有理函数和可化为有理函数的不定积分
合集下载
BBD3_4有理函数的不定积分
故
−5 6 原 = 式 + x − 2 x −3
6
(3) 用比较系数法 1
A Bx + C = + 2 (1+ 2x)(1+ x ) 1+ 2x 1+ x2
1= A1+ x2 + (Bx + c)(1+ 2x) 1= ( A+ 2B)x2 + (B + 2c)x + A+ C 2 4 A+ 2B = 0 B=− A= 5 5 B + 2C = 0 1 A+C =1 C= 5 1 4 2x −1 原式 = − 5 1+ 2x 1+ x2
4
例1. 将下列真分式分解为部分分式 :
解: (1) 用拼凑法
1 x − (x −1) = 2 x(x −1) x(x −1)2
1 1 = 2− (x −1) x(x −1)
1 x − (x −1) = − 2 x(x −1) (x −1) 1 1 1 = − + 2 x −1 x (x −1)
5
3
一、 有理函数的积分 有理函数:
P(x) = R(x) = Q(x)
a0xn + a1xn−1 +⋯+ an
为真分式
m≤ n时,
有理函数
为假分式; m> n 时,
相除 分解
多项式 + 真分 式 若干部分分式之和
其中部分分式的形式为
A Mx + N ; ( k ∈N+ , p2 − 4q < 0) (x − a)k (x2 + p x + q)k
7
(
−5 6 原 = 式 + x − 2 x −3
6
(3) 用比较系数法 1
A Bx + C = + 2 (1+ 2x)(1+ x ) 1+ 2x 1+ x2
1= A1+ x2 + (Bx + c)(1+ 2x) 1= ( A+ 2B)x2 + (B + 2c)x + A+ C 2 4 A+ 2B = 0 B=− A= 5 5 B + 2C = 0 1 A+C =1 C= 5 1 4 2x −1 原式 = − 5 1+ 2x 1+ x2
4
例1. 将下列真分式分解为部分分式 :
解: (1) 用拼凑法
1 x − (x −1) = 2 x(x −1) x(x −1)2
1 1 = 2− (x −1) x(x −1)
1 x − (x −1) = − 2 x(x −1) (x −1) 1 1 1 = − + 2 x −1 x (x −1)
5
3
一、 有理函数的积分 有理函数:
P(x) = R(x) = Q(x)
a0xn + a1xn−1 +⋯+ an
为真分式
m≤ n时,
有理函数
为假分式; m> n 时,
相除 分解
多项式 + 真分 式 若干部分分式之和
其中部分分式的形式为
A Mx + N ; ( k ∈N+ , p2 − 4q < 0) (x − a)k (x2 + p x + q)k
7
(
有理函数的积分积分表的使用
一、 有理函数的积分
在有理分式中，n<m时，称为真分式；n≥m时，称为 假分式.
利用多项式除法，可以把任意一个假分式化为一个有理 整式和一个真分式之和.
有理整式的积分很简单，下面只讨论真分式的积分.
一、 有理函数的积分
1. 最简分式的积分
统称为最简分式，其中n为大于等于2的正整数； A,M,N,a,p,q均为常数，且p2－4q<0.
有理函数的积分积 分表的使用
有理函数的积分积分表的使用
本节将介绍一种比较简单的特殊 类型函数的不定积分——有理函数的 积分，以及积分表的使用.
一、 有理函数的积分
有理函数是指有理式所表示的函数，它包括有理整式和
其中m，n都是非负整数，a0,a1,…,an及b0,b1,…,bn都是实 数，并且a0≠0,b0≠0.
三、 积分表的使用
实际应用中常常利用积分表(见附录)来计算不定积分.求不定 积分时可按被积函数的类型从表中查到相应的公式，或经过少量 的运算和代换将被积函数化成表中已有公式的形式.
