2020中考数学试题及答案分类汇编：圆
2020北京中考数学二模分类——圆综合(解析版)
2020北京中考数学二模分类——圆综合1．（2020•海淀区二模）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CE⊥AB于点E，⊙O 的切线BD交OC的延长线于点D．（1）求证：∠DBC＝∠OCA；（2）若∠BAC＝30°，AC＝2．求CD的长．【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，∠A+∠ABC＝90°，根据切线的性质得到∠DBC+∠ABC＝90°，得到∠A＝∠DBC，根据等腰三角形的性质、等量代换证明结论；（2）根据正切的定义求出BC，证明CD＝BC，得到答案．【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∵BD为⊙O的切线，∴AB⊥BD，∴∠DBC+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DBC，∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA，∴∠OCA＝∠DBC；（2）解：在Rt△ABC中，tan A＝，∴BC＝AC•tan A＝，由（1）可知，∠DBC＝∠BAC＝30°，由圆周角定理得，∠BOC＝2∠BAC＝60°，∴∠D＝30°，∴∠D＝∠DBC，∴CD＝BC＝．【点评】本题考查的是切线的性质、解直角三角形的知识，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．2．（2020•西城区二模）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，且＝，连接OC，BD，OD．（1）求证：OC垂直平分BD；（2）过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，连接AD，CD．①依题意补全图形；②若AD＝6，sin∠AEC＝，求CD的长．【分析】（1）由同弧所对的圆心角相等可得∠COD＝∠COB，再由等腰三角形的“三线合一“性质可得OD＝OB，从而问题得证；（2）①依照题意补全图形即可；②由切线的性质可得OC⊥CE；由同位角相等可证DB ∥CE；由等角的正弦值相等可得sin∠ABD＝sin∠AEC＝，从而可求得BD、AB、OA、OB和OC的值，由OC垂直平分BD，可得BF及DF的值；由三角形的中位线定理可得OF的值，进而求得CF的值，最后在Rt△CFD中，由勾股定理可得CD的长．【解答】解：（1）证明：∵＝，∴∠COD＝∠COB．∵OD＝OB，∴OC垂直平分BD；（2）①补全图形，如图所示：；②∵CE是⊙O的切线，切点为C，∴OC⊥CE于点C．记OC与BD交于点F，由（1）知OC⊥BD，∴∠OCE＝∠OFB＝90°．∴DB∥CE，∴∠AEC＝∠ABD．∵在Rt△ABD中，AD＝6，sin∠ABD＝sin∠AEC＝，∴BD＝8，AB＝10．∴OA＝OB＝OC＝5．由（1）可知OC平分BD，即DF＝BF，∴BF＝DF＝4，OF为△ABD的中位线，∴OF＝AD＝3，∴CF＝2．∴在Rt△CFD中，CD＝＝2．∴CD的长为2．【点评】本题考查了线段的垂直平分线的判定、切线的性质、解直角三角形、三角形的中位线定理及勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．3．（2020•东城区二模）如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，作OD⊥AB交AC于点D，延长BC，OD交于点F，过点C作⊙O的切线CE，交OF于点E．（1）求证：EC＝ED；（2）如果OA＝4，EF＝3，求弦AC的长．【分析】（1）连接OC，由切线的性质可证得∠ACE+∠A＝90°，又∠CDE+∠A＝90°，可得∠CDE＝∠ACE，则结论得证；（2）先根据勾股定理求出OE，OD，AD的长，证明Rt△AOD∽Rt△ACB，得出比例线段即可求出AC的长．【解答】（1）证明：连接OC，∵CE与⊙O相切，为C是⊙O的半径，∴OC⊥CE，∴∠OCA+∠ACE＝90°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA，∴∠ACE+∠A＝90°，∵OD⊥AB，∴∠ODA+∠A＝90°，∵∠ODA＝∠CDE，∴∠CDE+∠A＝90°，∴∠CDE＝∠ACE，∴EC＝ED；（2）解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△DCF中，∠DCE+∠ECF＝90°，∠DCE＝∠CDE，∴∠CDE+∠ECF＝90°，∵∠CDE+∠F＝90°，∴∠ECF＝∠F，∴EC＝EF，∵EF＝3，∴EC＝DE＝3，∴OE＝＝5，∴OD＝OE﹣DE＝2，在Rt△OAD中，AD＝＝2，在Rt△AOD和Rt△ACB中，∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠AOD，∴Rt△AOD∽Rt△ACB，∴，即，∴AC＝．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．4．（2020•朝阳区二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD＝CD，对角线AC经过点O，过点D作⊙O的切线DE，交BC的延长线于点E．（1）求证：DE∥AC；（2）若AB＝8，tan E＝，求CD的长．【分析】（1）如图，连接OD，根据圆周角定理得到∠ADC＝90°，根据等腰直角三角形的性质得到∠DOC＝90°，由切线的性质得到OD⊥DE，于是得到结论；（2）根据平行线的性质得到∠E＝∠ACB，解直角三角形即可得到结论．【解答】（1）证明：如图，连接OD，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∵AD＝CD，∴∠DOC＝90°，∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE，∴∠DOC+∠ODE＝180°，∴DE∥AC；（2）解：∵DE∥AC，∴∠E＝∠ACB，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，AB＝8，tan∠ACB＝，∴AC＝10，∵∠ADC＝90°，AD＝CD，∴△ACD是等腰直角三角形，∴CD＝AC＝5．【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．5．（2020•丰台区二模）如图，AB为⊙O的直径，C为AB延长线上一点，CD为⊙O的切线，切点为D，AE⊥CD于点E，且AE与⊙O交于点F．（1）求证：点D为的中点；（2）如果BC＝5，sin C＝，求AF的长．【分析】（1）证明OD∥AE可得结论．（2）在Rt△ODC中，根据sin∠C＝＝，求出半径r，再在Rt△AOH中，求出AH 即可解决问题．【解答】（1）证明：如图，连接OD，AD．∵CD是⊙O的切线，∴OD⊥EC，∵AE⊥EC，∴OD∥AE，∴∠ADO＝∠EAD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠OAD＝∠EAD，∴＝，即点D是的中点．（2）解：过点O作OH⊥AE于H，则AH＝HF．设OA＝OB＝OD＝r，∵∠ODC＝90°，∴sin∠C＝，∴＝，解得r＝，∵OH⊥AE，EC⊥AE，∴OH∥EC，∴∠AOH＝∠C，∴sin∠AOH＝sin∠C＝，∴＝，∴AH＝，∴AF＝2AH＝9．【点评】本题考查解直角三角形，圆周角定理，切线的性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．6．（2020•石景山区二模）如图，点A，B，C在⊙O上，D是弦AB的中点，点E在AB的延长线上，连接OC，OD，CE，∠CED+∠COD＝180°．（1）求证：CE是⊙O切线；（2）连接OB，若OB∥CE，tan∠CEB＝2，OD＝4，求CE的长．【分析】（1）根据垂直的定义得到∠ODB＝90°．得到∠OCE＝90°．根据切线的判定定理即可得到；（2）连接OB，延长CO，EA交于点F，如图，根据平行线的性质得到∠BOF＝∠ECO ＝90°，∠1＝∠E，解直角三角形得到BD＝2，，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：如图1，∵D是弦AB的中点，OD过圆心，∴OD⊥AB即∠ODB＝90°．∵在四边形ODEC中，∠CED+∠COD＝180°，∴∠OCE＝90°．又∵OC是⊙O的半径，∴CE是⊙O切线；（2）解：连接OB，延长CO，EA交于点F，如图，∵OB∥CE，∴∠BOF＝∠ECO＝90°，∠1＝∠E，在Rt△ODB中，，OD＝4，∴BD＝2，，在Rt△BOF中，，∴，∵OB∥CE，∴△BOF∽△ECF，∴，即，∴．【点评】本题考查了切线的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．7．（2020•门头沟区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE交AB于E．（1）求证：DE⊥AB；（2）如果tan B＝，⊙O的直径是5，求AE的长．【分析】（1）连接AD，OD，根据圆周角定理得到AD⊥BC，根据等腰三角形的性质得到∠BAD＝∠ODA，推出AB∥OD，根据切线的性质即可得到结论；（2）设AD＝k，BD＝2k，根据勾股定理得到AB＝＝k，求得AD＝，BD＝2，根据三角形的面积公式和勾股定理即可得到结论．【解答】（1）证明：连接AD，OD，∵AC为⊙O的直径，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴∠BAD＝∠CAD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠BAD＝∠ODA，∴AB∥OD，∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE，∴DE⊥AB；（2）解：∵tan B＝＝，∴设AD＝k，BD＝2k，∴AB＝＝k，∵AB＝AC＝5，∴k＝，∴AD＝，BD＝2，∵S△ABD＝AB•DE＝AD•BD，∴DE＝＝2，∴AE＝＝＝1．【点评】本题考查了切线的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．8．