第六章 圆第一轮复习试题
4.中考数学一轮复习教材梳理第六单元 圆含答案精品
第六单元圆第24课时圆的基本性质点对点·课时内考点巩固30分钟1. (2019柳州)如图，A，B，C，D是⊙O上的点，则图中与∠A相等的角是()A. ∠BB. ∠CC. ∠DEBD. ∠D第1题图2. (2019宜昌)如图，点A，B，C均在⊙O上，当∠OBC＝40°时，∠A的度数是()A. 50°B. 55°C. 60°D. 65°第2题图3. (2019兰州)如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C＝()A. 110°B. 120°C. 135°D. 140°第3题图4. (2019甘肃省卷)如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的2倍，则∠ASB的度数是()A. 22.5°B. 30°C. 45°D. 60°第4题图5.如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠DCB＝110°，则∠AED的度数为()A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°第5题图6. (2019西安高新一中模拟)如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AD ∥BC ，∠DAB ＝48°，则∠AOC 的度数是( )A. 48°B. 96°C. 114°D. 132°第6题图7. (2019陕西黑马卷)如图，在⊙O 中，弦AB ∥CD ，连接BC ，OA ，OD .若∠BCD ＝25°，CD ＝OD ，则∠AOD 的度数是( )A. 140°B. 120°C. 110°D. 100°第7题图8. (2019赤峰)如图，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 交⊙O 于点C ，点D 是⊙O 上一点，∠ADC ＝30°，则∠BOC 的度数为( )A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°第8题图9. (2019贵港)如图，AD 是⊙O 的直径，AB ︵＝CD ︵，若∠AOB ＝40°，则圆周角∠BPC 的度数是( ) A. 40° B. 50° C. 60° D ．70°第9题图10. 如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ，BD 为⊙O 的直径，AD ＝6，则BD 的长为( ) A. 3 B. 2 3 C. 4 3 D. 12第10题图11. 如图，AB 为⊙O 的直径，∠CAB ＝30°，CB ＝3，∠ACB 的平分线CD 交⊙O 于点D ，则弦AD 的长为( )A. 2 3B. 2 2C. 3 3D. 3 2第11题图12. 如图，B 、C 是⊙A 上的两点，AB 的垂直平分线与⊙A 交于E 、F 两点，与线段AC 交于点D ，连接BC 、BD 、BF 、CF .若∠BFC ＝20°，则∠DBC ＝( )A. 30°B. 29°C. 28°D. 20°第12题图13. (2019西工大附中模拟)如图，已知△ABC 内接于⊙O ，EF 为⊙O 的直径，且点F 是弧BC ︵的中点．若∠B ＝40°，∠C ＝60°，则∠AFE 的度数为( )A. 10°B. 20°C. 30°D. 40°第13题图14. (2019西安铁一中模拟)如图，在半径为3的⊙O中，弦BC、DE所对的圆周角分别是∠A、∠F，且∠A＋∠F＝90°.若BC＝4，则DE的长为()A. 13B. 4C. 5D. 2 5第14题图15.在圆内接四边形ABCD中，∠ACB＝∠ACD＝60°，对角线AC、BD交于点E.已知BC＝32，CD ＝22，则线段CE的长为()第15题图A. 32 2B. 7 5C. 62 5D. 22 316. (2019株洲)如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB 相交于点E，满足∠AEC＝65°，连接AD，则∠BAD＝________度．第16题图17.(2019安徽)如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，则CD的长为________．第17题图18.已知半径为5的⊙O中，弦AB＝52，弦AC＝5，则∠BAC的度数是________．点对线·板块内考点衔接10分钟1. (2019襄阳)如图，AD是⊙O的直径，BC是弦，四边形OBCD是平行四边形，AC与OB相交于点P，下列结论错误的是()A. AP＝2OPB. CD＝2OPC. OB⊥ACD. AC平分OB第1题图2. (2019西工大附中模拟)如图，已知⊙O的内接五边形ABCDE，连接BE、CE，若AB＝BC＝CE，∠EDC ＝130°，则∠ABE的度数为()A. 25°B. 30°C. 35°D. 40°第2题图3.(2019天水)如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE.若∠D＝80°，则∠EAC的度数为()A. 20°B. 25°C. 30°D. 35°第3题图4.(2019柳州)在半径为5的圆形纸片上裁出一个边长最大的正方形纸片，则这个正方形纸片的边长应为________．5.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，O为矩形ABCD的中心，以D为圆心，1为半径作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP、OP、OA，则△AOP面积的最大值为________．第5题图点对面·跨板块考点迁移2分钟1. (2019安顺)如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C(0，2)，B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC 为()第1题图A. 13 B. 22 C.223 D.24参考答案第24课时 圆的基本性质点对点·课时内考点巩固1. D 【解析】在⊙O 中，∵∠A 与∠D 都是BC ︵所对的圆周角，∴∠A ＝∠D .2. A 【解析】∵OB ＝OC ，∴∠OCB ＝∠OBC ＝40°.∴在△OBC 中，∠BOC ＝180°－∠OCB －∠OBC ＝180°－40°－40°＝100°.∴∠A ＝12∠BOC ＝12×100°＝50°.3. D 【解析】∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∠A ＝40°，∴∠C ＝180°－∠A ＝140°.4. C 【解析】如解图，设圆心为O ，半径为r ，则AB ＝2r .连接OA 、OB ，则r 2＋r 2＝(2r )2，∴△OAB 为等腰直角三角形，∠AOB ＝90°.∴∠ASB ＝12∠AOB ＝45°.第4题解图5. B 【解析】如解图，连接AC ，∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＝∠DCB －∠ACB ＝110°－90°＝20°，∴∠AED ＝∠ACD ＝20°.第5题解图6. B 【解析】∵AD ∥BC ，∴∠B ＝180°－∠DAB ＝132°，∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠D ＝180°－∠B ＝48°，由圆周角定理得，∠AOC ＝2∠D ＝96°.7. C 【解析】如解图，连接OC ，∵AB ∥CD ，∴∠B ＝∠BCD ＝25°，∴∠AOC ＝50°，∵CD ＝OD ，OD ＝OC ，∴OC ＝OD ＝CD ，∴△COD 为等边三角形，∴∠COD ＝60°，∴∠AOD ＝∠AOC ＋∠COD ＝110°.第7题解图8. D 【解析】∵OC ⊥AB ，∴点C 是AB ︵的中点，即AC ︵＝BC ︵.∴∠BOC ＝∠AOC ＝2∠ADC ＝60°.9. B 【解析】∵AB ︵＝CD ︵，∴∠COD ＝∠AOB ＝40°，∴∠BOC ＝100°，∴∠BPC ＝12∠BOC ＝50°.10. C 【解析】∵∠BAC ＝120°，AB ＝AC ，∴∠BCA ＝12×(180°－120°)＝30°.∴∠D ＝∠BCA ＝30°.∵BD为⊙O 的直径，∴∠BAD ＝90°.在Rt △BAD 中，BD ＝AD cos30°＝632＝4 3. 11. D 【解析】如解图，连接BD ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝∠ADB ＝90°，在Rt △ABC 中，∵∠CAB ＝30°，∴AB ＝2CB ＝6，∵CD 平分∠ACB ，∴∠BCD ＝45°，∵∠BAD ＝∠BCD ＝45°，∴△ABD 为等腰直角三角形，∴AD ＝22AB ＝22×6＝3 2.第11题解图12. A 【解析】∵∠BFC ＝20°，∴∠BAC ＝2∠BFC ＝40°，∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ＝12(180°－40°)＝70°.又∵EF 是线段AB 的垂直平分线，∴AD ＝BD ，∴∠ABD ＝∠BAC ＝40°，∴∠DBC ＝∠ABC －∠ABD ＝70°－40°＝30°.13. A 【解析】如解图，连接OC 、CF .∵∠B ＝40°，∠ACB ＝60°，∴∠BAC ＝80°，∠AFC ＝∠ABC ＝40°，∵点F 是弧BC ︵的中点，∴∠BAF ＝∠CAF ＝40°，∴∠COF ＝2∠CAF ＝80°，∵OF ＝OC ，∴∠OFC ＝12(180°－80°)＝50°，∴∠AFE ＝∠OFC －∠AFC ＝10°.第13题解图14. D 【解析】如解图，连接DO 并延长，交⊙O 于点G ，连接EG 、FG ，则∠DFG ＝∠DEG ＝90°，又∵∠A ＋∠DFE ＝90°，∠GFE ＋∠DFE ＝90°，∴∠A ＝∠GFE .则GE ＝BC ＝4.∵⊙O 的半径为3，∴DG ＝6.在Rt △DEG 中，DE ＝DG 2－GE 2＝62－42＝2 5.第14题解图15. C 【解析】如解图，作BM ⊥AC 于点M ，DN ⊥AC 于点N ，则BM ∥DN ，∴△BME ∽△DNE ，∴MENE ＝BM DN ，∵∠ACB ＝∠ACD ＝60°，∴∠CBM ＝∠CDN ＝30°，∴CM ＝12BC ＝322，CN ＝12CD ＝2，∴BM ＝3CM ＝362，DN ＝3CN ＝6，∴MN ＝CM －CN ＝122，∴ME NE ＝32，∴EN ＝25MN ＝25，∴CE ＝CN ＋EN ＝2＋25＝625.第15题解图16. 20 【解析】∵AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，且OC ⊥AB ，∴∠ADC ＝12∠AOC ＝45°.∵∠AEC＝65°，且∠AEC 是△ADE 的一个外角，∴∠BAD ＝∠AEC －∠ADC ＝20°.17. 2 【解析】如解图，连接OA 、OC ，∵∠CBA ＝45°，∴∠AOC ＝90°.又∵OA ＝OC ＝2，∴AC ＝2 2.在Rt △ACD 中，∠CDA ＝90°，∠CAD ＝30°，∴CD ＝AC ·sin30°＝ 2.第17题解图18. 105°或15° 【解析】如解图，连接OC ，OA ，OB .∵OC ＝OA ＝AC ＝5，∴△OAC 是等边三角形，∴∠CAO ＝60°，∵OA ＝OB ＝5，AB ＝52，∴OA 2＋OB 2＝AB 2，∴△OAB 是等腰直角三角形，∠OAB ＝45°，点C 的位置有两种情况，如解图①时，∠BAC ＝∠CAO ＋∠OAB ＝60°＋45°＝105°；如解图②时，∠BAC ＝∠CAO －∠OAB ＝60°－45°＝15°.综上所述，∠BAC 的度数是105°或15°.第18题解图点对线·板块内考点衔接1. A 【解析】如解图，连接OC .∵四边形OBCD 是平行四边形，OD ＝OB ，∴四边形OBCD 是菱形．∴OD ＝OC ＝CD .∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ACD ＝90°.∵CD ∥OB ，∴CD ＝2OP ，OB ⊥AC .故B 、C 选项正确．∵△CBP ≌△COP (HL)，∴BP ＝OP .故D 选项正确．第1题解图2. B 【解析】如解图，连接OA ，OB ，OC ，OE ，∵AB ＝BC ＝CE ，∴AB ︵＝BC ︵＝CE ︵，∠1＝∠2＝∠3，在四边形BCDE 中，∵∠D ＝130°，∴∠CBE ＝50°，∠2＝2∠CBE ＝100°，∴∠1＝∠3＝∠2＝100°，∠AOE ＝360°－3×100°＝60°，∴∠ABE ＝12∠AOE ＝30°.第2题解图3. C 【解析】∵∠AEB ＋∠AEC ＝∠D ＋∠AEC ＝180°，∠D ＝80°，∴∠AEB ＝∠D ＝80°.∵四边形ABCD 是菱形，∴∠B ＝∠D ＝80°，AB ＝BC ，∴∠B ＝∠AEB .∴∠BAE ＝180°－2∠B ＝20°，∠BAC ＝∠ACB ＝12(180°－∠B )＝50°.∴∠EAC ＝∠BAC －∠BAE ＝30°.4. 52 【解析】如解图，四边形ABCD 为正方形，BD 为⊙O 的直径，OA 为半径，则OA ＝OB ＝5，OA ⊥OB ，∴AB ＝OA 2＋OB 2＝52＋52＝5 2.第4题解图5.174【解析】如解图，延长AO 至C 点，过点D 作DF ⊥AC 于点F ，延长FD 交⊙D 于点P ′，连接AP ′，OP ′，要使△AOP 面积最大，则只需AO 边上的高最大，此时P ′满足条件，即P ′F 为△AOP 的AO 边上最大的高．∵DF ＝AD ·CD AC ＝4×342＋32＝125，∴P ′F ＝DF ＋DP ′＝125＋1＝175，AO ＝12AC ＝52，∴△AOP 的最大面积为12AO ·P ′F ＝12×52×175＝174.第5题解图点对面·跨板块考点迁移1. D 【解析】如解图，连接AC 、AO ，得到等腰三角形AOC ，过A 点作AD ⊥OC ，垂足为点D ，∴∠CAD ＝12∠CAO ＝∠OBC ，∵点C 坐标为(0，2)，∴CD ＝OD ＝1，∴在Rt △ACD 中，AD ＝AC 2－CD 2＝32－12＝22，∴tan ∠OBC ＝tan ∠CAD ＝CD AD ＝122＝24.第1题解图第六单元 圆第25课时 与圆有关的位置关系点对点·课时内考点巩固30分钟1. (2019广州)平面内，⊙O 的半径为1，点P 到O 的距离为2，过点P 可作⊙O 的切线的条数为( ) A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 无数条2. (2019重庆B 卷)如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，若∠C ＝40°，则∠B 的度数为( )第2题图A. 60°B. 50°C. 40°D. 30° 点对线·板块内考点衔接60分钟1. (2019哈尔滨)如图，P A 、PB 分别与⊙O 相切于A 、B 两点，点C 为⊙O 上一点，连接AC 、BC ，若∠P ＝50°，则∠ACB 的度数为( )A. 60°B. 75°C. 70°D. 65°第1题图2. (2019舟山)如图，已知⊙O 上三点A ，B 、C ，半径OC ＝1，∠ABC ＝30°，切线P A 交OC 延长线于点P ，则P A 的长为( )A. 2B. 3C. 2D. 1 2第2题图3.如图，AB是⊙O的直径，P A切⊙O于点A，连接PO并延长交⊙O于点C，连接AC.若AB＝10，∠P ＝30°，则AC的长度是()A. 5 3B. 5 2C. 5D. 5 2第3题图4. (2019泰安)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝119°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P 的度数为()A. 32°B. 31°C. 29°D. 61°第4题图5. (北师九下P92例2题改编)如图，边长为23的等边△ABC的内切圆的半径为()A. 1B. 3C. 2D. 2 3第5题图6. (2019贺州)如图，在△ABC中，O是AB边上的点，以O为圆心，OB为半径的⊙O与AC相切于点D，BD平分∠ABC，AD＝3OD，AB＝12，CD的长是()A. 2 3B. 2C. 3 3D. 4 3第6题图7.如图，AB是⊙O的直径，点C在BA的延长线上，直线CD与⊙O相切于点D，弦DF⊥AB于点E，连接BD.