高等数学中的导数公式和等价无穷小公式
高数微积分公式大全(考试必考)
高等数学微积分公式大全一、基本导数公式⑴()0c '= ⑵1x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=-⑺()sec sec tan x x x '=⋅ ⑻()csc csc cot x x x '=-⋅ ⑼()xxe e '= ⑽()ln xxa aa '= ⑾()1ln x x'=⑿()1log ln xax a'= ⒀()arcsin x '= ⒁()arccos x '=⒂()21arctan 1x x '=+ ⒃()21arc cot 1x x '=-+⒄()1x '=⒅'=二、导数的四则运算法则()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭三、高阶导数的运算法则 （1）()()()()()()()n n n u x v x u x v x ±=±⎡⎤⎣⎦ （2）()()()()n n cu x cu x =⎡⎤⎣⎦（3）()()()()n n nu ax b a uax b +=+⎡⎤⎣⎦（4）()()()()()()()0nn n k k k n k u x v x c u x v x -=⋅=⎡⎤⎣⎦∑四、基本初等函数的n 阶导数公式 （1）()()!n nxn = （2）()()n ax b n ax b e a e ++=⋅ (3)()()ln n x x n a a a =(4)()()sin sin 2n n ax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ (5) ()()cos cos 2n nax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ (6)()()()11!1n n nn a n ax b ax b +⋅⎛⎫=- ⎪+⎝⎭+ (7) ()()()()()11!ln 1n n n na n axb ax b -⋅-+=-⎡⎤⎣⎦+五、微分公式与微分运算法则⑴()0d c = ⑵()1d x x dx μμμ-= ⑶()sin cos d x xdx =⑷()cos sin d x xdx =- ⑸()2tan sec d x xdx = ⑹()2cot csc d x xdx =-⑺()sec sec tan d x x xdx =⋅ ⑻()csc csc cot d x x xdx =-⋅⑼()x x d e e dx = ⑽()ln x xd a a adx = ⑾()1ln d x dx x=⑿()1logln xad dx x a =⒀()arcsin d x = ⒁()arccos d x =⒂()21arctan 1d x dx x =+ ⒃()21arc cot 1d x dx x=-+ 六、微分运算法则⑴()d u v du dv ±=± ⑵()d cu cdu = ⑶()d uv vdu udv =+ ⑷2u vdu udvd v v -⎛⎫= ⎪⎝⎭七、基本积分公式⑴kdx kx c =+⎰ ⑵11x x dx c μμμ+=++⎰ ⑶ln dx x c x =+⎰⑷ln xxa a dx c a=+⎰ ⑸x x e dx e c =+⎰ ⑹cos sin xdx x c =+⎰ ⑺sin cos xdx x c =-+⎰ ⑻221sec tan cos dx xdx x c x ==+⎰⎰⑼221csc cot sin xdx x c x ==-+⎰⎰⑽21arctan 1dx x c x =++⎰ ⑾arcsin x c =+八、补充积分公式tan ln cos xdx x c =-+⎰ cot ln sin xdx x c =+⎰ sec ln sec tan xdx x x c =++⎰ csc ln csc cot xdx x x c =-+⎰2211arctan x dx c a x a a=++⎰ 2211ln 2x adx c x a a x a-=+-+⎰arcsin xc a =+ln x c =+十、分部积分法公式⑴形如n ax x e dx ⎰，令n u x =，axdv e dx =形如sin n x xdx ⎰令nu x =，sin dv xdx =形如cos n x xdx ⎰令nu x =，cos dv xdx =⑵形如arctan n x xdx ⎰，令arctan u x =，ndv x dx =形如ln n x xdx ⎰，令ln u x =，ndv x dx =⑶形如sin ax e xdx ⎰，cos ax e xdx ⎰令,sin ,cos axu e x x =均可。
高数微积分公式大全
