第二章第6讲函数的图象
人教版高数必修一第6讲：函数的奇偶性(教师版)
函数的奇偶性__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1、 理解函数的奇偶性及其图像特征；2、 能够简单应用函数的奇偶性及其图像特征；一、函数奇偶性定义 1、图形描述：函数()f x 的图像关于y 轴对称⇔()f x 为偶函数；函数()f x 的图像关于原点轴对称⇔()f x 为奇函数 定量描述一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么称()f x 为偶函数；如果都有()()--f x f x =，那么称()f x 为奇函数；如果()()f x f x -=与()()--f x f x =同时成立，那么函数()f x 既是奇函数又是偶函数；如果()()f x f x -=与()()--f x f x =都不能成立，那么函数()f x 既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。
如果函数()f x 是奇函数或偶函数，那么称函数()y f x =具有奇偶性。
特别提醒：1、函数具有奇偶性的必要条件是：函数的定义域在数轴上所表示的区间关于原点对称。
换言之，假设所给函数的定义域不关于原点对称，那么这个函数一定不具备奇偶性。
2、用函数奇偶性的定义判断函数是否具有奇偶性的一般步骤：〔1〕考察函数的定义域是否关于原点对称。
假设不对称，可直接判定该函数不具有奇偶性；假设对称，那么进入第二步；〔2〕判断()()f x f x -=与()()f x f x -=-这两个等式的成立情况，根据定义来判定该函数的奇偶性。
二、函数具有奇偶性的几个结论1、()y f x =是偶函数⇔()y f x =的图像关于y 轴对称；()y f x =是奇函数⇔()y f x =的图像关于原点对称。
第2章函数及其表示-2021版高三数学(新高考)一轮复习教学课件(45张ppt)
第二章 函数、导数及其应用
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题组三 考题再现 5．(2019·江苏，5 分)函数 y＝ 7＋6x－x2的定义域是____[_－__1_,7_]_______.
[解析] 要使函数有意义，则 7＋6x－x2>0，解得－1≤x≤7，则函数的定义域是 [－1,7]．
第二章 函数、导数及其应用
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[答案] (1)①是映射，也是函数 ②不是映射，更不是函数 ③不是映射，更不是函数 ④是映射，但不是函数 (3)不同函数①②；同一函数③
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第二章 函数、导数及其应用
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1.映射与函数的含义 (1)映射只要求第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与 之对应；至于B中的元素有无原象、有几个原象却无所谓． (2)函数是特殊的映射：当映射f：A→B中的A，B为非空数集时，且每个象都有 原象，即称为函数． 2．判断两个函数是否相同的方法 (1)构成函数的三要素中，定义域和对应法则相同，则值域一定相同． (2)两个函数当且仅当定义域和对应法则相同时，才是相同函数．
f2：
x
x≤1
y
1
1<x<2 2
x≥2 3
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f3：
第二章 函数、导数及其应用
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[解析] (1)①是映射，也是函数； ②不是映射，更不是函数，因为从A到B的对应为“一对多”； ③当x＝0时，与其对应的y值不存在．故不是映射，更不是函数； ④是映射，但不是函数，因为集合A不是数集． (2)A图象不满足函数的定义域，不正确；B、C满足函数的定义域以及函数的值 域，正确；D不满足函数的定义，故选B、C． (3)①中f1的定义域为{x|x≠0}，f2的定义域为R，f3的定义域为{x|x≠0}，故不是 同一函数； ②中f1的定义域为R，f2的定义域为{x|x≥0}，f3的定义域为{x|x≠0}，故不是同 一函数； ③中f1，f2，f3的定义域相同，对应法则也相同，故是同一函数．
第6讲 二次函数y=a(x-h)2+k
第1页 共6页第6讲kh x a y +-=2)(姓名： 日期：【武功秘籍】1．在同一坐标系中画出图象y=x 2,y=(x+1)2,y=(x －2)2，并说出它们的位置关系。
通过作图我们可以得出如下的结论：性质: y=a(x －h)2的图象与y=ax 2的图象形状 ①其对称轴为平行y 轴的直线x=②顶点坐标为( ,0)③当a>0时，开口向上，图象有最 点，当x=h 时，y 有最 值为0；当a<0时，开口向下，图象有最 点，当x=h 时，y 有最大值为0。
④当h>0时，由y=ax 2的图象向右平移h 个单位；当h<0时，由y=ax 2向左平移|h|个单位，简称“ ”。
2．y=ax 2+bx+c(a ≠0)叫抛物线的 。
y=a(x －h)2+k(a ≠0)叫抛物线的 ，顶点式与一般式可以相互转化。
3．y=ax 2+bx+c 配成顶点式的一般步骤：① 用提取公用式的方法将二次系数化成“1”。
② 配方时，对于y=a(x x ab +2)+c ，括号内要先加再减一次项系数一半的平方，这样在括号内就可以使用完全平方公式了。
③ 去括号，化成y=a(x －h)2+k 的形式时，要注意去括号的法则。
【师傅入门】例1．（1）抛物线y=－1312+x 的顶点坐标是 ，对称轴是 。
（2）y=2x 2－8的顶点坐标是 ，对称轴是 ，开口方向 ，当x= 时，y 有最 值为 ，这是由y=2x 2 得到的。
（3）y=－8x 2沿y 轴向上平移4个单位得y= ，其对称轴为 ，顶点坐标为 。
第2页 共6页（4）与抛物线y=－1542-x 形状相同，开口方向相同，而顶点在抛物线y=－1542-x 的顶点上方3个单位的抛物线所对应的函数是：（5）已知函数y=ax 2与 函数y=－232x +c 的图象形状相同，且将抛物线y=ax 2沿对称轴平移2个单位就得到与抛物线y=－232x +c 完全重合，则a= ，c=例2．已知函数y=－21(x+3)2，不画图象，回答下列问题。
