高中数学第二章平面解析几何初步.直线的方程..直线方程的概念与直线的斜率课件人教版B版
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高中数学第2章平面解析几何2.2直线及其方程2.2.3两条直线的位置关系第2课时两条直线的垂直课件新
解
(2)A，B 两点在直线 l 的同侧，P 是直线 l 上的一点， 则||PB|－|PA||≤|AB|， 当且仅当 A，B，P 三点共线时， ||PB|－|PA||取得最大值，为|AB|， 点 P 即是直线 AB 与直线 l 的交点， 又直线 AB 的方程为 y＝x－2， 解yx＝ －x2－y＋28，＝0， 得xy＝ ＝1120， ， 故所求的点 P 的坐标为(12,10).
2．常用对称的特例 (1)A(a，b)关于 x 轴的对称点为 A′(a，－b)； (2)B(a，b)关于 y 轴的对称点为 B′(－a，b)； (3)C(a，b)关于直线 y＝x 的对称点为 C′(b，a)； (4)D(a，b)关于直线 y＝－x 的对称点为 D′(－b，－a)； (5)P(a，b)关于直线 x＝m 的对称点为 P′(2m－a，b)； (6)Q(a，b)关于直线 y＝n 的对称点为 Q′(a,2n－b)．
解
题型四 平行与垂直的综合应用
例 4 已知 A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四点，若顺次连接 A，B，
C，D 四点，试判定图形 ABCD 的形状．
[解] 由题意知 A，B，C，D 四点在坐标平面内的位置，如图所示，由
斜率公式可得
kAB＝2－5－－34＝13，
kCD＝－0－ 3－36＝13，
mn－－02＝－2， 则
m＋2 n＋0 2 －2· 2 ＋8＝0，
解得mn＝＝8－，2，
故 A′(－2,8)．
解
因为 P 为直线 l 上的一点， 则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|， 当且仅当 B，P，A′三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值，为|A′B|，点 P 即是直线 A′B 与直线 l 的交点， 解xx＝ －－ 2y＋2，8＝0， 得xy＝ ＝－ 3，2， 故所求的点 P 的坐标为(－2,3)．
(2)A，B 两点在直线 l 的同侧，P 是直线 l 上的一点， 则||PB|－|PA||≤|AB|， 当且仅当 A，B，P 三点共线时， ||PB|－|PA||取得最大值，为|AB|， 点 P 即是直线 AB 与直线 l 的交点， 又直线 AB 的方程为 y＝x－2， 解yx＝ －x2－y＋28，＝0， 得xy＝ ＝1120， ， 故所求的点 P 的坐标为(12,10).
2．常用对称的特例 (1)A(a，b)关于 x 轴的对称点为 A′(a，－b)； (2)B(a，b)关于 y 轴的对称点为 B′(－a，b)； (3)C(a，b)关于直线 y＝x 的对称点为 C′(b，a)； (4)D(a，b)关于直线 y＝－x 的对称点为 D′(－b，－a)； (5)P(a，b)关于直线 x＝m 的对称点为 P′(2m－a，b)； (6)Q(a，b)关于直线 y＝n 的对称点为 Q′(a,2n－b)．
解
题型四 平行与垂直的综合应用
例 4 已知 A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四点，若顺次连接 A，B，
C，D 四点，试判定图形 ABCD 的形状．
[解] 由题意知 A，B，C，D 四点在坐标平面内的位置，如图所示，由
斜率公式可得
kAB＝2－5－－34＝13，
kCD＝－0－ 3－36＝13，
mn－－02＝－2， 则
m＋2 n＋0 2 －2· 2 ＋8＝0，
解得mn＝＝8－，2，
故 A′(－2,8)．
解
因为 P 为直线 l 上的一点， 则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|， 当且仅当 B，P，A′三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值，为|A′B|，点 P 即是直线 A′B 与直线 l 的交点， 解xx＝ －－ 2y＋2，8＝0， 得xy＝ ＝－ 3，2， 故所求的点 P 的坐标为(－2,3)．
辽宁省北票市高中数学第二章平面解析几何初步2.2.1直线方程的一般形式课件新人教B版必修2
例3:
设直线
l 的方程为(a＋1)x＋y＋2－a=0(a∈R)． （1）若 l 在两坐标轴上的截距相等，求 l 的方程； （2）若 l 不经过第二象限，求实数a的取值范围．
解析:（1）当直线过原点时，该直线在 x 轴 y 轴上的截距都为零，当然相等，此 时a=2,方程为3x+y=0.
