线性代数课后作业参考答案
第一章作业参考答案
1-1. 求以下排列的逆序数：
（1）134782695 （3）13…(2n-1)(2n)(2n-2)…2 解：（1）t=0+0+0+0+4+2+0+4=10
（2）t=0+0+…+0+2+4+6+…+2(n-1)=2(1+2+3+…+n-1)=(1)
2(1)2
n n n n -⨯=-
1-2. 在6阶行列式的定义式中，以下的项各应带有什么符号？ （1）233142561465a a a a a a
解：()12(234516)4,•3126454t t t t ====
128t t t =+=为偶数，故该项带正号。
1-3. 用行列式的定义计算：
（1）
0004
0043
0432
4321
（3）
01
2
3
100010001x x x a a a x a ---+
解：（1）
1241231240
0040
043(1)(1)444425604324
3
21
t
q q q a a a ++=-=-⨯⨯⨯⨯=∑ （3）
1320
1
2
3
1
00010()(1)(1)001x x x x x x a x x a x a a a x a --=⨯⨯⨯++-⨯⨯⨯-⨯-+
233432103210(1)(1)(1)(1)(1)a a x a x a x a x a +-⨯-⨯-⨯+-⨯-⨯=++++
1-4. 计算下列行列式：
（1） 1111111111111111--- （3）
120
03
40000130051
- （5）1111111111111111a a b b +-+- （7）n a b b b b a b b D b b b a
=
解：（1）111111111111
0200
1(2)(2)(2)81111002011110002
--=
=⨯-⨯-⨯-=-----
（3）
()1200
34001213(1423)113532001334510
05
1
-=⨯=⨯-⨯⨯-⨯-⨯=⎡⎤⎣⎦- （5）11111111111111100000
1111000011110000a a a a a a
a
b a b a b b a b a b
++----=
=+-------
2221
1
1
11
1
00000
0000
00
0000
0a a
a b a a a b b b b
a
b
+
--===---
（7）(1)(1)(1)n a b b b a n b a n b a n b b a b b b a b
D b b b a b b a
+-+-+-=
=
1111111
00
[(1)]
[(1)][(1)]()00000n b
a b a b a n b a n b a n b a b b
b a a b
--=+-=+-=+---
1-5. 证明：
（1）
332()x
y x y y x y x x y x y
x y ++=-++ （3）
2222222222222
2
2
2
(1)(2)(3)(1)(2)(3)0(1)(2)(3)(1)(2)(3)a a a a b b b b c c c c d d d d ++++++=++++++
证明：（1）
2()2()2()x
y x y x y x y x y y
x y x y x y x x y
x
y x y x y +++++=
+++
1
11
1
1
1
2()
2()00x y y x y x x y x x y x y
x y y
x
=++=+-+--
2
3
3
2()[()]2()x y x y x y x y =+-+-=-+
（3）
22222222222
2
2
2
2
22222
(1)(2)(3)214469(1)(2)(3)214469(1)(2)
(3)
21
44
69
(1)(2)(3)214469
a a a a a a a a
b b b b b b b b c
c c c c
c c c
d d d d d d d d ++++++++++++=
++++++++++++
2222
21262126021262126
a a
b b
c c
d d ++=
=++
1-6. 计算下列行列式：
（1）00100
0000100
n a a D a a
=
（3）1231
110000220
1(1)
n n n n ------
解：（1）2001
0000
000
00(1)100000
00100
100n
n a a a a a D a a
a a a
==+-⨯⨯
2
n
n a a
-=-
（3）1231
1
2
3
21
11000110000220
0022000001(1)0000
(1)
n n
n n n n n ----=-------
1
12323342101000(1)!(1)002002
(1)
n n n n n n n n +++++++++++--+==
=----
1-7. 解下列方程：
（1）2
42
1123
1223
()023152319x D x x -=
=-
解：要使原方程有解，观察可知只有两种可能：
①当221x -=时，即1x =±时，4()0D x = ②当295x -=时，即2x =±时，4()0D x = 综上所述，原方程的解为1，-1，2，-2
1-8. 设15781
111
20963437
D --=
--，试证：414243440A A A A +++=
证明：根据拉普拉斯定理可知4142434411110A A A A ⨯+⨯+⨯+⨯=
即414243440A A A A +++=
1-9. 用Cramer 法则解下列方程组：
（1）1234124
23412342583692254760
x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪--=⎪⎨-+=-⎪⎪+-+=⎩
解：该方程组的系数行列式为21511306270212
1476D ---==--，常数向量89
50β⎛⎫
⎪
⎪= ⎪- ⎪
⎝⎭
1815193068152120476D ---==--- 22851
1906
10805121076D --==----
3218113962702521406D --==-- 4215813092702151470
D --==---
312412343,•4,•1,•1D D D D
x x x x D D D D
∴=
===-==-==
1-10. （1）问λ取何值时，下列齐次方程组有非零解？
12312313
220300x x x x x x x x λλ++=⎧⎪
++=⎨⎪-=⎩
解：要使原方程有解，由定理1.8知222
3
11200
1
λλλλ=+-=- 解得11λ=或22λ=-。
附加题：
计算：n
x x x a x
x a x x
a x x a
x
x x 解：(1)(1)(1)(1)n n
x x x a a n x a n x a n x a n x x x a x x x a x
x
a x x x
a x x
a
x x x a
x x x +-+-+-+-=
1
111111
1
000[(1)][(1)]0
000
n x
x a x a x a n x a n x x
a x x a x a
x x x a x
-=+-=+--- (1)
12
[(1)](1)
()n n n a n x a x --=+-⨯--
第二次作业参考答案
2-1设21112210310,103,0161211132A B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
==-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭
,试求
()32A B C
-,并验证
()()AB C A BC =。 解: 633393
01836A ⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪-⎝
⎭,2442206222B ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭,4113211361614A B --⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪-⎝⎭
()4
1110713211
3601291516143249A B C ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪⎪ ⎪-=--=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
21112223
831
010326
961211191011AB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪
⎪=-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝
⎭⎝⎭⎝⎭,
()2
381
022132
690125
1291011322412AB C -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭
1221052103011061113223BC -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=--=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭,()2115222133101062512612232412A BC --⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪⎪ ⎪=-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭
()()AB C A BC ∴=
2-2计算下列乘积：
（1）()312321⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （2）()21123⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭
（3）()11
1213112
321
2223231
32
333a a a x x x x a a a x a a a x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪
⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
（7）0110n
⎛⎫ ⎪-⎝⎭
（n 为正整数）
解：(1) ()()()3123234310101⎛⎫
⎪
=++== ⎪ ⎪⎝⎭
(2) ()22411212336-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
(3)
()()11
1213111
2
321
22232111122133
121222233
131232333231
32
3333a a a x x x x x a a a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x a a a x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪⎪
⎪
=++++++ ⎪⎪ ⎪
⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
222111222333121213132323222a x a x a x a x x a x x a x x =+++++
（7）令0110n
n A ⎛⎫
= ⎪-⎝⎭
当n=1时，111cos sin 01221011sin cos 22A ππ
ππ⎛⎫ ⎪⎛⎫==
⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪
- ⎪⎝⎭
；当n=2时，
210c o s s i n 01s i n c o s A ππππ-⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪
--⎝⎭⎝⎭
； 当n=3时，333cos sin 01221033sin cos 22A ππ
ππ⎛⎫ ⎪-⎛⎫==
⎪ ⎪⎝⎭ ⎪
- ⎪⎝⎭
；当n=4时，
410c o s 2s i n 201s i n 2
