高等数学等价无穷小的几个常用公式
等价无穷小替换_极限的计算
无穷小 极限的简单计算一、无穷小与无穷大1.定义前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数()x f 的极限、0x x →（+→0x x 、-→0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。
下面我们用→x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即＊{}-+→→→-∞→+∞→∞→∞→∈000x x x x x x x x x n定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊。
例如, ,0sin lim 0=→x x .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x,01lim=∞→x x .1时的无穷小是当函数∞→∴x x,0)1(lim =-∞→nn n .})1({时的无穷小是当数列∞→-∴n n n【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。
定义： 当在给定的→x ＊下，()x f 无限增大，则称()x f 是→x ＊下的无穷大，即()∞=→x f x ＊lim 。
显然，∞→n 时， 、、、32n n n 都是无穷大量，【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。
无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如0l i m =-∞→x x e ， +∞=+∞→xx e lim ，所以xe 当-∞→x 时为无穷小，当+∞→x 时为无穷大。
2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果()x f 为无穷大，则()x f 1为无穷小；反之，如果()x f 为无穷小，且()0≠x f ，则()x f 1为无穷大。
小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。
3.无穷小与函数极限的关系: 定理 1 0lim ()()(),x x x f x A f x A x α®=?+其中)(x α是自变量在同一变化过程0x x →（或∞→x ）中的无穷小.证：（必要性）设0lim (),x x f x A ®=令()(),x f x A α=-则有0lim ()0,x x x α®=).()(x A x f α+=∴（充分性）设()(),f x A x α=+其中()x α是当0x x ®时的无穷小，则lim ()lim(())x x xx f x A x α =+ )(lim 0x A x x α→+= .A =【意义】（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);（2）0()(),().f x x f x A x α»给出了函数在附近的近似表达式误差为 3.无穷小的运算性质定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.是无穷小，时例如nn 1,,∞→ .11不是无穷小之和为个但n n 定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 如：01)1(lim =-∞→n nn ，01sin lim 0=→xx x ，0sin 1lim =∞→x x x推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.二、无穷小的比较例如，2210,,,sin ,sinx x x x x x®当时都是无穷小，观察各极限： xx x 3lim 20→,0=;32要快得多比x x xxx sin lim0→,1=;sin 大致相同与x x2201sinlimx x x x →x x 1sin lim 0→=.不存在不可比. 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.1．定义: 设,αβ是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且0.α¹(1)lim0,,();o ββαβαα==如果就说是比高阶的无穷小记作 ;),0(lim )2(是同阶的无穷小与就说如果αβαβ≠=C Clim 1,~;ββααβα=特殊地如果则称与是等价的无穷小，记作(3)lim(0,0),.kC C k k ββαα=?如果就说是的阶的无穷小例1 .tan 4,0:3的四阶无穷小为时当证明x x x x →证：430tan 4lim x x x x →30)tan (lim 4xx x →=,4=.tan 4,03的四阶无穷小为时故当x x x x → 例2 .sin tan ,0的阶数关于求时当x x x x -→ 解30sin tan limx x x x -→ )cos 1tan (lim 20x x x x x -⋅=→,21=.sin tan 的三阶无穷小为x x x -∴ 2．常用等价无穷小:,0时当→x（1）x sin ～x ； （2）x arcsin ～x ； （3）x tan ～x ； （4）x arctan ～x ； （5）)1ln(x +～x ； （6）1-xe ～x（7）x cos 1-～22x （8）1)1(-+μx ～x μ （9）1xa -～ln a x *用等价无穷小可给出函数的近似表达式:,1lim=αβ ,0lim =-∴αβα),(αβαo =-即).(αβαo +=于是有 例如),(sin x o x x +=).(211cos 22x o x x +-= 3．等价无穷小替换定理：.lim lim ,lim ~,~αβαβαβββαα''=''''则存在且设 证：αβlim)lim(αααβββ'⋅''⋅'=αααβββ'⋅''⋅'=lim lim lim .lim αβ''=例3 （1）.cos 12tan lim20xx x -→求； （2）1cos 1lim20--→x e x x 解: （1）.2~2tan ,21~cos 1,02x x x x x -→时当 故原极限202(2)lim 12x x x ®== 8（2）原极限=2lim 220xx x -→=21- 例4 .2sin sin tan lim30xxx x -→求错解: .~sin ,~tan ,0x x x x x 时当→30)2(limx xx x -=→原式=0正解: ,0时当→x ,2~2sin x x )cos 1(tan sin tan x x x x -=-,21~3x 故原极限33012lim (2)x xx ®=.161=【注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换，只有因子乘积形式才可以进行等价无穷小替换。
高等数学无穷小的比较
1 x
不存在.
