线性代数ppt课件同济
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同济版线性代数课件-第一节向量组及其线性组合
实际应用举例
电路分析
在电路分析中，经常需要求解由 基尔霍夫定律列出的线性方程组，
以确定各支路的电流或电压。
经济学
在经济学中，线性方程组常用于 描述市场均衡条件，如供求平衡、
投入产出分析等。
工程技术
在工程技术领域，如结构力学、 流体力学等，经常需要求解由物
理定律导出的线性方程组。
04 矩阵运算与性质回顾
分配律
矩阵乘法满足分配律， 即A(B+C)=AB+AC， (B+C)A=BA+CA。
数乘分配律
数乘运算满足分配律， 即k(A+B)=kA+kB， (k+l)A=kA+lA。
矩阵秩概念引入
矩阵秩的定义
矩阵A中不等于0的子式的最大阶 数称为矩阵A的秩，记作r(A)。
矩阵秩的性质
矩阵的秩满足一些基本性质，如
同济版线性代数课件-第一节向量 组及其线性组合
目录
• 向量组基本概念与性质 • 向量空间与子空间 • 线性方程组求解与讨论 • 矩阵运算与性质回顾 • 特征值与特征向量初步探讨 • 总结回顾与拓展延伸
01 向量组基本概念与性质
向量定义及表示方法
01
02
03
向量的定义
向量是既有大小又有方向 的量，常用带箭头的线段 表示。
矩阵基本运算规则回顾
加法运算
两个矩阵相加，要求它们的行数和列数分别相等， 相加时对应元素直接相加。
数乘运算
一个数与矩阵相乘，用该数乘以矩阵的每一个元 素。
乘法运算
两个矩阵相乘，要求第一个矩阵的列数等于第二 个矩阵的行数，相乘时对应元素相乘再相加。
矩阵性质总结
结合律
线性代数 同济大学第七版 ppt课件
7 6 2 1 4 2
D 0 3 5 0 3 5
1 4 2
7 6 2
特别地，当行列式中有两行（列）对应元素都相同时，行列式的值
··
为零。
因假设D中的第i 行和第j 行对应元素相同，交换第i 行和第j 行元 素（仍为D），即得DD，移项得 2D 0 ，于是 D 0 。
23
第二节 行列式的性质
在本书研究多元线性方程组的解，以及研究矩阵性质时也要用到行列 式，为此首先引入行列式的概念。
6
第一章 行列式
第一节 行列式的概念
主
第二节 行列式的性质
要 内
第三节 行列式按行（列）展开
容
第四节 行列式的计算举例
第五节 克莱姆法则
7
第一节 行列式的概念
一、行列式的概念 为了更好掌握行列式的定义，我们采用数学归纳法的方法讲解行列
a11 a12 a13 D a 21 a 22 a 23 表示，且规定： D a 1 1 A 1 1 a 1 2A 1 2 a 1 3 A 1 3
a31 a32 a33
其中：
A11111M11111a a3 22 2
a23 a33
A12112M12112
a21 a31
a23 a33
7 6 2
7 6 2
这相当于行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式 符号的外面。这一性质可以由行列式的定义和性质2得到。
25
第二节 行列式的性质
性质4 行列式中两行（列）对应元素都成比例，行列式值为零。
设第 j 行为第i 行的k 倍，由性质3，将 j 行提出公因子k ，即得第i 行 与第 j 行相同，于是行列式的值为零。
A13113M13113
《线性代数》(同济第六版)课件
0 0 a44
0 0 0 a14
0 D2 =
0
0 a23
a32 0
0
0
a a a = a a ( 1) a a= t(4321) 14 23 33 41
14 23 33 41
a
a41 0 0 0 其中 t(4321) = 0+1+ 2+ 3 =
3×4 = 6. 2
第三十页，共489页。
a a11
a a 12
= 14.
第十四页，共489页。
例3 求解方程 1 1 1 2 3 x = 0.
