第6讲-例题分析
彻底搞懂应用题拿高分第6讲鸡兔同笼问题
应用题短期突破第6 讲鸡兔同笼问题知识归纳鸡兔同笼方法：假设法，方程法，抬腿法，列表法公式1：（兔的脚数×总只数﹣总脚数）÷（兔的脚数﹣鸡的脚数）＝鸡的只数；总只数﹣鸡的只数＝兔的只数公式2：（总脚数﹣鸡的脚数×总只数）÷（兔的脚数﹣鸡的脚数）＝兔的只数；总只数﹣兔的只数＝鸡的只数公式3：总脚数÷2﹣总头数＝兔的只数；总只数﹣兔的只数＝鸡的只数公式4：鸡的只数＝（4×鸡兔总只数﹣鸡兔总脚数）÷2；兔的只数＝鸡兔总只数﹣鸡的只数公式5：兔总只数＝（鸡兔总脚数﹣2×鸡兔总只数）÷2；鸡的只数＝鸡兔总只数﹣兔总只数公式6：（头数x4﹣实际脚数）÷2＝鸡公式7：4×+2（总数﹣x）＝总脚数（x＝兔，总数﹣x＝鸡数，用于方程）公式8：鸡的只数：兔的只数＝兔的脚数﹣（总脚数÷总只数）：（总脚数÷总只数）﹣鸡的脚数．例题精讲：【例题1】今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有94足．问鸡有多少只？兔有多少只？1 /2【例题2】在一个停车场上，汽车、摩托车共停了48辆，其中每辆汽车有4个轮子，每辆摩托车有3个轮子，这些车共172个轮子，停车场上有摩托车多少辆？【例题3】松鼠妈妈采松子，晴天每天可以采20个，雨天每天只能采12个．它连续几天共采了112个松子，平均每天采14个．这几天中有多少天是雨天？【例题4】一个奥特曼与一群小怪兽在战斗．已知奥特曼有一个头、两条腿，开始时每只小怪兽有两个头、五条腿，在战斗过程中有一部分小怪兽分身了，一个小怪兽分成了两只，分身后的每只小怪兽有一个头、六条腿（不能再次分身），某个时刻战场上有21个头，73条腿，那么这时共有多少只小怪兽？课后巩固：【巩固5】少年活动中心的某个绘画室中有3腿的凳子和4腿的椅子共40张，房间里恰好有40位小朋友坐在这40张凳子和椅子上．昊昊数了一下，凳子的腿、椅子的腿和小朋友的腿数，总数是225．那么绘画室中，凳子有多少张？2 /2。
小学二年级奥数第6讲 间隔趣谈(含答案分析)
第6讲间隔趣谈【专题简析】两根绳子结起来只要打一个结，两根绳子结成一个圆需要打两个结，一根绳子剪4次被剪成了5段等等，这是日常生活中的比较特殊的问题。
想要做好这类题，需要我们多动脑筋，多动笔画画，才能找到正确的答案。
这一讲是有关绳子打结和剪绳子的问题。
给绳子打结如果不练成一个圆，打结的次数比绳子的根数少1；如果结成1个圆，打结的次数与绳子的根数同样多。
同样，如果是剪绳子，那么剪成的段数比剪得次数多1.【例题1】小刚把4根绳子连起来成一条绳子，一共需要打几个结？思路导航:解这种题，可以画图解答。
如图：打结打结打结从上图中可以看出，4根绳子要结起来成一根绳子，只要打3次结就可以了，可见，打结的次数比绳子的根数少1.解：4-1=3（个）答：小刚把4根绳子连起来成一条绳子，一共需要打3个结练习11．小明把5根绳子连起来成一根长绳，一共需要打几个结？2.把8根绳子连接起来成一根绳子，一共需要打几个结？【例题2】把几根绳子打7个结就能成一个圆？思路导航:根据题意，如图所示：打了7个结，就把一些绳子结成了一个圆，这些绳子应该有7根。
因此，如果把绳子结成圆时，绳子的根数与打结的次数相等。
解：把7根绳子打7个结就能成一个圆练习21．丽丽打了8个结就把一些绳子结成一个圆，你知道丽丽拿了几根绳子吗？2．小红拿10根绳子结成一个圆，她打了几个结？3．把20根绳子连接起来成一根绳子，一共需要打几个结？如果要结成一个圆，需要结几次？【例题3】一根10米长的绳子剪了4次，平均每段长多少米？思路导航:10米长的绳子剪了4次，应该剪成了5段。
求平均每段长多少米，也就是要把10平均分成5份，求每份是多少。
210=÷（米），因此平均每段长2米5解：4+1=5（段）210=÷（米）5答：平均每段长2米练习31．一根8米长的绳子，剪了3次，平均每段长多少米？2．一根9分米长的绳子，剪了2次，平均每段长多少分米？3．一根绳子剪了5次后，平均每段长3米，这根绳子原来长多少米？【例题4】一根10米长的绳子，把它剪成2米长的一段，可以剪多少段？要剪几次？思路导航:（1）10米长的绳子，剪成每段2米长，要求可剪多少段，这里求10里面有几个2，5210=÷（段），可以剪5段。
小学三年级奥数第6讲 植树问题(含答案分析)
第6讲植树问题一、知识要点1、基本概念：总长：植树路线的全长。
棵距：两棵数之间的距离。
段数：总长中共有几个棵距棵数：植树的总棵树2、基本类型以及关系式：（1）路的两端都要植树棵树=线路总长÷棵距+1线路总长=棵距×（棵树－1）棵距=线路总长÷（棵数－1）（2）路的两端都没有植树棵树=线路总长÷棵距－1棵数=段数-1(3)路的一端植树，另一端不植树棵树=线路总长÷棵距棵数=段数另外，生活中还有一些问题，可以用植树问题的方法来解答。
比如锯木头、爬楼梯问题等等，这时解题的关键是要将题目中的条件和问题与植树问题中的“总距离”、“间隔长”、“棵数”对应起来。
