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常微分期末试题及答案
常微分期末试题及答案[正文开始]第一部分：选择题1. 若函数 f(x) = 3x^2 + 2x + c 在区间 [0, 1] 上是增函数，则实数 c 的取值范围是：A) c > 1/4B) c > -1/4C) c < 1/4D) c < -1/4答案：A) c > 1/4解析：当 f(x) 是增函数时，f'(x) > 0。
对于 f(x) = 3x^2 + 2x + c，求导得到 f'(x) = 6x + 2。
显然当 x > -1/3 时，f'(x) > 0，即 c > 1/4。
2. 解微分方程 dy/dx = x^2 + 1 的通解为：A) y = (1/3)x^3 + x + CB) y = (1/3)x^3 + CC) y = (1/3)x^2 + x + CD) y = (1/3)x^2 + C答案：A) y = (1/3)x^3 + x + C解析：对方程 dy/dx = x^2 + 1 进行积分，得到 y = (1/3)x^3 + x + C，其中 C 为积分常数。
3. 设三角函数f(x) = sin(2x + π/3)，则 f'(x) = ？A) 2cos(2x + π/3)B) 2cos(2x - π/3)C) 2cos(2x)D) 2cos(2x + π/6)答案：B) 2cos(2x - π/3)解析：根据链式法则，对sin(2x + π/3) 求导，得到 f'(x) = 2cos(2x +π/3) * 2 = 2cos(2x - π/3)。
4. 设 f(x) = e^x，g(x) = ln(x)，则 f(g(2)) = ？A) e^2B) e^3C) 2D) ln(2)答案：A) e^2解析：首先求 g(2) = ln(2)，然后将结果代入 f(x) = e^x 中计算，得到 f(g(2)) = f(ln(2)) = e^ln(2) = 2。
常微分期末考试试题和答案a(可编辑修改word版)
《常微分方程》期终考试试卷（A ）（适用班级：班 ）下属学院班级姓名成绩一、填空（每小题 3 分，共 30 分）1、 形 如 y ' = f (x ) ⋅ g ( y ) 的 方 程 当 g (x ) ≠ 0 的 通 解 为。
2、一阶方程 Mdx + Ndy = 0 ，若存在可微函数μ(x , y )(≠ 0) 使时，称μ(x , y ) 为这个方程的积分因子。
3、 称为黎卡提方程， 若它有一个特解 y (x ) ， 则经过变换，可化为伯努利方程。
4、对∀(x , y 1 ), (x , y 2 ) ∈ R ，存在常数 N (> 0) ，使 则称 f (x , y )在 R 上关于 y 满足李普希兹条件。
5、若ϕ(x ) 为毕卡逼近序列{ϕn (x )} 的极限，则有| ϕ(x ) - ϕn (x ) |≤ 。
6、方程dy = x 2 + y 2 定义在矩形域 R ： - 2 ≤ x ≤ 2 ， - 2 ≤ y ≤ 2 上，则经过点dx(0,0) 解的存在区间是。
7、若 x i (t )(i = 1,2,3, , n ) 是 n 阶齐线性方程 y (n ) + p 1 y (n -1) ++ p n -1 y ' + p n y = 0 的n 个解， w (t ) 为其伏朗基斯行列式，则 w (t ) 满足一阶线性方程。
8、设 x 1 (t ) ≠ 0 是二阶齐线性方程 x ' + a 1 (t )x ' + a 2 (t )x = 0 的一个解，则该方程的通解为。
9、若 x i (t )(i = 1,2,3, , n ) 为齐线性方程的一个基本解组， x (t ) 为非齐线性方程的一 个特解，则非齐线性方程的通解为。
⎧xt ' = x - y 10、驻定方程组⎨ yt ' = 2x + y 的奇点类型为。
二、求下列方程的解（每题 8 分，共 24 分）1 、 dy=dxy 2x -y 22、 2xydx + (x 2+y)dy = 03、 y = ln(1 +y'2)x三、计算题（每题 8 分，共 24 分）1、求 y x + 2 y ' + y = 0 的通解。
常微分方程期末试题A答案
孝感学院3 方程即：1,cos dy y y u y dx x xx=-= 1cos du u x u dx u +=- (4') cos dx udu x =- sin ln u x C =-+sin ln y x C x=-+ (8')三、求解下列微分方程组 （810'18''+=）1 特征方程 1,2det()(1)(9)0,1,9A E λλλλ-=--== (4')11λ=对应向量 11⎛⎫ ⎪-⎝⎭29λ=对应向量 11⎛⎫ ⎪⎝⎭ 方程组的解9121111t t x C e C e y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (8')2 方程组即： 31212213(1),(2),4(3)dy