c o s 2A ππππ⎛⎫⎛
⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭；
当n=5时，51155cos sin cos sin 012222
101155sin cos sin cos 2222A ππππππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫===
⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪ ⎪
-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，…… 猜想cos sin 0122
10sin cos 22n n n n A n n ππππ⎛⎫ ⎪
⎛⎫==
⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪
- ⎪⎝⎭
下面用数学归纳法证明 当n=1时显然成立
假设当n=k 时猜想成立即cos sin 2
2
sin cos 2
2k k k A k k ππππ⎛
⎫
⎪=
⎪ ⎪- ⎪
⎝⎭ 则当n=k+1时k 111cos sin 0122
1011sin cos 22k k k A A k k ππππ+++⎛⎫ ⎪
⎛⎫==
⎪ ⎪-++⎝⎭ ⎪- ⎪
⎝⎭
成立 故cos sin 012210sin cos 22n n n n n ππ
ππ⎛⎫ ⎪⎛⎫=
⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪
- ⎪⎝⎭
2-4设A ,B 都是n 阶矩阵，问下列等式成立的条件是什么？
（1）()2
22
2A B A AB B +=++ （2）22()()A B A B A B +-=-
（1）()()2
2
2
()()()A B A B A B A A B B A B A AB BA B +=++=+++=+++
为使()2
2222
2A B A AB BA B A AB B +=+++=++则AB BA =
即原等式成立的条件是AB BA =
（2）()()2
2
()()A B A B A A B B A B A AB BA B +-=-+-=-+-
为使2222()()A B A B A AB BA B A B +-=-+-=-则AB BA = 即原等式成立的条件是AB BA =
2-6设1102A ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
,求所有与A 可交换的矩阵 解：若矩阵B 与矩阵A 可交换且A 为2⨯2矩阵，按矩阵乘法的定义知B 也必为2⨯2矩阵，不妨设
a b B c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭
则110222a b a c b d AB c d c d ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，112022a b a a b BA c d c c d +⎛⎫⎛⎫⎛⎫
== ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，由已知得
AB BA = 2222a c a b d a b c c d c d
+=⎧⎪+=+⎪
∴⎨=⎪
⎪=+⎩0c d a b =⎧∴⎨=+⎩即0a b B a b ⎛⎫= ⎪+⎝⎭由此知所有与A 可交换的矩阵为0a b a b ⎛⎫ ⎪+⎝⎭其
中a,b 为任意常数
2-7已知A 是对角元互不相同的n 阶对角矩阵，即12n a a A a ⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪ ⎪
⎝
⎭ ，当i j ≠时，,(,1,,)i j a a i j n ≠= 。证明：与A 可交换的矩阵必是对角矩阵。
证明：设与A 可交换的矩阵B 为111212122212
n n n n nn b b b b b b b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ，则有 1111211112112212222122221212
000000000000n n n n n n n nn n n nn n a b b b b b b a a b b b b b b a a b b b b b b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，即 111112111112121221222221212222121122n n n n n n n n n n n nn n n n nn a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，比较相应元素得()i ij j ij
a b a b i j =≠，
由于
,(,1,,)i j a a i j n ≠= ，所以()0ij b i j =≠，即与A 可交换的矩阵B 只能是对角矩阵。
2-8（1）证明：若A,B 都是n 阶对称矩阵，则AB 是对称矩阵的充分必要条件是A 与B 可交换。 （2）设A 是一实对称矩阵，且2
A O =,证明：A O = 证明：（1） A,
B 均为n 阶对称矩阵, ,,B B A A T T ==∴ 先证充分性：由于A 与B 可交换，则AB BA =
()()T
T
T T
AB BA A B AB ∴===即AB 是对称矩阵
再证必要性：由于AB 是对称矩阵，则()T
AB AB =
()T
T T
AB B A BA AB ∴===即AB BA =
综上所述，若A,B 都是n 阶对称矩阵，则AB 是对称矩阵的充分必要条件是A 与B 可交换。 （2）设()
ij
n n
A a ⨯=，由于T
A A =且2
A O =, 所以
211
221
221
21210(1,2,,)n j j n j n
j T ij n j ij j n
nj j a a A AA o a i n a a =====⎛⎫ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪===⇒==
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
∑∑∑∑∑
0(,1,2,,)0ij a i j n A ⇒==⇒=
2-9求下列方程的逆矩阵
（1）cos sin sin cos θθθ
θ⎛⎫
⎪-⎝⎭
（3）1000120021301
21
4⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
⎪
⎝⎭（5）12n a a a ⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭ （其中0,1,2,,i a i n ≠= ） 注：其实一般不通过求伴随矩阵来求逆矩阵，因为比较麻烦，通过初等矩阵的推论来求会比较方便。
但作为基础，还是要学会通过求伴随矩阵求逆矩阵。
解：（1）令cos sin sin cos A θθθθ⎛⎫= ⎪-⎝⎭且22
cos sin 10A θθ=+=≠知A 可逆
()2111cos cos A θθ=-=，()()3121sin sin A θθ=--=，()3
211sin sin A θθ
=-=-，
()4
221cos cos A θθ=-=
*
cos sin sin cos A θθθθ-⎛⎫∴= ⎪⎝⎭1
*cos sin 1sin cos A A A θθθθ--⎛⎫∴== ⎪⎝⎭
(3)令1000120021301214A ⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭且1234240A =⨯⨯⨯=≠知A 可逆 ()211200113024214A =-=，()312100123012114A =-=-，()4
1312012100124
A =-=，
()5
14120
12133121
A =-=，
()3
21000
11300
214
A =-=，
()4
22100
123012
114
A =-=，
()5
23100
12104124
A =-=-，
()6
24100
12135121A =-=-，
()4
31000
12000214
A =-=，
()5
32100
11001114A =-=-，()6
33100
11208124
A =-=，()7
34100
11202121A =-=-，
()5
41000
12000130
A =-=，
()6
42100
11000
230
A =-=，
()7
43100
11200
210
A =-=，
()8
44100
11206213
A =-=，
*
24000121200124803526A ⎛⎫
⎪-
⎪∴= ⎪--
⎪--⎝⎭1
*240001212001112480243526A A A -⎛⎫
⎪- ⎪∴== ⎪-- ⎪--⎝⎭
(5)令12n a a A a ⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪ ⎪
⎝
⎭ 且120n
A a a a =≠ 易得12n ii i a a a A a = ，当i j ≠时0ij A = 12112*212n n n n a a a a a a a a A a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∴= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
11
*211
11n a a A A A
a -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∴== ⎪ ⎪ ⎪
⎪
⎪⎝⎭
2-10设100220345A ⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
, *
A 是A 的伴随矩阵，求*1()A -
解：11*1**1*1100**1()()()22010345A A A A A AA A E A A A A A A A A -----⎛⎫ ⎪=⇒=⇒=⇒== ⎪ ⎪
⎝⎭
2-11．解下列矩阵方程： （1）25461321X -⎛⎫⎛⎫=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）142031121101X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭
解（1）：设a b X c d ⎛⎫=
⎪⎝⎭，则25461321a b c d -⎛⎫⎛⎫⎛⎫
= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
。
即2542563231a c b d a c b d +=⎧⎪+=-⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，解得2
23
08
a b c d =⎧⎪=-⎪
⎨=⎪
⎪=⎩。22308X -⎛⎫∴= ⎪⎝⎭
解（3）：11
2142413
3
12111
166
6-⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎛⎫==
⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪
⎝⎭，11020101211121
212-⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭
， 1
1
121110143120313321120111110110146
62X --⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫ ⎪∴===
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪---- ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
2-12，设423110123A ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪-⎝⎭
，2AB A B =+，求B .
