【全国百强校】西藏日喀则区第一高级中学2015-2016学年高二10月月考理数试题解析(解析版)

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目 要求，请将正确选项的代号填入答题卡的相应位置．） 1.函数33y x x =-的单调递减区间是（ ）A ．(),0-∞B ．()0,+∞C ．()1,1-D ．()(),11,-∞-+∞ 【答案】C考点：利用导数研究函数的性质2.函数()ln f x a x x =+在1x =处取得极值，则a 的值为（ ） A ．0 B ．1- C ．12- D ．12【答案】B 【解析】试题分析：()()1,0,af x x x'=+∈+∞ 有题意函数在1x =处取得极值，则令()10f '=，可得1a =- 考点：函数的极值3.如图，函数221y x x =-++与1y =相交形成一个闭合图形（图中的阴影部分），则该闭合图形的面积是（ ）A ．43B ．1C ．2 【答案】A【解析】试题分析：函数221y x x =-++与1y =的交点为()()0,1,2,1，则闭合图形的面积为()()2222221211413dx dx xx x x dx -++-++--==⎰⎰⎰ 考点：定积分 4.给出下面四个命题：①“直线//a 直线b ”的充要条件是“a 平行于b 所在的平面”； ②“直线l ⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l ⊥平面α”；③“直线a ，b 为异面直线”的充分而不必要条件是“直线a ，b 不相交”；④“平面//α平面β”的必要而不充分条件是“α内存在不共线三点到β的距离相等”． 其中正确命题的序号是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④ 【答案】B考点：直线与平面的位置关系5.如图，空间四边形CD AB 中，M ，G 分别是C B ，CD 的中点，则11C D 22AB +B +B等于（ ）A ．D AB ．G AC ．G AD ．G M【答案】C 【解析】试题分析：如图所示，连结BG,AG ，则由G 是CD 的中点可得BC+BD=2BG ，又AB+BG=AG ，故()111C D C D 222G G AB +B +B =AB +B +B =AB +B =A考点：向量的加法法则6.正四棱柱1111CD C D AB -A B 中，12AA =AB ，则CD 与平面1DC B 所成角的正弦值等于（ ）A ．23 B C D ．13【答案】A考点：直线与平面所成的角7.设点P 是曲线3y x b =+（b 为实常数）上任意一点，P 点处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是（ ） A ．2,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．5,26ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．50,,26πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ D ．20,,23πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【答案】D 【解析】试题分析：设点P 是曲线3y x b =+（b 为实常数）上任意一点，23y x '=，即点P处切线的斜率为23tan k x k α=≥≥P 点处切线的倾斜角αα的取值范围为20,,23πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭考点：利用导数研究曲线上某点处切线的斜率8.如图，第（1）个图案由1个点组成，第（2）个图案由3个点组成，第（3）个图案由7个点组成，第（4）个图案由13个点组成，第（5）个图案由21个点组成，⋅⋅⋅⋅⋅⋅，依次类推，根据图案中点的排列规律，第100个图形由多少个点组成（ ）A ．9900B ．9901C ．9902D ．9903 【答案】B考点：归纳推理，数列求和9.设a ，b ，c ，n 均是实数，下面使用类比推理，得出正确结论的是（ ） A ．“若33a b ⋅=⋅，则a b =”类推出“若00a b ⋅=⋅，则a b =” B ．“()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ⋅=⋅” C ．“()nn nab a b =”类推出“()nnna b a b +=+”D ．“()a b c ac bc +=+”类推出“a b a bc c c+=+（0c ≠）” 【答案】D【解析】试题分析：A ．“若33a b ⋅=⋅，则a b =”类推出“若00a b ⋅=⋅，则a b =”结论不正确； B ．“()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ⋅=⋅”结论不正确； C. “()nn n ab a b =”类推出“()nn n a b a b +=+”，结论不正确； D “()a b c ac bc +=+”类推出“a b a bc c c+=+（0c ≠）” ，结论正确； 考点：类比推理10.