高等数学微积分公式大全一、基本导数公式⑴()0c '= ⑵1x xμμμ-= ⑶()sin cos x x '=⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=⋅ ⑻()csc csc cot x x x '=-⋅⑼()xxee'= ⑽()ln xxaaa '= ⑾()1ln x x'=⑿()1log ln xax a'= ⒀()arcsin x '= ⒁()arccos x '=⒂()21arctan 1x x '=+ ⒃()21arccot 1x x '=-+⒄()1x '=⒅'=二、导数的四则运算法则()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭三、高阶导数的运算法则 （1）()()()()()()()n n n u x v x u x v x ±=±⎡⎤⎣⎦ （2）()()()()n n cu x cu x =⎡⎤⎣⎦（3）()()()()n n nu ax b a uax b +=+⎡⎤⎣⎦（4）()()()()()()()0nn n k k k n k u x v x c u x v x -=⋅=⎡⎤⎣⎦∑ 四、基本初等函数的n 阶导数公式 （1）()()!n nxn = （2）()()n ax b n ax b e a e ++=⋅ (3)()()ln n x x n a a a =(4)()()sin sin 2n n ax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ (5) ()()cos cos 2n nax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ (6)()()()11!1n n nn a n ax b ax b +⋅⎛⎫=- ⎪+⎝⎭+ (7) ()()()()()11!ln 1n n n na n axb ax b -⋅-+=-⎡⎤⎣⎦+五、微分公式与微分运算法则 ⑴()0d c = ⑵()1d xxdx μμμ-= ⑶()sin cos d x xdx =⑷()cos sin d x xdx =- ⑸()2tan sec d x xdx = ⑹()2cot csc d x xdx =- ⑺()sec sec tan d x x xdx =⋅ ⑻()csc csc cot d x x xdx =-⋅ ⑼()xxd ee dx = ⑽()ln xxd a aadx = ⑾()1ln d x dx x=⑿()1logln xad dx x a =⒀()arcsin d x =⒁()arccos d x = ⒂()21arctan 1d x dx x =+ ⒃()21arccot 1d x dx x=-+ 六、微分运算法则⑴()d u v du dv ±=± ⑵()d cu cdu = ⑶()d uv vdu udv =+ ⑷2u vdu udvd v v -⎛⎫= ⎪⎝⎭七、基本积分公式⑴kdx kx c =+⎰ ⑵11x x dx c μμμ+=++⎰ ⑶ln dxx c x=+⎰ ⑷ln xxa a dx c a=+⎰ ⑸x x e dx e c =+⎰ ⑹cos sin xdx x c =+⎰ ⑺sin cos xdx x c =-+⎰⑻221sec tan cos dx xdx x c x ==+⎰⎰ ⑼221csc cot sin xdx x c x ==-+⎰⎰⑽21arctan 1dx x c x =++⎰ ⑾arcsin x c =+八、补充积分公式tan ln cos xdx x c =-+⎰ cot ln sin xdx x c =+⎰ sec ln sec tan xdx x x c =++⎰ csc ln csc cot xdx x x c =-+⎰2211arctan xdx c a x a a=++⎰ 2211ln 2x adx c x a a x a-=+-+⎰arcsinxc a=+ ln x c =+十、分部积分法公式⑴形如n ax x e dx ⎰，令nu x =，axdv e dx =形如sin n x xdx ⎰令nu x =，sin dv xdx =形如cos n x xdx ⎰令nu x =，cos dv xdx = ⑵形如arctan n x xdx ⎰，令arctan u x =，ndv x dx =形如ln n x xdx ⎰，令ln u x =，ndv x dx =⑶形如sin ax e xdx ⎰，cos ax e xdx ⎰令,sin ,cos axu e x x =均可。
高等数学公式(极限与导数)
sin x x
arcsin x x
tan x x
arctan x x
1 cos x
x2 2
a x 1 x ln a
log a (1 x ) x ln a
n
ex 1 x ln(1 x) x