高中数学 第二章 函数 2.1.2 函数的表示方法课件 b必修1b高一必修1数学课件
答案：1 2
12/13/2021
第四十页，共四十四页。
4．已知 f(x＋1)＝x2－2x，则 f( 2)＝________． 解析：设 x＋1＝t，则 x＝t－1． 则 f(t)＝(t－1)2－2(t－1) ＝t2－4t＋3． 所以 f(x)＝x2－4x＋3， 所以 f( 2)＝( 2)2－4 2＋3＝5－4 2． 答案：5－4 2
12/13/2021
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法二：设 x＋4＝t≥4，则 x＝t－4，x＝(t－4)2， 所以 f(t)＝(t－4)2＋8(t－4)＝t2－16． 所以 f(x)＝x2－16(x≥4)． 所以 f(x2)＝x4－16(x≤－2 或 x≥2)． (3)由 2f(x)＋f1x＝2x，① 将 x 换成1x，则1x换成 x，得 2f1x＋f(x)＝2x，② ①×2－②，得 3f(x)＝4x－2x，即 f(x)＝43x－32x．
第二章 函 数
2．1．2 函数的表示(biǎoshì)方法
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第一页，共四十四页。
第二章 函 数
1．掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、 列表法． 2．了解简单的分段函数． 3．掌握函数解析式 的求法．
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第二页，共四十四页。
1．函数的表示方法
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第十三页，共四十四页。
(4)该函数中 y＝1(x≥1)表示平行于 x 轴的一条射线．
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作函数图象时应注意的事项 (1)画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图； (2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托 整个图象； (3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的 交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心点．
第6讲 二次函数y=a(x-h)^2+ k(a≠0)的图像与性质(基础课程讲义例题练习含答案)
二次函数y=a （x-h)2+k(a ≠0)的图象与性质—知识讲解（基础）【学习目标】1.会用描点法画出二次函数2()y a x h k =-+(a 、h 、k 常数，a ≠0)的图象．掌握抛物线2()y a x h k =-+与2y ax =图象之间的关系；2.熟练掌握函数2()y a x h k =-+的有关性质，并能用函数2()y a x h k =-+的性质解决一些实际问题；3.经历探索2()y a x h k =-+的图象及性质的过程，体验2()y a x h k =-+与2y ax =、2y ax k =+、2()y a x h =-之间的转化过程，深刻理解数学建模思想及数形结合的思想方法．【要点梳理】要点一、函数2()(0)y a x h a =-≠与函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图象与性质1.函数2()(0)y a x h a =-≠的图象与性质2.函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图象与性质要点诠释：二次函数2()+(0y a x h k a =-≠）的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象与性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题．要点二、二次函数的平移 1.平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：2.平移规律：在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 要点诠释：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿x 轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）【典型例题】类型一、二次函数2()(0)y a x h k a =-+≠图象及性质1．将抛物线22(1)3y x =-+作下列移动，求得到的新抛物线的解析式． (1)向左平移2个单位，再向下平移3个单位； (2)顶点不动，将原抛物线开口方向反向；(3)以x 轴为对称轴，将原抛物线开口方向反向． 【答案与解析】抛物线22(1)3y x =-+的顶点为(1，3)．(1)将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位后，顶点为(-1，0)，而开口方向和形状不变，所以a ＝2，得到抛物线解析式为222(1)242y x x x =+=++． (2)顶点不动为(1，3)，开口方向反向，则2a =-， 所得抛物线解析式为222(1)3241y x x x =--+=-++．(3)因为新顶点与原顶点(1，3)关于x 轴对称，故新顶点应为(1，-3)．又∵ 抛物线开口反向， ∴ 2a =-．故所得抛物线解析式为222(1)3245y x x x =---=-+-．【总结升华】当抛物线的形状确定以后，其位置完全决定于顶点，方向决定于a 的符号，故可利用移动后的顶点坐标与开口方向求移动后的抛物线的解析式． 举一反三：【变式】将抛物线23y x =-向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线解析式为 ． 【答案】23127y x x =-+-.2．（•荆州）将抛物线y=x 2﹣6x+5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，求得到的抛物线解析式. 