二、精讲精练【例题1】小朋友们在路的一边植树，先植一棵树，以后每隔3米植一棵，已经植了9棵，问第一棵和第九棵树相距多少米？练习1：（1）在路的一侧插彩旗，每隔5米插一面，从起点到终点共插了20面，这条道路有多长？（2）在学校的走廊两边，每隔4米放一盆菊花，从起点到终点一共放了20盆，这条走廊长多少米？【例题2】在一条长42米的大路两侧栽树，从起点到终点一共栽了14棵，已知相邻两棵树之间的距离都相等，问相邻两棵树之间的距离是多少米？练习2：在公园一条长30米的路的两侧放椅子，从起点到终点共放了12把椅子，相邻两把椅子的距离相等，相邻两把椅子之间相距多少米？【例题3】把一根钢管锯成小段，一共花了28分钟，已知每锯开一段需要4分钟，这根钢管被锯成了多少段？练习3：一根圆木锯成2米长的小段，一共花了12分钟。
已知每锯下一段要3分钟，这根圆木长多少米？【例题4】甲、乙两人比赛爬楼梯，甲跑到4楼时，乙恰好跑到3楼，照这样计算，甲跑到16楼时，乙跑到了多少楼？练习4：小明和小红两人爬楼梯比赛，小明跑到第4层时，小红跑到第5层，照这样计算，当小明跑到第16层时，小红跑到了第几层？【例题5】一个圆形跑道长300米，沿跑道周围每隔6米插一面红旗，每两面红旗中间插一面黄旗，跑道周围各插了多少面红旗和黄旗？练习5：（1）有一个正方形水池，周长是200米。
高二数学竞赛专属课程第6讲 组合构造-例题简答
第六讲 组合构造例1. 城堡里有3个编号分别为1、2、3的按钮，打开城堡大门的密码是一个三位数，为了保证能打开城堡，最少需要按多少次按钮？（当且仅当连续且正确地依次按出密码的3位数字，才能打开城堡大门）【解析】：由1,2,3组成的不同的3位数共有27个.显然，除了所按的前两个数字之外，从第3个数字开始的一个数字都是一个3位数字的个位数字.可见，为了按出全部的27个3位数，至少要按29次按钮。
另一方面，当29次顺序如下时：11123222133313121223113233211时，满足要求．例2. 平面上是否存在100条直线，它们恰有1987个不同交点？【解析】：利用7326991997⨯+=考虑两组平行线分别有73、26条，最后1条独立，共形成1997个交点．从前两组平行线中各取5条，分别等距排列，让最后一条直线穿过形成的大平行四边形的对角线，可以少10个交点．例3. 求证：平面中存在100个点，使得任意两点之间的距离为无理数；且任意三点不共线，以这三点为顶点的三角形面积为有理数．【解析】：抛物线()20y x x =≥上的格点的集合()}{,|2,S x y x m m N ==∈，它是一个无穷集，并且满足条件（1）（2），只需验证（3）．任取()()()2221112223332,4,2,4,2,4A m m A m m A m m S ∈，则可计算出123A A A S ∆是偶数也可只满足后两个要求，再相似放大．例4. 平面上是否存在100个整点，任意三点不共线，且任意两点之间的距离为整数？【解析】：存在，转化为构造单位圆上100个有理点，任意两点之间的距离为有理数 让所有点所对旋转角的一半的三角函数取有理数值即可例5. 已知n 为正整数，求证：平面上存在一个有限点集n A ，使得n A 中每个点恰与n A 中n 个点的距离为1．【解析】：当1n =时，任取平面上距离为1的两点组成1A ．假设n k =时，存在满足要求的点集k A ．当1n k =+时，我们给出1k A +的构造． 以k A 中每一个点为圆心，1为半径作圆，标出这些圆之间的所有交点． 连结这些交点与所在圆的圆心，并连结k A 中所有距离为1的两点． 这样得到有限条长度为1的线段，取单位向量a 与上述线段都不平行． 将k A 沿向量a 平移得到点集k A '，则取1k kkA A A +'=即可．下面说明1k A +满足要求． 对k A 中的任意点P ，在k A 中恰有另外k 个点与P 距离为1． 考虑k A '中的点，设P 点沿a 平移得到点P '，则1PP '=．对连结k A 中所有距离为1的两点得到的线段，a 与其都不平行，故k P A '∉． 对k A '中另外一点Q '，设其对应k A 中的点Q ，则1QQ '=．若1PQ '=，则Q '为圆P 和圆Q 的交点，这样半径QQ '与a 平行，矛盾． 于是k A '中恰有一点到P 的距离为1．即1k A +中恰有1k +个点到P 的距离为1． 类似的，对k A '中任意一点，1k A +也恰有1k +个点到其距离为1． 综上可知原命题成立．例6. 将凸2017边形的每一个顶点都染上一种颜色，且任意相邻两个顶点异色．求证：一定存在2014条对角线，它们将这个多边形剖分成三角形，且每条对角线的两个端点颜色不同．【证明】：考虑多边形的边数()21n k k +=+∈的一般情形．对k 用数学归纳法证明．当1k =时，3n =，结论显然成立．设结论对k m =成立．当1k m =+时，设给定的凸23m +边形已按要求涂好颜色，则必有一个顶点A 于它的两个相邻顶点异色．若不然，则每个顶点的两个相邻顶点都同色．由于顶点数为奇数，故所有顶点都同色，此与已知矛盾．将顶点A 的相邻两个顶点连一条对角线，则它的两端点异色，并将原多边形分成一个三角形和一个凸22m +边形．如果在凸22m +边形中有一个顶点B ，它的相邻的两个顶点异色，那么这两个异色点间所连对角线又分出一个三角形和一个凸21m +边形，于是由归纳假设知结论成立．否则这个凸22m +边形的每个顶点的两个相邻顶点恰涂有这两种颜色，从而顶点A 与另外22m +个顶点均不同色．于是从A 出发的2m 条对角线将凸23m +边形完全剖分为21m +个三角形，即满足题中要求，这就完成了归纳证明．特别取1001,2003k n ==便知原题结论成立．例7. 平面上有一个无限大的方格棋盘，棋盘上有一个n n ⨯（2n ≥）的正方形中每个小方格里摆放了一枚棋子，其余小方格都空着．按下述规则进行操作：每一枚棋子都可以沿水平或竖直方向（即平行于网格线的方向）越过相邻的棋子，放进紧挨着这枚相邻棋子的空格里，并把相邻棋子从棋盘上取走． 求证：当3|n /时，一定可以经过有限次操作后使得棋盘上恰好剩下一枚棋子．【解析】：先说明按如下方式可以去掉13⨯中的棋子：再用归纳构造，2n =时,如下图方式操作4n =时，如图所示，去掉途中绿色的13⨯中的棋子变为2n =的情况； n k =时，构造3n k =+，去掉左上到右下的“L 形”……。