4 9 x2
解 方程左端
D = 3x2 + 4x +18 9x = x2 5x + 6,
由 x2 5x+ 6 = 0 得
2x2 12
x = 2或 x = 3.
第十五页，共489页。
§2 全排列及其逆序数
第十六页，共489页。
D=
a22
= a a a 11 22
nn
(2)
D=
ann
a2,n 1
a1n
n(n 1)
= ( 1) 2 a a1n 2,n 1 an1
an1
第三十二页，共489页。
(3) 上三角形行列式 （主对角线下侧元素都为0）
a a 11
12
0 D=
a22
a1n
a2n
= a a a 11 22
nn
00
ann
(4) 下三角形行列式 （主对角线上侧元素都为0）
逆序 逆序 思考题：还能找到其它逆序吗？
答：2和1，3和1也构成逆序. 20
第二十页，共489页。
同济大学出版社 线性代数课件完整版)
二元线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1 a21 x1 a22 x2 b2
其求解公式为
我们引进新的符号来表示“四个 数分成两对相乘再相减”. 数表 a
a11
21
a12 a22
a11 a12 记号 a a22 21
b1a22 a12b2 x1 a a a a 11 22 12 21 x a11b2 b1a21 2 a11a22 a12a21
a1n D a n1 a2,n 1
求解公式为 请观察，此公式有何特点？
b1a22 a12b2 x1 a a a a 分母相同，由方程组的四个系数确定. 11 22 12 21 x a11b2 b1a21 分子、分母都是四个数分成两对相乘再 2 a11a22 a12a21
相减而得.
2 x1 x2 1
解
因为 D
3 2 2 1
3 ( 4 ) 7 0
1 1 3 12 D2 3 24 21 2 1
D1 14 2, 所以 x1 D 7
D1
12 2
12 ( 2) 14
D2 21 x2 3 D 7
p1 p2
pn
当 p1 p2 是奇排列时，对应的项取负号 . pn
思考题： 1 1成立吗？ 答：符号 1 可以有两种理解： 若理解成绝对值，则 1 ； 1 若理解成一阶行列式，则 1 . 1
注意：当n = 1时，一阶行列式|a| = a，注意不要与
绝对值的记号相混淆. 例如：一阶行列式 1 1 .
4
第一章 行列式
内容提要
§1 §2 §3 §4 §5
线性代数同济六版共五章全课件-PPT
b11 b12 b1n
D1
b21
b22
b2 n
,
bn1 bn2 bnn
其中，当 k≠ i , j 时, bkp = akp ;当 k = i , j 时，bip = ajp,, bjp = aip ,
于是
D (1) 1
t(
pppp )
1
i
j
n
b1
p1
bipi
bjpj
bnpn
(1)
t(
经对换1与4 得排列 53412
求这两个排列的逆序数. 解 t(5314 2) = 0+1+2+1+3=7
t(53412) = 0+1+1+3+3=8
练习
1. 选择 i 与 k 使 （1）2 5 i 1 k 成偶排列; （2）2 5 i 1 k 成奇排列.
2. a14a21a33a44和a12a43a31a24是否为四阶行列式中项 的，
易知，向量组与它的最4大无关组是等价的.
m×s s×n m×n
例 7 向量组
例5 n 阶行列式 我们也可以证明，如果把矩阵 A 的第 j 行的 k 倍加到第 i 行
为矩阵 A 的秩，矩阵 A 的秩记成 R(A).
假设 r > s, 看齐次线性方程组
一般来说，向量组的最大无关组不是唯一的.