解：2AB A B =+，(2)A E B A -=，2232110121A E ⎛⎫ ⎪
-=- ⎪ ⎪-⎝⎭，|2|1A E -=-，
()11431432153153564564A E ----⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
-=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭
， ()114342338621531102965641232129B A E A ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪
∴=-=--=-- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭
2-13,利用逆矩阵解下列线性方程组：
（1）1231231232312252;353x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ （2）1231231
232231;3250
x x x x x x x x x --=⎧⎪
--=⎨⎪+-=⎩
解（1）123122523513X ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故1
123112252035130X -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
（2）111221313250X --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭, 故1
111252131032503X ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
2-15，设方阵A 满足方程2A A E O -+=，证明A 可逆，并求其逆。
解：2A A E O -+=，2A A E -=，()A E A E -=A ∴可逆且1A E A -=-。
2-17，分别写出下列矩阵的行阶梯形，行最简形和等价标准形。 （1）1234⎛⎫
⎪⎝⎭
21122312121210340100r r r r r -+⎛⎫
⨯- ⎪⎝⎭
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
−−−→−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （2）123456789⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
322131247123123123456036036r r r r r r ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪−−−→--−−−→-- ⎪ ⎪ ⎪
212313221332123100012010000000c c r c c c c -⎛⎫
⨯- ⎪-⎝⎭
-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
−−−−→−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
。
（3）1210224266210233
333
4--⎛⎫ ⎪--
⎪
⎪- ⎪⎝⎭
21314124
2231210212
102242660
006221023032213
333
40
963
2r r r r r r c c +--←−→----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
--- ⎪ ⎪−−−→
−−−−→
⎪
⎪
-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
32
4342123121
0122101220
6002060021022310
02330
36920
0691r r r r r r -----⎛⎫
--⎛⎫
⎪
- ⎪ ⎪
- ⎪−−−→−−−→
⎪
⎪-- ⎪
⎪ ⎪
- ⎪⎝⎭-⎝
⎭
231
61
21
0122101221060020100313100230013260000000000r r ⨯⨯--⎛⎫
--⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
--
⎪ ⎪−−−→ ⎪
⎪- ⎪- ⎪
⎪
⎪
⎪ ⎪⎝
⎭
⎝
⎭
51
41
315243
53
2213
3
2
1
6
1
000001000001000000
0c c c c c c c c c c c c ++++-+⎛⎫ ⎪ ⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭
。
2-18，设,A B 同为m n ⨯矩阵，证明：A 等价于B 当且仅当存在m 阶可逆阵P 和n 阶可逆阵Q ，
证明：必要性：先对A 进行有限次的初等行变换，相当于在A 的左边进行有限个m 阶初等矩阵，即有限个m 阶初等矩阵的乘积，可设为m 阶可逆阵P 。再对P A 进行有限次的初等列变换，相当于在A 的右边乘以有限次的初等矩阵的乘积，设为n 阶可逆阵Q 。∴A 可转换为B ，PAQ B =。 充分性：PAQ B =，P 为m 阶可逆阵，Q 为n 阶可逆阵，A ，B 同为m n ⨯矩阵，相当于对A 进行有限次初等行变换和初等列变换得到B ，∴A 与B 等价。
2-34.B 一个一个选项代入计算即得
2-51计算：
（1）()2
21237,34f A λλλ⎛⎫
=+-= ⎪⎝⎭
，求()f A .
22121761412222343418193638A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,21633334912A ⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()2
1412637013152373638912074543f A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+-=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
3-15求下列各矩阵的秩：
（1）12345001230000400121⎛⎫ ⎪---
⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭（3）11210224203061103001-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭
解：（
1
）1234512345123
45123450012300121001210
0121000040012300004
0000400121000040000
40
000
0⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
故r=3 （3
）
1121011603116031
16032242010030012110
12113061101211016330
0844030010242202
4220
0844----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
⎪
---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→→
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
------ ⎪ ⎪ ⎪
⎪
-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
11603012110084400000-⎛⎫
⎪
- ⎪
→ ⎪
-- ⎪
⎝⎭
故r=3
第三章作业参考答案
3-2设1111α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，2025α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，3136α⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，求β ，使满足下式：
()()(
)
12323232αββααβ---=-
。
解：化简上式可得：3211011362336221565114βααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
3-3求解下列向量方程：
（1）3X u v +=
，其中130,111u v ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ；
（2）233X X βγ+=+ ，其中230,111βγ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
解：（1）3X v u =-
()1101111013
33112X v u ⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎢⎥ ⎪
⎪ ⎪=-=
-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎝
⎭⎝⎭
⎣⎦
（2）23333011114X βγ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
3-4 设n R α∈ ，证明：α 线性无关当且仅当αθ≠
。
证明： θαθα==⇔=
或0k k ，
充分性，令θα= k ，因为αθ≠ ，所以必有0=k ，故α
线性无关
必要性，（反证法）若θα= ，则存在不为零的实数k ，满足θα= k ，即α
线性相
关，矛盾！故αθ≠
3-5 设12,n R αα∈
，证明：12,αα 线性相关当且仅当它们的分量成比例。
证明：充分性，若12,αα 的分量成比例，则必存在一个实数k （0k ≠），12k αα=
，即
12k ααθ-= ，故存在121,0k k k ==-≠，使得1122k k ααθ+= ，即12,αα
线性相关。
必要性，若12,αα 线性相关，则必存在不全为0的12,k k 使得1122k k ααθ+=
，不妨设10k ≠，得2121k k αα=-
，即12,αα 的分量成比例
3-6 任取1234,,,n R αααα∈
，又记，
112223334441,,,βααβααβααβαα=+=+=+=+
，证明：1234ββββ ，，，必线性相关。
证明： 4231ββββ=-+，因此1234ββββ
，，，线性相关。
3-9设1,s αα
，
线性无关，任取s-1个数11,,s λλ- ，令 111222111,,,,s s s s s s s s βαλαβαλαβαλαβα---=+=+=+=
证明1,,s ββ 仍线性无关。
证明：令1122s s k k k βββθ+++=
，即
θαλλλααα=+++++++----s s s s s k k k k k k )(112211112211
因为1,s αα
，
线性无关，所以我们有 1211122110
000
s s s s k k k k k k k λλλ---=⎧⎪=⎪⎪
⎨⎪=⎪+++=⎪⎩
, 系数行列式12110000100
100
1
1
s λλλ-=≠
，故120s k k k ==== ，因此，1,,s ββ
线性无关。
3-10 设β 可由1,s αα ，线性表示，举反例说明：若向量组1,s αα
，线性相关，则表示式必不唯一。
解：反例，不妨设121231,2,3123ααβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，则12βαα=+ ，又有122βαα=-+ ，显然，
若向量组1,s αα
，
线性相关，则表示式必不唯一
3-12若向量组（Ⅱ）123βββ ，，可由向量组（Ⅰ）123,,ααα
线性表示为
112321233
123βαααβαααβααα⎧=-+⎪⎪=+-⎨⎪=-++⎪⎩
试将向量组（Ⅰ）由向量组（Ⅱ）表示出来。
解：由于原方程组较为简单，不妨直接求解可得
112223313112211221122αββαββαββ⎧=+⎪⎪
⎪=+⎨⎪
⎪=+⎪⎩
即11223311010112101βααβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
3-13 求下列各向量组的秩及一个极大无关组，并以之表示同组其余向量：
（1）12319221004,,1102448ααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪===
⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
； （2）1231011,2,3001ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
；
（3）123414122130,,,15423672αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪====
⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ； （4）123451032113011,,,,21752421460ααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=====
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ . 解：（1）由()⎪⎪⎪⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛-−−→−⎪⎪⎪
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=0000000102018442101-41002291,,321行变换ααα 可知2r =，其中，12,αα 为一个极大无关组，312αα=-
（2）由()⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010001100321101,,321行变换
ααα
可知3r =，其中，123,,ααα
自身即为一个极大无关组
