黄金分割线在为《为弦乐、打击乐和钢片琴所写的音乐》中的具体应用
黄金分割的审美价值和实用意义
黄金分割的审美价值和实用意义摘要:朱光潜先生在《文艺心理学》中讲到《形体美》时，谈到“黄金分割”：“黄金分割”是最美的形体，因为他能表现“寓变化于整齐”这里基本原则。
太整齐的形体往往流于单板单调，变化太多的形体又往往流于散漫杂乱。
那么，究竟，黄金分割具有哪些令人神往的美呢？关键词：黄金分割艺术价值美一、关于黄金分割黄金分割（golden section）又称黄金律，是指事物各部间具有一定的比例关系，即将整体一分为二，，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为1∶0.618或1.618∶1，即长段为全段的0.618。
0.618被公认为最具有审美意义的比例数字。
上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割。
黄金分割具有比例性，艺术性，和谐性，蕴藏着丰富的美学价值。
二、黄金分割的审美价值黄金分割自生产起就成为一条举世公认的著名美学定律,被广泛用于音乐、绘画、雕塑等艺术和建筑之中，且在数学、美学、人体、艺术、自然中显示出了巨大的作用，推动了人们在它的认识下去认识和改造世界。
·黄金分割的绘画之美：著名画家达·芬奇的作品蒙娜丽莎完美展现黄金分割在油画上得应用。
通过图片可以看出，蒙娜丽莎的头部和肩膀在图中完美结合黄金分割，使得画面看起来非常和谐、完美。
·黄金分割的雕塑之美：德国美学家蔡辛对人体做了大量的计算，发现其黄金分割点有四处。
那就是肚脐、咽喉、膝盖和肘关节。
人体结构就其整体而言，如果肚脐以上与肚脐以下两部分的比为0.618:1，就构成了黄金分割。
人体上还有3处黄金分割。
一处是肚脐以上部分，它的黄金分割点在咽喉，咽喉至头顶与咽喉至肚脐之比为0.618:1。
另一处是肚脐一下部分，她的黄金分割点在膝盖，肚脐至膝盖与膝盖至脚后跟之比为0.618:1。
再有一处是上肢部分，上肢的黄金分割点在肘关节，肩关节至肘关节与肘关节至中指指尖之比为0.618:1。
古希腊具有"显示出永久的魅力"的雕塑艺术，反映了当时人们应用数学理念与雕塑艺术上的杰出成就。
黄金分割与艺术设计黄金比例在艺术创作中的应用
黄金分割与艺术设计黄金比例在艺术创作中的应用在艺术设计领域，黄金分割是一种被广泛运用的比例规律。
黄金分割是指将一条线段分为两部分，使整条线段与较短部分的比例等于较短部分与较长部分的比例。
这个比例值约等于1:1.618，常用符号Φ表示。
黄金分割在艺术创作中的应用具有一定的科学性和美学效果，能够帮助艺术家实现视觉上的和谐与平衡。
本文将探讨黄金分割在艺术设计中的应用，以及它对作品表达的影响。
1、黄金分割在造型设计中的应用在设计美学中，黄金分割被广泛应用于造型的比例关系上。
比如在绘画、摄影和设计中，艺术家常常会借鉴黄金比例来安排画面中事物的位置和大小。
通过运用黄金分割，作品的构图更加协调、优雅，让观者在欣赏时感到舒适和和谐。
在人物画中，艺术家可以运用黄金分割比例来精确刻画面部特征、身体部位的比例以及姿势等，使整个画面更富于美感。
2、黄金分割在色彩搭配中的应用除了造型设计，黄金分割也能在色彩搭配中发挥重要作用。
黄金比例能够帮助艺术家选取出最和谐的色彩组合。
通过将色彩空间分割成黄金比例的比例关系，使不同颜色之间的比例更加协调。