第6讲 平面向量等和线定理求系数和问题(解析版)
第6讲 平面向量等和线定理求系数和问题【考点分析】考点一：平面向量等和线问题 ①平面向量共线定理已知OA OB OC λμ=+，若1λμ+=，则,,A B C 三点共线；反之亦然。
①平面向量等和线问题平面内一组基底,OA OB 及任一向量OP ，(,)OP OA OB R λμλμ=+∈，若点P 在直线AB 上或者在平行于AB的直线上，则k λμ+=（定值），反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和线。
注意：1.当等和线恰为直线AB 时，1k =；2.当等和线在O 点和直线AB 之间时，(0,1)k ∈；3.当直线AB 在点O 和等和线之间时，(1,)k ∈+∞；4.当等和线过O 点时，0k =；5.若两等和线关于O 点对称，则定值k 互为相反数； 【典型例题】题型一： 平面向量等和线求系数和问题【例1】如图，在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，若满足AP mAB nAD =+，则n m +的最大值为（ ）A ．3B ．22C ．5D ．2OABCP P 1【答案】A【解析】法一：如图：以A 为原点，以AB ，AD 所在的直线为x ，y 轴建立如图所示的坐标系， 则(0,0)A ，(1,0)B ，(0,2)D ，(1,2)C ，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，设圆的半径为r ，2BC =，1CD =，BD ∴∴1122BC CD BD r =，r ∴=，∴圆的方程为224(1)(2)5x y -+-=，设点P 的坐标为1θ+2)θ+，AP AB AD λμ=+，1θ∴+2)(1θλ+=，0)(0μ+，2)(λ=，2)μ，∴1θλ+=22θμ+=，2sin()2λμθθθϕ∴+=++=++，其中tan 2ϕ=，∵1)sin(1≤+≤-ϕθ，∴31≤+≤μλ，故λμ+的最大值为3，故选A ．法二：由等和线性质知：APAPAD AN n m 1==+，所以当1P 在如图所示位置时，n m +取得最大值，33==+rr n m 【例2】如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O ，P 为圆O 上任一点，若AP xAB y AC =+，则22x y +的最大值为（ ）A ．83B ．2C ．43D ．1【答案】A 【详解】作BC 的平行线与圆相交于点P ，与直线AB 相交于点E ，与直线AC 相交于点F ， 设AP AE AF λμ=+，则1λμ+=， ∵BC//EF ，∴设AE AF k AB AC ==，则4[0,]3k ∈ ∴,AE k AB AF k AC ==，AP AE AF k AB k AC λμλμ=+=+ ∴,x k y k λμ==∴22x y=+8223k k λμ+=≤（）故选：A.【例3】在ABC 中，M 为BC 边上任意一点，N 为线段AM 上任意一点，若AN AB AC λμ=+（λ，μ∈R ），则λμ+的取值范围是（ ） A ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[0,1]D ．[1,2]【答案】C 【解析】 【分析】设AN t AM =，()01t ≤≤，当0=t 时， 可得0λμ==，从而有0λμ+=；当01t <≤时，有B A A M AC ttλμ=+，根据M 、B 、C 三点共线，可得1t t，进而可得(]0,1t λμ+=∈，从而即可求解.【详解】解：由题意，设AN t AM =，()01t ≤≤，当0=t 时，0AN =，所以0AB AC λμ+=， 所以0λμ==，从而有0λμ+=；当01t <≤时，因为AN AB AC λμ=+（λ，μ∈R ）， 所以B t A A A M C λμ=+，即B A A M AC ttλμ=+，因为M 、B 、C 三点共线，所以1t t，即(]0,1t λμ+=∈.综上，λμ+的取值范围是[0,1]. 故选：C.【例4】如图，已知点P 在由射线OD 、线段OA ，线段BA 的延长线所围成的平面区域内（包括边界），且OD 与BA 平行，若OP xOB yOA =+，当12x =-时，y 的取值范围是（ ）A ．[]0,1B ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】 【分析】根据向量加法的平行四边形法则，OP 为平行四边形的对角线，该四边形应是以OA 与OB 的反向延长线为两邻边，当12x =-时，要使P 点落在指定区域内，即P 点应落在EF 上，得到y 的取值范围. 