()f x '是()f x 的导函数，()f x '的图象如右图所示，则()f x 的图象只可能是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】D考点：函数单调性与导数的关系【思路点晴】本题考查函数单调性与导数的关系，属于中档题，在解题时通过观察函数的图象并从中提取相关信息是解题的关键，着就要求熟练掌握函数与其导数之间的关系． 11.如图，正方体1111CD C D AB -A B 的棱长为1，点M 在棱AB 上，且13AM =，点P 是平面CD AB 上的动点，且动点P 到直线11D A 的距离与点P 到点M 的距离的平方差为1，则动点P 的轨迹是（ ） A ．圆 B ．抛物线 C ．双曲线 D ．直线 【答案】B 【解析】考点：抛物线的定义【思路点晴】本题考查抛物线的定义以及求点的轨迹方程的方法，属于难题，在解题过程中体现了数形结合的数学思想，而得到PQ PM =是解题的关键．为了得到PQ PM =，将已知条件中“动点P 到直线11D A 的距离”及“点P 到直线11D A 的距离与点P 到点M 的距离的平方差为1”用数学语言表达是考察的一个目标12.若函数()f x 对任意的R x ∈都有()()f x f x '>恒成立，则（ ） A ．()()3ln 22ln 3f f > B ．()()3ln 22ln 3f f =C ．()()3ln 22ln 3f f <D ．()3ln 2f 与()2ln 3f 的大小不确定 【答案】C 【解析】试题分析：令()(=x f x g x e ），则()()()()2()()(=x x x x f x e e f x f x f x g x e e ''-'-'=），由题意对任意的R x ∈都有()()f x f x '>恒成立，故()0g x '>，即()g x 在R 上单调递增，又()ln 2ln 3,(ln 2)ln 3g g <∴< 即()()ln 2ln3ln 2ln 33(ln 2)2(ln 3)f f f f e e<⇒< 考点：利用导数研究函数的单调性，导数的运算【思路点晴】本题考查导数的运算及利用导数研究函数的单调性，属难题，解决本题的关键是根据选项及已知条件合理构造函数 ()(=x f x g x e），利用导数可判断()g x 的单调性，由单调性可得(ln 2)g 与()ln 3g 的大小关系，整理即可得到答案二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．）13.定积分()221cos x dx ππ-+=⎰【答案】2π+ 【解析】试题分析：()()221cos 2sin 220x dx x x ππππ-+=+=+⎰考点：定积分14.若()f a '=A ，则()()lim x f a x f a x x∆→+∆--∆=∆【答案】2A考点：函数的极限15.在边长为a 的正三角形C AB 中，D C A ⊥B 于D ，沿D A 折成二面角D C B -A -后，C 2aB =，这时二面角DC B -A -的大小为 【答案】60 【解析】试题分析：根据已知条件知D 为正三角形C AB 边C B 中点，且BD ⊥AD ，CD ⊥AD ；DC ∴∠B 为二面角D C B -A -的平面角，连接C B ；由1C 22a AB BD CD B ====得CD B 为正三角形；DC=60∴∠B，故二面角D C B -A -的大小为60°60 ．． 考点：二面角的求法【思路点晴】本题考查二面角平面角的概念及求法，属中档题.弄清图形折叠前后的变化，认识到等边三角形的高线也是中线是解题的关键，根据已知条件能够说明DC ∠B 为二面角D C B -A -的平面角，连接C B ，从而容易说明CD B 为正三角形，从而得出二面角D C B -A -的大小为6016.设()axf x e =（0a >）．过点(),0a P 且平行于y 轴的直线与曲线C :()y f x =的交点为Q ，曲线C 过点Q 的切线交x 轴于点R ，则QR ∆P 的面积的最小值是考点：利用导数研究函数在某点处的切线【思路点晴】本题主要考查导数的概念和应用，考查应用导数求切线方程，同时考查运用导数求最值，考查基本的运算能力，是一道中档题．求出切点(),()a f a Q ，再求出函数的导数，并求出切线的斜率k ，设出(),0R r ，由两点的斜率公式，写出斜率k ，并求出1r a a=-，求出QR ∆P 的面积为2QR 2a e S a ∆P =，再运用导数求出QR S ∆P 的最小值即可．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17.已知函数()316f x x x =+-．（1）求曲线()y f x =在点()2,6-处的切线方程； （2）如果曲线()y f x =的某一切线与直线134y x =-+垂直，求切点坐标与切线的方程． 【答案】（1）13320x y --=（2）切线方程为4180x y --=或4140x y --=考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的一般式方程与直线的垂直关系18.某商厦欲在春节期间对某新上市商品开展促销活动，经测算该商品的销售量s 万件与促销费用x 万元满足342s x =-+．