最全经典不等式证明的基本方法.

1
不等式和绝对值不等式
一、不等式
1、不等式的基本性质：
①、对称性：
传递性：_________

②、 ，a+c＞b+c
③、a＞b， ， 那么ac＞bc；
a＞b， ，那么ac＜bc
④、a＞b＞0， 那么，ac＞bd
⑤、a>b>0，那么an>bn.（条件 ）
⑥、 a＞b＞0 那么 （条件 ）

2、基本不等式
定理1 如果a, b∈R, 那么
a
2+b2
≥2ab.

当且仅当a=b时等号成立。
定理2（基本不等式） 如果a，b>0，那么

当且仅当a=b时，等号成立。即两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。
结论：已知x, y都是正数。（1）如果积xy是定值p，那么当x=y时，和x+y有最小值2 ；

（2）如果和x+y是定值s，那么当x=y时，积xy有最大值
小结：理解并熟练掌握基本不等式及其应用，特别要注意利用基本不等式求最值时， 一
定要满足“一正二定三相等”的条件。

3、三个正数的算术-几何平均不等式

二、绝对值不等式
1、绝对值三角不等式
实数a的绝对值|a|的几何意义是表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离：

abba
cacbba,

Rcba,
0c
0
c

0dc
2,nNn
2,
nNn

2
abab


2
1
4
s

p

3
3 ,,3abcabcRabc

abc



定理如果，那么，当且仅

当时，等号成立。
即：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均。

212122,,,,,n
n
n

n

n

aaaaaaaanaa11把基本不等式推广到一般情形：对于n个正数a它们的算术平均不小于它们的几何平均，
即：

当且仅当a时，等号成立。
2

任意两个实数a,b在数轴上的对应点分别为A、B，那么|a-b|的几何意义是A、B两点间
的距离。

定理1 如果a, b是实数，则
|a+b|≤|a|+|b| ， 当且仅当ab≥0时，等号成立。（绝对值三角不等式）

如果a, b是实数，那么 |a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|
定理2 如果a, b, c是实数，那么
|a-c|≤|a-b|+|b-c| ， 当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。

2、绝对值不等式的解法
（1）|ax+b|≤c和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法：
①换元法：令t=ax+b, 转化为|t|≤c和|t|≥c型不等式，然后再求x，得原不等式的解
集。
②分段讨论法：

①
用绝对值不等式的几何意义 

② 零点分区间法 
③ 构造函数法

00||(0)()axbaxbaxbccaxbcaxbc


或

00||(0)()axbaxbaxbccaxbcaxbc


或

型不等式的解法
和）（cbxaxcbxax2
3

典型例题
例1 解不等式

例2 解不等式||x+3|-|x-3||>3。
例3 解不等式|x2-3|x|-3|<1。
例4 求使不等式|x-4|+|x-3|

例5
4

不等式证明的基本方法
知识点一：比较法
比较法是证明不等式的最基本最常用的方法，可分为作差比较法和作商比较法。
1、作差比较法
常用于多项式大小的比较，通过作差
变形（分解因式、配方、拆、拼项等）判断

符号（判断差与0的大小关系）得结论（确定被减式与减式的大小.
理论依据：

①
；②；③。

一般步骤：
第一步：作差；
第二步：变形；常采用配方、因式分解等恒等变形手段；
第三步：判断差的符号；就是确定差是大于零，还是等于零，小于零. 如果差的符号无
法确定，
应根据题目的要求分类讨论.
第四步：得出结论。
注意：其中判断差的符号是目的，变形是关键。

2、作商比较法
常用于单项式大小的比较，当两式同为正时，通过作商
变形（约分、化简）判断

商与1的大小得结论（确定被除式与除式的大小）.
理论依据：

若
、，则有①；②；③.

