十七章--高斯光束的物理特性
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高斯光束的特点
高斯光束的特点高斯光束是一种常见的光束形式，它具有一些独特的特征和性质。
在这篇文章中，我将详细介绍高斯光束的特点和应用。
高斯光束的产生首先，让我们了解高斯光束的产生机制。
高斯光束是由激光器产生的，其中的光源是一个能够将能量转换为光的物质。
在激光器内部，光被引导通过透镜并被聚焦在一个非常小的点上。
这个非常小的点就是所谓的高斯光束。
高斯光束的特性接下来是高斯光束的一些重要特性：1. 对称性：高斯光束在垂直和水平方向上具有相同的亮度分布，呈现完美的对称性。
2. 聚焦性：高斯光束能够通过透镜聚焦到一个非常小的点上，这使得它在许多领域都具有广泛的应用。
3. 窄束宽：高斯光束的光束宽度非常窄，这意味着它能够将光精确地聚焦在一个非常小的区域内。
这使其在制造领域中应用越来越广泛，比如在半导体微处理器和纳米加工中使用。
4. 相位一致性：高斯光束中的光波具有相位一致性。
这意味着高斯光束中的光波可以相互干涉，并且具有非常大的干涉强度，使其在干涉仪和光学器件中应用广泛。
5. 光束稳定性：高斯光束的光束是稳定的，它不会像其他类型的光束一样发生绕射或扩散。
这使得它在通信和传输领域中应用广泛。
应用领域高斯光束在许多领域中都得到了广泛应用，以下是其中一些领域：1. 通信和传输：在光纤通信和光学传输系统中使用高斯光束可以提供更好的性能和可靠性。
高斯光束产生的光束非常窄，可以提供更高的传输速率和更少的数据丢失。
2. 制造和加工：高斯光束的光束聚焦非常精确，因此它在制造和加工领域中使用越来越广泛。
例如，它可以用于微加工、纳米加工、刻蚀和切割。
3. 治疗和医学：高斯光束已被用于医学成像和激光治疗。
它可以用于照射和去除组织中的癌细胞。
4. 科学研究：高斯光束在科学研究领域中应用广泛。
它可以用于干涉仪、单光子实验、冷却原子、微分析和高分辨率成像等。
总结在本文中，我详细介绍了高斯光束的特点和应用领域。
高斯光束通过激光器产生，具有对称性、聚焦性、窄束宽、相位一致性和光束稳定性等特点，其应用领域包括通信和传输、制造和加工、治疗和医学和科学研究等。
高斯光束的基本性质及特征参数r讲解
1/ e
2
2 ( z ) lim z 0 z
高斯光束的发散度由束腰半径ω 0决定。
综上所述，基模高斯光束在其传播轴线附近， 可以看作是一种非均匀的球面波，其等相位面是曲 率中心不断变化的球面，振幅和强度在模截面内保 持高斯分布。
photomultiplier
photodiode
z
2
z 0 1 f
f2 R( z ) z z
高斯光束的共焦参数
2 0 f Z0
与传播轴线相 交于Z点的高斯光束 等相位面的曲率半 径
高斯光束的基本特征： (1)基模高斯光束在横截面内的光电场振幅分 布按照高斯函数的规律从中心（即传播轴线）向外 平滑地下降，如图1-6所示。由中心振幅值下降到 1/e点所对应的宽度，定义为光斑半径。
Avalanche photodiode
R(z)随Z变化规律为：
2 2 f f R z z 1 2 z z z
结论： a)当Z=0时，R(z)→∞，表明束腰所在处的等 相位面为平面。 b) 当Z→±∞时，│R(z)│≈z→∞表明离束腰无 限远处的等相位面亦为平面，且曲率中心就在束腰 处； c)当z=±f时，│R(z)│=2f，达到极小值 。
决定了基模高斯光束的空间相移特性。 其 中 ， kz 描 述 了 高 斯 光 束 的 几 何 相 移 ； arctan(z/f)描述了高斯光束在空间行进距离z处， 相对于几何相移的附加相移；因子kr2/(2R(z))则表 示与横向坐标 r 有关的相移，它表明高斯光束的等 相位面是以R(z)为半径的球面。
高斯光束的基本性质及特征参数
基模高斯光束
高斯光束在自由空间的传播规律
2.6 高斯光束基本性质及特征参数详解
r2
z
r , z kz k 2R mn1 arctg f
几何相移 与横向坐标 附加相移(与 相关的相移 阶次有关)
a、光腰半径
x方向：m2 2m 102 02 y方向：n2 2n 102 02
b、z处光斑半径
x方向： m2z 2m 1z2 z2 y方向： n2z 2n 1z2 z2
qz
1
Rz
i
2 z
1/q(z) —高斯光束的复曲率半径
知道q(z)可以求R (z)和 z
1
Rz
Re q1z
1
2 z
Im
q
1
z
特例：
1 q0
1
q0
1
R0
i
2 0
2 0 02
q0
i w02
i
f
几种表示方法的比较
前两种表示较为直观。q 参数表示则将描述高斯光束的两 个参数w(z)和R(z)统一在一个表达式中, 便于研究高斯光 束通过光学系统的传输规律。
f
2
F F
时：
即当物高斯光束束腰与透镜后焦面的距离远大于物 高斯光束的共焦参数时，或物高斯光束束腰与透镜 相距足够远时，(3)式分母第二项可忽略。则：
1 1 1 l l F
几何光学成象公式
腰斑放大率： k 0 ' l' 0 l
几何光学成象放大率公式
2、若1中条件不满足，则只有(3)和(4)才能描述高斯光 束通过薄透镜的传输行为，与几何光学行为差异大。
(5)z → 时，R(z)→ z。等相面为平面。
注：高斯光束等相面的曲率中心并不是一个固定点，它要 随着光束的传播而移动。
4、远场发散角
01
高斯光束的基本性质及特征参数 (2)
q2 q1 F
• q参数的变换规律可统一表示为
q2
Aq1 B Cq1 D