若 x1 = c1 , x2 = c2 , ……, xn = cn 是 ⑴ 的解，记1
一元一次方程 ax = b
一元二次方程 二元 、三元线性方程组
行列式 矩阵及其运算 矩阵的初等变换与线性方程组 向量组的线性相关性 矩阵的特征值和特征向量
第一章 行列式
同济大学出版社线性代数课件(完整版)
0 0
0 0 0 a44
0 0 0 a14
0 D2 0
0 a23 a32 0
0 0
a41 0 0 0
a11 a12 a13 a14
0 D3 0
a22 a23 a24 0 a33 a34
0 0 0 a44
a11 0 0 0
D4
a21 a32
a22 a32
0 a33
0 0
a41 a42 a43 a44
引进记号
a21 a22 a23
原则：行列式
主对角线 a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
副对角线 a31 a32 a33
a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
a11 a12
a1n
D a21 a22
a2n
(1) a a t( p1 p2 pn ) 1 p1 2 p2
p1 p2 pn
anpn
an1 an2 二、annn 阶行简列记式作的det定(a，ij 义)
1. n 阶行列式共有 n! 项．
其中a为ij 行列式D的(i, j)元
2. 每一项都是位于不同行不同列的 n 个元素的乘积．
b1 b2
求解公式为
请观察，此公式有何特点？
x1
x2
b1a22 a11a22 a11b2 a11a22
a12b2 a12a21 b1a21 a12a21
分母相同，由方程组的四个系数确定. 分子、分母都是四个数分成两对相乘再
相减而得.
二元线性方程组
《线性代数》(同济第六版)课件
例3
求解方程
1 1 1 2 3 x = 0. 4 9 x2
解
方程左端
D = 3x2 + 4x +18 9x 2x2 12
= x2 5x + 6, 由 x2 5x+ 6 = 0 得
x = 2或 x = 3.
§2
全排列及其逆序数
引例 解
百位
用1、2、3三个数字，可以组成多少个没 有重复数字的三位数？
=
p1p2p3
( 1)
p t( p1
2 3
p ) 1p1 2p
a a a32
3
p
其中
p1p2p3
表示对1、2、3的所有排列求和.
二阶行列式有类似规律.下面将行列式推广到一般的情形.
二、n 阶行列式的定义
a11 a21 D= a12 a22 a1n a2n =
1) (
a11 a21 D= an1
0
a22
an2 ann
思考题：用定义计算行列式 0 1 D = 0 0 1 0 0 3 2 1 3 1 1 2 2 1
解：用树图分析
3 2
（2134）= 1 2 （2143）= 2 2 （2413）= 3 （2431）= 4
p
当 p1p2 pn是奇排列时，对应的项取负号.
思考题： 1= 1成立吗？ 答：符号 1 可以有两种理解： �若理解成绝对值，则 1 = + 1；
�若理解成一阶行列式，则 1= 1. 注意：当n = 1时，一阶行列式|a| = a，注意不要与
绝对值的记号相混淆. 例如：一阶行列式 1= 1.
原则：横行竖列
线性代数ppt课件同济
05
向量空间及其性质
向量空间的定义与性质
向量空间的定义
向量空间是一个由向量构成的集合， 其中每个向量都可以表示为一组基向 量的线性组合。
向量空间的性质
向量空间具有一些重要的性质，例如 封闭性、加法和数量乘法封闭性、加 法和数量乘法的结合律和分配律等。
向量空间的基底与维数
向量空间的基底
一个向量空间可以由一组不相关的基向量构成，这些 基向量是线性无关的，并且可以生成整个空间。
行列式的计算方法
要点一
总结词
行列式的计算方法包括高斯消元法、拉普拉斯展开式和递 推法等。
要点二
详细描述
高斯消元法是一种常用的计算行列式的方法，它通过初等 行变换将矩阵化为阶梯形矩阵，然后求解出阶梯形矩阵的 行列式即可。拉普拉斯展开式是一种基于二阶子式和代数 余子式的展开式，它可以用来计算高阶行列式。递推法是 一种利用低阶行列式的值递推高阶行列式的方法，它适用 于计算n阶行列式。
线性代数的背景
线性代数起源于17世纪，随着科学技术的不断发展和进步，线性代数的应用领域越来越广泛。它不仅 在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用，还在计算机科学、经济学、生物医学等领域发挥着重要 的作用。