若CD＝BD＝43，则OE的长度为()第7题图A. 3B. 2C. 2 3D. 48. (2018益阳)如图，在圆O中，AB为直径，AD为弦，过点B的切线与AD的延长线交于点C，AD＝DC，则∠C＝________度．第8题图9.(2019南京)如图，P A、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上．若∠P＝102°，则∠A ＋∠C＝________°.第9题图10. (2019眉山)如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝42，⊙O的半径为2，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ(点Q为切点)，则线段PQ长的最小值为________．第10题图11.(2019陕师大附中模拟)如图，已知点E在直角△ABC的斜边AB上，以AE为直径的⊙O与直角边BC相切于点D.(1)求证：AD平分∠BAC；(2)若BE＝2，BD＝4，求⊙O的半径．第11题图12.如图，MP与⊙O相切于点M，连接PO并延长，交⊙O于点A、B，弦AC∥MP，连接OM、BC、CM.(1)求证：OM∥BC；(2)若∠P＝30°，求证：四边形BCMO为菱形．第12题图13.如图，AB为⊙O的直径，AD、BE为⊙O的弦，延长AD、BE交于点C，且AB＝AC，过点B作⊙O的切线交AC 的延长线于点F .(1)求证：BE ＝CE ；(2)若BF ＝4，CF ＝2，求AD 的长．第13题图14. (2019西安交大附中模拟)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 是AB 的中点，以AD 为直径的⊙O 交AC 于点E ，⊙O 的切线EF 交CD 于点F .(1)求证：EF ⊥CD ；(2)若AC ＝10，cos A ＝56，求线段DF 的长．第14题图15. (2019黄冈改编)如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以AC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，过点D 作⊙O 的切线交BC 于点E ，连接OE .(1)求证：△DBE 是等腰三角形；(2)求证：CA ·CE ＝CO ·CB .第15题图16. (2019凉山州)如图，点D 是以AB 为直径的⊙O 上一点，过点B 作⊙O 的切线，交AD 的延长线于点C ，E 是BC 的中点，连接DE 并延长与AB 的延长线交于点F .(1)求证：DF 是⊙O 的切线； (2)若OB ＝BF ，EF ＝4，求AD 的长．第16题图17. 如图，在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，D 是AB 上一点，以BD 为直径的⊙O 切AC 于点E ，交BC 于点F ，连接DF .(1)求证：DF ＝2CE ；(2)若BC ＝3，sin B ＝45，求线段BF 的长．第17题图18. (2019新疆)如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于点D, CE⊥AB于点E.(1)求证：∠BCE＝∠BCD；(2)若AD＝10，CE＝2BE，求⊙O的半径．第18题图参考答案第25课时 与圆有关的位置关系点对点·课时内考点巩固1. C 【解析】根据切线的定义进行判断，过圆外一点可以作两条直线和圆相切．2. B 【解析】∵AC 是⊙O 的切线，∴AB ⊥AC ，∵∠C ＝40°，∴∠B ＝50°. 点对线·板块内考点衔接1. D 【解析】如解图，连接OA 、OB ，∵P A 、PB 分别与⊙O 相切于A 、B 两点，∴OA ⊥P A ，OB ⊥PB ，∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°，∴∠AOB ＝180°－∠P ＝180°－50°＝130°，∴∠ACB ＝12∠AOB ＝12×130°＝65°.第1题解图2. B 【解析】如解图，连接OA ，∵∠AOC 与∠ABC 是AC ︵所对的圆心角和圆周角，∴∠AOC ＝2∠ABC ＝60°，∵AP 是⊙O 的切线，∴OA ⊥AP ，∴AP ＝OA ·tan ∠AOC ＝1·tan60°＝ 3.第2题解图3. A 【解析】如解图，连接BC ，∵AP 是⊙O 的切线，∴∠BAP ＝90°.∵∠P ＝30°，∴∠AOP ＝60°.∴∠BOC ＝60°.∵OC ＝OA ，∴∠ACP ＝∠BAC ＝12∠BOC ＝30°.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.在Rt △ABC 中，∵∠BAC ＝30°，AB ＝10，∴AC ＝5 3.第3题解图4. A 【解析】如解图，设BP 与⊙O 交于点M ，连接OC ，CM .∵PC 是⊙O 的切线，∴∠OCP ＝90°.∵四边形ABMC 是圆内接四边形，∠A ＝119°，∴∠BMC ＝180°－119°＝61°.∵OC ＝OM ，∴∠OCM ＝∠OMC ＝61°.∴在△COM 中，∠COM ＝58°.∴在△COP 中，∠P ＝180°－∠COM －∠OCP ＝180°－58°－90°＝32°.第4题解图5. A 【解析】如解图，连接OA ，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，∵⊙O 是等边三角形ABC 的内切圆，∴OD ⊥AB ，D 为AB 的中点．∵AB ＝23，∴AD ＝12AB ＝ 3.∵在等边△ABC 中，∠CAB ＝60°，∴∠OAD＝30°. ∴tan ∠OAD ＝ODAD. ∴ OD ＝AD ·tan30°＝1.第5题解图6. A 【解析】∵AD 是⊙O 的切线，∴OD ⊥AD .在Rt △AOD 中，AD ＝3OD ，∴tan A ＝OD AD ＝OD3OD ＝33.∴∠A ＝30°.∴∠AOD ＝60°.∵OD ＝OB ，∴∠ODB ＝∠ABD ＝12∠AOD ＝30°.∵BD 平分∠ABC ，∴∠CBD ＝∠ABD ＝30°，∴∠ABC ＝60°，∴∠C ＝90°. 在Rt △ABC 中，sin A ＝BC AB ，AB ＝12，∴BC ＝AB ·sin A ＝12×12＝6. 在Rt △CBD 中，CD ＝BC ·tan ∠CBD ＝6×33＝2 3. 7. B 【解析】如解图，连接OD ，∵直线CD 与⊙O 相切于点D ，∴OD ⊥CD ，∴∠ODC ＝90°，∵CD ＝BD ＝43，∴∠C ＝∠B ，∵OD ＝OB ，∴∠B ＝∠ODB ，∴∠DOE ＝∠B ＋∠ODB ＝2∠B ＝2∠C ，在Rt △OCD 中，∠DOE ＝2∠C ，则∠DOE ＝60°，∠C ＝30°，∴OD ＝CD ·tan C ＝43×33＝4，∵DF ⊥AB ，∴∠DEO ＝90°，在Rt △ODE 中，OE ＝OD ·cos ∠EOD ＝4×12＝2.第7题解图8. 45 【解析】∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∵BC 为⊙O 的切线，∴AB ⊥BC ，∴∠ABC ＝90°，∵AD ＝CD ，∴△ABC 为等腰直角三角形，∴∠C ＝45°.9. 219 【解析】如解图，连接AB ，∵P A 、PB 是⊙O 的切线，∴P A ＝PB ，∵∠P ＝102°，∴∠P AB ＝∠PBA ＝12(180°－102°)＝39°，∵∠DAB ＋∠C ＝180°，∴∠P AD ＋∠C ＝∠P AB ＋∠DAB ＋∠C ＝180°＋39°＝219°.第9题解图10. 23 【解析】如解图，连接OQ ，则PQ ＝OP 2－OQ 2，根据题意可知OQ 长为定值，若使得PQ 最小，只要OP 最小即可，当OP ⊥AB 时能取得最小值．∵OA ＝OB ＝42，∴AB ＝8，∴OP ＝4，∴PQ ＝42－22＝2 3.第10题解图11. (1)证明：如解图，连接OD ， ∵BC 是⊙O 的切线， ∴OD ⊥BC ， 又∵AC ⊥BC ， ∴OD ∥AC ， ∴∠2＝∠3； ∵OA ＝OD ， ∴∠1＝∠3， ∴∠1＝∠2， ∴AD 平分∠BAC ；第11题解图(2)解：设⊙O的半径为r，在Rt△BOD中，有OD2＋BD2＝OB2，即r2＋42＝(2＋r)2，解得r＝3.∴⊙O的半径为3.12.证明：(1)∵MP与⊙O相切于点M，∴OM⊥MP，又∵AC∥MP，∴OM⊥AC，又∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴BC⊥AC，∴OM∥BC；(2)∵AC∥MP，∠P＝30°，∴∠BAC＝∠P＝30°，∵∠ACB＝90°，∴AB＝2BC，又∵AB＝2OB，∴BC＝OB＝OM，∵OM∥BC，∴四边形BCMO为平行四边形，又∵OB＝OM，∴四边形BCMO为菱形．13. (1)证明：如解图，连接AE.∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，即AE⊥BC，∴E为BC边的中点，∴BE＝CE；第13题解图(2)解：如解图，连接BD ，设⊙O 的半径为r . ∵BF 为⊙O 的切线， ∴∠ABF ＝90°.在Rt △ABF 中，AB 2＋BF 2＝AF 2， 即(2r )2＋42＝(2r ＋2)2， 解得r ＝32.∴AB ＝AC ＝2r ＝3，AF ＝2r ＋2＝5. ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝∠ABF ＝90°. 又∵∠BAD ＝∠F AB ， ∴Rt △ABD ∽Rt △AFB . ∴AB AF ＝AD AB ，即35＝AD3. ∴AD ＝95.14. (1)证明：如解图，连接OE ， ∵OA ＝OE ， ∴∠A ＝∠OEA ，∵∠ACB ＝90°，点D 是AB 的中点， ∴AD ＝CD ， ∴∠A ＝∠DCA ， ∴∠OEA ＝∠DCA ， ∴OE ∥CD ， ∵EF 为⊙O 的切线， ∴OE ⊥EF ， ∴EF ⊥CD ；第14题解图(2)解：∵cos A ＝56，∴AC AB ＝56， ∵AC ＝10， ∴AB ＝12，∵∠ACB ＝90°，点D 是AB 的中点， ∴AD ＝DC ＝12AB ＝6，由(1)可得，OE ∥CD ，∴AE ＝12AC ，△OEA ∽△DCA ，∴AO AD ＝AE AC ＝12， ∴AE ＝EC ＝12AC ＝5，∵cos A ＝cos ∠DCA ＝CFCE ，∴CF ＝256，∴DF ＝CD －CF ＝6－256＝116.15. 证明：(1)如解图，连接OD 、CD ， ∵DE 是⊙O 的切线， ∴∠ODE ＝90°，在Rt △OCE 和Rt △ODE 中，⎩⎪⎨⎪⎧OC ＝OD OE ＝OE ， ∴Rt △OCE ≌Rt △ODE (HL)， ∴DE ＝CE ， ∴∠ECD ＝∠CDE ， ∵AC 是⊙O 的直径， ∴∠CDA ＝90°， ∴∠CDB ＝90°，∴∠B ＋∠ECD ＝90°，∠CDE ＋∠BDE ＝90°， ∵∠ECD ＝∠CDE ， ∴∠BDE ＝∠B ， ∴BE ＝DE ，∴△DBE 是等腰三角形；第15题解图(2)由(1)可得，BE ＝DE ＝CE ， ∴点E 是BC 的中点， ∴OE 是△ABC 的中位线， ∴OE ∥AB ， ∴△COE ∽△CAB . ∴CO CA ＝CE CB， ∴CA ·CE ＝CO ·CB .16. (1)证明：如解图，连接OD ，BD ， ∵BC 是⊙O 的切线， ∴BC ⊥OB ， ∴∠OBC ＝90°. ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°. ∴∠CDB ＝90°. ∵E 是BC 的中点， ∴ED ＝EB ＝12BC ，∴∠EDB ＝∠EBD . ∵OD ＝OB ， ∴∠ODB ＝∠OBD ， ∴∠ODF ＝∠OBC ＝90°， ∴DF ⊥OD .∵OD 是⊙O 的半径， ∴DF 是⊙O 的切线；第16题解图(2)解：由(1)知∠ODF ＝90°，∵OD ＝OB ＝BF ， ∴sin F ＝OD OF ＝12，∴∠F ＝30°，∵∠DOB ＋∠F ＝90°， ∴∠DOB ＝60°， ∴△ODB 是等边三角形， ∴∠OBD ＝60°， ∴tan ∠OBD ＝ADBD ＝3，∴AD ＝3BD . ∵BC ⊥AF ， ∴BE EF ＝sin F ＝12. ∵EF ＝4， ∴BE ＝2，∴BF ＝EF 2－BE 2＝23＝OB ＝DB ， ∴AD ＝3BD ＝6.17. (1)证明：如解图，连接OE 交DF 于点G ， ∵AC 切⊙O 于点E ， ∴∠CEO ＝90°， 又∵BD 为⊙O 的直径， ∴∠DFC ＝∠DFB ＝90°， ∵∠C ＝90°，∴四边形CEGF 为矩形， ∴CE ＝GF ，∠EGF ＝90°， ∴DF ＝2CE ；第17题解图(2)解：在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，BC ＝3，sin B ＝45，∴AB ＝5，设OE ＝x ，∵OE ∥BC ， ∴△AOE ∽△ABC ，∴OE BC ＝AO AB， ∴x 3＝5－x 5， ∴x ＝158，∴BD ＝2OE ＝154，在Rt △BDF 中，∵∠DFB ＝90°，sin B ＝45，∴cos B ＝35＝BF BD ＝BF154，∴BF ＝94.18. (1)证明：如解图，连接OC ，AC ， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°，∴∠ACO ＋∠OCB ＝90°， 又∵CD 是⊙O 的切线， ∴∠OCD ＝90°， ∴∠OCB ＋∠BCD ＝90°. ∴∠ACO ＝∠BCD . ∵CE ⊥AB ， ∴∠CEB ＝90°， ∴∠BCE ＋∠ABC ＝90°. ∵∠A ＋∠ABC ＝90°， ∴∠BCE ＝∠A . ∵OA ＝OC ，∴∠A ＝∠ACO ＝∠BCD . ∴∠BCE ＝∠BCD ；第18题解图(2)解：如解图，过点B 作BF ⊥CD 于点F ，得△BFD ∽△CED . 由(1)得∵BC 平分∠ECD ，∴BF ＝BE . ∵CE ＝2BE ， ∴BD CD ＝BF CE ＝BE CE ＝12. 即CD ＝2BD .∵∠BCD ＝∠A ，∠CDB ＝∠ADC ， ∴△CBD ∽△ACD ， ∴BD CD ＝CD AD. ∵AD ＝10， ∴BD ＝52，∴AB ＝152，∴OA ＝154.∴⊙O 的半径为154.第六单元 圆第26课时 与圆有关的计算点对点·课时内考点巩固5分钟1. (2019长沙)一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则这个扇形的面积是( ) A. 2π B. 4π C. 12π D. 24π2. (2019青海)如图，在扇形AOB 中，AC 为弦，∠AOB ＝140°，∠CAO ＝60°，OA ＝6，则BC ︵的长为( )第2题图A. 4π3 B. 8π3C. 23πD. 2π3. (2019哈尔滨)一个扇形的弧长是11π cm ，半径是18 cm ，则此扇形的圆心角是________度．点对线·板块内考点衔接15分钟1. (2019枣庄)如图，在边长为4的正方形ABCD 中，以点B 为圆心，AB 为半径画弧，交对角线BD 于点E ，则图中阴影部分的面积是(结果保留π)( )A. 8－πB. 16－2πC. 8－2πD. 8－12π第1题图2. (2019绍兴)如图，△ABC 内接于⊙O ，∠B ＝65°，∠C ＝70°.若BC ＝22，则BC ︵的长为( ) A. π B. 2π C. 2π D. 22π第2题图3. (2019青岛)如图，线段AB 经过⊙O 的圆心，AC ，BD 分别与⊙O 相切于点C ，D .若AC ＝BD ＝4，∠A ＝45°，则CD ︵的长度为( )A. πB. 2πC. 22πD. 4π第3题图4. (2019南充)如图，在半径为6的⊙O 中，点A ，B ，C 都在⊙O 上，四边形OABC 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为( )A. 6πB. 33πC. 23πD. 2π第4题图5. (2019山西)如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝23，BC ＝2，以AB 的中点O 为圆心，OA 的长为半径作半圆交AC 于点D ，则图中阴影部分的面积为( )A.534－π2 B. 534＋π2C. 23－πD. 43－π2第5题图6. (2019泰安)如图，将⊙O 沿弦AB 折叠，AB ︵恰好经过圆心O ，若⊙O 的半径为3，则AB ︵的长为( ) A. 12π B. π C. 2π D. 3π第6题图7. (2019重庆A 卷)如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，∠ABC ＝60°，AB ＝2.