习题变式的途径和方法
变式教学在习题课中的运用_朱卫红
3.思维能力的培养要贯穿数学教学的全过程数学教学过程，不是单纯地传授和学习知识的过程，而是促进学生全面发展（包括思维能力的发展）的过程。
从中学数学教学过程来说，数学知识和技能的掌握与思维能力的发展也是密不可分的。
一方面，学生在理解和掌握数学知识的过程中，特别是探求新知过程中，不断地运用着各种思维方法和形式，如比较、分析、综合、抽象、概括、判断、推理。
另一方面，在学习数学知识时，为运用思维方法和形式提供了具体的内容和材料。
这样说，绝不能认为教学数学知识、技能的同时，会自然而然地培养学生的思维能力。
数学知识和技能的教学只是为培养学生思维能力提供有利的条件，还需要在教学时有意识地充分利用这些条件，并且根据学生年龄特点有计划地加以培养，才能达到预期的目的。
如果不注意这一点，教法违背激发学生思考的原则，则不仅不能促进学生思维能力的发展，相反地还有可能逐步使学生养成死记硬背的不良习惯。
（1）培养学生思维能力要贯穿在中学阶段各个年级的数学教学中要明确各年级都担负着培养学生思维能力的任务。
从低年级一开始就要注意有意识地培养学生的抽象、概括能力，以及分析、综合的能力。
如果不注意引导学生去思考，从一开始就有可能不自觉地把学生引向死记数的组成，机械地背诵加、减法得数的道路上去。
而在低年级养成了死记硬背的习惯，以后就很难纠正。
（2）培养学生思维能力要贯穿在每一节课的各个环节中在教学中我看到，有的老师也注意发展学生思维能力，但不是贯穿在一节课的始终，而是在一节课最后出一两道稍难的题目来作为训练思维的活动，或者专门上一节思维训练课。
这种把培养思维能力只局限在某一节课内或者一节课的某个环节中的做法，是值得研究的。
当然，在教学过程中始终注意培养思维能力的前提下，为了掌握某一特殊内容或特殊方法进行这种特殊的思维训练是可以的，但是不能以此来代替教学全过程发展思维能力的任务。
（3）培养思维能力要贯穿在各部分内容的教学中这就是说，在教学数学概念、计算法则、解答应用题或操作技能（如测量、画图等）时，都要注意培养思维能力。
“变式”数学中习题变式应注意的问题
“变式”数学中习题变式应注意的问题【摘要】数学关注学生的思维与表达，关注学生在足够的思维空间里培养思维能力，关注学生对于逻辑关系的推理和解决问题的思路训练。
故而数学往往都会利用“变式”的手段培养学生，使学生的思维面拓宽，善于从问题中发现，敢于从问题中创新。
“变式”数学，重点挖掘学生潜力，让学生从知识点的泥沼之中脱离出来，通过数学知识与实际问题结合认知，使学生对逻辑性的数学知识有更深的体会。
笔者就“变式”数学提出习题变式应该注意的问题，让学生有效利用习题训练思维、培养能力，供各位教师参考借鉴。
【关键词】“变式”数学；初中数学“变式”数学，在数学基本的知识点上进行创新的教学手段，由点及面，通过习题变式，联系知识点和数学思维，结合数学逻辑和解题思路，融合数学方法进行培养。
通过变式训练，反思总结，从浅显易懂到繁琐复杂的例子，由浅入深，逻辑层次和难度层次逐渐加大，让学生将学习落到实处，举一反三，不仅有效拓展训练，更有效缩短同一知识点讲解的时间，更有利于学生理解和接受，从而达到预期效果来提高教学效果。
提高学生的数学修养水平，培养学生的数学能力，让学生学会解决问题。
一、以知识内容为基础，变式巩固练习基础知识的内容是学习的根基，学习的提升从基本知识点的理解后，进行知识点的框架搭造。
学生在学习的过程中，对较为简单的知识内容，比如基本概念、数学定理的条件、数学结论的推导等，往往由于简单而粗心应对，失去挑战和进一步深入的思考。
利用变式练习可以加深学生对于知识点的理解，从变式中拓展思维，巩固练习。
如：[例题]请求出9的平方根是( )[变式1] : 请分别求出9的正的平方根和负的平方根是（）[变式2] :已知x的平方根是9，则x=( )从这个练习当中，该题的考点主要是平方根的概念知识，在考试题中属于最简单的内容，然而学生对于概念知识模糊，通常容易由于理解不够透彻而在考试中失分，在经过变式练习够，学生可以围绕平方根的基本内容进行深入辨析，一个非负数的平方跟有两个，正的平方根和负的平方根。