线性代数的应应用，例如求解线性方程组、 计算矩阵的秩和特征值等。
现代发展
随着科学技术的发展，线性代数的应用领域越来越广泛，同时它也得到了不断的发展和完善。现代线性代数已经 形成了一套完整的理论体系，为解决实际问题提供了更加有效的工具。
02
矩阵及其运算
矩阵的定义与性质
矩阵的定义
矩阵是一个由数值组成的矩形阵列，通 常表示为二维表格。矩阵的行数和列数 可以分别为m和n。每个元素用a(i,j)表示 ，其中i表示行号，j表示列号。
同济版线性代数课件-1向量的内积、长度及正交性
在解析几何中，正交向量可以用来描述平面或空间中的点或线，并帮助解 决几何问题。
在物理中，正交向量可以用来描述相互垂直的力、速度或加速度等物理量 ，并用于解决物理问题。
在信号处理中，正交向量可以用来表示信号的频率分量和相位信息，并用 于信号分析和处理。
04
CATALOGUE
线性无关性及向量组的秩
线性无关的定义及性质
向量长度在几何中的应用
点到点距离 线段长度 角度测量
向量模的平方
向量的长度可以用来计算两点之间的距离，即连接两点的线段 的长度。
向量的长度可以用来计算线段的长度，即线段两端点之间的距 离。
向量的长度可以用来测量两个向量之间的夹角，通过计算两个 向量的内积可以得到夹角的余弦值。
向量的长度平方等于向量与自身的内积，即$|mathbf{a}|^2 = mathbf{a} cdot mathbf{a}$。
通过行变换或列变换将向量组转化为阶梯形矩阵，然后数阶梯形矩阵中非零行的个数即 为向量组的秩。
秩的应用及意义
要点一
秩的应用
在解决线性方程组、向量空间、矩阵分解等问题中，秩的 概念具有重要应用。
要点二
秩的意义
秩是描述向量组中独立分量个数的量，反映了向量组内部 的结构特性，是线性代数中重要的概念之一。
05
CATALOGUE
特征值和特征向量
特征值和特征向量的定义及性质
特征值和特征向量的定义
对于给定的矩阵A，如果存在一个非零向量 x，使得Ax=λx成立，则称λ为矩阵A的特征 值，x为矩阵A的对应于特征值λ的特征向量 。
特征值的性质
特征值是实数，特征向量是相应的特征Байду номын сангаас程 的解，特征向量与特征值是对应的。
在物理中，正交向量可以用来描述相互垂直的力、速度或加速度等物理量 ，并用于解决物理问题。
在信号处理中，正交向量可以用来表示信号的频率分量和相位信息，并用 于信号分析和处理。
04
CATALOGUE
线性无关性及向量组的秩
线性无关的定义及性质
向量长度在几何中的应用
点到点距离 线段长度 角度测量
向量模的平方
向量的长度可以用来计算两点之间的距离，即连接两点的线段 的长度。
向量的长度可以用来计算线段的长度，即线段两端点之间的距 离。
向量的长度可以用来测量两个向量之间的夹角，通过计算两个 向量的内积可以得到夹角的余弦值。
向量的长度平方等于向量与自身的内积，即$|mathbf{a}|^2 = mathbf{a} cdot mathbf{a}$。
通过行变换或列变换将向量组转化为阶梯形矩阵，然后数阶梯形矩阵中非零行的个数即 为向量组的秩。
秩的应用及意义
要点一
秩的应用
在解决线性方程组、向量空间、矩阵分解等问题中，秩的 概念具有重要应用。
要点二
秩的意义
秩是描述向量组中独立分量个数的量，反映了向量组内部 的结构特性，是线性代数中重要的概念之一。
05
CATALOGUE
特征值和特征向量
特征值和特征向量的定义及性质
特征值和特征向量的定义
对于给定的矩阵A，如果存在一个非零向量 x，使得Ax=λx成立，则称λ为矩阵A的特征 值，x为矩阵A的对应于特征值λ的特征向量 。
特征值的性质
特征值是实数，特征向量是相应的特征Байду номын сангаас程 的解，特征向量与特征值是对应的。
线性代数课件--同济大学
用 k 乘第 i 行： 用 k 乘第 i 列：
ri k ci k
“运算性质”
12 3
24 6
1 0 1 2 r1 1 1 0 1
2
01 1
01 1
推论：行列式中某一行（列）的公因子可以提到 行列式符号外面。
24 6 12 3 1 0 1 21 0 1 01 1 01 1
性质4：若行列式有两行（列）的对应元素成比 例，则行列式等于0 。
a11 a22a33 a23a32 a12 a23a31 a21a33 a13 a21a32 a22a31
a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
a21 a31
a23 a33
结论 三阶行列式可以用二阶行列式表示.