1 x 1 x n 1 x 1 x 2
(1 x ) 1 x
1 1 ， ln x x ln a x
sin x cos x
cos x sin x
1 cos 2 x
tan x sec2 x
cot x csc2 x
csc x csc x cot x
1 sin 2 x
参数方程求导公式 参数方程
dy y t x x t 确定的函数 y y ( x ) 的导数： dx x t y y t
dy ( )t d2y y(t ) x(t ) y(t ) x(t ) 二阶导数： dx 2 dx x n)e x
(
1 (n) an n! ) (1)n ax b (ax b) n 1
(
1 (n) n! ) (1)n x 1 ( x 1) n1
1 n! ( )( n ) (1)n n 1 x x
ln 1 x n 1n 1 n 1n! 1 x
sec x sec x tan x
反三角函数：
arcsin x
arctan x
(arc sec x )
双曲函数：
1 1 x2
1 1 x2
arccos x
arccot x
湖北专升本高数知识点归纳
湖北专升本高数知识点归纳湖北专升本高数，即湖北省普通高校专科生升本科的高等数学考试，是专科生升本科的重要途径之一。
高等数学作为基础学科，其知识点广泛且深入，以下是对湖北专升本高数知识点的归纳总结：一、函数与极限- 函数的概念：定义域、值域、奇偶性、周期性- 极限的概念：数列极限、函数极限- 极限的性质：唯一性、有界性、保号性- 无穷小量的比较：高阶无穷小、等价无穷小替换- 极限的运算法则：四则运算、复合函数的极限二、导数与微分- 导数的定义：导数的几何意义、物理意义- 基本初等函数的导数公式- 导数的运算法则：和差、积、商、复合函数的求导法则- 高阶导数- 隐函数、参数方程所确定的函数的导数- 微分的概念与运算三、中值定理与导数的应用- 罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理- 泰勒公式- 导数在几何上的应用：曲线的切线、法线- 导数在物理上的应用：速度、加速度- 函数的单调性、极值、最值问题四、不定积分与定积分- 不定积分的概念与性质- 基本积分公式- 换元积分法、分部积分法- 定积分的概念与性质- 定积分的计算- 定积分在几何上的应用：面积、体积- 定积分在物理上的应用：功、质心、转动惯量五、级数- 级数的概念：收敛、发散- 正项级数的收敛性判别：比较判别法、比值判别法- 任意项级数的收敛性判别：交错级数判别法、绝对收敛- 幂级数、泰勒级数- 函数的幂级数展开六、多元函数微分学- 多元函数的概念：偏导数、方向导数- 多元函数的极值问题- 多元函数的几何应用：切平面、法线七、常微分方程- 一阶微分方程：可分离变量方程、一阶线性微分方程- 高阶微分方程：齐次与非齐次、常系数与变系数- 微分方程的几何解释与物理意义结束语：通过对湖北专升本高数知识点的系统归纳，我们可以看到高等数学不仅在理论层面具有深刻的意义，在实际应用中也发挥着重要的作用。
掌握这些知识点，对于专科生在升本科过程中的数学考试至关重要。
高数上册归纳公式篇(完整)
精心整理公式篇目录一、函数与极限1.常用双曲函数2.常用等价无穷小3.两个重要极限二、导数与微分1.常用三角函数与反三角函数的导数公式2.n阶导数公式3.4.参数方程求导公式5.微分近似计算三、微分中值定理与导数的应用1.一阶中值定理2.高阶中值定理3.部分函数使用麦克劳林公式展开4.曲率四、定积分1.部分三角函数的不定积分2.几个简单分式的不定积分五、不定积分1.利用定积分计算极限2.积分上限函数的导数3.牛顿-4.三角相关定积分5.6.1.2.3.七、微分方程1.可降阶方程2.变系数线性微分方程3.常系数齐次线性方程的通解4.二阶常系数非齐次线性方程(特定形式)的特解形式5.特殊形式方程(选)一、函数与极限1.常用双曲函数(sh(x).ch(x).th(x))2.常用等价无穷小(x→0时)3.两个重要极限二、导数与微分1.常用三角函数与反三角函数的导数公式(凡是“余”求导都带负号)2.n 阶导数公式特别地,若n =λ3.高阶导数的莱布尼茨公式与牛顿二项式定理的比较函数的0阶导数可视为函数本身4.参数方程求导公式5.微分近似计算(x ∆很小时)(注意与拉格朗日中值定理比较)常用:(三、微分中值定理与导数的应用1.一阶中值定理()(x f 在],[b a 连续,),(b a 可导)罗尔定理(端点值相等()(f a f =拉格朗日中值定理柯西中值定理(0)('≠x g ≠0)2.)n R 为余项(ξ在x 和0x 之间)令00=x ,得到麦克劳林公式3.部分函数使用麦克劳林公式展开(皮亚诺型余项)4.曲率四、不定积分1.部分三角函数的不定积分2.几个简单分式的不定积分五、定积分1.利用定积分计算极限2.积分上限函数的导数推广得3.