(浙江专用)高中数学第一章集合与函数概念新人教版必修1

【创新设计】（浙江专用）2016-2017学年高中数学 第一章 集合与函数概念

新人教版必修1

1.1 集 合 1.1.1 集合的含义与表示 第1课时 集合的含义

目标定位 1.通过实例了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，集合相等的含义.2.理解集合中

元素的三个特性，掌握常用数集的表示符号并会识别应用.

自 主 预 习

1.元素与集合的相关概念

.

统称为元素研究对象我们把，元素：一般地(1) .

组成的总体叫做集合一些元素把集合：(2) .

、无序性互异性、确定性集合中元素的三个特性：(3) .

我们称这两个集合是相等的，一样的集合的相等：构成两集合的元素是(4) 2.元素与集合的表示

.

表示集合中的元素…，c ，b ，a 元素的表示：通常用小写拉丁字母(1) .

表示集合…，C ，B ，A 集合的表示：通常用大写拉丁字母(2) 3.元素与集合的关系

.A ∈a 记作，A 属于集合a 就说，的元素A 是集合a ：如果”属于(1)“ .

A ?a 记作，A 不属于集合a 就说，的元素A 不是集合a ：如果”不属于(2)“ 4.常用数集及表示符号

数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集

实数集 符号

N

N *

或 N ＋

Z

Q

R

即 时 自 测

1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)期末考试成绩出来了，我们班的数学成绩较好的在120分以上的同学组成一个集合.( )

(2)一个集合可以表示成{a ，a ，b ，c ，}.( )

(3)若集合A 是由元素1，2，3，4，5，6所组成的集合，则－1和0都不是集合A 中的元素.( )

提示 (1)“120分以上”是明确的标准，所以“120分以上的同学”能组成集合.正确.

(2)集合中的元素是互不相同的，任何两个相同的对象归入同一个集合中，只能算作这个集合的一个元素.错

误.

(3)集合中A 只有元素1，2，3，4，5，6，没有－1和0.正确.

答案 (1)√ (2)× (3)√

2.下列各组对象：①高中数学中所有难题；②所有偶数；③平面上到定点O 距离等于5的点的全体；④全体

著名的数学家.其中能构成集合的个数为( )

A.1

B.2

C.3

D.4 解析 ②、③中的元素是确定的，能够构成集合，其余的都不能构成集合.

答案 B

3.下列关系正确的是( )

.

Z ?2－④；R ?12

③；Q ∈2②；N ∈0① A.③④

B.①③

C.②④

D.① 12

∴

，是实数12∵，不正确③；Q ?2∴，是无理数2∵，不正确②；N ∈0∴，是自然数0∵，正确① 解析∈R ；④不正确，∵－2是整数，∴－2∈Z .

答案 D

4.若1∈A ，且集合A 与集合B 相等，则1________B (填“∈”“?”).

解析 集合A 与集合B 相等，则A 、B 两集合的元素完全相同，又1∈A ，故1∈B .

答案 ∈

类型一 集合的含义

【例1】 下列各组对象不能组成集合的是( )

A.著名的中国数学家

B.北京四中2015级新生

C.全体奇数

D.2016年里约热内卢奥运会的所有比赛项目

解析 根据集合元素的确定性来判断是否能组成集合，因为B ，C ，D 中所给的对象都是确定的，从而可以组成集合；而A 中所给对象不确定，原因是没有具体的标准来衡量一位数学家怎样才算著名，故不能组成集

合. 答案 A

规律方法 判断一组对象组成集合的依据及切入点

(1)依据：元素的确定性是判断的依据.判断一组对象能否构成集合，关键是看能否找到一个明确的标准，来判断整体中的每个对象是否确定，如果考查的对象是确定的，就能组成集合，否则不能组成集合.(2)切入

点：解答此类问题的切入点是集合元素的特性，即确定性、互异性和无序性.

【训练1】 判断下列对象能否组成集合：

(1)数学必修1课本中所有的难题；

(2)本班16岁以下的同学；

在实数范围内的解；

0＝4－2x 方程(3) .

