北京市朝阳区重点高中2014届下学期高三一模数学试卷(理科,有答案)

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2014朝阳一模北京市朝阳区2014届高三第一次综合练习理科4份(语数英理综)

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习语文试卷2014．3(考试时间l50分钟满分l50分)本试卷共6页。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，请交回答题卡。

一、本大题共5小题，每小题3分，共15分。

阅读下面文字，完成1～3题。

北京城是大气的。

这种大气首先体现在建筑上，不要说偌．大的一个紫禁城只住皇帝“一家人”，便是最不起眼的四合院，也是疏落有致，颇多空间的。

北京城的大气更体现在文化上，北京从来就是汉胡①，五方杂处．的地方，三教九流，五行八作，都在这里出入、汇集和发展，各种文化都在这里交流、碰撞和融合。

一个外地人，只要他到了北京，保准不会感到别扭；如果他还很随和，会说几句普通话，那么，用不了几天，他几乎就会觉得自己是个北京人了。

这就是北京：古老而又新鲜，博大而又精深，高远而又亲切，迷人而又难解。

它是单纯的，单纯得你一眼就能认出这就是北京；它又是多彩的，多彩得你永远无法一言以蔽之。

而无论久远深厚的历史也好，生机勃发的现实也好；豪雄甲的王气也好，醇厚平和的民风也好，只要你一走进北京，它们都会向你扑面而来，让你②。

你可能会惊异于现代都会的日新月异，也可能会流连于千年古都的乙深沉；可能会丙于文化名邑的清雅幽远，也可能会迷恋于民众舞台的柳暗花明。

所有这些，都会使一个初进北京的人感到无比的神奇，它会使你心旌摇荡，神志痴迷，不知所以。

可以这么说，任何试图读懂北京的人，一开始，都会有一种不得其门而入的感觉。

(取材于易中天《读城记》，有删改) 1．文中加点字的读音和填入①②处的词语的字形全都正确的一组是A．偌．(nuò)大杂揉五方杂处．(chǔ) 目不瑕接B．偌．(ruò)大杂糅五方杂处．(chǔ) 目不暇接C．偌．(nuò)大杂揉五方杂处．(chù)) 目不暇接D．偌．(ruò)大杂糅五方杂处．(chù) 目不瑕接2．依次填入文中甲、乙、丙处的词语，最恰当的一组是A．浩荡深厚沉湎B．浩瀚雄厚沉湎C．浩荡雄厚沉醉D．浩瀚深厚沉醉3．文中黑体字成语运用不恰当．．．的一项是A．一言以蔽之B．生机勃发C．柳暗花明D．不知所以4．下列四副对联中，最适宜用来迎接友人来访的一项是A．珠联璧合乾坤定，花好月圆鸾凤鸣。

2014年北京朝阳高考二模数学理科带答案

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类) 2014．5第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合}{|230A x x =∈-R ≥，集合}{2|320B x x x =∈-+<R ，则AB =（）．A ．3|2x x ⎧⎫⎨⎬⎭⎩≥B ．3|22x x ⎧⎫<⎨⎬⎭⎩≤C ．}{|12x x <<D ．3|22x x ⎧⎫<<⎨⎬⎭⎩2．如果0a b >>，那么下列不等式一定成立的是（）．A ．33log log a b <B ．11()()44a b >C ．11a b< D ．22a b <3．执行如右图所示的程序框图，若输出的结果为2，则输入的正整数a 的可能取值的集合是（）．A ．}{1,2,3,4,5B ．}{1,2,3,4,5,6C ．}{2,3,4,5D ．}{2,3,4,5,64．已知函数π()sin()(0,0,)2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图像如右图所示，则ϕ=（）．A ．π6-B ．π6C ．π3-D ．π35．已知命题:p 复数1iiz +=在复平面内所对应的点位于第四象限；命题:q 0x ∃>，cos x x =，则下列命题中为真命题的是（）．A ．()()p q ⌝∧⌝B ．()p q ⌝∧C ．()p q ∧⌝D ．p q ∧6．若双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线与圆22(2)1x y +-=至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是（）．A ．(1,2]B ．[2,)+∞C ．(1D ．)+∞7．某工厂分别生产甲、乙两种产品1箱时所需要的煤、电以及获得的纯利润如下表所示．(P )M NDCBA）． A ．60万元 B ．80万元 C ．90万元 D ．100万元8．如图放置的边长为1的正PMN △沿边长为3的正方形ABCD 的各边内侧逆时针方向滚动．当PMN △沿正方形各边滚动一周后，回到初始位置时，点P 的轨迹长度是（）． A ．8π3 B ．16π3C ．4πD ．5π第二部分（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．已知平面向量a ，b 满足1=a ，2=b ，a 与b 的夹角为60︒，则2+=ab __________．10．5(12)x -的展开式中3x 项的系数为___________．（用数字表示）11．如图，AB 为圆O 的直径，2AB =，过圆O 上一点M 作圆O 的切线，交AB 的延长线于点C ，过点M 作MD AB ⊥于点D ，若D 是OB 中点．则•AC BC =___________．MA12．由两个四棱锥组合而成的空间几何体的三视图如图所示，则其体积是________；表面积是_________．13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足24n n S a =-*()n ∈N ，则n a =_________；数列{}2log n a 的前n 项和为_____________．14．若存在正实数M ，对于任意(1,)x ∈+∞，都有()≤f x M ，则称函数()f x 在(1,)+∞上是有界函数．下列函数① 1()1f x x =-；②2()1x f x x =+；③ln ()x f x x=；④()sin f x x x =，其中“在(1,)+∞上是有界函数”的序号为__________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且2π3A =，3b =，ABC △ （I ）求边a 的边长；（II ）求cos 2B 的值．16．（本题满分13分）某市规定，高中学生三年在校期间参加不少于80小时的社区服务才合格．教育部门在全市随机抽取200学生参加社区服务的数据，按时间段[)75,80，[)80,85，[)85,90，[)90,95，[]95,100（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（I ）求抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数，并估计从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率；（II ）从全市高中学生（人数很多）中任意选取3位学生，记ξ为3位学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数．试求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ．17．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，,E F 分别为PA ,BD 中点，2PA PD AD ===．（I ）求证：//EF 平面PBC ; （II ）求二面角E DF A --的余弦值；（III ）在棱PC 上是否存在一点G ,使GF ⊥平面EDF ?若存在，指出点G 的位置；若不存在，说明理由．18．（本小题满分13分）已知函数21()e 1,x f x ax a +=-+∈R ．（I ）若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线与直线e 10x y ++=垂直，求a 的值；（II ）求函数()f x 的单调区间；（III ）设32e a <，当[0,1]x ∈时，都有()1f x …成立，求实数a 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆C 的中心在原点O ,焦点在x 轴上，离心率为12，右焦点到到右顶点的距离为1．（I ）求椭圆C 的标准方程；（II ）是否存在与椭圆C 交于A ,B 两点的直线l ：()y kx m k =+∈R ，使得22OA OB OA OB +=-uu r uu u r uu r uu u r成立？若存在，求出实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由．20．（本小题满分13分）已知12,x x 是函数2()f x x mx t =++的两个零点，其中常数,m t ∈Z ，设120nn r rn r T x x -==∑（*n ∈N ）．（I ）用,m t 表示1T ，2T ; （II ）求证：543T mT tT =--;（III ）求证：对任意的*n ∈N ，n T ∈Z ．北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类）2014．515．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由1sin 2ABC S bc A ∆=得，13sin 23ABC S c ∆2π=⨯⨯=．所以5c =．由2222cos a b c bc A =+-得，22235235cos493a 2π=+-⨯⨯⨯=，所以7a =． ……………7分（Ⅱ）由得，，所以sin B =所以271cos 212sin 98B B =-=． ……………13分 16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）根据题意，参加社区服务时间在时间段小时的学生人数为（人），参加社区服务时间在时间段小时的学生人数为（人）．所以抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为80人．所以从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率估计为6020802.2002005P +=== ……………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，从全市高中生中任意选取1人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率为2.5由已知得，随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3．所以00332327(0)()()55125P C ξ==⋅=； 11232354(1)()()55125P C ξ==⋅=；22132336(2)()()55125P C ξ==⋅=；3303238(3)()()55125P C ξ==⋅=．随机变量ξ的分布列为因为 ξ~2(3)5B ，，所以355E ξ=⨯=． ……………13分 17．（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）如图，连结AC ．因为底面ABCD 是正方形，所以AC 与BD 互相平分．又因为F 是BD 中点，所以F 是AC 中点．在△PAC 中，E 是PA 中点，F 是AC 中点，所以EF ∥PC ．又因为EF ⊄平面PBC ，PC ⊂平面PBC ，所以EF ∥平面PBC ． ……………4分（Ⅱ）取AD 中点O ．在△PAD 中，因为PA PD =，所以PO AD ⊥．因为面PAD ⊥底面ABCD ，且面PAD面=ABCD AD，所以PO ⊥面ABCD ．因为OF ⊂平面ABCD 所以PO OF ⊥．又因为F 是AC中点，所以OF AD ⊥．如图，以O 为原点，,,OA OF OP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系．因为2PA PD AD ===，所以OP =则(0,0,0)O ，(1,0,0)A ，(1,2,0)B ，(1,2,0)C -，(1,0,0)D-，P ，1(2E ，(0,1,0)F ．于是(0,2,0)AB =，3(2DE =，(1,1,0)DF =．因为OP ⊥面ABCD ，所以OP =是平面FAD 的一个法向量．E P DCBAF设平面EFD 的一个法向量是000=(,,)x y z n ．因为0,0,DF DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以00000,30,2x y x z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩即0000,.y x z =-⎧⎪⎨=⎪⎩ 令01x =则=(1,1,-n ．所以cos ,OP OP OP ⋅<>===⋅n n n由图可知，二面角E-DF-A 为锐角，所以二面角E-DF-A ．…10分（Ⅲ）假设在棱PC 上存在一点G ，使GF ⊥面EDF ．设111(,,)G x y z ，则111=(,1,)FG x y z -．由（Ⅱ）可知平面EDF 的一个法向量是=(1,1,-n ．因为GF ⊥面EDF ，所以=FG λn ．于是，111,1,xy z λλ=-=-=，即111,1,x y z λλ==-=．又因为点G 在棱PC 上，所以GC 与PC 共线．因为(1,2,PC =-，111(+1,2,)CGx y z =-，所以111212x y +--==．所以1112λλ+---==，无解．故在棱PC 上不存在一点G ，使GF ⊥面EDF 成立． ……………14分 18．（本小题满分13分）（Ⅰ）由已知得21()2e x f x a +'=-．因为曲线在点处的切线与直线e 10x y ++=垂直，所以(0)e f '=．所以(0)2e e f a '=-=．所以e a =． ……………3分（Ⅱ）函数的定义域是，21()2e x f x a +'=-．（1）当0a ≤时，成立，所以的单调增区间为．（2）当0a >时，令，得11ln 222a x >-，所以的单调增区间是11(ln ,)222a -+∞；令，得11ln 222a x <-，所以的单调减区间是11(,ln )222a -∞-．综上所述，当0a ≤时，的单调增区间为；当0a >时，的单调增区间是11(ln ,)222a -+∞，的单调减区间是11(,ln )222a -∞-． ……………8分（Ⅲ）当时，(0)e 11f =+≥成立，． “当时，21()e 11x f x ax +=-+≥恒成立”等价于“当时，21e x a x+≤恒成立．”设21e ()x g x x+=，只要“当时，min ()a g x ≤成立．”212(21)e ()x x g x x +-'=．令()0g x '<得，12x <且0x ≠，又因为，所以函数在上为减函数；令()0g x '>得，12x >，又因为，所以函数在1(,1]2上为增函数．所以函数在处取得最小值，且21()2e 2g =．所以22e a ≤．又因为a 32e <，所以实数的取值范围22(,e]-∞． ……………13分（Ⅲ）另解：（1）当0a ≤时，由（Ⅱ）可知，在[0,1]上单调递增，所以()(0)e 1f x f ≥=+．所以当0a ≤时，有()1f x ≥成立．（2）当02e a <≤时，可得11ln 0222a -≤．由（Ⅱ）可知当0a >时，的单调增区间是11(ln ,)222a -+∞，所以在[0,1]上单调递增，又()(0)e 1f x f ≥=+，所以总有成立．（3）当32e 2e a <<时，可得110ln 1222a <-<．由（Ⅱ）可知，函数在11[0,ln )222a -上为减函数，在11(ln ,1]222a -为增函数，所以函数在11ln 222a x =-处取最小值，且ln 211(ln )e ln 1ln 122222222a a a a a a af a -=-++=-+．当时，要使成立，只需ln 1122a aa -+≥，解得22e a ≤．所以22e 2e a <≤．综上所述，实数的取值范围22(,e ]-∞．19．（本小题满分14分）（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22221x y a b +=()0a b >>，半焦距为c .依题意12c e a ==，由右焦点到右顶点的距离为1，得1a c -=．解得1c =，2a =．所以2223b a c =-=．所以椭圆C 的标准方程是22143x y +=． ……………4分（Ⅱ）解：存在直线l ，使得22OA OB OA OB +=-成立.理由如下：由22,1,43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(34)84120k x kmx m +++-=．222(8)4(34)(412)0km k m ∆=-+->，化简得2234k m +>．设1122(,),(,)A x y B x y ，则122834kmx x k +=-+，212241234m x x k -=+．若22OA OB OA OB +=-成立，即2222OA OB OA OB +=-，等价于0OA OB ⋅=．所以12120x x y y +=．1212()()0x x kx m kx m +++=，221212(1)()0k x x km x x m ++++=，222224128(1)03434m kmk km m k k -+⋅-⋅+=++, 化简得，2271212m k =+．将227112k m =-代入2234k m +>中，22734(1)12m m +->，解得，234m >．又由227121212m k =+≥，2127m ≥，从而2127m ≥，m ≥m ≤ 所以实数m 的取值范围是2(,[21,)7-∞+∞． ……………14分 20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由，12x x t =．因为120nn r rn r T xx-==∑，所以．222222212112212120()r r r T x x x x x x x x x x m t -===++=+-=-∑． …………3分（Ⅱ）由12kk r rk r T xx -==∑，得54545551211221420r r r r r r T xx x x x x x T x --====+=+∑∑．即55142T x T x =+，同理，44132T x T x =+．所以5241232x T x x T x =+．所以5142412312412343()()T x T x T x x T x x T x x T mT tT =+-=+-=--．……………8分（Ⅲ）用数学归纳法证明．（1）当1,2n =时，由（Ⅰ）问知k T 是整数，结论成立．（2）假设当1,n k =-n k =（2k ≥）时结论成立，即1,k k T T -都是整数．由12kk r r k r T xx -==∑，得11111211220k kk r rk r r k k r r T xx x x x x ++--++====+∑∑．即1112k k k T x T x ++=+．所以112kk k T xT x -=+，121212k k k x T x x T x +-=+．所以11212112121()()k k k k k k T x T x T x x T x x T x x T +--=+-=+-．即11k k k T mT tT +-=--．由1,k k T T -都是整数，且，，所以也是整数．即1n k =+时，结论也成立．由（1）（2）可知，对于一切，的值都是整数． ………13分。