牛顿-莱布尼茨公式和积分中值定理(1)牛顿-莱布尼茨公式(微积分基本公式)(2)积分中值定理函数)a上可积[bf在],(x,a上的平均值f在][b(xf称为))(ξ4.三角相关定积分三角函数系的正交性5.典型反常积分的敛散性(1)无穷限的反常积分推论1(2)瑕积分(无界函数的反常积分)推论2Convergence:收敛,Divergence:发散6.Γ函数(选)(1)递推公式:推论:(2)欧拉反射公式(余元公式)六、定积分的应用1.平面图形面积(1)直角坐标:由曲线0ax==,y及x)(≥=xf(2)极坐标:ρ=有曲线(φ2.体积(1)绕x(2)平行截面(与x轴垂直)面积为)(xA3.弧微分公式(1)直角坐标:(2)极坐标:七、微分方程1.可降阶方程(1))()(x f y n =型n 次积分得(2))',("y x f y =型作换元'y p =得),('p x f p =得通解),(1C x p ϕ=则21),(C dx C x y +=⎰ϕ(3))',("y y f y =型作换元'y p =,),(,"p y f dxdp p dx dp p dx dp y ===得通解dx dy C y p ==),(1ϕ 则21),(C x C y dy +=⎰ϕ 2.变系数线性微分方程(1)一阶线性微分方程:)()('x Q y x P y =+对应齐次方程:0)('=+y x P y 原方程)()('x Q y x P y =+的通解为(2)0)(')(1=+++-y x P y x P n n若(),(21x y x y n 个线性无关解)()()(22x y C x y C x n n +++若)(*x y 为非齐次方程的一个特解则非齐次方程的通解为)(*)(x y x Y y +=3.常系数齐次线性方程的通解(1)二阶方程0"=++q py y特征方程为02=++q pr r①0>∆,两个不等实根a b r a b r 2,221∆+-=∆--=通解为x r x r e C e C y 2121+=②0=∆,两个相等实根221p r r -== 通解为x r e x C C y 1)(21+=③0<∆,一对共轭复根2,2,,21∆-=-=-=+=βαβαβαp i r i r通解为)sin cos (21x C x C e y x ββα+=(2)高阶方程0'1)1(1)(=++++--y p y p y p y n n n n 特征方程为0111=++++--n n n n p r p r p r 对于其中的根r 的对应项①实根r一个单实根:rx Ce一个k 重实根:rx k k C x C C (121-+++②复根i r βα±=2,1一对单复根:cos (21C x C e x βα+一对k 重复根]sin )(cos )1211x x D x D D x x C k k k k ββ--+++++ 4.)的特解形式 '"qy py y =++02=++q pr r (1))()(x P e x f m x λ=)(x P m 为x 的m 次多项式 特解形式为x m k e x Q x y λ)(*=)(x Q m 是x 的m 次多项式(2)]sin )(cos )([)()2()1(x x P x x P e x f n l x ωωλ+=)(),()2()1(x P x P n l 分别为x 的n l ,次多项式 特解形式为x m m k e x x R x x Q x y λωω]sin )(cos )([*+= },max{n l m =,)(),(x R x Q m m 为x 的m 次多项式记i z ωλ+=5.特殊形式方程(选)(1)伯努利方程n y x Q y x P dxdy )()(=+(1,0≠n ) 令n y z -=1,dxdy y n dx dz n--=)1( 得通解),(C x z ϕ=(2)欧拉方程作变换t e x =或x t ln =,记dtd D = 将上各式代入原方程得到此为常系数线性微分方程 可得通解),,,,(21n C C C t y ϕ= 即可得原方程通解),,,,(21n C C C x y Φ=。
三角函数极限等价无穷小公式
三角函数极限等价无穷小公式1.$x$趋向于0时的正弦极限：$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin{x}}{x} = 1$$这个公式告诉我们，当$x$趋向于0时，$\sin{x}$与$x$之间的比值趋于1、这个公式是三角函数的基本极限之一，它在很多计算和推导中经常被使用。
2.$x$趋向于0时的余弦极限：$$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos{x}}{x} = 0$$这个公式告诉我们，当$x$趋向于0时，$1 - \cos{x}$与$x$之间的比值趋于0。