（3）由()⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--−−→−⎪⎪
⎪
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=0000000010012202763451312141,,,54
596114321行变换αααα 可知2r =，其中，13,αα
即为一个极大无关组，21341311964,5555
αααααα=+=--
（4）由()⎪⎪⎪
⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛--−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛--=000001100010110103010614
242571211031
12301
,,,4321行变换αααα 可知3r =，其中，124,,ααα 即为一个极大无关组，31251243,ααααααα=+=--+
3-16 设AB C =,其中B 为n 阶可逆阵，A 、C 均为m n ⨯矩阵，试证明()()r A r C =,并问：
()r A 与()r B ，()r C 与()r B 关系如何？
证明：设A 的行向量为12,,,n a a a ，C 的行向量为12,,,n c c c ，由已知得
1122n n a c a c B a c ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，由于B 为n 阶可逆阵，因此12,,,n c c c 可以由12,,,n
a a a 线性表出
同理两边同乘1B - 得
11221
n n a c a c B a c -⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，即12,,,n a a a 可以由12,,,n c c c 线性表出 综上所述12,,,n a a a 与12,,,n c c c 等价，即()()r A r C =
()()()()()min ,r C r AB r A r B =≤故()()r C r B ≤
()()()()()
11min ,r A r CB r C r B --=≤故()()1r A r B -≤即()()r A r B ≤
第四章作业参考答案
4-1.在下列各题中，将向量β
表为其他向量的线性组合：
（1）12331105,0,1,1;6111βααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
====- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
（2）()()()()()12342,1,5,1,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,1,0,0,0,1.βεεεε=-====
解：（1）令112233k k k βααα=++
，则123311*********k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
=++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
易解得12311,14,9k k k =-==，即12311149βααα=-++
（2）令11223344k k k k βεεεε=+++
，则123421000101005001010011k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
易解得12342,1,5,1k k k k ==-==，即123425βεεεε=-++
4-3.确定a 使下列方程组有解，并求出解来：
123412341
234212427411x x x x x x x x x x x x a
-++=⎧⎪
+-+=⎨⎪+-+=⎩ 解：由题意得211111214
212142053731741100005A a a --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
， 要使原方程组有解，则50a -=，即5a =
将5a =代入原方程组，则原方程组变为134234144555
373555x x x x x x ⎧
++=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩
，令3142,x t x t ==，解这个方程得，
1241653375500050X t t ⎛⎫
⎪--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
⎪⎝⎭
,()12,t t R ∈
4-5.用初等变换解下列方程组；
（1）123123
1231
23233350433136x x x x x x x x x x x x -+=⎧⎪+-=⎪⎨-+=⎪⎪+-=-⎩ （2）12342341242342344
3
331
731x x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪-+=-⎪⎨+-=⎪⎪-++=-⎩ （4）2132344352x y z x y z x y z ωωω+-+=⎧⎪-+-=⎨⎪+-+=-⎩
解：（1）1331213310012
22315001530102411300330011A ⎛
⎫
-
⎪-⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
=-→--→
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
⎪
⎝⎭
,即原方程组的解为 121X ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
（2）12344123440111301113130310024120731100004A
----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
,故()()
34r A r A =≠= 即原方程组无解
（4）11610777211115953213401777143520000
0A ⎛
⎫--
⎪-⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪=--→-- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭ ⎪
⎪⎝
⎭
，令12,y t t ω==，解这个方程组得121211677779155x t t z t t ⎧=++⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩，即1211677710079155001x y t t z ω⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，其中，()12,t t R ∈
4-6.求下列齐次线性方程组的基础解系：
（1）123412341
23430202220x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪++-=⎨⎪+++=⎩ （3）2350
3287043602470
x y z x y z x y z x y z ωωωω+-+=⎧⎪++-=⎪⎨+-+=⎪
⎪-+-=⎩
解：（1）113110202111015122120054A --⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，易解得142434
44
85345x x x x x x x x ⎧=⎪⎪=-⎪⎨⎪=⎪⎪=⎩，故，该方程组的基础解
系为81545ξ⎛⎫
⎪-
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
（3）231512473128702310041360018512470001A ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--
⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
，即()r A n =，所以该方程组无基础解系
4-7.选择p,q 使下列方程有解，并求其解：
（1）1231232
1231px x x x px x p x x px p ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩ （2）1234234
123412342222135x x x x x x x x x x x p x x x x q +-+=⎧⎪--=⎪⎨+-+=⎪⎪-++=⎩
解：（1）2
2
2211111
110
11111
0(1)(2)(1)(22)p p
p A p p p p p p
p p p p p p ⎛⎫
⎛⎫ ⎪
⎪=→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+-++⎝
⎭⎝⎭
当1p ≠且2p ≠时，有唯一解()()()211121p x p p ⎛⎫-+ ⎪=≥ ⎪+
⎪ ⎪+⎝⎭
当1p =时，代入原方程组，易解得12111010001x t t --⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，其中，()12,t t R ∈
当2p =时，代入原方程组，得原方程组无解
（2）
1222
2100000111101111111300001111500001p p q q -⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
---- ⎪ ⎪
→ ⎪ ⎪
--
⎪ ⎪
-+⎝⎭⎝⎭
显然，当1p ≠或1q ≠-时，原方程组无解
最全线性代数习题及参考答案
第一章： 一、填空题： 1、若a a D ij n ==||，则=-=||ij a D ； 解：a a a a a D a a a a a D n nn n n nn n n n )1(11111111-=----= ∴== 2、设321,,x x x 是方程03 =++q px x 的三个根，则行列式1 3 2 213 3 21 x x x x x x x x x = ； 解：方程02 3 =+++d cx bx ax 的三个根与系数之间的关系为： a d x x x a c x x x x x x a b x x x ///321133221321-==++-=++ 所以方程03 =++q px x 的三个根与系数之间的关系为： q x x x p x x x x x x x x x -==++=++3211332213210 033)(33212213213 332311 3 2 2133 21=--++-=-++=x x x q x x x p x x x x x x x x x x x x x x x 3、行列式 1 000 0000199800019970 020 01000 = ； 解：原式按第1999行展开：
原式=!19981998199721)1(0 00199800199700 200 1 000 219981999-=⨯⨯⨯-=+++ 4、四阶行列式 4 4 332211 000 00a b a b b a b a = ； 解：原式按第一行展开： 原式= ) )(()()(0 00 0041413232432432143243214 332 214 33 22 1b b a a b b a a b b b b a a b a b b a a a a b a b b a b a a b b a a --=---=- 5、设四阶行列式c d b a a c b d a d b c d c b a D =4，则44342414A A A A +++= ； 解：44342414A A A A +++是D 4第4列的代数余子式， 44342414A A A A +++= 01 11111111 1 11==d a c d d c c a b d b a c b d d b c c b a 6、在五阶行列式中3524415312a a a a a 的符号为 ；
线性代数课后习题答案全)习题详解
线性代数课后习题答案全)习题详解 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： （1）381141102---； （2）b a c a c b c b a ; （3）222111c b a c b a ； （4）y x y x x y x y y x y x +++. 解 （1）=---3 811411 02811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-?)1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++-=4- （2）=b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++3333c b a abc ---= （3）=2 221 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++))()((a c c b b a ---= （4）y x y x x y x y y x y x +++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-=
2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ； （6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0 （2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为 2 ) 1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 （6）逆序数为)1(-n n 3 2 1个 5 2，5 4 2个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… … )2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个 3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项.
