正整数解，即求得x+y和x-y的最小正整数解。
根据题意，x+y和x-y都是正整数，那么2022可以被分成两个正整数的乘积。
我们来考虑2022的因数分解：2022 = 2 * 1011= 3 * 674= 6 * 337= 9 * 224= 18 * 112= 27 * 74= 54 * 37根据观察，我们可以发现x+y和x-y的最小正整数解分别是：(x+y,x-y) = (1011, 2)，所以x的最小正整数解为(x, y) = (506, 505)。
第二题：已知正整数a、b满足a^2 - b^2 = 102，且a > b，求a和b的所有可能取值。
解析：同样地，我们可以将等式改写为(a+b)(a-b) = 102。
根据题意，a+b和a-b都是正整数，且a > b。
我们来考虑102的因数分解：102 = 2 * 51= 3 * 34= 6 * 17根据观察，我们可以得到以下几组可能的解：(a+b, a-b) = (51, 2)，(34, 3)，(17, 6)。
所以，a和b的所有可能取值分别是：(a, b) = (26, 25)，(18, 15)，(11, 5)。
第三题：已知正整数m、n满足m^2 - n^2 = 36，其中m和n的最大公约数为6，求m和n的所有可能取值。
解析：根据题意，m和n满足gcd(m, n) = 6。
往年奥数试题及答案高中
往年奥数试题及答案高中试题一：几何问题题目：在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB为斜边，BC=6，AC=8，求AB的长度。
解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。
设AB的长度为x，则有：\[ x^2 = 6^2 + 8^2 \]\[ x^2 = 36 + 64 \]\[ x^2 = 100 \]\[ x = 10 \]所以，AB的长度为10。
试题二：代数问题题目：解方程 \( x^2 - 5x + 6 = 0 \)。
解答：这是一个二次方程，我们可以使用因式分解法来解它。
首先找到两个数，它们的乘积为6，和为-5。
这两个数是-2和-3。
因此，我们可以将方程分解为：\[ x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0 \]所以，方程的解是 \( x = 2 \) 或 \( x = 3 \)。
试题三：组合问题题目：有5个不同的球和3个不同的盒子，将这些球放入盒子中，每个盒子至少有一个球，有多少种不同的放法？解答：首先，我们需要将5个球分成3组，其中至少一组有2个球。
我们可以使用组合数来计算：\[ C(5,2) \times C(3,1) \]\[ = \frac{5!}{2!(5-2)!} \times \frac{3!}{1!(3-1)!} \]\[ = 10 \times 3 \]\[ = 30 \]但是，我们还需要考虑球在盒子中的排列方式。
由于每个盒子至少有一个球，我们可以将30种分法中的每种都视为3个盒子的排列，即\( 3! \) 种方式。
所以总的放法为：\[ 30 \times 3! = 30 \times 6 = 180 \]试题四：数列问题题目：一个数列的前几项为 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...，求第10项。
解答：这是一个斐波那契数列，每一项都是前两项的和。
我们可以通过递推的方式来计算第10项：\[ a_1 = 1, a_2 = 1, a_3 = a_1 + a_2 \]\[ a_4 = a_2 + a_3, a_5 = a_3 + a_4, \ldots \]继续递推，我们可以得到：\[ a_{10} = a_8 + a_9 \]\[ a_8 = 13, a_9 = 21 \]\[ a_{10} = 13 + 21 = 34 \]所以，第10项是34。
高二数学中常见的数学奥赛题解析
高二数学中常见的数学奥赛题解析数学竞赛是培养学生数学思维能力和解决问题的能力的重要途径之一。
在高二数学教学中，经常会遇到一些常见的数学奥赛题目。
本文将对其中一些常见的数学奥赛题目进行解析。
一、函数与方程1. 设函数f(x) = 3^x + 3^(x-1) - 2^x - 2^(x-1)，求不等式f(x) < 0的解集。
首先，我们可以对f(x)进行因式分解：f(x) = 3^x(1+1/3) - 2^x(1+1/2) = 3^x * 4/3 - 2^x * 3/2。
令y = 3^x和z = 2^x，则原不等式可以转化为y * 4/3 - z * 3/2 < 0。
进一步整理得到4y - 3z < 0，即12y - 9z < 0。
由此可得12 * 3^x - 9 * 2^x < 0，即4 * 3^(2x) - 3 * 2^(3x) < 0。
我们可以利用图像法或取对数法求解这个不等式。
具体的求解过程可以参考高中数学教材中的相关内容。
2. 已知数列{an}的通项公式为an = n^2 - 3n + 2，求∑(n=1到10) [(an+1)/(an)]。
首先，我们计算an+1：an+1 = (n+1)^2 - 3(n+1) + 2= n^2 + 2n + 1 - 3n - 3 + 2= n^2 - n所以，(an+1)/(an) = (n^2 - n)/(n^2 - 3n + 2)。