• 结论：高斯光束经任何光学系统变换时服从ABCD公式，由
光学系统对傍轴光线的变换矩阵所决定。
• 优点：能通过任意复杂的光学系统追踪高斯光束的q参数值 (将q称为复曲率半径the complex radius of curvature)
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• 高斯光束在其传输轴线附近可近似看 作是一种非均匀球面波，其曲率中心 随着传输过程而不断改变，但其振幅 和强度在横截面内始终保持高斯分布 特性，且其等相位面始终保持为球面。
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三、基模高斯光束的特征参数
用参数0（或f）及束腰位置表征高斯光束
用参数(z)和R(z)表征高斯光束 如果知道了某给定位置处的(z)和R(z)，可决
• 附加相移为 • 光斑半径
mn
(m 2n 1)arctg
z f
mn(z) m 2n 1(z)
• 发散角
mn m 2n 10
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§2.6 高斯光束q参数的变换规律
• 普通球面波的传播规律 • 高斯光束q参数的变换规律 • 用q参数分析高斯光束的传输问题
定高斯光束腰斑的大小0和位置z
高斯光束的q参数
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00 (x, y, z)
c (z)
exp[
r2 2(z
)
]
exp{
i[k
(
z
r 2 ) arctg 2R(z)
z f
]}
重新整理
00
(
• q参数的变换规律可统一表示为
q2
Aq1 B Cq1 D
• 结论：高斯光束经任何光学系统变换时服从ABCD公式，由
光学系统对傍轴光线的变换矩阵所决定。
• 优点：能通过任意复杂的光学系统追踪高斯光束的q参数值 (将q称为复曲率半径the complex radius of curvature)
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• 高斯光束在其传输轴线附近可近似看 作是一种非均匀球面波，其曲率中心 随着传输过程而不断改变，但其振幅 和强度在横截面内始终保持高斯分布 特性，且其等相位面始终保持为球面。
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三、基模高斯光束的特征参数
用参数0（或f）及束腰位置表征高斯光束
用参数(z)和R(z)表征高斯光束 如果知道了某给定位置处的(z)和R(z)，可决
• 附加相移为 • 光斑半径
mn
(m 2n 1)arctg
z f
mn(z) m 2n 1(z)
• 发散角
mn m 2n 10
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§2.6 高斯光束q参数的变换规律
• 普通球面波的传播规律 • 高斯光束q参数的变换规律 • 用q参数分析高斯光束的传输问题
定高斯光束腰斑的大小0和位置z
高斯光束的q参数
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00 (x, y, z)
c (z)
exp[
r2 2(z
)
]
exp{
i[k
(
z
r 2 ) arctg 2R(z)
z f
]}
重新整理
00
(
第5讲-高斯光束
5.1 均匀介质中的高斯光束
• 高斯光束基本特性
– 振幅分布特性 由高斯光束的表达式可以得到：
EE0(z0)exp2r(2z)
在z截面上，其振幅按照高斯函数规律变化，如图所示。
将在光束截面内，振幅下降到最大值的1/e时，离光轴的距离 r (z)定义为该
处的光斑半径。
由
(
z
)
2(z)
的定义可以得到：
q
z
b a
z
q0
– 由p与q的关系得到
p' i i q zq0
– C1不影响振幅和相位的分布，因此可以设C1=0。
piln1qz0C1
E0exp ip(z)2qk(z)r2
piln1qz0
C1
b qza zq0
E 0ex p i iln 1 q z0 2 (q K 0z)r2 (1 )
把瑞利距离长度称为准直距离。从瑞利长度表达式 z020/ 可以得
出结论，高斯光束的束腰半径越大，其准直距离越长，准直性越好。
5.1 均匀介质中的高斯光束
• 高斯光束的孔径
– 从基模高斯光束的光束半径表达式可以得到截面上振幅的分布为：
–
则其光强分布为：
I(r)
I0exp2r22
A(r)
A0expr22
2 2 r z22 r2 21 r r z22
波动方程
• 我们假设 2 ，其中a为集中大部分能量的横截面半
径，这一假设说明衍射效应很弱，因此可以将推导局限于 单一的横向场分量，其单色平面波的表达式为：
E(x,y,z)eikz
其中e-ikz表示波数为k的严格平面波；
• 为了研究修正平面波，我们引入了修正因子 (x, y, z) ，
高斯光束的传播特性ppt课件
复习：共焦腔内或腔外的一点的行波场的解析式：
umn x, y, z CmnHm
2 1
2
2 ws
x Hn
2 1
2
2 ws
y
exp
1
2
2
x2 y2 ws2
exp ix,
y, z
1. Hm
2 1
2
2 ws
x Hn
2 1 2
2 ws
y
exp
2 1
2
x2 y2 ws2
行波场横向振幅分布因子