的近似值的全体2(4) 解 (1)中难题的标准不确定，不能组成集合.

(2)本班16岁以下的同学是确定的，明确的，能组成集合.

.

故能组成一个集合，±2即，在实数范围内的解有两个0＝4－2x 方程(3) 故不能组成一

，是不是它的近似值2)比如(因此很难判定一个数，不明确精确到哪一位”的近似值2(4)“个集合.

类型二 元素与集合的关系

【例2】(1)(2016·泰安高一检测)下列所给关系正确的个数是( )

.

*N 4|?－④|；*N ③0∈；Q ?3②；R ①π∈ A.1

B.2

C.3

D.4 ________.中的元素为A 则集合，N ∈x ，N ∈6

3－x

满足

x 中的元素A 集中)连云港高一检测(2)(2016· .不正确③，正确①②④，的含义知)正整数集(*N 、)有理数集(Q 、)实数集(R 由(1) 解析 2.，1，0＝x ∴，N ∈x 又6.，3，2，1＝x －3所以，的正整数倍x －3是6则，N ∈6

3－x

由

(2) 答案 (1)C (2)0，1，2

规律方法 (1)判断一个元素是否属于某一集合，就是判断这个元素是否满足该集合元素的条件.若满足，就是“属于”关系；若不满足，就是“不属于”关系.特别注意，符号“∈”与“?”只表示元素与集合的关

系.

(2)判断元素与集合关系主要有两种方法：①直接法(当集合中元素直接给出时)，②推理法，对一些没有直

接给出元素的集合，常用推理法判断元素是否具有集合中元素所具有的特征.

【训练2】 设不等式2x －3>0的解集为M ，下列表示正确的是( )

A.0∈M ，2∈M

B.0?M ，2∈M

C.0∈M ，2?M

D.0?M ，2?M 解析 因为2×0－3＝－3<0，所以0不是M 的元素，0?M .又2×2－3＝1>0.所以2是不等式2x －3>0的解集

中元素，2∈M .

答案 B

类型三 集合中元素的特性及应用(互动探究)

________.

的值为a 则实数，A 0∈且，1－2a ，1＋a 中含有两个元素A 已知集合】3例【 [思路探究]

揭示二者满足什么关系？

，中的两个元素A 是1－2a ，1＋a 探究点一 1.

－2a 1≠＋a ，根据集合元素的互异性 提示 间有什么关系？1－2a ，1＋a 中的两元素A 与，A 0∈ 探究点二 0.

＝1－2a 或0＝1＋a 应有，根据元素与集合间的从属关系 提示 1.

－2a ＝0或1＋a ＝0所以，A 0∈因为 解 .

不符合题意，中元素重复A ，0＝1－2a 此时，1＝－a ，时1＋a ＝0当 .

意符合题，0}，{2＝A ，此时1.＝a 所以，)舍1(＝－a ，±1＝a ，时0＝1－2a 当 答案 1

规律方法 (1)由于A 中含有两个元素，0∈A ，本题以0是否等于a ＋1为标准分类，从而做到不重不漏.

(2)对于集合中元素含有参数的问题，要根据集合中元素的确定性，解出参数的所有可能值或范围，再根据

集合中元素的互异性对集合中的元素进行检验.

改

”A ∈0，“1”－a 2和3－a “改为1”－2

a 1”“＋a “中元素A 本例若将集合) 变换条件(】1迁移探究【为“－3∈A ”，则实数a 的取值是什么？ 解 ∵－3∈A ，∴－3＝a －3或－3＝2a －1，

若－3＝a －3，则a ＝0.

此时集合A 含有两个元素－3，－1，符合题意.

若－3＝2a －1，则a ＝－1，

此时集合A 含有两个元素－4，－3，符合题意，

综上所述，满足题意的实数a 的值为0或－1.

【迁移探究2】(变换条件) 本例中，若去掉条件“0∈A ”，其他条件不变，试求实数a 的取值.

，1－2a 1≠＋a ，由集合元素的互异性 解 ，

1)≠0＋a 2)(－a (即，2≠0－a －2a 所以 因此a ≠2且a ≠－1.