这种色彩搭配不仅给人以视觉上的舒适感，还能有效地提升作品的艺术感染力。
3、黄金分割在平面设计中的应用在平面设计中，黄金分割被广泛用于布局设计。
比如，网页设计中，黄金分割比例可以用于设计元素的排列和放置，使整个页面看起来更加美观和谐。
同时，黄金分割还可用于平面广告、海报和宣传册的设计，使这些设计更具吸引力和感染力。
4、黄金分割在建筑设计中的应用黄金分割在建筑设计中也有广泛的应用。
从古希腊到现代建筑，黄金比例一直被作为建筑设计中的重要原则。
例如，希腊神殿的设计就运用了黄金分割比例，使其具有几何美感和结构稳定性。
如今，现代建筑也借鉴黄金分割比例，运用于建筑的立面、空间分割和细部设计，使建筑更加和谐、美观。
总结起来，黄金分割作为一种比例规律在艺术创作中发挥着重要的作用。
无论是造型、色彩、平面设计还是建筑设计，运用黄金分割都能使作品表达更加丰富而生动。
黄金分割知识点九年级
黄金分割知识点九年级黄金分割是数学中的一个重要概念，也是艺术和设计领域经常运用的原则。
它指的是一种特殊的比例关系，被广泛应用于建筑、绘画、音乐、摄影等领域中。
下面将介绍黄金分割的定义、特点以及其在不同领域中的应用。
一、黄金分割的定义黄金分割，又称黄金比例，是指一条线段分成两部分，使整体与较长部分之间的比例等于较长部分与较短部分之间的比例。
用公式表示为a/b=(a+b)/a=φ（phi），其中a代表整体长度，b代表较长部分的长度，φ为黄金分割比例，约等于1.618。
二、黄金分割的特点黄金分割具有以下几个特点：1. 对称美：黄金分割产生的两部分线段，在视觉上具有对称和谐的美感，被认为是最美的比例关系。
2. 延展性：黄金比例可以无限延展，即将一个黄金长方形的边界扩大，仍然能保持黄金比例。
3. 无限递归性：黄金分割能够无限递归，即把一个矩形划分成一个正方形和一个新的矩形，这个新的矩形与原矩形的比例仍然是黄金比例。
4. 出现频率高：黄金分割在自然界中出现频率较高，例如大部分花朵的花瓣数目和位置、鱼和动物的体长比例等都符合黄金分割比例。
三、黄金分割在不同领域的应用1. 建筑设计：许多著名的建筑物和古代宫殿都应用了黄金分割原理。
例如，希腊神庙和埃及金字塔的长宽比例大都接近黄金比例，这使得它们在视觉上更加和谐美观。
2. 绘画与雕塑：众多艺术作品中也运用了黄金分割的比例关系。
画家和雕塑家常常使用黄金分割点来布局画面，这样能够吸引观众视线，使画面更加有层次感。
3. 摄影和设计：摄影师和设计师在构图时经常使用黄金分割点和黄金分割线来达到更好的视觉效果。
黄金分割的运用可以使照片或设计更加吸引人，给人以美的享受。
4. 音乐：黄金分割原则也应用于音乐创作中。
作曲家可以根据黄金比例来安排乐曲的节奏、曲调和结构，以达到更好的和谐效果。
5. 网页设计和平面设计：在网页和平面设计领域中，黄金分割被广泛应用于布局、按钮位置、文字大小等方面，以提升用户体验和视觉效果。
黄金分割是如何发现的？在科学领域有什么应用？
黄金分割是如何发现的？在科学领域有什么应用？黄金分割的发现是一个非常有趣的过程，据流传，在公元前的六世纪，古希腊哲学家兼数学家毕达哥斯拉在某天经过一个铁匠铺时，听见铁匠铺里面传来清脆悦耳的声音，而作为一个哲学家和数学家的他，肯定是不会放过生活中的每个细节的，于是他就断定这其中肯定藏着某种秘密，之后测量了铁匠铺里的铁砧和铁锤大小之后，大小他们之间的比例为1：0.618，虽然这是流传，但随后人们发现用这种比例制作的乐器发出的声音非常具有美感，这就说明了黄金分割的发现是与音乐有关的。