【详解】∵//OD AB ，OP xOA yOB =+，由向量加法的平行四边形法则，OP 为平行四边形的对角线， 该四边形应是以OA 与OB 的反向延长线为两邻边，∴当12x =-时，要使P 点落在指定区域内，即P 点应落在EF 上，13,22CE OA CF OA ==，∴y 的取值范围为1322⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.故选：D.【例5】在扇形OAB 中，60AOB ∠=，C 为弧AB 上的一动点，若OC xOA yOB =+，则3x y +的取值范围是_________． 【答案】[]1,3 【解析】 【分析】以O 为原点，,OA OB 分别为x ，y 轴正方向建立平面直角坐标系.向量坐标化进行坐标运算，利用三角函数求出3x y +的取值范围. 【详解】以O 为原点，,OA OB 分别为x ，y 轴正方向建立平面直角坐标系.则()11,0,2OA OB ⎛== ⎝⎭.不妨设()cos ,sin ,03OC πθθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭. 因为OC xOA yOB =+，所以1cos 2sin x y yθθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得：cos x y θθθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以s 3co 3in x y θθ+=. 因为cos y θ=在0,3πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，sin y θ=-在0,3πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以s 3co 3in x y θθ+=在0,3πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减.所以当0θ=时33x y +=最大；当3πθ=时cos1333332x y ππ===+最小. 所以3x y +的取值范围是[]1,3. 故答案为：[]1,3. 【题型专练】1.在直角ABC 中，AB AC ⊥，2AB AC ==，以BC 为直径的半圆上有一点M （包括端点），若AM AB AC λμ=+，则λμ+的最大值为（ ）A ．4 BC ．2 D【答案】C 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标表示M ，结合三角函数最值的求法，求得λμ+的最大值. 【详解】依题意在直角ABC 中，AB AC ⊥，2AB AC ==， 以A 为原点建立如图所示平面直角坐标系，()()0,2,2,0C B ，设D 是BC 的中点，则()1,1D .BC =(),M x y 满足()()22211x y -+-=，设11x y αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（α为参数，π3π44α-≤≤），依题意AM AB AC λμ=+，即()()()1,12,00,2ααλμ=+，()()1,12,2ααλμ=，λμ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，π22sin π4sin 124αλμα⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎝⎭+===++ ⎪⎝⎭， 所以当πππ,424αα+==时，λμ+取得最大值为2. 故选：C2.在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP =λ AB +μAD ，则λ+μ的最大值为 A ．3 B ．CD ．2【答案】A 【解析】 【详解】如图所示，建立平面直角坐标系.设()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y ,易得圆的半径r =，即圆C 的方程是()22425x y -+=，()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=，若满足AP AB AD λμ=+，则21x y μλ=⎧⎨-=-⎩ ，,12x y μλ==-，所以12xy λμ+=-+， 设12x z y =-+，即102x y z -+-=，点(),P x y 在圆()22425x y -+=上， 所以圆心(2,0)到直线102xy z -+-=的距离d r ≤13z ≤≤，所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A.3.如图，在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1，圆心Q 在线段CD （含端点）上运动，P 是圆Q 上及其内部的动点，设向量AP mAB nAF =+（m ，n 为实数），则m ＋n 的最大值为______．