[课堂小结]

1.判断一组对象的全体能否构成集合，关键是看元素是否确定.若元素不确定，则不能构成集合.集合中的元素是确定的，某一元素a 要么满足a ∈A ，要么满足a ?A ，两者必居其一.这也是判断一组对象能否构成集合

的依据.

2.对符号∈和?的两点说明

(1)符号∈和?刻画的是元素与集合之间的关系，不可表示元素与元素，集合与集合之间的关系.

(2)∈和?具有方向性，左边是元素，右边是集合.

3.集合中元素的三种特性：确定性、互异性、无序性.求集合中字母的取值时，一定要检验是否满足集合中元素的互异性.

1.下列各选项中的对象可组成一个集合的是( )

A.一切很大的数

B.我校高一学生中的女生

C.中国漂亮的工艺品

D.美国NBA 的篮球明星

解析 A 、C 、D 中对象不具有确定性，不能构成集合.

答案 B

)

(中元素的个数为M 则，M 的解为元素组成集合0＝2－x －2x 和0＝3－x 2－2x 若以方程2. A.1

B.2

C.3

D.4 2.

＝4x ，1－＝3x 的解是0＝2－x －2x 方程，3＝2x ，1＝－1x 的解是0＝3－x 2－2x 因为方程 解析 所以以这两个方程的解为元素的集合中的元素应为－1，2，3，共有3个元素.

答案 C

3.已知集合A 中只含有一个元素1，若|b |∈A ，则b ＝________.

解析 由题意可知|b |＝1，∴b ＝±1.

答案 ±1

4.已知集合M 有两个元素3和a ＋1，且4∈M ，求实数a 的值.

解 ∵M 中有两个元素，3和a ＋1，且4∈M ，

∴4＝a ＋1，解得a ＝3.

即实数a 的值为3.

基 础 过 关

1.下列各对象可以组成集合的是( )

A.中国著名的科学家

B.感动中国2016十大人物

C.高速公路上接近限速速度行驶的车辆

D.中国最美的乡村

解析 看一组对象是否构成集合，关键是看这组对象是不是确定的，A ，C ，D 选项没有一个明确的判定标

准，只有B 选项判断标准明确，可以构成集合.

答案 B

) (的取值可以是x 则实数，中含有两个元素A 组成一个集合|x 2|，2x 由2. A.0

B.－2

C.8

D.2 解析 根据集合中元素的互异性，验证可知x 的取值可以是8.

答案 C

3.下列正确的命题的个数有( )

.

Z ?42

⑤；R ?2＋④2；Q ∈12③；*N ∈2②；N ∈1① A.1

B.2

C.3

D.4 解析 ∵1是自然数，∴1∈N ，故①正确； 不正确；

②故，*N ?2∴，不是正整数2∵ 正确；

③故，Q ∈12

∴，是有理数12∵ 不正确；

④所以，R ∈2＋2∴，是实数2＋2∵ .

不正确⑤故，Z ∈42

∴，是整数2＝42∵ 答案 B

________.

＝b ＋a 则，b ，a 中的元素是A 若集合，相等A 的解集与集合0＝4－x 3－2x 方程4. ，

4和1的两根分别是－0＝3－x 3－2x 方程 解析 由题意可知，a ＋b ＝3.

答案 3

5.(2016·成都高一检测)已知集合P 中元素x 满足：x ∈N ，且2

＝________.

解析 因为x ∈N ，且2

答案 6

.

x 2－2x ，x ，3中含有三个元素A 设集合6. (1)求实数x 应满足的条件；

(2)若－2∈A ，求实数x .

解 (1)由集合中元素的互异性可得 ，≠3x 2－2x ，x ≠x 2－2x 且3≠x 解得x ≠－1且x ≠0且x ≠3.

2.

＝－x 2－2x 或2＝－x 则，A 2∈若－(2) ，

1－1≥－21)－x (＝x 2－2x 由于 ，

2－≠x 2－2x 则 所以x ＝－2.