【答案与解析】解：y=x 2﹣6x+5=（x ﹣3）2﹣4， ∴抛物线的顶点坐标为（3，﹣4），把点（3，﹣4）向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为（4，﹣2）， ∴平移后得到的抛物线解析式为y=（x ﹣4）2﹣2．【总结升华】由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 举一反三：【变式】二次函数21(3)42y x =-+的图象可以看作是二次函数212y x =的图象向 平移4个单位，再向 平移3个单位得到的．【答案】上；右.类型二、二次函数2()(0)y a x h k a =-+≠性质的综合应用3．（秋•安顺期末）二次函数y 1=a （x ﹣2）2的图象与直线y 2交于A （0，﹣1），B （2，0）两点． （1）确定二次函数与直线AB 的解析式．（2）如图，分别确定当y 1＜y 2，y 1=y 2，y 1＞y 2时，自变量x 的取值范围．【答案与解析】解：（1）把A （0，﹣1）代入y 1=a （x ﹣2）2，得：﹣1=4a ，即a=﹣，∴二次函数解析式为y 1=﹣（x ﹣2）2=﹣a 2+a ﹣1； 设直线AB 解析式为y=kx+b ， 把A （0，﹣1），B （2，0）代入得：，解得：k=，b=﹣1，则直线AB 解析式为y=x ﹣1；（2）根据图象得：当y 1＜y 2时，x 的范围为x ＜0或x ＞2；y 1=y 2时，x=0或x=2，y 1＞y 2时，0＜x ＜2． 【总结升华】可先由待定系数法建立方程组求出两个函数的解析式，然后利用函数图象写出自变量的取值范围．4．在同一直角坐标系中，画出下列三条抛物线：212y x =，2132y x =+，2132y x =-． （1）观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）请你说出抛物线212y x c =+的开口方向，对称轴及顶点坐标． 【答案与解析】 x …-3 -2 -1 0 1 2 3 (2)12y x =…142 212 012 2142…描点、连线，可得抛物线22y x =． 将212y x =的图象分别向上和向下平移3个单位，就分别得到2132y x =+与2132y x =-的图象（如图所示）．抛物线212y x =，2132y x =+与2132y x =-开口都向上，对称轴都是y 轴，顶点坐标依次 是（0，0）、（0，3）和（0，-3）． （2）抛物线212y x c =+的开口向上，对称轴是y 轴（或直线0x =），顶点坐标为（0，c ）．【总结升华】先用描点法画出212y x =的图象，再用平移法得到另两条抛物线，并根据图象回答问题． 规律总结：2y ax k =+k ←−−−−−向上平移个单位2y ax =k −−−−→向下平移个单位2(0)y ax k k =->．二次函数y=a （x-h)2+k(a ≠0)的图象与性质—巩固练习（基础）【巩固练习】 一、选择题1.抛物线2(2)3y x =-+-的顶点坐标是（ ）A ．(2，-3)B ．(-2，3)C ．(2，3)D ．(-2，-3)2.函数y=21x 2+2x+1写成y=a(x －h)2+k 的形式是（ ） A.y=21(x －1)2+2 B.y=21(x －1)2+21 C.y=21(x －1)2－3 D.y=21(x+2)2－13．抛物线y=21x 2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是( )A.y=21(x+3)2－2B.y=21(x －3)2+2C.y=21(x －3)2－2D.y=21(x+3)2+24．把二次函数122--=x x y 配方成顶点式为（ ）A ．2)1(-=x y B ． 2)1(2--=x y C ．1)1(2++=x yD ．2)1(2-+=x y5．由二次函数22(3)1y x =-+，可知（ ）A ．其图象的开口向下B ．其图象的对称轴为直线3x =-C ．其最小值为1D ．当3x <时，y 随x 的增大而增大 6．（•泰安）在同一坐标系中，一次函数y=﹣mx+n 2与二次函数y=x 2+m 的图象可能是（ ）.A. B. C. D.二、填空题7. （•怀化）二次函数y=x 2+2x 的顶点坐标为 ，对称轴是直线 ．8．已知抛物线y=－2(x+1)2－3，如果y 随x 的增大而减小，那么x 的取值范围是_ _____. 9．抛物线y=－3(2x 2－1)的开口方向是_____，对称轴是_____.10．顶点为（－2，－5）且过点（1，－14）的抛物线的解析式为 ．11．将抛物线22y x x =-向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是__ _____． 12．抛物线22(2)6y x =--的顶点为C ，已知3y kx =-+的图象经过点C ，则这个一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积为________．三、解答题13．已知抛物线的顶点（-1，-2），且图象经过（1，10），求抛物线的解析式．14. 已知抛物线212y x =-向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到 抛物线2()y a x h k =-+； （1）求出a ，h ，k 的值；（2）在同一直角坐标系中，画出2()y a x h k =-+与212y x =-的图象； （3）观察2()y a x h k =-+的图象，当x ________时，y 随x 的增大而增大；当x ________时，函数y 有最________值，最________值是y =________； （4）观察2()y a x h k =-+的图象，你能说出对于一切x 的值，函数y 的取值范围吗？15．（•珠海）已知抛物线y=ax 2+bx+3的对称轴是直线x=1． （1）求证：2a+b=0；（2）若关于x 的方程ax 2+bx ﹣8=0的一个根为4，求方程的另一个根．【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】D ；【解析】由顶点式可求顶点，由20x +=得2x =-，此时，3y =-．2.【答案】D ；【解析】通过配方即可得到结论. 3.【答案】A ； 【解析】抛物线 y=21x 2向左平移3个单位得到y=21(x+3)2，再向下平移2个单位后， 所得的抛物线表达式是y=21(x+3)2－2.4.