小学高年级数学教学中的习题＂变式＂的应用
二、 题 目结构 中 的“ 变”
与 ４的乘 法搭配 ， 这样不 仅给了学生～个 思考 的空 间 ， 巩 固 了潜 在 的知识 联系 ， 学会 了运 用一题多法解决 问题 ， 同时也 防止某些
少 种 不 同的 订 阅 方 法 ？ 同 的订 阅方 法 ？
２ ． 订阅三种不同的杂志 ， 无论如何都要订阅 １ 本。 有多少种不 法是正确的 ， 这毫无疑问。 这 两道题是小 学高年级 数学 问题 ， 对 比这两道 题 ， 解题 的方 知识 的影 响 ， 难 以发现新 的方法 ， 所 以， 教师在遇 到这种情况 时 ，
六年级 “ 比例 的基本性质” 的时候 ， 可以一步一步进行变式教学 。 已知 ６ ￣ ＝ ８ ｙ ， 求 ： （
（
强有力 的保证 ， 是提高学 生学 习效率 的有效 手段 ， 同时 ， “ 变式” 教
参 考 文献 ：
） ： 就本题来说 ， 还有另外 的解题 方法。有的学生 由于被新
． ４ 拆 分为（ ４ ＋ Ｏ ． ４ ） 进行计算 ， 在分别乘 以 ２ ． ５ ， 这样 例如： 在教学 五年级“ 解决 问题 的策略 ” 习题课 时 ， 有这样 的 先都会想到将 ４ ０ ＋ １ ＝ １ １ ” ， 由于特定的看见 ２ ５就会想起和 ４搭 配相乘 ， 得到的结 １ ． 订阅三种不 同的杂志 ， 最少订阅 １ 本， 最 多订 阅 ３本。有多 １
因此 ， 习题 的变式在小学 高年 级的数学教学课堂 中起着非 常
世界 中数量关 系及其 变化规律的探索等等 ， 有助于促进 学生对数 重要 的作用 ， 要 重视 “ 变式” 在教学 中的运用 。合理恰 当的变式 习
中职排列组合一题多变变式题教案
中职排列组合一题多变变式题教案一、课题排列组合一题多变二、教学目标1. 知识与技能目标学生能够理解排列组合的基本概念和原理。
掌握排列组合的计算方法，并能熟练运用解决问题。
2. 过程与方法目标通过一题多变的练习，培养学生的思维灵活性和创新能力。
提高学生分析问题、解决问题的能力，以及逻辑推理能力。
3. 情感态度与价值观目标激发学生对数学的兴趣，增强学习数学的自信心。
培养学生严谨的治学态度和勇于探索的精神。
三、教学重点1. 教学重点排列组合的基本概念和计算方法。
一题多变的解题思路和方法。
2. 教学难点灵活运用排列组合知识解决复杂问题。
如何引导学生从不同角度对题目进行变式和拓展。
四、教学方法讲授法、讨论法、练习法五、教学过程（一）导入（5 分钟）教师：同学们，在前面的课程中我们学习了排列组合的知识，今天我们将通过一题多变的方式来加深对这部分内容的理解和应用。
来看这样一道题目：课本原文：从 5 个不同的元素中取出 3 个元素的排列数是多少？教师讲解：根据排列数的公式：$A_{n}^m = n! / (n m)!$，那么从 5 个不同元素中取出 3 个元素的排列数为$A_{5}^3 = 5! / (5 3)! = 5×4×3 = 60$。
（二）原题讲解（5 分钟）学生讨论并回答。
教师总结：组合数的公式为$C_{n}^m = n! / [m!(n m)!]$，所以从 5 个不同元素中取出 3 个元素的组合数为$C_{5}^3 = 5! /[3!(5 3)!] = 10$。
（三）一变：元素个数变化（10 分钟）教师：我们再对题目进行变化，如果变为“从 6 个不同的元素中取出 3 个元素的排列数是多少？”大家动手算一算。
学生计算，教师巡视指导。
教师：哪位同学来说说你的答案和计算过程？学生回答。
教师：非常好，根据排列数公式可得$A_{6}^3 = 6! / (6 3)! = 120$。
（四）二变：取出元素个数变化（10 分钟）教师：那如果题目变为“从 5 个不同的元素中取出 2 个元素的排列数是多少？”同学们自己思考并计算。
