《复变函数与积分变换》第三版答案.华中科技大学数学
复变函数与积分变换答案(马柏林、李丹横、晏华辉)修订版,习题2
y
v ex ( y cos y x sin y) ex (sin y) ex ( y cos y x sin y sin y) x
v ex (cos y y( sin y ) x cos y) ex (cos y y sin y x cos y ) y
所以 u
v ,
u
v
xy
y
x
所以 f( z)处处可导，处处解析 .
v
xy
y
x
所以 v xv,v源自xyv ,即 u u v v 0
y
xyxy
从而 v 为常数， u 为常数，即 f(z)为常数 .
(3) Ref (z)=常数 .
证明：因为 Ref(z)为常数，即 u=C1, u x
u0 y
因为 f( z)解析， C-R 条件成立。故 u x
u 0 即 u=C2 y
从而 f( z)为常数 .
而 lim u x, y x, y 0,0
x 3 y3
lim
x, y 0,0
x2
y2
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7
—
∵
x3 x2
y3 y2
xy x y 1 x2 y2
∴ 0≤
x3 x2
y3 3 y2 ≤ 2 x
y
x3 y3
∴
lim
x, y 0,0
x2
y2
0
同理
x3
lim
x, y 0,0
x2
y3 y2
0
∴ lim f z 0 f 0 x, y 0,0
证明：因为 f ( z) 0 ，所以 u x
u 0, v
y
x
v 0.
y
所以 u,v 为常数，于是 f(z)为常数 .
《复变函数与积分变换(刘建亚)》作业答案
15、求解下列方程： (2)
ez 1 0
z
解： e
1 ，于是
z Ln(1) ln1 i arg(1) 2k i=(2k 1) i, k Z
18、求 Ln(i) ， Ln( 3 4i) 的值及主值．
i i arg(i) 2k i i 2k i ，所以其主值为 i ； 2 2 4 所以其主值 Ln(3 4i) ln 3 4i i arg(3 4i) 2k i ln 5 i( arctan ) 2k i ， 3 4 为 ln 5 i( arctan ) ． 3
9 9 isin i ； 6 6
11 11 3 1 i sin i． 6 6 2 2
习题 2： 3、下列函数在何处可导？何处解析？在可导点求出其导数． (2) (6)
f ( z ) x 2 iy ；
(4)
f ( z ) sin xchy i cos xshy
(2)
2
e
2Ln( 2)
e
2 ln 2 (2 k 1) 2 i
2
2
cos (2k 1)
2 isin (2k 1) 2
；
1i eiLn1 ei(2 k i) e2 k ；
i e
iБайду номын сангаас
iLni
e
i i 2 k i 2
f ( z)
az b 。 cz d
x 2 ， v( x, y) y ，
解：(2) 因为 u ( x, y )
u x 2 x ， u y 0 ， vx 0 ， v y 1 ．
复变函数与积分变换试卷(答案)
一、填空题(每题3分，共30分)1. 设i z -=,则=)arg(z 2π-；2.i z -=1的指数式为i e 42π-；3. 设c 为沿原点0=z 到点i z +=1的直线段，则=⎰c zdz i__ ； 4.函数iay x z f +=2)(在复平面内处处解析，那么实常=a ___2__；5. 幂级数∑∞=02n n n z 的收敛半径=R 21；6. 函数)1(1)(z z z f -=在圆环10<<z 内的洛朗展开式为...1132+++++z z z z ； 7. 积分=⎰=dz z z 1||tan __0______；8. i z -=是函数222)1()(+=z z z f 2 级极点； 9、221)(2++=s s s F 的拉普拉斯逆变换是t e e e t t i t i cos 2)1()1(---+-+或 ； 10.单位脉冲函数)3(-t δ的傅氏变换=-⎰+∞∞--dt e t t j ωδ)3(jw e 3-； 二、（本题12分）1、求21的所有值 解：1221Ln e =……………………………………………………………………..2分=)]21(arg 1[ln 2πk i e ++ （2,1,0±±=k ）…………………………… .…….2分 =)22sin()22cos(ππk i k + （2,1,0±±=k ）……………………2分2、解方程0cos =z 解：02cos =+=-iziz e e z …………………………………………………1分 即0=+-iz iz e e ，即12-=iz e设iy x z +=，则有)1(1122-⨯=-=+-xi y e所以 ππn x e y 22,12+==- (...2,1,0±±=n ) ……………….. 3分 所以有：ππn x y +==2,0 (...2,1,0±±=n ) 即ππn z +=2 (...2,1,0±±=n ) …………………2分三、. 将函数22)(ze zf z-=在圆环10<<z 内展开为洛朗级数。