将n从1到10代入，求得∑(n=1到10) [(an+1)/(an)] = (∑(n=1到10)n*(n-1)) / (∑(n=1到10) (n-1)*(n-2))。
利用高中数学中的数列求和公式，可以计算出结果为5/4。
二、平面几何1. 正多边形ABCD...的一个顶点为A，已知线段BC与线段AD相交于点E，线段DB延长线与线段AC相交于点F。
若EF平分角BAC，则正多边形的边数为多少？设正多边形的边数为n，则角BAC的度数为360/n。
高二数学竞赛试题
高二数学竞赛试题（考试时间90分钟，满分120分，命题人：黄盛华） 班级________姓名_____________得分________________ 一、选择题（本大题有8小题，每小题5分,共40分）分）1．抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是的焦点到准线的距离是（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 2．一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人．人．为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中从中抽取容量为40的样本．则从上述各层中依次抽取的人数分别是的样本．则从上述各层中依次抽取的人数分别是 ( ) A ．12,24,15,9 B ．9,12,12,7 C ．8,15,12,5 D ．8,16,10,6 3．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1，长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于等于 ( ) A ．4 B ．5 C ．7 D ．8 4．先后抛掷两枚均匀的骰子(骰子是一种正方体玩具，在正方体各面上分别有点数1,2,3,4,5,6)，骰子落地后朝上的点数分别为x ，y ，则log 2x y ＝1的概率为的概率为 ( ) A.16 B.536 C.112 D.125. . 如图给出的是计算如图给出的是计算1＋13＋15＋…＋129的值的一个程序框图，则图中执行框中的①处和判断框中的②处应填的语句是行框中的①处和判断框中的②处应填的语句是 ( ) A ．n ＝n ＋2，i ＝15? B ．n ＝n ＋2，i >15? C ．n ＝n ＋1，i ＝15? D ．n ＝n ＋1，i >15? 6．双曲线x 26－y 23＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r ＝（ ）A.3 B ．2 C ．3 D ．67．200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，时速在[50,60)的汽车大约有的汽车大约有 ( ) A ．30辆B ．40辆C ．60辆D ．80辆 8．F 1，F 2是椭圆x 22＋y 2＝1的左右两个焦点，过F 2作倾斜角为π4的弦AB ，则△F 1AB 的面积为的面积为 ( ) A.43B.233 C.433D.423－1 二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分）分）9．如图，一不规则区域内，有一边长为1米的正方形，向区域内随机地撒1000颗黄豆，数得落在正方形区域内得落在正方形区域内((含边界含边界))的黄豆数为375颗，以此实验数据为依据可以估计出该不规则图形的面积为据为依据可以估计出该不规则图形的面积为________________________平方米．平方米．平方米．10区．在区间间[－1,2]机上随机取取一个数x ，则|x |≤1率的概率为为________．11． “a >2”是“方程x 2a ＋1＋y 22－a ＝1表示双曲线”的________条件(填“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要”)．12. 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________． 三 解答题（本大题共5小题，共60分）分） 13. 13. （本小题满分（本小题满分12分）分）随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图：的茎叶图如图：(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；(2)计算甲班的样本方差；计算甲班的样本方差； (3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于名同学中随机抽取两名身高不低于 173 cm 的同学，求身高为176 cm 的同学被抽中的概率．的同学被抽中的概率．14．（本小题满分12分）分）－3x [3，PA ·PB ＝y 2－(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m＋2的概率．的概率．17. （本小题满分12分）分）设F1，F2分别是椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F1斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．