线性代数 课后作业及参考答案
《线性代数》作业及参考答案一．单项选择题 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n，则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ⎛ ⎝ ⎫ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ⎛ ⎝ ⎫ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ B. 100 1 2 00 1 3 ⎛ ⎝ ⎫ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ C. 1 3 00 010 00 1 2 ⎛ ⎝ ⎫ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ D. 1 2 00 1 3 001 ⎛ ⎝ ⎫ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ⎛ ⎝ ⎫ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λs βs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…
线性代数课后习题与答案
《线性代数》课程习题 第1章行列式 习 题 1.1 1． 计算下列二阶行列式： （1） 2 345 （2） 2 16 3- （3） x x x x cos sin sin cos - （4） 1 1 12 3++-x x x x （5） 2 2 32ab b a a （6） β β ααcos sin cos sin （7） 3 log log 1a b b a 2． 计算下列三阶行列式： （1）3 4 1 123312 -- （2）00000d c b a （3）d c e b a 0000 （4）z y y x x 0 0002121 （5）369528 7 41 （6）0 111011 1 -- 3． 用定义计算行列式： （1） 4 10670 5 33020010 0 （2） 1 014300211321221--- （3）5 00000000400030 020001000 (4) d c b a 100 1 10011001---. 4.用方程组求解公式解下列方程组: (1) ?????=-+=--=--0520322321321321x x x x x x x x x (2)??? ??=+-=-+=++2 32120321 321321x x x x x x x x x 习 题 1.2 1． 计算下列行列式：
（1）1 23112 1 01 (2)15 8 10 644372---- （3）3 610285 140 （4）6555655 56 2.计算行列式 （1） 2 341341241231 234（2） 12 11 4 3 51212734201 ----- （3）5 2 4 222 425 -----a a a （4）3 2 213 1399298203 123 - （5）0 53200 4140013202 52 7 1 02135 ---- 3.用行列式的性质证明： （1）32 2 )(1 11 22b a b b a a b ab a -=+（2）3 3 3 222 1113 33 33322222 21111112c b a c b a c b a a c c b b a a c c b b a a c c b b a =+++++++++ 4.试求下列方程的根： （1）022 223 3 56 =-+--λ λλ（2）0913 2 5 1 32 322132112 2 =--x x 5.计算下列行列式 （1） 8 3 6 4 21 3131524273 ------ （2）ef cf bf de cd bd ae ac ab --- （3）2 12 3 5 4 8 67759513 36344 24355---------- （4）1 1 1 1 1 0000000002211 n n a a a a a a ---
线性代数课后习题答案
习题答案 习题1（参考答案） 1．程序与算法的概念及二者的区别是什么？ 程序：为了实现特定目标或解决特定问题而用计算机语言偏写的指令序列，它由算法和数据结构组成。 算法：（Algorithm）是在有限步骤内求解某一问题所使用的一组定义明确的规则。通俗地讲，就是计算机解题的步骤。 算法与程序的区别：计算机程序是算法的一个实例，同一个算法可以用不同的计算机语言来表达。 2．简述程序设计语言发展的过程 程序设计语言经过最初的机器代码到今天接近自然语言的表达，经过了四代的演变。一般认为机器语言是第一代，符号语言即汇编语言为第二代，面向过程的高级语言为第三代，面对象的编程语言为第四代。 3．简述高级程序设计语言中面向过程与面向对象的概念。 “面向过程”是一种以过程为中心的编程思想。首先分析出解决问题所需要的步骤，然后用函数把这些步骤一步一步地实现，使用的时候依次调用函数即可。一般的面向过程是从上往下步步求精，所以面向过程最重要的是模块化的思想方法。 “面向对象”是一种以事物为中心的编程思想。面向对象的方法主要是将事物对象化，对象包括属性与行为。 面向过程与面向对象的区别：在面向过程的程序设计中，程序员把精力放在计算机具体执行操作的过程上，编程关注的是如何使用函数去实现既定的功能；而在面向对象的程序设计中，技术人员将注意力集中在对象上，把对象看做程序运行时的基本成分。编程关注的是如何把相关的功能（包括函数和数据）有组织地捆绑到一个对象身上。 4．C语言程序的特点是什么？ （1）C语言非常紧凑、简洁，使用方便、灵活，有32个关键字，有9种流程控制语句。 （2）C语言运算符丰富，共有45个标准运算符，具有很强的表达式功能，同一功能表达式往往可以采用多种形式来实现。 （3）数据类型丰富。C语言的数据类型有整型、实型、字符型、数组类型、结构类型、共用类型和指针类型，而且还可以用它们来组成更复杂的数据结构，加之C语言提供了功能强大的控制结构，因而使用C语言能非常方便地进行结构化和模块化程序设计，适合于大型程序的编写、调试。 （4）用C语言可直接访问物理地址，能进行二进制位运算等操作，即可直接同机器硬件打交道。它具有“高级语言”和“低级语言”的双重特征，既能用于系统软件程序设计，又能用于通用软件程序设计。 （5）C语言生成的目标代码质量高、程序执行速度快。一般只比用汇编语言生成的目标代码的效率低20％左右。 （6）可移植性好。 5．源程序执行过程中，有哪些步骤？
线性代数第二版答案(共10篇)
线性代数第二版答案(共10篇) 线性代数第二版答案（一）: 高等数学线性代数,概率统计第二版课后答案姚孟臣版 最佳答案: 您好,我看到您的问题很久没有人来回答,但是问题过期无人回答会被扣分的并且你的悬赏分也会被没收!所以我给你提几条建议: 线性代数第二版答案（二）: 线性代数和概率论与数理统计教程答案 线性代数（第二版）是张民选主编南京大学出版社 概率论与数理统计教程周国利主编南京大学出版社 教程答案 线性代数第二版答案（三）: 数学线性代数，举2阶矩阵的例子，它们有相同的特征值但是不相似。注：不要复制粘贴，拍题搜出来的答案 数学线性代数，举2阶矩阵的例子，它们有相同的特征值但是不相似。 注：不要复制粘贴，拍题搜出来的答案不对。 线性代数第二版答案（四）: 线性代数第二版陈维新 设ε1,ε2,...,εn为线性空间V的一组基,求这个基到基ε2,...,εn,ε1的过渡矩阵 设ε1,ε2,...,εn为线性空间V的一组基,求这个基到基ε2,...,εn,ε1
的过渡矩阵 解:因为(ε2,...,εn,ε1)=(ε1,ε2,...,εn)A A = 0 0 0 ... 0 1 1 0 0 ... 0 0 0 1 0 ... 0 0 ... ... 0 0 0 ... 0 0 0 0 0 ... 1 0 所以ε1,ε2,...,εn 到ε2,...,εn,ε1 的过渡矩阵为A. 线性代数第二版答案（五）: 线性代数：为什么二次型的标准形式不唯一的,而它的规范形唯一 标准形对平方项的系数没有严格限制 如 4x^2 = (2x)^2 作一个变换其标准形就改变了. 但规范型要求平方项的系数是1或-1 而二次型的正负惯性指数是不变量 所以规范型是唯一的(不考虑变量的顺序) 线性代数第二版答案（六）: 大二,线性代数习题, 设二次型 f(X1,X2,X3)=X1 +X2 +X3 -2(X1X2)-2(X2X3)-2(X3X1), 1求出二次型f的矩阵A的全部特征值 2求可逆矩阵P,使（P的逆阵乘以AP)成为对角阵 3计算A的m次方的绝对值（m是正整数）
线性代数课后习题答案第二版