即 a+1=1, ∴a=0 , 所以，
不垂直于x,y轴 的直线 不过原点的直线
x轴上截距a y轴上截距b
（x0 , y0） 过点 与x轴垂直的直线可表示成 x x0，
（x0 , y0） 与y轴垂直的直线可表示成 y y0。 过点
（二）填空 1．过点(2,1)，斜率为2的直线的 方程是____________ y-1=2(x-2) 2．过点(2,1)，斜率为0的直线方 y=1 程是___________ 3．过点(2,1)，斜率不存在的直 x=2 线的方程是_________
求直线的一般式方程 Ax By C 0(在A, B都不为零时)
的斜率和截距的方法：
A （1）直线的斜率 k＝－ B （2）直线在y轴上的截距b C C y 令x=0，解出 值，则 b B B (3) 直线与x轴的截距a 令y=0，解出 x C 值，则 a C A A
直线的位置的影响
探究：在方程 Ax By C 0 中，
1.当 A 0，B 0，C 0 时，方程表示的直线与x轴 平行
；
2.当 A 0，B 0，C为任意实数 时，方程表示的直线与x轴垂直； 3.当 时，方程表示的直线与x轴______ ； A 0，B 0，C 0 重合 4.当 时，方程表示的直线与y轴重合 ；
或
(a 1) 0 a 2 0
2017年高中数学第二章平面解析几何初步2.2直线的方程2.2.1直线方程的概念与直线的斜率课件新人教B版必修2
其中正确命题的个数是(
A.3 B.2 C.1 D.0
������
������2 -������1
)
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
解析:根据倾斜角定义知,①正确;倾斜角 θ 的范围为 0°≤θ<180°,故②不正确;当 x1=x2 时,直线 P1P2 的斜率 k 不存在, 不能用公式 k=
������2 -������1 ������2 -������1
求解,故③不正确;当 B=0 时,直线斜率不存在,
故④不正确.故选 C.
答案:C
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
反思 斜率与倾斜角是直线中最基本的概念,正确理解斜率与倾斜 角的概念是解答本题的基础,要注意直线的斜率与倾斜角的对应关 系,还有斜率公式是有使用范围的,直线与x轴垂直时斜率不存在.
题型一
=
������' . ������
又由图易知Δy'>Δy,故kPM>kPQ.
显然直线PM相对于x轴正方向比直线PQ相对于x轴正方向倾斜 程度要大.比如某人从点P沿直线PQ到达点Q,相对于从点P沿直线 PM到达点M来说,此人会感到沿直线PM走比沿直线PQ走更费劲. 一般地,直线斜率为k,|k|越大,直线相对于x轴倾斜程度越大;反之 |k|越小,直线相对于x轴倾斜程度越小.
题型五
题型一
概念辨析题
【例1】 下列四个命题: ①一条直线向上的方向与x轴正向所成的角,是这条直线的倾斜 角; ②直线l的倾斜角要么是锐角,要么是钝角; ������2 -������1 ; ③已知直线l经过P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点,则直线l的斜率 k=
A.3 B.2 C.1 D.0
������
������2 -������1
)
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
解析:根据倾斜角定义知,①正确;倾斜角 θ 的范围为 0°≤θ<180°,故②不正确;当 x1=x2 时,直线 P1P2 的斜率 k 不存在, 不能用公式 k=
������2 -������1 ������2 -������1
求解,故③不正确;当 B=0 时,直线斜率不存在,
故④不正确.故选 C.