三、 积分表的使用
该不定积分不能在积分表中直接査出，需先进行变量代 换.令u=数的积分
2. 有理分式化为最简分式的和
一、 有理函数的积分
对式(5-18) (1)若分母Q(x)中含有因式(x－a)k，则分解后含有下列k 个最简分式之和：
其中A1,A2,…,Ak都是常数. (2)若分母Q(x)中含有因式(x2+px+q)k，其中p2－ 4q<0，则分解后含有下列k个最简分式之和：
二、 可化为有理函数的积分
二、 可化为有理函数的积分
二、 可化为有理函数的积分
【例55】
二、 可化为有理函数的积分
数学分析(下)8-3有理函数和可化为有理函数的不定积分
§3 有理函数和可化为一、有理函数的部分分式分解本节给出了求有理函数等有关类型的四、某些无理函数的不定积分三、三角函数有理式的不定积分二、有理真分式的递推公式有理函数的不定积分不定积分的方法与步骤.返回C x B +i A(ii),p t x =+令22,,p pL r q N M =-=-则2,k 时³111æö432x x x x24910 -++-11d x12x +21(22)1 x x--+对三角函数有理式的不定积分, 在某些条件下还可(iii)(,)(,),tan .R u v R u v t x --==若可作变换(i)(,)(,),cos ;R u v R u v t x -=-=若可作变换(ii)(,)(,),sin ;R u v R u v t x -=-=若可作变换?为什么以上变换可使不定积分简化(i),R 若满足条件由代数学知识可知,存在有理函0,R 数使得选用如下三种变换, 使不定积分简化.因此=--ò2(1cos ,cos )d(cos )R x x x 20(,)(,).R u v R u v u =0(ii),,R R 若满足条件则存在有理函数使得20(,)(,).R u v R u v v =类似可得2(1,)d .R t t t =--ò=òò2(sin ,cos )d (sin ,cos )sin d R x x x R x x x x2sin òx.)0(,d òab x32 31129 x t t-+33d òx22d223 x x x--注1对于本题来说,方法2 显然比方法1 简捷.作业P200：1（2)、（3）、（6）；2（1）、（3）、（5）。
高中数学课件-不定积分
积 分 号
被 积 函 数
被 积 表 达
式
积 分 变 量
任 意 常 数
函数 f ( x)的原函数的图形称为 f ( x) 的积分曲线.
显然，求不定积分得到一积分曲线族.
由不定积分的定义，可知
d
dx
f ( x)dx
f ( x),
d[ f ( x)dx] f ( x)dx,
F ( x)dx F ( x) C, dF ( x) F ( x) C.
分 表
(3)
dx x
说明：
ln x x 0,
C;
dx x
ln
x
C
,
x 0, [ln( x)] 1 ( x) 1 ,
x
x
dx x
ln(
x
)
C
,
dx x
ln
|
x
|
C
,
简写为
dx x
ln
x
C.
(4)
1
1 x
2
dx
arctan
x
C;
(5)
1 dx arcsin x C; 1 x2
(6) cos xdx sin x C;
f [ ( x)]( x)dx F[( x)] C [ f (u)du]u ( x) 由此可得换元法定理
定理8.4（1）设 f (u)具有原函数，u ( x)可导，
则有换元公式
f [ ( x)] ( x)dx [ f (u)du]u ( x)
第一类换元公式（凑微分法） 说明 使用此公式的关键在于将
不定积分的概念： f ( x)dx F ( x) C
基本积分表(1) 求微分与求积分的互逆关系
无理根式的不定积分
2x1 55 1 x2
1 5
.
,
例4
求积分
1 x( x 1)2dx.
解
1 x(x
1)2dx
1 x
(x
1 1)2
1 x
1
dx
1
1
1
dx x
(
x
1)2
dx
x
dx 1
ln x 1 ln x 1 C. x 1
1
例5 求积分 (1 2x)(1 x2 ) dx.
解
1
(1
2 x )(1
an bm
（1）
其中m、n都是非负整数；a0 ,a1 ,,an及 b0 ,b1 ,,bm都是实数，并且a0 0，b0 0.
假定分子与分母之间没有公因式
(1) n m, 这有理函数是真分式；
(2) n m, 这有理函数是假分式；
利用多项式除法, 假分式可以化成一个多 项式和一个真分式之和.
2u 1 u2 2
R
1
u2
,
1
u2
1
u2
du.
