§1.2.1 函数的概念(二)
函数及数列极限定义
y f (x), x D
• D称为函数的定义域, 记作 D( f ) , y • f (D)称为函数的值域, 记作 R( f ) . y
•函数图形: 曲线 y f ( x)
C (x , y) y f (x) , x D
ax bx ( D [a,b])
函数的二要素— 定义域 , 对应规则 .
复合函数
设 y f (u), u E , u (x), x D 则由 y f (u) 与 u ( x) 复合而成的复合函数.
记作 y f [ ( x)] , x D
其中 x 称为自变量, y 称为因变量, u 称为中间变量..
称为 x0 的某邻域.
: delta
「邻 域」
点x0 的 空心邻域
(
x0
x0
0
( x0, )
0 x x0
)
x0
0
Ux0
点 x0的左邻域
U (x0, ) (x0 , x0]
0
U (x0, ) (x0 , x0)
点x0 的右邻域
U (x0, ) [x0, x0 )
0
U (x0, ) (x0, x0 )
映射
定义1 设 A, B 是两个非空集合, 若存在一个对应
规则 f ,使得 x A, 有唯一确定的 y B 与之对应,
则称 f 为从 A 到 B 的映射,记作
f : A B. 或 f : x y
•元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像, 记作 y f ( x).
例: 可列无穷集 A a1 , a2 , , an ,
自然数集 N 0 , 1 , 2 , , n ,
描述法 A x x 所具有的特征
数学分析讲义
y ax
( a 0, a 1)
y ex
1
y ax
( a 0, a 1)
数学分析讲义
§1.3 复合函数与反函数
3、对数函数
y log a x
(a 0, a 1)
y ln x
y log a x
(1,0)
(a 1)
y log 1 x
a
一、函数概念
例1.真空中自由落体，物体下落的时间 t 与下落的距离 s 互相联系着. 如果物体距地面的高度为 h ，
t [0,
2h ] g
都对应一个距离 s . 已知 t 与 s 之间的对应关系是
1 2 s gt 2
其中g是重力加速度，是常数.
数学分析讲义
§ 1.1 函数
例2.在气压为101.325 kPa 时，温度 T 与水的体积 V 互相联系着 . 实 测如下表：
数学分析讲义
§1.2 四类具有特殊性质的函数
一、有界函数
定义 设 函 数 f (x) 在 数 集 A 有 定 义 . 若 函 数 值 的 集 合
f ( A) f ( x) x A有上界（有下界、有界） ，则称函数 f (x)
在 A 有上界（有下界、有界） ，否则称函数 f (x) 在 A 无上界 （无下界、无界）.
y
y f (x)
f ( x1 )
f ( x2 )
o
x
I
数学分析讲义
§1.2 四类具有特殊性质的函数
三、奇函数与偶函数
定义 函数 f x 定义在数集 A .若 x A ，有 x A ，且
f x f x
则称函数 f x 是奇函数
人教版高一数学A必修1全册例题讲解及练习题(65页)
（i）若 a = 0 时，得 N = Æ ，此时， N Í M ；
（ii）若 a ¹ 0 时，得 N
1 ={ }.
若N
ÍM
,满足 1
= 2或 1
= -3 ，解得 a =
1 或a = - 1 .
a
a
a
2
3
故所求实数 a 的值为 0 或 1 或 - 1 . 23
点评：在考察“ A Í B ”这一关系时，不要忘记“ Æ ” ，因为 A = Æ 时存在 A Í B . 从而需要分情况讨
第 1～27 练 答案 …………………………（55～65）
《新课标高中数学必修①精讲精练》——精讲
第一章 集合与函数概念
第 1 讲 §1.1.1 集合的含义与表示
¤学习目标：通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、 集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；掌握集合的表示方法、常用 数集及其记法、集合元素的三个特征.
A ¹Ì B（或 B ¹É A）.
4. 不含任何元素的集合叫作空集（empty set），记作 Æ ，并规定空集是任何集合的子集. 5. 性质： A Í A ；若 A Í B ， B Í C ，则 A Í C ；
若 A I B = A ，则 A Í B ；若 A U B = A ，则 B Í A .
={x |
x
=
2n +1,n 2
Î Z} ，易知
B ¹Ì
A，故答案选
A．
{ } 【例 3】若集合 M = x | x2 + x - 6 = 0 , N = {x | ax - 1 = 0} ，且 N Í M ，求实数 a 的值.
§1.2.1-1 函数的概念 (一)
4
知识探究（二）
§1.2.1-1 函数的概念 (一)
近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因 而出现了臭氧层空洞问题. 下图中的曲线显示了南 极上空臭氧层空洞的面积从1979～2001年的变化 情况.