答案:C
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
反思 斜率与倾斜角是直线中最基本的概念,正确理解斜率与倾斜 角的概念是解答本题的基础,要注意直线的斜率与倾斜角的对应关 系,还有斜率公式是有使用范围的,直线与x轴垂直时斜率不存在.
题型一
=
������' . ������
又由图易知Δy'>Δy,故kPM>kPQ.
显然直线PM相对于x轴正方向比直线PQ相对于x轴正方向倾斜 程度要大.比如某人从点P沿直线PQ到达点Q,相对于从点P沿直线 PM到达点M来说,此人会感到沿直线PM走比沿直线PQ走更费劲. 一般地,直线斜率为k,|k|越大,直线相对于x轴倾斜程度越大;反之 |k|越小,直线相对于x轴倾斜程度越小.
题型五
题型一
概念辨析题
【例1】 下列四个命题: ①一条直线向上的方向与x轴正向所成的角,是这条直线的倾斜 角; ②直线l的倾斜角要么是锐角,要么是钝角; ������2 -������1 ; ③已知直线l经过P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点,则直线l的斜率 k=
高中数学必修2第2章211直线的斜率课件(31张)_1
(2)设直线 l 过坐标原点，它的倾斜角为 α，如果将直线 l 绕坐 标原点按逆时针方向旋转 45°，得到直线 l1，那么 l1 的倾斜角 为__当__0_°__≤__α_＜__1_3_5_°__时__，__倾___斜__角__为__α_＋__4_5_°__，__当__1_3_5_°__≤__α___ _＜__1_8_0_°__时__，__倾___斜__角__为__α_－__1_3_5_°________ (3)已知直线 l1 的倾斜角 α1＝15°，直线 l1 与 l2 交点为 A，直线 l1 和 l2 向上的方向之 间所成的角为 120°，如图所示，则直线 l2 的倾斜角为__1_3_5_°___． (链接教材 P79 倾斜角定义)
[解析] (1)上述说法中，⑤正确，其余均错误，原因是： ①与 x 轴垂直的直线倾斜角为 90°，但斜率不存在； ②举反例说明，120°＞30°，但 tan 120°＝－ 3＜tan 30°＝ 33； ③平行于 x 轴的直线的倾斜角为 0°； ④如果两直线的倾斜角都是 90°，那么两直线的斜率都不存在， 也就谈不上相等．
2．已知点 A(1,2)，若在坐标轴上有一点 P，使直线 PA 的倾斜 角为 135°，则点 P 的坐标为____(_3_,0_)_或__(_0_,3_)_____． 解析：由题意知 kPA＝－1，设 x 轴上点(m,0)，y 轴上点(0，n)， 由m0－－21＝n0－－12＝－1，得 m＝n＝3.
[解] 如图，由斜率公式可知 kPA＝1－1－－23＝－4，kPB＝11－－－－23＝34. 要使直线 l 与线段 AB 相交，则直线 l 的斜率 k 的取值范围是
(－∞，－4]∪34，＋∞.
[感悟提高] (1)本题关键是利用图形找到斜率变化的区间；画 出图形，借助图形可以看出，若直线 l 与线段 AB 有公共点， 则倾斜角应介于直线 PA，PB 的倾斜角之间，故斜率的变化范 围也随之确定． (2)借助图形，用运动变化的观点看问题，是这类题的一般解 法．本题容易把直线 l 的倾斜角介于直线 PA，PB 的倾斜角之 间与斜率介于二者之间混为一谈，得出错误答案为－4≤k≤34， 因此应注意倾斜角为 90°的“跨越”．
高中数学第二章平面解析几何2.2直线及其方程2.2.1直线的倾斜角与斜率课件新人教B版选择性必修
课程标准
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念;
2.经历用代数的方法刻画直线斜率的过程;
3.掌握过两点的直线斜率的计算公式并能解决相关的实际问题;
4.理解直线的方向向量和法向量的概念,并能找出其与直线斜率和倾斜角
的内在联系.
目录索引
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
成果验收·课堂达标检测
m=1.