成等差数列．(1)求E的离心率；的离心率；(2)设点P(0，－1)满足|P A|＝|PB|，求E的方程．的方程．高二数学限时训练（4）一 选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 CDDCBACA40＝1，因此，从各层依次抽取的人数为1＝1＝×1＝×1＝ö＝3＝1. ＋1＋1＋1是连续奇数的前＋1，＋1＋1＋＋1需要循环＝ 3. 倾斜角为π的直线为＝1| 49＋43＝4. 【答案】2⇒＋＝反过来，a ＋a ＝＝3或3x 1＝1x ＝14＝2.－3x －37，[3，＝7，[7，|7≤≤7，∴≥3或－3. ，－3][3，＋PA·PB＝(－x·y＝y y＝－＝2＝1. ＝3. －3＝13. ＝4a＝a2－b2. 22＝2b2，＝()2b2. ＝2|2[(x1＋x2)2－4x1x2]. 4a＝4ab22，故＝ca＝a2－b2a＝22. ＝x1＋x22＝－a ca2＋b2＝－23c＝c3. 即y0＋1x＝－32，的方程为x218＋y29＝。
数学竞赛训练题(高二)
数学奥林匹克训练题（高二）一、选择题（5分×6=30分） 1、集合{n | 21-<log 2 <31-，n ∈N}的真子集的个数是（ ） A. 7 B. 8 C. 31 D. 322、函数y=f ( x ) , y = g ( x ) 的定义域及值域都是R ，且都存在反函数，则y = f –1 ( g –1(f ( x ) ) )的反函数是（ ）A.y = f(g(f –1(x) ) )B.y = f –1 (g ( f ( x ) ) )C.y = f –1(g -1( f ( x ) ) )D.y = f ( g –1 (f –1 ( x ) ) )3、若在抛物线y=ax 2（a>0）的上方可作一个半径为r 的圆与抛物线相切于原点0，且该圆与抛物线没有别的公共点，则r 的最大值是（ ）A.a21B.a1 C.a D.2a 4、若0<x<2π，则tanx+cotx+x x cos 1sin 1-的取值范围是（ ） A.（-∞，+∞） B.（0，+∞） C.（21，+∞）D.（1，+∞）5、若方程2a ·9sinx +4a ·3sinx +a – 8=0有解，则a 的取值范围是（ ）A.（- ∞，-8 ∪[0，+∞B.[0，+∞C.[0，318] D.[318，2372] 6、若w = cos40°+i sin40°，则| w +2w 2+3w 3+……+9w 9 | -1等于A.cos 18120° B.sin 9140° C.cos 9140°D.sin 9220° 二、填空题（5分×6=30分） 7、已知f （x ）=tan （)arctan 4x -π则f （23123133++--）= 。
8、设a ∈R ，若函数y=f (x) 与y=10 x +3关于直线y=x 对称，且y =f （x ）与y=lg （x 2 – x+a ）有公共点，则a 的取值范围是 。
高二数学下学期第二次月考试题(理奥赛)-人教版高二全册数学试题
某某县中学2017届高二年级下学期第二次月考数 学 试 卷(理奥赛)时间:120分钟 总分:150分一 、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.设a 是实数，且211ai i+++是实数，则a =（ ） A ．1- B ．1 C ．12D ．322．下列命题中是假命题的是（ ） A ．(0,),>2x x sin x π∀∈B ．000,+=2x R sin x cos x ∃∈C ．,3>0xx R ∀∈D ．00,=0x R lg x ∃∈3．若a ，b∈R，则21a ＞21b 成立的一个充分不必要的条件是（ ）A ．b ＞a ＞0B ．a ＞b ＞0C ．b ＜aD ．a ＜b4．椭圆的离心率为b ，点（1，b ）是圆x 2+y 2﹣4x ﹣4y+4=0的一条弦的中点，则此弦所在直线的方程是（ ）A ．3x+2y ﹣4=0B ．3x ﹣2y ﹣2=0C ．4x+6y ﹣7=0D ．4x ﹣6y ﹣1=0． 5．若曲线2y x ax b =++在点0)b （，处的切线方程是10x y -+=，则（ ）A ．1,1a b ==B ．1,1a b =-=C ．1,1a b ==-D ．1,1a b =-=-6．已知直线1y x =-+与椭圆22221(0)x y a b a b +=>>相交于A 、B 两点，若椭圆的离心率为22，焦距为2，则线段AB 的长是( )A 223B 423C 2．27．在R 上可导的函数()f x 的图象如图示，()f x '为函数()f x 的导数，则关于x 的不等式()0x f x '⋅<的解集为（ ）A ．)1,0()1,( --∞B ．),1()0,1(+∞-考试时间：2016年4月28—29日C ．)2,1()1,2( --D ．),2()2,(+∞--∞8．已知函数32()1f x x ax x =-+--在R 上不是单调函数，则实数a 的取值X 围是（ ）A ．3,3⎡⎤-⎣⎦B ．(3,3)-C ．(,3)(3,)-∞-+∞D ．(),33,⎤⎡-∞-+∞⎦⎣9．如图所示，ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为6的正方体，E ，F 分别是棱AB ，BC 上的动点，且AE ＝BF.