【答案】B ；【解析】通过配方即可得到结论. 5.【答案】C ；【解析】可画草图进行判断. 6.【答案】D ；【解析】解：A 、由直线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上可知，n 2＜0，错误；B 、由抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上可知，m ＞0，由直线可知，﹣m ＞0，错误；C 、由抛物线y 轴的交点在y 轴的负半轴上可知，m ＜0，由直线可知，﹣m ＜0，错误；D 、由抛物线y 轴的交点在y 轴的负半轴上可知，m ＜0，由直线可知，﹣m ＞0，正确， 故选D ．二、填空题 7．【答案】（﹣1，﹣1）； x=﹣1； 【解析】∵y=x 2+2x=（x+1）2﹣1，∴二次函数y=x 2+4x 的顶点坐标是：（﹣1，﹣1），对称轴是直线x=﹣1．8．【答案】x ≥－1；【解析】由解析式可得抛物线的开口向下，对称轴是x=-1，对称轴的右边是y 随x 的增大而减小，故x ≥－1.9．【答案】向下，y 轴； 10．【答案】249y x x =---；【解析】设2(2)5y a x =+-过点（1，－14）得1a =-，所以22(2)549y x x x =-+-=---. 11．【答案】21027y x x =-+；【解析】先化一般式为顶点式，再根据平移规律求解. 12．【答案】 1； 【解析】C(2，-6)，可求932y x =-+与x 轴交于2(,0)3，与y 轴交于(0，3)，∴ 123123S =⨯⨯=. 三、解答题13.【答案与解析】∵ 抛物线的顶点为（-1，-2），∴ 设其解析式为2(1)2y a x =+-，又图象经过点（1，10），∴ 1042a =-，∴ 3a =， ∴ 解析式为23(1)2y x =+-． 14.【答案与解析】（1）由212y x =-向上平移2个单位，再向右平移1个单位所得到的抛物线是21(1)22y x =--+．∴ 12a =-，1h =，2k =．（2）函数21(1)22y x =--+与212y x =-的图象如图所示．（3）观察2()y a x h k =-+的图象，当1x <时，y 随x 的增大而增大；当1x =时，函数y 有最大值，最大值是2y =． （4）由图象知，对于一切x 的值，总有函数值2y ≤． 15.【答案与解析】（1）证明：∵对称轴是直线x=1=﹣，∴2a+b=0；（2）解：∵ax 2+bx ﹣8=0的一个根为4，∴16a+4b ﹣8=0， ∵2a+b=0， ∴b=﹣2a ，∴16a ﹣8a ﹣8=0， 解得：a=1，则b=﹣2，∴ax 2+bx ﹣8=0为：x 2﹣2x ﹣8=0， 则（x ﹣4）（x+2）=0， 解得：x 1=4，x 2=﹣2，故方程的另一个根为：﹣2．。
2021高三统考北师大版数学一轮第2章第6讲对数与对数函数含解析
2021高三统考北师大版数学一轮课时作业：第2章第6讲对数与对数函数含解析课时作业1．（2019·四川泸州一诊)2lg 2－lg 错误!的值为（）A．1 B．2C．3 D．4答案B解析2lg 2－lg 错误!＝lg错误!＝lg 100＝2，故选B．2．函数f（x）＝错误!的定义域是()A．(－3，0)B．（－3，0]C．(－∞，－3）∪（0，＋∞)D．(－∞，－3）∪（－3，0）答案A解析因为f（x）＝错误!，所以要使函数f（x)有意义,需使错误!即－3<x〈0.3．若函数y＝f(x）是函数y＝a x（a>0，且a≠1）的反函数，且f(2)＝1，则f（x)＝（)A．log2x B．错误!C．log错误!x D．2x－2答案A解析由题意知f（x）＝log a x(x>0）．∵f（2）＝1，∴log a2＝1。
∴a＝2。
∴f（x)＝log2x.4．已知函数f（x）＝log错误!x，x∈错误!，则f（x)的值域是（）A．错误!B．错误!C．[0，2］D．错误!答案A解析函数f(x)＝log错误!x，x∈错误!是减函数，所以函数的最小值为f错误!＝log错误!错误!＝错误!,函数的最大值为f错误!＝log错误!错误!＝2。
所以函数f(x）的值域为错误!.故选A．5．若x log23＝1,则3x＋3－x＝(）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!答案B解析因为x log23＝1，所以log23x＝1,所以3x＝2,3－x＝错误!，所以3x＋3－x＝2＋错误!＝错误!。
故选B．6．(2019·河北保定模拟）已知a＝log23＋log2错误!，b＝log29－log2错误!，c＝log32，则a，b，c的大小关系是（）A．a＝b〈c B．a＝b〉cC．a〈b<c D．a〉b>c答案B解析a＝log23＋log2错误!＝log23错误!，b＝log29－log2错误!＝log23错误!，因此,a＝b，而log23错误!>log22＝1，log32〈log33＝1，所以a＝b>c，故选B．7．(2020·北京东城区综合练习）已知函数f（x）＝错误!则f（2＋log23)的值为（)A ．24B ．16C ．12D ．8答案 A解析 因为3〈2＋log 23〈4,所以f （2＋log 23)＝f (3＋log 23）＝23＋log 23＝8×2log 23＝24.故选A ．8．函数y ＝log 13 ｜x ＋3｜的单调递增区间为（ ）A ．(－∞，3）B ．（－∞，－3)C ．(－3，＋∞)D ．（－∞，－3)∪（－3，＋∞)答案 B解析 因为函数y ＝log 错误!x 为减函数,y ＝｜x ＋3｜在（－∞,－3)上是减函数，所以函数y ＝log 错误!|x ＋3|的单调递增区间为(－∞，－3）．9．(2019·合肥模拟）若log a 错误!〈1(a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是（ )A ．错误!B ．错误!C ．错误!∪(1，＋∞）D ．错误!∪(1,＋∞） 答案 D解析 因为log a 23〈1,所以log a 错误!<log a a .若a >1，则上式显然成立；若0〈a <1,则应满足23>a 〉0.所以a 的取值范围是错误!∪（1,＋∞）．故选D ．10．（2019·安阳模拟)函数f （x )＝log a （6－ax ）(a 〉0且a ≠1)在［0,2]上为减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A．(0,1) B．(1，3）C．（1，3］D．[3，＋∞）答案B解析设u＝6－ax,由题意得该函数是减函数,且u>0在［0,2］上恒成立，∴错误!∴1<a<3。