变式探究1本例条件不变,试求直线l的倾斜角为锐角时实数m的取值范围.
解 因为直线l的倾斜角为锐角,所以直线的斜率大于0,即
-2
>0,解得
1-
1<m<2.
故m的取值范围为(1,2).
变式探究2若将本例中的“N(2m,1)”改为“N(3m,2m)”,其他条件不变,结果如
何?
解 (1)因为直线l的斜率是1,所以
1.求解一条直线的方向向量、法向量、斜率、倾斜角问题,一
定要明确其定义.
2.利用相应的计算公式以及理解它们之间的内在联系,尤其是可以根据方
向向量进而得出法向量,也可以根据方向向量求斜率.
变式训练3[北师大版教材习题]已知直线l的斜率为-2,求直线l的一个方向
向量的坐标.
解 直线l的一个方向向量的坐标为(1,-2).
2-(-1)
=1,所以m=2.
3-( + 1)
(2)因为直线l的倾斜角为90°,所以直线l的斜率不存在,所以m+1=3m,所以
m= 1 .
2
规律方法
通过本例的求解,一定要熟练地掌握直线的斜率与倾斜角的对
应关系,若直线斜率存在,则除了斜率公式之外还可以应用k=tan α(其中α为
直线的倾斜角,k为直线的斜率),斜率为零和斜率不存在时对应的情况要引
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念;
2.经历用代数的方法刻画直线斜率的过程;
3.掌握过两点的直线斜率的计算公式并能解决相关的实际问题;
4.理解直线的方向向量和法向量的概念,并能找出其与直线斜率和倾斜角
的内在联系.
目录索引
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
成果验收·课堂达标检测
m=1.
变式探究1本例条件不变,试求直线l的倾斜角为锐角时实数m的取值范围.
解 因为直线l的倾斜角为锐角,所以直线的斜率大于0,即
-2
>0,解得
1-
1<m<2.
故m的取值范围为(1,2).
变式探究2若将本例中的“N(2m,1)”改为“N(3m,2m)”,其他条件不变,结果如
何?
解 (1)因为直线l的斜率是1,所以
1.求解一条直线的方向向量、法向量、斜率、倾斜角问题,一
定要明确其定义.
2.利用相应的计算公式以及理解它们之间的内在联系,尤其是可以根据方
向向量进而得出法向量,也可以根据方向向量求斜率.
变式训练3[北师大版教材习题]已知直线l的斜率为-2,求直线l的一个方向
向量的坐标.
解 直线l的一个方向向量的坐标为(1,-2).
2-(-1)
=1,所以m=2.
3-( + 1)
(2)因为直线l的倾斜角为90°,所以直线l的斜率不存在,所以m+1=3m,所以
m= 1 .
2
规律方法
通过本例的求解,一定要熟练地掌握直线的斜率与倾斜角的对
应关系,若直线斜率存在,则除了斜率公式之外还可以应用k=tan α(其中α为
直线的倾斜角,k为直线的斜率),斜率为零和斜率不存在时对应的情况要引
高中数学 2.1.1 直线的倾斜角和斜率课件 北师大版必修
(2)如图，已知 A(3,2)，B(－4,1)，C(0， －1)，求直线 AB，BC，AC 的斜率；
(3)求经过两点 A(a,2)，B(3,6)的直线的斜率． [思路分析] 利用斜率公式 k＝tanα 和 k＝yx22－ －yx11(x1≠x2)来 解决．
[规范解答] (1)k1＝tan30°＝ 33，k2＝tan45°＝1. (2)直线 AB 的斜率 kAB＝－1－ 4－23＝17； 直线 BC 的斜率 kBC＝0－－1－ －14＝－42＝－12； 直线 AC 的斜率 kAC＝2－3－－01＝33＝1. (3)当 a＝3 时，斜率不存在． 当 a≠3 时，直线的斜率 k＝3－4 a.
• 2．若直线x＝3的倾斜角为α，则α( )
• A．等于0°
B．等于45°
• C．等于90° D．不存在
• [答案] C
• [解析] ∵x＝3的斜率不存在，∴α＝90°，选C.