（2020•房山区二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E是AC中点，连接DE．（1）判断DE与⊙O的位置关系并说明理由；（2）设CD与OE的交点为F，若AB＝10，BC＝6，求OF的长．【分析】（1）连接CD、OD，如图，利用圆周角定理得到∠BDC＝90°，则根据斜边上的中线性质得到EA＝ED，所以∠1＝∠A，接着证明∠1+∠2＝90°，从而得到OD⊥DE，然后根据切线的判定方法得到结论；（2）证明△BCD∽△BAC，利用相似比计算出BD＝，再证明OE为△CAB的中位线得到OF∥BD，然后利用相似比计算OF的长．【解答】解：（1）DE与⊙O相切．理由如下：连接CD、OD，如图，∵BC为直径，∴∠BDC＝90°，∵E为Rt△ADC的斜边AC的中点，∴EA＝ED，∴∠1＝∠A，∵OB＝OD，∴∠B＝∠2，而∠B+∠A＝90°∴∠1+∠2＝90°，∴∠EDO＝90°，∴OD⊥DE，∴DE为⊙O的切线；（2）∵∠DBC＝∠CBA，∠BDC＝∠BCA，∴△BCD∽△BAC，∴BD：BC＝BC：BA，∴BD＝＝，∵OB＝OC，EC＝EA，∴OE为△CAB的中位线，∴OF∥BD，∴OF：BD＝OC：CB，∴OF＝BD＝．【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．也考查了圆周角定理．9．（2020•平谷区二模）如图，以AB为直径的⊙O，交AC于点E，过点O作半径OD⊥AC 于点G，连接BD交AC于点F，且FC＝BC．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，tan A＝，求GF的长．【分析】（1）根据OB＝OD，可得∠OBD＝∠ODB，由FC＝BC，可得∠CFB＝∠CBF，再由OD⊥AC，可得∠DGF＝90°，进而可得∠OBC＝90°，即可证明BC是⊙O的切线；（2）如图，连接BE，根据AB是⊙O的直径，可得∠AEB＝90°，得OD∥BE，得∠GDF ＝∠EBF，所以得tan∠GDF＝tan∠EBF，再根据⊙O的半径为5，tan A＝，可得OA＝OD＝5，OG＝3，AG＝4，BE＝6，AE＝8，进而可得GF的长．【解答】解：（1）证明：∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∵FC＝BC，∴∠CFB＝∠CBF，∵OD⊥AC，∴∠DGF＝90°，∴∠ODB+∠DFG＝90°∵∠CFB＝∠DFG，∴∠ODB+∠CFB＝∠OBD+∠CBF＝∠OBC＝90°，∴OB⊥BC，∵OB是⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线；（2）如图，连接BE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∵∠AGO＝90°，∴OD∥BE，∴∠GDF＝∠EBF，∵⊙O的半径为5，tan A＝，∴OA＝OD＝5，OG＝3，AG＝4，∴DG＝OD﹣OG＝2，∵在Rt△ABE中，AB＝10，tan A＝，∴BE＝6，AE＝8，∵OG⊥AE，∴AG＝EG＝4，∴EF＝EG﹣GF＝4﹣GF，∵∠GDF＝∠EBF，∴tan∠GDF＝tan∠EBF，即＝，∴＝，解得GF＝1．所以GF的长为1．【点评】本题考查了切线的判定与性质、解直角三角形，解决本题的关键是综合运用以上知识．10．（2020•密云区二模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AC平分∠BAD，过点C的切线交直径AB的延长线于点E，连接AD、BC．（1）求证：∠BCE＝∠CAD；（2）若AB＝10，AD＝6，求CE的长．【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到OC⊥CE，根据圆周角定理和等腰三角形的性质得到∠CAB＝∠BCE，由角平分线的定义得到∠CAD＝∠CAB，等量代换得到结论；（2）连接BD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据勾股定理得到BD＝8，求得OH ＝3，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：连接OC，∵CE是⊙O的切线，∴OC⊥CE，∴∠OCB+∠BCE＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠OBC＝90°，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠CAB＝∠BCE，∵AC平分∠DAB，∴∠CAD＝∠CAB，∴∠CAD＝∠BCE；（2）解：连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵AB＝10，AD＝6，∴BD＝8，∵AC平分∠DAB，∴＝，∴OC⊥BD，DH＝BH＝4，∴OH＝3，∵OC⊥CE，∴BD∥CE，∴△OHB∽△OCE，∴＝，∴＝，∴CE＝．【点评】本题考查了切线的性质，角平分线的定义，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．11．（2020•昌平区二模）如图，P A，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，AC是⊙O的直径．（1）若∠ACB＝70°，求∠APB的度数；（2）连接OP，若AB＝8，BC＝6，求OP的长．【分析】（1）连接OB，根据圆周角定理得到∠AOB＝2∠ACB＝140°，根据切线的性质得到∠PBO＝∠P AO＝90°，于是得到结论；（2）根据圆周角定理得到∠ABC＝90°，根据勾股定理得到AC＝＝10，根据等腰三角形的性质得到OP⊥AB，AH＝AB＝4，求得OH＝＝3，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）连接OB，∴∠AOB＝2∠ACB＝140°，∴P A，PB是⊙O的两条切线，∴∠PBO＝∠P AO＝90°，∴∠APB＝360°﹣90°﹣90°﹣140°＝40°；（2）∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵AB＝8，BC＝6，∴AC＝＝10，∴OA＝5，∵P A，PB是⊙O的两条切线，∴PB＝P A，∠APO＝∠BPO，∴OP⊥AB，AH＝AB＝4，∴OH＝＝3，∵∠AHO＝∠P AO＝90°，∠AOH＝∠POA，∴△AHO∽△P AO，∴＝，∴＝，∴OP＝．【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质定理是解题的关键．12．（2020•顺义区二模）已知：如图，AB是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O．点D在⊙O 上，AD平分∠CAB交BC于点E，DF是⊙O的切线，交AC的延长线于点F．（1）求证：DF⊥AF；（2）若⊙O的半径是5，AD＝8，求DF的长．【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得到∠ODF＝90°，根据角平分线的定义得到∠CAD＝∠DAB，由等腰三角形的性质得到∠DAB＝∠ADO，等量代换得到∠CAD＝∠ADO，推出AF∥OD，根据平行线的性质即可得到结论；（2）连接DB，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据勾股定理得到BD＝6，再根据相似三角形的判定与性质即可求解．【解答】（1）证明：连接OD．∵DF是⊙O的切线，∴OD⊥DF，∴∠ODF＝90°．∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠DAB．又∵OA＝OD，∴∠DAB＝∠ADO．∴∠CAD＝∠ADO．∴AF∥OD．∴∠F+∠ODF＝180°．∴∠F＝180°﹣∠ODF＝90°．∴DF⊥AF．（2）解：连接DB．∵AB是直径，⊙O的半径是5，AD＝8，∴∠ADB＝90°，AB＝10．∴BD＝6．∵∠F＝∠ADB＝90°，∠F AD＝∠DAB，∴△F AD∽△DAB．∴．∴．【点评】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．。
2020全国各中考数学试题分考点解析汇编圆的有关性质
2020全国各中考数学试题分考点解析汇编圆的有关性质一、选择题1.（2020上海4分）矩形ABCD中，AB＝8，BC35=，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P 为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是．(A) 点B、C均在圆P外； (B) 点B在圆P外、点C在圆P内；(C) 点B在圆P内、点C在圆P外；(D) 点B、C均在圆P内．【答案】 C。
2020全国各中考数学试题分考点解析汇编圆的有关性质【考点】点与圆的位置关系，矩形的性质，勾股定理。
【分析】根据BP=3AP和AB的长度求得AP=2，然后利用勾股定理求得圆P的半径PD=()2222AP+AD2357=+=。
点B、C到P点的距离分别为：PB=6，PC=()2222PB+BC6359=+=。
∴由PB＜半径PD，PC＞半径PD，得点B在圆P内、点C在外。
故选C。
2.（2020重庆４分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB=40°，则∠A的度数等于A、60°B、50°C、40°D、30°【答案】B。
【考点】等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆周角定理。
【分析】在等腰三角形OCB中，由已知∠OCB=40°和三角形内角和定理求得顶角∠COB的度数100°，然后由同弧所对的圆周角是圆心角的度数一半的圆周角定理，求得∠A=∠C0B=50°。
故选B。
3.（2020重庆綦江4分）如图，PA、PB是⊙O的切线，切点是A、B，已知∠P=60°，OA=3，那么∠AOB所对弧的长度为A、6πB、5πC、3πD、2π【答案】D。
【考点】切线的性质，多边形内角和定理，弧长的计算。
【分析】由于PA、PB是⊙O的切线，由此得到∠OAP=∠OBP=90°，而∠P=60°，利用四边形的内角和即可求出∠AOB＝120°；利用已知条件和弧长公式即可求出∠AOB所对弧的长度=12032180=ππ⋅⋅。
2020年中考数学圆专题复习及答案
