概念为本的教学——评张齐华的“平均数”一课

看法为本的教课——评张齐华的“均匀数”一课学生如何学习均匀数这一重要看法呢?传统教课重视于对所给数据( 有时甚至是没有任何统计意义的抽象数 ) 计算其均匀数，即重视于从算法的水平理解均匀数，这简单将均匀数的学习演变为一种简单的技术学习，忽视均匀数的统计学意义。

所以，新课程标准特别重申从统计学的角度来理解均匀数。

但是什么是“从统计学的角度”理解均匀数?在教课中如何落实 ?如何将算法水平的理解与统计学水平的理解整合起来 ?如何将均匀数作为一个看法来教 ?下边以张齐华老师执教的“均匀数”一课为例研究教课实践中如何解决上述问题。

将均匀数作为一个重要看法来教，要点是要解决三个问题：为何学习均匀数 ?均匀数这个看法的实质以及性质是什么 ?现实生活、工作等方面是如何运用均匀数的 ?张齐华老师执教的“均匀数”一课正是从这三方面，并依照学生的认知特色和生活经验实现从看法的角度理解均匀数。

均匀数的统计学意义是它能刻画、代表一组数据的整体水平。

均匀数不一样于原始数据中的每一个数据 ( 固然碰巧可能等于某个原始数据) ，但又与每一个原始数据相关，代表这组数据的均匀水平。

要对两组数据的整体水平进行比较，便可以比较这两组数据的均匀数，因为均匀数拥有优异的代表性，不单便于比较，并且公正。

在张老师的课上，导人部分的问题—— 1 分钟投篮挑战赛——固然简单，但易于引起学生对均匀数的“代表性”的理解：是用一次投篮投中的个数来代表整体水平还是用几次投篮中的某一次投中个数来代表整体水平呢 ?抑或是用几次投篮的总数来代表整体水平呢?因为教师所选择的几组数据经过精心设计，同时各组数据的表现方式陪伴着教师的追问，使学生很好地理解了均匀数的统计学意义。

这些数据其实不是一组一组地同时表现，而后让学生分别计算其平均数，而是动向表现，并陪伴教师的追问，以落实研究每一组数据的教课目标。

比方，先表现小强第一次投中 5 个，而后追问：“小强对这一成绩仿佛不太满意，感觉仿佛没有发挥出自己的真切水平，想再投两次。

假如你是张老师，你会赞同他的要求吗?”这样就使学生直觉体验到因为随机偏差的原由仅用一次的数据很难代表整体的水平，所以再给他两次投篮的机遇。

而小强的投篮水平特别稳固，三次都是5 个。

三次数据都是“ 5”，这是教师精心设计的，中心是让学生凭直觉体验均匀数的代表性，防止了学生不会计算均匀数的尴尬。

相同道理，第二组数据的表现方式仍旧先表现一个，陪伴教师的追问：“如果你是小林，会就这样结束吗?”这让学生体验一次数据，很难代表整体水平，但3、5、4 究竟哪个数据能代表小林的水平呢?教师设计这些活动的中心是让学生体验均匀数的代表性。

2．两种计算方法的背后仍增强看法理解。

固然会计算一组数据的均匀数是重要的技术，但过多的、单纯的练习简单变为纯粹的技术训练，阻碍学生领会均匀数在数据办理过程中的价值。

计算均匀数有两种方法，每种方法的教育价值各有重视点，此中心都是增强对均匀数意义的理解，非不过计算出结果。

在张老师的课上，利用直观形象的象形统计图( 条形统计图也可以 ) ，经过动向的“割补”来表现“移多补少”的过程，为理解平均数所表示的均匀水平供给感性支撑。

第一两次在直观水平上经过“移多补少”求得均匀数，而不是先经过计算求均匀数。

这样做，强化均匀数“匀乎、匀乎”的产生过程，是对均匀数能刻画一组数据的整体水平的进一步直观理解，防止学生原有思想定势的影响，即淡化学生对“均匀分”的认识，增强对均匀数意义而非算法的理解。

如何让学生理解均匀数代表的是一组数据的整体水平，而不是均匀分后某个体所获取的结呆呢 ?均匀数与均匀分既有联系更有差别，固然两者的计算过程相同，但不一样于前方所学的“均匀分” ，两者计算过程相同但各自的意义不一样。

从问题解决角度看，“均匀分”有两层含义：一是已知总数和份数，求每份数是多少；二是已知总数和每份数，求有这样的多少份，重申的是除法运算的意义，解决的是“单位量”与“单位个数”的问题。