思考题 任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？
对角线法则:
主对角线
a11 a12 a21 a22
副对角线
a11a22 a12a21
例. 解方程组
32x1x1 2
x2 x2
12 1
解： D 3
2 3 (4) 7 0
21
12 2
3 12
D1 1
14 1
D2 2
21 1
x1
D1 D
14 7
2,
x2
D2 D
21 7
3
a11 0 0
a
D
21
a 22
0
a a11 22 ann
an1 an2 ann
(3) 对角行列式
a11
D
a22
a a11 22 ann
ann
(4) 副对角行列式
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线性代数ppt课件同济
线性代数是数学的一个重要分支，它研究向量空间和线性映射的性质与结构。
在大学的数学课程中，线性代数通常是必修课之一。
同济大学作为中国一流的
综合性大学，其线性代数课程自然也备受重视。
为了更好地教授线性代数知识，同济大学设计了一套精美的PPT课件，本文将对其进行探讨和分析。
首先，同济大学的线性代数PPT课件在内容上非常全面，涵盖了线性代数的基
本概念、向量空间、矩阵和线性变换等核心内容。
通过这些课件，学生可以系
统地学习线性代数的基础知识，并且能够逐步深入了解线性代数的各个方面。
课件中的每个章节都有明确的目标和重点，帮助学生更好地把握知识的重点和
难点。
其次，同济大学的线性代数PPT课件在形式上非常生动有趣。
课件中使用了丰
富多样的图表、图像和动画，使得抽象的线性代数概念更加具象化和易于理解。
例如，在讲解向量空间的概念时，课件中使用了几何图形来展示向量的加法和
数量乘法，帮助学生形象地理解向量空间的性质。
此外，课件还使用了颜色、
字体和布局等设计元素，使得内容更加清晰明了，吸引学生的注意力。
此外，同济大学的线性代数PPT课件还采用了互动式教学的方式。
在课件中，
设置了许多练习题和思考题，学生可以通过点击屏幕来进行答题和思考。
这种
互动式教学方式可以激发学生的学习兴趣，培养学生的思维能力和解决问题的
能力。
同时，通过课件中的答案解析，学生可以及时了解自己的错误，并进行
纠正和改进。
另外，同济大学的线性代数PPT课件还融入了一些实际应用的案例和问题。
在
讲解线性变换时，课件中列举了一些与线性变换相关的实际应用，如图像处理、
数据压缩和密码学等。
这些实际应用的案例和问题可以帮助学生将线性代数的概念和方法与实际问题相结合，提高学生的应用能力和创新思维。
最后，同济大学的线性代数PPT课件还提供了一些拓展资源和参考书目。
在课件的最后几页，列举了一些相关的参考书目和学习资源，供学生进一步深入学习和研究。
这些拓展资源的提供可以帮助学生拓宽知识面，提高学术水平。
综上所述，同济大学的线性代数PPT课件在内容和形式上都非常出色。
通过这套课件，学生可以系统地学习线性代数的基础知识，加深对线性代数的理解和应用。
同时，课件的生动有趣和互动式教学方式可以激发学生的学习兴趣，提高学生的学习效果。
希望同济大学的线性代数PPT课件能够继续发挥其优势，为学生提供更好的学习体验和知识传授。