3．已知点 A(－1， 3)，B(1,3 3)，则直线 AB 的倾斜角是
() A．60°
B．30°
C．120°
D．150°
• [答案] A
[解析] k＝31－3－－13 ＝ 3，则直线 AB 的倾斜角是 60°.
• 4．正三角形的一条高线在y轴上，则三边所在直线的倾斜角 分别为__________．
• [答案] 0°，60°，120°
• [解析] 根据正三角形(高线、中线、角平分线)合一的性质 可知两条腰所在直线的倾斜角分别为60°和120°，底边所 在直线与x轴平行或重合，故倾斜角为0°.
• 直线的倾斜角和斜率的关系
a 为何值时，过点 A(2a,3)，B(2，－1)的直线的 倾斜角是锐角？钝角？直角？
• [思路分析] 根据倾斜角与斜率的关系解决本题．若直线的 倾斜角是锐角，则k>0，若为钝角，则k<0，若为直角，则 斜率不存在．
(3)求经过两点 A(a,2)，B(3,6)的直线的斜率． [思路分析] 利用斜率公式 k＝tanα 和 k＝yx22－ －yx11(x1≠x2)来 解决．
[规范解答] (1)k1＝tan30°＝ 33，k2＝tan45°＝1. (2)直线 AB 的斜率 kAB＝－1－ 4－23＝17； 直线 BC 的斜率 kBC＝0－－1－ －14＝－42＝－12； 直线 AC 的斜率 kAC＝2－3－－01＝33＝1. (3)当 a＝3 时，斜率不存在． 当 a≠3 时，直线的斜率 k＝3－4 a.
• 2．若直线x＝3的倾斜角为α，则α( )
• A．等于0°
B．等于45°
• C．等于90° D．不存在
• [答案] C
• [解析] ∵x＝3的斜率不存在，∴α＝90°，选C.
3．已知点 A(－1， 3)，B(1,3 3)，则直线 AB 的倾斜角是
() A．60°
B．30°
C．120°
D．150°
• [答案] A
[解析] k＝31－3－－13 ＝ 3，则直线 AB 的倾斜角是 60°.
• 4．正三角形的一条高线在y轴上，则三边所在直线的倾斜角 分别为__________．
• [答案] 0°，60°，120°
• [解析] 根据正三角形(高线、中线、角平分线)合一的性质 可知两条腰所在直线的倾斜角分别为60°和120°，底边所 在直线与x轴平行或重合，故倾斜角为0°.
• 直线的倾斜角和斜率的关系
a 为何值时，过点 A(2a,3)，B(2，－1)的直线的 倾斜角是锐角？钝角？直角？
• [思路分析] 根据倾斜角与斜率的关系解决本题．若直线的 倾斜角是锐角，则k>0，若为钝角，则k<0，若为直角，则 斜率不存在．
新教材2023版高中数学第二章平面解析几何2.2直线及其方程2.2.2直线的方程课件
过线段AB的中点的直线方程为________．
答案：2x－y＋1＝0
y−3
解析：AB的中点坐标为(1，3)，由直线的两点式方程可得
5−3
x−1
＝ ，即2x－y＋1＝0.
2−1
(2)已知直线l过点(1，2)，且在纵坐标轴上的截距为横坐标轴上的截
距的两倍，则直线l的方程为(
)
A．2x－y＝0
B．2x＋y－4＝0
一般式
B、C的值
＋B2≠0)
坐标轴 平
直 线 l 不 与 ________
行或重合，且不过
________
原点
平面内任何一条直线
状元随笔 直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程均能化为
一般式方程吗？
[提示] 是．
基础自测
1．方程y－y0＝k(x－x0)(
)
A．可以表示任何直线
B．不能表示过原点的直线
方程．
状元随笔 如何判断点P(2，1)是否在直线y＝x－1上？
[提示] 把点的坐标代入方程，若满足方程，点就在直线上，反之，
不在直线上．
知识点二
直线方程的几种形式
形式
条件
直线l上一点P(x0 ，
点斜式
y0)及斜率k
直线l的斜率k及在y
斜截式
轴上的截距b
直线l上两点A(x1 ，
两点式
y1)，B(x2，y2)
关于x，y的二元一次方程，此时方程中y的系数为0.