第6讲无穷小量2009
第6讲 无穷小量与无穷大量授课题目 无穷小量与无穷大量 教学内容 1. 无穷小量与无穷大量的概念,2. 无穷小（大）量阶的比较，即高阶无穷小、同阶无穷小、等阶无穷小,3. 等阶无穷小的替换定理，4. 曲线的渐近线．5. 函数极限的归结原理， 教学目的和要求 通过本次课的教学，使学生能够较好地掌握无穷小量与无穷大量以及它们的阶数的概念，会对无穷小量与无穷大量进行比较；会利用等阶无穷小的替换定理计算某些极限；会求曲线的渐近线．对于成绩较好的学生要求他们能理解函数极限的归结原理。
教学重点及难点 教学重点：无穷小量比较，等阶无穷小的替换定理； 教学难点：无穷小量与无穷大量的阶数教学方法及教材处理提示(1) 要强调无穷小量是一个以零为极限的函数（变量），而不是一个很小很小的常数。
(2)本讲的重点是等价无穷小量及其替换定理，着重讲授常见的等价无穷小量及其它们在极限计算中的应用．(3)穷小量与无穷大量以及它们的阶数的概念是本讲的难点，要求较好的学生会熟练使用“ o ”与“ O ”进行运算．作业布置 作业内容：教材 66P :1（3,4），2(2,3)，4(3),5（2,3），9. 讲授内容一、无穷小量与无穷小数列的概念相类似，我们给出关于函数为无穷小量的定义．定义1 设f 在某)(0x U 内有定义．若0)(lim 0=→x f x x ，则称f 为当+→0x x 时的无穷小量．若函数g 在某)(0x U内有界，则称g 为当0x x →时的有界量．类似地定义当-∞→+∞→→→-+x x x x x x ,,,00以及∞→x 时的无穷小量与有界量．例如，x x sin ,2与x cos 1-都是当0→x 时的无穷小量，x -1是当-→1x 时的无穷小量,而x x xsin ,12为∞→x 时的无穷小量.又如x sin 时当∞→x 时的有界量，x1sin是当0→x 时的有界量． 性质1．两个(相同类型的)无穷小量之和、差、积仍为无穷小量． 性质2．无穷小量与有界量的乘积为无穷小量． 例如，当0→x 时，2x 是无穷小量，x1sin为有界量，故由性质2即得01sinlim 20=→x x x ，函数xx y 1sin 2=的图象如图3-6所示. 显然推出如下结论:A x f A x f x x -⇔=→)()(lim 0是当→x 0x 时的无穷小量.二、无穷小量阶的比较无穷小量是以0为极限的函数，而不同的无穷小量收敛于0的速度有快有慢．为此，我们考察两个无穷小量的比，以便对它们的收敛速度作出判断．设当0x x →时，f 与g 均为无穷小量．1．若0)()(lim=→x g x f x x ，则称当0x x →时f 为g 的高阶无穷小量,或称g 为f 的低阶无穷小量，记作))(()(x g x f ο= )(0x x →.特别，f 为当0x x →时的无穷小量记作)1()(ο=x f )(0x x →.由于02tan lim sin cos 1lim00==-→→xx x x x ．故有)(sin cos 1x x ο=-).0(→x2．若存在正数K 和L ，使得在某)(0x U上有,|)()(|L x g x f K ≤≤则称f 与g 为当0x x →时的同阶无穷小量．特别当0)()(lim≠=→c x g x f x x 时，f 与g 必为同阶无穷小量． 例如，当0→x 时，x cos 1-与2x 皆为无穷小量．由于21cos 1lim 20=-→xx x ,所以x cos 1-与2x 为当0→x 时的同阶无穷小量．又如，当0→x 时，x 与⎪⎭⎫⎝⎛+x x 1sin2都是无穷小量,由于它们之比的绝对值满足3|1sin2|1≤+≤x ，所以x 与)1sin 2(xx +为当0→x 时的同阶无穷小量． 3．若1)()(lim=→x g x f x x ，则称f 与g 时当0x x →时的等价无穷小量. 记作))((~)(0x x x g x f →. 例如，1sin lim0=→x x x ，故有).0(~sin →x x x ．又1arctan lim 0=→xxx 故有)0(~arctan →x x x ．以上讨论了两个无穷小量阶的比较．但应指出，并不是任何两个无穷小量都可以进行这种阶的比较．例如，当0→x 时，xx 1sin和2x 都是无穷小量，但它们的比x x x x x 1sin 11sin2=，当0→x 时不是有界量，所以这两个无穷小量不能进行阶的比较.定理3.12 设函数h g f ,,在)(0x U内有定义，且有)(~)(x g x f )(0x x →.（1）若A x h x f x x =→)()(lim 0，则A x h x g x x =→)()(lim 0；（2）若B x f x h x x =→)()(lim，则B x g x h x x =→)()(lim 0.证：（1）A A x h x f x f x g x h x g x x x x x x =⋅=⋅=→→→1)()(lim )()(lim)()(lim 00，（2）可类似地证明． 例1 求xxx 4sin arctan lim0→。
第6讲 幂函数与函数图象
第6讲幂函数与函数图象作者：王丽曾凡艳来源：《高中生学习·高三文综版》2014年第09期考情分析图象是函数刻画变量之间的函数关系的一个重要途径，是研究函数性质的一种常用方法，是数形结合的基础和依据.在图象变换和方程零点中经常涉及图象问题，是高考热点题型，通常直接考查为一个小题5分，也会在其它题目中用到图象，分值就更多.预计高考中还会加大对图象的考查力度.对于幂函数的考查主要是其定义和常见的几种幂函数图象和性质.命题特点纵观近几年高考题，主要有以下几种题型：（1）知图选式和知式选图，图象变换.（2）基本初等函数的图象特征和图象变换.（3）利用数形结合解决方程根的个数问题和求参数范围问题.（4）幂函数定义及y=x，y=[x12]，y=x2，y=x-1，y=x3的图象和基本性质.1. 知图选式和知式选图：这种题要求根据图象抓本质体现函数关系，根据式子和函数性质确定图象.例1 （1）函数[f（x）=x-12]的大致图象是（）[O][y][x] [O][y][x] [O][y][x] [O][y][x]A B C D（2）函数[y=cos6x2x-2-x]的图象大致为（）[O][y][x] [O][y][x] [O][y][x] [O][y][x] [A][B][C][D]（3）函数f（x）=axm（1-x）n在区间[0，1]上的图象如图所示，则m，n的值可能是（）[y][x] [O][0.5][0.5][1]A. m=1，n=1B. m=1，n=2C. m=2，n=1D. m=3，n=1解析（1）简单考查幂函数的图形，可直接选出答案.