复变函数与积分变换泰勒展开式与洛朗展开式
复变函数与积分变换泰勒展开式与洛朗展开式复变函数是指复数域上的函数，其自变量和因变量都是复数。
复变函数理论是数学中的一个重要分支，应用广泛。
在物理、工程、经济学以及计算机科学等领域，复变函数都发挥着重要的作用。
复变函数的泰勒展开式和洛朗展开式是两种常见的展开方法，用于将复变函数表示为幂级数或者简单函数的和。
泰勒展开式适用于函数在某个点附近解析的情况，而洛朗展开式适用于函数在某个环域上解析的情况。
泰勒展开式是将函数在某个点处展开成幂级数的形式。
设函数f(z)在z=a处解析，则f(z)可以表示为：f(z) = f(a) + f'(a)(z-a) + f''(a)(z-a)^2 + ...其中，f'(a)表示f(z)在z=a处的导数，f''(a)表示f'(z)在z=a 处的导数，以此类推。
泰勒展开式表明，在某个点处，函数可以用无穷级数的形式表示，通过计算有限项的幂级数，可以近似得到函数在该点附近的值。
洛朗展开式是将函数在某个环域上展开成幂级数和简单函数的形式。
设函数f(z)在环域R: r<|z-a|<R中解析，则f(z)可以表示为：f(z) = ∑ (A_n / (z-a)^n) + ∑ (B_n (z-a)^n)其中，第一项是负幂次项的幂级数，第二项是正幂次项的幂级数，A_n和B_n是系数。
洛朗展开式表明，在某个环域上，函数可以用无穷级数的形式表示，通过计算有限项的幂级数和简单函数的和，可以近似得到函数的值。
泰勒展开式和洛朗展开式对于研究函数的性质和计算函数的值都有重要的指导意义。
通过泰勒展开式和洛朗展开式，我们可以对复变函数进行近似计算，从而简化问题的求解过程。
此外，这两种展开方法也为我们提供了一种描述函数行为的方式，让我们能够更好地理解函数的性质，从而更好地应用于实际问题中。
总之，复变函数的泰勒展开式和洛朗展开式是复变函数理论中重要的工具。
复变函数与积分变换课后习题答案详解
复变函数与积分变换（修订版）主编：马柏林（复旦大学出版社）——课后习题答案习题一1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数π/43513;;(2)(43);711i i e i i i i i-++++++.①解i 4πππe cos isin 44-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ②解： ()()()()35i 17i 35i 1613i7i 11+7i 17i 2525+-+==-++-③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解： ()31i 1335=i i i 1i 222-+-+=-+2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy )(z a a z a -∈+); 333;;;.n z i ① ：∵设z =x +iy则()()()()()()()22i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y-++-⎡⎤⎡⎤+--+-⎣⎦⎣⎦===+++++++ ∴()22222Re z a x a y z a x a y ---⎛⎫= ⎪+⎝⎭++,()222Im z a xy z a x a y-⎛⎫= ⎪+⎝⎭++． ②解： 设z =x +iy ∵()()()()()()()()323222222223223i i i 2i i 22i33iz x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++⎡⎤=--+-+⎣⎦=-+- ∴()332Re 3z x xy =-,()323Im 3z x y y =-．③解：∵(()(){}33232111313188-+⎡⎤⎡⎤==--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭()180i 18=+=∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭． ④解：∵()()(()2332313131i 8⎡⎤--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎣⎦=⎝⎭()180i 18=+=∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭． ⑤解： ∵()()1,2i 211i,kn kn k k n k ⎧-=⎪=∈⎨=+-⋅⎪⎩．∴当2n k =时，()()Re i 1k n =-，()Im i 0n =；当21n k =+时，()Re i 0n =，()()Im i 1kn =-．