束腰半径
0
1 2
s
L 2
f
等相面曲率半径 R(z) z [1 ( L )2 ] z [1 ( f )2 ] z [1 (02 )2 ]
2z
z
z
任意位置光斑 半径
(z) 0
1
(
z 02
)2
高斯光束的束腰半 径的大小和位置确
镜面光斑半径 远场发散角
s
20
L
2 2 0
定，就可以确定整
2、光斑尺寸
当场振幅为轴上( x2 y2 0 )的值的e-1倍，即强度为轴上的值的e-2倍时，
所对应的横向距离 z 即z 处截面内基模的光斑半径为
(z)
x2 y2 s
2
1 2 s
2
4z2 1 L2
§3.3.1 高斯光束的振幅和强度分布
(z) s 1 2 s
2
2
ωs xs2 ys2 L
k
L 2
1
2z L
1
2z L 2z
2
x2
L
y
2
2
z
k
umn x, y, z CmnHm
2 1
2
2 ws
x Hn
2 1
2
2 ws
y
exp
1
2
2
x2 y2 ws2
exp ix,
y, z
1. Hm
2 1
2
2 ws
x Hn
2 1 2
2 ws
y
exp
2 1
2
x2 y2 ws2
行波场横向振幅分布因子
束腰半径
0
1 2
s
L 2
f
等相面曲率半径 R(z) z [1 ( L )2 ] z [1 ( f )2 ] z [1 (02 )2 ]
2z
z
z
任意位置光斑 半径
(z) 0
1
(
z 02
)2
高斯光束的束腰半 径的大小和位置确
镜面光斑半径 远场发散角
s
20
L
2 2 0
定，就可以确定整
2、光斑尺寸
当场振幅为轴上( x2 y2 0 )的值的e-1倍，即强度为轴上的值的e-2倍时，
所对应的横向距离 z 即z 处截面内基模的光斑半径为
(z)
x2 y2 s
2
1 2 s
2
4z2 1 L2
§3.3.1 高斯光束的振幅和强度分布
(z) s 1 2 s
2
2
ωs xs2 ys2 L
k
L 2
1
2z L
1
2z L 2z
2
x2
L
y
2
2
z
k
第讲高斯光束
也称亥姆 霍兹方程
波动方程
波动方程
2E0k2(r)E0 0
k2(r)2u(r)
也称亥姆 霍兹方程
– 当考虑到介质中存在增益和损耗的情况时，上
k2(r) 式2u最(r后)1一i项(r可)以当表 示0为： 代表吸 收0 介质，
上式表示复数波数代. 表增益介质
波动方程
我们考虑波数表k2(示r) 形k2 式0k 为0k2r2的情 其中k0、k2都可以是复数，况这个表达式可
• 若假(设x, y其, z)解为修正平面波，且将类透镜介 • 质其式折为中E0e射：xp率 i表p(达z)式2qk带(为z)入r修2 其正中因p可子q'((1zz以))， 2得若q(到iqz假)(1z：)设 '其kk2 形 0
5.1 均匀介质中的高斯光束
– 均匀介质可以认为是类透镜介质的一种特例，即 k2=0时的pq'(类(1zz)) 2透q(iqz镜)(1z)q(1'介zk)k2 质 0SS，'((zz))此q12 时 简1q 化' 波0 动SS'方2程S"为SS：2(S')2 0
(z)
r
2
1 2(
z)
ik 2R(z)
E
0
0 (z)
exp
r2 2(z)
exp
i
kz
(z)
kr 2 2R(z)
经典公式---永远有用
2( z )
2 0
1
z
2 0
2
2 0
1
z2
z
2 0
R(z)
z
1
2 0
z
2
z
1
z
高斯光束
•基本定律/概念o几何光学基本理论o概念与完善成像o光路计算/近轴系统o球面光学成像系统•理想光学系统o共线成像理论o基点与基面o物像关系o放大率o系统的组合o透镜•平面系统o平面镜成像o平行平板o反射棱镜o折射棱镜与光楔o光学材料•OS的光束限制o照相系统和光阑o望远镜的光束的选择o显微镜的光束限制o光学系统的景深•光度学/色度学o辐射量/光学量o传播中光学量的变化o系统像面的光照度o颜色分类/表现特征o颜色混合定律o颜色匹配o色度学中的几个概念o颜色相加原理o CIE标准色度学系统o均匀颜色空间•光路计算/像差o概述o光线的光路计算o轴上点球差•典型光学系统o眼睛系统o放大镜o显微镜系统o望远镜系统o目镜o摄影系统o显外形尺寸计算•现代光学系统o激光光学系统o傅里叶变换光学§8.1 激光光学系统激光自60年代初问世以来，由于其亮度高、单色性好、方向性强等优点，在许多领域得到了广泛应用。
例如激光加工、激光精密测量与定位、光学信息处理和全息术、模式识别和光计算、光通信等。
但无论激光在哪方面的应用，都离不开激光束的传输，因此研究激光束在各种不同介质中的传输形式和传输规律，并设计出实用的激光光学系统，是激光技术应用的一个重要问题。
一、高斯光束的特性在研究普通光学系统的成像时，我们都假定点光源发出的球面波在各个方向上的光强度是相同的，即光束波面上各点的振幅是相等的。
而激光作为一种光源，其光束截面内的光强分布是不均匀的，即光束波面上各点的振幅是不相等的，其振幅A与光束截面半径r的函数关系为其中A0为光束截面中心的振幅,w为一个与光束截面半径有关的参数,r为光束截面半径。
光束波面的振幅A呈高斯(Guass)型函数分布所以激光光束又称为高斯光束。
高斯光束的光斑延伸到无限远，其光束截面的中心处振幅最大，随着r的增大，振幅越来越小，因此我们常以r=w时的光束截面半径作为激光束的名义截面半径，并以w来表示，即当r=w时说明高斯光束的名义截面半径w是当振幅A下降到中心振幅A0的1/e时所对应的光束截面半径。
高斯光束的基本性质及特征参数PPT课件