2020年中考数学圆专题复习及答案（名师总结历年中考真题，值得下载练习）1．如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O与BC相切于点C，⊙O与AB相交于点D，E是BC的中点．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的直径为5，，求DE的长．2．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．（1）求证：△PCF是等腰三角形；（2）若tan∠ABC＝，BE＝，求线段PC的长．3．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分∠CAE交⊙O于点D，且AE ⊥CD，垂足为点E．（1）求证：直线CE是⊙O的切线．（2）若BC＝3，CD＝3，求弦AD的长．4．如图，已知A、B是⊙O上两点，△OAB外角的平分线交⊙O于另一点C，CD⊥AB交AB的延长线于D．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）E为的中点，F为⊙O上一点，EF交AB于G，若tan∠AFE＝，BE＝BG，EG ＝3，求⊙O的半径．5．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，CO的延长线交AB于点D（1）求证：AO平分∠BAC；（2）若BC＝6，sin∠BAC＝，求AC和CD的长．6．如图1，AB为半圆O的直径，D为BA的延长线上一点，点C在半圆O上，且∠ACD ＝∠B．（1）求证：DC为圆O切线；（2）如图2，∠BDC的平分线分别交AC、BC于点E、F，若AC＝3，BC＝4，求CE的长．7．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB边的中点O为圆心，线段OA的长为半径作圆，分别交BC、AC边于点D、E，DF⊥AC于点F，延长FD交AB延长线于点G．（1）求证：FD是⊙O的切线．（2）若BC＝AD＝4，求tan∠GDB的值．8．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，作CD⊥AB，垂足为D，E为弧BC的中点，连接AE、BE，AE交CD于点F．（1）求证：∠AEC＝90°﹣2∠BAE；（2）过点E作⊙O的切线，交DC的延长线于G，求证：EG＝FG；（3）在（2）的条件下，若BE＝4，CF＝6，求⊙O的半径．9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点E在BC边上，且CA＝CE，过A，C，E三点的⊙O交AB于另一点F，作直径AD，连结DE并延长交AB于点G，连结CD，CF．（1）求证：四边形DCFG是平行四边形．（2）当BE＝4，CD＝AB时，求⊙O的直径长．10．如图1，BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，过点B作⊕O的切线，与CA的延长线相交于点E，F是BE的中点，延长AF与CB的延长线相交于点P．（1）求证：P A是⊙O的切线；（2）如图2，若AD⊥BC于点D，连接CF与AD相交于点G，求证：AG＝GD；（3）在（2）的条件下，若FG＝BF，且⊙O的半径长为3，求BD的长度．11．如图，AB是⊙O的直径，点C为的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF．（1）求证：△BFG≌△CDG；（2）若AD＝BE＝2，求BF的长．12．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，CE⊥AB，垂足为E，CE的延长线与DB 相交于点F．已知AB＝8，CE＝．（1）求BC的长；（2）若EF＝，求CD的长．13．AB为⊙O的直径，点C、D为⊙O上的两个点，AD交BC于点F，点E在AB上，DE 交BC于点G，且∠DGF＝∠CAB．（1）如图1．求证：DE⊥AB．（2）如图2．若AD平分∠CAB．求证：BC＝2DE．（3）如图3．在（2）的条件下，连接OF，若∠AFO＝45°，AC＝，求OF的长．14．如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O恰为△ABC的外接圆，∠ABC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB＝2，BC＝，求DE的长．15．如图，点A、B、C、D是⊙O上的四个点，AC是⊙O的直径，∠DAC＝2∠BAC，过点B的直线与AC的延长线、DC的延长线分别相交于点E、F，且EF＝CF．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，CE＝3，求CD的长．16．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝60°，点D是的中点，点E在OC的延长线上，且CE＝AD，连接DE．（1）求证：四边形AOCD是菱形；（2）若AD＝6，求DE的长．17．如图，已知在△ABP中，C是BP边上一点，P A是⊙O的切线，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且交BP于点E．（1）求证：∠P AC＝∠PBA；（2）过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG•AB＝8，AF：FD ＝1：3，GF＝1①求CF的长；②求cos∠ACE的值．18．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，点E在BC的延长线上，且∠DEC＝∠BAC．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AC∥DE，当AB＝8，CE＝2时，求AC的长．19．如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过点A的切线与CD的延长线相交于点P．且∠APC＝∠BCP（1）求证：∠BAC＝2∠ACD；（2）过图1中的点D作DE⊥AC，垂足为E（如图2），当BC＝6，AE＝2时，求⊙O的半径．20．如图，P是⊙O外的一点，P A、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，PO交AB于点F，延长BO交⊙O于点C，交P A的延长交于点Q，连结AC．（1）求证：AC∥PO；（2）设D为PB的中点，QD交AB于点E，若⊙O的半径为3，CQ＝2，求的值．21．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，⊙C与AB相切于点D，延长AC 到点E，使CE＝AC，连接EB．过点E作BE的垂线，交⊙C于点P、Q，交BA的延长线于点F．（1）求AD的长；（2）求证：EB与⊙C相切；（3）求线段PQ的长．22．如图，点P是⊙O外一点，P A是⊙O的切线，点A是切点，点B是⊙O上一点，且P A ＝PB，延长BO分别与⊙O，切线P A的延长线相交于C，Q两点．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）点D为PB的中点，QD交AB于点E，若⊙O的半径为9，OQ＝15，求的值．23．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为点E，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点P，连接PD．（1）求证：PD与⊙O相切；（2）连结CO并延长⊙O于点F，连结FP交CD于点G，如果CF＝10，PE：PC＝4：5，求EG的长．24．如图所示，P是⊙O外一点，P A是⊙O的切线，A是切点，B是⊙O上一点，且P A＝PB，连接AO、BO、AB，并延长BO与切线P A相交于点Q．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）求证：AQ•PQ＝OQ•BQ；（3）设∠AOQ＝α，若，OQ＝15，求AB的长．25．如图所示，P是⊙O外一点，P A是⊙的切线，A是切点，B是⊙O上一点，且P A＝PB，连接AO、BO、AB，并延长BO与切线P A相交于点Q．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）求证：AQ•PQ＝BQ•OQ；（3）设∠APB＝α，若tan a＝，AQ＝3，求AB的长．26．如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切，AC与⊙O相交于点D，点E在AB的延长线上，且DE与⊙O相切，DE与BC相交于点F．（1）求证：CF＝DF；（2）若CF＝3，EF＝7，求AC的长．27．如图，已知BC⊥AC，圆心O在AC上，点M与点C分别是AC与⊙O的交点，点D 是MB与⊙O的交点，点P是AD延长线与BC的交点，且＝．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若AD＝12，AM＝MC，求的值．28．如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，AC∥OD，过点D的切线与AB的延长线交于点E，CB与OD相交于点F，若AB＝，DB＝．（1）求证：CB∥DE；（2）求BE的长．29．如图，D为圆O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．（1）图中∠ADB＝°，理由是；（2）判断直线CD与圆O的位置关系，并证明；（3）过点B作圆O的切线交CD的延长线于点E，若BC＝6，tan∠CDA＝，求线段BE的长．30．如图，AB是⊙O的直径，P A，PC与⊙O相切，切点分别为A、C，PC的延长线与AB 的延长线相交于点D．（1）猜想BC与OP的位置关系，并证明你的猜想；（2）若OA＝1，P A＝2，求BD的长．31．如图1，△ABC是等腰三角形，O是底边BC中点，腰AB与⊙O相切于点D （1）求证：AC是⊙O的切线；（2）如图2，连接CD，若tan∠BCD＝，⊙O的半径为，求BC的长．32．如图，在⊙O中，点C是直径AB延长线上一点，过点C作⊙O的切线，切点为D，连结BD．（1）求证：∠A＝∠BDC；（2）若CM平分∠ACD，且分别交AD、BD于点M、N，当DM＝1时，求MN的长．33．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BA延长线上一点，∠ACD＝∠B．