3.求下列复数的模和共轭复数12;3;(2)(32);.2ii i i +-+-++①解：2i -+=2i 2i -+=--②解：33-=33-=-③解：()()2i 32i 2i 32i ++=++=()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i ++=+⋅+=-⋅-=-④解：1i 1i 22++==()1i 11i222i ++-⎛⎫== ⎪⎝⎭4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数．证明：若z z =，设i z x y =+，则有 i i x y x y +=-，从而有()2i 0y =，即y =0 ∴z =x 为实数．若z =x ，x ∈ ，则z x x ==． ∴z z =．命题成立．5、设z ,w ∈ ，证明： z w z w ++≤证明∵()()()()2z w z w z w z w z w +=+⋅+=++()()22222Re z z z w w z w wz zw z w w z wz w =⋅+⋅+⋅+⋅=++⋅+=++⋅()2222222z w z wz w z w z w ++⋅=++⋅=+≤∴z wz w ++≤．6、设z ,w ∈ ，证明下列不等式． ()2222Re z w z z w w +=+⋅+ ()2222Re z w z z w w -=-⋅+()22222z w z w z w++-=+并给出最后一个等式的几何解释．证明：()2222Re z w z z w w +=+⋅+在上面第五题的证明已经证明了．下面证()2222Re z w z z w w -=-⋅+．∵()()()()222z w z w z w z w z w z z w w z w-=-⋅-=--=-⋅-⋅+()222Re z z w w =-⋅+．从而得证．∴()22222z w z w z w++-=+几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和．7.将下列复数表示为指数形式或三角形式3352π2π;;1;8π(1);.cos sin 7199i i i i +⎛⎫--+ ⎪+⎝⎭ ①解：()()()()35i 17i 35i 7i 117i 17i +-+=++-3816i 198i e 5025i θ⋅--===其中8πarctan 19θ=-． ②解：e i i θ⋅=其中π2θ=．π2e ii =③解：ππi i 1e e -==④解：()28π116ππ3θ-==-.∴()2πi 38π116πe--+=⋅⑤解：32π2πcos isin 99⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 解：∵32π2πcos isin 199⎛⎫+= ⎪⎝⎭．∴322πi π.3i 932π2πcos isin 1e e 99⋅⎛⎫+=⋅= ⎪⎝⎭8.计算：(1)i 的三次根；(2)-1的三次根；(3)的平方根.⑴i 的三次根． 解：()13ππ2π2πππ22cos sin cosisin 0,1,22233++⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭k k i k∴1ππ1cosisin i 662=+=+z ．2551cos πisin πi 662=+=+z3991cos πisin πi 662=+=-z⑵-1的三次根 解：()()132π+π2ππcos πisin πcosisin 0,1,233k k k ++=+=∴1ππ1cos isin 332=+=z35513cos πisin πi 3322=+=--z⑶33i +的平方根．解： πi 42233i=6i 6e 22⎛⎫+⋅+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭∴()()1π12i 44ππ2π2π4433i 6e6cos isin 0,122k k k ⎛⎫++ ⎪+=⋅=⋅+= ⎪⎝⎭∴π11i 8441ππ6cos isin 6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z911πi 8442996cos πisin π6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z ．9.设2πe,2inz n =≥. 证明：110n z z -+++=证明：∵2πi e nz ⋅= ∴1n z =，即10n z -=．∴()()1110n z z z --+++=又∵n ≥2． ∴z ≠1从而211+0n z z z -+++=11.