分别以点A ，点C 为圆心，以AO 的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为________．(结果保留π)第7题图8. (全国视野创新题推荐·2019贵阳)如图，用等分圆的方法，在半径为OA 的圆中，画出了如图所示的四叶幸运草，若OA ＝2，则四叶幸运草的周长是________．第8题图点对面·跨板块考点迁移2分钟1. (2019天水)如图，在平面直角坐标系中，已知⊙D 经过原点O ，与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，B 点坐标为(0，23)，OC 与⊙D 相交于点C ，∠OCA ＝30°，则图中阴影部分的面积为________．(结果保留根号和π)第1题图参考答案第26课时 与圆有关的计算点对点·课时内考点巩固1. C 【解析】∵扇形的半径为6，圆心角为120°，∴S 扇形＝120·π·62360＝12π.2. B 【解析】如解图，连接CO ，∵OC ＝OA ，∠CAO ＝60°，∴△AOC 为等边三角形．∴∠AOC ＝60°，∴∠BOC ＝∠AOB －∠AOC ＝80°，∴BC ︵的长为80×6π180＝8π3.第2题解图3. 110 【解析】设此扇形的圆心角为n °，根据题意得l ＝nπr 180＝nπ·18180＝11π，解得n ＝110. 点对线·板块内考点衔接1. C 【解析】∵正方形ABCD 的边长为4，∴AB ＝4，∠ABD ＝45°.∴S 阴影＝S △ABD －S 扇形ABE ＝12×AB 2－45π×AB 2360＝12×42－45π×42360＝8－2π.2. A 【解析】如解图，连接OB ，OC .∵∠ABC ＝65°，∠ACB ＝70°，∴∠A ＝180°－∠ABC －∠ACB ＝45°，∵∠1＝2∠A ＝90°，OB ＝OC ，∴△OBC 是等腰直角三角形，∵BC ＝22，∴OB ＝OC ＝2，∴BC ︵的长为90×π×2180＝π.第2题解图3. B 【解析】如解图，连接OC ，OD .∵AC ，BD 分别与⊙O 相切于点C ，D ，∴OC ⊥AC ，OD ⊥BD . ∵∠A ＝45°，∴△ACO 是等腰直角三角形，∴AC ＝OC ＝OD ＝4.∵AC ＝BD ＝4，∴△BDO 是等腰直角三角形，∴∠AOC ＝∠BOD ＝45°，∴∠COD ＝90°. ∴CD ︵的长为90π×4180＝2π.第3题解图4. A 【解析】如解图，连接OB ，交AC 于点D .由题意易知四边形OABC 为菱形，∴△OAB 为等边三角形，∴S △OAD ＝S △BCD ，∠AOB ＝60°，∵⊙O 的半径为6.∴S 阴影＝S 扇形AOB ＝60360×π×62＝6π.第4题解图5. A 【解析】如解图，连接OD ，过点D 作DE ⊥AB 于点E .∵在Rt △ABC 中，AB ＝23，BC ＝2，∴S △ABC ＝12AB ·BC ＝2 3.在Rt △ABC 中，∵tan ∠BAC ＝BC AB ＝223＝33，∴∠BAC ＝30°，∴∠BOD ＝60°.∵OA ＝OB ＝OD ＝12AB ＝3，∴S 扇形BOD ＝60·π·OD 2360＝π2.∵DE ＝OD ·sin60°＝32，∴S △AOD ＝12OA ·DE ＝334.∴S 阴影＝S △ABC －S △AOD －S 扇形BOD ＝534－π2.第5题解图6. C 【解析】如解图，过点O 作OM ⊥AB 于点M ，连接AO 、BO ，∵⊙O 的半径为3，∴OM ＝12×3＝32.∵在Rt △AOM 中，OM ＝12OA ，∴∠OAB ＝30°，∵OA ＝OB ，∴∠OBA ＝∠OAB ＝30°，∴∠AOB ＝120°.∴AB ︵的长为120π×3180＝2π.第6题解图7. 23－2π3 【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AO ＝CO ，∵∠ABC ＝60°，∴∠BAD ＝∠BCD ＝120°，∵AB ＝2，∴AO ＝1，BO ＝3，∴S 菱形ABCD ＝12AC ·BD ＝2AO ·BO ＝23，S 扇形＝2×120π×12360＝2π3，∴S 阴影＝23－2π3. 8. 42π 【解析】如解图，根据题意可知四叶幸运草的周长是以AB 为直径的4个半圆弧长，∵OA ＝OB ＝2，∠AOB ＝90°，在Rt △AOB 中，AB ＝OA 2＋OB 2＝22＋22＝22，∴AB ︵的长为12×π×22＝2π，∵四叶幸运草的周长为2π×4＝42π.第8题解图点对面·跨板块考点迁移1. 2π－23 【解析】如解图，连接OD 、AB ，∵∠AOB ＝90°，A 、O 、B 在⊙D 上，∴AB 是⊙D 的直径，∵∠OCA ＝30°，∴∠ODA ＝60°，∠ABO ＝30°.∴△AOD 为等边三角形，∴OD ＝OA ＝OB ·tan30°＝23×33＝2.∴S 阴影＝12S ⊙D －S △AOB ＝12π×22－12×2×23＝2π－2 3.第1题解图。
中考数学一轮复习第一部分教材同步复习第六章圆第讲5年真题精选(1)
第一部分 第六章 第24讲命题点1 切线的判定及相关计算1．(2016·云南20题8分)如图，AB 为⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，过点C 的直线交AB 的延长线于点D ，AE ⊥DC ，垂足为E ，F 是AE 与⊙O 的交点，AC 平分∠BAE .(1)求证：DE 是⊙O 的切线；(2)若AE ＝6，∠D ＝30°，求图中阴影部分的面积. (1)证明：如答图，连接OC ，答图∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA ． ∵AC 平分∠BAE ，∴∠OAC ＝∠CAE ， ∴∠OCA ＝∠CAE ， ∴OC ∥AE ，∴∠OCD ＝∠E . ∵AE ⊥DE ，∴∠E ＝90°， ∴∠OCD ＝90°，∴OC ⊥CD ． ∵点C 在⊙O 上，OC 为⊙O 的半径， ∴DE 是⊙O 的切线． (2)解：在Rt △AED 中， ∵∠D ＝30°，AE ＝6， ∴AD ＝2AE ＝12，在Rt △OCD 中，∠D ＝30°， ∴DO ＝2OC ＝DB ＋OB ＝DB ＋OC ， ∴DB ＝OB ＝OC ＝13AD ＝4，DO ＝8，∴CD ＝DO 2－OC 2＝82－42＝43， ∴S △OCD ＝12CD ·OC ＝43×42＝8 3.∵∠D ＝30°，∠OCD ＝90°，∴∠DOC ＝60°， ∴S 扇形BOC ＝16·π·OC 2＝83π，∴S 阴影＝S △COD －S 扇形OBC ＝83－8π3， ∴阴影部分面积为83－8π3.2．(2015·昆明22题8分)如图，AH 是⊙O 的直径，AE 平分∠FAH ，交⊙O 于点E ，过点E 的直线FG ⊥AF ，垂足为点F ，B 为半径OH 上一点，点E ，F 分别在矩形ABCD 的边BC 和CD 上．(1)求证：直线FG 是⊙O 的切线； (2)若CD ＝10，EB ＝5，求⊙O 的直径． (1)证明：连接OE ， ∵OA ＝OE ，∴∠EAO ＝∠AEO . ∵AE 平分∠FAH ，∴∠EAO ＝∠FAE ，∴∠FAE ＝∠AEO ， ∴AF ∥OE ，∴∠AFE ＋∠OEF ＝180°.∵AF ⊥GF ，∴∠AFE ＝∠OEF ＝90°，∴OE ⊥GF . ∵点E 在圆上，OE 是半径，∴直线FG 是⊙O 的切线． (2)解：∵四边形ABCD 是矩形，CD ＝10， ∴AB ＝CD ＝10，∠ABE ＝90°， 设OA ＝OE ＝x ，则OB ＝10－x ， 在Rt △OBE 中，∠OBE ＝90°，BE ＝5， 由勾股定理得OB 2＋BE 2＝OE 2， ∴(10－x )2＋52＝x 2，∴x ＝254， ∴AH ＝2× 254＝252，∴⊙O 的直径为252.3．(2017·云南23题12分)已知AB 是⊙O 的直径，PB 是⊙O 的切线，C 是⊙O 上的点，AC ∥OP ，M 是直径AB 上的动点，A 与直线CM 上的点连线距离的最小值为d ，B 与直线CM 上的点连线距离的最小值为f .(1)求证：PC 是⊙O 的切线； (2)设OP ＝32AC ，求∠CPO 的正弦值；(3)设AC ＝9，AB ＝15，求d ＋f 的取值范围． (1)证明：连接OC ，如答图1.答图1∵AC ∥OP ，∴∠CAO ＝∠POB ，∠ACO ＝∠COP . ∵OA ＝OC ，∴∠CAO ＝∠ACO ， ∴∠POB ＝∠POC ．在△POB 和△POC 中，⎩⎪⎨⎪⎧OB ＝OC ，∠POB ＝∠POC ，PO ＝PO ，∴△POB ≌△POC (SAS)，∴∠PBO ＝∠PCO . ∵PB 是⊙O 的切线，∴∠PBO ＝90°， ∴∠OCP ＝90°，即OC ⊥PC ， ∴PC 是⊙O 的切线．(2)解：如答图1，作ON ⊥AC 于点N ， ∵OP ＝32AC ，∴OP AC ＝32.设OP ＝3x ，则AC ＝2x ， ∵ON ⊥AC ，∴AN ＝CN ＝x . ∵∠NAO ＝∠POB ，∠ONA ＝∠OBP ，∴△NAO ∽△BOP ，∴OA x＝3xOB.∵OA ＝OB ，∴OA ＝OB ＝3x .在Rt △OBP 中，∴sin ∠BPO ＝sin ∠CPO ＝3x 3x ＝33. ∴∠CPO 的正弦值等于33. (3)解：如答图2，连接BC ，作AF ⊥CM ，BE ⊥CM ，垂足分别为点F ，E ，作CQ ⊥AB ，垂足为点Q .答图2∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°.∵AC ＝9，AB ＝15，∴BC ＝12.①当点M 与点B 重合时，d ＝AC ＝9, f ＝0，d ＋f ＝9； ②当点M 在线段BQ (不包括端点)上时，设∠AMF ＝∠BME ＝α. ∵sin α＝AF ∶AM ，∴AF ＝AM sin α. ∵sin α＝BE ∶BM ，∴BE ＝BM sin α. ∴AF ＋BE ＝(AM ＋BM )sin α＝AB sin α. ∴d ＋f ＝15sin α.∵35<sin α<1，∴9<d ＋f <15； ③当点M 与点Q 重合时，d ＋f ＝AB ＝15；④当点M 在线段QA (不包括端点)上时，设∠AMF ＝∠BME ＝α. ∵d ＋f ＝15sin α，且45<sin α<1，∴12<d ＋f <15；⑤当点M 与点A 重合时，d ＝0, f ＝BC ＝12，d ＋f ＝12 . 综上所述，9≤d ＋f ≤15.命题点2 切线的性质及其相关计算4．(2018·昆明21题8分)如图，AB 是⊙O 的直径，ED 切⊙O 于点C ，AD 交⊙O 于点F ，AC 平分∠BAD ，连接BF .(1)求证：AD⊥ED；(2)若CD＝4，AF＝2，求⊙O的半径．(1)证明：连接OC，如答图，答图∵AC平分∠BAD，∴∠1＝∠2.∵OA＝OC，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴OC∥AD．∵ED切⊙O于点C，∴OC⊥DE，∴AD⊥ED．(2)解：设OC交BF于点H，如答图，∵AB为⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，∴四边形CDFH为矩形，∴FH＝CD＝4，∠CHF＝90°，∴OH⊥BF，∴BH＝FH＝4，∴BF＝8.在Rt△ABF中，AB＝AF2＋BF2＝22＋82＝217，∴⊙O的半径为17.5．(2018·云南22题9分)如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，点D在AB 的延长线上，∠BCD＝∠BAC．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若∠D＝30°，BD＝2，求图中阴影部分的面积．(1)证明：连接OC，∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠OCA．∵∠BCD ＝∠BAC ， ∴∠BCD ＝∠OCA ．∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°， ∴∠OCA ＋∠OCB ＝∠BCD ＋∠OCB ＝90°， ∴∠OCD ＝90°.∵OC 是⊙O 的半径，∴CD 是⊙O 的切线． (2)解：设⊙O 的半径为r ，则AB ＝2r . ∵∠D ＝30°，∠OCD ＝90°， ∴OD ＝2r ，∠COB ＝60°， ∴△BOC 为等边三角形． ∴BC ＝r ，r ＋2＝2r ，∴r ＝2，∠AOC ＝120°，∴BC ＝2， ∴由勾股定理可知AC ＝23， ∴S △AOC ＝12×23×1＝3，S 扇形OAC ＝120π×4360＝4π3. ∴S 阴影＝S 扇形OAC －S △OAC ＝43π－ 3.6．(2018·曲靖22题9分)如图，AB 为⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，将弧BC 沿直线BC 翻折，使弧BC 的中点D 恰好与圆心O 重合，连接OC ，CD ，BD ，过点C 的切线与线段BA 的延长线交于点P ，连接AD ，在PB 的另一侧作∠MPB ＝∠ADC ．(1)判断PM 与⊙O 的位置关系，并说明理由； (2)若PC ＝3，求四边形OCDB 的面积． 解：(1)PM 与⊙O 相切． 理由如下：连接DO 并延长交PM 于点E ，如答图，答图∵弧BC 沿直线BC 翻折，弧BC 的中点D 恰好与圆心O 重合， ∴OC ＝DC ，BO ＝BD ， ∴OC ＝DC ＝BO ＝BD ，∴四边形OBDC 为菱形，∴OD ⊥BC ， ∴△OCD 和△OBD 都是等边三角形， ∴∠COD ＝∠BOD ＝60°， ∴∠COP ＝∠EOP ＝60°.∵∠MPB ＝∠ADC ，而∠ADC ＝∠ABC ， ∴∠ABC ＝∠MPB ，∴PM ∥BC ， ∴OE ⊥PM ，∴OE ＝12OP .∵PC 为⊙O 的切线，∴OC ⊥PC ， ∴OC ＝12OP ，∴OE ＝OC ，而OE ⊥PC ，∴PM 是⊙O 的切线． (2)在Rt △OPC 中，OC ＝33PC ＝33×3＝1， ∴S 四边形OCDB ＝2S △OCD ＝2×34×12＝32. 7．(2014·曲靖23题10分)如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，AC 是⊙O 的直径，AC ，PB 的延长线相交于点D ．(1)若∠1＝20°，求∠APB 的度数；(2)当∠1为多少度时，OP ＝OD ，并说明理由． 解：(1)∵PA 是⊙O 的切线， ∴∠BAP ＝90°－∠1＝70°.又∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴PA ＝PB ． ∴∠BAP ＝∠ABP ＝70°， ∴∠APB ＝180°－70°×2＝40°. (2)当∠1＝30°时，OP ＝OD ． 理由如下：当∠1＝30°时， 由(1)知∠BAP ＝∠ABP ＝60°， ∴∠APB ＝180°－60°× 2＝60°.∵PA ，PB 是⊙O 的切线， ∴∠OPB ＝12∠APB ＝30°.又∵∠D ＝∠ABP －∠1＝60°－30°＝30°， ∴∠OPB ＝∠D ，∴OP ＝OD ．8．(2016·曲靖22题9分)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，O 是AB 边上的一点，以OA 为半径的⊙O 与边BC 相切于点E .(1)若AC ＝5，BC ＝13，求⊙O 的半径；(2)过点E 作弦EF ⊥AB 于M ，连接AF .若∠F ＝2∠B ，求证：四边形ACEF 是菱形． 解：(1)连接OE ，设⊙O 的半径为r ， 在Rt △ABC 中，AB ＝BC 2－AC 2＝12. ∵BC 与⊙O 相切，∴OE ⊥BC ， ∴∠OEB ＝∠BAC ＝90°.又∵∠EBO ＝∠ABC ，∴△BOE ∽△BCA ，∴OE AC ＝BO BC ，即r 5 ＝12－r 13，解得r ＝103， 即⊙O 的半径为103.(2)证明：∵A E ＝A E ，∠F ＝2∠B ， ∴∠AOE ＝2∠F ＝4∠B ． ∵∠AOE ＝∠OEB ＋∠B ， ∴∠B ＝30°，∠F ＝60°.∵EF ⊥AD ，∴∠EMB ＝∠CAB ＝90°， ∴∠MEB ＝∠F ＝60°，∴CA ∥EF ，CB ∥AF ， ∴四边形ACEF 是平行四边形． ∵∠CAB ＝90°，OA 是⊙O 的半径， ∴CA 是⊙O 的切线． 又∵BC 是⊙O 的切线，∴CA ＝CE ，∴平行四边形ACEF 是菱形．。