不可比.
极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不 同.
定义:设,是同一过程中的两个无穷小,且 0.
(1) 如果lim 0,就说是比高阶的无穷小,
记作 o();
(2) 如果 lim C(C 0), 就说与是同阶的无穷小;
特殊地 如果lim 1,则称与是等价的无穷小;
2
e x 1 ~ x, 1 cos x ~ 1 x2 . 2
n 1 x 1~ 1 x n
(1 x) 1 ~ x
注 1. 上述10个等价无穷小（包括反、对、幂、
指、三）必须熟练掌握
2.将x换成f ( x) 0都成立
用等价无穷小可给出函数的近似表达式:
lim 1, lim 0, 即 o(),
记作 ~ ;
(3) 如果lim C(C 0,k 0),就说是的k阶的 k
无穷小.
例1 证明:当x 0时,4x tan3 x为x的四阶无穷小.
解
4x tan3
lim
x0
x4xBiblioteka tan 4 lim(x0 x
x)3
4,
故当x 0时,4x tan 3 x为x的四阶无穷小.
例2 当x 0时,求tan x sin x关于x的阶数.
x
(sin x
x
x
cos
1 x
)
1 2
例7. 证明: 当
时,
～
证:
an bn (a b) (an1 an2b bn1)
～
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例8
求 lim ( x1
x 1)(3 x 1)(n x 1) ( x 1)n1
解 令u x 1 则x 1 u
考研数学二公式高数线代(整理)技巧归纳(精选.)
高等数学公式一、常用的等价无穷小当x →0时x x x x x （1+x ） ~-11x a(1+x )α-1 ~ αx (α为任意实数，不一定是整数)1x ~21x 2增加x x ~61x 3 对应 x –x ~ 61x 3x –x ~ 31x 3 对应 x - x ~ 31x 3二、利用泰勒公式= 1 + x + +！22x o （2x ） ） （33 o !3sin x x x x +-=x 1 – +！22x o （2x ） （1+x ）=x – +22x o （2x ）导数公式： 基本积分表：三角函数的有理式积分：ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x Cx dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， 一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x xxx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x·和差角公式： ·和差化积公式：·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（）公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(μμμαααααααααα23333133cos 3cos 43cos sin 4sin 33sin tg tg tg tg --=-=-=αααααααααααααα222222122212sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin tg tg tg ctg ctg ctg -=-=-=-=-==)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑ΛΛΛ中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
等价无穷小在考研数学中的应用
等价无穷小在考研数学中的应用极限问题是整个微积分学的基础，是高等数学基础概念与核心内容之一。
在考研数学中，极限问题的分值大约是4～10分，而高数在考研数学的分值大约是84分，因此极限问题是不容忽视的一部分。
通常，大家是利用一阶等价无穷小解极限问题，然而，等价无穷小并不只有一阶无穷小，如何获取更多的等价无穷小并应用到实例中是大家更想知道的。
本文在第二部分给出了由泰勒公式得到的常见的高阶无穷小及实例，并对此问题作了进一步说明，希望对大家有所帮助。
一、常见的等价无穷小当x→0时，有灵活地使用这些等价无穷小，我们可以快速地求解极限问题。