1.这是生活中的黄金分割例子，而在13世纪时，数学家法布兰斯的一本书中就记录了一串神秘的数字，这就是黄金分割与数学的关系，大家可能都知道这串数字就是著名的斐波那契数列，即1 ,1,2,3,5,8,13,21,34…………,且后一个数字是前两个数字之和，说它神秘是因为如果任意用前一个数除以后一个数，结果就是0.618，后面除以前面是1.618，并且越往后面走，就越接近黄金分割率，同时你还会发现，0.618的倒数是1.618，两者相乘的结果接近1。
2.理论的发现源于自然，那么在自然界中肯定就有这种应用，而这种应用在生活中也可以说是无处不在，所以不仅仅是在科学领域，比如树叶的宽度与长度之比，蝴蝶的身长与翼展之比，主持人站在舞台的三分之一处，而不是中间，舞蹈演员的上身与下身的比例，纸张的长度与宽度之比，自然温度的28度与人体温度38度之比，建筑物的结构比例，只要是与美感舒适等挂钩的东西，基本上都要用到黄金分割，而在科学领域就更明显了，比如在做科学实验时，在研究对象比较多且复杂时，往往会应用黄金优选法来进行筛选，这样就可以合理地安排实验次数而得出合理的结论，在科学领域的应用还有很多，人类DNA的研究，建筑物的设计，大脑脑电波的最高频率与最低频率之比，宇宙中的星系结构等，但是不管怎样，我觉得黄金分割用得最多的还是在科学设计方面，因为理论有了，就要看你能不能造出和自然界一样的具有美感的东西。
黄金分割点在实践中的应用
黄金分割点在实践中的应用发表时间：2017-10-25T14:57:33.057Z 来源：《科技中国》2017年7期作者：王扩[导读] 摘要：本文对黄金分割点的沿革和基本原理进行了介绍，对阐述了黄金分割点在生物学、统计学及艺术领域的应用。
随着数学理论的不断发展以及与实践的不断结合，黄金分割点可以在更多领域得到应用，为人类创作更加美好的世界。
摘要：本文对黄金分割点的沿革和基本原理进行了介绍，对阐述了黄金分割点在生物学、统计学及艺术领域的应用。
随着数学理论的不断发展以及与实践的不断结合，黄金分割点可以在更多领域得到应用，为人类创作更加美好的世界。
关键词：黄金分割点；实践；应用1引言黄金分割点理论与著名的勾股定理齐名，二者共同被称为古希腊文明中几何学的两朵奇葩[1]。
自从黄金分割理论被发现以来，社会生活中的众多领域或有意或无意的采用了这一定律。
本文对黄金分割的基本原理和发展历史进行介绍，并着重阐述了黄金分割点在各种实践中的应用。
2 黄金分割点基本原理黄金分割起源于毕达哥拉斯学派对于五角星的研究，他们发现在五角星中临近顶点的对角线可以将彼此分为长、短两部分，这两部分满足一定的比例关系，即整条对角线与较长部分的比值等于较长部分和较短部分的比值，如图1所示，线段AB上存在一点C将线段AB分为线段AC和BC两部分，其中AB:AC=AC:BC，那么C即为黄金分割点。
古希腊数学家Eudoxus对黄金分割进行了进一步的研究，他将BC和AC的比值称为“中外比”；同样是古希腊的几何学家Euclid，在论证中外比时运用了平面几何理论；文艺复兴时期著名画家Da Vinici首次采用黄金分割这一称谓称呼这种比例关系；随着数学理论的发展，无理数被发现并证实，黄金分割的具体比例数值被最终确定了下来，设AB长度为l，AC的长度a，根据黄金分割的比例关系，l与a存在如式1所示的关系：将式1变形后得到方程a2+al-l2=0，求解后得到式2所示的关系：人们把a和l的比值(即较长线段和整条线段的比值)成为黄金分割数，这一数值近似等于0.618。