（1）求证：DC为⊙O的切线；（2）线段DF分别交AC，BC于点E，F且∠CEF＝45°，⊙O的半径为5，sin B＝，求CF的长．34．如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，过点P作⊙O的切线，切点为D，BC垂直于PD，垂足为C，BC与⊙O相交于点E，连接OE，交BD于点F．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）若BC＝6，tan P＝，①求线段BD的长；②求线段BF的长．35．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点E为△ABC内切圆的圆心，连接AE的延长线交BC 于点F，交⊙O于点D；连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM＝∠DAC．（1）求证：直线DM是⊙O的切线；（2）若DF＝2，且AF＝4，求BD和DE的长．36．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于点E，与AB的延长线相交于点F．（1）求证：EF与⊙O相切；（2）若AB＝6，AD＝4，求EF的长．37．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作ED⊥AE，垂足为E，交AB的延长线于F．（1）求证：ED是⊙O的切线；（2）若AD＝4，AB＝6，求FD的长．38．如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，点D在⊙O上，过点D作⊙O的切线与AC的延长线交于点E，且ED∥BC，连接AD交BC于点F．（1）求证：∠BAD＝∠DAE；（2）若DF＝，AD＝5，求⊙O的半径．39．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）连接BE交AC于点F，若cos∠CAD＝，求的值．参考答案与试题解析一．解答题（共39小题）1．如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O与BC相切于点C，⊙O与AB相交于点D，E是BC的中点．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的直径为5，，求DE的长．【解答】（1）证明：连接OD．∵BC是⊙O⊙的切线，AC是直径，，∴∠ACB＝90°，∵AC是直径，∴∠ADC＝90°，∴∠CDB＝90°，又∵EB＝EC∴DE为直角△DCB斜边的中线，∴DE＝CE＝BC．∴∠DCE＝∠CDE，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠ODC+∠CDE＝∠OCD+∠DCE＝∠ACB＝90°，∴∠ODE＝90°∴DE是⊙O的切线．（2）∵，∴设AD＝x，CD＝2x，∵AC＝5，AD2+DC2＝AC2，∴x2+（2x）2＝52，∴x＝，即AD＝，CD＝2，在Rt△BDC和Rt△ADC中，∠ADC＝∠BDC＝90°，∠ABC＝90°，∴∠ABC+∠A＝90°，∠ABC+∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，∵△ADC∽△CDB，∴＝，即＝，∴BC＝10．∴DE＝BC＝5．2．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．（1）求证：△PCF是等腰三角形；（2）若tan∠ABC＝，BE＝，求线段PC的长．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵弦CE平分∠ACB，∴∠ACF＝∠BCF＝45°，∵PC为⊙O的切线，∴OC⊥PC，∴∠PCO＝90°，即∠PCB+∠OCB＝90°，而OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，而∠OBC+∠BAC＝90°，∴∠PCB＝∠BAC，∵∠PCF＝∠PCB+∠BCF＝∠PCB+45°，∠PFC＝∠F AC+∠ACF＝∠BAC+45°，∴∠PCF＝∠PFC，∴△PCF是等腰三角形；（2）解：连结AE，如图，∵∠ABE＝∠ACE＝45°，∠BAE＝∠BCE＝45°，∴△ABE为等腰直角三角形，∴AB＝BE＝×＝7，在Rt△ACB中，tan∠ABC＝＝，设AC＝4x，BC＝3x，则AB＝5x，∴5x＝7，解得x＝，∴AC＝，BC＝，∵AD⊥CD，OC⊥CD，∴OC∥AD，∴∠DAC＝∠ACO，而∠ACO＝∠OAC，∴∠DAC＝∠BAC，∴Rt△DAC∽Rt△CAB，∴＝＝，即＝＝，∴AD＝，DC＝，∵OC∥AD，∴△POC∽△P AD，∴＝，即＝，∴PC＝12．3．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分∠CAE交⊙O于点D，且AE ⊥CD，垂足为点E．（1）求证：直线CE是⊙O的切线．（2）若BC＝3，CD＝3，求弦AD的长．【解答】（1）证明：连接OD，如图，∵AD平分∠EAC，∴∠1＝∠3，∵OA＝OD，∴∠1＝∠2，∴∠3＝∠2，∴OD∥AE，∵AE⊥DC，∴OD⊥CE，∴CE是⊙O的切线；（2）连接BD．∵∠CDO＝∠ADB＝90°，∴∠2＝∠CDB＝∠1，∵∠C＝∠C，∴△CDB∽△CAD，∴＝＝，∴CD2＝CB•CA，∴（3）2＝3CA，∴CA＝6，∴AB＝CA﹣BC＝3，＝＝，设BD＝K，AD＝2K，在Rt△ADB中，2k2+4k2＝9，∴k＝，∴AD＝．4．如图，已知A、B是⊙O上两点，△OAB外角的平分线交⊙O于另一点C，CD⊥AB交AB的延长线于D．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）E为的中点，F为⊙O上一点，EF交AB于G，若tan∠AFE＝，BE＝BG，EG ＝3，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：连接OC，如图，∵BC平分∠OBD，∴∠OBC＝∠CBD，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠OCB＝∠CBD，∴OC∥AD，而CD⊥AB，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）解：连接OE交AB于H，如图，∵E为的中点，∴OE⊥AB，∵∠ABE＝∠AFE，∴tan∠ABE＝tan∠AFE＝，∴在Rt△BEH中，tan∠HBE＝＝设EH＝3x，BH＝4x，∴BE＝5x，∵BG＝BE＝5x，∴GH＝x，在Rt△EHG中，x2+（3x）2＝（3）2，解得x＝3，∴EH＝9，BH＝12，设⊙O的半径为r，则OH＝r﹣9，在Rt△OHB中，（r﹣9）2+122＝r2，解得r＝，即⊙O的半径为．5．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，CO的延长线交AB于点D（1）求证：AO平分∠BAC；（2）若BC＝6，sin∠BAC＝，求AC和CD的长．【解答】（1）证明：延长AO交BC于H，连接BO，如图1所示：∵AB＝AC，OB＝OC，∴A、O在线段BC的垂直平分线上，∴AO⊥BC，又∵AB＝AC，∴AO平分∠BAC；（2）解：延长CD交⊙O于E，连接BE，如图2所示：则CE是⊙O的直径，∴∠EBC＝90°，BC⊥BE，∵∠E＝∠BAC，∴sin E＝sin∠BAC，∴＝，∴CE＝BC＝10，∴BE＝＝8，OA＝OE＝CE＝5，∵AH⊥BC，∴BE∥OA，∴，即＝，解得：OD＝，∴CD＝5+＝，∵BE∥OA，即BE∥OH，OC＝OE，∴OH是△CEB的中位线，∴OH＝BE＝4，CH＝BC＝3，∴AH＝5+4＝9，在Rt△ACH中，AC＝＝＝3．。
2020年中考数学重难点复习《圆》解答题及答案解析 (48)
2020年中考数学重难点复习《圆》解答题1．我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是“十字形”的有菱形，正方形．（2）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，且CB＝CD①证明：四边形ABCD是“十字形”；②若AB＝2．∠BAD＝60°，∠BCD＝90°，求四边形ABCD的面积．（3）如图2．A、B、C、D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，若∠ADB﹣∠CDB＝∠ABD﹣∠CBD．满足AC+BD＝3，求线段OE的取值范围．【分析】（1）利用“十字形”的定义判断即可；（2）①连接AC和BD，运用垂直平分线的判定即可；②先判断出∠ADB+∠CAD＝∠ABD+∠CAB，进而判断出∠AED＝∠AEB＝90°，即：AC⊥BD，再判断出四边形OMEN是矩形，进而得出OE2＝2﹣（AC2+BD2），设AC＝m，列出二次函数分析即可．（3）由已知条件推知，AC⊥BD．过点O作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，连接OA，OD，构造矩形OMEN，利用勾股定理得到：OE2＝OM2+ON2＝2﹣（AC2+BD2），设AC ＝m，则BD＝3﹣m，利用方程和m的取值范围进行解答．【解答】解：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有菱形、正方形的对角线互相垂直，故答案为：菱形、正方形；（2）①如图1，连接AC，BD∵AB＝AD，且CB＝CD∴AC是BD的垂直平分线，∴AC⊥BD，∴四边形ABCD是“十字形”；②S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝×22+×2×1＝+1．（3）如图2∵∠ADB+∠CBD＝∠ABD+∠CDB，∠CBD＝∠CAD，∴∠ADB+∠CAD＝∠ABD+∠CAB，∴180°﹣∠AED＝180°﹣∠AEB，∴∠AED＝∠AEB＝90°，∴AC⊥BD，过点O作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，连接OA，OD，∴OA＝OD＝1，OM2＝OA2﹣AM2，ON2＝OD2﹣DN2，AM＝AC，DN＝BD，四边形OMEN是矩形，∴ON＝ME，OE2＝OM2+ME2，∴OE2＝OM2+ON2＝2﹣（AC2+BD2）设AC＝m，则BD＝3﹣m，∵⊙O的半径为1，AC+BD＝3，∴1≤m≤2，OE2＝＝，∴≤OE2≤，∴≤OE≤．。
2020-2021初中数学圆的真题汇编附解析(1)
