第3讲_例题6、例题7、例题8、例题9
第3讲 和差倍问题
第3讲和差问题（一）知识要点1.在解决和差问题时，掌握以下数量关系式尤为重要。
（和＋差）÷2＝大数（和－差）÷2＝小数2.解答“和差问题”就是求一大一小两个数。
解决这类问题通常用假设法，同时结合线段图进行分析。
3.可以假设小数增加到与大数同样多，先求大数，再求小数。
4.也可以假设大数减少到与小数同样多，先求小数，再求大数。
（二）典型例题选讲【典型例题1】两桶牛奶共重136千克，第二桶比第一桶重8千克。
两桶牛奶各重多少千克？变形题训练11.甲、乙两车间共有250人，甲车间比乙车间多6人。
甲、乙两车间各有多少人？2.希希妈妈给希希买了一套衣服，共花了165元，已知裤子比上衣便宜25元，问：希希的上衣和裤子分别多少元？3学校的长方形操场一圈有400米，已知这个长方形的长和宽相差40米，问：操场的长和宽各是多少米？.【典型例题2】有甲、乙两桶油共重50千克，如果从甲桶中取走8千克放入乙桶中，那么两桶油的重量相等。
问甲、乙两桶原来各有几千克油？变形题训练21.有A、B两个粮仓共存粮700吨，如果从A粮仓运送60吨粮食到B粮仓，那么此时两个粮仓存粮一样多。
问A、B两个粮仓原来各存粮多少吨？2.晶晶在一次期中考试中，数学和语文的平均分是95分，数学比语文多4分。
问晶晶的数学和语文各考多少分？3.有甲、乙两筐樱桃共重80千克，如果从甲筐拿走10千克，乙筐放入6千克，则两筐樱桃同样重。
问两筐樱桃原来各重多少千克？【典型例题3】两桶油共重60千克，如果从第一桶中取走6千克倒入第二桶，这时第一桶还比第二桶多4千克。
两桶油各重几千克？变形题训练31.哥弟俩共有邮票80张，如果哥哥给弟弟5张邮票后还比弟弟多2张，那么哥哥和弟弟原来各有多少张？2.姐姐和妹妹共有巧克力48块，如果姐姐给妹妹9块后就比妹妹少4块，那么姐姐和梅妹妹原来各有多少块巧克力？3.甲、乙两筐梨共有115千克，从甲筐取出12千克放入乙筐，这时甲筐的梨比乙筐少1千克。
人教版五年级下第3讲《整除特征》
整除特征mathematics 情境导入我每次拿5个糖果，我的糖果数是5的倍数~我每次拿3个糖果，我的糖果数是3的倍数~我每次拿2个糖果，我的糖果数是2的倍数~次数12345678910妙妙2468101214161820壮壮5101520253035404550淼淼36912151821242730复习巩固总结归纳知识梳理例题讲解mathematics数学知识点mathematics我知道，个位数字要么是0，要么是5，就两种还有我呢，怎么不问问我呢？壮壮，你发现5的倍数有什么特点没有？妙妙，那你发现2的倍数有什么特点呢？这个简单，个位是0、2、4、6、8，都是偶数~mathematics2和5的整除特征：根据末一位的情况来进行判断的，最后一位能被2或5整除，这个数就能够被2或5整除；4和25的整除特征：根据末两位的情况来进行判断的，最后两位能被4或25整除，这个数就能够被4或25整除；8和125的整除特征：根据末三位的情况来进行判断的，最后三位能被8或125整除，这个数就能够被8或125整除。
被5整除，要求个位是0或5，被25整除呢？被125整除呢？这几组搭配，貌似是计算中提到的四大金刚，这么说，16和625的整除特征是看末四位的！例题1：现有10个自然数：2250，234，535，2064，657，832，1025，33125，90875，342375，按要求选出合适的数。
mathematics能被2整除 能被4整除 能被8整除能被5整除 能被25整除 能被125整除我发现8的倍数一定是2和4的倍数，125的倍数一定是5和25的倍数！mathematics？小是多少？最大是多少整除，问这个六位数最被整除，而这个数能整除，前四位能被，已知它的前两位能被一个六位数练习12582531:1c b amathematics少？最大是多少？最小是多整除，问三位数能被）要使五位数（最大是多少？整除，问能够被）已知五位数（例题abc abc a a 8222445251:2mathematics是多少？整除，为两位数能够被）已知七位数（是多少？整除，问能够被）已知六位数（练习AB AB AB A A 125237225225671:2能被25整除，末两位可能是00，25，50，75这4种；能被125整除，末三位可能是000，125，250，375，500，625，750，875这8种！mathematics新知探究哈哈，我们不带你玩儿~我发现3的倍数的个位数字并不固定！确实如此，3的整除特征是比较特殊的！试着求一下3的倍数的各位数字之和~那我们要怎么判断一个数能否被3整除呢？3的倍数各位数字之和3的倍数各位数字之和12333615636918939122134262464592794812303…………mathematics新知探究3和9的整除特征：一个数各个数位上的数字之和能够被3或9整除，那么这个数也就能够被3或9整除。
部编版数学五年级暑假第3讲.棋盘中的数学.超常体系
国际象棋的历史
关于国际象棋的产生，国际上流传着一个有趣的故事。据说 2000 年以前，印度有一个非 常残暴的国王，自己独断专行，想干什么就干什么。国王有个亲信大臣，他想拿“君王不能 离开臣民而存在”的道理来劝告国王，但又不敢公开提出自己的意见。他想出了一个暗示的 办法：在木制棋盘上，用骨制的棋子组成两支军队进行战斗；每一方都有一个首脑——王， 另有车、马、象、兵四个兵种，组合成一个阵容的整体，王是最主要的棋子，王一死，战斗 便结束；王同时又是很弱的一环，他只能依靠战友——即别的更有力的棋子保护，这些棋子 必须在整个战斗过程中同心协力来保卫王。它一方面往西传到波斯、阿拉伯和欧洲，经过改 变(如：增加了“后”)，形成现代的国际象棋；另一方面往东传到缅甸、东南亚和中国。
(2)用若干个
和
能否恰好不重不漏地覆盖住 15×15 的方格棋盘．