dy dy y y y y y dx dx dx=-+=-=- 由(2) 得21x y C e -=代入 (1)： 111x dy y C e dx-+= (4') 1112[]()x x x x y e e C e dx C e C x C ---=+=+⎰ 代入(3)33124()x dy y e C x C dx-+=+ 44412312331[())()333x x x x x x C C y e e e C x C dx C e x e C e -----=++=-++⎰ (8') 由初始条件得1239,3,1C C C === 故412339,9,3x x x x x y e xe y e y xe e -----=+==+(10')四．求224cos xy y y e x '''-+=的通解．(10)'特征方程212220,1,1i i λλλλ-+==+=- 12(cos sin ),1x y C x C x e i =++是对应特征根，设特解1(cos sin )x y xe A x B x =+ (5')0,2A B ==12(cos sin )2sin x x y C x C x e xe x =++ (10')五．特征方程 20,p q λλλ++== 1 1,20,0,0p q λ>>< 零解渐进稳定 (5')2 120,0,,0(p q p λλ>==-=单根）零解稳定 (5')六、求出微分方程0y xy y '''--=在0x =处展开的两个线性无关的幂级数解（10'）设幂级数解'1''2000,,(1)n n n n nn n n n y nC x y nC x y n n C x ∞∞∞--======-∑∑∑ 221(2)(1),2n n n n n n n C nC C C C n ++++-==+ (5') 由''0101(0)1,(0)0(0)0,(0)1C y C y C y C y ========及得24211224(2)!!nx x x y n =+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⨯ 32123(21)!!n x x y x n -=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅- (10')七 特征方程2123100,2,5λλλλ+-===-故为不稳定鞍点 (5')441,1,666dy x y x kx k k k dx x y x kx --====-=++ 特殊方向 1,6y x y x =-=(10'). .。
临沂大学《常微分方程》期末考试复习题及参考答案
A、 阶 B、 解 C、 通解 D、 特解
正确答案： D
16、如果 f(x,y),f(x,y)/y 都在 xoy 平面上连续，那么方程 dy/dx= f(x,y)的任一解的存在区间 （2.0）
A、 必为(-∞,+∞) B、 必为(0,+∞) C、 必为(-∞, 0) D、 将因解而定
A、 y2-x=C B、 y-√x=C C、 y=x+C D、 y=-x+C
正确答案： BCD
三、 判断题 （共 10 题，20 分）
1、dy/dx=1+x+y2+xy2 是可分离变量的微分方程（2.0）
正确答案： 正确
2、方程 xydx + (2x2 + 3y2-20)dy = 0 的只与 y 有关的积分因子为 y（2.0）
正确答案： ABC
9、下列方程中，全微分方程为（2.0）
A、 (3x2 + 6xy2)dx+ (6x2y +4y2)dy=0 B、 edx+ (x·eY-2y)dy= 0 C、 y(x- -2y)dx-x2dy= 0 D、 (x2-y)dx-xdy= 0
正确答案： ABD
10、微分方程 2ydy-dx = 0 的通解不为（2.0）
6、微分方程 y" -2y + 2y= ex 的通解为 y=ex(c*cosx+c*sinx+1)（2.0）
正确答案： 正确
7、三阶常系数齐线性方程 y" -2y" +y= 0 的特征根是 1（2.0）
正确答案： 错误
8、微分方程 y -2y-3y = 0 的通解为 y=c*e-x+c*e3x（2.0）
微分方程期末试题及答案
微分方程期末试题及答案1. 试题（1）求解微分方程：dy/dx = x^2 + 2x.（2）求解初值问题：dy/dx = 2x - 3, y(0) = 1.（3）求解微分方程：y'' + 4y' + 4y = 0.（4）求解初值问题：y'' - 4y' + 4y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 2.2. 解答（1）解微分方程：dy/dx = x^2 + 2x.对方程两边同时积分，得到:∫dy = ∫(x^2 + 2x)dx.得到 y = (1/3)x^3 + x^2 + C.其中C为常数。