例8
1
dx cos
x
2
解法一：
t tg x 2
I
1
1
1
1
t2 t
t
2 2
dt
dt
t
c
tg
x 2
c
解法二： ( 用初等化简 )
I
1 2
dx cos2
x
sec2
x d( x) 22
tan
x 2
c
2
解法三： ( 用初等化简, 并凑微 )
d (cos
x)
1 4
1 sin
1 5
.
,
例4
求积分
1 x( x 1)2dx.
解
1 x(x
1)2dx
1 x
(x
1 1)2
1 x
1
dx
1
1
1
dx x
(
x
1)2
dx
x
dx 1
ln x 1 ln x 1 C. x 1
1
例5 求积分 (1 2x)(1 x2 ) dx.
解
1
(1
2 x )(1
an bm
（1）
其中m、n都是非负整数；a0 ,a1 ,,an及 b0 ,b1 ,,bm都是实数，并且a0 0，b0 0.
假定分子与分母之间没有公因式
(1) n m, 这有理函数是真分式；
(2) n m, 这有理函数是假分式；
利用多项式除法, 假分式可以化成一个多 项式和一个真分式之和.
2u 1 u2 2
R
1
u2
,
1
u2
1
u2
du.
例8
1
dx cos
x
2
解法一：
t tg x 2
I
1
1
1
1
t2 t
t
2 2
dt
dt
t
c
tg
x 2
c
解法二： ( 用初等化简 )
I
1 2
dx cos2
x
sec2
x d( x) 22
tan
x 2
c
2
解法三： ( 用初等化简, 并凑微 )
d (cos
x)
1 4
1 sin
有理函数的不定积分
4 2 3 2
例5. 求
( x 2 x 2) (2 x 2) d x 解: 原式 2 2 ( x 2 x 2)
dx d( x 2 x 2) 2 2 2 ( x 1) 1 ( x 2 x 2)
2
2
1 C arctan(x 1) 2 x 2x 2
2
2
例11. 求 解: 为去掉被积函数分母中的根式, 取根指数 2, 3 的最小公倍数 6, 令 x t , 则有 5 1 2 6 t d t 原式 3 2 6 ( t t 1 ) dt 1 t t t
6
6
2 1t 3 1 ln 1 t t t 3 2
2
例3. 求 解: 原式
x 2x 3 2 d( x 1) 1 d( x 2 x 3) 3 2 2 x 2x 3 ( x 1) 2 ( 2 ) 2 3 x 1 1 2 arctan C ln x 2 x 3 2 2 2
1 ( 2 x 2) 3 2
例2. 求 解: 已知 1 1 4 2x 1 2 2 (1 2 x)(1 x ) 5 1 2 x 1 x 1 x 2
2 d(1 2 x) 1 d(1 x ) 1 dx 原式 2 2 5 5 1 2x 5 1 x 1 x 2 1 1 2 ln 1 2 x ln (1 x ) arctan x C 5 5 5
1 Bx C A 2 (1 2 x)(1 x ) 1 2 x 1 x 2
A(1 x 2 ) ( Bx C )(1 2 x) 2 (1 2 x)(1 x ) 2 1 A(1 x ) ( Bx C)(1 2x), 1 4 1 取x 得A , 取x 0得1 A C, C , 5 5 2 2 取x 1得1 2 A 3( B C), B
例5. 求
( x 2 x 2) (2 x 2) d x 解: 原式 2 2 ( x 2 x 2)
dx d( x 2 x 2) 2 2 2 ( x 1) 1 ( x 2 x 2)
2
2
1 C arctan(x 1) 2 x 2x 2
2
2
例11. 求 解: 为去掉被积函数分母中的根式, 取根指数 2, 3 的最小公倍数 6, 令 x t , 则有 5 1 2 6 t d t 原式 3 2 6 ( t t 1 ) dt 1 t t t
6
6
2 1t 3 1 ln 1 t t t 3 2
2
例3. 求 解: 原式