基本步骤:
第一步：判定要比较两式子的符号
第二步：作商
第三步：变形；常采用约分、化简等变形手段；
第四步：判定商式大于1或等于1或小于1。如果商与1的大小关系无法确定,应根据题
目的要求分类讨论.
第五步：得出结论。
注意：作商比较法一般适合含“幂”、“指数”的式子比较大小。

知识点二：分析法
分析法是从需要证明的命题出发，分析使这个命题成立的充分条件，逐步寻找使命题成
立的充分条件，直至所寻求的充分条件显然成立，或由已知证明成立，从而确定所证的命题
成立的一种方法.
思维过程：“执果索因”.
证明格式：要证……，只需证……，只需证……，因为……成立，所以原不等式得证。
适用题型：当所证的不等式的结论与所给条件间联系不明确，常常采用分析法证明不等
式。
5

知识点三：综合法
综合法是从命题的已知条件出发，利用公理、已知的定义及定理，逐步推导，从而最后
导出要证明的命题。
思维过程：“执因索果”
适用题型：当所证的不等式的条件形式或不等式两端的形式与不等式的性质、定理有直
接联系时，常常采用综合法证明不等式.

知识点四：反证法
反证法首先假设要证明的命题是不正确的，然后利用公理，已知的定义、定理，命题的
条件逐步分析，得到和命题的条件或公理、定理、定义及明显成立的事实等矛盾的结论，以
此说明假设的结论不成立，从而原来的结论正确。
适用题型：适合证明“存在性问题、唯一性问题”，带有“至少有一个”或“至多有一
个”等字样的数学问题.
理论依据：命题“p”与命题“非p”一真、一假。
注意：反证法解题的实质是否定结论导出矛盾，从而说明原结论正确。在否定结论时，
其反面要找对、找全.

知识点五：放缩法
放缩法是指在证明不等式时，有时需要将所需证明的不等式的值适当的放大（或缩小），
以此来简化不等式，达到证明的目的。
理论依据：不等式的传递性：a>b,b>ca>c，找到不等号的两边的中间量，从而使不
等式成立。
注意：应用放缩法时，放大（缩小）一定要适当。

规律方法指导
1、不等式证明的常用方法：
比较法，综合法，分析法，反证法，放缩法，换元法等。

2、反证法的证明步骤：
①否定结论：假设命题的结论不成立，即结论的反面成立；
②推出矛盾：由结论反面成立出发，通过一系列正确的推理，导出矛盾；
③否定假设：由正确的推导导出了矛盾，说明假设不成立；
④肯定结论：原命题正确。

3、放缩法的常用技巧：
①在恒等式中舍掉或者加进一些项；
②在分式中放大或缩小分子或分母；

例如：
③应用函数的单调性、有界性等性质进行放缩；
例如：f(x)为增函数，则f(x-1)④应用基本不等式进行放缩。

例如：若
，则有；
6

若，则有。
这两个结论是实现“累差法”、“累商法”、“降幂”等转化的重要手段
经典例题透析
类型一：比较法证明不等式

1、用作差比较法证明下列不等式：
（1）；

（2）
(a，b均为正数，且a≠b)

思路点拨：（1）中不等号两边是关于a,b,c的多项式，作差后因式分解的前途不大光明，
但注意到如a
2, b2
, ab这样的结构，考虑配方来说明符号；（2）中作差后重新分组进行因式

分解。
证明：

（1）

当且仅当a=b=c时等号成立，
（当且仅当a=b=c取等号）.

（2）

∵a>0, b>0, a≠b,
∴a+b>0, (a-b)
2
>0,

∴，
∴.
总结升华：作差，变形（分解因式、配方等），判断差的符号，这是作差比较法证明不
等式的常用方法。

举一反三：
【变式1】证明下列不等式：
(1)a
2+b2
+2≥2(a+b)
7

(2)a2+b2+c2+3≥2(a+b+c)
(3)a2+b2≥ab+a+b-1

【变式2】已知a，b∈
，x，y∈，且a+b=1，求证：ax2+by2≥(ax+by)

2

2、用作商比较法证明下列不等式：
（1） (a，b均为正实数，且a≠b)

（2）（a，b，c∈，且a，b，c互不相等）
证明：
（1）∵a
3+b3>0, a2b+ab2
>0.

∴，
∵a, b为不等正数，∴
，∴

∴

（2）证明：
不妨设a>b>c，则

∴
所以，
总结升华：当不等号两边均是正数乘积或指数式时，常用这种方法，目的是约分化简. 作
商比较法的基本步骤:判定式子的符号并作商变形 判定商式大于1或等于1或小于1
结论。