(3)用标准的俄罗斯方块的某些图形，能否恰好不重不漏地覆盖住 5×6 的方格棋盘． 【分析】(1)B，从奇偶性考虑
(2)不能，从奇偶性考虑 (3)不能， 俄罗斯方块每块均是 4 格，4 不能整除 5×6 小结：此题提示孩子，在覆盖问题中，首先从面积大小及整除性来判断．覆盖中的最值问 题也会用到此类思想．
【分析】不能，对 4 5 长方形作黑白染色
8 第 9 级上 超常体系 教师版
黑格数 白格数，但若对
、
①
②
、
、
③
、
④
这五个图形进行
⑤
黑白染色，图①②③⑤黑格白格，但图④黑 白，所以办不到．
例7
(1) 能不能用 15 个
将图形黑白相间染色后，发现有 21 黑，19 白，黑、白格数目不等，而 1×2 的小长方形覆 盖的总是黑白格各一个，所以不可能做到． (2)右图是一个 5×7 的方格，其中每一个方格表示一个座位．将方格黑白相间地染上颜色，
人教版 小学四年级上册秋季 数学讲义 专项强化练习《第3讲 无法超越的差距》题目+答案
第3讲无法超越的差距例题练习题例1今年墨莫的年龄是10岁，小高的年龄是13岁．8年后毛毛的年龄正好是墨莫、小高年龄差的7倍．请问：今年毛毛的年龄是多少？练1今年卡莉娅比萱萱大4岁，6年后小花的年龄与卡莉娅、萱萱年龄差的和是20岁．请问：今年小花的年龄是多少？例25年前飞飞与他爸爸的年龄差是24岁，今年爸爸的年龄是飞飞的4倍，请问：今年飞飞和爸爸的年龄分别是多少？练210年前小高和爸爸的年龄差是28岁，今年爸爸的年龄是小高的3倍，请问：今年小高和爸爸的年龄分别是多少？例3今年丁丁10岁，他父亲38岁，请问：多少年后，父亲年龄是丁丁的2倍？多少年前，父亲年龄是丁丁的5倍？练3今年小白10岁，小黑22岁，请问：多少年前，小黑年龄是小白的3倍？多少年前，小黑年龄是小白的4倍？例4今年小高和爸爸的年龄和是40岁．4年后，爸爸的年龄是小高的3倍．请问：小高今年的年龄是多少？练4今年阿宝和老李的年龄和是70岁．5年前，老李的年龄是阿宝年龄的4倍．请问：阿宝今年的年龄是多少？挑战极限1今年，叔叔的年龄是阿呆的2倍，且叔叔的年龄比阿呆的大18岁．请问：多少年前叔叔的年龄是阿呆年龄的3倍？自我巩固1．今年小明爸爸、妈妈的年龄差是12岁，2年后小明的年龄与爸爸、妈妈的年龄差一样大．那么今年小明的年龄是___________岁．2．3年前大明爸爸、妈妈的年龄差是12岁，4年后大明的年龄与爸爸、妈妈的年龄差一样大．那么今年大明的年龄是___________岁．3．今年毛毛9岁，瓜瓜17岁．那么当毛毛15岁时，瓜瓜___________岁．4．2年前爸爸比儿子大36岁，今年爸爸的年龄是儿子的5倍，那么今年儿子___________岁．5．5年前妈妈比儿子大24岁，5年后妈妈的年龄是儿子的3倍，那么今年妈妈___________岁．6．父亲今年比儿子大32岁，2年后，父亲的年龄是儿子的5倍，那么今年儿子___________岁．7．6年前姐姐比弟弟大10岁，10年前，姐姐的年龄是弟弟的3倍，那么今年姐姐___________岁．8．今年六六8岁，妈妈32岁，那么___________年后，妈妈的年龄是六六的3倍．9．今年阿瓜和爸爸的年龄和是34岁．5年后，爸爸的年龄是阿瓜的3倍．那么阿瓜今年___________岁．10．5年前阿呆和爸爸的年龄和是31岁．2年后爸爸的年龄是阿呆的4倍．那么阿呆今年___________岁．课堂落实1．今年小高爸爸、妈妈的年龄差是3岁，10年后小高的年龄与爸爸、妈妈年龄差的和是21岁．那么今年小高___________岁．2．11年前阿呆和他叔叔的年龄差是26岁，今年叔叔的年龄是阿呆的3倍．那么今年阿呆___________岁．3．今年墨莫14岁，墨爸爸40岁，那么___________年后墨爸爸的年龄是墨莫的2倍．4．今年斯斯22岁，斯斯爸爸47岁，那么___________年前斯斯爸爸的年龄是斯斯的6倍．5．父子两人今年的年龄之和是58岁，4年前，爸爸的年龄是儿子年龄的4倍．那么爸爸现在的年龄是___________岁．第3讲无法超越的差距·参考答案例题练习题答案例1 【答案】13岁【解析】两人的年龄差不变，是13-10＝3（岁），8年后毛毛的年龄是小高、墨莫年龄差的7倍，也就是3×7＝21（岁）.所以今年毛毛21-8＝13（岁）.练1 【答案】10岁【解析】卡莉娅、萱萱的年龄差不变，6年后小花的年龄与卡莉娅、萱萱年龄差的和是20岁，6年后小花的年龄是20-4＝16（岁）.所以今年小花16-6＝10（岁）例2 【答案】飞飞8岁；爸爸32岁【解析】飞飞和爸爸年龄差24岁，根据年龄差不变的性质，今年爸爸年龄是飞飞的4倍，设飞飞年龄为“1”，爸爸年龄为“4”，差为“3”，“1”即24÷3＝8（岁），此时爸爸年龄为4×8＝32（岁），则当飞飞8岁，爸爸32岁时，爸爸年龄是飞飞的4倍.练2 【答案】小高14岁；爸爸42岁【解析】小高和爸爸年龄差28岁，根据年龄差不变的性质，今年爸爸年龄是小高3倍，设小高年龄为“1”，爸爸年龄为“3”，差值为“2”，即28岁，则当小高14岁，爸爸42岁时，爸爸年龄是小高的3倍.例3 【答案】18年后；3年前【解析】丁丁和父亲年龄差28岁，根据年龄差不变的性质，当父亲年龄是丁丁的2倍时，设丁丁为“1”，父亲年龄为“2”，差值为“1”，即28岁，则当丁丁28岁，父亲56岁时，父亲的年龄是丁丁的2倍，这是在18年后；同理，当父亲年龄是丁丁的5倍时，设丁丁年龄为“1”，父亲年龄为“5”，差值为“4”，即28岁，则“1”为7岁，丁丁为7岁，那是在3年前.