x 2x 3 2 d( x 1) 1 d( x 2 x 3) 3 2 2 x 2x 3 ( x 1) 2 ( 2 ) 2 3 x 1 1 2 arctan C ln x 2 x 3 2 2 2
1 ( 2 x 2) 3 2
例2. 求 解: 已知 1 1 4 2x 1 2 2 (1 2 x)(1 x ) 5 1 2 x 1 x 1 x 2
2 d(1 2 x) 1 d(1 x ) 1 dx 原式 2 2 5 5 1 2x 5 1 x 1 x 2 1 1 2 ln 1 2 x ln (1 x ) arctan x C 5 5 5
1 Bx C A 2 (1 2 x)(1 x ) 1 2 x 1 x 2
A(1 x 2 ) ( Bx C )(1 2 x) 2 (1 2 x)(1 x ) 2 1 A(1 x ) ( Bx C)(1 2x), 1 4 1 取x 得A , 取x 0得1 A C, C , 5 5 2 2 取x 1得1 2 A 3( B C), B
《数学分析1》知识点总结：第八章-不定积分
第八章不定积分一、不定积分概念与基本积分公式1.原函数与不定积分①定义1：设函数f 与F 在区间I 上都有定义，若F’(x)=f(x),x ∈I ，则称F 为f 在区间I 上的一个原函数。
②定理8.1：若函数f 在区间I 上连续，则f 在I 上存在原函数F ，即F’(x)=f(x),x ∈I 。
·不连续的函数也可以有原函数③定理8.2：设F 是f 在区间I 上的一个原函数，则(i)F+C 也是f 在I 上的原函数，其中C 为任意常量函数；(ii)f 在I 上的任意两个原函数之间，只可能相差一个常数。
④定义2：函数f 在区间I 上的全体原函数称为f 在I 上的不定积分，记作∫f(x)dx 。
·[∫f(x)dx]’=[F(x)+C]’=f(x)；·d ∫f(x)dx=d[F(x)+C]；⑤不定积分的几何意义：积分曲线2.基本积分表①∫0dx=C ；②∫1dx=∫dx=x+C ；③)0,1(11>-≠++=⎰+x C x dx x αααα；④)0(||ln 1≠+=⎰x C x dx x ；⑤∫e x dx=e x +C ；⑥)0,1(ln >≠+=⎰a C aa dx a xx α；⑦)0(sin 1cos ≠+=⎰αC ax a axdx ；⑧)0(cos 1sin ≠+-=⎰αC ax a axdx ；⑨∫sec 2xdx=tanx+C ；⑩∫csc 2xd1=-cotx+C ；⑪∫secx ·tanxdx=secx+C ；⑫∫cscx ·cotxdx=-cscx+C ；⑬12arccos arcsin 1C x C x x dx+-=+=-⎰；⑭12cot arctan 1C x arc C x x dx +-=+=+⎰。
⑮定理8.3：若函数f 与g 在区间I 上都存在原函数，k 1，k 2为两个任意常数，则k 1f+k 2g 在I 上也存在原函数，且当k 1和k 2不同时为零时，有∫[k 1f(x)+k 2g(x)]dx=k 1∫f(x)dx +k 2∫g(x)dx二、换元积分法与分部积分法1.换元积分法①定理8.4（第一换元积分法/凑微分法）：设函数f(x)在区间I 上有定义，φ(t)在区间J 上可导，且φ(J)⊆I 。
课程自学资料51
§3 有理函数和可化为有理 函数的不定积分
有理函数的部 分分式分解
有理真分式 的递推公式
三角函数有理 式的不定积分
某些无理函数的不定积分
第十一讲
某些无理函数的 不定积分（2）
数学分析 第八章 不定积分
高等教育出版社
§3 有理函数和可化为有理 函数的不定积分
有理函数的部 分分式分解
有理真分式 的递推公式
2(t − 1),
dx
=
t2 − 2t − 3
2(t − 1)2 dt,
x
2
−
2
x
−
3
=
t2
2(t
+ −
3
1)
−
t
=
−
(t 2 − 2(t
2t −
− 1)
3).