设Γ是圆周{:},0,e .i z r r a c r z c α=>=+-令:Im 0z a L z b β⎧-⎫⎛⎫==⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭, 其中e i b β=.求出L β在a 切于圆周Γ的关于β的充分必要条件.解：如图所示．因为L β={z : Im z a b -⎛⎫⎪⎝⎭=0}表示通过点a 且方向与b 同向的直线，要使得直线在a 处与圆相切，则CA ⊥L β．过C 作直线平行L β，则有∠BCD =β，∠ACB =90° 故α-β=90°所以L β在α处切于圆周T 的关于β的充要条件是α-β=90°．12.指出下列各式中点z 所确定的平面图形，并作出草图.(1)arg π;(2);1(3)1|2;(4)Re Im ;(5)Im 1 2.z z z z i z z z z ==-<+<>><且解：(1)、argz =π．表示负实轴．(2)、|z -1|=|z |．表示直线z =12．(3)、1<|z +i|<2 解：表示以-i 为圆心，以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。
复变函数与积分变换2014-2015_1_A_参考答案
+
4
，求其
Laplace
逆变换
L−1
[
F
(s)]。
解：由 ，因此 F
(s)
=
(s
(s +1) + 2 +1)[(s +1)2 +
3]
2
L−1
[
F
(
s)]
=
e−t
⋅
L−1
s s(s
+2 2 + 3)
=
e−t
⋅
L−1
2 3
⋅
1 s
+
1 3
s2
3 +
3
−
2⋅ 3
s2
s +
3
= e−t [2 + 3 sin( 3t) − 2 cos( 3t)] 3
=
z −2 1⋅1−
1
1 z −1
=
∞
2
n=0
(z −1)−n−1
=
−1
2 (z −1)n
n=−∞
因此， 。 ∑ f
(z)
=
z
1 −1
+
−2
2
n=−∞
(
z
−1)n
六、〖12 分〗利用 Laplace 变换求解微分初值问题：
。
y′′′ + y′′(0)
6 y′′ + 12 y′ + 8y = t = y′(0) = 0, y(0) = 1
点，记 。于是， 。因此，实 z0 = 2
R = min{ z1 − z0 , z2 − z0 , zy − z0 | y >1} = 5
复变函数与积分变换试题及答案9
∂u ∂v =x= ∂x ∂y
∴ u = xy + g ( x )
∂v ∂u =y= ∂y ∂x
∴ u = xy + c （3 分）
∴ u = xy + g ′( x )
∵ f (0) = u (0,0) + iv (0,0) = c = 0 ∴ f ( z ) = (−
（2 分）
x2 1 2 i + y )i + xy = − z 2 2 2 2
v = 3x 2 y − y 3
∂u ∂u ∂u ∂u = 3x 2 − 3 y 2 = ， = −6 xy = − 且四个偏导连续 ∂x ∂y ∂y ∂x
∴f(z)在整个复平面上解析 ∴ f ′( z ) = 3x − 3 y + i 6 xy = 3 z
2 2
2
(4 分) （3 分）
2．解：∵ −
原式（4 分）= 2πi
∑ Re s ⎢ z ( z − i)
k =1
2
⎡ ⎣
1
3
⎤ , zk ⎥ ⎦
z1 = 0, z 2 = i
（3 分）= 2πi⎜ +
⎛1 ⎝i
1 2⎞ ⋅ ⎟ =0 2! i 3 ⎠
7
4．解：∵
1 1 1 = = z i + z −i z −i
1 1+ i z −i
=
1 ∞ 1 (−i) n ∑ z − i m=0 ( z − i) n
4．解： s 3 F ( s ) + 3s 2 F ( s ) + F ( s ) =
1 s
（4 分）
F (S ) =
1 1 1 1 = = ⋅ 2 3 s( s + 3s + 3s + 1) s ( s + 1) s ( s + 1) 3
复变函数与积分变换复习重点总结
复变函数与积分变换复习重点总结一、复变函数基本概念1.复数的定义与运算规则。
复数由实部和虚部构成，在复平面上表示为点，加减乘除等运算遵循分配律。
2.复平面及相关概念。
复平面是复数集合在直角坐标系上的表示，实部和虚部在坐标轴上的投影分别对应x轴和y轴，共轭复数、模、幅角等概念。
3.复变函数的定义与性质。
复变函数表示为z的其中一种函数，具有实变量函数的性质，例如连续性、可微性等。
二、整函数1.整函数的定义与性质。
整函数指复变函数在全复平面都解析，可以用无穷级数表示为幂级数形式。
2.全纯函数与调和函数。
全纯函数是整函数的一种特殊情况，对应于实变量函数的解析函数，调和函数满足拉普拉斯方程。
3.零点与奇点。
零点是整函数取值为0的点，奇点是整函数在一些点上无定义或有定义但不解析的点。
4.极限定理与唯一性定理。
解析函数具有一致性和唯一性，即零点有稠密性，且相同函数在相同域上必然一致。
三、留数定理1.留数的概念与计算方法。
留数是复变函数在奇点处的残余，可以通过留数公式计算得到，留数与曲线积分的关系。