当A 1，E ，F ，C 1共面时，平面A 1DE 与平面C 1DF 所成二面角的余弦值为( )A.32B.12C.15D.26510．若函数()'()()y f x R xf x f x =>-在上可导,且满足不等恒成立,,a b 且常数满足,b a >则下列不等式一定成立的是（ ）A ．()()af b bf a >B ．()()af a bf b >C ．()()af a bf b <D ．()()af b bf a <11.已知函数())0(212<-+=x e x x f x与())ln(2a x x x g ++=图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值X 围是（ ） A.)1,(e -∞ B.),(e -∞ C.),1(e e- D.)1,(e e -12．已知椭圆C 1：2222x y a b+ =1（a ＞b ＞0）与圆C 2：x 2+y 2=b 2，若在椭圆C 1上存在点P ，过P 作圆的切线PA ，PB ，切点为A ，B 使得∠BPA=3π，则椭圆C 1的离心率的取值X 围是（ ） A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中横线上） 13．计算定积分（213x x -+）dx=．14．设命题p ：⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-->-+06208201243y x y x y x （Ry x ∈,），命题q ：222r y x ≤+（0,,,>∈r R r y x ），若命题q 是命题p ⌝的充分非必要条件，则r 的取值X 围是.15．设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点分别为12,F F ，点在椭圆上，且120PF PF ⋅=，123tan PF F ∠=，则该椭圆的离心率为 ． 16．已知椭圆方程22x a +22y b =1（0a b >>），当2a +()16b a b -的最小值时，椭圆的离心率e =.三、解答题（本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．） 17．（本小题满分10分）已知命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0.命题q ：∃x 0∈R，使得x 20＋(a －1)x 0＋1<0.若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，某某数a 的取值X 围．18.（本小题12分）已知数列{}n x 满足112x =，且1()2n n n x x n x *+=∈-N （1）用数学归纳法证明：01n x <<；（2）设1n na x =，求数列{}n a 的通项公式.19.（本小题12分）如图，在底面是菱形的四棱锥P —ABC Ｄ中，∠ABC=600，PA=AC=a ，PB=PD=a 2,点E 在PD 上，且PE:ED=2:1. （1）证明PA⊥平面ABCD ；（2）求以AC 为棱，EAC 与DAC 为面的二面角θ的大小；（3）在棱PC 上是否存在一点F ，使BF//平面AEC ？P证明你的结论.20．（本小题12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的一个顶点为A （2，0），离心率为2，过点G （1，0）的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ． （1）求椭圆C 的方程；（2）当△AMN 的面积为5时，求直线l 的方程．21.（本小题满分12分）已知函数xx x f 1ln 2)(+= (1)求函数)(x f 的单调区间和极值；(2)若对于任意的），∞+∈1[x 及]2,1[∈t ，不等式22)(2+-≥mt t x f 恒成立，试求m 的取值X 围.22．（本小题满分12分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的焦距为4，其长轴长和短轴长之比为1:3．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设F 为椭圆C 的右焦点，T 为直线)2,(≠∈=t t t x R 上纵坐标不为0的任意一点，过F 作TF的垂线交椭圆C 于点P ，Q .（ⅰ）若OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点)，求t 的值； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，当||||PQ TF 最小时，求点T 的坐标．某某县中学2017届高二年级下学期第二次月考数学试卷(理奥)答案1—5 BBACA 6--10 BACBB 11--12 BA13. 14. 15. 16.17．（本小题满分12分）解: 由条件知，a ≤x 2对∀x ∈[1,2]成立，∴a ≤1；∵∃x 0∈R，使x ＋(a －1)x 0＋1<0成立，∴不等式x 2＋(a －1)x ＋1<0有解，∴Δ＝(a －1)2－4>0，∴a >3或a <－1； ∵p 或q 为真，p 且q 为假， ∴p 与q 一真一假． ①p 真q 假时，－1≤a ≤1； ②p 假q 真时，a >3.