北京市朝阳区2014届高三第一次综合练习文科数学试卷(带解析)

北京市朝阳区2014届高三第一次综合练习文科数学试卷（带解析）1．已知集合|03}A x x =∈<<N ｛,1|21}x B x -=>｛,则A B =（）（A ）∅ （B ）{}1 （C ）{}2 （D ）{}1,2【答案】C 【解析】试题分析：1|21}|1}x B x x x -=>=>｛｛，{}|13,}2A B x x x N =<<∈=｛．考点：集合运算．2．已知i 为虚数单位,复数2i1i-的值是（）（A ）1i -- （B ）1i + （C ）1i -+ （D ）1i -【答案】C 【解析】试题分析：()212i 11i 2i i i +==-+-．考点：复数运算．3．若,x y 满足约束条件,1,33,x y y x x y +⎧⎪+⎨⎪+⎩≤3≤≥则函数2z x y =-的最大值是（）（A ）1- （B ）0 （C ）3 （D ）6 【答案】D 【解析】试题分析：由约束条件,1,x y y x +⎧⎪+⎨≤3≤画出可行域，由可行域可知，在()3,0点取得最大值，j4．在索契冬奥会跳台滑雪空中技巧比赛赛前训练中,甲、乙两位队员各跳一次．设命题p 是“甲落地站稳”,q 是“乙落地站稳”,则命题“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为（）（A ）p q ∨ （B ）()p q ∨⌝ （C ）()()p q ⌝∧⌝ （D ）()()p q ⌝∨⌝【答案】D 【解析】试题分析：“至少有一位队员落地没有站稳”它的否定是“两位队员落地都站稳”，故为P q ∧，而P q ∧的否定是()()p q ⌝∨⌝．考点：逻辑量词．5．执行如右图所示的程序框图，则输出S 的值是（）（A ）10 （B ）17 （C ）26 （D ）28 【答案】Ｂ【解析】试题分析：第一次运行后2,3S i ==；第二次运行后5,5S i ==；第三次运行后10,7S i ==；第四次运行后17,9S i ==；此时满足97>，终止运行，故输出17S =考点：算法框图．6．函数2sin ()1xf x x =+的图象大致为（）【答案】A 【解析】试题分析：因为函数()f x 满足，()()22sin sin ()()11x xf x f x x x --==-=-+-+，故函数()f x 为奇函数，所以函数()f x 的图象关于原点对称可排除,C D ，当2x π=时,函数()02f π>，可排除B ，故选A ．考点：函数的奇偶性，函数图像．7．已知AB 和AC 是平面内两个单位向量，它们的夹角为60，则2A B A C -与CA 的夹角是（）（A ）30 （B ）60 （C ）90 （D ）120 【答案】C 【解析】试题分析：由题意1AB =，1AC =，1cos 602AB AC AB AC ⋅=︒=，222124444132AB AC AB AB AC AC -=-⋅+=-⨯+=，故23AB AC -=，()21222102AB AC CA AB CA AC ⎛⎫-⋅=⋅+=⨯-+= ⎪⎝⎭，所以()2cos 2,02AB AC CA AB AC CA AB AC CA-⋅〈-〉==-，故2AB AC -与CA 的夹角是90︒．考点：向量的数量积． 8．如图，梯形ABCD 中，ADBC ,1AD AB ==,AD AB ⊥,45BCD ∠= ,将ABD∆沿对角线BD 折起．设折起后点A 的位置为A '，并且平面A BD '⊥平面BCD .给出下面四个命题：①A D BC '⊥；②三棱锥A BCD '-的体积为2；③CD ⊥平面A BD '；④平面A BC '⊥平面A DC '.CBA其中正确命题的序号是（）（A ）①② （B ）③④ （C ）①③ （D ）②④【答案】Ｂ【解析】试题分析：①若A D BC '⊥，取BD 的中点O ，由''A D A B =得，'A O BD ⊥，又因为平面A BD '⊥平面BCD ，所以'A O ⊥平面BCD ，即'A O BC ⊥，所以BC ⊥平面A BD '，得BC BD ⊥，而45DBC ∠=︒，故命题不成立；②三棱锥A BCD '-的体积为113226V =⨯=，故命题不成立；③因为45BCD ∠=，45DBC ∠=，所以CD BD ⊥，又因为平面A BD '⊥平面BCD ，CD ⊥平面A BD '，故命题成立；④由③知CD ⊥平面A BD '，故'CD A B ⊥，又因为''A D A B ⊥，所以'A B ⊥平面A DC '，所以平面A BC '⊥平面A DC '，故命题成立；由此可得正确命题的序号是③④．182022242628303234C考点：立体几何中垂直问题．9．抛物线28y x =的准线方程是 . 【答案】2x =- 【解析】试题分析：由题意可知28p =，所以22p=，焦点在x 轴的正半轴，故准线方程是2x =-．考点：抛物线的准线．10．在一次选秀比赛中，五位评委为一位表演者打分，若去掉一个最低分后平均分为90分，去掉一个最高分后平均分为86分.那么最高分比最低分高分. 【答案】16 【解析】试题分析：设最高分与最低分分别为,x y ，则486490x y +⨯=+⨯，解得49048616x y -=⨯-⨯=．考点：统计，平均值．11．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边．已知4b =,2c =,60A ∠=，则a =；C ∠= .【答案】30 【解析】试题分析：由余弦定理得，222222cos 42242cos6012a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯︒=，所以a =，由正弦定理得，sin sin c a C A =，即sin 1sin 2c A C a ===，又因为c a <，所以30C =︒．考点：解三角形．12．一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为；表面积为．【答案】12；3【解析】211211132S =⨯⨯⨯+⨯⨯+=+8101214161820222411考点：由三视图求面积、体积．13．已知直线y x m =+与曲线224x y +=交于不同的两点,A B ，若||AB ≥m 的取值范围是 .【答案】⎡⎣【解析】试题分析：设AB的重点为D ，由22144OD AB +=得，俯视图222211412344OD AB OD OD =+≥+⨯=+，从而得1OD ≤，由点到直线的距离公式可得1m OD =≤，解得m ≤≤考点：直线与圆相交的性质．14．将1，2，3，，9这9个正整数分别写在三张卡片上，要求每一张卡片上的任意两数之差都不在这张卡片上．现在第一张卡片上已经写有1和5，第二张卡片上写有2，第三张卡片上写有3，则6应该写在第张卡片上；第三张卡片上的所有数组成的集合是．【答案】二；{}3,4,9【解析】试题分析：由题意，4不能写在第一张卡片上，因为541-=，4不能写在第二张卡片上，因为422-=，故4只能写在第三张卡片上；6不能写在第一张卡片上，因为651-=，6不能写在第三张卡片上，因为633-=，故6只能写在第二张卡片上；8不能写在第二张卡片上，因为862-=，8不能写在第三张卡片上，因为844-=，故8只能写在第一张卡片上；剩余7,9只能放到第二，三张卡片上，7不能写在第三张卡片上，因为743-=，故7只能写在第二张卡片上，剩余9只能放到第三张卡片上，故6应该写在第二张卡片上；第三张卡片上的所有数组成的集合是{}3,4,9．考点：逻辑推理．15．已知函数()2sin cos f x x x x =. （1）求(0)f 的值及函数()f x 的单调递增区间；（2）求函数()x f 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．【答案】（1）(0)f =)(x f 的单调递增区间是π5ππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ；（2）()fx 取得最小值()f x 取得最大值2．【解析】试题分析：（1）求(0)f 的值及函数()f x 的单调递增区间，首先对函数()f x 进行化简，将他化为一个角的一个三角函数，由已知()2sin cos f x x x x =，可用二倍角公式将函数()f x 化为π()2sin(2)3f x x =-，即可求出()2f π的值及函数()f x 的单调递增区间；（2）求函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值，由（1）知π()2sin(2)3f x x =-，由π0,2x ≤≤得，ππ2π2333x --≤≤，可利用sin y x =的图像可得，函数()x f 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．试题解析：（1）因为π()sin 222sin(2)3f x x x x ==-所以，(0)f =由πππ2π22π232k x k -+-+≤≤,k ∈Z ，得π5πππ1212k x k -++≤≤，k ∈Z 所以)(x f 的单调递增区间是π5ππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z . 8分（2）因为π0,2x ≤≤所以ππ2π2333x --≤≤. 所以，当ππ233x -=-，即0x =时，()f x取得最小值当ππ232x -=即5π12x =时，()f x 取得最大值2. 13分考点：三角函数化简，倍角公式，三角函数的单调性与最值．16．某单位从一所学校招收某类特殊人才．对20位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试，其测试结果如下表：例如表中运动协调能力良好且逻辑思维能力一般的学生是4人．由于部分数据丢失，只知道从这20位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到逻辑思维能力优秀的学生的概率为15．（1）求a ，b 的值；（2）从运动协调能力为优秀的学生中任意抽取2位，求其中至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的概率．【答案】（1）2a =，4b =；（2）3()5P B =．【解析】试题分析：（1）求a ，b 的值，由题意，从这20位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到逻辑思维能力优秀的学生的概率为15，而由表中数据可知，运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生共有(2)a +人，可由21()205a P A +==，解出a 的值，从而得b 的值；（2）从运动协调能力为优秀的学生中任意抽取2位，求其中至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的概率，这显然是古典概型，由题意，运动协调能力为优秀的学生共有6位，列出从6人中任意抽取2人的方法，得方法数，找出至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的方法数，由古典概型，可求出至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的概率．试题解析：（I ）由题意可知，逻辑思维能力优秀的学生共有(2)a +人．设事件A ：从20位学生中随机抽取一位，逻辑思维能力优秀的学生，则21()205a P A +==．解得 2a =．所以4b =． 5分（2）由题意可知，运动协调能力为优秀的学生共有6位，分别记为123456,,,,,M M M M M M ．其中5M 和6M 为运动协调能力和逻辑思维能力都优秀的学生.从中任意抽取2位，可表示为1213141516,,,,M M M M M M M M M M ,2324,,M M M M2526,M M M M ,343536,,M M M M M M ,454656,,M M M M M M ，共15种可能．设事件B ：从运动协调能力为优秀的学生中任意抽取2位，其中至少有一位逻辑思维能力优秀的学生．事件B 包括1516,M M M M ,2526,M M M M ,3536,M M M M ,454656,,M M M M M M ，共9种可能．所以93()155P B ==．所以至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的概率为35． 13分考点：古典概型． 17．在四棱柱1111ABCD A BC D -中，1AA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为菱形，O 为11AC 与11B D 交点，已知11AA AB ==,60BAD ∠=.（1）求证：11AC ⊥平面11B BDD ；（2）求证：AO ∥平面1BC D ；（3）设点M 在1BC D ∆内（含边界）,且OM ⊥11B D ，说明满足条件的点M 的轨迹，并求OM 的最小值.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）M 点在线段1C E 上，OM的最小值min 7OM =．【解析】试题分析：（1）求证：11AC ⊥平面11B BDD ，证明线面垂直，即证线线垂直，即在平面11B BDD 找两条相交直线与11AC 垂直，由于底面1111A B C D 为菱形，则1111ACB D ⊥，又1AA ⊥底面ABCD ，得1BB ⊥底面1111A BCD ，即1BB ⊥11AC ，从而得证；（2）求证：AO ∥平面1BC D ，证明线面平行，首先证明线线平行，可用三角形的中位线平行，也可用平行四边形的对边平行，注意到O 是11AC 的中点，连接AC ,交BD 于点E ，连接1C E ，证得四边形1AOC E 是平行四边形，从而得AO ∥1C E ，从而可证AO ∥平面1BC D .；（3）连接OE ，则BD OE ⊥，又在1BC D ∆中，11C D C B =,又E 为BD 中点，所以BD ⊥1C E ，得BD ⊥平面1C EO ，由已知可知，BD ∥11B D ，由OM ⊥11B D ，得OM BD ⊥，故M 点一定在线段1C E 上，这样就得到点M 的轨迹，进而可得OM 的最小值.试题解析：（1）依题意, 因为四棱柱1111ABCD A BC D -中，1AA ⊥底面ABCD ，所以1BB ⊥底面1111A B C D .又11AC ⊂底面1111A B C D ,所以1BB ⊥11AC .因为1111A B C D 为菱形，所以1111AC B D ⊥.而1111BB B D B =，所以11AC ⊥平面11B BDD .4分（2）连接AC ,交BD 于点E ，连接1C E .依题意，1AA ∥1CC ,且11AA CC =，1AA AC ⊥,所以11A ACC 为矩形.所以1OC ∥AE .又11112OC AC =,12AE AC =,11AC AC =, 所以1OC =AE ，所以1AOC E 为平行四边形，则AO ∥1C E .又AO ⊄平面1BC D ，1C E ⊂平面1BC D ,所以AO ∥平面1BC D . 9分（3）在1BC D ∆内，满足OM ⊥11B D 的点M 的轨迹是线段1C E ，包括端点.分析如下：连接OE ，则BD OE ⊥.由于BD ∥11B D ,故欲使OM ⊥11B D ，只需OM BD ⊥,从而需ME BD ⊥.又在1BC D ∆中，11C D C B =,又E 为BD 中点，所以BD ⊥1C E .故M 点一定在线段1C E 上.当1OM C E ⊥时，OM 取最小值.在直角三角形1OC E 中，1OE =,12OC =,12C E =,所以1min 17OC OE OM C E ⋅==. 14分考点：线面平行的判定，线面垂直的判定．18．设函数()ln f x x =，()1g x ax =+，a ∈R ，记()()()F x f x g x =-. （1）求曲线()y f x =在e x =处的切线方程；（2）求函数()F x 的单调区间；（3）当0a >时，若函数()F x 没有零点，求a 的取值范围.【答案】（1）曲线()y f x =在e x =处的切线方程1e y x =；（2）当0a ≤时，函数()F x 的增区间是(0,)+∞，当0a >时，函数()F x 的增区间是1(0,)a ，减区间是1(,)a +∞；（3）实数a 的取值范围为21(,)e +∞.【解析】试题分析：（1）求曲线()y f x =在e x =处的切线方程，由导数的几何意义得，对函数()f x 求导得1()f x x '=，既得函数()f x 在e x =处的切线的斜率为1e k =，又(e)1f =，得切点(),1e ，由点斜式可得切线方程；（2）求函数()F x 的单调区间，由题意得，()ln 1F x x ax =--，求函数()F x 的单调区间，先确定函数的定义域为()0,+∞，由于含有对数函数，可对函数()F x 求导得，11()axF x a x x -'=-=，由于含有参数a ，需对a 讨论，分0a ≤，0a >两种情况，从而得函数()F x 的单调区间；（3）当0a >时，若函数()F x 没有零点，即()ln 10F x x ax =--=无解，由（2）可知，当0a >时，函数()F x 的最大值为1F a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，只要1F a ⎛⎫ ⎪⎝⎭小于零即可，由此可得a 的取值范围．试题解析：(1)1()f x x '=，则函数()f x 在e x =处的切线的斜率为1e k =.又(e)1f =，所以函数()f x 在e x =处的切线方程为11(e)e y x -=-,即1e y x= 4分（2）()ln 1F x x ax =--，11()ax F x a x x -'=-=，（0x >）.①当0a ≤时，()0F x '>，()F x 在区间(0,)+∞上单调递增； ②当0a >时，令()0F x '<，解得1x a >；令()0F x '>，解得10x a <<.综上所述，当0a ≤时，函数()F x 的增区间是(0,)+∞；当0a >时，函数()F x 的增区间是1(0,)a ，减区间是1(,)a +∞. 9分（3）依题意，函数()F x 没有零点，即()ln 10F x x ax =--=无解.由（2）知，当0a >时，函数()F x 在区间1(0,)a 上为增函数,区间1(,)a +∞上为减函数，由于(1)10F a =--<，只需111()ln 1ln 20F a a a a a =-⋅-=--<，解得2e a ->.所以实数a 的取值范围为21(,)e +∞. 13分考点：函数与导数，导数的几何意义，函数的单调性，函数的零点．19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点(1,)2，一个焦点为．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线(1)(0)y k x k =-≠与x 轴交于点P ，与椭圆C 交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点Q ，求||||AB PQ 的取值范围．【答案】（1）椭圆C 的方程是2214x y +=；（2）||||AB PQ的取值范围为．【解析】试题分析：（1）求椭圆C 的方程，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点，一个焦点为，故可用待定系数法，利用焦点为可得c =利用过点，可得221314a b +=，再由222a b c =+，即可解出,a b ，从而得椭圆C 的方程；（2）求||||AB PQ 的取值范围，由弦长公式可求得线段AB 的长，因此可设1122(,),(,)A x y B x y ，由22(1),1,4y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得，2222(14)8440k x k x k +-+-=，则12,x x 是方程的两根，有根与系数关系，得2122814k x x k +=+，21224414k x x k -=+，由弦长公式求得线段AB 的长，求||PQ 的长，需求出,P Q 的坐标，直线(1)(0)y k x k =-≠与x 轴交于点P ，可得(1,0)P ，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点Q ，故先求出线段AB 的中点坐标，写出线段AB 的垂直平分线方程，令0y =，既得Q 点的坐标，从而得||PQ 的长，这样就得||||AB PQ 的取值范围．试题解析：（1）由题意得2222=3,131,4a b a b ⎧-⎪⎨+=⎪⎩解得=2a ，1b =．所以椭圆C 的方程是2214x y +=． 4分（2）由22(1),1,4y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(14)8440k x k x k +-+-=．设1122(,),(,)A x y B x y ，则有2122814k x x k +=+，21224414k x x k -=+， 121222(2)14k y y k x x k -+=+-=+．所以线段AB 的中点坐标为2224(,)1414k kk k -++，所以线段AB 的垂直平分线方程为22214()1414k k y x k k k --=--++．于是，线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点Q 223(,0)14k k +，又点(1,0)P ，所以22223111414k k PQ k k +=-=++．又AB ==．于是，22||141||14AB k k PQ k +==++．因为0k ≠，所以221331k <-<+．所以||||AB PQ 的取值范围为． 14分考点：求椭圆的方程，直线与椭圆位置关系，二次曲线范围问题．20．已知{}n a 是公差不等于0的等差数列，{}n b 是等比数列(N )n *∈，且110a b =>. （1）若33a b =,比较2a 与2b 的大小关系；（2）若2244,a b a b ==.（ⅰ）判断10b 是否为数列{}n a 中的某一项，并请说明理由；（ⅱ）若m b 是数列{}n a 中的某一项，写出正整数m 的集合（不必说明理由）.【答案】（1）22a b >，（2）10b 是{}n a 中的一项，正整数m 的集合是{}12m m =m =n,n *∈N 或．【解析】试题分析：（1）记{}n a 的11a b a ==，{}n a 公差为d ，{}n b 公比为q ，由0d ≠，得1q ≠，比较2a 与2b 的大小关系，由已知{}n a 是公差不等于0的等差数列，{}n b 是等比数列(N )n *∈，且110a b =>，且33a b =，得1313222a a b b a ++==，2b =，当2b =22a b >，当2b =132b b +，从而可比较2a 与2b 的大小关系；（2）若2244,a b a b ==，可得2q =-，(1)3d a q a =-=-，（ⅰ）令10k a b =，由等差数列，等比数列的通项公式，建立方程，解出k ，若是正整数，10b 为数列{}n a 中的某一项，若不是正整数，10b 不是数列{}n a 中的一项，（ⅱ）若m b 是数列{}n a 中的某一项，写出正整数m 的集合，可由（ⅰ）的方法写出．试题解析：记{}n a 的11a b a ==，{}n a 公差为d ，{}n b 公比为q ，由0d ≠，得1q ≠（1）2310b b q =>，1313222a a b b a ++==，2213b bb =，2b =当2b =22a b >；当2b =由平均值不等式132b b +，当且仅当13b b =时取等号，而13b b ≠，所以132b b +>即22a b >.综上所述，22a b >． 5分（2）（ⅰ）因为2244,a b a b ==，所以3,3,a d aq a d aq +=+=得313(1),q q -=-所以213,1q q q ++==或2q =-.因为1q ≠，所以2q =-，(1)3d a q a =-=-.令10k a b =，即911(1)a k d b q +-=，93(1)(2)a k a a --=-，172k =，所以10b 是{}n a 中的一项.（ⅱ）假设mk b a =，则111(1)m a k d b q -+-=，13(1)(2)m a k a a ---=-，143(2)m k --=-当1,m =或2m n =，（n *∈N ）时，k *∈N .正整数m 的集合是{}12m m =m =n,n *∈N 或. 13分考点：基本不等式，等差数列与等比数列的通项公式．。

2014北京市朝阳区高三(一模)数学(文)