§2.8 高斯光束的自再现变换
自再现变换：如果一个高斯光束通过透镜后其结构不发生变化，即参数0或f不变，
或同时满足0 = 0、 l=l。
•利 用 透 镜 实 现 自 再 现 变 换 ：
令 •当 透 镜 的 焦 距 等 于 高 斯 光 束 入 射 在 透 镜 表 面
该高斯光束
l F
作
自(l
(l F
• 参数q将(z)和R(z)统一在一个表达式中，知道了高斯光束在某位置处的q参数值， 可由下式求出该位置处(z)和R(z)的数值
1 Re[ 1 ]
R(z)
q(z)
1 2 (z)
Im[ 1 ] q(z)
用q0=q(0)表示z=0处 的参数值（purely
imaginary），得出
1 q0
1 q(0)
如果知道了某给定位置处的(z)和R(z)，可决
定高斯光束腰斑的大小0和位置z
00
(高x, y斯, z)光 束c 的exqp参{i数k r2
(z)
2
[
1 R(z)
i
2 (
z)
]
}ex
p
[i(kz
arctg
z f
)]
引入一个新的参数q(z)，定义为
1 q(z)
1 R(z)
i
2 (z)
第6页/共40页
0 >>f
F ，l
0
l F
不l=论F，l的值0为达多到大极，大只值要，F<f满足，就能，实现一定 的且聚焦作用，。仅当F<f时，透镜才有聚焦作用。
第20页/共40页
l 确定， 0随F变化情况
当 F R(l) 2 ，透镜才能对高斯光束起聚焦作用。F 愈小，聚集效果愈好
高斯光束的基本性质及特征参数r
0
综上所述，基模高斯光束在其传播轴线附近， 能够看作是一种非均匀旳球面波，其等相位面是曲 率中心不断变化旳球面，振幅和强度在模截面内保 持高斯分布。
photomultiplier
photodiode
Avalanche photodiode
高斯光束旳基本性质及特征参数
基模高斯光束 高斯光束在自由空间旳传播规律
高斯光束旳参数特征
4、高斯光束
由激光器产生旳激光束既不是上面讨论旳均匀平 面光波，也不是均匀球面光波，而是一种振幅和等 相位面在变化旳高斯球面光波，即高斯光束。
以基模TEM00高斯光束为例，体现式为：
E0
ωγ2 2zeik
z
γ2
2 z z2
02 f 2 1
如图1-7所示。
在Z=0处，ω（z）=ω0到达极小值，称为束 腰半径。
(2)基模高斯光束场旳相位因子
00 r, z
k z
2R
2
z
arctan
z f
决定了基模高斯光束旳空间相移特征。
其中，kz描述了高斯光束旳几何相移； arctan(z/f)描述了高斯光束在空间行进距离z处， 相对于几何相移旳附加相移；因子kr2/(2R(z))则表 达与横向坐标r有关旳相移，它表白高斯光束旳等 相位面是以R(z)为半径旳球面。
R(z)随Z变化规律为：
Rz
z 1
f2 z2
z
f2 z
结论：
a)当Z=0时，R(z)→∞，表白束腰所在处旳等 相位面为平面。
b) 当Z→±∞时，│R(z)│≈z→∞表白离束腰无 限远处旳等相位面亦为平面，且曲率中心就在束腰 处；
c)当z=±f时，│R(z)│=2f，到达极小值 。
综上所述，基模高斯光束在其传播轴线附近， 能够看作是一种非均匀旳球面波，其等相位面是曲 率中心不断变化旳球面，振幅和强度在模截面内保 持高斯分布。
photomultiplier
photodiode
Avalanche photodiode
高斯光束旳基本性质及特征参数
基模高斯光束 高斯光束在自由空间旳传播规律
高斯光束旳参数特征
4、高斯光束
由激光器产生旳激光束既不是上面讨论旳均匀平 面光波，也不是均匀球面光波，而是一种振幅和等 相位面在变化旳高斯球面光波，即高斯光束。
以基模TEM00高斯光束为例，体现式为：
E0
ωγ2 2zeik
z
γ2
2 z z2
02 f 2 1
如图1-7所示。
在Z=0处，ω（z）=ω0到达极小值，称为束 腰半径。
(2)基模高斯光束场旳相位因子
00 r, z
k z
2R
2
z
arctan
z f
决定了基模高斯光束旳空间相移特征。
其中，kz描述了高斯光束旳几何相移； arctan(z/f)描述了高斯光束在空间行进距离z处， 相对于几何相移旳附加相移；因子kr2/(2R(z))则表 达与横向坐标r有关旳相移，它表白高斯光束旳等 相位面是以R(z)为半径旳球面。
R(z)随Z变化规律为：
Rz
z 1
f2 z2
z
f2 z
结论：
a)当Z=0时，R(z)→∞，表白束腰所在处旳等 相位面为平面。
b) 当Z→±∞时，│R(z)│≈z→∞表白离束腰无 限远处旳等相位面亦为平面，且曲率中心就在束腰 处；
c)当z=±f时，│R(z)│=2f，到达极小值 。
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实际上，在光束直径增加到束腰时的 倍，或者是光斑面积加倍时，光束从束腰传播出来的距离由以下参数简单给定
术语瑞利半径有时候用于天线原理，描述准直的光束通过直径为d（假设d》λ）天线孔后开始剧烈的分散时的距离z≈ /λ。因此我们采用相同的术语命名 ≡π /λ。高斯光束从束腰传播出时，瑞利范围标记了在‘近场’（fresnel）和‘远场’（fraunhofer）区域的分解线。
参考文献
对于瑞利半径的更深层次了解能在J.F.Ramasy的”Tubular beams from radiating apertures”中查阅到，微波前沿章节，Vol.3,ed.by L.F.Young(Academic Press,New York,1968),p.127.