黄金分割率在生活中的应用
黄金分割率在生活中的应用
黄金分割率在生活中有许多应用，以下列举几个常见的例子：
1. 艺术和设计：黄金分割率被广泛运用于绘画、雕塑、建筑和设计领域。
艺术家和设计师使用黄金分割率来确定作品的比例和结构，以获得更美观和谐的效果。
2. 美学：黄金分割率被视为一种美学理论，应用于音乐、文学和摄影等领域。
例如，许多古典音乐作品和诗歌使用黄金分割率来构造和组织节奏和韵律。
3. 建筑和城市规划：黄金分割率在建筑和城市规划中也经常被运用。
建筑师使用黄金分割率来确定建筑物的比例、尺寸和布局，以创造宜人和谐的空间。
城市规划师也可以使用黄金分割率来规划城市街道和公园的布局和位置。
4. 广告和市场营销：黄金分割率也被一些广告和市场营销专家认为是一种有效的设计和排版原则。
通过应用黄金分割率，可以创造出更吸引人的广告布局和设计，从而吸引更多的目标群体。
总体来说，黄金分割率在生活中的应用主要是以美学和设计原则的形式出现，用于提高视觉效果和吸引力，创造出更美观和谐的作品和环境。
音乐中的数学之美
音乐中的数学之美摘 要：本文分别从音乐的乐理、乐曲结构、和声、乐器等方面阐述了数学与音乐的联系，以及数学在音乐领域发挥的巨大作用。
提出音乐与数学并非偶然地融合，而是以感性和理性的不同方式共同描述世界。
关键词：律制；黄金分割；频率1 引言音乐是表现心灵和情感的艺术，数学是抽象思维的结晶。
有史以来，音乐和数学一直被联系在一起，相互促进，相辅相成。
在中世纪，算术、几何、天文和音乐都包括在教育课程之中，曾一度认为音乐是数学的一部分。
时至今日，飞速发展的计算机和信息技术正在使数学与音乐之间的联系更加紧密。
2 音乐与数学结合的起源最早将音乐与数学联系起来的研究要追溯至公元前六世纪的毕达哥拉斯学派，他们用比例把二者有机结合起来。
他们发现乐声的协调与所联系的整数之间有着密切的关系，拨动一根弦发出的声音取决于绷紧的弦的长度；他们还发现协和音由长度与原弦长的比为整数比的弦给出。
其实被拨动弦的每一种和谐的结合，都能表示为整数比，由不同的整数比的弦的长度，能够产生全部的音阶。
例如从一根产生音C 的弦开始，接着C 的长度的16/15给出B ，C 的长度的6/5给出A ，C 的4/3给出G ，C 的3/2给出F ，C 的8/5给出E ，C 的16/9给出D ，C 的2/1给出低音C 。
五度相生律也是毕达哥拉斯的首创，故又名毕达哥拉斯律。
它根据第一、二泛音间频率比为2：3的关系进行音的繁衍，以此为纯五度，进行一系列的五度相生，从而得到调中诸音。
纯律的实际应用及乐谱记载在六世纪由我国梁代丘明传谱的《碣石调幽兰》中已有体现，其中古琴的七弦十三徽上均已使用泛音技法。
纯律取泛音列中第一、二泛音之间的纯五度以及第三、四泛音间的大三度这两种音程为繁衍新音的要素，由频率比为4:5:6的几个大三和弦确定诸音高。
直至十六世纪我国在数学运算上有所突破，在算盘上用开两次平方和一次立方的方法求出了十二次方根，这实际就是一百多年后由德国人沃克梅斯特提出的十二平均律，其频率由等比数列通项公式1n 1n -=q a a 确定，公比q =1.05946，是2开12次方的算术根。
黄金分割课件2
在科技领域中，黄金分割也被应用 于图像处理、计算机图形学等方面 ，以提高视觉效果和用户体验。