2014北京市朝阳区高三（一模）数学（文）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．（5分）已知集合A={x∈N|0＜x＜3}，B={x|2x﹣1＞1}，则A∩B=（）A．∅B．{1} C．{2} D．{1，2}2．（5分）已知i是虚数单位，则复数=（）A．1+i B．﹣1+i C．﹣1﹣i D．1﹣i3．（5分）若x，y满足约束条件，则函数z=2x﹣y的最大值是（）A．﹣1 B．0 C．3 D．64．（5分）在索契冬奥会跳台滑雪空中技巧比赛赛前训练中，甲、乙两位队员各跳一次．设命题p是“甲落地站稳”，q是“乙落地站稳”，则命题“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为（）A．p∨q B．p∨（￢q）C．（￢p）∧（￢q）D．（￢p）∨（￢q）5．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出S的值是（）A．10 B．17 C．26 D．286．（5分）函数f（x）=的图象大致为（）A．B．C．D．7．（5分）已知和是平面内两个单位向量，它们的夹角为60°，则与的夹角是（）A．30° B．60° C．90° D．120°8．（5分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=1，AD⊥AB，∠BCD=45°，将△ABD沿对角线BD折起．设折起后点A的位置为A′，并且平面A′BD⊥平面BCD．给出下面四个命题：①A′D⊥BC；②三棱锥A′﹣BCD的体积为；③CD⊥平面A′BD；④平面A′BC⊥平面A′DC．其中正确命题的序号是（）A．①② B．③④ C．①③ D．②④二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9．（5分）抛物线y2=8x的准线方程是．10．（5分）在一次选秀比赛中，五位评委为一位表演者打分，若去掉一个最低分后平均分为90分，去掉一个最高分后平均分为86分．那么最高分比最低分高分．11．（5分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边．已知b=4，c=2，∠A=60°，则a= ；∠C= ．12．（5分）一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为；表面积为．13．（5分）已知直线y=x+m与曲线x2+y2=4交于不同的两点A，B，若|AB|≥2，则实数m的取值范围是．14．（5分）将1，2，3，…，9这9个正整数分别写在三张卡片上，要求每一张卡片上的任意两数之差都不在这张卡片上．现在第一张卡片上已经写有1和5，第二张卡片上写有2，第三张卡片上写有3，则6应该写在第张卡片上；第三张卡片上的所有数组成的集合是．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（13分）已知函数f（x）=2sinxcosx﹣cos2x．（Ⅰ）求f（0）的值及函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．16．（13分）某单位从一所学校招收某类特殊人才．对20位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试，其测试结果如下表：逻辑思维能力运动协调能力一般良好优秀一般2 2 1 良好4 b 1 优秀 1 3 a 例如表中运动协调能力良好且逻辑思维能力一般的学生是4人．由于部分数据丢失，只知道从这20位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到逻辑思维能力优秀的学生的概率为．（Ⅰ）求a，b 的值；（Ⅱ）从运动协调能力为优秀的学生中任意抽取2位，求其中至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的概率．17．（14分）在四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥底面ABCD ，底面ABCD 为菱形，O 为A 1C 1与B 1D 1交点，已知AA 1=AB=1，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：A 1C 1⊥平面B 1BDD 1；（Ⅱ）求证：AO ∥平面BC 1D ；（Ⅲ）设点M 在△BC 1D 内（含边界），且OM ⊥B 1D 1，说明满足条件的点M 的轨迹，并求OM 的最小值．18．（13分）设函数f （x ）=lnx ，g （x ）=ax+1，a ∈R ，记F （x ）=f （x ）﹣g （x ）．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在x=e处的切线方程；（Ⅱ）求函数F（x）的单调区间；（Ⅲ）当a＞0时，若函数F（x）没有零点，求a的取值范围．19．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点（1，），一个焦点为（，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线y=k（x﹣1）（k≠0）与x轴交于点P，与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点Q，求的取值范围．20．（13分）已知{a n}是公差不等于0的等差数列，{b n}是等比数列（n∈N+），且a1=b1＞0．（Ⅰ）若a3=b3，比较a2与b2的大小关系；（Ⅱ）若a2=b2，a4=b4．（ⅰ）判断b10是否为数列{a n}中的某一项，并请说明理由；（ⅱ）若b m是数列{a n}中的某一项，写出正整数m的集合（不必说明理由）．数学试题答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．【解答】A={x∈N|0＜x＜3}={1，2}，B={x|2x﹣1＞1}={x|x﹣1＞0}={x|x＞1}，则A∩B={2}，故选：C．2．【解答】．故选B．3．【解答】作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x﹣y得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点A时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大，由，解得，即A（3，0），此时z=2x﹣y=2×3﹣0=6，故选：D．4．【解答】设命题p是“甲落地站稳”，q是“乙落地站稳”，则命题“至少有一位队员落地没有站稳”表示￢p与￢q至少一个发生，即￢p与￢q至少一个发生，表示为（￢）p∨（￢q）．故选：D5．【解答】根据题意，模拟程序框图的执行过程是求S=1+1+（1+2）+（1+2+2）+（1+2+2+2）+…的值，当i=1+2+2+2+2＞7时，输出S=1+1+（1+2）+（1+2+2）+（1+2+2+2）=17．故选：B．6．【解答】此函数是一个奇函数，故可排除C，D两个选项；又当自变量从原点左侧趋近于原点时，函数值为负，图象在X轴下方，当自变量从原点右侧趋近于原点时，函数值为正，图象在x轴上方，故可排除B，A选项符合，故选A．7．【解答】∵和是平面内两个单位向量，它们的夹角为60°，∴=．∴（）•===0，∴与的夹角是90°．故选：C．8．【解答】①∵∠BAD=90°，AD=AB，∴∠ADB=∠ABD=45°，∵AD∥BC，∠BCD=45°，∴BD⊥DC，∵平面A′BD⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴CD⊥平面A′BD，∵A′D⊂平面A′BD，∴CD⊥A′D，故A′D⊥BC不成立；故①错误；②三棱锥A′﹣BCD的体积为=，故②不成立；③由①知CD⊥平面A′BD，故③成立；④折叠前，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BAD=90°，∴△ABD为等腰直角三角形．又∵∠BCD=45°，∠DBC=45°，∴∠BDC=90°．折叠后，∵平面BCD⊥平面A′BD，CD⊥BD，∴CD⊥平面A′BD．又∵A′B⊂平面A′BD，∴CD⊥A′B．又A′B⊥A′D，A′D∩CD=D，∴A′B⊥平面A′DC．又A′B⊂平面A′BC，∴平面A′BC⊥平面A′DC．故④正确．故选：B．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9．【解答】∵抛物线的方程为y2=8x∴抛物线以原点为顶点，开口向右．由2p=8，可得=2，可得抛物线的焦点为F（2，0），准线方程为x=﹣2故答案为：x=﹣210．【解答】设最高分为a，最低分为b，则总分为b+4×90=a+4×86，即a﹣b=4×（90﹣86）=4×4=16，故答案为：1611．【解答】∵b=4，c=2，∠A=60°，∴a2=b2+c2﹣2abcosA=16+4﹣8=12，∴a=2，∵sinA=，c=2，∴由正弦定理=得：sinC===，∵c＜a，∴C＜A，∴∠C=30°．故答案为：2；30°12．【解答】由三视图知几何体是三棱柱，且三棱柱的高为1，底面是直角边长为1的等腰直角三角形，其斜边长为=，∴几何体的体积V=×1×1×1=；表面积S=2××1×1+（1+1+）×1=．故答案为：；3+．13．【解答】由于圆x2+y2=4的半径r=2，弦长|AB|≥2，故弦心距d=≤1，即≤1，求得﹣≤m≤，故答案为：．14．【解答】由题意，∵要求每一张卡片上的任意两数之差都不在这张卡片上，第一张卡片上已经写有1和5，第二张卡片上写有2，第三张卡片上写有3，∴4、9写在第三张卡片上，6、7在第二张卡片上，故答案为：二；{3，4，9}．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．【解答】（Ⅰ）∵∴．由﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，得，k∈Z∴f（x）的单调递增区间是[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（Ⅱ）∵，∴．∴当，即x=0时，f（x）取得最小值；当即时，f（x）取得最大值2．16．【解答】（I）由题意可知，逻辑思维能力优秀的学生共有（2+a）人．设事件A：从20位学生中随机抽取一位，逻辑思维能力优秀的学生，则．解得 a=2．∴b=4．（Ⅱ）由题意可知，运动协调能力为优秀的学生共有6位，分别记为M1，M2，M3，M4，M5，M6．其中M5和M6为运动协调能力和逻辑思维能力都优秀的学生．从中任意抽取2位，可表示为：M1M2，M1M3，M1M4，M1M5，M1M6，M2M3，M2M4，M2M5，M2M6，M3M4，M3M5，M3M6，M4M5，M4M6，M5M6，共15种可能．设事件B：从运动协调能力为优秀的学生中任意抽取2位，其中至少有一位逻辑思维能力优秀的学生．则事件B包括：M1M5，M1M6，M2M5，M2M6，M3M5，M3M6，M4M5，M4M6，M5M6，共9种可能．∴．∴至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的概率为．17．【解答】（Ⅰ）依题意，因为四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，所以BB1⊥底面A1B1C1D1．又A1C1⊂底面A1B1C1D1，所以BB1⊥A1C1．因为A1B1C1D1为菱形，所以A1C1⊥B1D1．而BB1∩B1D1=B1，所以A1C1⊥平面B1BDD1．（Ⅱ）连接AC，交BD于点E，连接C1E．依题意，AA1∥CC1，且AA1=CC1，AA1⊥AC，所以A1ACC1为矩形．所以OC1∥AE．又，，A1C1=AC，所以OC1=AE，所以AOC1E为平行四边形，则AO∥C1E．又AO⊄平面BC1D，C1E⊂平面BC1D，所以AO∥平面BC1D．（Ⅲ）在△BC1D内，满足OM⊥B1D1的点M的轨迹是线段C1E，包括端点．分析如下：连接OE，则BD⊥OE．由于BD∥B1D1，故欲使OM⊥B1D1，只需OM⊥BD，从而需ME⊥BD．又在△BC1D中，C1D=C1B，又E为BD中点，所以BD⊥C1E．故M点一定在线段C1E上．当OM⊥C1E时，OM取最小值．在直角三角形OC1E中，OE=1，，，所以．18．【解答】（ I）f′（x）=，则函数f（x）在x=e处的切线的斜率为k=．又f（e）=1，所以函数f（x）在x=e处的切线方程为，即y=x．（Ⅱ）F（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣ax﹣1，F′（x）=，（x＞0）．①当a≤0时，F′（x）＞0，F（x）在区间（0，+∞）上单调递增；②当a＞0时，令F′（x）＜0，解得；令F′（x）＞0，解得．综上所述，当a≤0时，函数F（x）的增区间是（0，+∞）；当a＞0时，函数F（x ）的增区间是，减区间是．（Ⅲ）依题意，函数F（x）没有零点，即F（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣ax﹣1=0无解．由（Ⅱ）知，当a＞0时，函数F（x ）在区间上为增函数，区间上为减函数，由于F（1）=﹣a﹣1＜0，只需F （）=ln﹣a=﹣lna﹣2＜0，解得a＞e﹣2．所以实数a 的取值范围为（）．19．【解答】（Ⅰ）由题意得，解得a=2，b=1．∴椭圆C 的方程是；（Ⅱ）联立，得（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则有，，．∴线段AB 的中点坐标为，∴线段AB 的垂直平分线方程为．取y=0，得，于是，线段AB的垂直平分线与x轴的交点Q，又点P（1，0），∴．11 / 13又=．于是，．∵k≠0，∴．∴的取值范围为．20．【解答】记{a n}的a1=b1=a，{a n}公差为d，{b n}公比为q，由d≠0，得q≠1 （Ⅰ）∵a1=b1＞0，a3=b3，∴，∵，，∴，当时，显然a2＞b2；当时，由平均值不等式，当且仅当b1=b3时取等号，而b1≠b3，所以即a2＞b2．综上所述，a2＞b2．…（5分）（Ⅱ）（ⅰ）因为a2=b2，a4=b4，所以a+d=aq，a+3d=aq3，得q3﹣1=3（q﹣1），所以q2+q+1=3，q=1或q=﹣2．因为q≠1，所以q=﹣2，d=a（q﹣1）=﹣3a．令a k=b10，即，所以a﹣3（k﹣1）a=a（﹣2）9，所以k=172，所以b10是{a n}中的一项．（ⅱ）假设b m=a k ，则，∴a﹣3（k﹣1）a=a（﹣2）m﹣1，∴4﹣3k=（﹣2）m﹣1，当m=1或m=2n，（n∈N*）时，k∈N*．∴正整数m的集合是{m|m=1或m=2n，n∈N*}．…（13分）12 / 1313 / 13。