7.设P 、Q 为两个非空实数集合，P 中含有0，2，5三个元素，Q 中含有1，2，6三个元素，定义集合P ＋Q

中的元素是a ＋b ，其中a ∈P ，b ∈Q ，则P ＋Q 中元素的个数是多少？ 解 因为当a ＝0时，b 依次取1，2，6，得a ＋b 的值分别为1，2，6；

当a ＝2时，b 依次取1，2，6，得a ＋b 的值分别为3，4，8； 当a ＝5时，b 依次取1，2，6，得a ＋b 的值分别为6，7，11.

由集合元素的互异性知P ＋Q 中元素为1，2，3，4，6，7，8，11共8个.

.

的值a 求实数，A 3∈且－，组成的12，a 5＋2a 2，2－a 是由三个元素A 已知集合8. ，

a 5＋2a 2＝3或－2－a ＝3－，∴A 3∈－∵ 解 .

32

＝－a 或1＝－a ∴ ，

3＝－a 5＋2a 2，3＝－2－a ，时1＝－a 当 不符合集合中元素的互异性，故舍去.

.

符合题意，3＝－a 5＋2a 2，72

＝－2－a ，时32＝－a 当 .

32

＝－a ，综上可知 能 力 提 升

)

(的取值可以是a 则实数，个元素3中含有A ，A 组成一个集合4，a －2，2a 由9. A.1

B.－2

C.6

D.2 .

正确C ，将选项中的数值代入验证，互不相等4，a －2，2a 即，个元素3中含有A 因 解析 答案 C

10.集合A 中的元素为全部小于1的数，则有( )

A.3∈A

B.1∈A

C.0∈A

D.－3?A 解析 由于集合A 中的元素为全部小于1的数，故3?A ，1?A ，0∈A ，－3∈A ，故只有C 正确.

答案 C

Q

与集合P 若集合，2

a ，1含有两个元素Q 集合，2，1中含有两个元素P 若集合)金华高一检测2016·11.(相等，则a ＝________.

，

Q ＝P 又，2a ，1含有两个元素Q ；集合2，1中含有两元素P ∵ 解析 ≠±1.

a 且2±＝a 解之得，1≠2a 且，2＝2a ∴ 2

± 答案 12.集合A 中含有三个元素2，4，6，若a ∈A ，且6－a ∈A ，那么a 为________.

解析 若a ＝2，则6－2＝4∈A ；若a ＝4，则6－4＝2∈A ；

若a ＝6，则6－6＝0?A .

答案 2或4

.

的值k 试求实数，只有一个元素A 的根组成的集合0＝16＋x 8－2kx 已知由方程13. 解 当k ＝0时，原方程变为－8x ＋16＝0，

所以x ＝2，

此时集合A 中只有一个元素2.

实根，

只有一个0＝16＋x 8－2kx 要使一元二次方程，时≠0k 当 需Δ＝64－64k ＝0，即k ＝1.

4.

中只有一个元素A 集合，4＝2x ＝1x 此时方程的解为 综上可知k ＝0或1.

探 究 创 新

≠1).a (A ∈1

1－a

则

，A ∈a 条件：若且满足，为实数集A 设14. 求证：(1)若2∈A ，则A 中必有另外两个元素；

(2)集合A 不可能是单元素集. .A ∈1

1－a

则，A ∈a 若(1) 证明 .A 1∈＝－1

1－2

所以，A 2∈又因为 .

A ∈1

2

＝11－（－1）所以

，A 1∈因为－ .

A 2∈＝11－12

所以

，A ∈12

因为 .

12

，1分别为－，中必有另外两个元素A 所以 ，11－a

＝

a 则，为单元素集A 若(2) .

而方程无解，0＝1＋a －2a 即 ，11－a

≠

a 所以 所以A 不可能为单元素集.

第2课时 集合的表示

目标定位 1.理解集合的两种常用表示方法(列举法和描述法).2.通过实例能选择自然语言、图形语言、集

合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用.

自 主 预 习

1.列举法

.

括起来表示集合的方法叫做列举法“{}”并用花括号，来出一一列举把集合的元素 满足元素的互异性和元素的无

(2)；}n a ，…，2a ，1a {其一般形式为，分隔开，”“元素间用(1)温馨提示：序性. 2.描述法

(1)定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法.