对相同的意见的更早期的理解可以参考Lord Rayleigh(J.W.strutt)本人的文献”On images formed with or without reflection or refraction,”Phil.mag.11,214-218(1881),和”On pinholephotography,”Phil.mag.31,87-89(1891.)
有效直径和均匀的拥有相同峰值强度和相同总功率的柱状光束的面积作为一束柱状高斯光束将是：
如图17.2所示。
孔明显比所需的要大，然而，要穿过一个真正的光斑尺寸为ω的，没有减掉外沿的高斯光束。例如，光斑尺寸为ω的高斯光束通过集中在直径为2a的圆孔时有极小的的能量会转让掉，，如图17.3所示：
图中标出了圆孔半径a的圆孔对于光斑尺寸ω光的传输比值。半径a=ω的孔可以传输高斯光束86％的总功率。我们定义光衰减到86％或者 时为孔尺寸。
猜想我们相同的1e准则来定义在光束束腰的入射光束有效半径忽略在束腰位置一丧半径定义下有效圆孔面积a12对于有普遍天线理论的高斯光束来说这是一丧十分精确的公式表述如下在物理学斱面这丧定理说明假如我们测量平面波辐射从一丧矢量角斱向到达有效孔面积为a的一丧天线然后对所有可能角度测量面积迚行积分结果任何形式的无损天线大多数时候用于衡量波长
光圈传输
在分析真空中理想高斯光束传播特性前,我们可以简要的了解在任何真正的光学系统存在的有限尺寸光孔的渐晕效应.光斑尺寸半径ω之后，高斯光束的强度减弱是非常迅速的。
一个实际的光孔必须是多大才能使高斯光束上的截断效应之前能被忽略。
猜想我们定义一束光的总功率为P= dA，其中dA表示横截面的面积，在孔尺寸ω中高斯光束的辐射强度变化如下：
两倍的半角给出全角：
对于高斯光束，可以用更精确的公式化的表述，我们在第一章给出近似的关系Δθ≈λ/d。我们可以利用由有角的传输来定义圆锥相同的基础来定义高斯光束的立体角 ，或者
如之前记录一样，在远场中，这圆锥发散将包含光束总功率的86%。
猜想我们相同的1/e准则来定义在光束束腰的入射光束有效半径（忽略在束腰位置一个半径a= 的孔实际上在远场部分将产生大量的衍射效应）。在1/e定义下，有效圆孔面积 ≡π /2与有效远场立体角π 的乘积为
聚焦光斑尺寸
在通常情况下，高斯光束被一面焦距为f的棱镜聚焦，如图17.11所示，简化为像之前17.9所示远场光束问题。束腰区域现在变成了斑尺寸 的焦点，而且聚焦棱镜的焦距在远场中z≈±f。假设ω（f）为高斯光束在在透镜上的尺寸，我们能有如公式17.13相同的关系，但是是相反的联系，
在实际情况下以上公式有什么隐身意义？
换一种说法来讲，假如一束高斯光束从一个孔聚焦到束腰然后再扩散，在斑尺寸为 全部距离b可以表示为
b=2 = =confocal parameter(10)
共焦参数广泛用于描述高斯光束。，如图17.7所示，瑞利范围 ≡b/2在运用于大多数高斯光束有关的公式里。
准直高斯光束传播
在实际情况下，一束光的准直束腰区域在超过多少距离后扩大？为对这个问题得到更深的了解，我们可以设计高斯光束从一个直径为D的有微小汇聚的初始光圈传播出来，入图17.8所示，结果是光束在离开瑞利范围后缓慢的聚焦到束腰上，其尺寸为 ，然后又从新扩散到另一边的相同直径D（或者说相同聚焦界限）的瑞利范围上。例如，我们选择孔直径为πω或者是穿过总功率为99%原则，所以我们在每一个结尾选定D=π× 。
曲率共焦
曲率的最小半径发现在从束腰开始的一段距离z= 的波前，半径值R=b=2 。波前的曲率中心点，坐落在z=+ ，反过来也一样在z=- 点，如图17.10所示。
某特定的间距根据可靠的共振器理论有一个特殊的意义，设想波前曲线R（z）在± 时
在两点安装配套的两个半径为R的镜子，它们之间的距离L=R=b=2 。这样一个半径为R的镜子的焦点坐落于f=R/2，两个镜子的焦点一致的在共振器的中心。这两个镜子叫做对称共焦谐振器，共焦因子为b≡2 ≡2π /λ。我们在接下来探索这样一个独特的，有趣特构造征的共振器。
17章--高斯光束的物理特性
之前的章节建立了计算在真空中的光束特性的分析工具，然而，我们也需要对真实光束特性的物理的，直观的理解--下两节将尝试建立一个了解。
特别地，我们以前章节介绍的哈密顿-高斯和拉格拉日-高斯模型都是数学方面的，而且也为拥有有限直径反射镜的、稳定的、激光共振器的传输模型提供了好的近似。因此高斯或者类高斯光束在分析激光问题和有关光学系统的问题得到广泛的应用。高斯光束特性的物理和数学理解是特别重要的。在这章里我们回顾在真空中的理想高斯光束的大多数重要的物理特性。
为聚焦高斯光束的有效直径。
聚焦透镜的焦距f的值（也叫相对孔径或者透镜的感光度），定义为
≡ （26）
聚焦斑直径，我们总结出来的规则如下