北京市朝阳区2024届高三一模数学含答案

北京市朝阳区高三年级第二学期质量检测一数学2024.4（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题40分和非选择题110分第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知全集{1,2,3,4},{|2}U A x U x ==∈<，则U A =ð（A ）{1}（B ）{1,2}（C ）{3,4}（D ）{2,3,4}（2）复数i3i+在复平面内对应的点位于（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限（3）在ABC △2sin b A =，则B ∠=（A ）6π（B ）6π或65π（C ）3π（D ）3π或32π（4）已知a ∈R ，则“01a <<”是“函数3()(1)f x a x =-在R 上单调递增”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）已知直线60x +=和圆222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点．若||6AB =，则r =（A ）2（B ）（C ）4（D ）（6）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12341,4a a a a =++=，则6S =（A ）9（B ）16（C ）21（D ）25（7）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 作垂直于x 轴的直线l ，,M N分别是l 与双曲线C 及其渐近线在第一象限内的交点．若M 是线段FN 的中点，则C 的渐近线方程为（A ）y x=±（B ）2y x =±（C ）3y x =±（D ）5y x =±（8）在ABC △中，2,AB AC BC ===，点P 在线段BC 上．当PA PB ⋅取得最小值时，PA =（A （B （C ）34（D ）74（9）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,,E F G 分别为棱11,,AA BC CC 的中点，动点H 在平面EFG 内，且1DH =．则下列说法正确的是（A ）存在点H ，使得直线DH 与直线FG 相交（B ）存在点H ，使得直线DH ⊥平面EFG （C ）直线1B H 与平面EFG 所成角的大小为π3（D ）平面EFG （10）已知n 个大于2的实数21,,,n x x x ，对任意(1,2,),i n x i = ，存在2i y ≥满足i i y x <，且i i y x i i x y =，则使得12115n n x x x x -+++ ≤成立的最大正整数n 为（A ）14（B ）16（C ）21（D ）23第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

2014年北京市各区高三一模试题分类汇编：9极坐标参数方程平面几何(含答案解析)

A2014年北京市各区高三一模试题分类汇编09极坐标参数方程平面几何1.（2014海淀一模）4.已知直线l 的参数方程为1,1x t y t=+⎧⎨=-+⎩(t 为参数)，则直线l 的普通方程为=A .02=--y x B.02=+-y x C.0x y += D.02=-+y x2.（2014西城一模）3．在极坐标系中，过点π(2,)2且与极轴平行的直线方程是（）（A ）2ρ=（B ）2θπ=（C ）cos 2ρθ= （D ）sin =2ρθ3.（2014东城一模）（5）在极坐标系中，点)4π到直线cos sin 10ρθρθ--=的距离等于（A ）2（B（C ）2（D ）2 4.（2014石景山一模）11．已知圆C 的极坐标方程为=2ρ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，则圆C 的直角坐标方程为_______________，若直线:30l kx y ++=与圆C 相切，则实数k 的值为_____________．22+=4x y ；k =5.（2014大兴一模）（3）在极坐标系中，点(1,0)到直线π()4θρ=∈R 的距离是 A .12B . 2C . 1D .6.（2014丰台一模）2.在极坐标系中，点A （1,π）到直线cos 2=ρθ的距离是（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 几何证明1.（2014海淀一模）11.如图，AB 切圆O于B ，AB =1AC =，则AO 的长为_______．22.（2014东城一模）（10）如图，AB 是圆O 的直径，延长AB 至C ，使2AB BC =，且2BC =，CD 是圆O 的切线，切点为D ，连接AD ，则CD = ；DAB ∠= ． 303.（2014石景山一模）4．已知Rt △ABC 中，o 9054C AB BC ∠===，，，以BC为直径的圆交AB于D，则BD的长为（）4.（2014丰台一模）(11) 如图,已知圆的两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点,且DF=CFAF:FB:BE=4：2：1.若CE与圆相切,则线段CE的长为．2A．4B．9 5C．125D．165ACBEA。

北京市朝阳2014届高三二模理科数学试卷(带解析)