（2）求解初值问题：dy/dx = 2x - 3, y(0) = 1.对方程两边同时积分，得到:∫dy = ∫(2x - 3)dx.得到 y = x^2 - 3x + C.根据初值条件 y(0) = 1，代入可得C = 1，因此 y = x^2 - 3x + 1.（3）解微分方程：y'' + 4y' + 4y = 0.首先求特征方程：r^2 + 4r + 4 = 0.解此二次方程，得到 r = -2.（重根）因此通解为 y = (C1 + C2x)e^(-2x)，其中C1，C2为常数。
（4）求解初值问题：y'' - 4y' + 4y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 2.首先求特征方程：r^2 - 4r + 4 = 0.解此二次方程，得到 r = 2.（重根）因此通解为 y = (C1 + C2x)e^(2x)，其中C1，C2为常数。
根据初值条件 y(0) = 1，代入可得C1 = 1.根据初值条件 y'(0) = 2，对通解求导得到 y' = (C1 + 2C2x)e^(2x) + C2e^(2x)，代入 x = 0 可得 C1 = 2C2 + 1.解得 C1 = 1，C2 = 0，因此 y = (1 + x)e^(2x).3. 答案（1）微分方程：dy/dx = x^2 + 2x 的解为 y = (1/3)x^3 + x^2 + C.（2）初值问题：dy/dx = 2x - 3, y(0) = 1 的解为 y = x^2 - 3x + 1.（3）微分方程：y'' + 4y' + 4y = 0 的通解为 y = (C1 + C2x)e^(-2x).（4）初值问题：y'' - 4y' + 4y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 2 的解为 y = (1 + x)e^(2x).注意：以上都是根据给定的微分方程和初值条件求解得到的解答。
常微分期末考试题及答案
常微分期末考试题及答案**常微分期末考试题及答案**一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 微分方程 \( y' = 2x \) 的通解是（）A. \( y = x^2 + C \)B. \( y = 2x + C \)C. \( y = 2x^2 + C \)D. \( y = x^2 + 2C \)2. 微分方程 \( y'' + 4y = 0 \) 的特征方程是（）A. \( r^2 + 4 = 0 \)B. \( r^2 - 4 = 0 \)C. \( r^2 + 4r = 0 \)D. \( r^2 - 4r = 0 \)3. 微分方程 \( y' = \frac{y}{x} \) 的通解是（）A. \( y = Cx \)B. \( y = Cx^2 \)C. \( y = Cx^{-1} \)D. \( y = Cx^{-2} \)4. 微分方程 \( y' + 2y = 0 \) 的通解是（）A. \( y = Ce^{-2x} \)B. \( y = Ce^{2x} \)C. \( y = Cxe^{-2x} \)D. \( y = Cxe^{2x} \)5. 微分方程 \( y' = 3y \) 的通解是（）A. \( y = Ce^{3x} \)B. \( y = Ce^{-3x} \)C. \( y = 3Ce^{3x} \)D. \( y = 3Ce^{-3x} \)6. 微分方程 \( y'' - 5y' + 6y = 0 \) 的特征方程是（）A. \( r^2 - 5r + 6 = 0 \)B. \( r^2 + 5r + 6 = 0 \)C. \( r^2 - 5r - 6 = 0 \)D. \( r^2 + 5r - 6 = 0 \)7. 微分方程 \( y' = 2xy \) 的通解是（）A. \( y = Cxe^{x^2} \)B. \( y = Cxe^{-x^2} \)C. \( y = Cx^2e^{x^2} \)D. \( y = Cx^2e^{-x^2} \)8. 微分方程 \( y'' + y = 0 \) 的通解是（）A. \( y = C_1 \cos x + C_2 \sin x \)B. \( y = C_1 \sin x + C_2 \cos x \)C. \( y = C_1 \cosh x + C_2 \sinh x \)D. \( y = C_1 \sinh x + C_2 \cosh x \)9. 微分方程 \( y' = \frac{1}{y} \) 的通解是（）A. \( y = Cx + 1 \)B. \( y = Cx - 1 \)C. \( y = \frac{1}{Cx + 1} \)D. \( y = \frac{1}{Cx - 1} \)10. 微分方程 \( y'' + 4y' + 4y = 0 \) 的特征方程是（）A. \( r^2 + 4r + 4 = 0 \)B. \( r^2 - 4r + 4 = 0 \)C. \( r^2 + 4r - 4 = 0 \)D. \( r^2 - 4r - 4 = 0 \)**答案：**1. A2. A3. A4. A5. A6. A7. A8. A9. C10. A二、填空题（每题5分，共30分）1. 微分方程 \( y' = 3x^2 \) 的通解是 \( y = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \)。