因此
∫
x
dx x2 − 2x − 3
∫=2t(2t
− +
1) 3
⋅
−(
2(t t2 −
− 1) 2t −
3)
⋅
t
2− 2(t
2t − 3 − 1)2
2t + 2 − 1)2
dt
=∫[
2 t
−
3 2t − 1
+
(2t
3 − 1)2
]dt
数学分析 第八章 不定积分
高等教育出版社
§3 有理函数和可化为有理 函数的不定积分
有理函数的部 分分式分解
有理真分式 的递推公式
三角函数有理 式的不定积分
某些无理函数的不定积分
= 2ln t − 3 ln 2t − 1 − 3 + C
高等教育出版社
有理函数的部 分分式分解
有理真分式 的递推公式
三角函数有理 式的不定积分
某些无理函数的不定积分
第十一讲
某些无理函数的 不定积分（2）
数学分析 第八章 不定积分
高等教育出版社
§3 有理函数和可化为有理 函数的不定积分
有理函数的部 分分式分解
有理真分式 的递推公式
2(t − 1),
dx
=
t2 − 2t − 3
2(t − 1)2 dt,
x
2
−
2
x
−
3
=
t2
2(t
+ −
3
1)
−
t
=
−
(t 2 − 2(t
2t −
− 1)
3).
因此
∫
x
dx x2 − 2x − 3
∫=2t(2t
− +
1) 3
⋅
−(
2(t t2 −
− 1) 2t −
3)
⋅
t
2− 2(t
2t − 3 − 1)2
2t + 2 − 1)2
dt
=∫[
2 t
−
3 2t − 1
+
(2t
3 − 1)2
]dt
数学分析 第八章 不定积分
高等教育出版社
§3 有理函数和可化为有理 函数的不定积分
有理函数的部 分分式分解
有理真分式 的递推公式
三角函数有理 式的不定积分
某些无理函数的不定积分
= 2ln t − 3 ln 2t − 1 − 3 + C
高等教育出版社
数学分析8-383 有理函数和可化为有理函数的不定积分
作部分
分式分解.
前页 后页 返回
解 因为 Q( x) x5 x4 5x3 2x2 4x 8 ( x 2)( x 2)2( x2 x 1).
所以 R( x) A0 A1 A2 Bx C , x 2 x 2 ( x 2)2 x2 x 1
两边乘以 Q( x), 得到 2x4 x3 4x2 9x 10
上述部分分式中的待定系数 Ai , Bi , Ci .
前页 后页 返回
3. 确定待定系数的方法 把所有分式通分相加, 所得分式的分子与原分子
P(x) 应该相等. 根据两个多项式相等时同次项系数 必定相等的原则, 得到待定系数所满足的线性方程
组, 由此解出待定系数.
例1
对
R( x)
2x4 x3 4x2 9x 10 x5 x4 5x3 2x2 4x 8
2
2
dx
x
1 2
2
2
3
2
1 ln | x2 x 1 | 1 2 arctan 2x 1 C.
2
23
3
于是
I ln | x 2 | ln | x 2 | 1 1 ln | x2 x 1 | x2 2
1 arctan 2x 1 C.
3
3
前页 后页 返回
例3
Q( x) ( x a1 ) 1 ( x as ) s ( x2 p1x q1)1
s
t
其中 i , j N+ , 且 i 2 j m,
i 1
j1
( x2 pt x qt )t ,
pj2 4qj 0, j 1,2, ,t.
2. 根据分母各个因式分别写出与之相应的部分分
r 2 )k1
C.
记 Ik
第八章 不定积分
u ( x ) v ( x )d x
存在, 并有
存在, 则不定积分
u ( x ) v ( x )d x
也
u ( x ) v ( x )d x u ( x ) v ( x ) u ( x ) v ( x )d x .
简写为
udv uv vdu.
分部积分公式
定
积
分
§1 不定积分概念与基本积分公式
一 原函数与不定积分
二 基本积分表
第 八 章 不 定 积 分
第八章
不
定
积
分
§2 换元积分法与分部积分法
一 换元积分法 二 分部积分法
第 八 章 不 定 积 分
第八章
不
定
积
分
§3 有理函数和可化为有理函数的不定积分
一 有理函数的不定积分 二 三角函数有理式的不定积分 三 某些无理根式的不定积分
f (x)在[a, b]上存在原函数F(x)时, g(u)在[, ]上也 存在原函数G(u), 且G(u) F( 1(u)) C, 即
g ( u )d u
g ( ( x )) ( x )d x
1
f ( x )d x
不 F ( x ) C F (u ) C . (2) 定 第二换元积分公式 积 分 g ( ( x )) ( x )d x g ( ( x ))d ( x ) G ( x ) C . (1)
5.
e dx e C .
x x
§1 不定积分概念与基本积分公式 第 八 章 不 定 积 分
6.
a dx
x
a
x
C ( a 0, a 1).