例1 (2016)已知函数f(x)满足则解：因为所以利用以上等价无穷小，可以处理一些相对简单的极限问题，就而言，直接做就会出错。
一些书说加减不能用等价无穷小，只有乘除可以使用等价无穷小，这句话是正确的。
若可以找到分子部分整体的等价无穷小，则这个问题就会转变为乘除问题，就可以直接计算。
下面本文将在第二部分给出高阶等价无穷小，可以运用它使一些加减式的问题转化为乘除式的。
二、泰勒公式及高阶等价无穷小(一) 泰勒公式在各种试题中常用到以下泰勒公式。
(二) 高阶等价无穷小通过移项可以把泰勒公式转化为任意阶的等价无穷小。
如下：当x→0时，有下面我们将运用这些高阶等价无穷小解历年真题。
例2设函数f(x)=x+a ln(1+x)+bx sin x，g(x)=c=kx3。
若f(x)与g(x)在x→0时是等价无穷小，求a，b，k的值。
解：(法一)因为则由得所以有(法二)由已知可得：由可得所以代入a，b，得通过上面的例题及解法我们可以看出，高阶等价无穷小运算量较小，且计算方便；而其他的方法较为复杂，计算量较大。
三、总结等价无穷小在求解极限问题时有着广泛的应用，但要选择恰当的方法进行求解。
本文着重介绍了由泰勒公式获取的高阶等价无穷小并运用它解决了一些相对复杂的极限问题。
那么，如何获取并使用高阶等价无穷小是值得我们去研究，思索的问题。
等价无穷小替换应用的总结
等价无穷小替换应用的总结作者：周宏辉来源：《现代企业文化·理论版》2009年第10期摘要：文章就多种类型的未定型极限，求极限时可用无穷小等价替换，所求的极限值不变，回答了在有加减的情况下有条件地使用等价无穷小替换来求极限。
关键词：等价无穷小；未定型极限；等价替换；泰勒公式中图分类号：G649文献标识码：A文章编号：1674-1145（2009）15-0168-02等价无穷小替换是计算未定型极限的常用方法，它可以使求极限问题化繁为简，化难为易。
一、等价无穷小的概念及性质定义：极限为零的变量称为无穷小量，简称无穷小。
如果，就称为当时的无穷小。
当，则称与是等价无穷小，记作∽。
无穷小的性质有：定理1：若∽，∽，且，则证：定理告诉我们，在求未定型“ ”、“”的极限时，式中的无穷小可用等价的无穷小来替换，其极限值不变。
定理可作如下推广：推论1：设是任意函数，∽，且存在，则解：此极限是“0、”型，由推论1，可得在求其他类型的未定型“”、“ ”、“ ”、“ ”的极限时，也可直接利用等价无穷小进行替换，其求的极限值不变。
推论2：设∽，∽，且存在，则有例2：求解：由推论2及、∽x、∽x可得定理2：若，则∽例3：求解：由泰勒公式例4：求解：由泰勒公式在应用定理3与定理4时一定要注意它们的条件。
二、等价无穷小替换的应用常用的等价无穷小有：当x∽∽∽∽∽∽∽∽例5：求解1：该极限为未定型（）型，可用洛比达法则求解，也可用等价无穷小的性质求解。
（洛比达法则）此处运用∽例6：解1：该极限为未定型，用洛比达法则原式解2：运用等价无穷小的性质原式此处运用了∽∽例7：解1：此极限为未定型，用洛比达法则此处不能运用，∽，因解3：由泰勒公式解1：原式（洛比达法则）出现循环，用洛比达法则求不出结果，用等价无穷小替换。
， x∽∽原式由此可看到洛比达法则并不是万能，它有它的局限性，只要充分地掌握好等价无穷小的性质，这些原本复杂的问题就会变得非常简单。
无穷小的等价公式
无穷小的等价公式无穷小的等价公式是高等数学中常见的概念。
在极限运算中，无穷小是一个非常重要的概念，因为它可以帮助我们刻画函数的行为。
在本篇文章中，我会介绍无穷小的等价公式及其应用。
一、无穷小的定义在数学中，无穷小是指当自变量趋近于某一点时，函数值趋近于零的量。
简单来说，就是当自变量趋近于某一点时，函数趋近于0，且在该点附近的变化非常小。
具体来说，设 $f(x)$ 是定义在某一段区间 $(a,b)$ 上的函数，$x_0$ 是$(a,b)$ 的一个内点。
如果对于任意的 $\\varepsilon > 0$，都存在正数$\\delta$，使得当 $0 < |x - x_0| < \\delta$ 时，$|f(x)| < \\varepsilon$，那么我们就称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处是一个无穷小。
二、无穷小的等价公式在不同的情况下，不同的无穷小之间具有一定的关系，这就是无穷小的等价。
无穷小的等价公式是无穷小理论中的一个重要内容。