CHAPTER
02
黄金分割的数学原理
黄金分割的几何解释
01
黄金分割定义
黄金分割是一种比例关系，即将一条线段分为两段，使得较长线段与整
条线段的比等于较短线段与较长线段的比，其比值为1.61803。
02
THANKS
感谢观看
数学特性
黄金分割是满足一定数学关系的比例 ，具有严谨的数学基础，是数学领域 的一个重要概念。
黄金分割的应用范围
艺术领域
在建筑、绘画、雕塑等艺术领域 中，黄金分割被广泛应用于构图 和设计，以提高作品的美感和和
谐性。
音乐领域
在音乐领域中，黄金分割被用于分 析音符和和弦的比例关系，以创作 出更加和谐的音乐作品。
CHAPTER
05
黄金分割的心理学意义
黄金分割与审美心理
总结词
黄金分割在审美心理中具有重要地位，能够 引发人们的审美愉悦和视觉舒适感。
详细描述
黄金分割是一种比例关系，它将整体一分为 二，较大部分与较小部分之比等于整体与较 大部分之比。这种比例关系在自然界和人造 物中广泛存在，被认为是美和和谐的象征。 在视觉艺术中，黄金分割被广泛应用于构图 、画面布局和排版设计，能够创造出具有美 感和平衡感的作品，引发人们的审美愉悦。
04
黄金分割在日常生活中的应用
黄金分割在摄影中的应用
总结词
突出主题，增强视觉美感
详细描述
在摄影中，黄金分割是一种常用的构图技巧，通过将画面分为9个等分，将主体 放置在4个交叉点或线上，以突出主题，增强视觉美感。这种构图方式能够引导 观众的视线，使画面更加平衡和协调。
黄金分割的美学原则在贝多芬钢琴奏鸣曲中的体现
黄金分割的美学原则在贝多芬钢琴奏鸣曲中的体现引言：黄金分割是一个被广泛运用于艺术和设计领域的美学原则，它指的是一种比例关系，即两个部分之比等于整体与较大部分之比。
这种比例关系被认为具有美学感染力，因为它能够给人一种和谐、平衡、舒适的感觉。
贝多芬是一位著名的音乐大师，在他的作品中也体现了黄金分割的美学原则。
本文将从贝多芬的钢琴奏鸣曲的构成、旋律、和声以及节奏等方面，分析贝多芬如何运用黄金分割的美学原则，以达到艺术美的境界。
一、贝多芬钢琴奏鸣曲的构成在贝多芬的钢琴奏鸣曲中，结构布局常常体现出黄金分割的美学原则。
以《月光奏鸣曲》为例，奏鸣曲通常由三个乐章组成，分别是快板-慢板-快板，这种结构布局往往符合黄金分割的比例关系。
即整个奏鸣曲的结构相对比例与各个乐章的内部结构也是按照黄金分割比例构成的，从整体到局部的各个部分都呈现出和谐与平衡之美。
二、旋律的黄金分割在贝多芬的钢琴奏鸣曲中，旋律也常常体现出黄金分割原则。
他的旋律往往是由两个或者三个句子组成的。
这些句子之间的比例关系通常符合黄金分割的比例。
比如在《悲怆奏鸣曲》的第一乐章中，旋律的一二部分和三部分之间的关系通常是黄金分割的比例。
三、和声的黄金分割贝多芬的和声也常常体现出黄金分割原则，他在和声的构成上注重对称和平衡。
比如在《热情奏鸣曲》中，和声的构成常常是按照黄金分割比例构成的。
他善于利用不同音阶的和声进行变化，从而营造出一种和谐与美感，这正是黄金分割美学原则的体现。
四、节奏的黄金分割在贝多芬的钢琴奏鸣曲中，节奏也常常体现出黄金分割的原则。
他的节奏往往是根据黄金分割原则来组织的，整个乐曲的节奏变化呈现出和谐与平衡的感觉。
比如在《热情奏鸣曲》中，节奏的变化常常是按照黄金分割原则来进行的。
结论：通过对贝多芬钢琴奏鸣曲的分析，我们可以看到他的作品中体现了黄金分割的美学原则。