S（106km2）
30 26 25 20 15 10 5 0 t（年）
1979 1981 1983 1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997 1999 2001
2013-1-8 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 14
求定义域的几种情况：
§1.2.1-1 函数的概念 (一)
(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数R
(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等 于0的实数的集合
(3)如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号 内的式子大于或等于0的实数的集合 (4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函 数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合. （即求各集合的交集）
2.初中对函数概念是怎样定义的？ 在一个变化过程中，如果有两个变量x与y， 并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的 值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的 函数.
2013-1-8 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 2
知识探究（一）
§1.2.1-1 函数的概念 (一)
练习2、下列各组函数表示同一函数的是(D )
x2 1 A、f ( x) 与g ( x) x 1 x 1
B、f ( x) 2 x 3 与g ( x) x 2 x C、f ( x) x与g ( x) ( x ) 2 D、f ( x) x 2 2 x 1与g (t ) t 2 2t 1
高数 1.2.1极限概念
S 2 a 0
a0 q
S3 a0 a0 q a0 q 2
2 Sn a0 q n a a q a q 0 0 0 k 0 n 1
a qk
0
………
现在研究数列｛sn｝的收敛问题. 如果q 1时 n n a aq 2 n1 a aq , sn a aq aq aq 1 q 1 q 1 q
自变量趋向负无穷大时函数的极限
例 1. 2. 8
x
l i mx 2
0 .
2015 年 2 月 14日 1 1 时 3 9 分
自变量 x 趋向无穷大时函数的极限
(4) x→∞: | x | 无限地增大，如下例.
例 1. 2. 9
1 l i m x x
1 0 . 数列的极限 lim 0 为其特例. n n
lim y A.
x
读作 x 趋于□时函数y 的极限是Ａ. x→□ 的六种不同情况： (1) x→a: a 为常数，如例 1. 2. 7 中x→0. (2) x→＋∞: x 的值无限地增大，如例 1. 2. 8. (3) x→－∞: x 的值无限地减小，如下例 1. 2. 9.
下一张
2015 年 2 月 14日 1 1 时 3 9 分
当q 1时, 收敛 aq n 0 当q 1时, 发散
n
sn 不存在 , 此时级数也发散. 如果 q 1, lim n
综上所述
2015 年 2 月 14日 1 1 时 3 9 分
例 2.2.6 把循环小数 2.317 2.3171717 表示成
分数的形式 .
2015 年 2 月 14日 1 1 时 3 9 分
实数集与函数
1. 定义(反函数)(P13)
设函数 y f ( x), x D 满足 : 对值域 f ( D) 中的每一个值 y, D 中有且仅有一个值 x 使得 f ( x) y, 则按此对应法则得到一 个 定义在 f ( D) 上的函数 , 称这个函数为 f 的反函数 , 记作
f 1 : f ( D) D, yx
2) y x , s t 2 ;
x 3) f ( x) 1, g ( x) . x
9
§3.函数概念 一. 函数的定义 2.几点说明
(1)自变量 (independen t variable )与因变量 (dependentvariable )(P10); (2)函数的表示方法 ;
(3)函数的定义域(即存在域);
2. 定义(复合函数)(P12)
例1(P12) 设 y f (u),u g ( x) 1 x2 , 求复合函数 f g ( x).
19
§3.函数概念 二. 函数的运算 II.函数的复合运算---复合函数
2. 定义(复合函数)(P12)
20
§3.函数概念 二. 函数的运算 II.函数的复合运算---复合函数
(3)函数的定义域(即存在域);
(4)函数的基本要素;
(5)函数的象与原象(P11); (6)单值函数与多值函数(P11); (7) 函数的图形 [思考题] (1) 从函数的图形上看,单值函数与多值函数的区别何在?
(2) 试画出绝对函数,符号函数,取整函数,Dirichlet函数与Riemann 12 函数(P211)的草图.