练3 【答案】4年前；6年前【解析】小白和小黑的年龄差是12岁，根据年龄差不变的性质，当小黑年龄是小白的3倍时，设小白年龄为“1”，小黑年龄为“3”，差值为“2”，即12岁，则“1”为6岁，小白6岁，这是在4年前；同理，当小黑年龄是小白的4倍时，设小白年龄为“1”，小黑年龄为“4”，差值为“3”，即12岁，则“1”为4岁，小白为4岁，那是在6年前例4 【答案】8岁【解析】4年后，小高和爸爸的年龄都增加了4岁，即一共增加了8岁，此时小高和爸爸的年龄和是48岁，爸爸的年龄是小高的3倍，设小高年龄为“1”，爸爸年龄为“3”，和为“4”即“1”是48÷4＝12（岁），小高四年后的年龄是12岁，今年是8岁.练4 【答案】17岁【解析】5年前，阿宝和老李的年龄都减少了5岁，即一共减少了10岁，此时阿宝和老李的年龄和是60岁，老李的年龄是阿宝的4倍，设阿宝年龄为“1”，老李年龄为“4”，和为“5”即“1”是60÷5＝12（岁），阿宝五年前的年龄是12岁，今年是17岁.挑战极限1 【答案】9年前【解析】叔叔和阿呆的年龄差是18岁，设今年阿呆年龄为“1”，叔叔年龄为“2”，差值为“1”，即18岁，今年阿呆18岁，叔叔36岁.如果叔叔的年龄是阿呆年龄的3倍，设此时阿呆年龄为“1”，叔叔年龄为“3”，差值为“2”，即18岁，则“1”为9岁，也就是阿呆9岁，叔叔27岁时，叔叔年龄是阿呆的3倍，即9年前.自我巩固答案1 【答案】10【解析】小明爸爸、妈妈的年龄差不变，2年后小明的年龄与爸爸、妈妈的年龄差一样大，也就是12岁.所以今年小明12-2＝10（岁）.2 【答案】8【解析】大明爸爸、妈妈的年龄差不变，4年后大明爸爸、妈妈的年龄差与3年前一样大，也就是12岁.所以今年大明12-4＝8（岁）.3 【答案】23【解析】两人年龄差17-9＝8（岁），当毛毛15岁时，瓜瓜15+8＝23（岁）.4 【答案】9【解析】爸爸和儿子年龄差36岁，根据年龄差不变的性质，今年爸爸的年龄是儿子的5倍，则儿子的年龄是36÷(5-1)＝9（岁）.5 【答案】31【解析】妈妈和儿子年龄差24岁，根据年龄差不变的性质，5年后妈妈的年龄是儿子的3倍，则5年后妈妈的年龄是24÷(3-1)×3＝36（岁），今年妈妈的年龄是36-5＝31（岁）6 【答案】6【解析】父亲和儿子年龄差32岁，根据年龄差不变的性质，当父亲年龄是儿子的5倍时，设儿子年龄为“1”，父亲年龄为“5”，差值为“4”，即32岁，则当儿子8岁，父亲40岁时，父亲年龄是儿子的5倍，这是在2年后，所以今年儿子8-2＝6（岁）7 【答案】25【解析】姐姐和弟弟年龄差10岁，根据年龄差不变的性质，当姐姐年龄是弟弟的3倍时，设弟弟的年龄为“1”，姐姐的年龄为“3”，差值为“2”，即10岁，则当弟弟5岁时，姐姐15岁时，姐姐年龄是弟弟的3倍，这是在10年前，所以今年姐姐15+10＝25（岁）8 【答案】4【解析】两人年龄差是24岁.年龄是3倍时，设六六的年龄是“1”，妈妈是“3”，“1”是24÷(3-1)＝12（岁），即六六12岁，是在12-8＝4(年)后.9 【答案】6【解析】5年后，阿瓜和爸爸的年龄都增加了5岁，即一共增加了10岁，此时阿瓜和爸爸的年龄和是44岁，爸爸的年龄是阿瓜的3倍，设阿瓜年龄为“1”，爸爸年龄为“3”，和为“4”即“1”是44÷4＝11（岁），阿瓜五年后的年龄是11岁，今年是6岁.10 【答案】7【解析】5年前到2年后，阿呆和爸爸的年龄都增加了7岁，即一共增加了14岁，此时阿呆和爸爸的年龄和是45岁，爸爸的年龄是阿呆的4倍，设阿呆年龄为“1”，爸爸年龄为“4”，和为“5”，即“1”是45÷5＝9（岁），阿呆两年后的年龄是9岁，今年是7岁.课堂落实答案1 【答案】82 【答案】133 【答案】124 【答案】175 【答案】44。
七年级上册 数学讲义《第3讲 数轴动点(二)》人教版 初一数学
人教版·七年级上册数学讲义第3讲 数轴动点（二）疯狗问题知识导航疯狗问题的难度并不大，特征也很明显，即一个较高的速度动点（疯狗）不断在两低速动点间往返运动，两低速动点相遇时，高速度动点随之停止．在这个运动过程中，我们并不能清晰的分析出这里的运动状态，但可以通过两低速动点相遇所花费的时间来得到高速动点的运动时间，结合其速度求出它的路程．例题1点A 、B 、C 在数轴上表示的数a 、b 、c 满足：()()222240b c ++-=，且多项式32321a x y ax y xy +-+-是五次四项式．若数轴上有三个动点M 、N 、P ，分别从点A 、B 、C 开始同时出发，在数轴上运动，速度分别为每秒1个单位长度、7个单位长度、3个单位长度，其中点P 向左运动，点M 向右运动，点N 先向左运动，遇到点M 后回头再向右运动，遇到点P 后回头向左运动，……，这样直到点P 遇到点M 时三点都停止运动，求点N 所走的路程．练习1已知数轴上的点A 、B 对应的数分别为x 、y ，且()21002000x y ++-=．点P 为数轴上从原点出发的一个动点，速度为30单位长度/秒，若点A 沿数轴向右运动，速度为10单位长度/秒，点B 沿数轴向左运动，速度为20单位长度秒，点A 、B 、P 三点同时开始运动．点P 先向右运动，遇到点B 后立即掉头向左运动，遇到点A 后再立即掉头向右运动……如此往返．当A 、B 两点相距30个单位长度时，点P 立即停止运动，求此时点P 移动的路程为多少个单位长度？ 挡板问题到达挡板后停止例题2已知点A 、B 在数轴上表示的数分别为a 、b ，且满足2a -与()290b -互为相反数．（1）a 值为_____，b 值为_____．（2）已知电子狗P 从点A 出发，向右匀速运动，速度为每秒1个单位长度，另一电子狗Q 从点B出发，向左匀速运动，速度为每秒3个单位长度，且Q比P先运动2秒，已知在原点O处有病毒，若电子狗遇到病毒则停止运动，未遇到病毒则继续运动．问电子狗P经过多长时间，有P、Q 两只电子狗相距70个单位长度？练习2数轴上A、B两点对应的数分别为-80、20，一电子蚂蚁P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，目的地为B点；另一电子蚂蚁Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，目的地为A点．