在习题课中利用变式教学提高学生的解题能力
例如 ， 在人教版《 数学》 八年级下册 四
边 形 的 习 题课 中 ，课 本 复 习 题 １ 一 道 ９的 典 型 习 题 ：如 图 ）四 边 形 Ａ Ｃ （ Ｂ Ｄ是 正 方 形， 点 是 边 Ｂ Ｃ的 中 点 ， Ｅ ＝ ０ Ｅ ＬＡ Ｆ ９ 。，Ｆ
外角 的平分线上一点 ， ： ／Ａ Ｆ ６ 。 问 当 Ｅ ＝ ０
、
问题 的提 出
教 学 中 ， 师要 有 变 “ 教 材 ” “ 教 教 为 用 教 材 教 ” 意识 ， 教 材 中 的某 些 问 题 进 的 对
数 学 习题 课 是 让 学 生 训 练 解 题 技 能
技巧 ， 提高信息辨别能力 ， 发展思维 ， 达到
对 知 识 的理 解 、 固和 运 用 的 重 要 课 型 。 巩 以往 的习题课 一般 采用 的教 学流 程是 ：
学生还是束手无策 ， 出现解题错误。为提 高学生的纠错能力 ， 培养学生思维的批判
性 及 严 密 性 ， 典 型 易 错 题 进 行 变式 是很 对
有必要 的。
化但又不 太复杂 的题 目，去帮助学生 挖
掘 问 题 的各 个 方 面 ，使 得 通 过 这 道 题 就
为了激发 学生进一步探索的欲望 ， 可 将 问题 中的条件 、 结论 、 图形等作适 当变 式， 引导学生对 问题进行多角度 、 多方位、
立吗？
１ 习引入 ， ． 复 出示典型题 ；． ２学生探究 ， 概
括 方 法 ；． 层 训 练 ， 固方 法 ；． 展 延 ３ 分 巩 ４拓
变式四 ：条件 中的图形 、角度改变 ， （ 结 论 不变 ）将 上述 条 件 中的 “ 方 形 正
ＡＢ Ｄ 改 为 “ 三 角 形 Ａ Ｃ ， ＡＡ Ｃ Ｃ” 正 Ｂ ” Ｆ是 Ｂ
数学课堂教学中的变式教学
数学课堂教学中的变式教学变式教学是对教学中的概念，定理，习题进行不同角度、不同层次、不同情形、不同背景的变式，以暴露问题的本质，揭示不同知识点的内在联系的一种教学设计方法。
一、变式教学的意义1.运用变式教学，确保学生参与教学活动的持续的热情。
课堂教学效果很大程度上处决于学生的参与情况，这就首先要求学生有参与意识。
加强学生在课堂教学中的参与意识，使学生真正成为课堂教学的主人，是现代数学教学的趋势。
通过变式教学，使一题多用，多题重组，常给人以新鲜感，能够唤起学生好奇心和求知欲，因而能够产生主动参与的动力，保持其参与教学活动的兴趣和热情。
２.运用变式教学，培养学生思维的广阔性。
思维的广阔性是发散思维的又一特征。
思维的狭窄性表现在只知其一，不知其二，稍有变化，就不知所云。
反复进行一题多变的训练，是帮助学生克服思维狭窄性的有效办法。
可通过讨论，启迪学生的思维，开拓解题思路，在此基础上让学生通过多次训练，既增长了知识，又培养了思维能力。
教师在教学过程中，不能只重视计算结果，要针对教学的重难点，精心设计有层次、有坡度，要求明确、题型多变的练习题。
要让学生通过训练不断探索解题的捷径，使思维的广阔性得到不断发展。
要通过多次的渐进式的拓展训练，使学生进入广阔思维的佳境。
现在课本中，有一部分例题的“想一想”是把例题进行变式训练的，我们可以利用它们切实培养学生思维的广阔性。
3.运用变式教学，培养学生思维的深刻性。
变式教学是指变换问题的条件和结论，变换问题的形式，而不变换问题的本质，使本质的东西更全面。
使学生不迷恋于事物的表象，而能自觉地注意到从本质看问题，同时使学生学会比较全面地看问题，注意从事物之间的联系的矛盾上来理解事物的本质，在一定程度上可克服和减少思维中的绝对化而呈现的思维僵化及思维惰性。
4.运用变式教学，培养思维的创造性。
著名的数学教育家波利亚曾形象的指出：“好问题同某种蘑菇有些相像，它们都成堆地生长，找到一个以后，你应当在周围找一找，很可能附近就有好几个。
初中数学课堂例题变式
∴tan∠OCD=
OD OC
=
3 4
，
体会浅谈初中数学课堂上对例习题变式 有几个人患流感？第二轮中有几个传染
∵OC=4，∴OD=3，∴D（0，3）.