设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 是 $x \\to x_0$ 时的无穷小量，即：$\\lim_{x \\to x_0}f(x) = 0$$\\lim_{x \\to x_0}g(x) = 0$若存在正数 $A$ 和 $B$，使得当 $x \\to x_0$ 时，$f(x) = A g(x) +o(g(x))$，那么我们就说 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在点 $x_0$ 处是等价的，记作：$f(x) \\sim g(x) \\ (x \\to x_0)$其中，$\\sim$ 表示“等价”。
等价公式有以下常见形式：1. 当 $x \\to 0$ 时，$e^x - 1 \\sim x$。
这个公式的实际含义是当 $x$ 趋近于0时，$e^x$ 与 $1 +x$ 的差越来越小，这也是 Euler 数 $e$ 定义的一种方式。
2. 当 $x \\to 0$ 时，$\\sin x \\sim x$。
泰勒公式和等价无穷小
泰勒公式和等价无穷小泰勒公式是用来计算函数值的不断逼近的数学方法。
它被认为是高等数学中的重要概念，在实际应用中也起着重要的作用，因为它可以将一个复杂的问题变成很多简单的问题，从而帮助我们更好地理解更深层次的知识。
在这篇文章中，我们将介绍泰勒公式及其等价无穷小的相关知识。
首先，让我们来了解泰勒公式。
泰勒公式源自17世纪的数学家泰勒（Sir Isaac Newton），它可以用来计算函数的值，通常是处于某个极限值，如正无穷，负无穷或某种极限状态。
具体来说，泰勒公式是一种分段函数，用于计算函数的值，它将复杂的函数分解成一系列的函数的级数求和，并以此来逼近函数的值。
它可以用于计算某个函数的极限值，也可以用来估计函数的极值。
其次，让我们来讨论等价无穷小。
通常，该问题可以用泰勒公式来解决。
等价无穷小是一种数学概念，即将无穷小进行分割，使其等价于某个有限的量。
它可以用来定义概率和随机变量的概念，以及实现微积分的技术。
在实际应用中，等价无穷小在泰勒公式的计算中也起着重要的作用，它的本质是将被计算的函数分解成一系列的函数的级数，并以此来逼近函数的值，简而言之，它就是将一个复杂的函数变成一系列较为简单的函数。
最后，我们来讨论泰勒公式和等价无穷小之间的关系。
其实，这两者之间有着直接的联系，即泰勒公式用来计算函数值的不断逼近，而等价无穷小则是将这个问题分解成多个非常简单的问题，并帮助我们更好地理解更深层次的知识。
因此，泰勒公式和等价无穷小并不可分割，而是相互联系，相互影响的关系。
总而言之，泰勒公式是一种分段函数，可以用来计算函数的值，通常是处于某个极限值，如正无穷，负无穷或某种极限状态。
等价无穷小是一种数学概念，即将无穷小进行分割，使其等价于某个有限的量，它可以用来定义概率和随机变量的概念，以及实现微积分的技术。
泰勒公式和等价无穷小之间存在着紧密的联系，它们的不断迭代的极限值计算有助于我们在实际应用中更好地理解函数的变化趋势。
高数中的等价无穷小替换公式
高数中的等价无穷小替换公式在我们学习高等数学的时候，有一个特别重要的知识点，那就是等价无穷小替换公式。
这玩意儿可太有用啦，就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开很多复杂问题的大门。
记得我当年上大学的时候，有一次参加数学竞赛的集训。
那时候，大家都在为了比赛拼命地刷题。
有一道题，是求一个复杂函数的极限。
当时好多同学都被难住了，抓耳挠腮的。
我一开始也有点懵，但是突然想到了等价无穷小替换公式。
那道题大概是这样的：求当 x 趋近于 0 时，(sin x - x)/x³的极限。
一般看到这种式子，可能会觉得很头疼，但是我发现，当x 趋近于0 时，sin x 等价于 x - (1/6)x³。
于是我就把 sin x 替换成了 x - (1/6)x³，式子就变成了 [(x - (1/6)x³) - x]/x³，经过一番化简，答案就轻松出来啦。
咱先来说说等价无穷小替换公式到底是啥。
简单来说，就是在求极限的时候，如果两个函数在某个变化过程中比值的极限是 1 ，那么在一定条件下，就可以把其中一个函数替换成另一个函数来进行计算。
比如说，当 x 趋近于 0 时，sin x 和 x 就是等价无穷小，tan x 和 x也是等价无穷小，还有 1 - cos x 和 (1/2)x²也是等价无穷小等等。