北京市朝阳2014届高三二模理科数学试卷（带解析）1．已知集合{230}A x x =∈-≥R ，集合2{320}B x x x =∈-+<R ，则AB =( )（A ）32x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭ （B ）322x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭ （C ）{}12x x << （D ）322x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【答案】B【解析】试题分析：3{230}[,).2A x x =∈-≥=+∞R 2{320}(1,2).B x x x =∈-+<=R 所以A B =322x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭．考点：集合运算2．如果0a b >>，那么下列不等式一定成立的是( )（A ）33log log a b < （B ）11()()44a b>（C ）11a b< （D ）22a b < 【答案】C 【解析】试题分析：33log log ,a b a b <⇔<11()(),44a b a b >⇔<110b a a b ab -<⇔<，又0a b >>所以0b aab -<成立，22||||a b a b <⇔<，而0a b >>，所以||||a b <不成立．考点：不等式恒等变形3．执行如图所示的程序框图．若输出的结果为2，则输入的正整数a 的可能取值的集合是( )（A ）{}1,2,3,4,5 （B ）{}1,2,3,4,5,6 （C ）{}2,3,4,5 （D ）{}2,3,4,5,6【答案】C 【解析】试题分析：因为输出的结果为2，所以2313,2(23)313a a +≤++>，即75,4a <≤又a 为正整数，所以a 的可能取值的集合是{}2,3,4,5考点：循环结构流程图4．已知函数()π()sin (0,0,)2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，则ϕ=( )（A ）π6- （B ）6π（C ）π3- （D ）π3【答案】D 【解析】试题分析：由题意得：2,, 2.24312T T A T ππππω=-====，又sin(2)112πϕ⨯+=，π2ϕ<，所以π3ϕ=.考点：三角函数图像与性质 5．已知命题p ：复数1iiz +=在复平面内所对应的点位于第四象限；命题q ：0x ∃>，cos x x =，则下列命题中为真命题的是( )（A ）()()p q ⌝∧⌝ （B ）()p q ⌝∧ （C ）()p q ∧⌝ （D ）p q ∧ 【答案】D 【解析】试题分析：因为1i 1i z i +==-，所以复数1ii z +=在复平面内所对应的点位于第四象限，命题p 为真命题，因为y x =与cos y x =在(0,)2π上有交点，所以0x ∃>，cos x x =，命题q 为真命题，p q ∧为真命题.考点：复合命题真假6．若双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线与圆22(2)1x y +-=至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是( )（A ）(1,2] （B ）[2,)+∞ （C）(1 （D）)+∞ 【答案】A 【解析】试题分析：双曲线2221(0)y x b b -=>的一条渐近线为y bx =，由题意得：圆心到渐近线的2222211,3,4,1 2.1c b b e e a +≥≤==≤<≤考点：双曲线渐近线若生产甲、乙两种产品可使用的煤不超过120吨，电不超过60千度，则可获得的最大纯利润和是( )（A ）60万元（B ）80万元（C ）90万元（D ）100万元【答案】C 【解析】试题分析：设生产甲x 吨、乙y 吨.则312060,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪>⎩，利润2z x y =+.可行域为一个四边形OABC 及其内部，其中(60,0),(30,30),(0,40)A B C ,当2z x y =+过点B 时取最大值，为90.考点：线性规划8．如图放置的边长为1的正△PMN 沿边长为3的正方形ABCD 的各边内侧逆时针方向滚动．当△PMN 沿正方形各边滚动一周后，回到初始位置时，点P 的轨迹长度是( ) （A ）83π （B ）163π （C ）4π （D ）5πBA【答案】B 【解析】试题分析：由题意得：当△PMN 沿正方形一边滚动时，点P 的轨迹为两个圆弧，其对应圆半径皆为1，圆心角为23π，因此点P 的轨迹长度是21624.33ππ⨯⨯=考点：动点轨迹9．已知平面向量a ，b 满足1=a ，2=b ，a 与b 的夹角为60︒，则2+=a b ____．【答案】【解析】试题分析：因为2221244122+=++⋅⨯⨯=a b a b a b =4+4+42，所以2+=a b考点：向量数量积10．5(12)x -的展开式中3x 项的系数为___．（用数字表示）【答案】80- 【解析】试题分析：由15(2)r r r T C x +=-得：3x 项的系数为335(2)80.C -=-．考点：二项展开式定理求特定项11．如图，AB 为圆O 的直径，2AB =,过圆O 上一点M 作圆O 的切线，交AB 的延长线于点C ，过点M 作MD AB ⊥于点D ，若D 是OB 中点，则AC BC ⋅=_____．【答案】3 【解析】试题分析：由切割线定理得：2AC BC CM ⋅=,连OM ，则在直角三角形ODM 中，因为OM=2OD,所以60DOM ∠=，因此CM = 3.AC BC ⋅=考点：切割线定理12．由两个四棱锥组合而成的空间几何体的三视图如图所示，则其体积是；表面积是．【解析】2的正方形．因此体积为212233⨯=表面积为8个全等的边长为2的等边三角形面积之和，即282= 考点：三视图13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足24()n n S a n *=-∈N ，则n a = ；数列2{log }n a 的前n 项和为．【答案】12n +,(3)2n n + 【解析】试题分析：因为24,n n S a =-所以1124(2)n n S a n --=-≥，两式相减得1122,2n n n n n a a a a a --=-=.因此{}n a 为等比数列，又11124,4S a a =-=，所以11422.n n n a -+=⋅=因此2log 1,n a n =+前n 项和为(21)(3)22n n n n +++=.考点：已知n S 求.n a14．若存在正实数M ，对于任意(1,)x ∈+∞，都有()f x M ≤，则称函数()f x 在(1,)+∞ 上是有界函数．下列函数①1()1f x x =-； ②2()1x f x x =+； ③ln ()xf x x=； ④()sin f x x x =，其中“在(1,)+∞上是有界函数”的序号为．【答案】②③【解析】试题分析：因为(1,)x ∈+∞时，1()(0,)1f x x =∈+∞-，所以函数①不是有界函数．因为(1,)x ∈+∞时，21|()|122x x f x x x =≤=+，所以函数②是有界函数．因为(1,)x ∈+∞时，2l n 1l n (),()x x f x f x x x-'==，()f x 在(1,)e 单调增，在(,)e +∞上单调减，所以函数10()()f x f e e<≤=，因此③是有界函数．因为(1,)x ∈+∞时，取2()2x k k z ππ=+∈，则()sin f x x x x ==→+∞，所以函数④不是有界函数．考点：函数值域15．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3A 2π=，3b =，△ABC的面积为4．（Ⅰ）求边a 的长；（Ⅱ）求cos 2B 的值．【答案】（Ⅰ）7a =，（Ⅱ）71.98【解析】试题分析：（Ⅰ）解三角形问题，一般利用正余弦定理进行边角转化. 由1sin 2ABC S bc A ∆=得，13sin 234ABC S c ∆2π=⨯⨯=．所以5c =．由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得，22235235cos 493a 2π=+-⨯⨯⨯=，所以7a =．（Ⅱ）由正弦定理得sin sin a bA B =，即3sin B=，所以sin 14B =，根据二倍角公式有271cos 212sin 98B B =-=．解：（Ⅰ）由1sin 2ABC S bc A ∆=得，13sin 234ABC S c ∆2π=⨯⨯=．所以5c =．由2222cos a b c bc A =+-得，22235235cos493a 2π=+-⨯⨯⨯=，所以7a =． 7分（Ⅱ）由sin sin a b A B =得，3sin B=，所以sin B =所以271cos 212sin 98B B =-=． 13分考点：正余弦定理，二倍角公式16．某市规定，高中学生三年在校期间参加不少于80小时的社区服务才合格．教育部门在全市随机抽取200位学生参加社区服务的数据，按时间段[)75,80，[)80,85，[)85,90，[)90,95，[]95,100（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数，并估计从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率；（Ⅱ）从全市高中学生（人数很多）中任意选取3位学生，记ξ为3位学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数．试求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ．【答案】（Ⅰ）2.（Ⅱ）6.E ξ=【解析】试题分析：（Ⅰ）根据频率分布直方图中小长方形面积为频率，而频数为总数与频率之积. 因此参加社区服务时间在时间段[)90,95小时的学生人数为2000.060560⨯⨯=（人），参加社区服务时间在时间段[]95,100小时的学生人数为2000.020520⨯⨯=（人）．所以抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为80人．概率估计为6020802.2002005P +===（Ⅱ）随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3．由（Ⅰ）可知，概率为2.5因为 ξ~2(3)B ，，所以26355E ξ=⨯=．随机变量ξ的分布列为解：（Ⅰ）根据题意，参加社区服务时间在时间段[)90,95小时的学生人数为2000.060560⨯⨯=（人），参加社区服务时间在时间段[]95,100小时的学生人数为2000.020520⨯⨯=（人）．所以抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为80人．所以从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率估计为6020802.2002005P +=== 5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，从全市高中生中任意选取1人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率为2.5由已知得，随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3．所以00332327(0)()()55125P C ξ==⋅=；11232354(1)()()55125P C ξ==⋅=；22132336(2)()()55125P C ξ==⋅=；3303238(3)()()55125P C ξ==⋅=．随机变量ξ的分布列为因为 ξ~2(3)5B ，，所以26355E ξ=⨯=． 13分考点：频率分布直方图17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，E ，F 分别为A P ，BD 中点，2PA PD AD ===．（Ⅰ）求证：EF ∥平面BC P ；（Ⅱ）求二面角E DF A --的余弦值；（Ⅲ）在棱C P 上是否存在一点G ，使GF ⊥平面EDF ？若存在，指出点G 的位置；若不存在，说明理由．FABCDP E【答案】（Ⅰ）详见解析，（Ⅱ）5（Ⅲ）不存在. 【解析】试题分析：（Ⅰ）证明线面平行，关键在于找出线线平行.本题条件含中点，故从中位线上找线线平行. E ，F 分别为A P ，BD 中点，在△PAC 中，E 是A P 中点，F 是AC 中点，所以EF ∥PC ．又因为EF ⊄平面PBC ，PC ⊂平面BC P ，所以EF ∥平面BC P ．（Ⅱ）求二面角的大小，有两个思路，一是作出二面角的平面角，这要用到三垂线定理及其逆定理，利用侧面PAD ⊥底面ABCD ，可得底面ABCD 的垂线，再作DF 的垂线，就可得二面角的平面角，二是利用空间向量求出大小.首先建立空间坐标系. 取AD 中点O ．由侧面PAD ⊥底面ABCD 易得PO ⊥面ABCD ．以O 为原点，,,OA OF OP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系．再利用两平面法向量的夹角与二面角的平面角的关系，求出结果，（Ⅲ）存在性问题，一般从假设存在出发，构造等量关系，将存在是否转化为方程是否有解.E P DCBAF证明：（Ⅰ）如图，连结AC ．因为底面ABCD 是正方形，所以AC 与BD 互相平分．又因为F 是BD 中点，所以F 是AC 中点．在△PAC 中，E 是A P 中点，F 是AC 中点，所以EF ∥PC ．又因为EF ⊄平面PBC ，PC ⊂平面BC P ，所以EF ∥平面BC P ． 4分（Ⅱ）取AD 中点O ．在△PAD 中，因为PA PD =，所以PO AD ⊥．因为面PAD ⊥底面ABCD ，且面PAD 面=ABCD AD ，所以PO ⊥面ABCD ．因为OF ⊂平面ABCD 所以PO OF ⊥．又因为F 是AC 中点，所以OF AD ⊥．如图，以O 为原点，,,OA OF OP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系．