2020年中考数学第一轮复习 第六章 圆 学生版(后含答案)
2020年中考数学第一轮复习第六章圆第二十三讲与圆有关的位置关系【基础知识回顾】一、点与圆的位置关系：1、点与圆的位置关系有种，若圆的半径为r点P到圆心的距离为d则：点P在圆内<＝> 点P在圆上<＝>点P在圆外<＝>2、过三点的圆：⑴过同一直线上三点作圆，过三点，有且只有一个圆⑵三角形的外接圆：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆的圆心叫做三角形的这个三角形叫做这个圆的。
⑶三角形外心的形成：三角形的交点，外心的性质：到相等【注意：锐角三角形外心在三角形直角三角形的外心是钝角三角形的外心在三角形】二、直线与圆的位置关系：1、直线与圆的位置关系有种：当直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆这时直线叫圆的线，当直线和圆有唯一公共点时叫做直线和圆这时直线叫圆的线，直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆这时直线叫圆的线。
2、设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则：直线l与⊙O相交<＝>d r,直线l与⊙O相切<＝>d r直线l与⊙O相离<＝>d r3、切线的性质和判定：⑴性质定理：圆的切线垂直于经过切点的【注意：根据这一定理，在圆中遇到切线时，常常连接圆心和切点，即可得垂直关系】⑵判定定理：经过半径的且这条半径的直线是圆的切线【注意：在切线的判定中，当直线和圆的公共点标出时，用判定定理证明。
当公共点未标出时，一般可证圆心到直线的距离d=r来判定相切】4、切线长定理：⑴切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的长叫做这点到圆的切线长。
⑵切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的相等，并且圆心和这一点的连线平分的夹角5、三角形的内切圆：⑴与三角形各边都的圆，叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的⑵三角形内心的形成：是三角形的交点内心的性质：到三角形各的距离相等，内心与每一个顶点的连接线平分【注意：三类三角形内心都在三角形 若△ABC 三边为a 、b 、c 面积为s ，内切圆半径为r ，则s= ，若△ABC 为直角三角形，则r= 】 三、圆和圆的位置关系：圆和圆的位置关系有 种，若⊙O 1半径为R ，⊙O 2半径为r ，圆心距为d ，则 ⊙O 1 与⊙O 2 外离<＝> ⊙O 1 与⊙O 2 外切<＝> ⊙O 1 与⊙O 2相交<＝> ⊙O 1 与⊙O 2内切<＝> ⊙O 1 与⊙O 2内含<＝>【注意：两圆相离（无公共点）包含 和 两种情况，两圆相切（有唯一公共点）包含 和 两种情况，注意题目中两种情况的考虑，同心圆是两圆 此时d= 】 四、反证法：假设命题的结论 ，由此经过推理得出 由矛盾判定所作的假设 从而得到原命题成立，这种证明命题的方法叫反证法【注意：反证法证题的关键是提出 即假设所证结论的反面成立，通过推理论证得出的矛盾可以与 相矛盾，也可以与 相矛盾，从而肯定原命题成立】 【典型例题解析】 考点一：切线的性质例1（2019年菏泽）（本题10分）如图，BC 是⊙O 的直径，CE 是⊙O 的弦，过点E 作⊙O 的切线，交CB 的延长线于点G ，过点B 作BF ⊙GE 于点F ，交CE 的延长线于点A . （1）求证：⊙ABG=2⊙C ；（2）若GF=33，GB=6，求⊙O 的半径.对应练习1－1（2019年济南）如图，AB 、CD 是O e 的两条直径，过点C 的O e 的切线交AB 的延长线于点E ，连接AC 、BD ． （1）求证：ABD CAB ∠=∠；（2）若B 是OE 的中点，12AC =，求O e 的半径．对应练习1－2(2019聊城中考)如图，ABC △内接于O e ，AB 为直径，作⊥OD AB 交AC 于点D ，延长BC ，OD 交于点F ，过点C 作O e 的切线CE ，交OF 于点E （1）求证：EC ED =；（2）如果4OA =，3EF =，求弦AC 的长． 考点二：切线的判定例2( 2019山东济宁)如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，D 是⌒AC 的中点，E 为OD 延长线上一点，∠CAE ＝2∠C ，AC 与BD 交于点H ，与OE 交于点F ．（1）求证：AE 是⊙O 的切线；（2）若DH ＝9，tan C ＝34，求直径AB 的长．对应练习2－1（自贡）如图，点B 、C 、D 都在⊙O 上，过点C 作AC ∥BD 交OB 延长线于点A ，连接CD ，且∠CDB=∠OBD=30°，DB=63cm ．（1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）求由弦CD 、BD 与弧BC 所围成的阴影部分的面积． （结果保留π）对应练习2－2（玉林）如图，以△ABC 的BC 边上一点O 为圆心的圆，经过A ，B 两点，且与BC 边交于点E ，D 为BE 的下半圆弧的中点，连接AD 交BC 于F ，若AC=FC ． （1）求证：AC 是⊙O 的切线： （2）若BF=8，DF=40，求⊙O 的半径r ．考点三：直线与圆的位置关系 例3（2019年日照）探究活动一：如图1，某数学兴趣小组在研究直线上点的坐标规律时，在直线AB 上的三点A （1，3）、B （2，5）、C （4，9），有k AB ＝5321--＝2，k AC ＝9341--＝2，发现k AB ＝k AC ，兴趣小组提出猜想：若直线y ＝kx+b （k≠0）上任意两点坐标P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）（x 1≠x 2），则k PQ ＝2121y y x x --是定值．通过多次验证和查阅资料得知，猜想成立，k PQ 是定值，并且是直线y ＝kx+b （k≠0）中的k ，叫做这条直线的斜率．请你应用以上规律直接写出过S （﹣2，﹣2）、T （4，2）两点的直线ST 的斜率k ST ＝ ．探究活动二数学兴趣小组继续深入研究直线的“斜率”问题，得到正确结论：任意两条不和坐标轴平行的直线互相要直时，这两条直线的斜率之积是定值．如图2，直线DE 与直线DF 垂直于点D ，D （2，2），E （1，4），F （4，3）．请求出直线DE 与直线DF 的斜率之积． 综合应用如图3，⊙M 为以点M 为圆心，MN 的长为半径的圆，M （1，2），N （4，5），请结合探究活动二的结论，求出过点N 的⊙M 的切线的解析式．对应练习3－1（2019年枣庄）如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，以AB 为直径作O e ，点D 为O e 上一点，且CD CB =，连接DO 并延长交CB 的延长线于点E ． （1）判断直线CD 与O e 的位置关系，并说明理由； （2）若2BE =，4DE =，求圆的半径及AC 的长．对应练习3－2（盘锦）如图，△ABC 中，AB=6，AC=8，BC=10，D 、E 分别是AC 、AB 的中点，则以DE 为直径的圆与BC 的位置关系是（ ） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．无法确定 考点四：圆与圆的位置关系例4（攀枝花）已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别是方程x 2-4x+3=0的两根，且两圆的圆心距等于4，则⊙O 1与⊙O 2的位置关系是（ ） A ．外离 B ．外切 C ．相交 D ．内切对应练习4－1（黔东南州）Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3cm ，BC=4cm ，以C 为圆心，r 为半径作圆，若圆C 与直线AB 相切，则r 的值为（ ） 对应练习4－2（东营）已知⊙O 1的半径r 1=2，⊙O 2的半径r 2是方程321x x =-的根，⊙O 1与⊙O 2的圆心距为1，那么两圆的位置关系为（ ） A ．内含 B ．内切 C ．相交D ．外切第二十三讲 与圆有关的位置关系 参考答案【典型例题解析】 考点一：切线的性质 例1 答案：解：（1）连接OE ，GE 是⊙O 的切线，因此GE ⊙OE ，BF ⊙GE ，所以AB ⊙OE ，所以 ⊙ABG=⊙EOG=⊙CEO ＋⊙C ，而OE=OC ，所以⊙CEO=⊙C ，因此⊙ABG=2⊙C ；（2）BF⊙GE ，所以⊙GFB=90°，GF=33，GB=6，因此cos⊙FGB=GF GB=333=, 所以⊙FGB=30°, GE 是⊙O 的切线， 因此⊙GEO=90°，因此OG=2OE ，而OG=GB ＋OB ，设圆的半径是r ，则OG=6＋r ， 所以6＋r=2r ，因此圆的半径是6. 对应练习1－1答案：（1）证明：⊙AB 、CD 是O e 的两条直径， ⊙OA OC OB OD ===，⊙OAC OCA ∠=∠，ODB OBD ∠=∠， ⊙AOC BOD ∠=∠，⊙OAC OCA ODB OBD ∠=∠=∠=∠， 即ABD CAB ∠=∠； （2）连接BC ．⊙AB 是O e 的两条直径，⊙⊙ACB ＝90°， ⊙CE 为O e 的切线， ⊙90OCE ∠=o ， ⊙B 是OE 的中点， ⊙BC OB =， ⊙OB OC =，⊙OBC ∆为等边三角形， ⊙60ABC ∠=o ， ⊙30A ∠=o ， ⊙343BC AC ==， ⊙43OB =， 即O e 的半径为43． 对应练习1－2答案：（1）证明：连接OC ，∵CE 与O e 相切，OC 是O e 的半径， ∴OC CE ⊥，∴90OCA ACE ︒∠+∠=. ∵OA OC =， ∴A OCA ∠=∠， ∴90ACE A ︒∠+∠=. ∵⊥OD AB ， ∴90ODA A ︒∠+∠=. ∴CDE ACE ∠=∠， ∴EC ED =. （2）∵AB 为直径， ∴90ACB ∠=o .在Rt DCF ∆中，90DCE ECF ︒∠+∠=， 又DCE CDE ∠=∠， ∴90CDE ECF ︒∠+∠=， 又∵90CDE F ︒∠+∠=， ∴ECF F ∠=∠， ∴EC EF =. ∵3EF =， ∴3EC DE ==.在Rt OCE ∆中，4OC =，3CE =， ∴2222435OE OC EC =+=+=. ∴2OD OE DE =-=.在Rt OAD ∆中，22224225AD OA OD =+=+=. 在Rt AOD ∆和Rt ACB ∆中， ∵A A ∠=∠，∴Rt AOD Rt ACB ∆∆∽， ∴AO AD AC AB =，即425AC =， ∴1655AC =.考点二：切线的判定 例2 答案： （1）证明：连接AD ， ∵D 是⌒AC 的中点， ∴⌒AD =⌒DC ，∴∠DAC ＝∠C .∵∠CAE ＝∠EAD ＋∠DAC ，∠CAE ＝2∠C ， ∴∠EAD ＝∠C . ∵∠C ＝∠B ， ∴∠B ＝∠EAD .∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB＋∠B＝90°，∴∠EAD＋∠DAB＝90°，∴∠EAO＝90°，即OA⊥AE，∴AE是⊙O的切线.（2）解：在△ADH中，∠ADH＝90°，DH＝9，∵∠DAH＝∠C，tan C＝34，∴tan∠DAH＝34 DHAD=，∴934BD=，∴AD＝12.在△BAD中，∠ADB＝90°，AD＝12，∴tan∠B＝tan∠C＝34，∴tan∠B＝34 ADBD=，∴BD＝16.∵∠ADB＝90°，∴AB＝2222121620AD BD+=+=．对应练习2－1 答案：如图，连接BC，OD，OC，设OC与BD交于点M．（1）证明：如图，连接OC、OD，根据圆周角定理得：∠COB=2∠CDB=2×30°=60°，∵AC∥BD，∴∠A=∠OBD=30°，∴∠OCA=180°-30°-60°=90°，即OC⊥AC，∵OC为半径，∴AC是⊙O的切线；（2）解：由（1）知，AC为⊙O的切线，∴OC⊥AC．∵AC∥BD，∴OC⊥BD．由垂径定理可知，MD=MB=12BD=33．在Rt△OBM中，∠COB=60°，OB=33cos303MB=o=6．在△CDM与△OBM中，3090CDM OBM MD MBCMD OMB ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩∴△CDM ≌△OBM ∴S △CDM =S △OBM∴阴影部分的面积S 阴影=S 扇形BOC =606360π⨯=6π（cm 2）． 对应练习2－2 答案：（1）证明： 如图，连接OA 、OD ， ∵D 为弧BE 的中点， ∴OD ⊥BC ， ∠DOF=90°， ∴∠D+∠OFD=90°， ∵AC=AF ，OA=OD ，∴∠CAF=∠CFA ，∠OAD=∠D ， ∵∠CFA=∠OFD ，∴∠OAD+∠CAF=90°， ∴OA ⊥AC ， ∵OA 为半径，∴AC是⊙O 切线；（2）解：∵⊙O 半径是r ， 当F 在半径OE 上时， ∴OD=r ，OF=8-r ，在Rt △DOF 中，r 2+（8-r ）2=（40）2， r=6，r=2；当F 在半径OB 上时， ∴OD=r ，OF=r -8，在Rt △DOF 中，r 2+（r -8）2=（40）2， r=6（舍去），r=2（舍去）； 即⊙O 的半径r 为6或2． 考点三：直线与圆的位置关系 例3 答案：解：（1）∵S （﹣2，﹣2）、T （4，2） ∴k ST ＝2(2)4(2)----＝23故答案为：23（2）∵D （2，2），E （1，4），F （4，3）．∴k DE ＝4212--＝﹣2，k DF ＝3242--＝12， ∴k DE ×k DF ＝﹣2×12＝﹣1， ∴任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积等于﹣1． （3）设经过点N 与⊙M 的直线为PQ ，解析式为y ＝k PQ x+b ∵M （1，2），N （4，5）， ∴k MN ＝5241--＝1， ∵PQ 为⊙M 的切线 ∴PQ ⊥MN ∴k PQ ×k MN ＝﹣1， ∴k PQ ＝﹣1，∵直线PQ 经过点N （4，5）， ∴5＝﹣1×4+b ，解得 b ＝9 ∴直线PQ 的解析式为y ＝﹣x+9． 对应练习3－1答案：解:（1）证明：连接OC ．CB CD =Q ，CO CO =，OB OD =，()OCB OCD SSS ≌∴∆∆， 90ODC OBC ∴∠=∠=︒， OD DC ∴⊥， DC ∴是O e 的切线；（2）解：设O e 的半径为r ．在Rt OBE ∆中，222OE EB OB =+Q ，222(4)2r x ∴-=+，1.5r ∴=，tan OB CDE EB DE∠==Q ， 1.524CD∴=，3CD BC ∴==，在Rt ABC ∆中，22223332AC AB BC =+=+=．∴圆的半径为1.5，AC 的长为32对应练习3－2 答案：解：过点A 作AM ⊥BC 于点M ，交DE 于点N ， ∴AM×BC=AC×AB ， ∴AM=6810⨯=4.8， ∵D 、E 分别是AC 、AB 的中点， ∴DE ∥BC ，DE=12BC=5， ∴AN=MN=12AM ， ∴MN=2.4， ∴以DE 为直径的圆半径为2.5， ∵r ＞2.5＞2.4，∴以DE 为直径的圆与BC 的位置关系是：相交． 故选：A ．考点四：圆与圆的位置关系 例4 答案： 解：∵x 2-4x+3=0， ∴（x -3）（x -1）=0， 解得：x=3或x=1，∵⊙O 1与⊙O 2的半径r 1、r 2分别是方程x 2-6x+8=0的两实根， ∴r 1+r 2=3+1=4，∵⊙O 1与⊙O 2的圆心距d=4，∴⊙O 1与⊙O 2的位置关系是外切． 对应练习4－1 答案：B 对应练习4－2 答案：B【聚焦中考真题】 一、选择题1．（青岛）直线l 与半径为r 的⊙O 相交，且点O 到直线l 的距离为6，则r 的取值范围是（ ） A ．r ＜6 B ．r=6 C ．r ＞6 D ．r≥62．（烟台）如图，已知⊙O 1的半径为1cm ，⊙O 2的半径为2cm ，将⊙O 1，⊙O 2放置在直线l 上，如果⊙O 1在直线l 上任意滚动，那么圆心距O 1O 2的长不可能是（ ） A ．6cm B ．3cm C ．2cm D ．0.5cm3．