(i) 分段函数:在定义域不同部分用不同数学式子表示的函数 (ii)用语言表示的函数
3) 定义在[0,1] 上的黎曼函数 (Riemann 函数) 1 p p p, q N , 为既约真分数 , 当x R( x) q q q 0, 当x 0,1和(0,1)内的无理数 .确
人教版高一数学必修一-第一章-知识点与习题讲解
必修1第一章集合与函数基础知识点整理第1讲 §1。
1。
1 集合的含义与表示¤知识要点：1。
把一些元素组成的总体叫作集合(set ），其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性.2. 集合的表示方法有两种:列举法，即把集合的元素一一列举出来,并用花括号“｛ ｝”括起来，基本形式为123{,,,,}n a a a a ⋅⋅⋅，适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法，即用集合所含元素的共同特征来表示，基本形式为{|()x A P x ∈},既要关注代表元素x ,也要把握其属性()P x ，适用于无限集.3。
通常用大写拉丁字母,,,A B C ⋅⋅⋅表示集合. 要记住一些常见数集的表示，如自然数集N ，正整数集*N 或N +，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R 。
4. 元素与集合之间的关系是属于（belong to ）与不属于（not belong to )，分别用符号∈、∉表示，例如3N ∈,2N -∉.¤例题精讲：【例1】试分别用列举法和描述法表示下列集合:（1）由方程2(23)0x x x --=的所有实数根组成的集合； （2）大于2且小于7的整数。
解：（1）用描述法表示为：2{|(23)0}x R x x x ∈--=； 用列举法表示为{0,1,3}-.(2）用描述法表示为:{|27}x Z x ∈<<； 用列举法表示为{3,4,5,6}.【例2】用适当的符号填空：已知{|32,}A x x k k Z ==+∈,{|61,}B x x m m Z ==-∈，则有： 17 A ； －5 A ； 17 B 。
解：由3217k +=,解得5k Z =∈，所以17A ∈;由325k +=-，解得73k Z =∉，所以5A -∉;由6117m -=，解得3m Z =∈，所以17B ∈。
【例3】试选择适当的方法表示下列集合：（教材P 6 练习题2, P 13 A 组题4） （1）一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合； (2）二次函数24y x =-的函数值组成的集合； （3)反比例函数2y x =的自变量的值组成的集合。
高中数学人教A版 精品 第二章 §2-1 函数的概念及其表示
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数.
( ×) (2)函数y＝f(x)的图象可以是一条封闭曲线.( × ) (3)y＝x0与y＝1是同一个函数.( × )
(4)函数 f(x)＝xx－ 2，1x，<0x≥0， 的定义域为 R.( √ )
3.函数的表示法 表示函数的常用方法有 解析法 、图象法和 列表法 . 4.分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的 式子来表示，这种函数称为分段函数.
1.直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点. 2.在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集. 3.分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.分段函数的定义 域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集.
跟踪训练1 函数f(x)＝lnx1－1＋ 3－x的定义域为
A.(1,3]
√B.(1,2)∪(2,3]
C.(1,3)∪(3，＋∞)
D.(－∞，3)
x－1>0， 由题意知x－1≠1，
3－x≥0， 所以1<x<2或2<x≤3，
所以函数的定义域为(1,2)∪(2,3].
题型二 函数的解析式
例2 (1)已知f(1－sin x)＝cos2x，求f(x)的解析式；
令f(a)＝t，则f(t)＝2，可得t＝0或t＝1， 当t＝0时，即f(a)＝0，显然a≤0， 因此a＋2＝0⇒a＝－2， 当t＝1时，即f(a)＝1，显然a≤0， 因此a＋2＝1⇒a＝－1， 综上所述，a＝－2或－1.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
第一章 复变函数
3
第二节 复变函数
§1.2.1区域与约当曲线
1. 区域的概念 2. 简单曲线（或Jordan曲线) 3. 单连通域与复连通域
1. 区域的概念
设G是一平面上点集 内点 对任意z0属于G，若存在Ｕ(z 0 ,δ)， 使该邻 域内的所有点都属于G，则称z 0是G的内点。 开集 若G内的每一点都是 外点 内点，则称G是开集。 z •区域 设 D是一个开集， 且D是连通的，称 D是一个区域。
sin 3 3cos 2 sin 3 3sin 4sin 3
例: 求
3in0
3
1 3 1 3 即0 1, 1 i , 2 i. 2 2 2 2
0 2k 0 2k 1 cos i sin , ( k 0,1,2). 3 3
§1.1.2 复数的表示方法
1. 点的表示
2. 向量表示法 3. 三角表示法
4. 指数表示法
1. 点的表示
易见， x iy 一对有序实数x, y ), z (
在 平 面 上 取 定 直 角 坐系 ， 则 标 任 意 点 ( x , y ) 一 对 有 序 实 数x , y ) P ( z x iy 平 面 上 的 点 ( x , y ) P
例5. 将z sin i cos 化 为 三 角 形 式 与 指 数 式. 形 5 5