2020-2021初中数学圆的真题汇编附解析(1)一、选择题1．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点D在BA的延长线上，CD与⊙O交于另一点E，DE=OB=2，∠D=20°，则弧BC的长度为（）A．23πB．13πC．43πD．49π【答案】A【解析】【分析】连接OE、OC，如图，根据等腰三角形的性质得到∠D=∠EOD=20°，根据外角的性质得到∠CEO=∠D+∠EOD=40°，根据等腰三角形的性质得到∠C=∠CEO=40°，根据外角的性质得到∠BOC=∠C+∠D=60°，根据求弧长的公式得到结论.【详解】解：连接OE、OC，如图，∵DE=OB=OE，∴∠D=∠EOD=20°，∴∠CEO=∠D+∠EOD=40°，∵OE=OC，∴∠C=∠CEO=40°，∴∠BOC=∠C+∠D=60°，∴»BC的长度=260?2360π⨯=23π，故选A.【点睛】本题考查了弧长公式：l=••180n Rπ（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R），还考查了圆的认识及等腰三角形的性质及三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形外角性质是关键．2．如图，在平行四边形ABCD 中，BD ⊥AD ，以BD 为直径作圆，交于AB 于E ，交CD 于F ，若BD=12，AD ：AB=1：2，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．123B ．1536π-πC ．30312π-D ．48336π-π【答案】C【解析】【分析】 易得AD 长，利用相应的三角函数可求得∠ABD 的度数，进而求得∠EOD 的度数，那么一个阴影部分的面积=S △ABD -S 扇形DOE -S △BOE ，算出后乘2即可．【详解】连接OE ，OF ．∵BD=12，AD ：AB=1：2，∴AD=43 ，AB=83，∠ABD=30°，∴S △ABD =×43×12=243,S 扇形=603616,633933602OEB S ππ⨯==⨯⨯=V ∵两个阴影的面积相等，∴阴影面积=()224369330312ππ⨯--=- .故选：C【点睛】本题主要是理解阴影面积等于三角形面积减扇形面积和三角形面积．3．在Rt △ABC 中，∠ACB=90°.AC=8，BC=3，点D 是BC 边上动点，连接AD 交以CD 为直径的圆于点E ，则线段BE 长度的最小值为( )A．1 B．32C．3D．52【答案】A【解析】【分析】根据直径所对的圆周角为直角可知∠CED=90°，则∠AEC=90°，设以AC为直径的圆的圆心为O，若BE最短，则OB最短，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OE=12AC=4，在Rt△OBC中，根据勾股定理可求得OB=5，即可得解.【详解】解：连接CE，∵E点在以CD为直径的圆上，∴∠CED=90°，∴∠AEC=180°-∠CED=90°，∴E点也在以AC为直径的圆上，设以AC为直径的圆的圆心为O，若BE最短，则OB最短，∵AC=8，∴OC=12AC=4，∵BC=3，∠ACB=90°，∴OB=22OC BC=5，∵OE=OC=4，∴BE=OB-OE=5-4=1.故选A.【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为直角，直角三角形的性质和勾股定理.4．如图，△ABC的外接圆是⊙O，半径AO=5，sinB=25，则线段AC的长为（）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】C【解析】【分析】首先连接CO并延长交⊙O于点D，连接AD，由CD是⊙O的直径，可得∠CAD=90°，又由⊙O的半径是5，sinB=25，即可求得答案．【详解】解：连接CO并延长交⊙O于点D，连接AD，由CD是⊙O的直径，可得∠CAD=90°，∵∠B和∠D所对的弧都为弧AC，∴∠B=∠D，即sinB=sinD=25，∵半径AO=5，∴CD=10，∴2 sin105AC ACDCD===，∴AC=4，故选：C.【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，以及三角函数的内容，注意到直径所对的圆周角是直角是解题的关键.5．如图，在扇形OAB中，120AOB∠=︒，点P是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合），C、D分别是弦AP，BP的中点．若33CD=，则扇形AOB的面积为（）A．12πB．2πC．4πD．24π【答案】A【解析】【分析】如图，作OH⊥AB于H．利用三角形中位线定理求出AB的长，解直角三角形求出OB即可解决问题．【详解】解：如图作OH⊥AB于H．∵C、D分别是弦AP、BP的中点．∴CD是△APB的中位线，∴AB＝2CD＝63∵OH⊥AB，∴BH＝AH＝33∵OA＝OB，∠AOB＝120°，∴∠AOH＝∠BOH＝60°，在Rt△AOH中，sin∠AOH＝AHAO，∴AO＝336sin3AHAOH==∠，∴扇形AOB的面积为：2120612360ππ=g g，故选：A．【点睛】本题考查扇形面积公式，三角形的中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．6．已知某圆锥的底面半径为3 cm，母线长5 cm，则它的侧面展开图的面积为（）A．30 cm2B．15 cm2C．30π cm2D．15π cm2【答案】D【解析】试题解析：根据圆锥的侧面展开图的面积计算公式得：π＝15πS＝RL故选D.7．已知锐角∠AOB如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作»PQ，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交»PQ于点M，N；（3）连接OM，MN．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．∠COM=∠COD B．若OM=MN，则∠AOB=20°C．MN∥CD D．MN=3CD【答案】D【解析】【分析】由作图知CM=CD=DN，再利用圆周角定理、圆心角定理逐一判断可得．【详解】解：由作图知CM=CD=DN，∴∠COM=∠COD，故A选项正确；∵OM=ON=MN ，∴△OMN 是等边三角形，∴∠MON=60°，∵CM=CD=DN ，∴∠MOA=∠AOB=∠BON=13∠MON=20°，故B 选项正确； ∵∠MOA=∠AOB=∠BON=20°， ∴∠OCD=∠OCM=80°，∴∠MCD=160°，又∠CMN=12∠AON=20°， ∴∠MCD+∠CMN=180°， ∴MN ∥CD ，故C 选项正确；∵MC+CD+DN ＞MN ，且CM=CD=DN ，∴3CD ＞MN ，故D 选项错误；故选：D ．【点睛】本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握圆心角定理和圆周角定理等知识点．8．如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转45°后得到正方形AB 1C 1D 1，边B 1C 1与CD 交于点O ，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．224π-- B ．224π- C ．142π+ D ．142π- 【答案】B【解析】【分析】先根据正方形的边长，求得CB 1=OB 1=AC-AB 1=2-1，进而得到211(21)2OB C S =-V ，再根据S △AB1C1=12，以及扇形的面积公式即可得出图中阴影部分的面积． 【详解】连结DC 1，∵∠CAC 1＝∠DCA ＝∠COB 1＝∠DOC 1＝45°，∴∠AC 1B 1＝45°，∵∠ADC ＝90°，∴A ，D ，C 1在一条直线上，∵四边形ABCD 是正方形，∴AC 2OCB 1＝45°，∴CB 1＝OB 1∵AB 1＝1，∴CB 1＝OB 1＝AC ﹣AB 12﹣1，∴211111(21)22OB C S OB CB ∆=⋅⋅=， ∵1111111111222AB C S AB B C =⋅=⨯⨯=V ， 2245(2)11(21)22224ππ⨯⨯--=-+ 故选B ．【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形性质、勾股定理以及扇形面积的计算等知识点的综合应用，主要考查学生运用性质进行计算的能力．解题时注意：旋转前、后的图形全等．9．木杆AB 斜靠在墙壁上，当木杆的上端A 沿墙壁NO 竖直下滑时，木杆的底端B 也随之沿着射线OM 方向滑动．下列图中用虚线画出木杆中点P 随之下落的路线，其中正确的是（ ）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：如右图，连接OP，由于OP是Rt△AOB斜边上的中线，所以OP=12AB，不管木杆如何滑动，它的长度不变，也就是OP是一个定值，点P就在以O为圆心的圆弧上，那么中点P下落的路线是一段弧线．故选D．10．如图，用半径为12cm，面积272cm的扇形无重叠地围成一个圆锥，则这个圆锥的高为（）A．12cm B．6cm C．6√2 cm D．3【答案】D【解析】【分析】先根据扇形的面积公式计算出扇形的圆心角，再利用周长公式计算出底面圆的周长，得出半径．再构建直角三角形，解直角三角形即可．【详解】 72π=212360n π⨯ 解得n=180°， ∴扇形的弧长=18012180π⨯=12πcm ． 围成一个圆锥后如图所示：因为扇形弧长=圆锥底面周长即12π=2πr解得r=6cm ，即OB=6cm根据勾股定理得OC=22126=63-cm ，故选D ．【点睛】本题综合考查了弧长公式，扇形弧长=用它围成的圆锥底面周长，及勾股定理等知识，所以学生学过的知识一定要结合起来．11．如图，⊙O 的直径CD ＝10cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，OM ：OC ＝3：5，则AB 的长为（ ）A 91B ．8cmC ．6cmD ．4cm【答案】B【解析】【分析】 由于⊙O 的直径CD ＝10cm ，则⊙O 的半径为5cm ，又已知OM ：OC ＝3：5，则可以求出OM ＝3，OC ＝5，连接OA ，根据勾股定理和垂径定理可求得AB ．【详解】解：如图所示，连接OA ．⊙O 的直径CD ＝10cm ，则⊙O 的半径为5cm ，即OA ＝OC ＝5，又∵OM ：OC ＝3：5，所以OM ＝3，∵AB ⊥CD ，垂足为M ，OC 过圆心∴AM ＝BM ，在Rt △AOM 中，22AM=5-3=4，∴AB ＝2AM ＝2×4＝8．