（2）函数为奇函数，所以图象关于原点对称，排除A，令[y=0]得[cos6x=0]，所以[6x=π2+kπ]，[x=π12+k6π]，函数零点有无穷多个，排除C项，且[y]轴右侧第一个零点为[（π12，0）]，又函数[y=2x-2-x]为增函数，当[00]，[cos6x>0]，所以函数[y=cos6x2x-2-x>0]，排除B项，选D.（3）本题由图选式，考查导数在研究函数单调性中的应用，代入验证.当m=1，n=2时，通过求导得到单调性和最值与图象相符.答案（1）A （2）D （3）B点拨由解析式选函数图象除了要熟悉基本初等函数图象特征外，还要从函数的性质上加以分析，诸如单调性、奇偶性、对称性、与坐标轴的交点等，都是我们解题的重要手段.函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的周期性，判断图象的循环往复.2. 通过图象变换作图：这部分题型主要由熟悉的初等函数图象和图象变换规律作函数图象.例2 画出下列函数的图象：（1） y=x2-2x[，x>1；]（2） f（x）=[1x；]（3） y=x|2-x|.解析（1）∵[x>1]，∴x1，图象是两段曲线，如图①.（2） [fx=1x，x>0，-1x，x（3）∵y=x|2-x|=[x2-2x，x≥2，-x2+2x，x[O][y][x] [O][y][x]①②[O][y][x]③点拨作图一般有两种方法：描点法、图象变换法.特别是图象变换法，有平移变换、伸缩变换和对称变换，要记住它们的变换规律.备考指南1. 作图的前提要能熟练掌握几种基本初等函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数图象等.2. 熟悉图象变换的基本规律，如平移变换、对称变换、翻折变换等.3. 能有效实现形与数的相互转化.限时训练1. 如图中曲线是幂函数y=xn在第一象限的图象. 已知n取±2，±[12]四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为（）[y][x][O][1][1][C1][C2][C3][C4]A. -2，-[12]，[12]，2B. 2，[12]，-[12]，-2C. -[12]，-2，2，[12]D. 2，[12]，-2，-[12]2. 若函数y=f（x）的图象如图所示，则y=-f（x+1）的图象大致为（）[1] [y][x][O][y][x][O][1] [y][x][O][-1] [-2] [A][B][C][D] [1][2] [y][x][O] [y][x][O][1][-1]3. 已知函数f（x）=kax-a-x（a>0且a≠1）在R上是奇函数，且是增函数，则函数g（x）=loga（x-k）的大致图象是（）[y][x][O][1] [2] [y][x][O][1] [-1] [y][x][O][1] [2] [y][x][O][1] [-1]A B C D4. 当a≠0时，y=ax+b与y=（ba）x的图象大致是（）[y][x][O][1] [y][x][O][1] [y][x][O][1] [y][x][O][1] [A][B][C][D]5. 已知f（x）= [x+3，x≤1，-x2+2x+3，x>1，]则函数g（x）=f（x）-ex的零点个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 46.函数[y=x2-2sinx]的图象大致是（）[O][y][x] [O][y][x]A B[O][y][x] [O][y]C D7. 已知函数f（x）=[4x+2-1]的定义域是[a，b]（a，b∈Z），值域是[0，1]，则满足条件的整数对（a，b）共有（）A. 2对B. 5对C. 6对D. 无数对8. 设a是方程[1x]-log2x=0的实数根，则有（）A. aC. 029. 已知函数f（x）=[1ex]-tanx，[-π2A. 大于1B. 大于0C. 小于0D. 不大于010. 如图，正方形ABCD的顶点A[0，22]，B[22，0]，顶点C，D位于第一象限，直线l：x=t（[0≤t≤2]）将正方形ABCD分成两部分，记位于直线l左侧阴影部分的面积为f（t），则函数S=f（t）的图象大致是（）[y][x][O] [A][D][C][B][l] [S][t][O] [S][t][O] [S][t][O] [S][t][O]A B C D11. 函数y=[x-2x+2]的图象关于对称.12. 设函数f（x）=|x+2|+|x-a|的图象关于直线x=2对称，则a的值为 .13. 函数y=f（x）的图象如图所示，在区间[a，b]上可以找到n（n≥2）个不同的数x1，x2，…，xn，使得[f（x1）x1=][f（x2）x2=…=f（xn）xn]，则n的取值集合是 .[y][x][O][a][b]14. 函数y=[11-x]的图象与函数y=2sinπx（-2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于 .15. 已知函数f（x）=|x2-4x+3|.（1）求函数f（x）的单调区间，并指出其增减性；（2）求集合M={m|使方程f（x）=m有四个不相等的实根}.16. 设函数f（x）=x+[1x]，x∈（-∞，0）∪（0，+∞）的图象为C1，C1关于点A（2，1）的对称的图象为C2，C2对应的函数为g（x）.（1）求函数y=g（x）的解析式，并确定其定义域；（2）若直线y=b与C2只有一个交点，求b的值，并求出交点的坐标.17. 设函数f（x）=[1，1≤x≤2，x-1，2（1）求函数h（a）的解析式；（2）画出函数y=h（x）的图象并指出h（x）的最小值.18. 已知函数f（x）=ax3-3ax，g（x）=bx2+clnx，且g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为2y-1=0.（1）求g（x）的解析式；（2）设函数G（x）= [fx，x≤0，gx，x>0，]若方程G（x）=a2有且仅有四个解，求实数a的取值范围.。
第6课时：二次函数的图象与性质(5)
第六章 二次函数
第6课时：二次函数的图象与性质（5）
班级 姓名 学号
学习目标：
1、会利用抛物线的性质画二次函数c bx ax y ++=2的图象。
2、会画实际问题中的二次函数的图象。
问题探索：
问题1：画出二次函数642---=x x y 的图象.