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常微分方程
课程号： 21020203 课序号： 01 开课学院： 数学与数量经济学院
一、填空题（每小题3分，共21分）
1、非线性 2、
0),(),(
000yyxxdyyxNdxyxM（0),(),(00
0
yyxxdyyxNdxyxM
）
3、1.1 4、在R上连续且关于变量y满足利普希茨条件
5、..)()(tfytgdtdyydtdx 6、充要条件 7、xxsin,cos
二、计算题（题1为7分，后2题每小题6分，共19分）
1、解：方程两边乘以
2
y
，得xxxydxdyyln212，
令1yz，得xxxzdxdzln2，新方程通解为
)ln21(412xCxz
（5分）
原方程通解为)ln21(4112xCxy 和常数解0y （2分）
2、解：因为
yMxNyM4/)(
，与x无关，从而，积分因子441yedyy，
乘以方程两边得到全微分方程043332dyyyxdxyx， （3分）
即Cyyxln333。 0y 是常数解。 （3分）
3、解：令ty，则原方程的参数形式为
ty
ttty5
35
由dttttdyydx)135(13，积分得参数形式通解为 （3分）
5ln23453524ttty
Ctttx
。 5y 是常数解。 （3分）
三、计算题（每小题10分，共40分）
1、解：因为
11 021
1-
所以方程组有解
2
1
令1x，2y代入原方程得dd （1） （2分）
令u，代入（1）得
uudduu1
1
即uuuddu1212 （2分）
当
012
2
uu
时，分离变量得duuduu212)1(22
积分得Cuu22)12(
整理得C222
当0122uu时，0222是（1）的解
（1）的通解为C222
故原方程通解Cxxyy22)1()1)(2(2)2(
当0122uu时，可得特解2(12)(1)yx
（8分）
2、解：对应齐次方程的特征方程为
01
3
，特征根为i2321,13,21，
齐次方程的通解为xxexCxCeCxy21321)23sin23cos()(， （4分）
因1是单特征根，故设原方程的特解为xAxexy)(1，代入原方程得31A，
于是xxexy31)(1，从而原方程的通解为
xxx
xeexCxCeCxy31)23sin23cos()(21321
。 （6分）
3、解：对应齐次方程的特征方程为
0)1(
2
，特征根为i3,21,0，
齐次方程的通解为xCxCCxysincos)(321， （4分）
因ii是单特征根，故设原方程的特解为
)sin)(cos)(()(1xDCxxBAxxxy
，
代入原方程得41,0,41DCBA，于是xxxxxycos41sin4)(21，
从而原方程的通解为
xxxxxCxCCxycos41sin4sincos)(2321
。 （6分）
4、解：
4
1
)3431,1min(0h
，解的定义区间41x， （2分）
1)(0x
，11)(01xdxx，12)(22xxx
126)(233xxxx
（8分）
四、计算题（本题15分）
解：系数矩阵A001 313232 343132，特征方程为)det(EA0)1(3，
解得特征根13,2,1， （3分）
设原方程组的解为tetRtRR)(2210,其中210,,RRR由下列方程组决定
0)(2)()(032110REA
RREA
RREA
由EA000 313132 313132，2)(EA000 000 000，3)(EA000 000 000，
故0R取作001，010，100，1R取作000，313132，313132，
2
R
取作000，000，000， （10分）
从而原方程的通解为
ttteCttteCeCtztytxttt311
3132313
1
132001)()(
)(
321
。 （2分）
五、证明题（本题5分）
证明：(反证法) 如果有Ix0使得0)(0xW，考虑方程组0)(0Cx
由0)()(det00xWx知，方程组有非零解TnCCC),......,(1即
0)(......)()(0022011xYCxYCxYC
nn
. （2分）
则)(......)()()(2211xYCxYCxYCxYnn是YxAdxdY)(的解且满足初值条件
0)(0xY
，又因0)(xY是初值问题的解，由解的存在唯一性知IxxY,0)(
即IxxYCxYCxYCnn,0)(......)()(2211
因nCC,......,1不全为零，从而)(),...,(),(21xYxYxYn线性相关，这与假设矛盾，命题得证。
（3分）