故选：B ．【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，是解题的关键.12．在平面直角坐标系内，以原点O 为圆心，1为半径作圆，点P 在直线323y x =+上运动，过点P 作该圆的一条切线，切点为A ，则PA 的最小值为( )A ．3B ．2C 3D 2 【答案】D【解析】【分析】先根据题意，画出图形，令直线3x+ 23x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，作OH ⊥CD 于H ，作OH ⊥CD 于H ；然后根据坐标轴上点的坐标特点，由一次函数解析式，求得C 、D 两点的坐标值； 再在Rt △POC 中，利用勾股定理可计算出CD 的长，并利用面积法可计算出OH 的值； 最后连接OA ，利用切线的性质得OA ⊥PA ，在Rt △POH 中，利用勾股定理，得到21PA OP =-PA 的最小值即可.【详解】如图，令直线3x+23x轴交于点C，与y轴交于点D，作OH⊥CD于H，当x=0时，y=3D（0，3当y=033，解得x=-2，则C（-2，0），∴222(23)4CD=+=，∵12OH•CD=12OC•OD，∴OH=233 4⨯=连接OA，如图，∵PA为⊙O的切线，∴OA⊥PA，∴2221PA OP OA OP=-=-当OP的值最小时，PA的值最小，而OP的最小值为OH的长，∴PA22(3)12-=故选D.【点睛】本题考查了切线的性质，解题关键是熟记切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．13．已知圆锥的三视图如图所示，则这个圆锥的侧面展开图的面积为（）A ．60πcm 2B ．65πcm 2C ．120πcm 2D ．130πcm 2【答案】B【解析】【分析】 先利用三视图得到底面圆的半径为5cm ，圆锥的高为12cm ，再根据勾股定理计算出母线长为13cm ，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．【详解】根据三视图得到圆锥的底面圆的直径为10cm ，即底面圆的半径为5cm ，圆锥的高为12cm ，所以圆锥的母线长=225+12=13，所以这个圆锥的侧面积=12×2π×5×13=65π（cm 2）． 故选B ．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了三视图．14．如图，在ABC ∆中，5AB =，3AC =，4BC =，将ABC ∆绕一逆时针方向旋转40︒得到ADE ∆，点B 经过的路径为弧BD ，则图中阴影部分的面积为( )A ．1463π- B ．33π+ C ．3338π- D ．259π 【答案】D【解析】【分析】 由旋转的性质可得△ACB ≌△AED ，∠DAB=40°，可得AD=AB=5，S △ACB =S △AED ，根据图形可得S 阴影=S △AED +S 扇形ADB -S △ACB =S 扇形ADB ，再根据扇形面积公式可求阴影部分面积．【详解】∵将△ABC 绕A 逆时针方向旋转40°得到△ADE ，∴△ACB ≌△AED ，∠DAB=40°，∴AD=AB=5，S △ACB =S △AED ，∵S 阴影=S △AED +S 扇形ADB -S △ACB =S 扇形ADB ，∴S 阴影=4025360π⨯=259π， 故选D.【点睛】本题考查了旋转的性质，扇形面积公式，熟练掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等.15．下列命题中哪一个是假命题（ ）A ．8的立方根是2B ．在函数y ＝3x 的图象中，y 随x 增大而增大C ．菱形的对角线相等且平分D ．在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等【答案】C【解析】【分析】利用立方根的定义、一次函数的性质、菱形的性质及圆周角定理分别判断后即可确定正确的选项．【详解】A 、8的立方根是2，正确，是真命题；B 、在函数3y x =的图象中，y 随x 增大而增大，正确，是真命题；C 、菱形的对角线垂直且平分，故错误，是假命题；D 、在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，正确，是真命题，故选C ．【点睛】考查了命题与定理的知识，能够了解立方根的定义、一次函数的性质、菱形的性质及圆周角定理等知识是解题关键．16．如图，抛物线y ＝ax 2﹣6ax+5a （a ＞0）与x 轴交于A 、B 两点，顶点为C 点．以C 点为圆心，半径为2画圆，点P 在⊙C 上，连接OP ，若OP 的最小值为3，则C 点坐标是（ ）A ．522(,22-B ．（4，﹣5）C ．（3，﹣5）D ．（3，﹣4）【答案】D【解析】【分析】首先根据二次函数的解析式求出点A 、B 、C 三点的坐标，再由当点O 、P 、C 三点共线时，OP 取最小值为3，列出关于a 的方程，即可求解．【详解】∵2650y ax ax a a +-=（＞） 与x 轴交于A 、B 两点， ∴A （1，0）、B （5，0），∵226534y ax ax a a x a =+=---（） ， ∴顶点34C a （，-）， 当点O 、P 、C 三点共线时，OP 取最小值为3，∴OC ＝OP+2＝5， 29165(0)a a +=> ，∴1a = ，∴C （3，﹣4），故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是明确圆外一点到圆上的最短距离即该点与圆心的距离减去半径长．17．若正六边形的半径长为4，则它的边长等于（ ）A ．4B ．2C ．23D ．43【答案】A【解析】试题分析：正六边形的中心角为360°÷6=60°，那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，故正六边形的半径等于4，则正六边形的边长是4．故选A ． 考点：正多边形和圆．18．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是¶CD上一点，且¶¶=，连接CF并延长交DF BCAD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（）A．45°B．50°C．55°D．60°【答案】B【解析】【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=105°，∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣105°=75°．∵»»DF BC=，∠BAC=25°，∴∠DCE=∠BAC=25°，∴∠E=∠ADC﹣∠DCE=75°﹣25°=50°．【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理.圆内接四边形对角互补.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等，而同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，所以在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.19．如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰直角△ABC的内部，∠BAC＝90°，OA＝1，BC＝6，则⊙O的半径为（）A．23B．13C．4 D．32【答案】B【解析】【分析】如下图，作AD⊥BC，设半径为r，则在Rt△OBD中，OD=3－1，OB=r，BD=3，利用勾股定理可求得r.【详解】如图，过A作AD⊥BC，由题意可知AD必过点O，连接OB；∵△BAC是等腰直角三角形，AD⊥BC，∴BD=CD=AD=3；∴OD=AD-OA=2；Rt△OBD中，根据勾股定理，得：OB= 22+=BD OD13故答案为：B.【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和勾股定理的应用，解题关键是利用等腰直角三角形ABC判定点O在AD上.20．如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O交BC于点D，连接AD，若∠DAC＝30°，DC＝1，则⊙O的半径为（）A．2 B3C．23D．1【答案】B【解析】【分析】先由圆周角定理知∠BDA=∠ADC=90°，结合∠DAC=30°，DC=1得AC=2DC=2，∠C=60°，再由3【详解】∵AB是⊙O的直径，∴∠BDA＝∠ADC＝90°，∵∠DAC＝30°，DC＝1，∴AC＝2DC＝2，∠C＝60°，则在Rt△ABC中，AB＝ACtanC＝，∴⊙O，故选：B．【点睛】本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握半圆（或直径）所对的圆周角是直角和三角函数的应用．。
2020中考数学复习《圆》经典习题汇编