已知s 万件该商品的进价成本为203s +万元，商品的销售价格定为305s+元/件． （1）将该商品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数； （2）促销费用投入多少万元时，商家的利润最大？最大利润为多少？【答案】（1）()61802y x x x =-->+（2）2-万元时，厂家的销售利润最大为20-【解析】试题分析：（1）根据产品的利润=销售额-产品的成本建立函数关系；考点：函数的实际应用问题19.设函数()()21ln f x x b x =-+．（1）若函数()f x 在2x =时取得极小值，求b 的值； （2）若函数()f x 在定义域上是单调函数，求b 的取值范围． 【答案】（1）4b =-（2）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】试题分析：（1）求导，按求函数极值的一般步骤可求b 的值（2）由()f x 在定义域上是单调函数可得()0f x '≥或()0f x '≤在()0+∞，上恒成立，分情况讨论即可求解试题解析：（1）()22b f x x x '=-+，即()24202bf '=-+=，即4b =- 经检验可知4b =-满足题设．（2）()222x x bf x x-+'=，由题知()0f x '≥或()0f x '≤任意()0,x ∈+∞，2220x x b -+≥恒成立，即()2max22b x x≥-+所以b 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭考点：函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．20.如图，在四棱锥CD P -AB 中，底面CD AB 为直角梯形，D//C A B ，DC 90∠A = ，平面D PA ⊥底面CD AB ，Q 为D A 的中点，M 是棱C P 上的点，D 2PA =P =，1C D 12B =A =，CD =． （I ）求证：平面Q P B ⊥平面D PA ；（II ）若二面角Q C M -B -为30 ，设C t PM =M ，试确定t 的值．【答案】（I ）见解析（II ）3t =（II ） D PA =P ，Q 为D A 的中点，∴Q D P ⊥A ． 平面D PA ⊥平面CD AB ，且平面D PA 平面CD D AB =A ，∴Q P ⊥平面CD AB ．如图，以Q 为原点建立空间直角坐标系．则平面QC B 的法向量为()0,0,1n = ，()Q 0,0,0，(P ，()B ，()C -．设(),,x y z M ，则(,,x y z PM =- ，()C 1,x y z M =---- ，考点：用空间向量求二面角；平面与平面垂直的判定；【思路点晴】 本题考查平面与平面垂直的证明，属中档题．解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化，合理地运用向量法进行解题．另，证明平面Q P B ⊥平面D PA 亦可作如下考虑：法二：由D//C A B ，1C D 12B =A =，Q 为D A 的中点，知四边形CDQ B 为平行四边形，故CD//Q B ．由DC 90∠A = ，知Q 90∠A B = ．由D PA =P ，知Q P ⊥D A ，故AD PBQ ⊥平面．由此证明平面Q P B ⊥平面D PA ．21.直三棱柱C C '''AB -A B 中，C C 'A =B =AA ，C 90∠A B = ，D 、E 分别为AB 、'BB 的中点．（1）求证：C D 'E ⊥A ；（2）求异面直线C E 与C 'A 所成角的余弦值．【答案】（1）见解析（2【解析】考点：向量法解决空间几何中的直线与直线垂直和异面直线所成的角．22.）已知函数()()221ln 2f x x a a x x =---（12a ≤）． （1）当1a =-时，求函数()y f x =的极值；（2）讨论函数()f x 的单调性；（3）设()22ln g x a x x =-，若()()f x g x >对1x ∀>恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）极小值为()22ln 2f =-（2）见解析（312a <≤【解析】 试题分析：（1）当1a =-时.()212ln 2f x x x x =--,求导,讨论()y f x =的单调性，即可求出其极值；（2）()f x 的定义域为()0,+∞，求导得()()()1=x a x a f x x -+-'，分类讨论即可得到()f x 的单调性；（3）由题意知，()22221ln ln 2x a a x x a x x --->-，分离变量的2232ln x a a x -<对1x ∀>恒成立，构造新函数()22ln x h x x =，讨论其单调性得到其最小值，即23a a e -<对1x ∀>恒成立，结合12a ≤，可得12a <≤考点：利用导数研究函数的单调性，极值，最值，恒成立等问题【思路点晴】 本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，最值，恒成立等问题，属难题题．解题时要认真审题，注意合理地选择分类讨论的标准，做到不重不漏；解决第（3）问时要正确的将问题转化为()22ln x h x x =的最小值问题，则实数a 的取值范围就可迎刃而解.：。