2．每一个关于x，y的二元一次方程Ax么？
[提示] 能表示一条直线，原因如下：当B≠0时，方程Ax＋By＋C
A
C
C
A
＝0可变形为y＝－ x－ ，它表示过点 0， − ，斜率为－ 的直线．
答案：2x－y＋1＝0
y−3
解析：AB的中点坐标为(1，3)，由直线的两点式方程可得
5−3
x−1
＝ ，即2x－y＋1＝0.
2−1
(2)已知直线l过点(1，2)，且在纵坐标轴上的截距为横坐标轴上的截
距的两倍，则直线l的方程为(
)
A．2x－y＝0
B．2x＋y－4＝0
一般式
B、C的值
＋B2≠0)
坐标轴 平
直 线 l 不 与 ________
行或重合，且不过
________
原点
平面内任何一条直线
状元随笔 直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程均能化为
一般式方程吗？
[提示] 是．
基础自测
1．方程y－y0＝k(x－x0)(
)
A．可以表示任何直线
B．不能表示过原点的直线
方程．
状元随笔 如何判断点P(2，1)是否在直线y＝x－1上？
[提示] 把点的坐标代入方程，若满足方程，点就在直线上，反之，
不在直线上．
知识点二
直线方程的几种形式
形式
条件
直线l上一点P(x0 ，
点斜式
y0)及斜率k
直线l的斜率k及在y
斜截式
轴上的截距b
直线l上两点A(x1 ，
两点式
y1)，B(x2，y2)
关于x，y的二元一次方程，此时方程中y的系数为0.
2．每一个关于x，y的二元一次方程Ax么？
[提示] 能表示一条直线，原因如下：当B≠0时，方程Ax＋By＋C
A
C
C
A
＝0可变形为y＝－ x－ ，它表示过点 0， − ，斜率为－ 的直线．
最新 公开课课件 2.2.1《直线方程的概念与直线的斜率》ppt课件
正向 向上 ________的方向所 4．x轴________ 与直线 成的角叫做这条直线的倾斜角，垂直于 90° x轴的直 线倾斜角为________． 我们规定：与x轴平行或重合的直线的倾斜角为 0°，倾斜角的范围是[0°，180°)． 5．直线的斜率和倾斜角反映了直线相对于 x轴 | k| 的倾斜程度，________ 越大，直线的倾斜程 >0 ＝0 度越大． 不存在 <0 α＝0°时，k________；0°<α<90°时， k________；α＝90°时，k________； 90°<α<180°时，k________.
[答案] C
[ 解析]
由题意得，kAB＝kAC，
3－2 y－2 ∴ ＝ ，解得 y＝1. －2－1 4－1
4．经过A(a，b)和B(3a,3b)(a≠0)两点的直 线的斜率k＝____________.
[ 答案] b a
[ 解析]
3b－b b ∵a≠0，∴斜率 k＝ ＝ . 3a－a a
5．若过点A(2，－1)与B(a,1)的直线的倾斜 角为锐角，则a的取值范围是________． [答案] (2，＋∞)
[解析] 由倾斜角α∈[0°，180°)知②错； 又平行于x轴的直线的倾斜角是0°， 这样的直线有无数条，故③④错； 只有①是正确的．
3．(2015· 河南洛阳高一期末测试)已知点 A(1,2)、B(－2,3)、 C(4，y)在同一条直线上，则 y 的值为( A．－1 C．1 1 B．2 3 D．2 )
1.经过点M(－2，m)、N(m,4)的直线的斜率 等于1，则m的值为( ) A．1 B．4 C．1或3 D．1或4 [答案] A
[ 解析] 4－m 由题意知， ＝1，∴m＝1. m＋2