【答案】5 【解析】 【分析】根据||||||AC AQ AD ≤≤及||1||||1AQ AP AQ -≤≤+得到1||5AP ≤≤，根据平面向量知识得到22||4()12AP m n mn =+-，利用2()4m n mn +≤可求出结果.【详解】在边长为2的正六边形ABCDEF 中，AC CD ⊥，||224AD =⨯=， 所以||||4AQ AD ≤=，当且仅当Q 与D 重合时，等号成立，又||||1AP AQ ≤+，即||415AP ≤+=，当||5AP =时，P 是AD 的延长线与圆Q 的交点，此时，由AP mAB nAF =+可知，m n =.因为AP mAB nAF =+，且2π,3AB AF <>=， 所以22222||||2||||||AP m AB mn AB AF n AF =⋅+⋅⋅+⋅22144222()2m n mn =++⋅⋅⋅-22444m n mn =+- 24()12m n mn =+-，所以2211()||312mn m n AP =+-，结合图形可知，0,0m n >>，由2()0m n -≥，得2m n mn +≥，即2m n mn +≥，即2()4m n mn +≤，当且仅当m n =时等号成立，所以22211()()||3124m n m n AP ++-≤，所以||m n AP +≤，又||5AP ≤，时，等号成立， 所以5m n +≤，当且仅当m n =时，等号成立. 即m ＋n 的最大值为5. 故答案为：5.4.已知ABC 的外接圆圆心为O ，120A ∠=，若AO x AB y AC =+(x ，y R )，则x y +的最小值为（ ）A ．12 B ．23C ．32D ．2【答案】D 【解析】 【分析】设OA 与BC 交点为E ，则AE AB AC λμ=+其中1λμ+=，由于()RAO xAB y AC AB AC R OEλμ=+=+-，得()R R x y R OE R OE λμ+=+=--，因为2ROE R ≤< 故x y +的最小值可得.【详解】设OA 与BC 交点为E ，设OE m =，圆的半径为R ，D 为BC 中点，如图所示：则RAO AE R m=-，设AE AB AC λμ=+，因为,,B C E 三点共线，则1λμ+= 所以()R AO xAB y AC AB AC R m λμ=+=+-，故()R Rx y R m R mλμ+=+=-- 因为120A ∠=︒，则60COD ∠=︒所以1cos602OD R R =︒=则2R m R ≤< ，故22R RR R m R ≥=-- 所以x y +的最小值为2 故选：D 【点睛】设AE AB AC λμ=+，因为,,B C E 三点共线，则1λμ+=，得()R Rx y R m R mλμ+=+=--是解题的关键. 5.给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为23π，如图所示点C 在 以O 为圆心的圆弧AB 上运动，若OC xOA yOB =+，其中x ，y R ∈，则x y +的取值范围为（ ）A ．(1，2]B ．[1，2]C ．[1，2)D ．[2-，2]【答案】B解析：由等和线性质知：连接AB ，当C 点在B A 或点时，()1min =+y x ；作AB 的平行线，当与AB 相切时，当C 点在切点时，()2max =+y x6.已知O 是ABC ∆内一点，且0OA OB OC ++=，点M 在OBC ∆内（不含边界），若AM AB AC λμ=+，则2λμ+的取值范围是A ．51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,2C ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【答案】B【解析】根据0OA OB OC ++=可知O 为ABC ∆的重心；根据点M 在OBC ∆内，判断出当M 与O 重合时，2λμ+最小；当M 与C 重合时，2λμ+的值最大，因不含边界，所以取开区间即可．【详解】因为O 是ABC ∆内一点，且0OA OB OC ++=所以O 为ABC ∆的重心M 在OBC ∆内（不含边界），且当M 与O 重合时，2λμ+最小，此时 ()21113233AM AB AC AB AC AB AC λμ⎡⎤=+=⨯+=+⎢⎥⎣⎦ 所以11,33λμ==，即21λμ+= 当M 与C 重合时，2λμ+最大，此时AM AC =所以0,1λμ==，即22λμ+=因为M 在OBC ∆内且不含边界所以取开区间，即()21,2λμ+∈所以选B【点睛】本题考查了向量在三角形中的线性运算，特殊位置法的应用，属于难题． 7.在直角ABC 中，A ∠为直角，1,2AB AC ==，M 是ABC 内一点，且12AM =，若AM AB AC λμ=+，则23λμ+的最大值为_________． 【答案】54【解析】【分析】由12AM =得出22144λμ+=，即224+161λμ=，且由0λ>，0μ>，设1cos 2λθ=，1sin 042πμθθ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，然后利用辅助角公式可求出23λμ+的最大值.