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2
2
其中 i , j N + , 且
2 i 2 j m , p j 4q j 0, j 1,2,, t .
i 1 j 1
s
t
命题2 如果多项式Q ( x )能分解为(1)式, 则 P( x ) 有理真分式 能唯一地分解为下列部分分式之和 Q( x)
例3 求下列不定积分
x3 1 (1) 2 dx (2) 3 dx 2 x 5x 6 x 2x x 1 x (3) 3 dx (4) 3 dx 2 2x x 2x 1 x 1 x3 5 6 x3 解 (1) , 2 x 2 x 3 x 5 x 6 ( x 2)( x 3)
p Lp p2 (令t x , M N, q r2) 2 2 4
Lx M t 1 (7 ) 2 dx L 2 2 n dt N 2 2 n dt n (t r ) (t r ) ( x px q)
x 1 1 1 (3) 2 dx 2 d ( x 2 a 2 ) ln( x 2 a 2 ) C. x a2 2 x a2 2 x 1 1 1 2 2 n 2 2 2 2 (4) 2 dx 2 d (x a ) (x a ) d (x a ) ( x a 2 )n 2 2 ( x a 2 )n
例1.求下列不定积分
1 (1) dx n ( x a)
(5) 1 I2 2 dx 2 2 (x a ) I3 1 dx 2 2 3 (x a )
( 2)
1 dx 2 2 x a x dx 2 2 x a
(3)
In
1 dx 2 2 n (x a )
把所有部分分式加起来,使之等于 R(x)
x3 A B x3 例2 (1) 2 , x 5 x 6 ( x 2)( x 3) x 2 x 3
1 A B C 1 (2) 3 2 2 x x 1 ( x 1) 2 , x 2x x x ( x 1 ) 1 1 A Bx C (3) 3 2 , 2 2 2 x x 2 x 1 (2 x 1)( x 1) 2 x 1 x 1 x x A Bx C (4) 3 2 , 2 x 1 ( x 1)( x x 1) x 1 x x 1
将有理真分式函数 R( x )
第二步:根据上述分解式的各个因子,写出对应的部分分式. k 对应 ( x a ) 的部分分式为: Ak A1 A2 2 x a ( x a) ( x a )k ( x 2 px q )k的部分分式为: 对应 Bk x C k B1 x C1 B2 x C 2 2 2 2 2 x px q ( x px q ) ( x px q )k 第三步: 通过比较同幂项的系数,或代入特殊值的方式, 确定以上待定系数.
k 对应 ( x a ) 的部分分式为: Ak A1 A2 x a ( x a )2 ( x a )k ( x 2 px q )k的部分分式为: 对应 Bk x C k B1 x C1 B2 x C 2 2 2 2 2 x px q ( x px q ) ( x px q )k
1 1 1 1 1 (2) 3 2 2 x x 1 ( x 1) 2 , x 2x x x ( x 1 )
k 1 时,
t 1 dt ln( t 2 r 2 ) C , t2 r2 2 dt 1 t t 2 r 2 r arctan r C .