2020中考数学复习《圆》经典习题汇编一.选择题.1.如图,在☉O 中,AB 是直径,AC 是弦,连接OC,若∠ACO=30°,则∠BOC 的度数是( )A.30°B.45°C.55°D.60°2.如图,AB 是☉O 的直径,弦CD⊥AB 于点E,若AB=8,AE=1,则弦CD 的长是( )A. B.2 C.6 D.873.如图,AB 为☉O 的直径,C,D 为☉O 上的点,若AC=CD=DB,则cos∠CAD=( )A. B. C. D.132212324.如图,四边形ABCD内接于☉O,已知∠ADC=130°,则∠AOC 的大小是( )A.80° B.100° C.60° D.40°5.如图,已知☉O 的半径为5,弦AB,CD 所对的圆心角分别是∠AOB,∠COD,若∠AOB 与∠COD 互补,弦CD=6,则弦AB 的长为( )A.6B.8C.5D.5236.过三点A(2,2),B(6,2),C(4,5)的圆的圆心坐标为( )A. B.(4,3) C. D.(5,3)(4,176)(5,176)7.如图,AB 是☉O 的弦,BC 与☉O 相切于点B,连接OA,OB.若∠ABC=70°,则∠A等于( )A.15° B.20° C.30° D.70°8.一个圆锥的侧面积是底面积的2倍,则该圆锥侧面展开图的圆心角的度数是( )A.120° B.180° C.240° D.300°9.如图,☉O 的直径AB=4,BC 切☉O 于点B,OC 平行于弦AD,OC=5,则AD的长为( )A. B. C. D.65857523510.一块等边三角形的木板,边长为1,现将木板沿水平线翻滚(如图),那么B 点从开始至结束所走过的路径长度为( )A. B. C.4 D.2+3π24π33π211.等边三角形ABC 的边长为4,则它的内切圆半径的长是( )3A.2 B. C.2 D.43312.如图,在矩形ABCD 中,AB=3,BC=4,O 为矩形ABCD 的中心,以D 为圆心,1为半径作☉D,P 为☉D 上的一个动点,连接AP,OP,则△AOP 面积的最大值为( )A.4B. C. D.215358174二.填空题.13.如图在平面直角坐标系中,过格点A,B,C 作一圆弧,圆心坐标是________.14.如图,AB 是☉O 的直径,点D 平分,AC=5,DE=1.5,则OE=________. ⏜AC 15.如图,已知☉O 的半径为2,A 为☉O 外一点,过点A 作☉O 的一条切线AB,切点是B,AO 的延长线交☉O 于点C,若∠BAC=30°,则劣弧的长为________. ⏜BC16.如图,矩形ABCD中,BC=4,CD=2,以AD为直径的半圆O与BC相切于点E,连接BD,则阴影部分的面积为________.(结果保留π)17.如图,在平行四边形ABCD中,以对角线AC为直径的☉O分别交BC,CD于点M,N.若AB=13,BC=14,CM=9,则MN的长度为________.三.解答题.18.已知:如图,在☉O中,弦CD垂直于直径AB,垂足为点E,如果∠BAD=30°,且BE=2,求弦CD 的长.19.如图,在△ABC中,以BC为直径的☉O交AC于点E,过点E作EF⊥AB于点F,延长EF交CB 的延长线于点G,且∠ABG=2∠C.(1)求证:EF 是☉O 的切线.(2)若sin∠EGC=,☉O 的半径是3,求AF 的长.3520.(8分)如图,已知AB 为☉O 的直径,AC 为☉O 的切线,OC 交☉O 于点D,BD 的延长线交AC 于点E.(1)求证:∠1=∠CAD.(2)若AE=EC=2,求☉O 的半径.21.如图,AB 是☉O 的直径,点C 为☉O 上一点,CN 为☉O 的切线,OM⊥AB 于点O,分别交AC,CN 于D,M 两点.(1)求证:MD=MC.5(2)若☉O的半径为5,AC=4,求MC的长.22.如图,AB为☉O的直径,C为☉O上一点,∠ABC的平分线交☉O于点D,DE⊥BC于点E. (1)试判断DE与☉O的位置关系,并说明理由;3(2)过点D作DF⊥AB于点F,若BE=3,DF=3,求图中阴影部分的面积.23.如图,△ABC内接于☉O,AB是直径,☉O的切线PC交BA的延长线于点P,OF∥BC交AC于点E,交PC于点F,连接AF;(1)判断AF与☉O的位置关系并说明理由.(2)若☉O的半径为4,AF=3,求AC的长.24.如图,AB 为☉O 直径,P 点为半径OA 上异于O 点和A 点的一个点,过P 点作与直径AB 垂直的弦CD,连接AD,作BE⊥AB,OE∥AD 交BE 于E 点,连接AE,DE,AE 交CD 于F 点.(1)求证:DE 为☉O 切线.(2)若☉O 的半径为3,sin∠ADP=,求AD.13(3)请猜想PF 与FD 的数量关系,并加以证明.。
2020年中考数学试题《圆》试题精编含答案
8．（2020•宁夏）如图，在△ABC中，∠B＝90°，点D为AC上一点，以CD为直径的⊙O交AB于点E，连接CE，且CE平分∠ACB．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）连接DE，若∠A＝30°，求 ．
9．（2020•十堰）如图，AB为半圆O的直径，C为半圆O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为D，AD交半圆O于点E．
（2）若DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F，求证：△DCF是等腰三角形．
22．（2020•张家界）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AB为直径作⊙O，过点C作直线CD交AB的延长线于点D，使∠BCD＝∠A．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若DE平分∠ADC，且分别交AC，BC于点E，F，当CE＝2时，求EF的长．
11．（2020•玉林）如图，AB是⊙O的直径，点D在直径AB上（D与A，B不重合），CD⊥AB，且CD＝AB，连接CB，与⊙O交于点F，在CD上取一点E，使EF＝EC．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若D是OA的中点，AB＝4，求CF的长．
12．（2020•东营）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦MN∥BC交AB于点E，且ME＝3，AE＝4，AM＝5．
20．（2020•青海）如图，已知AB是⊙O的直径，直线BC与⊙O相切于点B，过点A作AD∥OC交⊙O于点D，连接CD．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）若AD＝4，直径AB＝12，求线段BC的长．
21．（2020•盐城）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，∠DCA＝∠B．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
2020年中考数学重难点复习《圆》解答题及答案解析 (17)
2020年中考数学重难点复习《圆》解答题1．如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的⊙O交斜边AC于点D，过点D作⊙O的切线与BC交于点E，弦DM与AB垂直，垂足为H．（1）求证：E为BC的中点；（2）若⊙O的面积为12π，两个三角形△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3，求△DEC的内切圆面积S1和四边形OBED的外接圆面积S2的比．【分析】（1）证明∠EDB＝∠EBD，∠BDC＝90°，E为直角三角形BDC的中线，即可求解；（2）△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3，确定AD：BM＝，即HM：BH＝，得∠BMH＝30°＝∠BAC，即可求解．【解答】解：（1）连接BD、OE，∵AB是直径，则∠ADB＝90°＝∠ADO+∠ODB，∵DE是切线，∴∠ODE＝90°＝∠EDB+∠BDO，∴∠EDB＝∠ADO＝∠CAB，∵∠ABC＝90°，即BC是圆的切线，∴∠DBC＝∠CAB，∴∠EDB＝∠EBD，而∠BDC＝90°，∴E为BC的中点；（2）△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3，则两个三角形的外接圆的直径分别为AD、BM，∴AD：BM＝，而△ADH∽△MBH，∴DH：BH＝，则DH＝HM，∴HM：BH＝，∴∠BMH＝30°＝∠BAC，∴∠C＝60°，DE是直角三角形的中线，∴DE＝CE，∴△DEC为等边三角形，⊙O的面积：12π＝（AB）2π，则AB＝4，∠CAB＝30°，∴BD＝2，BC＝4，AC＝8，而OE＝AC＝4，四边形OBED的外接圆面积S2＝π（2）2＝4π，等边三角形△DEC边长为2，则其内切圆的半径为：，面积为，故△DEC的内切圆面积S1和四边形OBED的外接圆面积S2的比为：．。
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全国中考信息资源门户网站 www.zhongkao.com 2020中考数学试题及答案分类汇编：圆 一、选择题 1. （天津3分）已知⊙1O与⊙2O的半径分别为3 cm和4 cm，若12OO=7 cm，则⊙1O
与⊙2O的位置关系是
(A) 相交 (B) 相离 (C) 内切 (D) 外切 【答案】D。 【考点】圆与圆位置关系的判定。 【分析】两圆半径之和3+4=7，等于两圆圆心距12OO=7，根据圆与圆位置关系的判定可知两圆外切。 2.（内蒙古包头3分）已知两圆的直径分别是2厘米与4厘米，圆心距是3厘米，则这两个圆的位置关系是
A、相交 B、外切 C、外离 D、内含 【答案】B。 【考点】两圆的位置关系。 【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。
∵两圆的直径分别是2厘米与4厘米，∴两圆的半径分别是1厘米与2厘米。 ∵圆心距是1+2=3厘米，∴这两个圆的位置关系是外切。故选B。 3,（内蒙古包头3分）已知AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上的一个动点，过P作⊙O的切线，切点为C，∠APC的平分线交AC于点D，则∠CDP等于 全国中考信息资源门户网站 www.zhongkao.com
A、30° B、60° C、45° D、50° 【答案】C 【考点】角平分线的定义，切线的性质，直角三角形两锐角的关系，三角形外角定理。 【分析】连接OC， ∵OC=OA，，PD平分∠APC， ∴∠CPD=∠DPA，∠CAP=∠ACO。 ∵PC为⊙O的切线，∴OC⊥PC。 ∵∠CPD+∠DPA+∠CAP +∠ACO=90°，∴∠DPA+∠CAP =45°，即∠CDP=45°。故选C。
4.（内蒙古呼和浩特3分）如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2．则BD的长为
A. 14 B. 15 C. 32 D. 23 【答案】B。 【考点】圆周角定理，圆的轴对称性，等腰梯形的判定和性质，勾股定理。
【分析】以A为圆心，AB长为半径作圆，延长BA交⊙A于F，连接DF。
根据直径所对圆周角是直角的性质，得∠FDB=90°； 根据圆的轴对称性和DC∥AB，得四边形FBCD是等腰梯形。 ∴DF=CB=1，BF=2+2=4。∴BD=2222BFDF4115。故选B。 5.（内蒙古呼伦贝尔3分）⊙O1的半径是cm2，⊙2的半径是cm5，圆心距是cm4，则两圆的位置关系为
A. 相交 B. 外切 C.外离 D. 内切 全国中考信息资源门户网站 www.zhongkao.com
【答案】A。 【考点】两圆的位置关系。 【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。由于5－2＜4＜5＋2，所以两圆相交。故选A。
6.（内蒙古呼伦贝尔3分）如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB 上的动点,则线段OM长的最小值为.