（枣庄）如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB=AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP的最大值是（）A．90°B．60°C．45°D．30°4．（泰安）如图，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是⌒EB的中点，则下列结论不成立的是（）A．OC∥AE B．EC=BC C．∠DAE=∠ABE D．AC⊥OE5．（济宁）如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为（）A．4B．33C．6D．236．（铜仁地区）⊙O的半径为8，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．不能确定7．（云南）已知⊙O1的半径是3cm，⊙O2的半径是2cm，O1O2=6cm，则两圆的位置关系是（）A．相离B．外切C．相交D．内切8．（泉州）已知⊙O1与⊙O2相交，它们的半径分别是4，7，则圆心距O1O2可能是（）A．2B．3C．6D．129．（南京）如图，⊙O1，⊙O2的圆心在直线l上，⊙O1的半径为2cm，⊙O2的半径为3cm．O1O2=8cm，⊙O1以1m/s的速度沿直线l向右运动，7s后停止运动．在此过程中，⊙O1和⊙O2没有出现的位置关系是（）A．外切B．相交C．内切D．内含10．（重庆）如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，PO=26cm，PA=24cm，则⊙O 的周长为（）A．18πcm B．16πcm C．20πcm D．24πcm11．（杭州）在一个圆中，给出下列命题，其中正确的是（）A．若圆心到两条直线的距离都等于圆的半径，则这两条直线不可能垂直B．若圆心到两条直线的距离都小于圆的半径，则这两条直线与圆一定有4个公共点C．若两条弦所在直线不平行，则这两条弦可能在圆内有公共点D．若两条弦平行，则这两条弦之间的距离一定小于圆的半径12．（河南）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点G，直线EF与⊙O相切于点D，则下列结论中不一定正确的是（）A．AG=BG B．AB∥EF C．AD∥BC D．∠ABC=∠ADC13．（毕节地区）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点O为BC的中点，以O为圆心作⊙O交BC于点M、N，⊙O与AB、AC相切，切点分别为D、E，则⊙O的半径和∠MND的度数分别为（）A．2，22.5°B．3，30°C．3，22.5°D．2，30°14．（安徽）如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，在以下判断中，不正确的是（）A．当弦PB最长时，△APC是等腰三角形B．当△APC是等腰三角形时，PO⊥ACC．当PO⊥AC时，∠ACP=30°D．当∠ACP=30°时，△BPC是直角三角形二、填空题15．（日照）如图（a），有一张矩形纸片ABCD，其中AD=6cm，以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切，将矩形纸片ABCD沿DE折叠，使点A落在BC上，如图（b）．则半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积为．16．（舟山）在同一平面内，已知线段AO=2，⊙A的半径为1，将⊙A绕点O按逆时针方向旋转60°得到的像为⊙B，则⊙A与⊙B的位置关系为．17．（天水）已知⊙O1的半径为3，⊙O2的半径为r，⊙O1与⊙O2只能画出两条不同的公共切线，且O1O2=5，则⊙O2的半径为r的取值范围是．18．（平凉）已知⊙O1与⊙O2的半径分别是方程x2-4x+3=0的两根，且圆心距O1O2=t+2，若这两个圆相切，则t= ．19．（天水）如图所示，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，且∠EAF=80°，则图中阴影部分的面积是．20．（晋江市）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=43．若动点D在线段AC上（不与点A、C重合），过点D作DE⊥AC交AB边于点E．（1）当点D运动到线段AC中点时，DE= ；（2）点A关于点D的对称点为点F，以FC为半径作⊙C，当DE= 时，⊙C 与直线AB相切．21．（张家界）如图，⊙A、⊙B、⊙C两两外切，它们的半径都是a，顺次连接三个圆心，则图中阴影部分的面积是．22．（南宁）如图，在边长为2的正三角形中，将其内切圆和三个角切圆（与角两边及三角形内切圆都相切的圆）的内部挖去，则此三角形剩下部分（阴影部分）的面积为．23．（黄石）如图所示，在边长为3的正方形ABCD中，⊙O1与⊙O2外切，且⊙O2分别于DA、DC边外切，⊙O1分别与BA、BC边外切，则圆心距，O1O2为．24．（永州）如图，已知△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，MN与⊙O相切，切点为A，若∠MAB=30°，则∠B= 度．三、解答题25．（济南）如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过点D作⊙O的切线AD，C是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形．（1）求AD的长；（2）BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由．26．（临沂）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，E为BC上一点，以CE为直径作⊙O，AB与⊙O相切于点D，连接CD，若BE=OE=2．（1）求证：∠A=2∠DCB；（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．27．（东营）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，若∠BAC=∠CAM，过点C 作直线l垂直于射线AM，垂足为点D．（1）试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若直线l与AB的延长线相交于点E，⊙O的半径为3，并且∠CAB=30°，求CE的长．28．（烟台）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，连接AC交⊙O于点D，E为⌒AD上一点，连结AE，BE，BE交AC于点F，且AE2=EF•EB．（1）求证：CB=CF；（2）若点E到弦AD的距离为1，cos∠C=35，求⊙O的半径．29．（潍坊）如图，四边形ABCD是平行四边形，以对角线BD为直径作⊙O，分别与BC，AD相交于点E，F．（1）求证：四边形BEDF为矩形；（2）BD2=BE•BC，试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由．30.（义乌）已知直线PD垂直平分⊙O的半径OA于点B，PD交⊙O于点C、D，PE是⊙O的切线，E为切点，连结AE，交CD于点F．（1）若⊙O的半径为8，求CD的长；（2）证明：PE=PF；（3）若PF=13，sinA=513，求EF的长．31．（扬州）如图，△ABC内接于⊙O，弦AD⊥AB交BC于点E，过点B作⊙O的切线交DA的延长线于点F，且∠ABF=∠ABC．（1）求证：AB=AC；（2）若AD=4，cos∠ABF=45，求DE的长．32．（巴中）若⊙O1和⊙O2的圆心距为4，两圆半径分别为r1、r2，且r1、r2是方程组1212263-57r rr r+=⎧⎨=⎩的解，求r1、r2的值，并判断两圆的位置关系．33．（凉山州）在同一平面直角坐标系中有5个点：A（1，1），B（-3，-1），C（-3，1），D（-2，-2），E（0，-3）．（1）画出△ABC的外接圆⊙P，并指出点D与⊙P的位置关系；（2）若直线l经过点D（-2，-2），E（0，-3），判断直线l与⊙P的位置关系．34．（永州）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，圆心在AC上，∠A=30°，D为BC的中点．（1）求证：AB=BC；（2）求证：四边形BOCD是菱形．35．（株洲）已知AB是⊙O的直径，直线BC与⊙O相切于点B，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，AD的延长线交BC于点C．（1）求∠BAC的度数；（2）求证：AD=CD．36．（天津）已知直线I与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥I于点D．（Ⅰ）如图①，当直线I与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小；（Ⅱ）如图②，当直线I与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小．37．（苏州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长DE交BC的延长线于点F．（1）求证：BD=BF；（2）若CF=1，cosB=35，求⊙O的半径．38．（湛江）如图，已知AB是⊙O的直径，P为⊙O外一点，且OP∥BC，∠P=∠BAC．（1）求证：PA为⊙O的切线；（2）若OB=5，OP=253，求AC的长．39．（莆田）如图，▱ABCD中，AB=2，以点A为圆心，AB为半径的圆交边BC于点E，连接DE、AC、AE．（1）求证：△AED≌△DCA；（2）若DE平分∠ADC且与⊙A相切于点E，求图中阴影部分（扇形）的面积．40．（新疆）如图，已知⊙O的半径为4，CD是⊙O的直径，AC为⊙O的弦，B为CD 延长线上的一点，∠ABC=30°，且AB=AC．（1）求证：AB为⊙O的切线；（2）求弦AC的长；（3）求图中阴影部分的面积．41．（泸州）如图，D 为⊙O 上一点，点C 在直径BA 的延长线上，且∠CDA=∠CBD ． （1）求证：CD 2=CA•CB ；（2）求证：CD 是⊙O 的切线；（3）过点B 作⊙O 的切线交CD 的延长线于点E ，若BC=12，tan ∠CDA=23，求BE 的长．42．（滨州）如图，在△ABC 中，AB=AC ，点O 在边AB 上，⊙O 过点B 且分别与边AB 、BC 相交于点D 、E ，EF ⊥AC ，垂足为F ．求证：直线EF 是⊙O 的切线．第二十三讲 与圆有关的位置关系 参考答案【聚焦中考真题】 一、选择题 1-5 ADDDB 6-10 BCCDC 11-14 BCAC二、填空题 15答案：（3π-349）cm 2 16答案：外切 17答案：2＜r ＜8 18答案：2或4 19答案：4-98π 20答案：（1）3（2）23或233 21答案：22πa 22答案：94π3－23答案：236－24答案：60 三、解答题 25答案：解：（1）连接BD ，则∠DBE=90°，∵四边形BCOE为平行四边形，∴BC∥OE，BC=OE=1，在Rt△ABD中，C为AD的中点，∴BC=12AD=1，则AD=2；（2）连接OB，∵BC∥OD，BC=OD，∴四边形BCDO为平行四边形，∵AD为圆O的切线，∴OD⊥AD，∴四边形BCDO为矩形，∴OB⊥BC，则BC为圆O的切线．26答案：（1）证明：连接OD，∴∠ODB=90°，∴BE=OE=OD=2，∴∠B=30°，∠DOB=60°，∵OD=OC，∴∠DCB=∠ODC=12∠DOB=30°，∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠A=60°，∴∠A=2∠DCB；（2）解：∵∠ODB=90°，OD=2，BO=2+2=4，由勾股定理得：BD=23，∴阴影部分的面积S=S△ODB-S扇形DOE=12×23×2-602360π⨯=23-23π．27答案：解：（1）直线CD与⊙O相切．理由如下：连接OC．∵OA=OC，∴∠BAC=∠OCA，∵∠BAC=∠CAM，∴∠OCA=∠CAM，∴OC∥AM，∵CD⊥AM，∴OC⊥CD，∵OC为半径，∴直线CD与⊙O 相切．（2）∵OC=OA，∴∠BAC=∠ACO，∵∠CAB=30°，∴∠COE=2∠CAB=60°，CE=OC•tan60°=33．∴在Rt△COE中，OC=3，28答案：（1）证明：如图1，∵AE2=EF•EB，∴AE EF EB AE=．又∠AEF=∠AEB，∴△AEF∽△AEB，∴∠1=∠EAB．∵∠1=∠2，∠3=∠EAB，∴∠2=∠3，∴CB=CF；（2）解：如图2，连接OE交AC于点G，设⊙O的半径是r．由（1）知，△AEF∽△AEB，则∠4=∠5．∴．⌒AE=⌒ED∴OE⊥AD，∵cos∠C=35，且∴EG=1．∴sin∠GAO=35，∠C+∠GAO=90°，∴OGOA=35，即135rr-=，解得，r=52，即⊙O的半径是52．29答案：（1）证明：∵BD为⊙O直径，∴∠DEB=∠DFB=90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠FBC=∠DFB=90°，∠EDA=∠BED=90°，∴四边形BEDF为矩形；（2）解：直线CD与⊙O的位置关系是相切，理由是：∵BD2=BE•BC，∴BD BC BE BD=，∵∠DBC=∠CBD，∴△BED∽△BDC，∴∠BDC=∠BED=90°，即BD⊥CD，∴CD与⊙O相切．30答案：解：（1）连接OD，∵直线PD垂直平分⊙O的半径OA于点B，⊙O的半径为8，∴OB=12OA=4，BC=BD=12CD，∴在Rt△OBD中，BD=22OD OB-=43，∴CD=2BD=83；（2）∵PE 是⊙O 的切线， ∴∠PEO=90°，∴∠PEF=90°-∠AEO ，∠PFE=∠AFB=90°-∠A ， ∵OE=OA ， ∴∠A=∠AEO ， ∴∠PEF=∠PFE ， ∴PE=PF ；（2）过点P 作PG ⊥EF 于点G ， ∴∠PGF=∠ABF=90°， ∵∠PFG=∠AFB ， ∴∠FPG=∠A ， ∴FG=PF•sinA=13×513=5， ∵PE=PF ，∴EF=2FG=10． 31答案：（1）证明：∵BF 是⊙O 的切线， ∴∠3=∠C ，∵∠ABF=∠ABC ， 即∠3=∠2， ∴∠2=∠C ， ∴AB=AC ；（2）解：如图，连接BD ，在Rt △ADB 中，∠BAD=90°， ∵cos ∠ADB=ADBD， ∴BD=44cos cos 5AD AD ADB ABF ==∠∠=5，∴AB=3．在Rt △ABE 中，∠BAE=90°， ∵cos ∠ABE=AB BE ，∴BE=3154cos 45AB ABE ==∠， ∴AE=22159()344-=， ∴DE=AD -AE=4-94=74． 32答案： 解：∵⎩⎨⎧②7＝5r 3r ①6＝2r +r 2211－，①×3-②得：11r 2=11，解得：r 2=1，把r 2=1代入①得：r 1=4； ∴⎩⎨⎧1＝r 4＝r 21， ∵⊙O1和⊙O2的圆心距为4， ∴两圆的位置关系为相交． 33答案：解：（1）如图所示：△ABC 外接圆的圆心为（-1，0），点D 在⊙P 上；（2）连接PD ，设过点P 、D 的直线解析式为y=kx+b ， ∵P （-1，0）、D （-2，-2）， ∴0--2-2k b k b =+⎧⎨=+⎩， 解得22k b =⎧⎨=⎩，∴此直线的解析式为y=2x+2；设过点D 、E 的直线解析式为y=ax+c ， ∵D （-2，-2），E （0，-3），∴-2-2-3a c c =+⎧⎨=⎩， 解得1-2-3a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴此直线的解析式为y=-12x -3， ∵2×（-12）=-1， ∴PD ⊥DE ，∵点D 在⊙P 上，∴直线l 与⊙P 相切． 34答案：证明：（1）∵AB 是⊙O 的切线， ∴OB ⊥AB ， ∵∠A=30°， ∴∠AOB=60°， ∵OB=OC ， ∴∠OCB=∠OBC=12∠AOB=30°， ∴∠A=∠OCB ，∴AB=BC ； （2）如图，连接OD ， ∵∠AOB=60°，∴∠BOC=120°，∵D 为BC 的中点，∴⌒BD =⌒CD，∠BOD=∠COD=60°， ∵OB=OD=OC ，∴△BOD 与△COD 是等边三角形， ∴OB=BD=OC=CD ， ∴四边形BOCD 是菱形． 