（1）运动多长时间后，P、Q两只电子蚂蚁相距20个单位长度？（2）运动多长时间后，P、Q两只电子蚂蚁相距80个单位长度？到达挡板后返回例题3如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，AB表示A点和B点之间的距离，且a、b满足++=．+a b a430（1）求A、B两点之间的距离．（2）若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以2个单位/秒的速度向左运动；两秒后另一个小球乙从点处以3个单位秒的速度也向左运动，左碰到挡板后（忽略球的大小，可以看作一点）乙球以4个单位/秒的速度向相反的方向运动，设甲球的运动的时间为t（秒）．①分别表示甲、乙两小球到原点的距离（用含的式子表示）．②求甲、乙两小球到原点的距离相等时，甲球所在位置对应的数．数轴上有A、B、C三点，分别表示有理数-26、-10、20，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向右移动，当P点运动到C点时运动停止设点P移动时间为t秒．（1）用含t的代数式表示P点对应的数：__________．（2）当P点运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒2个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回A点．①用含t的代数式表示Q在由A到C过程中对应的数：__________．②当t=__________时，动点P、Q到达同一位置（即相遇）．③当PQ=3时，求的值．练习32019~2020学年10月湖北武汉江岸区武汉市七一华源中学初一上学期月考第24题12分已知数轴上的A、B两点分别对应数字a、b，且a、b满足()2-+-=．440a b a（1）直接写出a、b的值．（2）数轴上还有一点C对应的数为36，若点P从A出发，以每秒3个单位长度的速度向点C运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向正方向运动，点P运动到点C立即返回再沿数轴向左运动．当10PQ=时，求P点对应的数．例题4已知多项式26233---中，多项式的项数为a，多项式的次数为b，常数项为c，且a、25320m n m n nb、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数．（1）写出a=_____；b=_____；c=_____．（2）若甲、乙、丙三个动点分别从A、B、C三点同时出发沿数轴负方向运动，它们的速度分别是1、2、3，（单位/秒），当乙追上甲时，甲、乙继续前行，丙此时以原速向相反方向运动，问甲、乙、丙三个动点分别从A、B、C三点同时出发到乙、丙相距2个单位长度时所经历的时间是多少秒？总结归纳无论是遇到挡板后停止的动点问题，还是遇到挡板后返回的动点问题，其本质都是，在遇到挡板的前后，该动点的运动状态发生了改变．因此，必须以到达终点或碰到挡板的时间为界，分别表示出在不同时间段内动点的位置表达式（含t的代数式），即分段讨论，在此基础上再来研究相关点的距离关系，这样才不会漏解．同学们可以体会挡板问题和一般的动点问题的不同之处，自己归纳易错点和相应解法，这样印象更深刻，能真正理解动点问题的本质以及各题型之间的异同．练习42018~2019学年10月湖北武汉洪山区武汉市卓刀泉中学初一上学期月考第24题12分已知数轴上有A、B、C三个点对应的数分别是a、b、c，且满足()2++++-=．动点a b c2410100P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t秒，（1）求a、b、c的值．（2）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A，在点Q开始运动后第几秒时，P、Q两点之间的距离为4？请说明理由．例题52018~2019学年湖北武汉东湖高新区初一上学期期中第24题12分数轴上m，n，q所对应的点分别为点M，点N，点Q．若点Q到点M的距离表示为QM，点N到点Q的距离表示为NQ．我们有QM q m=-．=-，NQ n q（1）点A，点B，点C在数轴上分别对应的数为-4，6，c．且BC CA=，直接写出c的值_____．（2）在（1）的条件下，两只电子蚂蚁甲，乙分别从A，C两点出发向右运动，甲的速度为4个单位每秒，乙的速度为1个单位每秒．求经过几秒，点B与两只蚂蚁的距离和等于7．（3）在（1）（2）的条件下，电子蚂蚁乙运动到点B后立即以原速返回，到达自己的出发点后停止运动，电子蚂蚁甲运动至B点后也以原速返回，到达自己的出发点后又折返向B点运动，当电子蚂蚁乙停止运动时，电子蚂蚁甲随之停止运动，运动时间为多少时，两只蚂蚁相遇．练习52019~2020学年10月湖北武汉武昌区武昌首义中学初一上学期月考第24题12分如图，数轴上点A、C对应的数分别是a、c，且a、c满足()2a c++-=，点B对应的数是-3．410（1）求数a、c．（2）点A、B同时沿数轴向右匀速运动，点A的速度为每秒2个单位长度，点B的速度为每秒1个单位长度，若运动时间为t秒，在运动过程中，点B运动到点C处后立即以原速返回，到达自己的出发点后停止运动，点A运动至点C处后又以原速返回，到达自己的出发点后又折返向点C运动，当点B停止运动时，点A随之停止运动，求在此运动过程中，A、B两点同时到达的点在数轴上表示的数是_____（直接写出答案）挑战压轴题2017~2018学年湖北武汉江岸区武汉二中广雅中学初一上学期期中第24题如图，A、B两点在数轴上对应的数分别为-20、40，C点在A、B之间．