的几种形式，希望对大家有所帮助。
源？若在第二轮中还是一人传染给 n 人，
三、一题多变变式
关键词：初中数学 例题变式 解题 那么第二轮传染了几个人？两轮后共有多
有几个人患流感？第二轮中有几个传染 源？若在第二轮中还是一人传染给 2 人， 那么第二轮传染了几个人？两轮后共有多 少人患流感？
变式 2：若 1 人传染给 10 人，一轮后 有几个人患流感？第二轮中有几个传染 源？若在第二轮中还是一人传染给 10 人， 那么第二轮传染了几个人？两轮后共有多
∴
OD OA
JIAOXUEWENCUI 教学文萃 93
初中数学课堂例题变式
江苏省海门市海南中学 李 英
摘要：在初中数学教学过程中，我们 利快速地理解题意，可以变式成这样几个
解 法 2：（相 似 三 角 形） 由 翻 折 得
常常发现学生对一些曾经做过的或稍作 小题。
∠OCD=∠OBA ，∵∠COD=∠BOA =90毅，
掌握知识，对数学思想方法融会贯通，还 习题，使前后知识联系起来，有助于学生 意识和举一反三、触类旁通的变通能力，
能激发学生的求知欲望，发展学生获取新 熟练掌握教师所讲的数学知识，并拓展学 促进知识的迁移。
知识的能力。但变式并不意味着可以随意 生解题思维的广阔性和灵活性，从中掌握
案例 3：人教版“一元二次方程的根
=
OC OB
，
∴
OD 6
=
4 8
，∴OD=3，∴D(0，3)
解法 3：（锐角三角函数）由翻折得
变式题,基本题,综合题,发展题思考题的区别
变式题,基本题,综合题,发展题,思考题的区别
一、变式题
变式题是指所用的思想方法类似，但形式不同的一类问题。
变式题有这样几种：
1、变条件，得出一种新题。
2、条件不变，变结论，得出新题型。
3、常量变成变量，使问题复杂，通过讨论才能解决问题。
4、条件，结论都变化，解法不变，得出新题型。
变式练习是指在其他教学条件不变的情况下，变化概念和规则的例证。
变式练习是学习以产生式表征的程序性知识的必要条件。
变式练习是知识转化为技能的关键途径。
在概念学习中，指向学生呈现概念的正反例证让学生进行辨别判断；在规则学习中，指给学生呈现多种有变化的问题情景，要求学生运用规则解决。
二、基本题
数学基本题就是那些课本上刚讲的知识点,在这些知识点后面做的相关的那些题目,这些基本上是基础题。
三、综合题
很多知识参在一起的叫综合题。
四、发展题
表示有一定难度的题。
目的是让学生在掌握数学基础知识和基本技能的基础上,解决在生产,生活中具有一定难度的数学问题,提高与发展学生的数学应用能力以及数学思维能力。
五、思考题
一些更具有思维价值的一种特殊的习题。
思考题不只是能够巩固知识技能,还可以培养学生的综合能力,特别是对创新能力的培养更是起着积极的作用,思考题不局限于某一形式,某一题型,可以是实验探究,资料搜集,还可以是某一知识(现象或反应)的拓展。
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一题多变 变式
分解变式
题9
变式8:如图54,矩形DEFG的顶点D,E分别在直线l1 , l上，顶 2 点F,G都在 x 轴上，且点G与点B重合．已知Ａ(-4,0)，Ｂ (8,0)，Ｃ(5,6)，ＤＥ＝８。若作ＣＭ⊥x 轴，垂足为 Ｍ。若矩形DEFG从原点出发，沿 x轴的反方向以每秒1个 单位长度的速度平移，设移动时间为t 秒，矩形DEFG与
A
A
A O
O B P D
E
O D C
B P
D
C
C
B P
图 38
图 39
图 40
E
一题多变
；
结论变式
变式
……
题5
【题5】如图38，已知△ＡＢＣ是⊙Ｏ的内 接正三角形，Ｐ是劣弧ＢＣ上任意一点， 求证：ＰＡ=ＰＢ＋ＰＣ。
变式１： 求证：（１）∠ＢＡＣ＋∠ＢＰＣ＝１８０° （２）∠ＡＢＰ＋∠ＡＣＰ＝１８０° A