35答案：解：（1）∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠CDB=90°， BD ⊥AC ，∵BD 平分∠ABC ， ∴∠ABD=∠CBD ， 在△ABD 和△CBD 中，ADB CDB BD BDABD CBD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABD ≌△CBD （ASA ）， ∴AB=CB ，∵直线BC 与⊙O 相切于点B ， ∴∠ABC=90°，∴∠BAC=∠C=45°；（2）证明：∵AB=CB ，BD ⊥AC ， ∴AD=CD ． 36答案：解：（Ⅰ）如图①，连接OC ， ∵直线l 与⊙O 相切于点C ， ∴OC ⊥l ， ∵AD ⊥l ， ∴OC ∥AD ，∴∠OCA=∠DAC ， ∵OA=OC ，∴∠BAC=∠OCA ，∴∠BAC=∠DAC=30°； （Ⅱ）如图②，连接BF ， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠AFB=90°， ∴∠BAF=90°-∠B ，∴∠AEF=∠ADE+∠DAE=90°+18°=108°， 在⊙O 中，四边形ABFE 是圆的内接四边形，∴∠AEF+∠B=180°，∴∠B=180°-108°=72°，∴∠BAF=90°-∠B=90°-72°=18°．37答案：（1）证明：连接OE，∵AC与圆O相切，∴OE⊥AC，∵BC⊥AC，∴OE∥BC，又∵O为DB的中点，∴E为DF的中点，即OE为△DBF的中位线，∴OE=12 BF，又∵OE=12 BD，则BF=BD；（2）解：设BC=3x，根据题意得：AB=5x，又∵CF=1，∴BF=3x+1，由（1）得：BD=BF，∴BD=3x+1，∴OE=OB=312x+，AO=AB-OB=5x-312x+=712x-，∵OE∥BF，∴∠AOE=∠B，∴cos∠AOE=cosB，即35OEOA=，即31327152xx+=-，解得：x=43，则圆O的半径为312x+=52．38答案：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，∴∠BAC+∠B=90°．又∵OP∥BC，∴∠AOP=∠B，∴∠BAC+∠AOP=90°．∵∠P=∠BAC．∴∠P+∠AOP=90°，∴由三角形内角和定理知∠PAO=90°，即OA⊥AP．又∵OA是的⊙O的半径，∴PA 为⊙O 的切线；（2）解：由（1）知，∠PAO=90°．∵OB=5， ∴OA=OB=5． 又∵OP=253， ∴在直角△APO 中，根据勾股定理知203=， 由（1）知，∠ACB=∠PAO=90°． ∵∠BAC=∠P ， ∴△ABC ∽△POA ，∴AB ACPO PA =． ∴10252033AC =， 解得AC=8．即AC 的长度为8． 39答案：（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB=CD ，AD ∥BC ， ∴四边形AECD 是梯形， ∵AB=AE ， ∴AE=CD ，∴四边形AECD 是等腰梯形， ∴AC=DE ，在△AED 和△DCA 中，AE DC DE AC AD DA =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴△AED ≌△DCA （SSS ）； （2）解：∵DE 平分∠ADC ， ∴∠ADC=2∠ADE ，∵四边形AECD 是等腰梯形， ∴∠DAE=∠ADC=2∠AED ， ∵DE 与⊙A 相切于点E ， ∴AE ⊥DE ， 即∠AED=90°， ∴∠ADE=30°， ∴∠DAE=60°，∴∠DCE=∠AEC=180°-∠DAE=120°，∵四边形ACD 是平行四边形， ∴∠BAD=∠DCE=120°，∴∠BAE=∠BAD -∠EAD=60°，∴S 阴影=60360×π×22=23π． 40答案：（1）证明：如图，连接OA ． ∵AB=AC ，∠ABC=30°， ∴∠ABC=∠ACB=30°． ∴∠AOB=2∠ACB=60°，∴在△ABO 中，∠AOB=180°-∠ABO -∠AOB=90°，即AB ⊥OA ，又∵OA 是⊙O 的半径， ∴AB 为⊙O 的切线；（2）解：如图，连接AD ． ∵CD 是⊙O 的直径， ∴∠DAC=90°．∵由（1）知，∠ACB=30°， ∴AD=12CD=4， 则根据勾股定理知AC=22CD AD -=43，即弦AC 的长是43； （3）解：由（2）知，在△ADC 中，∠DAC=90°，AD=4，AC=43，则S △ABC =12AD•AC=12×4×43=83． ∵点O 是△ADC 斜边上的中点， ∴S △AOC =12S △ABC =43． 根据图示知，S 阴影=S 扇形ADO +S △AOC =604360π⨯+43=83π+43，即图中阴影部分的面积是83π+43． 41答案：（1）证明：∵∠CDA=∠CBD ，∠C=∠C ， ∴△ADC ∽△DBC ， ∴AC DCDC BC=，即CD 2=CA•CB ； （2）证明：如图，连接OD ． ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠1+∠3=90°． ∵OA=OD ， ∴∠2=∠3，∴∠1+∠2=90°．又∠CDA=∠CBD ，即∠4=∠1， ∴∠4+∠2=90°，即∠CDO=90°，∴OD⊥OA．又∵OA是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（3）解：如图，连接OE．∵EB、CD均为⊙O的切线，∴ED=EB，OE⊥DB，∴∠ABD+∠DBE=90°，∠OEB+∠DBE=90°，∴∠ABD=∠OEB，∴∠CDA=∠OEB．而tan∠CDA=23，∴tan∠OEB=23 OBBE=，∵Rt△CDO∽Rt△CBE，∴23 CD OD OBCB BE BE===，∴CD=8，在Rt△CBE中，设BE=x，∴（x+8）2=x2+122，解得x=5．即BE的长为5．42答案：解：连接DE，∵BD是⊙O的直径，∴∠DEB=90°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，又∵OB=OE，∴∠ABC=∠OEB，∵∠FEC+∠C=90°，∴∠FEC+∠OEB=90°，∴OE ⊥EF，∵OE是⊙O半径，∴直线EF是⊙O的切线．第二十四讲与圆有关的计算【基础知识回顾】一、正多边形和圆：1、各边相等，也相等的多边形是正多边形2、每一个正多边形都有一个外接圆，外接圆的圆心叫正多边形的外接圆的半径叫正多边形的一般用字母R表示，每边所对的圆心角叫可用用α表示，α= ，中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的用r表示3、每一个正n边形都被它的半径分成n个全等的三角形，被它的半径和边心距分成个全等的三角形【注意：正多边形的有关计算，一般是放在一个等腰三角形或一个直角三角形中进行，根据半径、边心距、边长、中心角等之间的边角关系作计算，以正三角形、正方形和正方边形为主】二、弧长与扇形面积计算：⊙O的半径为R，弧长为L，圆心角为n0，扇形的面积为S扇，则有如下公式：L=S扇= =【注意：1、以上几个公式都可进行变形，2、原公式中涉及的角都不带单位3、扇形的两个公式可根据已知条件灵活进行选择4、圆中的面积计算常见的是求阴影部分的面积，常用的方法有：⑴已知规则图形面积的和与差⑵割补法⑶等积变形法⑷平移法⑸旋转法等】三、圆柱和圆锥：1、如图：设圆柱的高为h,底面半径为R则有：⑴S圆柱侧=⑵S圆柱全=⑶V圆柱=2、如图：设圆锥的母线长为l，底面半径为R，高为h，则有：⑴S圆锥侧= 、⑵S圆锥全=⑶V圆锥=【注意：1、圆柱的高有条，圆锥的高有条2、圆锥的高h，母线长l，底高半径R满足关系3、注意圆锥的侧面展开圆中扇形的半径l是圆锥的，扇形的弧长是圆锥的4、圆锥的母线为l，底面半径为R，侧面展开图扇形的圆心角度数为n，若l=2r，则n= l=3r,则n= l=4r则n= 】【典型例题解析】考点一：正多边形和圆例1（2019年山东滨州）若正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆的半径为_________．对应练习1－1（2019年莱芜）如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE，CE交AD于点F，连接BF，下列说法不正确的是（）A．△CDF的周长等于AD+CD B．FC平分△BFDC．AC2+BF2=4CD2 D．DE2=EF•CE对应练习1－2（绵阳）如图，要拧开一个边长为a=6cm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为（）A．6mm B．12mmC．63mm D．43mm考点二：圆周长与弧长例2（2019年德州）如图，∠BPD＝120°，点A、C分别在射线PB、PD上，∠P AC＝30°，AC＝2√3．（1）用尺规在图中作一段劣弧，使得它在A、C两点分别与射线PB和PD相切．要求：写出作法，并保留作图痕迹；（2）根据（1）的作法，结合已有条件，请写出已知和求证，并证明；（3）求所得的劣弧与线段P A、PC围成的封闭图形的面积．对应练习2－1（2019青岛中考）如图，线段AB 经过⊙O 的圆心，AC ，BD 分别与⊙O 相切于点C ，D ．若AC =BD = 4 ，∠A=45°，则弧CD的长度为（）A. πB. 2πC. 22πD. 4π对应练习2－2（黄冈）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，边CD在直线l上，将矩形ABCD沿直线l作无滑动翻滚，当点A第一次翻滚到点A1位置时，则点A经过的路线长为．考点三：扇形面积与阴影部分面积例3（2019年山东滨州）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．（1）求证：直线DF是⊙O的切线；（2）求证：BC2＝4CF•AC；（3）若⊙O的半径为4，∠CDF＝15°，求阴影部分的面积．对应练习3－1(2019山东东营) 如图，AB 是⊙O 的直径，点D 是AB 延长线上的一点，点C在⊙O 上，且AC＝CD，∠ACD＝120°.（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为3，求图中阴影部分的面积.对应练习3－2( 2019山东济宁14)如图，O 为Rt △ABC 直角边AC 上一点，以OC 为半径的⊙O 与斜边AB 相切于点D ，交OA 于点E ，已知BC ＝3，AC ＝3．则图中阴影部分的面积是 ．考点四：圆柱、圆锥的侧面展开图例4（2019山东东营）如图所示时一个几何体的三视图，如果一只蚂蚁从这个几何体的点B 出发，沿表面爬到AC 的中点D 处，则最短路线长为（ )A ．23B ．233 C ．3 D ．33 对应练习4－1（2019年莱芜）一个圆锥的侧面展开图是半径为R 的半圆，则该圆锥的高是（ ） A ．RB ．C ．D ．对应练习4－2(2019聊城中考)如图是一个圆锥的主视图，根据图中标出的数据（单位：cm ），计算这个圆锥侧面展开图圆心角的度数为_______．考点五：圆的综合题例5（2019年莱芜）如图1，在△O 中，E 是弧AB 的中点，C 为△O 上的一动点（C 与E 在AB 异侧），连接EC 交AB 于点F ，EB=（r是△O 的半径）． （1）D 为AB 延长线上一点，若DC=DF ，证明：直线DC 与△O 相切； （2）求EF •EC 的值；（3）如图2，当F 是AB 的四等分点时，求EC 的值．对应练习5－1（攀枝花）如图，PA为⊙O的切线，A为切点，直线PO交⊙O与点E，F 过点A作PO的垂线AB垂足为D，交⊙O与点B，延长BO与⊙O交与点C，连接AC，BF．（1）求证：PB与⊙O相切；（2）试探究线段EF，OD，OP之间的数量关系，并加以证明；（3）若AC=12，tan∠F=12，求cos∠ACB的值．对应练习5－2（茂名）如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点G，OA⊥CD于点E，过点B的直线与CD的延长线交于点F，AC∥BF．（1）若∠FGB=∠FBG，求证：BF是⊙O的切线；（2）若tan∠F=34，CD=a，请用a表示⊙O的半径；（3）求证：GF2-GB2=DF•GF．第二十四讲与圆有关的计算参考答案【典型例题解析】考点一：正多边形和圆例1答案：解析：如图，连接OA、OB，作OG⊥AB于G；则OG＝2，∵六边形ABCDEF正六边形，∴△OAB是等边三角形，∴∠OAB＝60°，∴OA＝＝＝，∴正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为，因此本题填．对应练习1－1 答案：解：△五边形ABCDE是正五边形，△AB=BC=CD=DE=AE，BA△CE，AD△BC，AC△DE，AC=AD=CE，△四边形ABCF是菱形，△CF=AF，△△CDF的周长等于CF+DF+CD，即△CDF的周长等于AD+CD，故A说法正确；△四边形ABCF是菱形，△AC△BF，。
2025年四川省中考数学一轮复习 第6章 圆6 (2)
21
（2）若tan B ＝2， CD ＝3，求 AB 和 DE 的长.
第15题
22
（2）解：连接 AE . ∵∠ ADE ＝∠ B ，∠ AED ＝∠ ACB ，
∴△ ADE ∽△ ABC ，∴ ＝ .∵ AC 为☉ O 的直径，∴∠ ADB ＝
第六章
圆
6.1 圆的基本性质
2025
数 学
目录
1 达标训练
2 冲刺名校
达标训练
1. （2024·湖南中考）如下图， AB 、 AC 为☉ O 的两条弦，连接 OB 、
OC . 若∠ A ＝45°，则∠ BOC 的度数为（
C ）
第1题
A. 60°
B. 75°
C. 90°
D. 135°
3
2. （2023·吉林中考）如上图， AB 、 AC 是☉ O 的弦， OB 、 OC 是☉ O 的
半径， P 为 OB 上任意一点（点 P 不与点 B 重合），连接 CP . 若∠ BAC ＝
70°，则∠ BPC 的度数可能是（
D
）
第2题
A. 70°
B. 105°
C. 125°
D. 155°
4
3. （安徽中考）已知☉ O 的半径为7， AB 是☉ O 的弦，点 P 在弦 AB 上.
若 PA ＝4， PB ＝6，则 OP ＝（
以点 B 为圆心，适当长为半径作弧，交 BA 于点 M ，交 BC 于点 N ，分别
1
以点 M 、 N 为圆心，大于 MN 的长为半径作弧，两弧在∠ ABC 的内部交
第六章《圆》综合测试-2021年中考数学一轮复习考点突破课件
D. 半径相等的两个半圆是等弧
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3. 如图Z6-1，AB，CD是⊙O的直径，
的度数是
A. 32°
B. 60°
C. 68°
D. 64°
.若∠AOE=32°，则∠COE （D）
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4. 如图Z6-2，AB是⊙O的直径，AC是弦.若∠ACO=30°，则cos∠COB的值
等于
A
（
）
A.
B.
C.
活页测试卷
第六章 《圆》综合测试卷
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1. 已知AB是半径为5的圆的一条弦，则AB的长不可能是 （ D ）
A. 4
B. 8
C. 10
D. 12
2. 下列说法错误的是
（ A）
A. 长度相等的两条弧是等弧
B. 直径是圆中最长的弦
C. 面积相等的两个圆是等圆
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若∠PBC=50°，则∠ABC=
（ B）
A. 30°
B. 40°
C. 50°
D. 60°
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10. 如图Z6-7，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交
于点E，以点C为圆心，OA的长为直径作半圆交CE于点D，若OA=4，则
图中阴影部分的面积为
（ C）
A.
B.
C.
D.
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D． 45°
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7. 过⊙O内一点N的最长弦长为6，最短弦长为4，则ON的长为（ C ）
A.
B. 2
C.