在A，B、C三点处各放一个档板，M、N两个小球都同时从C处出发，M向数轴负方向运动，N向数轴正方向运动，碰到档板后则向反方向运动，一直如此下去（当N小球第二次碰到B档板时，两球均停止运动）（1）若两个小球的运动速度相同，当M小球第一次碰到A档板时，N小球刚好第二次碰到B档板求C点所对应的数．（2）在（1）的结论下，若M，N小球的运动速度分别为2个单位/秒，3个单位/秒，则N小球前三次碰到档板的时间依次为a，b，c秒钟，设两个球的运动时间为t秒钟．①请直接写出下列时段内小球所对应的数（用含t的代数式表示）当0t a≤≤时，N小球对应的数为_____，当a t b<≤时，N小球对应的数为_____，当b t c<≤时，N小球对应的数为_____．②当M、N两个小球的距离等于30时，求t的值．（3）移走A、B、C三处的挡板，点P从A点出发，以6个单位/秒的速度沿数轴向右运动，同时点Q从B点出发，以4个单位/秒的速度沿数轴向左运动．已知E为AP中点，点F在线段BQ上，且14QF BQ=，问出发多少秒后，点E到点F的距离是点E到原点O的距离的4倍？巩固加油站巩固12019~2020学年12月湖北武汉蔡甸区经济技术开发区第一中学初一上学期月考第24题12分如图，动点A从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点B也从原点出发向数轴的正方向运动，3秒后，两点相距15个单位长度．已知动点A，B的速度之比为1:4（速度单位：单位长度/秒）（1）求出两个动点运动的速度，并在数轴上标出A，B两点从原点出发运动3秒时的位置．（2）若A，B两点从（1）中的位置同时按原速度向数轴负方向运动，几秒后，两动点到原点的距离相等？（3）在（2）中若B在A的右侧，A、B两点继续同时开始向数轴负方向运动时，另一动点C同时从B点位置出发向A运动，当遇到A后立即返回向B点运动，遇到B点后又立即返回向点A运动……如此往返，直到点B追上点A时，点C立即停止运动．若点C一直以20单位长度秒的速度匀速运动，那么点C从开始到停止运动，行驶的路程是多少个单位？巩固2数轴上A、B两点表示的有理数为a、b，且()2350a b-++=．小蜗牛甲以1个单位长度秒的速度从点B出发向其左边6个单位长度处的食物爬去，3秒后位于点A的小蜗牛乙收到它的信号，以2个单位长度秒的速度也迅速爬向食物，小蜗牛甲到达后背着食物立即返回，与小蜗牛乙在数轴上D 点相遇，则点D表示的有理数是什么？从出发到此时，小蜗牛甲共用去多少时间？巩固3数轴上A点对应的数是-1，B点对应的数是1，一只小虫甲从点B出发沿着数轴的正方向以每秒4个单位的速度爬行至C点，再以同样速度立即返回到A点，共用了4秒钟．（1）求点C对应的数．（2）若小虫甲返回到A点后再做如下运动：第1次向右爬行3个单位，第2次向左爬行5个单位，第3次向右爬行7个单位，第4次向左爬行9个单位……依此规律爬下去，求它第10次爬行后停在点所对应的数．（3）回答下列各问：①若小虫甲返回到A点后继续沿着数轴的负方向以每秒4个单位的速度爬行，这时另一小虫乙从出发沿着数轴的负方向以每秒6个单位的速度爬行，则运动t秒后，甲、乙两只小虫的距离为_____（用含t的整式表示）．②若小虫甲返回到A点后继续沿着数轴的负方向以每秒4个单位的速度爬行，同时另两只小虫乙、丙分别从点B和点C出发背向而行，乙的速度是每秒2个单位，丙的速度是每秒1个单位．假设运动t秒后，甲、乙、丙三只小虫对应的点分别是D、E、F，则32DE EF-是定值吗？如果是，请求出这个定值．巩固4如图，在数轴上每相邻两点间的距离为一个单位长度，点A、B、C、D对于的数分别是a、b、c、d，且214d a-=．（1）那么a=_____，b=_____．（2）点A以3个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动，1秒后点B以4个单位/秒的速度也沿着数轴的正方向运动．当点A到达D点处立刻返回，与点B在数轴的某点处相遇，求这个点对应的数．（3）如果A、B两点以（2）中的速度同时向数轴的负方向运动，点C从图上的位置出发也向数轴的负方向运动，且始终保持23AB AC=．当点C运动到-12时，点A对应的数是多少？。
概率论与数理统计第3讲_OK
首先先排n个男生的排法共有n!种，
再排m个女生，总共排法有
C
m n1
m!
种。
所以，p
n!
m!C
m n1
(n m)!
Cm n1
Cm nm
.
思考题：如果这n+m个学生不是排成一列，而是 排成一个圆状，首尾相接，这时，任意两个女生
都不相邻的概率是多少？
(C
m n
/
C
m n
m
1
)
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例9：从5双不同的鞋子中任y 取4只，这4只鞋
子中“至少有两只配成一双”（事件A）的
概率是多少？
13579
解：
2 4 6 8 10
首先间接考虑，分别用组合和排列来做：考
虑对立事件，A {4只中没有两只配成一双}
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例9:从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少
有两只配成一双”（事件A）的概y 率是多少？
解：首先间接考虑，分别用组合和排列来做：考
解 设A={所取球恰好含m个白球,n个黑球}
样本点总数为
M N
mn
,
A 所包含的样本点个数为
M N
m
n
.
故
P(
A)
M m
N n
MN
m
n
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问题1设袋中有M个白球和 Ny个黑球, 现从袋中
无放回地依次摸出m+n个球,求所取球恰好含m 个白球,n个黑球的概率?