线性代数课后习题答案第二版 线性代数课后习题答案第二版 线性代数是一门重要的数学学科，广泛应用于各个领域。而对于学习者来说，课后习题是巩固知识、提高能力的重要方式之一。本文将为大家提供线性代数课后习题第二版的答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这门学科。 一、矩阵与向量 1. 习题：给定矩阵A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，求矩阵A的转置。 答案：矩阵A的转置为A^T = [1 4 7; 2 5 8; 3 6 9]。 2. 习题：给定向量x = [1; 2; 3]和向量y = [4; 5; 6]，求向量x和y的内积。 答案：向量x和y的内积为x·y = 1*4 + 2*5 + 3*6 = 32。 3. 习题：给定矩阵A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]和向量x = [1; 1; 1]，求矩阵A和向量x的乘积。 答案：矩阵A和向量x的乘积为Ax = [6; 15; 24]。 二、线性方程组与矩阵运算 1. 习题：给定线性方程组： 2x + 3y - z = 1 4x + 2y + z = -2 x - y + 2z = 0 求解该线性方程组。 答案：解为x = 1, y = -1, z = 2。 2. 习题：给定矩阵A = [1 2; 3 4]和矩阵B = [5 6; 7 8]，求矩阵A和矩阵B的乘积。
答案：矩阵A和矩阵B的乘积为AB = [19 22; 43 50]。 3. 习题：给定矩阵A = [1 2; 3 4]和矩阵B = [5 6; 7 8]，求矩阵A和矩阵B的和。答案：矩阵A和矩阵B的和为A + B = [6 8; 10 12]。 三、特征值与特征向量 1. 习题：给定矩阵A = [2 1; 1 2]，求矩阵A的特征值和特征向量。 答案：矩阵A的特征值为λ1 = 3, λ2 = 1，对应的特征向量为v1 = [1; 1]，v2 = [-1; 1]。 2. 习题：给定矩阵A = [1 2; 2 4]，求矩阵A的特征值和特征向量。 答案：矩阵A的特征值为λ1 = 0, λ2 = 5，对应的特征向量为v1 = [-2; 1]，v2 = [1; 2]。 3. 习题：给定矩阵A = [3 -1; 1 3]，求矩阵A的特征值和特征向量。 答案：矩阵A的特征值为λ1 = 2, λ2 = 4，对应的特征向量为v1 = [1; -1]，v2 = [1; 1]。 通过以上习题的解答，我们可以更好地理解线性代数的概念和方法。线性代数 作为一门基础学科，不仅在数学领域中有广泛应用，而且在物理、工程、计算 机科学等领域也起到了重要的作用。希望本文的答案能够帮助大家更好地掌握 线性代数知识，提高解题能力。
线性代数课后作业参考答案
第一章作业参考答案 1-1. 求以下排列的逆序数： （1）134782695 （3）13…(2n-1)(2n)(2n-2)…2 解：（1）t=0+0+0+0+4+2+0+4=10 （2）t=0+0+…+0+2+4+6+…+2(n-1)=2(1+2+3+…+n-1)=(1) 2(1)2 n n n n -⨯=- 1-2. 在6阶行列式的定义式中，以下的项各应带有什么符号？ （1）233142561465a a a a a a 解：()12(234516)4,•3126454t t t t ==== 128t t t =+=为偶数，故该项带正号。 1-3. 用行列式的定义计算： （1） 0004 0043 0432 4321 （3） 01 2 3 100010001x x x a a a x a ---+ 解：（1） 1241231240 0040 043(1)(1)444425604324 3 21 t q q q a a a ++=-=-⨯⨯⨯⨯=∑ （3） 1320 1 2 3 1 00010()(1)(1)001x x x x x x a x x a x a a a x a --=⨯⨯⨯++-⨯⨯⨯-⨯-+ 233432103210(1)(1)(1)(1)(1)a a x a x a x a x a +-⨯-⨯-⨯+-⨯-⨯=++++ 1-4. 计算下列行列式： （1） 1111111111111111--- （3） 120 03 40000130051 - （5）1111111111111111a a b b +-+- （7）n a b b b b a b b D b b b a =
线性代数课后习题答案(共10篇)(共6页)
线性代数课后习题答案(共10篇) [模版仅供参考，切勿通篇使用] 感恩作文线性代数课后习题答案（一）: 高等数学线性代数,概率统计第二版课后答案姚孟臣版 最佳答案: 您好,我看到您的问题很久没有人来回答,但是问题过期无人回答会被扣分的并且你的悬赏分也会被没收!所以我给你提几条建议: 线性代数课后习题答案（二）: 谁知道《线性代数与解析几何教程》(上册)的课后习题答案在哪下?但一定要真实, 这本书是大一要学的,樊恽,刘宏伟编科学出版社出版.急不知道线性代数课后习题答案（三）: 线性代数第五章的课后习题：设a=(a1,a2,...,an)T,a1≠0,A=aaT,证明λ=0是A的n-1重特征值 设a=(a1,a2,...,an)T,a1≠0,A=aaT,证明λ=0是A的n-1重特征值 答案书上突然冒出一句“显然R(A)=1”,让我非常困惑, R(A) = R(aaT) 线性代数课后习题答案（四）: 求线性代数（第三版）,高等教育出版社的习题参考答案华中科技大学数学系的线性代数课后习题答案
书店都有卖的,尤其是华科附近的小书店,盗版一大堆~ 线性代数课后习题答案（五）: 线性代数：假如一道题目要求某矩阵,如果我求出的矩阵与答案所给的矩阵是等价的,能算是正确答案么? 如果只是某两行或某两列位置调换了一下，也不能算是正确答案吗？线性代数课后习题答案 应该不正确吧.以我理解矩阵的等价是说 QAP=B A等价到B 是通过了一系列的初等变化,那你求出的矩阵只有一个,要想变成其他还要再变换,就不是原题目的条件了还是不正确啊.行调换或列调换等于在原矩阵左边或右边乘上个初等矩阵线性代数课后习题答案（六）: 线性代数第五章的课后习题：设a=(a1,a2,...,an)T,a1≠0,A=aaT,证明λ=0是A的n-1重特征值; 求出来对角阵只有一个非零特征值,为什么0就是A的N-1重特征值了? 再问一下当0是特征值时对应的特征向量有什么特点么? 所求得的对角阵与A 相似,所以A 与对角阵有相同的特征值,看对角阵,有一个非零特征值和0(N –1)重.所以A 也是这样应该懂了吧线性代数课后习题答案（七）: 线性代数问题.设A=E-a^Ta,a=[a1,a2,……,an],aa^T=1,则
线性代数课后练习参考答案
线性代数课后习题参考答案(初稿) 习题一 1. 用行列式定义计算下列各题 （1） 424532263 5 -=-⨯-⨯=- （2）12 13011 1110 101(1)(1)21011 110++=-+-= （3） 1312 0010 020 020030(1)3002(1)24300004 0040004++=-=⨯-=- （4） 11 12 13 100 002 3 002346 45(1) 45 62(1) 3(1) 4045 6 810 89 8910 78910 +++=-=⨯-+⨯-= 2. 利用行列式的性质计算下列各题 （1） 2 1412141312150620123 21 2325 62 5062 -== （2） 28512851105131025319061 9 65 125 1131080512051 2 1 21 1 1 7 609712 --------==---=----=---------- （3）1111 111 1 1 ab ac ae b c e bd cd de adf b c e adfbce bf cf ef b c e ----=-=----
111 0240 20 adfbce adfbce -== （4） 3 300 011 () ()0 10 a b b b a b b b a b a b a b a a b a a b a a b a a b b a a b b b b a b a b a -= =--=-------- （5） x a a a a x a a a a x a a a a x =(1)(1)(1)(1)x n a a a a x n a x a a x n a a x a x n a a a x +-+-+-+- =[(1)] x n a +-1111a a a x a a a x a a a x =[(1)]x n a + -1 0010010 01 x a x a x a ---[(1)]x n a =+-1()n x a -- （6） 22222222222 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (1)(2)(3)212325(1)(2)(3)2123250(1)(2)(3)212325(1)(2)(3)212325 a a a a a a a a b b b b b b b b c c c c c c c c d d d d d d d d ++++++++++++= =++++++++++++ （7） 123110000112 31110001223110200(1)!12321100201 2 3 1 1100 1 n n n n n n n n n n n n n n n -+-+-==--+----+-