这个公式在求解一些特定极限时非常有用。
3.$x$趋向于0时的正切极限：$$\lim_{x \to 0} \frac{\tan{x}}{x} = 1$$这个公式告诉我们，当$x$趋向于0时，$\tan{x}$与$x$之间的比值趋于1、这个公式在计算一些特殊函数的导数时经常被使用。
4.$x$趋向于0时的反正弦极限：$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1}{x}}{x} = 1$$这个公式告诉我们，当$x$趋向于0时，$\sin^{-1}{x}$与$x$之间的比值趋于1、这个公式在计算一些特定反三角函数的导数时非常有用。
5.$x$趋向于0时的反余弦极限：$$\lim_{x \to 0} \frac{\cos^{-1}{x}}{x} = 1$$这个公式告诉我们，当$x$趋向于0时，$\cos^{-1}{x}$与$x$之间的比值趋于1、这个公式在计算一些特定反三角函数的导数时非常有用。
通过这些公式，我们可以简化和加速一些复杂的数学计算，在求解极限、导数和积分等问题时非常有应用价值。
这些公式的证明过程比较繁琐，需要使用一些高级的数学工具和技巧，因此在这里不进行详细推导。
除了这些基本的三角函数极限等价无穷小公式之外，还有一些其他的相似公式，例如：$$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos{x}}{x^2} = \frac{1}{2}$$$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2{x}}{x^2} = 1$$$$\lim_{x \to 0} \frac{\cos^2{x} - 1}{x^2} = -1$$这些公式在高等数学的课程中经常出现，学生需要注意掌握它们的应用场景和使用方法。
常用无穷小等价代换公式
常用无穷小等价代换公式无穷小等价代换公式是数学中常用的一种计算方法，它可以帮助我们简化复杂的数学问题。
在求极限、求导数等问题中，经常需要利用无穷小等价代换公式进行转化。
首先，我们来看一些常用的无穷小等价代换公式：1. 当 x 趋向于零时，可以使用以下等价代换公式：- sin(x) ≈ x- tan(x) ≈ x- arcsin(x) ≈ x- arctan(x) ≈ x- ln(1+x) ≈ x- e^x - 1 ≈ x- (1 + x)^n ≈ nx (n为常数)2. 当 x 趋向于无穷大时，可以使用以下等价代换公式：- e^x ≈ x^n (n为常数)- ln(x) ≈ x^m (m为常数)- sin(x) ≈ x- cos(x) ≈ 1这些无穷小等价代换公式可以帮助我们快速简化复杂的数学问题，使得求极限、求导数等计算更加高效。
但需要注意的是，这些等价代换公式只在特定情况下成立，不可盲目使用。
例如，当我们在计算极限时遇到形如 lim (sin(x)/x) 的表达式，可以利用无穷小等价代换公式sin(x) ≈ x 进行简化，即将该极限转化为 lim (x/x) = 1。
在计算导数时，无穷小等价代换公式也常被应用。
例如，当需要求函数 f(x) = e^x 的导数时，可以将该函数利用等价代换公式简化为 f(x) = x^n 的形式，并计算导数为 f'(x) = nx^(n-1)。
总之，无穷小等价代换公式是数学中常用的一种计算方法，能够帮助我们简化复杂的数学问题，提高计算的效率。
但在应用过程中需注意适用条件，并避免盲目使用，以保证计算结果的准确性。
无穷小的等价代换公式大全
无穷小的等价代换公式大全
无穷小的等价代换公式是微积分中非常重要的一部分，它在极限计算和微分方程等领域有着广泛的应用。
下面我将从不同的角度列举一些常用的无穷小的等价代换公式。
1. 当 x 趋向于 0 时，常用的无穷小等价代换有：
sin(x) ≈ x.
tan(x) ≈ x.
1-cos(x) ≈ x^2/2。
ln(1+x) ≈ x.
e^x 1 ≈ x.
(1+x)^a 1 ≈ ax，其中 a 是常数。
2. 当 x 趋向于无穷大时，常用的无穷小等价代换有：
e^x ≈ x^n (n 是任意正整数)。
ln(x+1) ≈ x.
sin(x) ≈ x.
cos(x) ≈ x.
tan(x) ≈ x.
(1+1/x)^x ≈ e.
3. 在一些特殊的极限计算中，还可以利用洛必达法则进行无穷小的等价代换，即对于两个函数 f(x) 和 g(x) 当它们在某一点的极限为 0/0 或者±∞/±∞ 的形式时，可以对 f(x) 和 g(x) 求导数并用导数的极限值代替原函数，从而简化极限的计算。
总的来说，无穷小的等价代换公式是微积分中的重要内容，它们在求极限、解微分方程、近似计算等方面都有着重要的应用。
深入理解和灵活运用这些等价代换公式可以帮助我们更好地理解和应用微积分的知识。