因为2PA PD AD ===，所以OP =则(0,0)O ，(1,0,0)A ，(1,2,0)B ，(1,2,0)C -，(1,0,0)D -，P，1(,0,22E ，(0,1,0)F ．于是(0,2,0)AB =，3(2DE =，(1,1,0)DF =．因为OP ⊥面ABCD，所以OP =是平面FAD 的一个法向量．设平面EFD 的一个法向量是000=(,,)x y z n ．因为0,0,DF DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以00000,30,2x y x z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩即0000,.y x z =-⎧⎪⎨=⎪⎩ 令01x =则=(1,1,-n ．所以cos ,OP OP OP ⋅<>===⋅n n n．由图可知，二面角E-DF-A 为锐角，所以二面角E-DF-A ． 10分（Ⅲ）假设在棱C P 上存在一点G ，使GF ⊥面EDF ．设111G(,,)x y z ，则111FG =(,1,)x y z -．由（Ⅱ）可知平面EDF 的一个法向量是=(1,1,-n ．因为GF ⊥面EDF ，所以FG =λn ．于是，111,1,x y z λλ=-=-=，即111,1,x y z λλ==-=．又因为点G 在棱C P 上，所以GC 与PC 共线．因为PC (1,2,=-，111CG (+1,2,)x y z =-，所以111212x y +--=．所以1112λλ+---= 故在棱C P 上不存在一点G ，使GF ⊥面EDF 成立． 14分考点：线面平行判定定理，利用空间向量求二面角 18．已知函数21()e 1x f x ax +=-+，a ∈R ．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线与直线e 10x y ++=垂直，求a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）设32e a <，当[0,1]x ∈时，都有()f x ≥1成立，求实数a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）e a =，（Ⅱ）当0a ≤时，)(x f 的单调增区间为(),-∞+∞；当0a >时，()f x 的单调增区间是11(ln,)222a -+∞，()f x 的单调减区间是11(,ln )222a -∞-．（Ⅲ）22(,e ]-∞.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用导数的几何意义，曲线()f x 在点(0,(0))f 处的切线斜率为在点(0,(0))f 处的导数值. 由已知得21()2e x f x a +'=-．所以(0)e f '=．(0)2e e f a '=-=，e a =（Ⅱ）利用导数求函数单调区间，需明确定义域(),-∞+∞，再导数值的符号确定单调区间. 当0a ≤时，()0f x '>,所以)(x f 的单调增区间为(),-∞+∞．当0a >时,令()0f x '>，得11ln 222a x >-，所以()f x 的单调增区间是11(ln ,)222a -+∞；令()0f x '<，得11ln 222a x <-，所以()f x 的单调减区间是11(,ln )222a -∞-．（Ⅲ）不等式恒成立问题，一般利用变量分离转化为最值问题. “当(0,1]x ∈时，21()e 11x f x ax +=-+≥恒成立”等价于“当(0,1]x ∈时，21e x a x +≤恒成立．”设21e ()x g x x+=，只要“当(0,1]x ∈时，min ()a g x ≤成立．” 易得函数()g x 在12x =处取得最小值，所以实数a 的取值范围22(,e ]-∞．（Ⅰ）由已知得21()2e x f x a +'=-．因为曲线()f x 在点(0,(0))f 处的切线与直线e 10x y ++=垂直，所以(0)e f '=．所以(0)2e e f a '=-=．所以e a =． 3分（Ⅱ）函数()f x 的定义域是(),-∞+∞，21()2e x f x a +'=-．（1）当0a ≤时，()0f x '>成立，所以)(x f 的单调增区间为(),-∞+∞．（2）当0a >时，令()0f x '>，得11ln 222a x >-，所以()f x 的单调增区间是11(ln ,)222a -+∞；令()0f x '<，得11ln 222a x <-，所以()f x 的单调减区间是11(,ln )222a -∞-．综上所述，当0a ≤时，)(x f 的单调增区间为(),-∞+∞；当0a >时，()f x 的单调增区间是11(ln ,)222a -+∞， ()f x 的单调减区间是11(,ln )222a -∞-． 8分（Ⅲ）当0x =时，(0)e 11f =+≥成立，a ∈R ． “当(0,1]x ∈时，21()e11x f x ax +=-+≥恒成立”等价于“当(0,1]x ∈时，21e x a x+≤恒成立．” 设21e ()x g x x+=，只要“当(0,1]x ∈时，min ()a g x ≤成立．”212(21)e ()x x g x x +-'=．令()0g x '<得，12x <且0x ≠，又因为(0,1]x ∈，所以函数()g x 在1(0, )2上为减函数；令()0g x '>得，12x >，又因为(0,1]x ∈，所以函数()g x 在1(,1]2上为增函数．所以函数()g x 在12x =处取得最小值，且21()2e 2g =．所以22e a ≤．又因为a 32e <，所以实数a 的取值范围22(,e ]-∞． 13分（Ⅲ）另解：（1）当0a ≤时，由（Ⅱ）可知， ()f x 在[0,1]上单调递增，所以()(0)e 1f x f ≥=+．所以当0a ≤时，有()1f x ≥成立．（2）当02e a <≤时，可得11ln 0222a -≤．由（Ⅱ）可知当0a >时，()f x 的单调增区间是11(ln ,)222a -+∞，所以()f x 在[0,1]上单调递增，又()(0)e 1f x f ≥=+，所以总有()f x ≥1成立．（3）当32e 2e a <<时，可得110ln 1222a <-<．由（Ⅱ）可知，函数()f x 在11[0,ln )222a -上为减函数，在11(ln ,1]222a -为增函数，所以函数()f x 在11ln 222a x =-处取最小值，且ln 211(ln )e ln 1ln 122222222a a a a a a af a -=-++=-+．当[0,1]x ∈时，要使()f x ≥1成立，只需ln 1122a aa -+≥，解得22e a ≤．所以22e 2e a <≤．综上所述，实数a 的取值范围22(,e ]-∞．考点：利用导数求切线，利用导数求单调区间，利用导数求最值 19．已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为12，右焦点到右顶点的距离为1．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）是否存在与椭圆C 交于,A B 两点的直线l ：()y kx m k =+∈R ，使得22OA OB OA OB +=-成立？若存在，求出实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）22143x y +=，（Ⅱ）2(,[21,)7-∞+∞. 【解析】试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程，关键利用待定系数法求出a,b. 由12c e a ==及1a c -=，解得1c =，2a =．所以2223b a c =-=．所以椭圆C 的标准方程是22143x y +=．（Ⅱ）存在性问题，一般从假设存在出发,建立等量关系，有解就存在，否则不存在. 条件22OA OB OA OB +=-的实质是垂直关系，即0OA OB ⋅=.所以12120x x y y +=．1212()()0x x kx m kx m +++=,221212(1)()0k x x km x x m ++++=,由22,1,43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(34)84120k x kmx m +++-=．122834kmx x k +=-+，212241234m x x k -=+．代入化简得，2271212m k =+．由222(8)4(34)(412)0k mk m ∆=-+->化简得2234k m +>．解得，234m >．由227121212m k =+≥，2127m ≥，所以实数m 的取值范围是2(,[21,)7-∞+∞．（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22221x y a b +=()0a b >>，半焦距为c .依题意12c e a ==，由右焦点到右顶点的距离为1，得1a c -=．解得1c =，2a =．所以2223b a c =-=．所以椭圆C 的标准方程是22143x y +=． 4分（Ⅱ）解：存在直线l ，使得22OA OB OA OB +=-成立.理由如下：由22,1,43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(34)84120k x kmx m +++-=．222(8)4(34)(412)0km k m ∆=-+->，化简得2234k m +>．设1122(,),(,)A x y B x y ，则122834km x x k +=-+，212241234m x x k-=+．若22OA OB OA OB +=-成立，即2222OA OB OA OB +=-，等价于0OA OB ⋅=．所以12120x x y y +=．1212()()0x x kx m kx m +++=，221212(1)()0k x x km x x m ++++=， 222224128(1)03434m kmk km m k k-+⋅-⋅+=++, 化简得，2271212m k =+．将227112k m =-代入2234k m +>中，22734(1)12m m +->，解得，234m >．又由227121212m k =+≥，2127m ≥，从而2127m ≥，m ≥m ≤ 所以实数m 的取值范围是2(,[21,)7-∞+∞． 14分考点：椭圆标准方程，直线与椭圆位置关系20．已知1x ，2x 是函数2()f x x mx t =++的两个零点，其中常数m ，t ∈Z ，设120()nn r rn r T x x n -*==∈∑N ．（Ⅰ）用m ，t 表示1T ，2T ；（Ⅱ）求证：543T mT tT =--；（Ⅲ）求证：对任意的,n n T *∈∈N Z ．【答案】（Ⅰ）1,T m =-22.T m t =-（Ⅱ）详见解析，（Ⅲ）详见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意得：12x x m +=-，12x x t =．因为120nn r r n r T x x -==∑，所以11112120r r r T x x x x m-===+=-∑．222222212112212120()r r r T x x x x x x x x x x m t -===++=+-=-∑.对抽象的求和符号具体化处理,是解答本题的关键.（Ⅱ）555432234551211212121220,r rr T xx x x x x x x x x x x -===+++++∑而4322343212343121121212212112122()()()mT tT x x x x x x x x x x x x x x x x x x --=+++++-+++5432234432234543223411212121212121212212121212()()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++++++++-+++5432234511212121225x x x x x x x x x x T =+++++=，（Ⅲ）用数学归纳法证明有关自然数的命题. （1）当1,2n =时，由（Ⅰ）问知k T 是整数，结论成立．（2）假设当1,n k =-n k =（2k ≥）时结论成立，即1,k k T T -都是整数，由（Ⅱ）问知11k k k T mT tT +-=--．即1n k =+时，结论也成立．解：（Ⅰ）由12x x m +=-，12x x t =．因为120nn r r n r T xx-==∑，所以11112120r r r T x x x x m-===+=-∑．222222212112212120()r r r T x x x x x x x x x x m t -===++=+-=-∑． 3分（Ⅱ）由12kk r rk r T xx -==∑，得5454555121122142r r r r r r T xx x x x x x T x --====+=+∑∑．即55142T x T x =+，同理，44132T x T x =+．所以5241232x T x x T x =+．所以5142412312412343()()T x T x T x x T x x T x x T mT tT =+-=+-=--． 8分（Ⅲ）用数学归纳法证明．（1）当1,2n =时，由（Ⅰ）问知k T 是整数，结论成立．（2）假设当1,n k =-n k =（2k ≥）时结论成立，即1,k k T T -都是整数．由12kk r rk r T xx -==∑，得1111121122k kk r rk r r k k r r T xx x x x x ++--++====+∑∑．即1112k k k T x T x ++=+．所以112k k k T xT x -=+，121212k k k x T x x T x +-=+．所以11212112121()()k k k k k k T x T x T x x T x x T x x T +--=+-=+-．即11k k k T mT tT +-=--．由1,k k T T -都是整数，且m ，t ∈Z ，所以1k T +也是整数．即1n k =+时，结论也成立．由（1）（2）可知，对于一切n *∈N ，120nn r r r xx-=∑的值都是整数． 13分考点：数学归纳法证明。

