角平分线的性质经典例题透析

经典例题透析

类型一：角平分线性质的应用

1、如图，△ABC中∠C=90°，AD平分∠BAC，点D在BC上，且BC=24，CD:DB=3:5

求：D到AB的距离。

思路点拨:点到直线的距离是经过该点做直线的垂线，该点与垂足之间线段的长度。

解析：过D作DE⊥AB于E。

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC

∴DE=CD

∵BC=24，CD:DB=3:5

∴CD=24×=9＝DE

即点D到AB的距离是9。

总结升华：角平分线上的点到角两边的距离相等。

举一反三：

【变式】如图，∠ACB=90°,BD平分∠ABC交AC于D，DE⊥AB于E，ED的延长线交BC的延长线于F.

求证：AE=CF

【答案】∵BD平分∠ABC，DE⊥AB,DC⊥BF

∴DE=DC

在△ADE和△FCD中

∴△ADE△FCD(ASA)

∴AE=CF

类型二：角平分线的判定

2、已知，如图，CE⊥AB,BD⊥AC,∠B=∠C，BF=CF。求证：AF为∠BAC的平分线。

思路点拨：由已知条件与待求证的结论，应想到角平分线的判定定理。

解析：∵CE⊥AB,BD⊥AC（已知）

∴∠CDF=∠BEF=90°

∵∠DFC=∠BFE(对顶角相等)

BF=CF(已知)

∴△DFC≌△EFB(AAS)

∴DF=EF(全等三角形对应边相等)

∵FE⊥AB,FD⊥AC（已知）

∴点F在∠BAC的平分线上(到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线

上)

即AF为∠BAC的平分线

总结升华：应用角平分线定理及逆定理时不要遗漏了“垂直”的条件。如果遗漏了说明没有认识到“垂直”条件在证明结论的必要性。

举一反三：

【变式】如图，已知AB=AC,AD=AE,DB与CE相交于O

(1) 若DB⊥AC,CE⊥AB,D,E为垂足，试判断点O的位置及OE与OD的大小关系，并证明你的结论。

(2) 若D，E不是垂足，是否有着同样的结论？并证明你的结论。

【答案】

（1）∵AB=AC,AD=AE

∴BE=CD

∵DB⊥AC,CE⊥AB,

∴∠BEO=∠CDO=90°

在△BEO和△CDO中

∴△BEO△CDO

∴EO=DO

∵EO⊥AB,DO⊥AC

∴点O在∠A的平分线上

（2）点D,E不是垂足时，（1）的结论仍然成立，连接AO

在△ABD和△ACE中

∴△ABD△ACE

∴∠B=∠C

∵AB=AC,AD=AE

∴EB=CD

在△BEO和△CDO中

∴△BEO△CDO

∴EO=DO

在△AEO和△ADO中

∴△AEO△ADO

∴∠EAO=∠DAO

∴O点在∠A的角平分线上

类型三、角平分线的综合应用

3、已知：BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE求证：∠BAD=∠DAC+∠C

思路点拨:证明一个角等于另外两个角的和的问题，一般有两种途径：1.将两个角转化为一个角，再证等角。2.在和角中做一个角，使它与这两个角中的一个相等，再整余下的部分等于另一个角。

解析：过C做CF⊥BE，交BE的延长线于F

∵AD⊥BE，CF⊥BE

∴AD//CF

∴∠DAC=∠FCA

即∠FCB=∠ACB+∠DAC

在Rt△BCF中∠FCB=90°-∠EBC

在Rt△ABD中∠BAD=90°-∠ABE

∵BE平分∠ABC

∴∠ABE=∠EBC

∴∠FCB=∠BAD=∠DAC+∠C

总结升华：添加辅助线时，要能充分利用已知条件。

举一反三：

【变式】在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，BD平分∠ABC。求证：∠Ａ＋∠Ｃ＝１８０°

【答案】过Ｄ做AB、BC所在直线的垂线，垂足分别是E、F

∵BD平分∠ABC

∴DE=DF

又∵AD=CD

∴△AED△CDF（HL）∴∠C=∠DAE

又∵∠BAD+∠DAE=180°∴∠C+∠BAD=180°