2. 留数定理与积分公式。
留数定理为计算曲线闭合积分提供了便捷的方法，包括留数定理、Cauchy积分公式、Cauchy积分定理等。
3.洛朗展开与留数计算。
洛朗展开将复变函数表示为一部分主要项和无穷级数项的形式，通过计算主要项的留数可以快速得到积分结果。
四、解析函数与幂级数展开1.解析函数的定义与性质。
解析函数是在一些域上解析的复变函数，具有在其定义域上处处可微的特点，可以表示为幂级数形式。
2.幂级数展开与泰勒级数。
将解析函数表示为幂级数展开的形式，其中泰勒级数是幂级数的一种特殊情况，可以用于近似计算。
3.余项估计与收敛半径。
余项估计用于估计幂级数展开的误差范围，收敛半径表示幂级数展开的有效范围。
4.解析函数的四则运算与复合函数。
解析函数具有基本的四则运算和复合运算规则，可通过幂级数展开来计算。
五、积分变换1.积分变换的基本概念与性质。
复变函数与积分变换 高宗升 滕岩梅 习题4部分课后题答案
复变函数与积分变换 高宗升 滕岩梅 习题4 部分课后题答案9题：（1）因为0z 是函数)(z f 的m 级零点，则有0)(0)1(=-z f m ，而0)(0)(≠z f m 。
因为0z 是)(z g 的n 级零点，则0)(0)1(=-z g n 而0)(0)(≠z g n 。
令l=min(m,n)，故有0)()())()((0)1(0)1()1(0=+=+--=-z g z f z g z f l l z z l 而0)()())()((0)(0)()(0≠+=+=z g z f z g z f l l z z l 故0z 是)()(z g z f +的min(m,n)级零点。
（2）因为0z 是函数)(z f 的m 级零点，是)(z g 的n 级零点。
故有0z 是)(1z f 的m 级极点，是)(1z g 的n 级极点。
故有m z z z z f )()()(10-=ϕ，n z z z z g )()()(10-=φ故有nm z z z z z g z f +-=)()()()()(10φϕ故0z 是)()(z g z f 的m+n 级零点。
（3）如上所述n m z z z z z f z g --=)()()()()(0ϕφ故当m>n 时0z 是)()(z g z f 的m-n 级零点。
12题。
反证法。
假设有无穷多个根。
令A z f z g -=)()(，则其有无穷多个零点。
故可以找到这样的数列{}n Z 是闭曲线内的点，且其在曲线内部有聚点，0)(=n z g ，由定理4.13知，在此曲线内部有0)(≡z g ，故A z f ≡)(，与题中)(z f 不为常数相矛盾。
故假设不成立。
13题 由于函数)(z f 在复平面上处处解析，故可以在00=z 处展成泰勒级数，则∑∞==0)(k k k za z f ，故∑∑∞=∞=≤==00)(k n k k k k k z M z a z a z f 故k n k z M a -≤，故当∞→z ，n k >时，有k a =0，故a k =0所以∑==nk k k z a z f 0)(是次数不高于n 的多项式或一个常数。
复变函数与积分变换
复变函数与积分变换复变函数(ComplexFunction)和积分变换(IntegralTransformation)是几何学、代数学、微积分学和数学物理学中常用的数学工具，它们通常用于分析几何图形和几何曲线，以及解决理论物理学方面的问题。
复变函数(Complex Function)指定义在复平面上的函数，它是根据一个指定的规则或者函数来构造那些在复平面上以曲线状表示的函数。
它们可以用于解决许多数学问题，包括求解几何图形的图形和椭圆的几何方程，以及求解数学物理学中的问题。
积分变换(Integral Transformation)是指应用积分原理对一个函数来变换的过程，它可以用来解决许多物理、几何或数学问题。
它可以将不定积分变换成定积分，或者将微分方程变换成可求的定积分。
积分变换的应用涉及不同的领域，如波动理论、热力学、质子-原子碰撞、财务学等。
复变函数和积分变换之间有着密切的联系，它们可以相互作用，从而解决结构更加复杂的问题。
举例来说，在数学物理学中，用复变函数分析几何图形和几何曲线，可以用积分变换将微分方程变换为可求的定积分。
复变函数和积分变换是多学科领域中常用的数学工具，它们可以极大地提高计算效率，减少人工参与，提高计算的准确度。
它们的应用越来越广泛，在解决复杂的几何、代数学和物理学问题上有着不可替代的作用。
因此，复变函数和积分变换的研究是一个非常重要的话题，有关研究论文将会对科学、工程技术和学科研究有着重要的意义。
研究可以围绕着复变函数和积分变换之间的联系、复变函数在几何图形和几何曲线分析中的作用以及积分变换在物理学和数学物理学中的应用等，继续深入地进行研究和探索。
综上所述，复变函数和积分变换是几何学、代数学、微积分学和数学物理学中重要的数学工具，它们对科学、工程技术和学术研究有着重要的意义，继续深入地研究和探索将会带来更多的新发现。