D. 5
8. 如图Z6-5，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E.若AB=10，AE=2，则弦
人教版九年级数学中考复习第一轮专题--6.强化训练第六章 圆
∵DO=BO, ∴∠ODB=∠OBD, ∴∠AOD=2∠ODB=∠EDO. ∵∠CAB=∠CDB=45°=∠EDO+∠ODB=3∠ODB, ∴∠ODB=15°=∠OBD. ∵∠BAF=∠DBA=15°,
∴AF=BF,∠AFD=30°. ∵AB 是直径,∴∠ADB=90°, ∴AF=2AD,DF= AD, ∴BD=DF+BF= AD+2AD,
C.G,H,E
D.H,E,F
5.(2018 福建)如图,AB 是☉O 的直径,BC 与☉O 相切于点 B,AC 交
☉O 于点 D,若∠ACB=50°,则∠BOD 等于( D )
A.40°
B.50°
C.60°
D.80°
第 5 题图
第 6 题图
6.(2018 哈尔滨)如图,点 P 为☉O 外一点,PA 为☉O 的切线,A 为切
(1)求证:EG 是☉O 的切线;
(2)延长 AB 交 GE 的延长线于点 M,若 AH=2,CH=2 2,求 OM 的 长. (1)证明:连接 OE,如图,
∵GE=GF,∴∠GEF=∠GFE. 而∠GFE=∠AFH,∴∠GEF=∠AFH. ∵AB⊥CD,∴∠OAF+∠AFH=90°, ∴∠GEA+∠OAF=90°. ∵OA=OE,∴∠OEA=∠OAF, ∴∠GEA+∠OEA=90°,即∠GEO=90°, ∴OE⊥GE,
第23讲 与圆有关的位置关系
1.(2011.(2019 南岗)如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=3,BC=4,以
点 A 为圆心作圆,如果圆 A 与线段 BC 没有公共点,那么圆 A 的半
数学一轮复习第六章圆第2节与圆有关的位置关系试题
——教学资料参考参考范本——数学一轮复习第六章圆第2节与圆有关的位置关系试题______年______月______日____________________部门课标呈现指引方向1．知道三角形的内心和外心．2．了解直线和圆的位置关系，掌握切线的概念，探索切线与过切点的半径的关系，会用三角尺过圆上一点画圆的切线．3．探索并证明切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等．考点梳理夯实基础1．与圆有关的位置关系(1)点与圆的位置关系设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则：①点在圆外 d ＞ r；②点在圆上 d = r；③点在圆内 d ＜ r．(2)直线与圆的位置关系设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则：①直线与圆相交 d<r：②直线与圆相切 d=r；③直线与圆相离 d>r．2．圆的切线(1)切线的定义：直线和圆只有一个公共点时，这条直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．(2)切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；经过切点且垂直于切线的直线必过该圆的圆心．(3)切线判定方法：①定义法：②设d表示圆心到直线的距离，r表示圆的半径，若d=r ，则直线与圆相切：③经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(4)切线长定理：从圆外一点向圆引的两条切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．(5)三角形的内切圆：三角形内切圆的圆心是三角形三个角平分线的交点，叫做三角形的内心，它到三角形的三边的距离相等．(6)三角形的外接圆：三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．锐角三角形外心在三角形的内部，直角三角形外心在三角形的斜边中点处，钝角三角形外心在三角形的外部．考点精析专项突破考点一与圆相关的位置关系【例1】(1)（20xx湘西州）⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA= 3cm．则点A与圆O的位置关系为( )A．点A在圆上 B．点A在圆内 C．点A在圆外 D．无法确定【答案】 B(2)（20xx西宁）⊙O的半径为R，点O到直线l的距离为d，R、d是方程x 2 -4x+m=0的两根，当直线l与⊙O相切时，m的值为．解题点拨：此类题主要考查点与圆的位置关系及直线与圆的位置关系的判断方法，需要将圆心到点或线的距离与圆的半径进行大小比较．【答案】 4考点二圆的切线【例2】(1)（20xx重庆巴蜀）如图，AB是⊙O的弦，AO的延长线交过点曰的⊙O的切线于点C．如果∠ABO=25°，则∠C的度数是 ( )A．65° B．50° C．40° D．20°【答案】C(2)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=4 cm，以点C为圆心，以2 cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是 ( )．A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交【答案】B解题点拨：见到切线的已知条件，要想到连接经过切点的半径．构造直角三角形来帮助我们解题，这也是切线问题中最常见的辅助线添法．证明直线与圆相切时，首先判断直线与国有没有明确的公共点，若有，用判定方法③经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；若没有，用判定方法②，定义法一般不用．考点三三角形的内切圆与外接圆【例3】(1)（20xx咸宁）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD、BE、CE，若∠CBD= 32°，则∠BEC的度数为．【答案】122°(2)（20xx重庆育才）如图，⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则⊙O的半径为．【答案】33解题点拨：熟练掌握三角形内切圆和外接圆的定义以及内心和外心的有关性质，是解决此类问题的关键．1．（20xx海南）如图，AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A．PO交⊙O于点C．连接BC．若∠P= 40°，则∠ABC的度数为 ( B )A．20° B．25° C．40° D．50°【答案】B2．（20xx宜昌）在公园的O处附近有E、F、G、H四棵树，位置如图所示（图中小正方形的边长均相等）现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E、F、G、H四棵树中需要被移除的为．A．E、F、G B．F、G、H C．G、H、E D．H、E、F【答案】A3．（20xx齐齐哈尔）如图，若以平行四边形一边AB为直径的圆恰好与对边CD相切于点D．则∠C= 度．【答案】454．（20xx包头）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与AB的延长线交于点P，连接AC，若∠A= 30°,PC =3．则BP的长为．【答案】3A组基础训练一、选择题1．（20xx重庆一中）如图，AB是圆O的直径，点D在AB的延长线上，射线DC切圆D于点C，若∠A= 25°，则∠D等于 ( )A．60° B．50° C．40° D．45°【答案】C2．（20xx重庆一中）如图，PA和PB是⊙O的切线，点A和B是切点，AC是⊙O的直径，已知∠P=50°，则∠ACB的大小是 ( )A.60°B.65°C.70°D.75°【答案】B3．（20xx西大附中）如图，P是⊙O外一点，PA 、PB是⊙O 的切线，∠APB= 50°，点C在⊙O上，则∠ACB=( )A.50°B.65°C.75°D.130°【答案】B4．（20xx重庆南开）如图，已知PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点．AC是⊙O的直径．∠P= 40°，则∠BAC的大小是 ( ) A．70° B．40° C．50° D．20°【答案】D5．如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB、BC分别相切于点D，E，过劣弧DE（不包括端点D，E）上任一点P作⊙O的切线MN与AB，BC分别交于点M，N，若⊙O的半径为r，则Rt△MBN的周长为 ( )A.rB.C.2rD.r 5r2【答案】C二、填空题6．（20xx盐城）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是．【答案】3<r<57．（20xx镇江）如图，AB是⊙O的直径，OA =1,AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D．若BD=2-1，则∠ACD= ．【答案】112.5°8．（20xx哈尔滨）如图，AB为⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C．AD⊥l．垂足为D,AD交⊙O于点E，连接OC、BE．若AE=6，OA =5，则线段DC的长为．【答案】49．（20xx泰安）如图，半径为3的⊙O与Rt△AOB的斜边AB切于点D，交OB于点C．连接CD交直线OA于点E．若∠B= 30°，则线段AE的长为．【答案】3B组提高练习10．（20xx荆州）如图，过⊙O外一点P引⊙O 的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，OP交⊙O于点C，点D是优弧ABC上不与点A、点C重合的一个动点，连接 AD、CD，若∠APB= 80°，则∠ADC的度数是( )A．15° B．20° C．25° D．30°【答案】C（提示：根据切线的性质，连接OA、OB．易得∠AOB =100°．由切线长定理可得PA =PB，△POB≌△POA.则∠AOP=50°，∠ADC=25°）11．（20xx常州）如图，圆心都在x轴正半轴上的半圆O1，半圆O2,…，半圆On与直线y=相切，设半圆O1，半圆O2,…，半圆On的半径分别是r1，r2，…，rn，则当r1 =1时，r20xx= ．3x3【答案】320xx（提示：根据一次函数解析式易得直线与x轴的夹角为30°．分别连接圆心与相应切点，构造直角三角形．根据30°角所对的直角边等于斜边一半，可依次求出半径依次为1，3，9--找规律即可得到答案．）12．（20xx攀枝花）如图，△ABC中，∠C = 90°,AC=3，AB=5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O 和AB、BC均相切，则OO 的半径为．【答案】127。
2024成都中考数学第一轮专题复习 圆的有关概念及性质 知识精练(含答案)
2024成都中考数学第一轮专题复习圆的有关概念及性质知识精练基础题1. (2023江西)如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为()A. 3B. 4C. 5D. 6第1题图2. (2023广东省卷)如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝50°，则∠D＝()第2题图A. 20°B. 40°C. 50°D. 80°3. (2023广元)如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，连接CD，OD，A C.若∠BOD＝124°，则∠ACD的度数是()A. 56°B. 33°C. 28°D. 23°第3题图4. (2023山西)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC，BD为对角线，BD经过圆心O.若∠BAC ＝40°，则∠DBC的度数为()第4题图A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°5. (2023安徽)如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接OC，OD，则∠BAE－∠COD＝()A. 60°B. 54°C. 48°D. 36°第5题图6. (2023赤峰)如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝105°，连接OB，OC，OD，BD，∠BOC ＝2∠COD，则∠CBD的度数是()第6题图A. 25°B. 30°C. 35°D. 40°7. [新考法—数学文化](2023岳阳)我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸．欲为方版，令厚七寸，问广几何？”结合下图，其大意是：今有圆形材质，直径BD为25寸，要做成方形板材，使其厚度CD达到7寸，则BC的长是() A. 674寸 B. 25寸C. 24寸D. 7寸第7题图8. (2023杭州)如图，在⊙O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上．若∠ABC＝19°，则∠BAC＝()第8题图A. 23°B. 24°C. 25°D. 26°9. (2023广西)赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37 m，拱高约为7 m，则赵州桥主桥拱半径R约为()第9题图A. 20 mB. 28 mC. 35 mD. 40 m10. (2023凉山州)如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠ADB＝30°，BC＝23，则OC＝()A. 1B. 2C. 2 3D. 4第10题图11. 如图，点A，B，D在⊙O上，CD垂直平分AB于点C.现测得AB＝CD＝16，则圆形宣传图标的半径为()第11题图A. 12B. 10C. 8D. 612. 如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为4，弦AB的长为3，过O作OC⊥AB于点C，则OC的长度是________；⊙O内一点D的坐标为(－2，1)，当弦AB绕O点顺时针旋转时，点D到AB的距离的最小值是________．第12题图13. (2023武汉)如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ACB＝2∠BA C.(1)求证：∠AOB＝2∠BOC；(2)若AB＝4，BC＝5，求⊙O的半径．第13题图拔高题14. (2023吉林省卷)如图，AB，AC是⊙O的弦，OB，OC是⊙O的半径，点P为OB上任意一点(点P不与点B重合)，连接CP.若∠BAC＝70°，则∠BPC的度数可能是()A. 70°B. 105°C. 125°D. 155°第14题图15. 如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点E 为弧AB 的中点，连接DE 与AB 交于点F .若AB＝1，记△ADF 的面积为S 1，△AEF 的面积为S 2，则S 1S 2的值为________．第15题图16. 如图，以原点O 为圆心的圆交x 轴于A ，B 两点，交y 轴的正半轴于点C ，且点A 的坐标为(－2，0)，D 为第一象限内⊙O 上的一点，若∠OCD ＝75°，则AD 的长为________．第16题图参考答案与解析1. D 【解析】本题考查了确定圆的条件及圆的有关定义及性质．∵过不在同一直线上的三个点一定能作一个圆，∴要经过题中所给的3个点画圆，除选定直线l 外的点P 外，再在直线l 上的A ，B ，C ，D 四个点中任选其中2个即可画圆．∵从A ，B ，C ，D 四个点中任选其中2个点的方法可以是AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，共6种，∴最多可以画出圆的个数为6.2. B 【解析】∵AB 是⊙O 的直径，∠BAC ＝50°，∴∠ACB ＝90°，∠B ＝180°－50°－90°＝40°.∵AC ＝AC ，∴∠D ＝∠B ＝40°.3. C 【解析】∵∠BOD ＝124°，∴∠AOD ＝180°－124°＝56°，∴∠ACD ＝12∠AOD ＝28°. 4. B 【解析】∵BD 经过圆心O ，∴∠BCD ＝90°.∵∠BDC ＝∠BAC ＝40°，∴∠DBC ＝90°－∠BDC ＝50°.5. D 【解析】∵五边形ABCDE 是正五边形，∴∠BAE ＝（5－2）×180°5＝108°，∠COD ＝360°5＝72°，∴∠BAE －∠COD ＝108°－72°＝36°. 6. A 【解析】∵∠BCD ＝105°，∴∠BAD ＝180°－105°＝75°，∴∠BOD ＝150°.∵∠BOC＝2∠COD ，∴∠COD ＝13 ∠BOD ＝50°，∴∠CBD ＝12∠COD ＝25°. 7. C 【解析】∵BD 是圆的直径，∴∠BCD ＝90°.∵BD ＝25，CD ＝7，∴在Rt △BCD 中，由勾股定理得，BC ＝252－72 ＝24(寸).8. D 【解析】如解图，连接OC ，∵∠ABC ＝19°，∴∠AOC ＝2∠ABC ＝38°.∵半径OA ，OB 互相垂直，∴∠AOB ＝90°，∴∠BOC ＝90°－38°＝52°，∴∠BAC ＝12∠BOC ＝26°.第8题解图9. B 【解析】如解图，在Rt △OAB 中，由勾股定理，得AO 2＋AB 2＝OB 2，即(R －7)2＋(372)2＝R 2，解得R ≈28(m).第9题解图10. B 【解析】如解图，连接OB ，设OA 交BC 于点E ，∵∠ADB ＝30°，∴∠AOB ＝60°.∵OA ⊥BC ，BC ＝23 ，∴BE ＝12 BC ＝3 .在Rt △BOE 中，sin ∠AOB ＝BE OB，∴sin 60°＝3OB ＝32，∴OB ＝2，∴OC ＝2.第10题解图11. B 【解析】如解图，连接OA ，设圆形宣传图标的半径为R ，∵CD 垂直平分AB ，AB＝CD ＝16，∴CD 过点O ，AC ＝BC ＝12 AB ＝12×16＝8，∠DCA ＝90°.∵AO ＝OD ＝R ，∴在Rt △AOC 中，由勾股定理，得OC 2＋AC 2＝OA 2，即(16－R )2＋82＝R 2，解得R ＝10，即圆形宣传图标的半径为10.第11题解图 12. 552 ；552 －5 【解析】如解图，连接OB ，∵OC ⊥AB ，∴BC ＝12 AB ＝32.由勾股定理，得OC ＝OB 2－BC 2 ＝552.当OD ⊥AB 时，点D 到AB 的距离最小，由勾股定理，得OD ＝22＋12 ＝5 ，∴点D 到AB 的距离的最小值为552 －5 .第12题解图13. (1)证明：由圆周角定理，得∠ACB ＝12 ∠AOB ，∠BAC ＝12∠BOC . ∵∠ACB ＝2∠BAC ，∴∠AOB ＝2∠BOC ；(2)解：如解图，过点O 作半径OD ⊥AB 于点E ，连接BD .则∠DOB ＝12∠AOB ，AE ＝BE . ∵∠AOB ＝2∠BOC ，∴∠DOB ＝∠BOC .∴BD ＝BC .∵AB ＝4，BC ＝5 ，∴BE ＝2，DB ＝5 .在Rt △BDE 中，∵∠DEB ＝90°，∴DE ＝BD 2－BE 2 ＝1.在Rt △BOE 中，∵∠OEB ＝90°，∴OB 2＝(OB －1)2＋22，∴OB ＝52， 即⊙O 的半径是 52.第13题解图14. D 【解析】如解图，连接BC ，∵∠BAC ＝70°，∴∠BOC ＝2∠BAC ＝140°.∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB ＝180°－140°2＝20°.∵点P 为OB 上任意一点(点P 不与点B 重合)，∴0°<∠OCP <20°.∵∠BPC ＝∠BOC ＋∠OCP ＝140°＋∠OCP ，∴140°<∠BPC <160°，故选D.第14题解图15. 2(2 ＋1) 【解析】如解图，连接OE 交AB 于点G ，连接AC .根据垂径定理的推论，得OE ⊥AB ，AG ＝BG .由题意可得，AC 为⊙O 的直径，AC ＝2 ，则圆的半径是22.根据正方形的性质，得∠OAF ＝45°，∴OG ＝12 ，EG ＝2－12.∵OE ∥AD ，∴△ADF ∽△GEF ，∴FE FD ＝EG DA ＝2－12 .∵△ADF 与△AEF 等高，∴S 1S 2 ＝S △ADF S △AEF＝DF EF ＝2(2 ＋1).第15题解图16. 23 【解析】如解图，连接OD ，BD .∵A (－2，0)，∴OA ＝OB ＝2，∴AB ＝4.∵OC ＝OD ，∴∠OCD ＝∠ODC ＝75°，∴∠DOC ＝180°－2×75°＝30°，∴∠DOB ＝90°－30°＝60°，∴∠DAB ＝12∠DOB ＝30°.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴AD ＝AB ·cos 30°＝23 .第16题解图。