选择一种能得到基本相同结果的非传统方法，我们能计算假如一束带着总能量P的高斯光束，然后我们用一面焦距为f的透镜聚焦，对透镜直径用相同的D=πω准则。接下来在光束聚焦的中间峰强度如下
远场光束角：守恒准则
最后，一个更为保守的方法来表示所有的点，我们可以用d=πω或者99%原则代替1/e原则来定义有效来源光圈尺寸和有效远场立体角。然后我们可以知道初始的斑尺寸 从直径d=π 源孔传输将产生含能量99%的远场光束，其锥形的分散角2 =πω（z）/z。在此基础之上，我们来源光圈面积 为π /4和光束远场立体角 =π ；这些可以用更保守的方式联系起来
对于有普遍天线理论的高斯光束来说，这是一个十分精确的公式，表述如下
在物理学方面，这个定理说明，假如我们测量平面波辐射从一个矢量角Ω=（θ，φ）方向到达有效孔面积为A（Ω）的一个天线，然后对所有可能角度dΩ的测量面积进行积分，，结果（任何形式的无损天线）大多数时候用于衡量波长λ。结果是固定的，不管是对于任何天线，不管是任何的无线电波，微波或者是光学波长。
远场光束角：“礼帽”准则
接下来我们设想在远场情况下，当光束尺寸随距离变化线性变化时，如图17.9.在z>> 的远场下光束传播的角度是多少？
由高斯光束方程（17.1~17.5），在远场中从尺寸为 的束腰通过的高斯光束，它的1/e强度斑尺寸如下
ω（z）= = （z>> ）（12）
化简为
×ω（z）≈ （13）
然后准直光束距离和传输孔尺寸之间的关系用公式表达为
Collimated range=2 = ≈ . (11)
图17.8和表17.1展示了两束不同波长激光准直范围的典型的数据。一束可见光通过1cm的光孔能投射出有几毫米的有效直径的光束，它在传播50米后者更远距离后没有严重的衍射。
这样的光束能用于例如在建设项目中做准直的‘无重力的弦’。在光电池列阵的辅助下，能很容易的发现这样一束光的中心，而且在整个传输距离里准确性好于ω/20，或者一毫米的小部分。
如图17.1所示：
在另外平面z的高斯光束的归一场方向图将有以下方程
复合的曲率半径与光斑的尺寸和曲率半径在任意z平面都有以下定义关系：
在真空中参数遵守传输定理：
有初始值
记在这些方程里的λ的值为光束在这些介质中传输的放射波长。
高斯光束所有重要的性质都能用束腰尺寸 和 比值用以下方程联系：
换句话说，沿场方向的整个高斯光束以在束腰上的单一的因素 （或者 ，或者 ）为特点，还有在介质传输的波长λ。
问题17.1
略
17.2高斯光束的聚焦
在平行高斯光束传播很远距离时，我们经常对将这样光束在聚焦到一个很小的斑很感兴趣，记录数据到影碟或者磁带上，或者在刀片上打洞，或者在激光显微镜下计数细胞核。（因为关于红宝石激光器强度规范的证明，通过仅仅使用一次激光射击就可以在一片或者多片的刀片上击出一个孔，脉冲激光器能量偶尔在“Gillettes”中被引用。）通过高斯光束的聚焦能获得什么种类的光斑尺寸和光强－或者是对任何结构完整的高斯光束产生的问题。
能看出在实际聚焦问题中，入射的高斯光束应该填满聚焦透镜的最大面积，来保证高斯光束通过有限孔径的透镜时没有一丝能量的丧失，（同时也没有边缘衍射效应）。在实际设计中一个合理的准则，我们可以采用聚透镜的直径d为D=πω（f）或者99%准则，所以我们将在透镜中损失小于1%的能量，同时我们也可以采用1/e或者d=2 准则来选择聚焦斑点的有效直径，因为这个直径可以通过86%的能量，和在功率强度已经减少峰值的1/ ≈14%的边缘。结合上面准则有
将束腰的光斑尺寸和远场联系起来。高斯光束在远场中呈角度传播能用几种方法联系近场光束尺寸后者孔面积，这基于我们的要求。
例如，远场沿轴向的光束强度如下
因此，在轴向与总功率相同的光束强度分散到面积π （2）/2= /2π 。在远场中相等的‘礼帽’分散的立体角 (z)，由下给出
与此同时，由17.7给出的方程 =π /2为‘相同大礼帽’的柱状光束面积。这两个参数的乘积为
17.1高斯光束特性
在本节中我们首先观察低阶高斯光束物理的性质，包含光圈传输，平行光距离，远场角光束传播和高斯光束传播的其他的实际方面。
解析表达式
让我们总结低阶高斯光束的特点在一斑点尺寸 和在横向尺寸的平面波前 =∞情况下，在一个简化的参考平面，我们令z=0.从今以后，这个平面将被显而易见的原因证明为束腰。
术语瑞利半径有时候用于天线原理，描述准直的光束通过直径为d（假设d》λ）天线孔后开始剧烈的分散时的距离z≈ /λ。因此我们采用相同的术语命名 ≡π /λ。高斯光束从束腰传播出时，瑞利范围标记了在‘近场’（fresnel）和‘远场’（fraunhofer）区域的分解线。
参考文献
对于瑞利半径的更深层次了解能在J.F.Ramasy的”Tubular beams from radiating apertures”中查阅到，微波前沿章节，Vol.3,ed.by L.F.Young(Academic Press,New York,1968),p.127.