2014-2015朝阳高三一模数学文答案

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷答案（文史类）2015.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（15）（本小题满分13分）（Ⅰ）因为cos B =，(0,)B ∈π，又22sin cos 1BB +=，所以sin B =. 由正弦定理得，sin sin AC BCB A=.=. 所以4AC =. ……… 6分（Ⅱ）在ABC ∆中，sin sin(60)C B =+osin cos60cos sin 60B B =+oo1sin 2B B =+ =12 =6.所以1sin 2ABC S AC BC C ∆=⋅=1462⨯⨯⨯6=……13分（16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）从茎叶图可以看出，乙校10名学生的考试成绩的平均分高于甲校10名学生的考试成绩平均分，故乙校的数学成绩整体水平较高． ……… 4分（Ⅱ）设事件M ：分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的同学，抽到的学生中，甲校学生成绩高于乙校学生成绩．由茎叶图可知，甲校成绩不低于90分的同学有2人，从小到大依次记为12,A A ；乙校成绩不低于90分的同学有5人，从小到大依次记为12345,,,,B B B B B ．其中121234592,93,90,91,95,96,98.A A B B B B B =======分别从甲、乙两校各随机抽取1名成绩不低于90分的同学共有11121314152122232425,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B 这10种可能．其中满足“抽到的学生中，甲校学生成绩高于乙校学生成绩”共有11122122,,,A B A B A B A B 这4种可能．所以42()105P M ==．即分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的同学，抽到的学生中，甲校学生成绩高于乙校学生成绩的概率为25. ……… 13分（17）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）证明：因为三棱柱的侧面是正方形，所以11,CC BC CC AC ^^,BC AC C =I . 所以1CC ^底面ABC ．因为BD Ì底面ABC ，所以1CC BD ^．由已知可得，底面ABC 为正三角形．因为D 是AC 中点，所以BD AC ^．因为1AC CC C ?，所以BD ^平面11ACC A ． ……… 5分（Ⅱ）证明：如图，连接1B C 交1BC 于点O ，连接OD ．显然点O 为1B C 的中点．AB CDA 1B 1C 1O因为D 是AC 中点，所以1//AB OD ．又因为OD Ì平面1BC D ，1AB Ë平面1BC D ，所以直线1//AB 平面1BC D ．……… 10分（Ⅲ）在DD BC 1内的平面区域（包括边界）存在一点E ，使CE ⊥DM ．此时点E 是在线段1C D 上. 证明如下：过C 作1CE C D ⊥交线段1C D 于E ，由（Ⅰ）可知BD ^平面11ACC A ，而CE ⊂平面11ACC A ，所以BD CE ^．又1CE C D ⊥，1BD C D D =I ，所以CE ^平面D BC 1．又DM ⊂平面D BC 1，所以CE ⊥DM ． ……… 14分（18）（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为14a =，1n n a S +=，所以2114a S a ===，3212448a S a a ==+=+=，4312344816a S a a a ==++=++=． ……… 3分（Ⅱ）当2n ≥时，11222n n nn n n a S S +-=-=-=．又当1n =时，114a S ==．所以4,1,2, 2.n n n a n =⎧=⎨≥⎩……… 6分（Ⅲ）依题意，224b a ==，338b a ==.则由11428b d b d +=⎧⎨+=⎩得，10b =，4d =,则4(1)n b n =-.所以20,1,(1)2, 2.n n n n a b n n +=⎧⋅=⎨-≥⎩所以2(1)2(*)n n n a b n n +⋅=-∈N .C 1AB CDA 1B 1ME因为n T =1122334411...n n n n a b a b a b a b a b a b --++++++456120122232...(2)2(1)2n n n n ++=+⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯，所以567232122232...(2)2(1)2n n n T n n ++=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯. 所以4567232222...2(1)2n n n T n ++-=+++++--⨯41332(12)(1)216(2)212n n n n n -++-=--⨯=---⨯- .所以316(2)2n n T n +=+-⨯. ……… 13分（19）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意可得2222,,3,c c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得a =b = 故椭圆的方程为22162x y +=． ……… 5分（Ⅱ）由题意可知直线l 斜率存在，设其方程为(2)y k x =-，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)M x y ，33(,)N x y --，由221,62(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(13)121260k x k x k +-+-=，所以21221213k x x k+=+．因为121224(4)13ky y k x x k-+=+-=+，所以AB 中点22262(,)1313k kD k k-++．因此直线OD 方程为30x ky +=()0k ¹．由2230,1,62x ky x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得232213y k =+，333x ky =-．因为四边形12MF NF 为矩形，所以220F M F N ⋅=u u u u r u u u u r，即3333(2,)(2,)0x y x y -⋅---=．所以223340x y --=．所以222(91)4013k k+-=+．解得3k =±．故直线l的方程为2)3y x =±-． ……… 14分（20）（本小题满分13分）解：函数()f x 定义域为{0}x x ≠，322()e x x x ax a f x x++-'=. （Ⅰ）当0a =时，()e x f x x =⋅，()f x '=(1)e xx +.所以(1)e,(1)2e f f '==.所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是e 2e(1)y x -=-，即2e e =0x y --. ……… 3分（Ⅱ）当1a =-时，()f x '=3221e xx x x x +-+. 设()g x =321x x x +-+，则2()321(31)(1)g x x x x x '=+-=-+.令()(31)(1)0g x x x '=-+>得，13x >或1x <-，注意到0x >，所以13x >. 令()(31)(1)0g x x x '=-+<得，注意到0x >，得103x <<.所以函数()g x 在1(0,)3上是减函数，在1(,)3+∞上是增函数.所以函数()g x 在13x =时取得最小值，且122()0327g =>. 所以()g x 在(0,)+∞上恒大于零.于是，当(0,)x ∈+∞，()f x '=3221e 0xx x x x +-+>恒成立. 所以当1a =-时，函数()f x 在()0,+∞上为增函数. ……… 7分（Ⅱ）问另一方法提示：当1a =-时，()f x '=3221e xx x x x+-+. 由于3210x x x +-+>在()0,+∞上成立，即可证明函数()f x 在()0,+∞上为增函数.（Ⅲ）（Ⅱ）322()e ()xx x ax af x x++-'=. 设()h x =32x x ax a ++-，2()32h x x x a '=++.(1) 当0a >时，()0h x '>在(0,)+∞上恒成立，即函数()h x 在(0,)+∞上为增函数.而(0)0h a =-<，(1)20h =>，则函数()h x 在区间()0,1上有且只有一个零点0x ，使0()0f x '=,且在0(0,)x 上，()0f x ¢<，在()0,1x 上，()0f x ¢>，故0x 为函数()f x 在区间()0,1上唯一的极小值点; （2）当0a =时，当x Î()0,1时，2()320h x x x '=+>成立，函数()h x 在区间()0,1上为增函数，又此时(0)0h =，所以函数()0h x >在区间()0,1恒成立，即()0f x ¢>，故函数()f x 在区间()0,1为单调递增函数，所以()f x 在区间()0,1上无极值；（3）当0a <时，()h x =3232(1)x x ax a x x a x ++-=++-.当()0,1x ∈时，总有()0h x >成立，即()0f x '>成立，故函数()f x 在区间()0,1上为单调递增函数，所以()f x 在区间()0,1上无极值.综上所述0a >. ……… 13分。

北京朝阳区届高三年级第一次(3月)综合练习(一模)数学理试卷Word版含答案解析

北京市朝阳区届高三第一次（3月）综合练习（一模）数学理试卷
Word版含解析
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习
数学（理）
）．3
第一部分（选择题共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1.已知集合，集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
解一元二次不等式求得集合，由此求得两个集合的交集.
【详解】由解得，故，故选B.
【点睛】本小题主要考查集合的交集，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.
2.在复平面内，复数对应的点位于（）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意可得：，据此确定复数所在的象限即可.
【详解】由题意可得：，
则复数z 对应的点为，位于第四象限.
本题选择D选项.
【点睛】本题主要考查复数的运算法则，各个象限内复数的特征等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
1 / 1。