练习:画出二次函数2
5
3212+-=
x x y 的图象.
问题2：(1)画出函数3422
+-=x x y 的图象.
(2) 画出函数)21(3422
≤≤-+-=x x x y 的图象.
外两边是总长为6米的铁栅栏． （1）求梯形的面积y 与高x 的表达式；
（2）求x 的取值范围；
（3）在上面的直角坐标系中画出函数的图象．
练习：已知一边靠校园院墙,另外三边用8m 长的篱笆
,围成一个长方形场地,设垂直院墙的边
长为)(m x .（1）写出长方形场地面积)(2
m y 与x 的函数关系式；（2）画出函数的图象； （3）根据图象，请你指出当边长是多少时，长方形面积最大.
想一想：对二次函数542
+-=x x y ，在下列不同情况下，求函数的最大值或最小值； （1）x 取任意实数； （2）11≤≤-x ； （3）41≤≤x
4、体育课上,一男生推铅球,铅球行进高度y (m ) 与水平距离)(m x 之间的关系是3
5321212++-=x x y . (1)画出函数的图象;
(2)观察图象,说出铅球推出的距离.。
第六讲_基本初等函数的性质
第六讲 基本初等函数的性质一、知识要点：1、基本初等函数的性质一般包含以下几个方面：（1）定义域；（2）解析式；（3）奇偶性；（4）单调性；（5）周期性；（6）值域等。
函数的各种性质并不是孤立的，而是相互联系，相互依赖的，在研究函数的某一方面的性质时，很有可能要借助于另一个性质。
另外，我们经常通过观察函数图象来获得函数的各种性质，但有很多函数却是要先通过函数性质的研究才能想象出其图象的大致分布情况，二者相辅相成。
2、基本初等函数的类型主要有：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数以及简单的复合函数等。
限于篇幅，这里对它们的图象和性质不一一列举。
3、特别研究常用的形如0,,≠+=b a xbax y 的函数，掌握一些重要结论，但这些结论在解题应用中须加以简单证明。
二、例题选讲：1、一次函数（形如0,,,≠∈+=k R b k b kx y 的函数）例1、当0≤x ≤1时，函数y=ax+a －1的值有正值也有负值，则实数a 的取值范围是（ ）(A)a <21(B)a >1 (C)a <21或a >1 (D)21<a <1例２、对于1||≤m 的一切实数m ，求使得不等式)1(122->-x m x 都成立的实数x 的取值范围．2、二次函数一般式：.0,)(2≠++=a c bx ax x f 顶点式：.0,)()(2≠+-=a n m x a x f 零点式：.0),)(()(21≠--=a x x x x a x f例3、已知二次函数)(x f 的二次项系数为a ，且不等式x x f 2)(->的解集为)3,1(。
（Ⅰ）若方程06)(=+a x f 有两个相等的根，求)(x f 的解析式； （Ⅱ）若)(x f 在区间]4,2[-上是单调函数，求a 的取值范围。
3、反比例函数（形如0,≠=k xky 的函数） 我们常用分离常数的方法将一个分式型函数转化为反比例函数来研究：)0,.()(2≠+-+=+-++=++c a cd x c ad c b ca d cx c adb d cxc ad cx b ax或：)0,.()()1()()()(≠+-+=+-+=++=++=++c a c d x c d a b c a c a c d x c d a b c a c d x a b x c a c d x c a b x a d cx b ax例4、求函数)0(112)(<-+=x xx x g 的值域。
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1 第6讲 函数的图象 1．利用描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线． 首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式； ③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)． 其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线． 2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换
(2)对称变换 ①y＝f(x)―――――→关于x轴对称y＝－f(x)；②y＝f(x)――――――→关于y轴对称y＝f(－x)； ③y＝f(x)――――――→关于原点对称y＝－f(－x)；④y＝ax(a＞0且a≠1)―――――→关于y＝x对称y＝logax(x＞0)． (3)翻折变换
①y＝f(x)―――――――――――→保留x轴及上方图象将x轴下方图象翻折上去y＝|f(x)|．②y＝f(x)――――――――――――→保留y轴及右边图象，并作其关于y轴对称的图象y＝f(|x|)． (4)伸缩变换
①y＝f(x)a＞1，横坐标缩短为原来的1a倍，纵坐标不变0＜a＜1，横坐标伸长为原来的1a倍，纵坐标不变→y＝f(ax)．
②y＝f(x)a＞1，纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变0＜a＜1，纵坐标缩短为原来的a倍，横坐标不变→y＝af(x)． 1．函数y＝x|x|的图象的形状大致是( )
2. 点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O，P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系如图，那么点P所走的图形是( ) 2
3. 已知三个函数①y＝ax；②y＝logbx；③y＝logcx的图象如图所示，则a、b、c的大小关系为( ) A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a 4. 函数y＝ax与函数y＝log1a(－x)(a＞0且a≠1)的图象关系是( )
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于直线x－y＝0对称 D．关于x＋y＝0对称 作函数的图象
分别作出下列函数的图象．(1)y＝2x＋2；(2)y＝|lg x|；(3)y＝x＋2x－1.