对相同的意见的更早期的理解可以参考Lord Rayleigh(J.W.strutt)本人的文献”On images formed with or without reflection or refraction,”Phil.mag.11,214-218(1881),和”On pinholephotography,”Phil.mag.31,87-89(1891.)
有效直径和均匀的拥有相同峰值强度和相同总功率的柱状光束的面积作为一束柱状高斯光束将是：
如图17.2所示。
孔明显比所需的要大，然而，要穿过一个真正的光斑尺寸为ω的，没有减掉外沿的高斯光束。例如，光斑尺寸为ω的高斯光束通过集中在直径为2a的圆孔时有极小的的能量会转让掉，，如图17.3所示：
图中标出了圆孔半径a的圆孔对于光斑尺寸ω光的传输比值。半径a=ω的孔可以传输高斯光束86％的总功率。我们定义光衰减到86％或者 时为孔尺寸。
猜想我们相同的1e准则来定义在光束束腰的入射光束有效半径忽略在束腰位置一丧半径定义下有效圆孔面积a12对于有普遍天线理论的高斯光束来说这是一丧十分精确的公式表述如下在物理学斱面这丧定理说明假如我们测量平面波辐射从一丧矢量角斱向到达有效孔面积为a的一丧天线然后对所有可能角度测量面积迚行积分结果任何形式的无损天线大多数时候用于衡量波长
光圈传输
在分析真空中理想高斯光束传播特性前,我们可以简要的了解在任何真正的光学系统存在的有限尺寸光孔的渐晕效应.光斑尺寸半径ω之后，高斯光束的强度减弱是非常迅速的。
一个实际的光孔必须是多大才能使高斯光束上的截断效应之前能被忽略。
猜想我们定义一束光的总功率为P= dA，其中dA表示横截面的面积，在孔尺寸ω中高斯光束的辐射强度变化如下：
两倍的半角给出全角：
对于高斯光束，可以用更精确的公式化的表述，我们在第一章给出近似的关系Δθ≈λ/d。我们可以利用由有角的传输来定义圆锥相同的基础来定义高斯光束的立体角 ，或者
如之前记录一样，在远场中，这圆锥发散将包含光束总功率的86%。
猜想我们相同的1/e准则来定义在光束束腰的入射光束有效半径（忽略在束腰位置一个半径a= 的孔实际上在远场部分将产生大量的衍射效应）。在1/e定义下，有效圆孔面积 ≡π /2与有效远场立体角π 的乘积为
聚焦光斑尺寸
在通常情况下，高斯光束被一面焦距为f的棱镜聚焦，如图17.11所示，简化为像之前17.9所示远场光束问题。束腰区域现在变成了斑尺寸 的焦点，而且聚焦棱镜的焦距在远场中z≈±f。假设ω（f）为高斯光束在在透镜上的尺寸，我们能有如公式17.13相同的关系，但是是相反的联系，
在实际情况下以上公式有什么隐身意义？
换一种说法来讲，假如一束高斯光束从一个孔聚焦到束腰然后再扩散，在斑尺寸为 全部距离b可以表示为
b=2 = =confocal parameter(10)
共焦参数广泛用于描述高斯光束。，如图17.7所示，瑞利范围 ≡b/2在运用于大多数高斯光束有关的公式里。
准直高斯光束传播
在实际情况下，一束光的准直束腰区域在超过多少距离后扩大？为对这个问题得到更深的了解，我们可以设计高斯光束从一个直径为D的有微小汇聚的初始光圈传播出来，入图17.8所示，结果是光束在离开瑞利范围后缓慢的聚焦到束腰上，其尺寸为 ，然后又从新扩散到另一边的相同直径D（或者说相同聚焦界限）的瑞利范围上。例如，我们选择孔直径为πω或者是穿过总功率为99%原则，所以我们在每一个结尾选定D=π× 。
曲率共焦
曲率的最小半径发现在从束腰开始的一段距离z= 的波前，半径值R=b=2 。波前的曲率中心点，坐落在z=+ ，反过来也一样在z=- 点，如图17.10所示。
某特定的间距根据可靠的共振器理论有一个特殊的意义，设想波前曲线R（z）在± 时
在两点安装配套的两个半径为R的镜子，它们之间的距离L=R=b=2 。这样一个半径为R的镜子的焦点坐落于f=R/2，两个镜子的焦点一致的在共振器的中心。这两个镜子叫做对称共焦谐振器，共焦因子为b≡2 ≡2π /λ。我们在接下来探索这样一个独特的，有趣特构造征的共振器。
17章--高斯光束的物理特性
之前的章节建立了计算在真空中的光束特性的分析工具，然而，我们也需要对真实光束特性的物理的，直观的理解--下两节将尝试建立一个了解。
特别地，我们以前章节介绍的哈密顿-高斯和拉格拉日-高斯模型都是数学方面的，而且也为拥有有限直径反射镜的、稳定的、激光共振器的传输模型提供了好的近似。因此高斯或者类高斯光束在分析激光问题和有关光学系统的问题得到广泛的应用。高斯光束特性的物理和数学理解是特别重要的。在这章里我们回顾在真空中的理想高斯光束的大多数重要的物理特性。