2014年北京市朝阳区高三二模数学(理)试题及答案

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类）2014.5（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知集合{230}A x x =∈-≥R ，集合2{320}B x x x =∈-+<R ，则AB =（A ）32x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭ （B ）322x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭ （C ）{}12x x << （D ）322x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭（2）如果0a b >>，那么下列不等式一定成立的是（A ）33log log a b < （B ）11()()44a b > （C ）11a b< （D ）22a b <（3）执行如右图所示的程序框图．若输出的结果为2，则输入的正整数a 的可能取值的集合是（A ）{}1,2,3,4,5（B ）{}1,2,3,4,5,6（C ）{}2,3,4,5（D ）{}2,3,4,5,6（4）已知函数()π()sin (0,0,)2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，则ϕ= （A ）π6- （B ）6π（C ）π3- （D ）π3（5）已知命题p ：复数1i iz +=在复平面内所对应的点位于第四象限；命题q ：0x ∃>，cos x x =，则下列命题中为真命题的是（A ）()()p q ⌝∧⌝ （B ）()p q ⌝∧ （C ）()p q ∧⌝ （D ）p q ∧（6）若双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线与圆22(2)1x y +-=至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是（A ）(1,2] （B ）[2,)+∞（C）（D）)+∞（7）某工厂分别生产甲、乙两种产品1箱时所需要的煤、电以及获得的纯利润如上表所示.若生产甲、乙两种产品可使用的煤不超过120吨,电不超过60千度,则可获得的最大纯利润和是（A ）60万元（B ）80万元（C ）90万元（D ）100万元（8）如图放置的边长为1的正△PMN 沿边长为3的正方形ABCD 的各边内侧逆时针方向滚动．当△PMN 沿正方形各边滚动一周后，回到初始位置时，点P 的轨迹长度是（A ）83π （B ）163π（C ）4π （D ）5π 第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．（9）已知平面向量a ，b 满足1=a ，2=b ，a 与b 的夹角为60︒，则2+=a b ____．（10）5(12)x -的展开式中3x 项的系数为___．（用数字表示）（11）如图，AB 为圆O 的直径，2AB =,过圆O 上一点M 作圆O 的切线，交AB 的延长线于点C ，过点M 作MD AB ⊥于点D ，若D 是OB 中点，则AC BC ⋅=_____．（12）由两个四棱锥组合而成的空间几何体的三视图如图所示，则其体积是；表面积是．（13）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足24()n n S a n *=-∈N ，则n a = ；数列2{log }n a 的前n 项和为．（14）若存在正实数M ，对于任意(1,)x ∈+∞，都有()f x M ≤，则称函数()f x 在(1,)+∞ 上是有界函数．下列函数①1()1f x x =-；②2()1x f x x =+；③ln ()xf x x =； ④()sin f x x x =，其中“在(1,)+∞上是有界函数”的序号为．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（第11题图）22俯视图侧视图正视图（第12题图）A（15）（本小题满分13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A2π=，3b=，△ABC的面积．（Ⅰ）求边a的长；（Ⅱ）求cos2B的值．（16）（本小题满分13分）某市规定，高中学生三年在校期间参加不少于80小时的社区服务才合格．教育部门在全市随机抽取200位学生参加社区服务的数据，按时间段[)75,80，[)80,85，[)85,90，[)90,95，[]95,100（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数，并估计从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率；（Ⅱ）从全市高中学生（人数很多）中任意选取3位学生，记ξ为3位学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数．试求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．（17）（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，E，F分别为PA，BD中点，2PA PD AD===．（Ⅰ）求证：EF∥平面PBC；（Ⅱ）求二面角E DF A--的余弦值；（Ⅲ）在棱PC上是否存在一点G，使GF⊥平面EDF？若存在，指出点G的位置；若不存在，说明理由．（18）（本小题满分13分）已知函数21()e1xf x ax+=-+，a∈R．（Ⅰ）若曲线()y f x=在点(0,(0))f处的切线与直线e10x y++=垂直，求a的值；（Ⅱ）求函数()f x的单调区间；（Ⅲ）设32ea<,当[0,1]x∈时，都有()f x≥1成立，求实数a的取值范围．（19）（本小题满分14分）已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为12，右焦点到右顶点的距离为1．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）是否存在与椭圆C交于,A B两点的直线l：()y kx m k=+∈R，使得22OA OB OA OB+=-成立？若存在，求出实数m的取值范围，若不存在，请说明理由.（20）（本小题满分13分）已知1x，2x是函数2()f x x mx t=++的两个零点，其中常数m，t∈Z，设12()nn r rnrT x x n-*==∈∑N．（Ⅰ）用m，t表示1T，2T；（Ⅱ）求证：543T mT tT=--；（Ⅲ）求证：对任意的,nn T*∈∈N Z．北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类）2014.515．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由1sin2ABCS bc A∆=得，13sin23ABCS c∆2π=⨯⨯．所以5c=．由2222cosa b c bc A=+-得，22235235cos493a2π=+-⨯⨯⨯=，所以7a=．……………7分（Ⅱ）由sin sina bA B=3sin B=，所以sin B=271cos212sin98B B=-=．…………13分16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）根据题意，参加社区服务时间在时间段[)90,95小时的学生人数为2000.060560⨯⨯=（人），参加社区服务时间在时间段[]95,100小时的学生人数为2000.020520⨯⨯=（人）．所以抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为80人．所以从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90FABCDPE服务时间/小时小时的概率估计为6020802.2002005P +===…………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，从全市高中生中任意选取1人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率为2.5由已知得，随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3．所以0031123323272354(0)()();(1)()()5512555125P C P C ξξ==⋅===⋅=； 221330332336238(2)()();(3)()()5512555125P C P C ξξ==⋅===⋅=．随机变量ξ的分布列如右表。

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1 北京市朝阳区重点高2014届下学期高三年级一模考试数学试卷（理科，有答案）（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分

第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1. 复数(2)zii在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2. 已知集合1{|()1}2xAx，集合{|lg0}Bxx，则AB＝ A. {|0}xx B. {|1}xx C. {|1}{|0}xxxx D.  3. 已知平面向量,ab满足||||2,(2)()2ababab，则a与b的夹角为

A. 6 B. 3 C. 23 D. 56 4. 如图，设区域{(,)|01,01}Dxyxy，向区域D内随机投一点，且投入到区域内任一点都是等可能的，则点落入到阴影区域3{(,)|01,0}Mxyxyx的概率为

A. 14 B. 13 C. 25 D. 27 5. 在△ABC中，,24ABC，则“3AC”是“3B”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 执行如图所示的程序框图，输出的S值是 2

A. 2 B. －2 C. 4 D. －4 7. 已知函数2sin()1xfxx。下列命题： ①函数()fx的图象关于原点对称；②函数()fx是周期函数； ③当2x时，函数()fx取最大值；④函数()fx的图象与函数1yx的图象没有公共点。其中正确命题的序号是 A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 8. 直线yxm与圆2216xy交于不同的两点M，N，且||3||MNOMON，其中O是坐标原点，则实数m的取值范围是 A. (22,2][2,22) B. (42,22][22,42) C. [2,2] D. [22,22]

第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。 9. 在各项均为正数的等比数列{}na中，1232,12aaa，则该数列的前4项和为_________。 10. 在极坐标系中，A为曲线2cos上的点，B为曲线cos4上的点，则线段AB长度的最小值是________。 11. 某三棱锥的三视图如图所示，则这个三棱锥的体积为_________；表面积为_________。 3

12. 双曲线2221(0)yxbb的一个焦点到其渐近线的距离是2，则b＝_______；此双曲线的离心率为_________。 13. 有标号分别为1，2，3的红色卡片3张，标号分别为1，2，3的蓝色卡片3张，现将全部的6张卡片放在2行3列的格内（如图）。若颜色相同的卡片在同一行，则不同的放法种数为_______。（用数字作答）

14. 如图，在四棱锥SABCD中，SB⊥底面ABCD。底面ABCD为梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝1，AD＝3，CD＝2。若点E是线段AD上的动点，则满足∠SEC＝90°的点E的个数是_________。

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15.（本小题满分13分）已知函数22()2sin()cossincos,fxxxxxxR。 4

（Ⅰ）求()2f的值及函数()fx的最小正周期；（Ⅱ）求函数()fx在[0,]上的单调减区间。 16.（本小题满分13分）某单位从一所学校招收某类特殊人才，对20位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试，其测试结果如下表：逻辑思维运动能力协调能力一般良好优秀

一般 2 2 1 良好 4 b 1

优秀 1 3 a 例如，表中运动协调能力良好且逻辑思维能力一般的学生是4人。由于部分数据丢失，只知道从这20位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀

的学生的概率为25。（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）从参加测试的20位学生中任意抽取2位，求其中至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率。（Ⅲ）从参加测试的20位学生中任意抽取2位，设运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为，求随机变量的分布列及其数学期望E。 17. （本题满分14分）如图，四棱锥PABCD的底面为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD。△PAD为等腰直角三角形，且PA⊥AD。E，F分别为底边AB和侧棱PC的中点。（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）求证：EF⊥平面PCD；（Ⅲ）求二面角EPDC的余弦值。 5

18. （本小题满分13分）已知函数21()ln,2fxaxxaR。（Ⅰ）求函数()fx的单调区间；（Ⅱ）若函数()fx在区间[1,]e的最小值为1，求a的值。 19. （本小题满分14分）

已知椭圆C：22221(0)xyabab经过点3(1,)2，离心率为32。（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线(1)(0)ykxk与椭圆C交于A，B两点，点M是椭圆C的右顶点。直线AM与直线BM分别与y轴交于点P，Q，试问以线段PQ为直径的圆是否过x轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由。 20. （本小题满分13分）从1，2，3，„，n这n个数中取*(,,3)mmnNmn个数组成递增等差数列，所有可能的递增等差数列的个数记为(,)fnm。（Ⅰ）当5,3nm时，写出所有可能的递增等差数列及(5,3)f的值；（Ⅱ）求(100,10)f；

（Ⅲ）求证：()(1)(,)2(1)nmnfnmm。 6

【试题答案】一、选择题 1. B 2. A 3. B 4. A 5. B 6. D 7. C 8. D 二、填空题

9. 30 10. 2 11. 1;233 12. 2;5 13. 72 14. 2 三、解答题 15. （本小题满分13分）解：函数()sin2cos2fxxx

2sin(2)4x。

（Ⅰ）2()2sin(2)212242f。显然，函数()fx的最小正周期为。 8分（Ⅱ）令3222242kxk得 37,88kxkkZ。

又因为[0,]x，所以37,88x。函数()fx在[0,]上的单调减区间为37,88。 13分 16. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）设事件A：从20位学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生。由题意可知，运动调协能力或逻辑思维能力优秀的学生共有（6a）人。

则62()205aPA。解得2a。所以4b。 4分（Ⅱ）设事件B：从20人中任意抽取2人，至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生。由题意可知，至少有一项能力测试优秀的学生共有8人。 7

则21222062()1()195CPBPBC。 7分（Ⅲ）的可能取值为0，1，2。 20位学生中运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为8人。

所以21222033(0)95CPC， 11128220

48(1)95CCPC，

28220

14(2)95CPC。

所以的分布列为  0 1 2

P 3395 4895 1495

所以，334814764012959595955E。 13分 17. （本小题满分14分）（Ⅰ）证明：取PD的中点G，连接FG，AG。因为F，G分别是PC，PD的中点，所以FG是△PCD的中位线。

所以FG∥CD，且12FGCD。

又因为E是AB的中点，且底面ABCD为正方形，所以1122AEABCD，且AE∥CD， 8

所以AE∥FG，且AE＝FG。所以四边形AEFG是平行四边形。所以EF∥AG。又EF平面PAD，AG平面PAD，所以EF∥平面PAD。 4分（Ⅱ）证明：因为平面PAD⊥平面ABCD， PA⊥AD，且平面PAD平面ABCD＝AD，所以PA⊥平面ABCD。所以PA⊥AB，PA⊥AD。又因为ABCD为正方形，所以AB⊥AD，所以AB，AD，AP两两垂直。以点A为原点，分别以AB，AD，AP为,,xyz轴，建立空间直角坐标系（如图）。

由题意易知AB＝AD＝AP，设2ABADAP，则 (0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,2),(1,0,0),(1,1,1)ABCDPEF。

因为(0,1,1),(0,2,2),(2,0,0)EFPDCD，且(0,1,1)(0,2,2)0,(0,1,1)(2,0,0)0EFPDEFCD 所以EF⊥PD，EF⊥CD。又因为PD，CD相交于D，所以EF⊥平面PCD。 9分（Ⅲ）易得(1,0,2),(0,2,2)EPPD。

设平面EPD的法向量为(,,)nxyz，则0,0.nEPnPD