2 1
（3）若矩形DEFG从原点出发,沿 x轴的反方向以每秒1个 图 54 单位长度的速度平移，设移动时间为t ( 0 ≤ t ≤ 1 2 ) 秒，矩 形DEFG与△ABC重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关 系式，并写出相应的 t 的取值范围．
A
O
F （G） B x
一题多变 变式
分解变式
一题多解变式
A
证法8
E
A
12
证法9
F C
B
D
CB
图 6
3
D
A
图 1
证法11
12
证法10
4
BD CD
AB AC
B
D
C
E
图
8
题1
一题多解变式
A
M
BD CD
B D C
AB AC
B
A
C
D
图 1
图 9
三角形内角平分线 性质
三角形外角平分线 性质
题2
如图17，四边形ＡＢＣＤ是正方形，点Ｅ 是边ＢＣ的中点，∠ＡＥＦ=90，EF交正方 形外角的平分线ＣＦ于 Ｆ。 求证：ＡＥ=ＡＦ。（人教版八年级下册第 D A １３３页第１５题）
变式1:求证：AB=AC. 变式2:求证：BD=DC.
B
E D
图 41
F C
变式3:求证：∠DEB=∠DFC=90°． 假命题
一题多变 变式
图形变式
图形变式就是以基本图形为“生 长点”，通过将其变换、引申为相关 图形而得到变式题组，从而培养学生 对几何图形的识图能力、想象能力、 变换能力及思维的多向性和灵活性。
垂足分别为Ｅ，Ｆ。.求证四边形ＢＦＤＥ是平行四边形。（人 教版八年级下册第９６页例３）
图 30
一题多变
，
变式条件Biblioteka 式题4变式5：如图31，在□ＡＢＣＤ中，ＢＥ//ＤＦ，分别 交对角线ＡＣ于点Ｅ，Ｆ。.求证四边形ＢＦＤＥ是平 行四边形。(人教版八年级下册第121页第９题)（２０ ０９年湖南省长沙市中考） A E A A D D
一题多变
，
变式
条件变式
A E O F C
B F C
B E
题4
变式8：如图33，在□ＡＢＣＤ中，点Ｅ，Ｆ分别是Ａ Ｄ，ＢＣ的中点。.求证四边形ＢＦＤＥ是平行四边形。
D
A E D
A F D C
B
图 33
变式9：如图33，在□ＡＢＣＤ中，ＢＥ，ＤＦ分别平分 图 28 ∠.ＡＢＣ，∠ＡＤＣ，交ＡＤ，ＢＣ于点Ｅ，Ｆ。求证 四边形ＢＦＤＥ是平行四边形。（人教版八年级下册第 91页第６题） 变式10：如图34，在□ＡＢＣＤ中，ＡＥ⊥ＢC，ＣＦ ⊥ＡＤ，垂足分别为Ｅ，Ｆ。.求证四边形ＢＦＤＥ是 平行四边形。
题3
【题3】已知y是x的反比例函数， 当x=2时，y=6,求y与x的函数 关系式.(人教版八年级下册 第４７页例１)
一题多变
，
题3 变式１：（２００９昆明中考）如图 m 23，反比例函数 (m≠0)与一 y= x 次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象相交于 A、B两点，点A的坐标为(－6，2)， y 点B的坐标为(3，n)． 求反比例函数和 A 一次函数的解析式． x O
变式２：求证： (1) B D D C A D P D ； ( 2 ) P B P C P A P D
O B P D C
(3) A B
2
AD AP
(4) AC
2
AD AP
PA PC PC 2 PA PD 变式３：求证：
图 38
一题多变 变式
一题多变变式包括条件变式、结论 变式、逆向变式、图形变式、分解变式、 拓广变式、推广应用等。
一题多变 变式
条件变式
条件变式就是对某一题目的 条件进行变式，从而得到一类变 式题组。通过对变式题组的分析 解答，使学生掌握一类问题的题 型结构，加深对问题本质的认识， 提高解题能力。
一题多变 变式
条件变式
图 34
一题多变 变式
结论变式