那为啥要用等价无穷小替换公式呢？这就好比你走在路上，有一条近道能让你更快到达目的地，谁不想走呢？等价无穷小替换能大大简化计算过程，让那些原本复杂得让人头疼的极限问题变得简单明了。
比如说，要求lim(x→0) (tan x - sin x)/x³，如果不用等价无穷小替换，那得用各种复杂的方法，比如洛必达法则，反复求导，算起来可麻烦了。
但如果我们知道当 x 趋近于 0 时，tan x 等价于 x ，sin x 等价于 x ，那式子就可以变成lim(x→0) (x - x)/x³= 0 ，是不是一下子就简单多啦？不过，使用等价无穷小替换公式也有一些要注意的地方。
高等数学-无穷小的比较
x x0 1
若
~ 1,
~
1
且 lim x x0
1 1
存在 ,
例1 求 lim tan2 2x .
x0 1 cos x
则
lim
lim 1 .
x x0
x x0 1
解 当x 0时, 1 cos x ~ 1 x2 , 2
原式
lim x0
(2 x )2 1 x2
8.
2
tan 2x ~ 2x.
另例 ：
第六节
第一章
无穷小的比较
一、无穷小的比较 二、等价无穷小替换
一、无穷小量的比较
定义 设 与 是同一过程中的无穷小量，即
lim 0，lim 0.
xx0
xx0
❖ 如果lim 0，则 是比 较高阶无穷小；
xx0 记作 ( ).
lim o( ) ? x x0
❖ 如果lim ，则 是比 较低阶无穷小. xx0
x0 (2 x)3
0.
解 当x 0时, sin 2x ~ 2x,
tan x sin x tan x(1 cos x) ~ 1 x3 ,
原式 lim
1 0 (2 x)3 16
② 等价替换不能离开 “定理所允许的框架”
例3 lim(1 3 tan2 x)cot x .
x0
四、等价无穷小替换
定理3 (等价无穷小替换定理)
若
~ 1,
~
1
且 lim x x0
1 1
存在 ,
则 lim lim 1 .
x x0
x x0 1
证： lim
lim (
1 1 )
x x0
x x0 1 1
lim lim 1 lim 1 lim 1 .
考研数学二公式高数线代(费了好大的劲)技巧归纳
高等数学公式一、常用的等价无穷小当x →0时x ~sin x ~tan x ~arcsin x ~arctan x ~ln （1+x ） ~ e x -1a x -1~x ln a(1+x )α-1 ~ αx (α为任意实数，不一定是整数)1-cos x ~21x 2增加x -sin x ~61x 3 对应 arcsin x –x ~ 61x 3 tan x –x ~ 31x 3 对应 x - arctan x ~ 31x 3二、利用泰勒公式e x = 1 + x + +！22x o （2x ） ） （33 o !3sin x x x x +-=cos x = 1 – +！22x o （2x ） ln （1+x ）=x – +22x o （2x ） 导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， ax x a a a ctgx x x tgx x x xctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：·倍角公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(μμμxxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R Cc B b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑ΛΛΛ中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
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当x→0时,
sinx~x
tanx~x
arcsinx~x
arctanx~x
1-cosx~(1/2)*（x^2）~secx-1
（a^x）-1~x*lna (（a^x-1)/x~lna)
（e^x）-1~x
ln(1+x)~x
(1+Bx)^a-1~aBx
[(1+x)^1/n]-1~（1/n）*x
loga(1+x)~x/lna
（1+x)^a-1~ax(a≠0)
值得注意的是,等价无穷小一般只能在乘除中替换,
在加减中替换有时会出错（加减时可以整体代换,不能单独代换或分
别代换）