【详解】 2A π∠=，1AB =，2AC =，AM AB AC λμ=+，则0AB AC ⋅=，且12AM =， 则()222222221244AM AB AC AB AB AC AC λμλλμμλμ=+=+⋅+=+=， 点M 在ABC 内，则0λ>，0μ>，设1cos 2λθ=，1sin 042πμθθ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭， ()3523cos sin sin 44λμθθθϕ∴+=+=+，其中4tan 3ϕ=， 因此，4λμ+的最大值为54. 故答案为：54. 8.如图，扇形的半径为1，且0OA OB ⋅=，点C 在弧AB 上运动，若OC xOA yOB =+，则2x y +的最大值是__________【解析】【分析】根据题意将OC xOA yOB =+，两边同时平方可得221x y =+，再三角代换cos sin [0,]2x y πααα==∈，，，利用三角函数的性质即得．【详解】由题意得，0OA OB ⋅=，1OA OB ==，1OC =，由OC xOA yOB =+，等式两边同时平方，得2OC =22222x OA y OB xy ++OA OB ⋅， 所以221x y =+，令AOC α∠=，则cos sin [0,]2x y πααα==∈，，，则22cos sin )x y αααθ+=+=+，其中sin cos [0,]2πθθθ==∈， 因为2πθαθθ≤+≤+，sin()1αθ≤+≤，所以1)αθ≤+≤即2x y +。
第6讲《取整问题》(课件)小学奥数六年级上册数学通用版
极限挑战
例题6：解方程：[2x+1]=3x-0.5分析：先把2x+1设为y,采用换元法.答案：
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作业1：计算：（1）([2.1]+{1.5})×[2.75]+{3.8}；（2）[2π]÷[6π]答案：5.8；
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作业2：已知[x]=1,[y]=2,[z]=0,求：（1）[x+y-z]的所有可能值是多少；（2）[3x-y+Байду номын сангаас]的所有可能值是多少.答案：（1）2、3、4（2）0、1、2、3、4
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数学知识点
知识精讲三、关于取整符号的方程：1.有关x、[x]、{x}的方程,我们通常把x拆成[x]+{x},然后利用[x]是整数以及{x}有范围的特点求解.2.一些复杂的含有x、[x]、{x}的方程,有时候用换元的方法来化简求值,例如方程：[5x+2]=3x+3,因为[5x+2]=[5x]+2,然后令5x=y,即有[5x+2]=[y]+2,（其中 ）,于是方程变为 ,把y拆开,有5[y]+10=3y+15=3[y]+3{y}+15,所以2[y]=3[y]+5,容易算出此时 ,所以 .
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作业3： 的运算结果是多少？答案：129
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作业4：解方程：4x-6{x}=43.答案：11.5
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作业5：解方程：[2x]=4x-7答案：3.5或3.25
练习4： 的和是__________.答案：20
初一数学竞赛专讲第⑹讲含例题及答案：图形与面积
3．在右图的4×7的方格纸板上画有如阴 影所示的“6”字，阴影边缘是线段或圆孤。
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问：阴影面积占纸板面积的几分之几？ 4．在右下图中，六边形ABCDEF的面积是
54，AP=2PF，CQ=2BQ，求阴影四边形CEPQ的 面积。
解：由图可知，阴影部分是由三个直径不同的半
圆周所围成，所以其周长为
说明：实际上，该图形中两个小半圆的直径之和等于大半圆的直径，因而它们的 周长也正好等于大半圆的半圆周。 推而广之，若n个小圆的直径之和等于大圆的直径，即：d1+d2+d3+…+dn=D， 那么这些小圆的周长之和也等于大圆的周长，即 πd1+πd2+πd3+…+πdn=π（d1+d2+d3+…+dn）=πD。 例8 某开发区的大标语牌上，要画出如下图所示（图形阴影部分）的三种标点符 号：句号、逗号、问号。已知大圆半径为R，小圆半径为r，且R=2r。若均匀用料，则 哪一个标点符号的油漆用得多？哪一个标点符号的油漆用得少？
例12 已知右图中正方形的面积是12cm2，求图中里外两个 圆的面积。
分析：计算圆面积，要知道半径。先考虑内圆面积。内圆 的直径与正方形的边长相等，但正方形的边长是未知的。根据 已知正方形的面积是12cm2，可以推出内圆直径的平方为12cm2， 再求内圆面积就不难了。 外圆的直径是正方形的对角线，设外圆半径为R，则正方形面积等于由一条对角线 分成的两个等腰直角三角形的面积之和。再由正方形面积=2R×R÷2×2=2R2，2R2=12， 便可求出外圆面积。 解：设内圆半径为r，由正方形面积为12cm2，正方形边长为2r，得 （2r）2=12，r2=3。
六上06_经济问题_
例题4.