结论变式就是在问题条件不变的 情况下，引导学生运用类比、联想等 发散思维，将问题的结论向横、纵方 向拓展，达到以点穿线、触类旁通之 目的，依此培养学生创新精神和实践 意识。
一题多变 变式
结论变式
题5
【题5】如图38，已知△ＡＢＣ是⊙Ｏ的内 接正三角形，Ｐ是劣弧ＢＣ上任意一点， 求证：ＰＡ=ＰＢ＋ＰＣ。
F B E C G
图17
题2
证法1
A M B E
图 18
一题多解变式
证法2
D F C G
证法3
D F
A D F B E C G
A
B
E
图 19
C N
G
H
图 20
证法6
A O D
证法5
2
A
D F
证法4
D F C G
A Q
F
B P
E
C
G
B
E
1
B
E
C
图 22
图 21
一题多变变式
一题多变变式，就是通过对某一题目进行 条件变换、结论探索、逆向思考、图形变化、 类比、分解、拓广等多角度、多方位的探究， 使一个题变为一类题，达到举一反三、触类旁 通的目的，培养学生良好的思维品质及探索、 创新能力。
E D O F C
B E F C
B F C
B
图 31 变式6：如图32，在□ＡＢＣＤ中，点Ｅ，Ｆ分别在ＡＤ， 图 28 ＢＣ上。且ＡＥ=ＣＥ。.求证四边形ＢＦＤＥ是平行四 边形。（人教版八年级下册第91页第４题）
图 32
变式7：如图32，在□ＡＢＣＤ中，ＢＥ//ＤＦ，分别 交ＡＤ，ＢＣ于Ｅ，Ｆ。.求证四边形ＢＦＤＥ是平行 四边形。
且Ｂ（8,0），求ＢＤ的长。 变式6:已知ＤＥ//x 轴，交直线 l 于点Ｅ， 2 且Ｄ(8,8),求ＤＥ的长.【DE=4】
一题多变 变式
分解变式
题9
变式7:如图54,矩形DEFG的顶点D,E分别在直线l1 , l 2上，顶 点F,G都在x 轴上，且点G与点B重合．已知Ａ(-4,0)，
Ｂ(8,0)，Ｃ(5,6)，ＤＥ＝4。若作ＣＭ⊥x 轴，垂 足为Ｍ，求ＭＡ。ＭＢ，ＭＦ的长。
一题多变 变式
图形变式
ＡＤ=ＣＢ.
D
题7
C
【题7】如图42（１），已知ＡＢ=ＣＤ,
求证：ＡＤ//ＢＣ A B 图42（１）是全等三角形中的基本图 形，也是四边形中非常重要的基本图形， 若对此图实施基本变换（平移、翻折、旋 转），便得到一串基本问题和中考题。
一题多变 变式
图形变式
平移 平移
题7
翻 折 平移 平移
变式
条件变式
B
图 23
一题多变
，
变式
条件变式
题3
变式2：（２００９北京）如图24，A、 m B两点在函数 y ( x 0 ) 的图象上. x 求 的值及直线AB的解析式； （答案：m=6, y=-x+7） ．
一题多变
，
变式
条件变式
题3
变式3： (2009贵阳)如图25，已知一次 函数y＝x＋1与反比例函数y＝的图象都 经过点(1，m)． (1)求反比例函数的关系式； (2)根据图象直接写出
的表达式；
（2）求点B的坐标．
一题多变
，
变式
条件变式
题3
变式5：（２００９内蒙古赤峰中考） 如图26，一次函数y=ax+b的图象与反比 k 例函数 y 的图象交于A、B两点，与 x x轴交于点C，与y轴交于点D， 已知OA=
10
，tan∠AOC=
1 3
，
点B的坐标为（m，-2）。 （1）求反比例函数的解析式
E O F C
求证四边形ＢＦＤＥ 是平行四边形。
B
图 28
（人教版八年级下册第87页例３）
一题多变
，
变式
条件变式
题4
变式1：如图29，□ＡＢＣＤ的对角线AC向 两个方向的延长至Ｅ，Ｆ，使ＡＥ=ＣＦ. 求证四边形ＢＦＤＥ是平行四边形。（人 教版八年级下册第120页第２题）
A E B O F C D
E A B D O C F
E 等边 B C
变等腰
D
等边变 正方形
B
A E
F C
图 44
D A F B M C
B
图 45
D
C
两个
图 43
E
O1
A O3
I
变三个
等边变 正方形
B O2 F G C
H
E
图 46
图 48