k 2 时,
t 1 d( t 2 r 2 ) 1 (t 2 r 2 )k dt 2 (t 2 r 2 )k 2(1 k )(t 2 r 2 )k 1 C . dt 记 Ik 2 ,则 2 k (t r ) t 2k 3 Ik 2 2 I k 1 , 2 2 k 1 2r ( k 1)( t r ) 2r ( k 1)
§8.3 有理函数和可化为有理函 数的不定积分
一、有理函数的不定积分
二、三角函数有理式的不定积分
三、某些无理根式的不定积分
一、有理函数的不定积分
1.有理函数的定义： 有理函数是指两个多项式函数的商表示的 函数.一般形式为 P( x) 0 x n 1 x n 1 n 1 x n R( x) Q( x) 0 x m 1 x m 1 m 1 x m
1 1 1 1 1 2 2 n 1 2 C. (x a ) C 2 n 1 2 1 n (x a ) 2 1 n
(5) 一般地,设
1 In 2 dx 2 n (x a )
则
其中
x 2n 3 In ( x) 2 2 I n1 , 2 2 n 1 2a ( n 1)( x a ) 2a ( n 1)
x ( 4) 2 dx 2 n (x a )
2x p (6) 2 dx n ( x px q)
Lx M (7 ) 2 dx( p 2 4q 0) ( x px q) n
ln | x a | C , dx (i) 1 k ( x a) (1 k )( x a )k 1 C ,
(5) 1 I1 1 x I2 2 dx 2 . 2 2 2 2 (x a ) a 2( x a ) 2 1 x 3I 2 I3 2 dx 1 2 3 2 2 2 2 (x a ) a 4( x a ) 4
x x A Bx C (4) 3 2 , 2 x 1 ( x 1)( x x 1) x 1 x x 1
1 1 1 x 1 2 , 3 x 1 3 x x 1
P( x) 分解为部分分式的步骤: Q( x ) 第一步: 将 Q( x ) 在实数系内作标准分解: Q( x ) ( x a1 )1 ( x as )s ( x 2 p1 x q1 ) 1 ( x 2 pt x qt ) t
(5) I2 I3 1 dx 2 2 2 (x a ) 1 dx 2 2 3 (x a )
( 2)
1 dx 2 2 x a x dx 2 2 x a
(3)
1 In 2 dx 2 n (x a )
x ( 4) 2 dx 2 n (x a )
1 1 1 1 x 1 1 x dx d ( ) arctan C (2) 2 dx 2 2 x 2 x 2 a a 1 ( ) a 1 ( ) x a a a a a 1 1 x I1 2 dx arctan C 2 x a a a
(1) n m , 则称它是真分式； ( 2) n m , 则称它是假分式；
利用多项式除法, 假分式可以化成一个 多项式和一个真分式之和. 假分式＝多项式＋真分式 由于多项式的不定积分容易求出;
只需研究真分式的不定积分.
2.简单有理函数的不定积分 例1.求下列不定积分
1 (1) dx n ( x a)
k 1, k 1.
p 2 p2 pL (ii) 令 t x , r q ,NM ,则 2 4 2 Lx M Lt N ( x 2 px q )k dx (t 2 r 2 )k dt
t dt L 2 dt N 2 . 2 k 2 k (t r ) (t r )
I1
1 1 x dx arctan C x2 a2 a a
3.有理函数的不定积分 n n 1 P( x) 0 x 1 x n 1 x n R( x) m m 1 Q( x) 0 x 1 x m 1 x m
1 A B 1 (2) 3 , 2 2 2 x 2 x x x ( x 1 ) x x 1 ( x 1)
5 6 , x 2 x 3 C
1 1 1 , 2 x x 1 ( x 1)
x 1 1 A Bx C (3) 3 2 , 5 52 5 , 2 2 2 x x 2 x 1 (2 x 1)( x 1) 2 x 1 x 1 2 x 1 x 1 4 2 1
根据代数知识,有:
命题1 每个实系数多项式Q ( x )都可以唯一地
分解为( x a )与( x 2 px q)类型的实因式, 其中 ( x px q)不能再分解为实因式即 .
2
Q ( x ) ( x a1 ) 1 ( x a s ) s ( x p1 x q1 ) 1 ( x pt x qt ) t , ( 0 1)
确定待定系数的方法 把所有分式通分相加,所得分式的分母即为Q(x)，
所得分式的分子与原分子P(x)必定相等。于是，根
据同幂项系数必定相等，得一线性方程组。解线
性方程组即求得系数值。
x3 例2 (1) 2 x 5x 6
x3 ( x 2)( x 3)
A B , x2 x3
2x p (6) 2 dx n ( x px q)
Lx M (7 ) 2 dx( p 2 4q 0) ( x px q) n
Lx M Lt N dx 2 2 n dt 解： (7) 2 n (t r ) ( x px q)
t 1 L 2 2 n dt N 2 2 n dt (t r ) (t r )
其中 m 、 n都是非负整数； 0 , 1 ,, n 及 0 , 1 ,, m 都是常数，并且 0 0 ， 0 0 .