在竖

，再画一条竖线，范围)或变化(取值及一般符号具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的(2).

公共特征集合中元素所具有的线后写出这个 即 时 自 测

1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)实数集可以写成{实数}，也可以写成{实数集}或{全体实数}.( )

(2)集合{x |x >3}与集合{t |t >3}表示同一个集合.( )

(3)集合A ＝{(1，2)，(0，3)}中共有4个元素.( )

提示 (1)不能，因为花括号“{}”表示“所有、全部”的意思.

(2)虽然两个集合的代表元素的符号(字母)不同，但实质上它们均表示大于3的所有实数，故表示同一个集

合.

(3)集合A 是由坐标平面上的点构成的集合，A 中只有2个元素.

答案 (1)× (2)√ (3)×

2.已知A ＝{x |3－3x >0}，则有( )

A.3∈A

B.1∈A

C.0∈A

D.－1?A 解析 A ＝{x |3－3x >0}＝{x |x <1}，所以0∈A .

答案 C

)

(为0}＝1＋x 2－2x |x {用列举法表示集合3. A.{1，1}

B.{1} 1}

＝x C.{

0}＝1＋x 2－2x {.D {1}.

的解集为0＝1＋x 2－2x 故方程，1＝2x ＝1x 所以，0＝21)－x (可化简为0＝1＋x 2－2x 方程 解析 答案 B

4.平面直角坐标系中第一象限的点组成的集合可表示为{(x ，y )|________}.

解析 平面直角坐标系中第一象限的点满足横、纵坐标都大于0，即x >0，y >0，故第一象限的点组成的集合

可表示为{(x ，y )|x >0，y >0}.

答案 x >0，y >0

类型一 用列举法表示集合 【例1】 用列举法表示下列集合： (1)36与60的公约数组成的集合；

(2)方程(x －4)2

(x －2)＝0的根组成的集合；

(3)一次函数y ＝x －1与y ＝－23x ＋43

的图象的交点组成的集合.

解 (1)36与60的公约数有1，2，3，4，6，12，所求集合为{1，2，3，4，6，12}； (2)方程(x －4)2(x －2)＝0的根是4，2，所求集合为{4，2}；

(3)方程组????

?x －y ＝1，2x ＋3y ＝4

的解是?????x ＝75，y ＝25

，所求集合为??????? ????75，25.

规律方法 1.本例(2)在求解中易出现{4，4，2}的错误表示；本例(3)在求解时易出现????

??

75，25的错误.

2.用列举法书写集合时，先应明确集合中的元素是什么.如本例(3)是点集{(x ，y )}，而非数集{x ，y }. 【训练1】用列举法表示下列集合： (1)小于10的正偶数组成的集合；

(2)方程x (x 2

－1)＝0的所有实数根组成的集合； (3)直线y ＝x 与y ＝2x －1的交点组成的集合.

解 (1)小于10的正偶数有2，4，6，8，所求集合为{2，4，6，8}.

(2)方程x (x 2

－1)＝0的根为0，±1，所求集合为{0，－1，1}.

(3)方程组?????y ＝x ，y ＝2x －1的解是?

????x ＝1，

y ＝1，所求集合为{(1，1)}.

类型二 用描述法表示集合 【例2】用描述法表示下列集合： (1)使y ＝

1

x2＋x －6

有意义的实数x 的集合；

(2)函数y ＝ax 2

＋bx ＋c (a ≠0)的图象上所有点的集合； (3)方程x 2

＋(m ＋2)x ＋m ＋1＝0(m ∈Z )的解集. 解 (1)要使y ＝

1x2＋x －6

有意义，则x 2

＋x －6≠0，即x ≠2且x ≠－3，故可写成{x ∈R |x ≠2且x ≠－3}.

(2)易知集合可写成{(x ，y )|y ＝ax 2

＋bx ＋c ，a ≠0，x ∈R }. (3)易知集合可写成{x |x 2

＋(m ＋2)x ＋m ＋1＝0，m ∈Z ，x ∈R }.