无论是在构成、旋律、和声还是节奏上，贝多芬都运用了黄金分割的原则来构建他的音乐作品，从而达到了一种和谐、平衡、舒适的艺术美感。
黄金分割比乐乐课堂
黄金分割比乐乐课堂公式比值最早是在公元前五世纪古希腊的毕达哥斯拉学派研究正五边形和正十变形时发现。
更重要的是在黄金比例是中国古代数学家独立创造的，后来传到了印度，由传到了欧洲，但是有最早的准确记载是在欧洲。
黄金分割的比值是：（√5-1）/2，取其小数点后三位的近似值是0.618。
虽然黄金分割比是数学中发现的，但是在后期研究时发现很多有名的雕塑、绘画、设计它们中间都存在这0.618这个黄金比例。
黄金分割构图法科学系统地融入在绘画作品中,使画面精彩绝伦,让观者唏嘘不已。
音乐上的应用在弦乐器的琴马放在琴弦的0.618处，能使琴声更加柔和甜美。
绘画上的应用再后来画家发现人类的身材按照0.618：1来设计腿长与身高的比例来绘制人物是最美的，但是不幸的是我们现代人类的比例只有0.58:1，所以我们所熟知的古希腊雕塑都是雕塑家主观创作。
建筑上的应用不仅在绘画领域里，在建筑领域里也经常出现1:0.618比例，我们所熟知的金字塔、巴黎圣母院和埃菲尔铁塔都有这个黄金比例。
在植物上的应用很多叶子两片夹角也是黄金比例，在这个角度中通风效果和日晒效果是最优质的，自然界也隐藏着0.618的比例。
作息制度上的应用我们现在的作息制度是一周两天休息，但是根据黄金比例的计算一周最佳工作时间是四天半，这一作息时间联合国已经使用，在全国政协委员张晓梅2009年全国两会期间在其博客里挂出拟提交的提案——采取每周四天半制度。
医学上的应用黄金比例可以解释人为什么在在环境22至24℃时感觉最舒适。
因为人的体温为37℃与0.618的乘积为22.8℃，而且这一温度中机体的新陈代谢、生理节奏和生理功能均处于最佳状态。
同时科学家也发现当外界环境温度为人体温度的0.618倍时，人会感到最舒服。
人在吃饭时吃六七成饱是最健康的生活方式。
在股市上的应用如果上面的内容让你很吃惊接下来这条会让你更加吃惊0.382和0.618是反映了股市变化的重要转折点，当股价上升时，可按黄金率算出上升的空间价位。
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黄金分割线在为《为弦乐、打击乐和钢片琴所写的音乐》中的具
体应用
在每首音乐作品当中(小说或者电影)都回遇到一个问题，就是把作品中的高
潮摆放在什么位置。当中一种选择就是放在作品的结尾位置，为整个作品做一个
总结。另外一种就是摆在作品的中间，或者接近于中间的位置，这样对于全作品
会取得一个更好的平衡。
我们不禁有疑惑对于高潮的位置放在什么地方才是最佳呢？仿佛大自然已经
给出了答案。明天就是平安夜，周街都是圣诞树。稍微观察一下，就不难看到圣
诞树中枝叶最茂盛、形成圆周最大的位置是处于整棵树的中下方；而巴托克本人
亦喜爱松果的外貌。
这是黄金分割线的原理，分割点约在0.618中的位置。巴托克的音乐中好好地
利用了的黄金分割的原理，在《为弦乐、打击乐和钢片琴所写的音乐》中第一乐
章中：总共有88小节，而整首乐曲中的最强音mib处于第56小节。56/88=0.63,
非常接近于0.618黄金分割位置。
除了音乐高潮点位置的计算外，巴托克还设计了从调性、乐器编排、强弱关系
等因素去准备整首曲的高潮到来。接下来我们看看巴托克是如何做到的：
《为弦乐、打击乐和钢片琴所写的音乐》创作于1937年，全乐曲分为四个乐