为聚焦高斯光束的有效直径。
聚焦透镜的焦距f的值（也叫相对孔径或者透镜的感光度），定义为
≡ （26）
聚焦斑直径，我们总结出来的规则如下
选择一种能得到基本相同结果的非传统方法，我们能计算假如一束带着总能量P的高斯光束，然后我们用一面焦距为f的透镜聚焦，对透镜直径用相同的D=πω准则。接下来在光束聚焦的中间峰强度如下
远场光束角：守恒准则
最后，一个更为保守的方法来表示所有的点，我们可以用d=πω或者99%原则代替1/e原则来定义有效来源光圈尺寸和有效远场立体角。然后我们可以知道初始的斑尺寸 从直径d=π 源孔传输将产生含能量99%的远场光束，其锥形的分散角2 =πω（z）/z。在此基础之上，我们来源光圈面积 为π /4和光束远场立体角 =π ；这些可以用更保守的方式联系起来
对于有普遍天线理论的高斯光束来说，这是一个十分精确的公式，表述如下
在物理学方面，这个定理说明，假如我们测量平面波辐射从一个矢量角Ω=（θ，φ）方向到达有效孔面积为A（Ω）的一个天线，然后对所有可能角度dΩ的测量面积进行积分，，结果（任何形式的无损天线）大多数时候用于衡量波长λ。结果是固定的，不管是对于任何天线，不管是任何的无线电波，微波或者是光学波长。
远场光束角：“礼帽”准则
接下来我们设想在远场情况下，当光束尺寸随距离变化线性变化时，如图17.9.在z>> 的远场下光束传播的角度是多少？
由高斯光束方程（17.1~17.5），在远场中从尺寸为 的束腰通过的高斯光束，它的1/e强度斑尺寸如下
ω（z）= = （z>> ）（12）
化简为
×ω（z）≈ （13）
然后准直光束距离和传输孔尺寸之间的关系用公式表达为
Collimated range=2 = ≈ . (11)
图17.8和表17.1展示了两束不同波长激光准直范围的典型的数据。一束可见光通过1cm的光孔能投射出有几毫米的有效直径的光束，它在传播50米后者更远距离后没有严重的衍射。
这样的光束能用于例如在建设项目中做准直的‘无重力的弦’。在光电池列阵的辅助下，能很容易的发现这样一束光的中心，而且在整个传输距离里准确性好于ω/20，或者一毫米的小部分。
如图17.1所示：
在另外平面z的高斯光束的归一场方向图将有以下方程
复合的曲率半径与光斑的尺寸和曲率半径在任意z平面都有以下定义关系：
在真空中参数遵守传输定理：
有初始值
记在这些方程里的λ的值为光束在这些介质中传输的放射波长。
高斯光束所有重要的性质都能用束腰尺寸 和 比值用以下方程联系：
换句话说，沿场方向的整个高斯光束以在束腰上的单一的因素 （或者 ，或者 ）为特点，还有在介质传输的波长λ。
问题17.1
略
17.2高斯光束的聚焦
在平行高斯光束传播很远距离时，我们经常对将这样光束在聚焦到一个很小的斑很感兴趣，记录数据到影碟或者磁带上，或者在刀片上打洞，或者在激光显微镜下计数细胞核。（因为关于红宝石激光器强度规范的证明，通过仅仅使用一次激光射击就可以在一片或者多片的刀片上击出一个孔，脉冲激光器能量偶尔在“Gillettes”中被引用。）通过高斯光束的聚焦能获得什么种类的光斑尺寸和光强－或者是对任何结构完整的高斯光束产生的问题。
能看出在实际聚焦问题中，入射的高斯光束应该填满聚焦透镜的最大面积，来保证高斯光束通过有限孔径的透镜时没有一丝能量的丧失，（同时也没有边缘衍射效应）。在实际设计中一个合理的准则，我们可以采用聚透镜的直径d为D=πω（f）或者99%准则，所以我们将在透镜中损失小于1%的能量，同时我们也可以采用1/e或者d=2 准则来选择聚焦斑点的有效直径，因为这个直径可以通过86%的能量，和在功率强度已经减少峰值的1/ ≈14%的边缘。结合上面准则有
将束腰的光斑尺寸和远场联系起来。高斯光束在远场中呈角度传播能用几种方法联系近场光束尺寸后者孔面积，这基于我们的要求。
例如，远场沿轴向的光束强度如下
因此，在轴向与总功率相同的光束强度分散到面积π （2）/2= /2π 。在远场中相等的‘礼帽’分散的立体角 (z)，由下给出
与此同时，由17.7给出的方程 =π /2为‘相同大礼帽’的柱状光束面积。这两个参数的乘积为
17.1高斯光束特性
在本节中我们首先观察低阶高斯光束物理的性质，包含光圈传输，平行光距离，远场角光束传播和高斯光束传播的其他的实际方面。
解析表达式
让我们总结低阶高斯光束的特点在一斑点尺寸 和在横向尺寸的平面波前 =∞情况下，在一个简化的参考平面，我们令z=0.从今以后，这个平面将被显而易见的原因证明为束腰。