第四节 等可能概型(古典概型)
➢排列组合公式 ➢古典概型 ➢典型例题 ➢小结
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二年级上册奥数(教案)第3讲：巧填算符
（二年级）备课教员：×××第三讲巧填算符一、教学目标： 1. 能熟练运用凑数法和逆推法巧填运算符号。
2. 经历尝试探索巧填符号的过程，培养学生建立倒推和凑数的数学思想。
3.培养学生活跃的思维能力，增加口算能力，感受学习数学的乐趣，提高学习兴趣。
二、教学重点：能熟练运用倒推法和凑数法巧填运算符号。
三、教学难点：灵活应用倒推法和凑数法巧填符号，使等式成立。
四、教学准备：PPT五、教学过程：第一课时（50分钟）一、导入（5分)师：同学们，老师这里有几个计算题要考考大家，请你们快速说出应该填数字几，第一题：（）+4=14-4生：先算右边14-4=10，左边等于右边，所以左边（）+4=10，填6。
师：很好，请看第二题：12-（）=6+3生：先算6+3=9，左边等于右边，所以12-（）=9，填3。
师：你真棒！再看一下第三题：10+7=9+（），你是怎么想的?生：先算左边10+7=17，右边等于左边，所以9+（）=17，填8。
师：真不错，最后考考你们，10+（）=6+( )，这道题要怎么想？（此题为开放题，答案不唯一，老师可根据学生实际回答情况，引导进入今天的课题。
）生：10+6=6+10，左边右边都等于16。
师：还可以怎么想？生：10+1=6+5，左边右边都等于11。
师：这道题的答案有很多，有什么好方法呢？生：可以先算一边。
师：你的意思是先假设一个数填进去对吗？生：是的！我们可以先假设一个数，填入左边，然后再算出右边应该填什么。
师：没错，只要我们找对方法，这种填数的题目就难不倒大家。
那么今天老师要带着你们一起来学一学“巧填算符”。
【板书课题：巧填算符】二、探索发现授课（40分）（一）例题1（13分）在（）里填上适合的数。
（1）11-（）>4 （2）15<12+（）（3）17-（）<10 （4）（）-8<11+9师：请在（）里填上合适的数，我们先看第一小题，你是怎么想的？生：第一题11-（）>4可以填1，因为11-1=10>4，满足条件。
七年级(上)数学培优班--第3讲 因式分解基础(提因、公式)--教师版
第三讲因式分解基础提取公因式一．基本概念：⑴因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解与整式乘法互为逆变形：()m a b c ma mb mc ++++整式的乘法因式分解式中m 可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式. （若不特别说明，分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内分解完全）☆因式分解的注意事项：①结果一定是整式乘积的形式；②相同的因式的乘积要写成幂的形式；③每个因式按降幂排列，最高次项（降幂排列后的第一项）的系数均为正数（如果为负数，将负号放到括号外）④因式分解后的结果中一定不能含有大括号和中括号；⑤一定要完全分解.⑵公因式：一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式.⑶提取公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么可以把该公因式提取出来作为多项式的一个因式，提出公因式后的式子放在括号里，作为另一个因式.（最容易被忽略的方法） 提出的公因式应是各项系数的最大公因数（系数都是整数时）与各项都含有的相同字母的最低次幂的积.可以看出，提公因式法实际上就是逆用乘法分配律，即()()ma mb mc m a b c ++=++【例题1】 ★☆☆☆☆因式分解：（1）32222212164a x a bx y a x ++ （2）3223334812x y x y x y -+-【分析】 （1）原式()224341a x a by =++（2）原式()()2222423432x y x y xy x y xy x y =--+=-+-注：① 提公因式时要注意一次提净，并注意符号，保持降幂排列的习惯② 注意强调书写习惯，学完因式分解后会有很多学生分解完后忘了加后面一半的括号，写成类似下列错误格式23(21x x --，请留意！【铺垫1】 ★☆☆☆☆在提取公因数法分解因式中，如果遇到整式某些项的系数为分数，往往将分数也同时进行提取，如()211121244x x x x +=+，请分解因式：21132xy x -= . 【分析】 原式()1236x y x =-【例题2】 ★★☆☆☆因式分解： （1）232341232a b ab a b -+（2）13218483n n n a b a b a b -+-++，（n 为大于1的正整数） 【分析】 （1）提取公因式原则：化分为整 原式()22112836ab ab b a =-+ （2）原式()12242363n a b b ab a -=---【铺垫2】 ★☆☆☆☆提取公因式法，不仅仅可以提取单项式，有时候也可以是提取一个多项式，就是将题中的某式看成一个整体进行提取，请分解因式：()()23x y x y +++= .【分析】 原式()()()()2211x y x y x y x y =+++=+++【例题3】 ★★★☆☆因式分解：（1）()()()3222618121m x m x m x -----（2）()()()()43344334m n m n n m n m +----【分析】 （1）提取公因式原则：切勿漏“1”原式()()()()2221314121344m x x m m x x m =----=---⎡⎤⎣⎦（2）提取公因式原则：视“多”为一原式()()()()344334634m n m n n m n m n =-++-=-⎡⎤⎣⎦公式法逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法.①因式分解的平方差公式： 22a b -=②因式分解的完全平方公式：222a ab b ++=222a ab b -+=③因式分解的立方和公式： 33a b +=因式分解的立方差公式： 33a b -=④因式分解的完全立方公式：322333a a b ab b +++=322333a a b ab b -+-=⑤因式分解的三元完全平方公式：222222a b c ab bc ca +++++= ⑥因式分解的欧拉公式：3333a b c abc ++-=【例题4】 ★★☆☆☆因式分解：（1）22121169x y - （2）()()22x y x z +-- （3）248243x - （4）2222332n n x x +-，（n 为正整数） 【分析】 （1）原式()()11131113x y x y =+-（2）原式()()()()()()2x y x z x y x z x y z y z =++-+--=+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦（3）原式()()()23168134949x x x =-=+-（4）原式()()()2221149232366n n x x x x x =-=+-【例题5】 ★★★☆☆因式分解：（1）()()()()2442x y x y x y x y -+--+ （2）4416x y -（3）()()2222223223x y x y +-+ 【分析】 （1）原式()()()()()()2222224x y x y x y x y xy x y x y ⎡⎤=-++--=-+⎣⎦（2）原式()()()()()22222244422x y x y x y