章。当中第一乐章Andante tranquillo以赋格的形式进行，弦乐为主要乐器。
乐曲开头以1，2中提琴奏出，旋律走向呈向上的拱桥形状。乐句y,z,z’
是乐句x的扩张延伸。
一、调性结构
我们看到整首曲第一个音和结束音为La,同时它也是全曲的主调（如果曲目
全在调性）。紧接下来的每一个声部都以模仿的形式进入。第二个声部以上升五
度音Mi开始在第5小节进入，同样由4个乐句组成。
第三个声部是由大提琴演奏，由主音La下降五度（即Re)于第9小节进入。
多个弦乐器由以La为主音，分别以上升5度和下降5度的规律用模仿的形式
进入乐曲，直至去到Mib（Mib是与La相距得最远的调）。如下图
上图中的数字为新的声部进入乐曲中的小节数。我们看到调性的走向是分为两
个方向的，分别是以La为主音上升五度与下降五度。一直去到45小节，它们终
于在Mib中汇合。在17小节之前，它们都是以4小节为一组。但在17小节到
27小节之间的10小节，并没有新的调性进入。
而在第27小节，就有以Do和Fa#开头的乐句进入。它们分别以小提琴与大提
琴演奏，相差一拍以卡农形式出现。
同样地在34小节，Do#和Fa开头的句子分别由第2小提琴和第3、4小提琴演
奏。与此同时，定音鼓进入并一直以滚奏的形式发出Sib的声音，为38小节进
入倒数第2个新调式Sib作准备。
5度相生的旅程最终在45小节以第1、2小提琴演奏Mib的进入结束。而仅仅
在1拍之后，大提琴与低音大提琴便演奏以Sol#开头的声部。
度过了56小节的乐曲高潮之后，5度相生的旅途便由Mib开始，按原路返回
直至回到主调La上。
从56小节之后，每个新句子便以倒影的形式进入，对比于乐章开头的x乐句。
而对于归途的旅程，巴托克为了遵循黄金分割的规律，则加紧了步伐。在57
小节首先以大提琴奏响Mib的乐句，紧接到58就是回到Sib的乐句。到了59
小节，同样的乐器就进入到lab的调性。而它又是乐句y的倒影。
62小节则是乐句z的倒影，但并没有出现Reb的乐句。
从65小节开始音乐进入以Fa#与Do为主要的倒影乐句，以卡农的形式出现与
乐曲开头的句子相呼应。我们注意到调性的回归是以2个调为一组:Sol与Si(69
小节）,跟着是Re与Mi（73小节）。五度回归到La的终点在第78小节，由第
1小提琴与第4小提琴奏出倒影与主题X。
到了82小节是乐曲的CODA部分，主题乐句X与它的倒影轮流出现。最后它们
以镜像的方式同时演奏并演奏La作为全曲的终结音符。
二、音乐强弱与乐器编排
57小节起，音量开始向p减弱。第65小节，音乐表情降到p。钢片琴在第78
小节进入，其他乐器降到pp。到了86小节，只剩下第1、2小提琴以ppp音量
演奏。
三、黄金分割点与斐波那契数列的应用
算上乐曲开头的弱起小节，全曲共有89小节。全曲的高潮小节在第56小结，而
前边的55小节的五度相生旅行则可分成两部分，分别是第34小节与余下的21
小节。56/89与34/56除了符合黄金分割点的规律，同时还是斐波那契数列中出
现的数字。
巴拖克并不是唯一一个运用数学法则而写作的作曲家，更早之前Xenakis就有运
用黄金分割点的想法。众多的音乐学专家提倡用黄金分割点的理论去做音乐分
析，即使作曲家当时并没有意识去运用，例如德标西的《水中倒影》。巴托克为
我们作了一个很好的示范如何将灵感与理性结合，避免在创作音乐时候因激情澎
湃、不控制音乐的篇幅反而导致作品成了一盆散沙。