∴实数a 的取值X 围是a >3或－1≤a ≤1.18.解：（1）证明时，假设时成立当时在(0，1)递增（2）19证明因为底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，所以AB=AD=AC=a，在△PAB中，由PA2+AB2=2a2=PB2知PA⊥AB.同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD.（Ⅱ）解作EG//PA交AD于G，由PA⊥平面ABCD.知EG⊥平面ABCD.作GH⊥AC于H，连结EH，则EH⊥AC，∠EHG即为二面角的平面角.又PE : ED=2 : 1，所以从而（3）解法一以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴，过A点垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图.由题设条件，相关各点的坐标分别为所以设点F是棱PC上的点，则令得解得即时，亦即，F是PC的中点时，、、共面.又 BF平面AEC，所以当F是棱PC的中点时，BF//平面AEC. 20．（1）；（2）±y=0．解：（1）由题意可得：，解得a=2，c=，b2=2．∴椭圆C的方程为．（2）设直线l的方程为：my=x﹣1，M（x1，y1），N（x2，y2）．联立，化为（m2+2）y2+2my﹣3=0，∴y1+y2=，y1y2=．∴|MN|===．点A到直线l的距离d=，∴|BC|d==，化为16m4+14m2﹣11=0，解得m2=解得m=．∴直线l的方程为，即±y=0．21.解：(1)由题知，函数的定义域为，且 2分令可得当时，；当时，.所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，在时取得极小值，在定义域内无极大值. 6分（2）由（1）知，函数在上单调递增，故在区间上的最小值为. 8分因此，只需在上恒成立即可，即在上恒成立.设，，由二次函数的图像和性质可得且即：且解得：，即实数m的取值X围是22.解：（Ⅰ）由已知可得解得所以椭圆C的标准方程是.（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）可得，F点的坐标是(2，0).设直线的方程为，将直线的方程与椭圆C的方程联立，得消去x，得，其判别式设则于是设为的中点，则点的坐标为.因为，所以直线的斜率为，其方程为.当时，，所以点的坐标为，此时直线OT的斜率为，其方程为.将点的坐标为代入，得. 解得. （ⅱ）由（ⅰ）知T为直线上任意一点可得，点T的坐标为.于是，。
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·1·
O
N
M
C
B
A
D
A
B
E
C
F
P
x
y
z
D
1
C
1
B
1
A
1
DC
BA
夏津一中高二数学奥赛复试试题
时间：120分钟 满分：150分
一、填空题（本大题共10个小题，每小题6分，共60分）
1．函数4coscos2yxxxR值域是 ．．
2．已知复数z满足1z，则21zz的最大值是 ．
3．如图，在⊿ABC中，点O是BC的中点，过点O
的直线分别交直线
AB、AC
于不同的两点,MN，,ABmAMACnAN，则mn的
值是 ．
4．如果关于x的不等式1xaxx的解集是R，则实数a的取值范围是 ．
5．已知正数,,abc满足4ababc，则abc的最小值是 ．
6．已知对xR，2logsincos2axx恒成立，则实数a的取值范围是 ．．
7．已知,,,,,,,ABCabcdeABabc，
cABC
，则符合上述条件的,,ABC共有 组．
8．已知函数fx，对xR，有2131006,100524fxfxfxf，
则2013f ．
9．用五种不同颜色给三棱台ABCDEF六个顶点涂色，
要求每个点涂一种颜色，且每条棱的两个端点涂不同颜色，
则不同的涂色方法有 ．种．
10
．假设实数,bc满足221bc，且sincosfxaxbxcx的图像上
存在两条切线垂直，则实数a的取值范围是 ．．
二、解答题（本大题共5个小题，前两个小题各15分，后三个小题各20分，共90分）
11．（本小题满分15分）如图所示，
在长方体1111ABCDABCD中，
已知11,2,ADABAAc，
·2·
G
O
D
C
B
A
F
1
F
2
y
x
若对角线1BD上存在一点P使得11PBPC，
求实数c的取值范围．
12．（本小题满分15分）已知椭圆22143xy的
内接平行四边形的一组对边分别过椭圆的焦点12,FF，
求该平行四边形面积的最大值．
13．（本小题满分20
分）已知数列na的前n项和nS满足
1*nnSanN
．
⑴ 试求数列na的通项公式；
⑵ 设11111nnncaa，求证：列nc的前n项和125nPn．
14．（本小题满分20分）集合{1,2,,2011},M 若M满足：其任意三个元素,,abc，均
满足abc，则称M具有性质P，为方便起见，简记MP．具有性质P的所含元素最多
的集合称为最大集．试问具有性质P的最大集共有多少个？并给出证明．
15．（本小题满分20分）如图，在锐角△ABC中，AB
△CDE的外心。求证：O1、O2、E、F四点共圆的充要条件为P是△ABC的垂心。
O
2
O
1
F
E
P
DABC