A. 5 B. 4 C. .3 D. 2 【答案】C。 【考点】垂直线段的性质，弦径定理，勾股定理。 【分析】由直线外一点到一条直线的连线中垂直线段最短的性质，知线段OM长的最小值为点O到弦AB的垂直线段。如图，过点O作OM⊥AB于M，连接OA。
根据弦径定理，得AM＝BM＝4，在Rt△AOM中，由AM＝4， OA＝5，根据勾股定理得OM＝3，即线段OM长的最小值为3。故选C。
7.（内蒙古呼伦贝尔3分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上 ，∠BOD=110°，AC∥OD，则∠AOC的度数
A. 70° B. 60° C. 50° D. 40° 【答案】D。 【考点】等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平角定义，平行的性质。 【分析】由AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，知OA＝OC，根据等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和定理，得∠AOC＝1800－2∠OAC。
由AC∥OD，根据两直线平行，内错角相等的性质，得∠OAC＝∠AOD。 全国中考信息资源门户网站 www.zhongkao.com
由AB是⊙O的直径，∠BOD=110°，根据平角的定义，得∠AOD＝1800－∠BOD=70°。
∴∠AOC＝1800－2×70°＝400。故选D。 8.（内蒙古乌兰察布3分）如图， AB 为 ⊙ O 的直径， CD 为弦， AB ⊥ CD ，如果∠BOC = 700 ，那么∠A的度数为
A 70 0 B. 350 C. 300 D . 200 【答案】B。 【考点】弦径定理，圆周角定理。 【分析】如图，连接OD，AC。由∠BOC = 700， 根据弦径定理，得∠DOC = 1400； 根据同弧所对圆周角是圆心角一半的性质，得∠DAC = 700。
从而再根据弦径定理，得∠A的度数为350。故选B。 17．填空题 1.（天津3分）如图，AD，AC分别是⊙O的直径和弦．且∠CAD=30°．OB⊥AD，交AC于点B．若OB=5，则BC的长等于 ▲ 。
【答案】5。 【考点】解直角三角形，直径所对圆周角的性质。 【分析】∵在Rt△ABO中，00OB5OB5AO53,AB10tanCADtan30sinCADsin30C
，
∴AD=2AO=103。 全国中考信息资源门户网站 www.zhongkao.com
连接CD，则∠ACD=90°。 ∵在Rt△ADC中，0ACADcosCAD103cos3015， ∴BC=AC－AB=15－10=5。 2.（河北省3分）如图，点0为优弧ACB错误!未找到引用源。所在圆的圆心，∠AOC=108°，点D在AB延长线上，BD=BC，则∠D= ▲ ．
【答案】27°。 【考点】圆周角定理，三角形的外角定理，等腰三角形的性质。 【分析】∵∠AOC=108°，∴∠ABC=54°。∵BD=BC，∴∠D=∠BCD=错误!未找到引用源。∠ABC=27°。
3.（内蒙古巴彦淖尔、赤峰3分）如图，直线PA过半圆的圆心O，交半圆于A，B两点，PC切半圆与点C，已知PC=3，PB=1，则该半圆的半径为 ▲ ．
【答案】4。 【考点】切线的性质，勾股定理。 【分析】连接OC，则由直线PC是圆的切线，得OC⊥PC。设圆的半径为x，则在Rt△OPC中，PC=3，OC= x，OP=1＋x，根据地勾股定理，得OP2=OC2＋PC2，即（1＋x）2= x 2＋32，解得x=4。即该半圆的半径为4。
【学过切割线定理的可由PC2=PA•PB求得PA=9，再由AB=PA－PB求出直径，从而求
得半径】
4.（内蒙古呼伦贝尔3分）已知扇形的面积为12，半径是6，则它的圆心角是 ▲ 。
【答案】1200。 全国中考信息资源门户网站 www.zhongkao.com
【考点】扇形面积公式。 【分析】设圆心角为n，根据扇形面积公式，得20n612360=，解得n＝1200。 18．解答题 1.（天津8分）已知AB与⊙O相切于点C，OA=OB．OA、OB与⊙O分别交于点D、E.
(I) 如图①，若⊙O的直径为8，AB=10，求OA的长(结果保留根号)； (Ⅱ)如图②，连接CD、CE，若四边形ODCE为菱形．求ODOA的值．
【答案】解：(I) 如图①，连接OC，则OC=4。 ∵AB与⊙O相切于点C，∴OC⊥AB。 ∴在△OAB中，由OA=OB，AB=10得1ACAB52。
∴ 在△RtOAB中，2222OAOCAC4541。 (Ⅱ)如图②，连接OC，则OC=OD。 ∵四边形ODCE为菱形，∴OD=DC。 ∴△ODC为等边三角形。∴∠AOC=600。 ∴∠A=300。∴1OC1OD1OCOA2OA2OA2 ，，即。 【考点】线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理，等边三角形的 全国中考信息资源门户网站 www.zhongkao.com
判定和性质，300角直角三角形的性质。 【分析】(I) 要求OA的长，就要把它放到一个直角三角形内，故作辅助线OC，由AB与⊙O相切于点C可知OC是AB的垂直平分线，从而应用勾股定理可求OA的长。
(Ⅱ)由四边形ODCE为菱形可得△ODC为等边三角形，从而得300角的直角三角形OAC，根据300角所对的边是斜边的一半的性质得到所求。
2.（河北省10分）如图1至图4中，两平行线AB、CD间的距离均为6，点M为AB上一定点．
思考 如图1，圆心为0的半圆形纸片在AB，CD之间（包括AB，CD），其直径MN在AB上，MN=8，点P为半圆上一点，设∠MOP=α．
当α= ▲ 度时，点P到CD的距离最小，最小值为 ▲ ． 探究一 在图1的基础上，以点M为旋转中心，在AB，CD 之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图2，得到最大旋转角∠BMO= ▲ 度，此时点N到CD的距离是 ▲ ．
探究二 将如图1中的扇形纸片NOP按下面对α的要求剪掉，使扇形纸片MOP绕点M在AB，CD之间顺时针旋转．
（1）如图3，当α=60°时，求在旋转过程中，点P到CD的最小距离，并请指出旋转角∠BMO的最大值；
（2）如图4，在扇形纸片MOP旋转过程中，要保证点P能落在直线CD上，请确定α的取值范围．
（参考数椐：sin49°=错误!未找到引用源。，cos41°=错误!未找到引用源。，tan37°=错误!未找到引用源。．）