x y x y =+-=++-（3）原式()()()()()222222555x y x y x y x y x y =+-=++-【例题6】 ★★★☆☆因式分解：（1）224129y xy x ++ （2）214x x -+ （3）1144n n n x x x +--+ ，（n 为大于1的正整数） （4）422463ax ax a -+- 【分析】 （1）原式()232x y =+（2）原式()22112124x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ （3）原式()()2121442n n x x x x x --=-+=-（4）原式()()24222269333a x x a x =--+=--【例题7】 ★★★☆☆因式分解：（1）42241881a a b b -+（2）()()()222244x y x y x y ++-+- 【分析】 （1）原式()()()22222933a b a b a b =-=+- （2）原式()()()()()()()22224423x y x y x y x y x y x y x y =+++-+-=++-=-⎡⎤⎣⎦【例题8】 ★★☆☆☆因式分解：（1）364x + （2）33228612x y x y xy --+（3）222946124a b c ab bc ac +++-- （4）33386x y z xyz ++-【分析】 （1）原式()()24416x x x =+-+ （2）原式()32x y =-（3）原式()232a b c =+-（4）原式()()2222422x y z x y z xy yz zx =++++---【悬赏题】 ★★★★☆分解因式：()()2222224c b d a ab cd -+--- 【分析】 原式()()222222222222c b d a ab cd c b d a ab cd =-+-+--+--+()()()()()()()()2222c d a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d a b ⎡⎤⎡⎤=---+-+⎣⎦⎣⎦=-+---+++++--【练习1】 因式分解：（1）22462x y xy xy -+-（2）23223232661324422a bc ab c a b c abc +--【分析】 （1）原式()2231xy x y =--+（2）原式()()2222223621222361abc ac b a bc abc a bc ac b =+--=---+【练习2】 因式分解：（1）223241535ax a x ax -+ （3）()()542x m n xy n m ---【分析】 （1）原式()()2211620320631515ax x ax ax ax x =-+=--- （3）原式()()()()44x m n x m n y x m n xm xn y =---=---⎡⎤⎣⎦【练习3】 因式分解：（1）2294x y - （2）()28116x y +-（3）2212516x y - （4）20.01x - 【分析】 （1）原式()()3232x y x y =-+（2）原式()()994994x y x y =+++-（3）原式()()1202016x y x y =+- （4）原式()()()()2211111001001101101100100100x x x x =-=--=-+-【练习4】 因式分解： （1）33188x y xy - （2）2424182n n a a b +-，（n 为正整数） （3）()()3933x y y x -+- （4）44x y -【分析】 （1）原式()()()2229423232xy x y xy x y x y =-=+- （2）原式()()()()()()244222222221111644422222n n n a a b a a b a b a a b a b a b =-=+-=++- （3）原式()()()()()239313391391x y x y x y x y x y ⎡⎤=---=--+--⎣⎦（4）原式()()()22x y x y x y =++-【练习5】 因式分解：（1）21881x x -+ （2）2961y y ++（3）()()21025x y x y +-++ （4）22139ab a ab -- 【分析】 （1）原式()29x =- （2）原式()231y =+（3）原式()25x y =+- （4）原式()()22119613199a b b a b =--+=--【练习6】 因式分解：（1）381x + （2）33()()x y x y +--（3）224244a b a ab b +-+-+ （4）3292727x x x +++【分析】 （1）原式()()221421x x x =+-+（2）原式()()()32233223232233336223x x y xy y x x y xy y x y y y x y =+++--+-=+=+（3）原式()22a b =+-（4）原式()33x =+【拓展1】 分解因式：88x y -【分析】 原式()()()()()()()()()44444422224422x y x y x y x y x y x y x y x y x y =+-=++-=+++-【拓展2】 分解因式：99x y -【分析】 原式()()()()()336336226336x y x x y y x y x xy y x x y y =-++=-++++【拓展3】 分解因式：66x y -【分析】 原式()()()()()()33332222x y x y x y x y x xy y x xy y =-+=-+++-+【拓展4】 分解因式：（1）642331x x x -+-（2）()()2222222242342x y z x y z +---- 【分析】 （1）原式()()()3332111x x x =-=+- （2）原式()()22224428x z x y =--+()()()()()()222284822x z y x x z x z y x y x =--=+-+-。
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【例题6?计算题】甲公司是一家制药企业。
2018年，甲公司在现有A产品的基础上成功研制出第二代产品B。
如果第二代产品投产，需要新购置成本为1000万元的设备一台，税法规定该设备使用期为5年，采用直线法计提折旧，预计残值率为5%。
第5年年末，该设备预计市场价值为100万元（假定第5年年末产品B停产）。
财务部门估计每年固定付现成本为60万元（不含折旧费），变动成本为200元/盒。
另外，新设备投产初期需要投入营运资金300万元。
营运资金于第5年年末全额收回。
新产品B投产后，预计年销售量为5万盒，销售价格为300元/盒。
同时，由于产品A与新产品B存在竞争关系，新产品B投产后会使产品A的每年营业现金净流量减少54.5万元。
新产品B项目的β系数为 1.4。
甲公司的债务权益比为4：6（假设资本结构保持不变），债务融资均为长期借款，税前利息率为8%，无筹资费。
甲公司适用的公司所得税税率为25%。
资本市场中的无风险利率为4%，市场组合的预期报酬率为9%。
假定经营现金流入在每年年末取得。
要求：（1）计算产品B投资决策分析时适用的折现率。
（2）计算产品B投资的初始现金净流量、第5年年末现金净流量。
（3）计算产品B投资的净现值。
【答案】（1）普通股资本成本率=4%+1.4×（9%-4%）=11%平均资本成本率=0.4×8%×（1-25%）+0.6×11%=9%由于假设资本结构保持不变，所以，产品B投资决策分析时适用的折现率为平均资本成本率9%。