一件衣服，第一天按 80%的利润率定价，无人来买；第二天在此基础上再打九折，还是无人
来买；第三天再降价 96 元，终于卖出．已知卖出的价格是进价的 1.3 倍，那么这件衣服的进价是多少元？ 「分析」衣服的最初进价和实际售出价我们都不知道，那么我们不妨假设最初进价是“1”份． 从整个题目所给的条件看，条件虽然很多，但都是倍数关系，或者百分比关系，只有“第三天再降 96 元”这句话给出了一个具体的数．那么这 96 元是几份呢？
那么商店是赚还是亏？
例题3. 售方案：
甲、乙两种商品，甲商品的成本是 125 元，乙商品的成本比甲商品低 16%，现有以下三种销
（1）甲商品按 30%的利润率定价，乙商品按 40%的利润率定价； （2）甲、乙都以 35%利润率定价； （3）甲、乙的定价都是 155 元． 第 2 页 共 6 页 智泉数学工作室
本讲例题与随堂练习：
总成本、售出价、利润、利润率（我们这里提到的都是成本利润率）之间有下面的关系式：
利润 总售价 总成本
利润率
利润 总售价 100% 1 100% 总成本 总成本
总售价 总成本 1 利润率 总成本 总售价 1 利润率
第 1 页 共 6 页
智泉数学工作室
六年级新华数竞赛班第 6 讲 例题1.
学生版
（1）一部电话的进价是 250 元，售出价是 320 元，那么这部电话的利润率是多少？
（2）一个鼠标的进价是 108 元，定价是 180 元，实际上打七五折出售，那这个鼠标的利润率是多少？ （3）一件皮衣的进价是 800 元，标价是 1440 元，结果没人来买．店主决定打折出售，但希望利润率 不能低于 35%，那么这件皮衣最低可以打几折？ 「分析」题中的“进价”其实就是成本，实际 卖出的价格就是售出价．特别要注意的是，定价和标价 ．． 都是商家想卖出的价格，但它们和售出价不一定一样！在计算售出价时，我们还要考虑到打折的因素．回 忆一下利润和利润率的公式，你能求出各个物品的利润率吗？
第6讲：行程问题之追及问题
行程问题之追及问题知识要点：追及 指速度快的追速度慢的，追及问题中的路程，时间速度这三要素主要体现在路程差（或追及时间）、速度差、追及时间上，三者之间的关系如下：速度差×追击时间=路程差 路程差÷追及时间=速度差 路程差÷速度差=追及时间 切记追击问题中追击者速度一定要大于被追者速度，否则不能追上，反而两人间距会越来越远。
例题讲解：例1. 小华与小伟从学校到江滩看神六航展，小伟以每分钟60千米的速度向江滩走去，5分钟后小华以每分钟80米得速度向江滩走去，结果两人同时到达航展的现场，问学校到航展现场之间的距离是多少？分析：解决这个问题关键是要求求出追及时间，由于小华晚出发5分钟，结果两人同时到达航展现场，说明小华追上小伟时间正好到目的地，由此可根据路程差÷速度差=追及时间，求出追及时间：（60×5）÷（80-60）=15分。
追及时间就是小华从学校到航展现场所用的时间。
解：80×[]米）（1200158060-80560=⨯=÷⨯ 答学校到航展现场的距离是1200米。
例2. 一辆卡车上午9时出发，以每小时40千米的速度向乙城驶去，2小时候，一辆小轿车以每小时70千米的速度也从甲城出发向乙城行驶，当小轿车到达乙城，大卡车距离乙城还有100千米，问小轿车是什么时候到达乙城市的？分析：有题目可知，小轿车在从甲城市行驶到乙城市的过程中，不仅要追上大卡车40×2=80千米。
还要超过100千米。
解：在相同的时间里，小轿车比大卡车多行的路程，即路程差为：40×2+100=180千米小轿车从甲城市行驶到乙城市需要时间：180÷（70-40）=6小时小轿车到达乙城市的时刻：9+2+6=17时答：小轿车是在17时到达乙城市的。
例3某城市举行“万人申奥”长跑活动，长跑队伍以每小时6千米的速度前进，长跑开始时，两名电视记者小张和小王分别从排尾、拍头同时向队伍中间进行，报道这次活动，小张和小王都乘摩托车每小时行10千米，他们离队伍中点900米处相遇，长跑队伍有多长？分析：本题是一个行进队伍中的相遇问题，相遇地点是在离队伍中点900米处，因此相对中点而言，小张的速度是摩托车速度+队伍速度，小王的速度是摩托车速度-队伍速度，两者相对速度为（10+6）-(10-6)=12千米/时，而相对中点的路程差为：（108面）900×2=1800米=1.8千米，理解这一点，问题就好解决了。
第六讲 相遇问题
第六讲相遇问题知识精讲院子里两颗槐树之间的距离是10米，一只小猫从一棵槐树跑到10米外的另一棵槐树需要5秒，那么小猫每秒跑10÷5=2米。
行程问题是研究路程、时间和速度之间的关系。
速度是衡量运动快慢的量，一般我们选用1个单位的时间，如用1小时或1分钟或1秒，用1个单位的时间内经过的路程的多少来表示速度的大小。