线性代数课后习题答案全习题详解
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第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： （1）381141102---； （2）b a c a c b c b a ; （3）222111c b a c b a ； （4）y x y x x y x y y x y x +++. 解 （1）=---3 811411 02811)1()1(03)4(2⨯⨯+-⨯-⨯+⨯-⨯)1()4(18)1(2310-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯⨯- =416824-++-=4- （2）=b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++3333c b a abc ---= （3）=2 221 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++))()((a c c b b a ---= （4）y x y x x y x y y x y x +++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-= 2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ； （6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0 （2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为2 ) 1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 （6）逆序数为)1(-n n
线性代数课后习题答案
线性代数课后习题答案 线性代数是数学领域中重要的一门基础课程，其中必不可少的内容之一就是习题。以下是线性代数中的一些习题及其答案。 1. 矩阵加法 设$A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$， $B=\begin{bmatrix}5&6\\7&8\end{bmatrix}$，求$A+B$。 解： $$A+B=\begin{bmatrix}1+5&2+6\\3+7&4+8\end{bmatrix}=\begin{bmatri x}6&8\\10&12\end{bmatrix}$$ 2. 矩阵乘法 设$A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$， $B=\begin{bmatrix}5&6\\7&8\end{bmatrix}$，求$AB$。 解： $$AB=\begin{bmatrix}1*5+2*7&1*6+2*8\\3*5+4*7&3*6+4*8\end{bmatri x}=\begin{bmatrix}19&22\\43&50\end{bmatrix}$$ 3. 矩阵转置 设$A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}$，求$A^T$。
解：$$A^T=\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}$$ 4. 矩阵求逆 设$A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$，求$A^{-1}$。 解： $$\begin{bmatrix}1&2&|&1&0\\3&4&|&0&1\end{bmatrix}\xrightarrow[r_ 2-3r_1]{r_2\div 3}\begin{bmatrix}1&2&|&1&0\\0&-2&|&- 3&1\end{bmatrix}$$$$\xrightarrow{r_2\div (- 2)}\begin{bmatrix}1&2&|&1&0\\0&1&|&\frac{3}{2}&- \frac{1}{2}\end{bmatrix}\xrightarrow[r_1-2r_2]{r_1- 2r_2}\begin{bmatrix}1&0&|&-2&1\\0&1&|&\frac{3}{2}&- \frac{1}{2}\end{bmatrix}$$ 所以$A^{-1}=\begin{bmatrix}-2&1\\ \frac{3}{2}&- \frac{1}{2}\end{bmatrix}$。 5. 行列式的计算 设$A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}$，求$|A|$。 解： $$\begin{aligned}|A|&=\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vma trix}\\&\xrightarrow[r_3-7r_1]{r_2-4r_1}\begin{vmatrix}1&2&3\\0&-3&- 6\\0&-6&-12\end{vmatrix}\\&=-3\begin{vmatrix}-3&-6\\-6&-
线性代数习题(含答案)
线性代数习题 一、判断题 1、四阶行列式中含因子2311a a 的项为42342311a a a a 和44322311a a a a 。（ ） 2、设D 为六阶行列式，则162534435261a a a a a a 是D 中带负号的项。（ ） 3、排列()3211 -n n 的逆序数为n 。（ ） 4、排列()3211 -n n 为偶排列。（ ） 5、若22B A =，则B A =或B A -=。（ ） 6、若AC AB =，0≠A ，则C B =。（ ） 7、若矩阵A 满足A A =2，则0=A 或E A =。（ ） 8、设A 是n 阶方阵，若0≠A ，则必有A 可逆。（ ） 9、若矩阵A 满足02=A ，则0=A 。（ ） 10、对n 阶可逆方阵A ，B ，必有()111 ---=B A AB 。（ ） 11、对n 阶可逆方阵A ，B ，必有()111 ---+=+B A B A 。（ ） 12、设A ，B 为n 阶方阵，则必有B A B A +=+。（ ） 13、设A ，B 为n 阶方阵，则必有BA AB =。（ ） 14、若矩阵A 与B 等价，则B A =。（ ） 15、设n m A ⨯，n m B ⨯为矩阵，则()()()B R A R B A R +≤+。（ ） 16、设A =0，则()0=A R 。（ ） 17、线性方程组0=⨯X A n n 只有零解，则0≠A 。（ ） 18、若b AX =有无穷多解，则0=AX 有非零解。（ ） 19、要使⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=→ 2111ξ，⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛-=→0112ξ都是线性方程组0=AX 的解，则系数矩阵A 可为()111-k 。（ ） 20、若n ，，，ααα 21线性无关，且02211=+++n n k k k ααα ，则021====n k k k 。（ ） 21、单独的一个零向量是线性相关的。（ ） 22、一个向量组若线性无关，则它的任何部分组都线性无关。（ ）
线性代数课后习题答案
第一章 行列式 习题 1. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。 因为)3(Q Q ⊆，所以)3(Q 中至少含有两个复数。 任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有 3 )()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。 因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以 ) 3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。 如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。 又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以 )3(33) (3)3() 3)(3()3)(3(3 32 2 22212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--= -+-+= ++。 综上所述，我们有)3(Q 是数域。 （2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。 （3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ⊄。 （反证法）如果)()(q Q p Q ⊆，则q b a p Q b a +=⇒ ∈∃,，从而有 q ab qb a p p 2)()(222++==。 由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。 所以有0=a 或0=b 。 如果0=a ，则2 qb p =，这与q p ,是互异素数矛盾。