两个复数乘积的模等于它们的模相乘， 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加。 证明 设 z1=r1(cosθ1+isinθ1)=r1eiθ1 z2=r2(cosθ2+isinθ2)=r2eiθ2 则 z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)( cosθ2+isinθ2) = r1r2[cos (θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)] =r1r2e i(θ1+θ2) 因此 |z1z2|=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz2
数学教育学复习题(含答案)
一．填空题1. 义务教育阶段数学课程改革中选择和安排教学内容的基本思路是：___以反映未来社会公民所必须的数学思想方法为主线_______________。
2. 义务教育《数学课程标准》（实验稿）中使用了“___了解___（认识）______、理解、掌握、灵活运用”等刻画知识技能的目标动词。
3. 义务教育《数学课程标准》（实验稿）给出了___经历（感受）_____________、体验（体会）、探索等刻画数学活动水平的过程性目标动词。
4. 义务教育阶段《数学课程标准》（实验稿）中指出数学思考、解决问题、情感与态度的发展离不开_________知识与技能____________的学习。
5. 义务教育阶段《数学课程标准》（实验稿）中将课程内容分为四个学习领域，这四个学习领域是：“数与代数”、“空间与图形”、_____统计与概率________________、“实践与综合应用”。
6. 义务教育阶段数学课程改革中教学形式改革的基本思路之一是：在___活动___________中、在现实生活中学习数学，发展数学。
7. 义务教育阶段《数学课程标准》（实验稿）中指出_________知识与技能____________的学习必须以有利于其他目标的实现为前提。
8. 义务教育《数学课程标准》（实验稿）第三学段的课程实施中对数学教学给出________6____条建议。
11. 普通高中数学课程标准共给出_______10_______条课程基本理念。
12.普通高中数学课程标准的目标要求包括三个方面，这三个方面指的是：____知识与技能____________________，_过程与方法_______________________，____情感态度与价值观_________________。
13.普通高中数学课程目标提出的要进一步提高的五个基本能力是_______运算求解______，____推理论证_________，_空间想象能力____________，____抽象概括能力_________，____数据处理能力_________。
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1
§1.2.1 函数的概念（二）
教学目标：
（1）会求一些简单函数的定义域与值域，并能用“区间”的符号表示；
（2）掌握复合函数及抽象函数定义域的求法；
（3）掌握判别两个函数是否相同的方法。
教学重点：会求一些简单函数的定义域与值域。
教学难点：复合函数定义域的求法。
教学过程：
一、复习准备：
1. 提问：指出函数y=x+1的构成要素有几部分？
结果：定义域R、对应关系x→x+1, 值域R。其中定义域是函数的灵魂，对应关
系是函数的核心。
2. 用区间表示函数y＝ax＋b（a≠0）、y＝ax2＋bx＋c（a≠0）、y＝xk(k≠0)的
定义域与值域。
二、讲授新课：
（一） 复合函数定义域的求法：
复合函数： 如果函数y=f( t )的定义域为A，函数t=g( x )的定义域为D，
值域为C，则当C A时，函数y=f(g(x))为f与g在D上的复合函数，其中
t叫中间变量，t=g( x )叫内函数，y=f( x )叫外函数。
复合函数的定义域是由外函数的定义域、内函数的定义域及值域共同确
定.
例1：求下列函数的定义域（用区间表示）
⑴ f(x)=312xx； ⑵ f(x)=xx21； ⑶ f(x)=1x－xx2；
学生试求→订正→小结：定义域求法（分式、根式、组合式）
抽象函数的定义域求法：
抽象函数：指没有给出具体解析式的函数.
抽象函数定义域的求法：
已知f(x)的定义域为A，求f(g(x))的定义域，其实质是已知g(x)∈A,求x
的范围.
已知f(g(x))的定义域是A，求f(x)的定义域，其实质是已知x∈A，求g(x)
的范围，此范围就是f(x)的定义域。
例如：（1）已知f(x)的定义域为（a,b），求f(g(x))的定义域；
求法：由a
求法：由a
2
例3．已知f(x-1)的定义域为[-1,0]，求f(x+1)的定义域。
（二）函数相同的判别方法：
1.定义：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两
个函数相等。
说明：
（1） 定义域、对应关系两者中只要有一个不同就不是同一个函数；
（2） 因为函数是两个数集之间的对应关系，所以和用什么字母表示自变量、
因变量和对应关系是无关紧要的.例如f(x)=3x+5与f( t )=3t+5就是同一个函数。
（3）对于f(x)中的x的理解：虽然f(x)=x2 和f(x-1)=x2从等号右边的表达式看
是一样的，但f施加关系的对象不同（一个为x，而另一个为x-1）令t=x-1,则x=t+1，
即f(t)=f(x-1)=(t+1)2 ,故函数f(x-1)=x2应为21ttf.因此函数f(x)=x2 与
f(x-1)=x2表示的是不同的函数。
例5．（课本P18例2）下列函数中哪个与函数y=x相等？
（1）2()yx； （2）33yx；
（3）2yx； （4） 2xyx。
（三）课堂练习：
1．求下列函数定义域：
（1）1()14fxxx； （2）1()11fxx
2．（1）已知函数f(x)的定义域为[0，1]，求2(1)fx的定义域；
（2）已知函数f(2x-1)的定义域为[0，1]，求f(1-3x)的定义域。
3. 课本P19练习第3题
归纳小结：
本堂课讲授了函数定义域的求法以及判断函数相等的方法。
作业布置：
习题1.2A组，第1，2；