因此，我们有了速度的定义：速度就是单位时间内所经过的路程速度、时间和路程是行程问题中最重要的三个量，它们关系如下：路程=速度×时间速度=路程÷时间时间=路程÷速度那么文本一开始提到的小猫跑过的距离10米就为路程，行程问题中常用的路程单位是米和千米。
而小猫跑了5秒就是时间，时间的常用单位有秒、分钟和小时。
那么小猫的速度就是2米/秒，行程问题中常用的速度单位有米/秒、米/分和千米/时。
练一练1、汽车以每小时15千米的速度行驶，那么5小时内，它行驶了千米。
2、长跑运动员每秒跑4米，如果按照这个速度跑完10000米，需要秒。
3、一颗子弹射出后23秒钟，恰好击中1800米处的目标，那么它的速度是每秒米。
4、一名长跑运动员以每秒4米的速度奔跑，那么2分钟内，他跑了米。
5、小高每分钟骑100米，如果要骑完6000米的路程，需要小时。
例题1 甲、乙两地相距360千米，一辆汽车原计划用8小时从甲地到乙地，那么汽车每小时应该行驶多少千米？实际上汽车行驶了一半路程后发生了故障，在途中停留了1小时。
如果按照原定的时间到达乙地，汽车在后一半路程每小时应该行驶多少千米？【分析】要计算速度，找清楚对应的路程和时间即可。
练习1 兔子和乌龟赛跑，从A地跑到B地，全程共6000米。
兔子计划5分钟跑完全程，结果比赛时兔子实际每分钟跑的路程比计划的要少200米。
那么兔子实际跑完全程用了多长时间？例题2 A、B两地相距4800米，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，如果甲每分钟走60米，乙每分钟走100米，请问：（1）甲从A走到B需要多长时间？（2）两个人从出发到相遇需要多长时间？【分析】从出发到相遇，两人一共走了多远？他俩每分钟一共走多远呢？练习2 阿呆和阿瓜从相距5000米的A、B两地同时出发，相向而行。
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192.168.1.2
【例6.2】
【例6.2】下图是NAT的一个示例，根据图中的信息，标号为①的箭头线 所对应的方格内容应是（）。 A．S=192.168.1.1:3105 D=202.113.64.2:8080 B．S=59.67.148.3:5234 D=202.113.64.2:8080
C．S=192.168.1.1:3105 D=59.67.148.3:5234
D．S=59.67.148.3:5234 D=192.168.1.1:3105
【例6.2】
NAT转换表 转换后的IP地址 59.67.148.3:5234 主机专用IP地址 192.168.1.1:3105
S=192.168.1.1:3105 D=202.113.64.2:8080
②
Internet
① ③ NAT ④
内部网络
192.168.1.1
S=202.113.64.2:8080 D=59.67.148.3:5234
S=202.113.64.2:8080 D=192.168.1.1:3105
【解析】①号报文源IP地址是④号报文的目的IP地址 ①号报文目的IP地址是④号报文的源IP地址 答案A
192.168.1.2
NAT转换表
转换后的IP地址 59.67.148.3:5234
主机专用IP地址 192.168.1.1:3105
②
Internet
①
③ NAT ④
内部网络
192.168.1.1
S=202.113.64.2:8080 D=59.67.148.3:5234
S=202.113.64.2:8080 D=192.168.1.1:3105
S=10.0.0.1,3142 D=147.2.1.1,80
S=147.2.1.1,80 D=5Байду номын сангаас.67.15.21,5511
NAT
【解析】
主机专用IP地址是来自内部网络报文的源IP地址
转换后的IP地址是来自Internet的报文的目的IP地址 与此匹配的是选项B
【例6.2】
【例6.2】下图是NAT的一个示例，根据图中的信息，标号为①的箭头线 所对应的方格内容应是（）。
① NAT转换表 转换后的IP地址 主机专用IP地址 ②
S=10.0.0.1,3142 D=147.2.1.1,80
Internet
NAT
S=147.2.1.1,80 D=59.67.15.21,5511
内部 网络
【例6.1】
NAT转换表 转换后的IP地址 ① 59.67.15.21,5511 Internet 主机专用IP地址 ② 10.0.0.1,3142 内部网络
例题分析
【例6.1】
下图是网络地址转换NAT的一个示例。图中①和②值依次为( )。
A 10.0.0.1,3142和59.67.15.21,5511 B 59.67.15.21,5511和10.0.0.1,3142 C 147.2.1.1,80和10.0.0.1,3142 D 10.0.0.1,3142和147.2.1.1,80