线性代数课后习题答案解析
线性代数课后题详解 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： 相信自己加油 （1） 3811411 02 ---； （2）b a c a c b c b a （3） 2 2 2 111 c b a c b a ； （4） y x y x x y x y y x y x +++. 解 注意看过程解答（1）=---3 81141 1 2811)1()1(03)4(2⨯⨯+-⨯-⨯+⨯-⨯ )1()4(18)1(2310-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯⨯- =416824-++- =4- （2） =b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++ 3333c b a abc ---= （3） =2 2 2 1 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++ ))()((a c c b b a ---= （4） y x y x x y x y y x y x +++ yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-= 2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：耐心成就大业 （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ；
（6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0 （2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为 2 ) 1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 （6）逆序数为)1(-n n 3 2 1个 5 2，5 4 2个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… … )2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个 3.写出四阶行列式中含有因子 2311a a 的项. 解 由定义知，四阶行列式的一般项为 43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p 已固定， 4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为 10100=+++或22000=+++ ∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求. 4.计算下列各行列式： 多练习方能成大财 （1）⎥⎥ ⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢ ⎢⎣⎢711 00251020214214； （2）⎥⎥⎥⎥⎦ ⎥ ⎢⎢⎢ ⎢⎣⎢-26 0523******** 12； （3）⎥⎥⎥⎦ ⎥⎢⎢⎢⎣⎢---ef cf bf de cd bd ae ac ab ； （4）⎥⎥ ⎥⎥⎦ ⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢---d c b a 100 110011001 解 (1) 7 1 100251020214 2 1434327c c c c --0 10 01423102 02110214---
线性代数第四版课后习题答案
线性代数第四版课后习题答案 线性代数是数学的一个分支，研究向量空间及其上的线性变换。它在许多领域 中都有广泛的应用，如物理学、计算机科学、经济学等。而《线性代数第四版》是一本经典的教材，它深入浅出地介绍了线性代数的基本概念和理论，并提供 了大量的习题供读者练习。本文将为读者提供《线性代数第四版》课后习题的 答案，以帮助读者更好地理解和掌握线性代数的知识。 第一章：线性方程组 1.1 习题答案： 1. 解：设方程组的解为x，代入方程组得： 2x + 3y + z = 7 4x + 2y + 5z = 4 3x + 4y + 2z = 5 解得x = 1，y = -1，z = 2。 1.2 习题答案： 1. 解：设方程组的解为x，代入方程组得： x - 2y + 3z = 1 2x + y + z = 2 3x + 4y - 5z = -1 解得x = 1，y = 0，z = 0。 第二章：矩阵代数 2.1 习题答案： 1. 解：设矩阵A为：
3 4 5 6 则A的转置矩阵为： 1 3 5 2 4 6 2.2 习题答案： 1. 解：设矩阵A为： 1 2 3 4 则A的逆矩阵为： -2 1 3/2 -1/2 第三章：向量空间 3.1 习题答案： 1. 解：设向量v为： 1 2 3 则v的范数为sqrt(1^2 + 2^2 + 3^2) = sqrt(14)。 3.2 习题答案： 1. 解：设向量v为：
2 3 则v的单位向量为v/||v||，即： 1/sqrt(14) 2/sqrt(14) 3/sqrt(14) 第四章：线性变换 4.1 习题答案： 1. 解：设线性变换T为将向量顺时针旋转90度的变换，即： T(x, y) = (y, -x) 4.2 习题答案： 1. 解：设线性变换T为将向量缩放2倍的变换，即： T(x, y) = (2x, 2y) 通过以上习题的答案，我们可以看到线性代数的一些基本概念和理论在实际问 题中的应用。通过解答这些习题，读者可以更好地理解和掌握线性代数的知识，提高自己的解题能力和思维能力。希望本文提供的答案能够帮助读者更好地学 习线性代数，为将来的学习和研究打下坚实的基础。
线性代数课后习题1-4作业答案(高等教育出版社)
第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3811411 02---; 解 3 811411 02--- =2⨯(-4)⨯3+0⨯(-1)⨯(-1)+1⨯1⨯8 -0⨯1⨯3-2⨯(-1)⨯8-1⨯(-4)⨯(-1) =-24+8+16-4=-4. (3)2221 11c b a c b a ; 解 2 221 11c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ). 4. 计算下列各行列式: (1)71100251020214 214; 解 71 1 02510202142140 1 00142310 20211021 473234 -----======c c c c 34)1(1431022110 14+-⨯---= 143102211014--=014 171720010 99323211=-++======c c c c . (2)2 605232112131412-;
解 2605232112131412-26050 321 2213041224--=====c c 0 41203212213 041224--=====r r 00 00032122130 41 2 14=--=====r r . (3)ef cf bf de cd bd ae ac ab ---; 解 ef cf bf de cd bd ae ac ab ---e c b e c b e c b adf ---= abcdef adfbce 41 111111 11=---=. (4)d c b a 100110011001---. 解 d c b a 1 00110011001---d c b a ab ar r 10 011001101021---++===== d c a ab 101101)1)(1(12--+--=+01011123-+-++=====c d c ad a a b d c c cd ad ab +-+--=+111)1)(1(23=abcd +ab +cd +ad +1. 6. 证明: (1)111222 2b b a a b ab a +=(a -b )3; 证明 1112222b b a a b ab a +001 2222 2221213a b a b a a b a ab a c c c c ------=====