（2）初始现金净流量：-1000-300=-1300（万元）第5年末税法预计净残值为：1000×5%=50（万元）所以，设备变现取得的相关现金净流量为：100-（100-50）×25%=87.5（万元）每年折旧为：1000×（1-5%）/5=190（万元）所以，第5年现金净流量=营业收入×（1-所得税税率）-付现成本×（1-所得税税率）+折旧×所得税税率+营运资金回收+设备变现取得的相关现金净流量-每年产品A营业现金净流量的减少=5×300×（1-25%）-（60+200×5）×（1-25%）+190×25%+300+87.5-54.5=710.5（万元）（3）产品B1~4年的现金净流量：5×300×（1-25%）-（60+200×5）×（1-25%）+190×25%-54.5=323（万元）净现值=323×（P/A，9%，4）+710.5×（P/F，9%，5）-1300=208.18（万元）【例题7?综合题】B公司是一家生产电子产品的制造类企业，采用直线法计提折旧，适用的企业所得税税率为25%。
在公司最近一次经营战略分析会上，多数管理人员认为，现有设备效率不高，影响了企业市场竞争力。
公司准备配置新设备扩大生产规模，推动结构转型，生产新一代电子产品。
（1）公司配置新设备后，预计每年营业收入为5100万元，预计每年的相关费用如下：外购原材料、燃料和动力费为1800万元，工资及福利费为1600万元，其他付现费用为200万元，财务费用为零。
市场上该设备的购买价为4000万元，折旧年限为5年，预计净残值为零。
新设备当年投产时需要追加营运资金投资2000万元。
（2）公司为筹资项目投资所需资金，拟定向增发普通股300万股，每股发行价12元，筹资3600万元，公司最近一年发放的股利为每股0.8元，固定股利增长率为5%；拟从银行贷款2400万元，年利率为6%，期限为5年。
假定不考虑筹资费用率的影响。
（3）B公司要求的最低投资报酬率为9%，部分货币时间价值系数如表1所示。
表1n12345（P/F，9%，n）0.91740.84170.77220.70840.6499（P/A，9%，n）0.9174 1.7591 2.5313 3.2397 3.8897要求：（1）根据上述资料，计算下列指标：①使用新设备每年折旧额和1~5年每年的付现营业成本；②营业期1～5年每年税前营业利润；③普通股资本成本、银行借款资本成本和新增筹资的边际资本成本；④投资期现金净流量（NCF0），税后现金净流量（NCF1-4和NCF5）及该项目的净现值。
（2）运用净现值法进行项目投资决策并说明理由。
【答案】（1）①使用新设备每年折旧额=4000/5=800（万元）营业期1~5年每年的付现营业成本=1800+1600+200=3600（万元）②营业期1～5年每年税前营业利润=5100-3600-800=700（万元）③普通股资本成本=0.8×（1+5%）/12+5%=12%银行借款资本成本=6%×（1-25%）=4.5%新增筹资的边际资本成本=3600/（3600+2400）×12%+2400/（3600+2400）×4.5%=9%④NCF0=-4000-2000=-6000（万元）NCF1-4=700×（1-25%）+800=1325（万元）NCF5=1325+2000=3325（万元）该项目净现值=-6000+1325×（P/A，9%，4）+3325×（P/F，9%，5）=-6000+1325×3.2397+3325×0.6499=453.52（万元）（2）因为该项目的净现值453.52万元大于零，所以该项目是可行的。
【例题8?计算题】某公司拟采用新设备取代已使用3年的旧设备，旧设备原价14950元，当前估计尚可使用5年，每年营运成本2150元，预计最终残值1750元，目前变现价值8500元，购置新设备需花费13750元，预计可使用6年，每年营运成本850元，预计最终残值2500元。
该公司要求的最低投资报酬率为12%，所得税税率25%，税法规定该类设备应采用直线法折旧，折旧年限6年，残值为原值的10%。
要求：进行是否应该更换设备的分析决策，并列出计算分析过程。
【答案】因新旧设备使用年限不同，应运用考虑货币时间价值的年金成本比较二者的优劣。
（1）继续使用旧设备的年金成本每年营运成本的现值=2150×（1-25%）×（P/A，12%，5）=2150×（1-25%）×3.6048=5812.74（元）年折旧额=（14950-14950×10%）÷6=2242.50（元）每年折旧抵税的现值=2242.50×25%×（P/A，12%，3）=2242.50×25%×2.4018=1346.51（元）残值收益的现值=[1750-（1750-14950×10%）×25%]×（P/F，12%，5）=[1750-（1750-14950×10%）×25%]×0.5674=956.78（元）目前旧设备变现收益=8500-[8500-（14950-2242.50×3）]×25%=8430.63（元）继续使用旧设备的现金流出总现值=5812.74+8430.63-1346.51-956.78=11940.08（元）继续使用旧设备的年金成本=11940.08÷（P/A，12%，5）=11940.08÷3.6048=3312.27（元）（2）使用新设备的年金成本购置成本=13750元每年营运成本现值=850×（1-25%）×（P/A，12%，6）=850×（1-25%）×4.1114=2621.02（元）年折旧额=（13750-13750×10%）÷6=2062.50（元）每年折旧抵税的现值=2062.50×25%×（P/A，12%，6）=2062.50×25%×4.1114=2119.94（元）残值收益的现值=[2500-（2500-13750×10%）×25%]×（P/F，12%，6）=[2500-（2500-13750×10%）×25%]×0.5066=1124.02（元）使用新设备的现金流出总现值=13750+2621.02-2119.94-1124.02=13127.06（元）使用新设备的年金成本=13127.06÷（P/A，12%，6）=13127.06÷4.1114=3192.84（元）因为使用新设备的年金成本（3192.84元）低于继续使用旧设备的年金成本（3312.27元），故应更换新设备。
【例题9?计算题】A公司2015年6月5日发行公司债券，每张面值1000元，票面年利率10%，4年期。
要求：（1）假定每年6月4日付息一次，到期按面值偿还。
B公司2017年6月5日按每张1000元的价格购入该债券并持有到期，计算该债券的内部收益率。
（2）假定每年6月4日付息一次，到期按面值偿还。
B公司2017年6月5日按每张1020元的价格购入该债券并持有到期，计算该债券的内部收益率。
（3）假定每年6月4日付息一次，到期按面值偿还。
B公司2016年6月5日购入该债券并持有到期，市场利率为12%，计算该债券的价格低于多少时可以购入。
【答案】（1）由于该债券属于分期付息、到期还本的平价债券，所以，内部收益率=票面利率=10%。
（2）NPV=1000×10%×（P/A，i，2）+1000×（P/F，i，2）-1020当i=10%，NPV=1000×10%×（P/A，10%，2）+1000×（P/F，10%，2）-1020=-20（元）当i=8%，NPV=1000×10%×（P/A，8%，2）+1000×（P/F，8%，2）-1020=15.63（元）i=8%+（0-15.63）/（-20-15.63）×（10%-8%）=8.88%（3）债券的价值=1000×10%×（P/A，12%，3）+1000×（P/F，12%，3）=100×2.4018+1000×0.7118=951.98（元），当债券的价格低于951.98元时可以购入。