将本例(3)的函数变为“y＝x＋2x＋3”，函数的图象如何？ 分别作出下列函数的图象．(1)y＝|x－2|(x＋1)；(2)y＝|log2(x＋1)|. 识图与辨图 (1)函数y＝2x2－e|x|在[－2，2]的图象大致为( )
(2)函数f(x)＝ax＋b（x＋c）2的图象如图所示，则下列结论成立的是( ) A．a>0，b>0，c<0 B．a<0，b>0，c>0 C．a<0，b>0，c<0 D．a<0，b<0，c<0 [通关练习] 1．函数y＝(x3－x)2|x|的图象大致是( ) 3
2．已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可以是( ) A．f(x)＝ln|x|x B．f(x)＝exx C．f(x)＝1x2－1 D．f(x)＝x－1x 函数图象的应用(高频考点) (1)设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式f（x）－f（－x）x＜0的解集为( ) A．(－1，0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0，1) C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1，0)∪(0，1) (2)设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________． [题点通关] 角度一 利用函数图象研究函数性质 1．下列区间中，函数f(x)＝|lg(2－x)|在其上为增函数的是( )
A．(－∞，1] B．－1，43 C．0，32 D．[1，2)
角度二 利用函数图象研究不等式的解
2．如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是( ) A．{x|－1＜x≤0} B．{x|－1≤x≤1} C．{x|－1＜x≤1} D．{x|－1＜x≤2} 角度三 利用函数图象求参数的取值范围 3．直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则a的取值范围是________．
角度四 研究两图象的交点个数或方程根的个数 4．已知函数y＝f(x)的周期为2，当x∈[－1，1]时，f(x)＝x2，那么函数y＝f(x)的图象 与函数y＝|lg x|的图象的交点共有( ) A．10个 B．9个 C．8个 D．1个
1. 已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )
A．a>1，c>1 B．a>1，01 D．02．在同一平面直角坐标系中，函数y＝g(x)的图象与y＝ex的图象关于直线y＝x对称． 而函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象关于y轴对称，若f(m)＝－1，则m的值是( )
A．－e B．－1e C．e D．1e 3．在同一坐标系中画出函数y＝logax，y＝ax，y＝x＋a的图象，可能正确的是( ) 4
4．已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是( ) A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1) C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1，1) D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)
5．定义一种运算：g⊗h＝g（g≥h），h（g＜h），已知函数f(x)＝2x⊗1，那么函数f(x－1)的大致图象是( )
6．若函数y＝f(x)的图象过点(1，1)，则函数y＝f(4－x)的图象一定经过点________． 7. 如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(3，1)，
则f1f（3）的值等于________．
8．使log2(－x)9．已知函数f(x)＝x1＋x.(1)画出f(x)的草图；(2)指出f(x)的单调区间．
10．已知函数f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0. (1)求实数m的值；(2)作出函数f(x)的图象；(3)根据图象指出f(x)的单调递减区间； (4)根据图象写出不等式f(x)>0的解集；(5)求当x∈[1，5)时函数的值域．
11．已知函数f(x)的图象与函数h(x)＝x＋1x＋2的图象关于点A(0，1)对称． (1)求f(x)的解析式；(2)若g(x)＝f(x)＋ax，且g(x)在区间(0，2]上为减函数，求实数a的取值范围． 5
第6讲 函数的图象 , [学生用书P37])
1．利用描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线． 首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)． 其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线． 2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换
(2)对称变换 ①y＝f(x)―――――→关于x轴对称y＝－f(x)； ②y＝f(x)――――――→关于y轴对称y＝f(－x)； ③y＝f(x)――――――→关于原点对称y＝－f(－x)； ④y＝ax(a＞0且a≠1)―――――→关于y＝x对称y＝logax(x＞0)． (3)翻折变换
①y＝f(x)―――――――――――→保留x轴及上方图象将x轴下方图象翻折上去y＝|f(x)|．
②y＝f(x)――――――――――――→保留y轴及右边图象，并作其关于y轴对称的图象y＝f(|x|)． (4)伸缩变换 ①y＝f(x)
a＞1，横坐标缩短为原来的1a倍，纵坐标不变
0＜a＜1，横坐标伸长为原来的1a倍，纵坐标不变→
y＝f(ax)． ②y＝f(x) a＞1，纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变0＜a＜1，纵坐标缩短为原来的a倍，横坐标不变→
y＝af(x)．
1．辨明两个易误点 (1)在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x，y变换”的原则，如从
f(－2x)的图象到f(－2x＋1)的图象是向右平移12个单位，其中是把x变成x－12. 6
(2)明确一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称的不同，前者是自身对称，且为偶函数，后者是两个不同函数的对称关系． 2．会用两种数学思想 (1)数形结合思想 借助函数图象，可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质；利用函数的图象，还可以判断方程f(x)＝g(x)的解的个数、求不等式的解集等． (2)分类讨论思想 画函数图象时，如果解析式中含参数，还要对参数进行讨论，分别画出其图象．
1．函数y＝x|x|的图象的形状大致是( )
[答案] A 2.教材习题改编 点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O，P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系如图，那么点P所走的图形是( )
[答案] C 3.教材习题改编 已知三个函数①y＝ax；②y＝logbx；③y＝logcx的图象如图所示，则a、b、c的大小关系为( )
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a A [解析] 由题图知，0＜a＜1，b＞1，c＞1.
又当x＞1时，logbx＞logcx＞0.即1logxb＞1logxc， 所以logxc＞logxb，所以c＞b. 即a＜b＜c，故选A. 4.教材习题改编 函数y＝ax与函数y＝log1a(－x)(a＞0且a≠1)的图象关系是( )
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称