山东省济南市中考数学一轮复习 第六章 圆检测卷
第六章 单元检测卷(考试时间：120分钟 满分：100分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分)1．如图，AB 和CD 都是⊙O 的直径，∠AOC＝50°，则∠C 的度数是( )A ．20°B ．25°C ．30°D ．50°2．如图，四边形PAOB 是扇形OMN 的内接矩形，顶点P 在MN ︵上，且不与M ，N 重合，当P 点在 MN ︵上移动时，矩形PAOB 的形状、大小随之变化，则AB 的长度( )A ．变大B ．变小C ．不变D ．不能确定 3．如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC⊥AB 于点D ，若⊙O 的半径为5，AB ＝8，则CD 的长是( )A ．2B ．3C ．4D ．54．如图，已知AB 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于点A ，PO 交⊙O 于点C ，连接BC.若∠P＝40°，则∠B 等于( )A ．20° B．25° C．30° D．40°5．如图是一块△ABC 余料，已知AB ＝20 cm ，BC ＝7 cm ，AC ＝15 cm ，现将余料裁剪成一个圆形材料，则该圆的最大面积是( )A ．π cm 2B ．2π cm 2C ．4π cm 2D ．8π cm 26．已知∠AOB，作图．步骤1：在OB 上任取一点M ，以点M 为圆心，MO 长为半径画半圆，分别交OA ，OB 于点P ，Q ； 步骤2：过点M 作PQ 的垂线交PQ ︵于点C ； 步骤3：画射线OC.则下列判断：①PC ︵＝CQ ︵；②MC∥OA；③OP＝PQ ；④OC 平分∠AOB，其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．47．如图，在平面直角坐标系中，⊙A 与y 轴相切于原点O ，平行于x 轴的直线交⊙A 于M ，N 两点．若点M 的坐标是(－4，－2)，则点N 的坐标为( )A ．(－1，－2)B ．(1，－2)C ．(－1.5，2)D ．(1.5，－2)8．如图，已知⊙O 是等腰Rt△ABC 的外接圆，点D 是AC ︵上一点，BD 交AC 于点E.若BC ＝4，AD ＝45，则AE 的长是( )A ．3B ．2C ．1D ．1.29．运用图形变化的方法研究下列问题：如图，AB 是⊙O 的直径，CD ，EF 是⊙O 的弦，且AB∥CD∥EF，AB ＝10，CD ＝6，EF ＝8，则图中阴影部分的面积是( )A.252π B ．10π C ．24＋4π D ．24＋5π 10．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的点，且OC ∥BD ，AD 分别与BC ，OC 相交于点E ，F ，则下列结论：①AD⊥BD；②∠AOC＝∠AEC；③CB 平分∠ABD；④AF＝DF ；⑤BD＝2OF ；⑥△CEF≌△BED.其中一定成立的是( )A ．②④⑤⑥B ．①③⑤⑥C ．②③④⑥D ．①③④⑤二、填空题(本大题共5个小题，每小题3分，共15分)11．如图，等腰△ABC 内接于⊙O，已知AB ＝AC ，∠ABC＝30°，BD 是⊙O 的直径．若CD ＝433，则AD ＝______．12．如图，已知扇形OAB 的圆心角为60°，扇形的面积为6π，则该扇形的弧长为________．13．如图，在△ABC 中，以AB 为直径的⊙O 与BC 相交于点D ，过点D 作⊙O 的切线交AC 于点E ，若⊙O 的半径为5，∠CDE＝20°，则BD ︵的长为________．14．如图，AB 与⊙O 相切于点B ，线段OA 与弦BC 垂直于点D ，∠AOB＝60°，BC ＝4 cm ，则切线AB ＝______cm.15．如图，在圆心角为90°的扇形OAB 中，半径OA ＝2 cm ，C 为AB ︵的中点，D ，E 分别是OA ，OB 的中点，则图中阴影部分的面积为______cm 2.三、解答题(本大题共5个小题，共55分)16．(本题满分9分)如图所示，AB＝AC，AB为⊙O的直径，AC，BC分别交⊙O于点E，D，连接ED，BE.(1)试判断DE与BD是否相等，并说明理由；(2)如果BC＝6，AB＝5，求BE的长．17．(本题满分10分)如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，AD⊥CD于点D，E是AB延长线上一点，CE交⊙O于点F，连接OC，AC.(1)求证：AC平分∠DAO；(2)若∠DAO＝105°，∠E＝30°.①求∠OCE的度数；②若⊙O的半径为22，求线段EF的长．如图，已知AB 为⊙O 的直径，点E 在⊙O 上，∠EAB 的平分线交⊙O 于点C ，过点C 作AE 的垂线，垂足为D ，直线DC 与AB 的延长线交于点P. (1)判断直线PC 与⊙O 的位置关系，并说明理由； (2)若tan∠P＝34，AD ＝6，求线段AE 的长．19．(本题满分12分) 如图，⊙O 的直径AB ＝12 cm ，C 为AB 延长线上一点，CP 与⊙O 相切于点P ，过点B 作弦BD∥CP，连接PD.(1)求证：点P 为BD ︵的中点；(2)若∠C＝∠D，求四边形BCPD 的面积．如图，CE是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，D为⊙O上的一点，且AD＝AC，延长AD交CE的延长线于点B.(1)求证：AD为⊙O的切线；(2)求证：∠A＝2∠DCB；(3)若BE＝EO＝3，求图中阴影部分的面积(结果保留π)参考答案1．B 2.C 3.A 4.B 5.C 6.C 7.A 8.C 9.A 10.D 11.4 12.2π 13.10π9 14.415.π2＋22－1216．解：(1)DE ＝BD.理由如下：如图，连接AD ，则AD⊥BC， 在等腰三角形ABC 中， AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAD. ∵∠CAD＝∠DBE， ∠BAD＝∠DEB， ∴∠DEB＝∠DBE， ∴DE＝BD.(2)∵AB＝5，BD ＝12BC ＝3，∴AD＝4.∵AB＝AC ＝5，∴AC·BE＝CB·AD，∴BE＝4.8.17．(1)证明：∵直线CD 与⊙O 相切，∴OC⊥CD. 又∵AD⊥CD，∴AD∥OC，∴∠DAC＝∠OCA. 又∵OC＝OA ，∴∠OAC＝∠OC A ， ∴∠DAC＝∠OAC，∴AC 平分∠DAO.(2)解：①∵AD∥OC，∴∠EOC＝∠DAO＝105°， ∵∠E＝30°，∴∠OCE＝45°.②如图，作OG⊥CE 于点G ，可得FG ＝OG.∵OC＝22，∠OCE＝45°，∴CG＝OG ＝2，∴FG＝2. ∵在Rt△OGE 中，∠E＝30°，∴GE＝23， ∴EF＝GE －FG ＝23－2. 18．解：(1)PC 与⊙O 相切． 理由：如图，连接OC.∵AC 平分∠EAB，∴∠EAC＝∠CAB.又∵∠CAB＝∠ACO，∴∠EAC＝∠OCA， ∴OC∥AD.∵AD⊥PD，∴∠OCP＝∠D＝90°， ∴PC 与⊙O 相切．(2)如图，连接BE.在Rt△ADP 中，∠ADP＝90°，AD ＝6，tan∠P＝34，∴PD＝8，AP ＝10.设半径为r ，∵OC∥AD，∴OC AD ＝OP AP ，即r 6＝10－r 10，解得r ＝154.∵AB 是直径，∴∠AEB ＝∠D＝90°，∴BE∥PD，∴AE＝AB·sin∠ABE＝AB·sin∠P＝152×35＝92.19．(1)证明：如图，连接OP ，交BD 于点E. ∵CP 与⊙O 相切于点P ，∴OP⊥CP. ∵BD∥CP，∴OP⊥BD， ∴BP ︵＝DP ︵，∴点P 为BD ︵的中点．(2)解：如图，连接AD ，∵AB 是直径， ∴∠ADB＝90°＝∠OPC. ∵BD∥CP，∴∠C＝∠DBA.∵∠C＝∠BDP，∴∠DBA＝∠BDP，∴DP∥BC，∴四边形BCPD 是平行四边形， ∴DB＝PC ，∴△COP≌△BAD，∴CO＝AB ＝12 cm ，∴CB＝OA ＝6 cm. ∵OP＝6 cm ，∴CP＝OC 2－OP 2＝6 3. ∵BD∥CP，CB ＝OB ，∴PE＝OE ＝3， ∴S 四边形BCPD ＝63×3＝183(cm 2)． 20.(1)证明：如图，连接OD ， ∵AD＝AC ，∴∠ADC＝∠ACD. ∵OD＝OC ，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠ADC ＋∠ODC＝∠ACD＋∠OCD， 即∠ADO＝∠OCA.∵CE 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线， ∴BC⊥AC，∴∠ADO＝∠ACB＝90°， ∴AD 为⊙O 的切线．(2)证明：∵∠ADC＝∠ACD， ∴∠A＝180°－2∠ACD.∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝90°－∠DCB， ∴∠A＝180°－2(90°－∠DCB)＝ 2∠DCB. (3)解：∵AD 是⊙O 的切线，∴∠ADO ＝90°. ∵BE＝EO ＝3，∴BO＝6，OD ＝3， ∴sin∠B＝OD BO ＝12，∴∠B＝30°，∴∠DOC＝120°，∴∠BOD＝60°. 如图，过点D 作DF⊥BC 于点F ， ∴DF＝32OD ＝332， ∴S 扇形COD ＝120π×32360＝3π，S △COD ＝12OC·DF＝934，∴S 阴影＝S 扇形COD －S △COD ＝3π－934.。
2024成都中考数学第一轮专题复习之第六章 微专题 圆的综合题 练习课件
第2题图
微专题 圆的综合题
(2)若AC＝4，EF＝ 8 3 ，求CE的长．
3
(2)解：∵AC＝4，EF＝ 8 3 ，∴BD＝AC＝4，DH＝EH＝ 4 3 .
3
3
∵∠BDH＝90°，
∴tan ∠DBH＝ DH 3 ，∴∠DBH＝30°，
BD 3
∴∠DHE＝60°，∴△DHE是等边三角形，
∴∠HDE＝60°，DE＝DH＝ 4 3 ，
∴∠CBO＝∠BCD＋∠D＝4α. ∵OB＝OC， ∴∠CBO＝∠OCB＝4α， ∴∠CBO＋∠OCB＋∠COB＝4α＋4α＋2α＝10α＝180°， ∴α＝18°， ∴∠ACD＝∠ACB＋∠BCD＝90°＋2α
＝90°＋36°＝126°；
第6题图
微专题 圆的综合题
(3)求
OD AD
的值．
(3)解：设⊙O的半径为r，BD＝a，则CD＝r.
第6题图
微专题 圆的综合题
(2)求∠ACD的度数； (2)解：如图，连接CB. 设∠CAO＝α. 根据(1)可知∠EAC＝∠CAO＝∠ACO＝α， ∠EAO＝∠EAC＋∠CAO＝2α， ∴∠COB＝∠CAO＋∠ACO＝2α. ∵CD＝OA， ∴CD＝OC. ∴∠COB＝∠D＝2α.
第6题图
微专题 圆的综合题
第5题图
微专题 圆的综合题
(2)若OA＝5，tan
D＝
1 2
，求CE的长．
(2)解：如图，连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴tan B＝tan D＝ AC 1 ，
BC 2
∴BC＝2AC.
∵AB＝2OA＝10，
在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2，
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第六章圆
一．选择题（共5小题，满分15分，每小题3分）1．（3分）（2015秋•天津期末）半径为5的圆的一条弦长不可能是（）
A．3 B．5 C．10 D．12
2．（3分）（2015•玉林）如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是（）
第2题第3题
A．AC=AB B．∠C=∠BOD
C．∠C=∠B D．∠A=∠BOD
3．（3分）（2015•潍坊）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水部分的面积是（）
A．（π﹣4）cm2 B．（π﹣8）cm2 C．（π﹣4）cm2 D．（π﹣2）cm2
4．（3分）（2015•巴中）如图，在⊙O中，弦AC∥半径OB，∠BOC=50°，则∠OAB的度数为（）
第4题第5题
A．25°B．50°C．60°D．30°
5．（3分）（2015•鄄城县三模）如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，点D 对应54°，则∠BCD的度数为（）
A．27°B．54°C．63°D．36°
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
6．（3分）（2015春•盐城校级期中）如图，⊙O的弦AB、半径OC延长交于点D，BD=OA．若
∠AOC=120°，则∠D的度数是．
第6题第7题
7．（3分）（2015•南通）如图，在⊙O中，半径OD 垂直于弦AB，垂足为C，OD=13cm，AB=24cm，则CD=cm．
8．（3分）（2015•黔南州）如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连接外圆上的两点A、B，并使AB与车轮内圆相切于点D，半径为
OC⊥AB交外圆于点C．测得CD=10cm，AB=60cm，则这个车轮的外圆半径是．
第8题第9题
9．（3分）（2015•太仓市模拟）如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若AB=CD，∠APO=65°，则∠APC=度．
10．（3分）（2016•重庆模拟）如图，△ABC是⊙O 的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC=50°，则∠CAD=．
三．解答题（共10小题，满分70分，每小题7分）11．（7分）（2015秋•阜宁县期中）已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°．求证：四边形ABCD有外接圆．
12．（7分）如图是一个铁艺制品，一个圆形铁架里面焊接有△ABC和△DBC，其中BD与AC交于点E，若AE=DE，BC=CE．
（1）求∠ACB的度数；
（2）过圆心O焊接GF，并使GF⊥AC，垂足为F，GF交BE于点G，若DE=3，EG=2，求AB的长．
13．（7分）（2010秋•苏州期中）如图，已知直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2），
写出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标：（，）
14．（7分）（2015秋•丹阳市校级月考）已知AB为⊙O的直径，弦ED与AB的延长线交于⊙O外一点C，且AB=2CD，∠C=25°，求∠AOE的度数．
15．（7分）（2015•永州）如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB=AC，直径AD交BC于点E，F是OE上的一点，使CF∥BD．
（1）求证：BE=CE；
（2）试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；（3）若BC=8，AD=10，求CD的长．
16．（7分）（2015•麻城市校级模拟）图1是某希望小学放心食堂售饭窗口外遮雨棚的示意图（尺寸如图所示），遮雨棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展
开图是矩形．图2是遮雨棚顶部截面的示意图，
所在圆的圆心为O．遮雨棚顶部是用一种帆布覆盖的，求覆盖遮雨棚顶的帆布的面积（不考虑接缝等因素，计算结果保留π）．
17．（7分）（2015•杭州模拟）如图，⊙O的两条弦AB、CD交于点E，OE平分∠BED．
（1）求证：AB=CD；
（2）若∠BED=60°，EO=2，求DE﹣AE的值．
18．（7分）（2015•台州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC．（1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；
（2）求证：∠1=∠2．
19．（7分）（2015•佛山）如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．
（1）若∠E=∠F时，求证：∠ADC=∠ABC；（2）若∠E=∠F=42°时，求∠A的度数；
（3）若∠E=α，∠F=β，且α≠β．请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．
20．（7分）（2015•杭州）如图1，⊙O的半径为r （r＞0），若点P′在射线OP上，满足OP′•OP=r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”．
如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8，若点A′，B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长．。