规律方法 1.描述法表示集合的两个步骤：①写出代表元素，明确代表元素含义，注意区别数集与点集.②明确元素的特征，并将集合中元素所具有的公共特征写在竖线的后面.

2.描述法表示集合，注意三点：①所有描述的内容都要写在花括号内.例如，{x ∈Z |x ＝2k ，k ∈Z }；②不能出现未被说明的字母；③在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围务必说明，如果省略不写，则默认

x ∈R .

【训练2】 用描述法表示下列集合：

(1)满足不等式3x ＋2>2x ＋1的实数x 组成的集合； (2)坐标平面上第一、三象限内点的集合； (3)所有正奇数组成的集合.

解 (1){x |3x ＋2>2x ＋1}＝{x |x >－1}. (2){(x ，y )|xy >0，且x ，y ∈R }. (3){x |x ＝2k －1，k ∈N *

}.

类型三 集合表示方法的应用(互动探究)

【例3】已知f (x )＝x 2－ax ＋b (a ，b ∈R )，A ＝{x ∈R |f (x )－x ＝0}，B ＝{x ∈R |f (x )－ax ＝0}，若A ＝{1，－3}，试用列举法表示集合B . [思路探究]

探究点一 如何利用条件首先确定函数f (x )的解析式？

提示 根据A ＝{1，－3}，进而由根与系数的关系确定f (x )－x ＝0中的a ，b . 探究点二 怎样用列举法表示出集合B?

提示 解出方程f (x )－ax ＝0的实根，确定集合B .

解 ∵f (x )－x ＝0，即x 2

－(a ＋1)x ＋b ＝0，又集合A ＝{1，－3}，由根与系数的关系得

?

????1＋（－3）＝a ＋1，1×（－3）＝b. 所以?

????a ＝－3，b ＝－3，所以f (x )＝x 2＋3x －3.

f (x )－ax ＝0，亦即x 2＋6x －3＝0，

解得x ＝－3±23.

因此B ＝{x |x 2

＋6x －3＝0}＝{－3－23，－3＋23}.

规律方法 1.(1)已知集合是用列举法给出的，整体把握元素的共同特征是解题的关键.(2)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键.

2.对于一些已知某个集合(此集合中涉及方程)中的元素(或元素个数)，求参数的问题，常把此集合的问题转化为方程的解的问题，但必要时要注意讨论.

【训练3】 已知集合A ＝{x ∈R |ax 2

－3x ＋2＝0}，若集合A 中有两个元素，求实数a 取值范围的集合. 解 若A 中有两个元素，则一元二次方程ax 2

－3x ＋2＝0 有两个不等的实根，

所以?

????Δ＝（－3）2－8a>0，a≠0，解得a <98，且a ≠0.

因此实数a 取值范围的集合为???

?

??

a ???a<98

，且a≠0.

[课堂小结] 1.表示集合的要求：

(1)根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般要符合最简原则.

(2)一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合. 2.在用描述法表示集合时应注意：

(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式. (2)元素具有怎样的属性.当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑.

1.集合{x |－3≤x ≤3，x ∈N }用列举法表示应是( )

A.{1，2，3}

B.{0，1，2，3}

C.{－2，－1，0，1，2}

D.{－3，－2，－1，0，1，2，3}

解析 由－3≤x ≤3，x ∈N ，

∴x ＝0，1，2，3，则B ＝{0，1，2，3}.

答案 B

2.集合{(x ，y )|y ＝2x ＋3}表示( )

A.方程y ＝2x ＋3

B.点(x ，y )

C.函数y ＝2x ＋3图象上的所有点组成的集合

D.平面直角坐标系中的所有点组成的集合

解析 集合{(x ，y )|y ＝2x ＋3}的代表元素是(x ，y )，x ，y 满足的关系式为y ＝2x ＋3，因此集合表示的是满

足关系式y ＝2x －1的点组成的集合.

答案 C

3.设A ＝{4，a }，B ＝{2，ab }，若集合A 与集合B 相等，则a ＋b ＝________.