而均匀数则反响所有数据的整体水平，目的是比较两组数据的整体水平，增强统计学意义，数据的“个数”不一样于前方所说的“份数” ，是依据需要所选择的“样本”的个数。

所以张老师的教课中没有单纯地求均匀数的练习，而是将学习均匀数放在完好的统计活动中，在描述数据、进行整体水平比较的过程中深入“均匀数是一种统计量”的实质，实现从统计学的角度学习均匀数。

比方，张老师在经过两种方法求出均匀数以后，再三追问：“哪个数是哪几个数的均匀数呢 ?”“这里的均匀数 4 能代表小刚第一次投中的个数吗 ?”“能代表小刚第二次、第三次投中的个数吗 ?”“那它终归代表的是哪一次的个数 ?”经过这样的追问，增强均匀数的统计学意义。

自然，假如在此现实问题中出现均匀数是小数的情况更有助于学生理解均匀数只刻画整体水平而不是真切的此中某一次投中的个数( 投中的个数怎么会是小数呢?不重申小数的意义，只出现简单小数，比方 3．5 个) ，即有人所说的“均匀数是一个空幻的数”。

学生对此理解需要比较长的“过程” ，不是一节课就能完成的。

二、“看法为本”教课的深入：进一步理解均匀数的实质及性质初步认识了均匀数的统计学意义后，张老师仍旧进一步设计活动让学生借助于详尽问题、详尽数据初步理解均匀数的性质，丰富学生对均匀数的理解，也为学生灵巧解决相关均匀数的问题供给知识和方法上的支持。

算术均匀数有以下性质：1 ．一组数据的均匀数易受这组数据中每一个数据的影响，“稍有风吹草动”就能带来均匀数的变化” ，即敏感性。

2．一组数据的均匀数介于这组数据的最小值与最大值之间。

3．一组数据中每一个数与算术均匀数之差 ( 称为离均差 ) 的总和等于 0，即：此中 xi 老是原始数据， x 是这组数据的算术均匀数。

4 ．给一组数据中的每一个数加上一个常数C，则所获取的新数组的均匀数为本来数组的均匀数加上常数C。

5 ．一组数据中的每一个数乘上一个常数C，则所获取的新数组的均匀数为本来数组的均匀数乘常数C。

这些抽象的性质如何让小学生理解呢 ?张老师仍旧是在奇妙的数据设计以及合时的掌握实质的追问中让学生进一步深入对均匀数性质的认识。

数据设计的奇妙主要表此刻：第一，在统计张老师自己的投球水平常，张老师“搞特别” ，可以投四次。

基于前方学生对均匀数的初步感知，学生认同用老师四次投中个数的均匀数来代表老师的整体水平，但张老师在第四次投中多少个球上大做文章：前三次的均匀数是 5，那么老师必定是并列第一了 ?一组数据中前三个数据大小不变，不过第四个数据发生变化，会以致均匀数产生什么样的变化呢?在疑问与疑惑( 自然有好多学生是“清醒”的 ) 中，教师第一出示了“极端数据二” (1 个球 ) ，进一步深入学生对均匀数代表性的理解，初步体验均匀数的敏感性。

其次，假设张老师第四次投中 5 个、 9 个，张老师 1 分钟投球的均匀数分别是多少 ?依据统计图直观预计、计算或许依据均匀数的意义进行推理都能求出均匀数，多种方法求解发挥了学生的聪慧才华，使学生的潜能得以发挥，体验成功感从而体验创建学习的乐趣。

再次，将张老师 1 分钟投球的三幅统计图同时表现，让学生对比解析、独立思虑再小组谈论。

因为三幅统计图中前三个数据相同，只有第四个数据不一样，学生可以进一步理解均匀数的敏感性：任何一个数据的风吹草动，都会使均匀数发生变化。

学生发现均匀数老是介于最小的数与最大的数之间：多的要移一些补给少的，最后均匀数自然要比最大的小比最小的大了。

学生还发现：“总数每增添 4，均匀数其实不增添 4，而是只增添 1。

”教师合时追问：“若是这里的每一个数都增添 4，均匀数又会增添多少呢 ?还会是 1 吗?”再进一步观察三幅统计图中的第一幅图，教师迫问：比较一下超出均匀数的部分与不到均匀数的部分，你发现了什么 ?生：超出的部分和不到的部分相同多，都是 3 个。

师：会不会不过一种巧合呢?让我们连忙再来看看另两幅图吧?经过进一步观察其余几幅统计图，学生真切理解了并用自己形象生动的语言描述出：“就像山岳与山谷‘样。

把山岳切下来，填到山谷里，正好可以填平。

假如山岳比山谷大，或许山岳比山谷小，都不行能正好填平。

”在上述问题情境中，以“问题”为导向，借助于直观的统计图以及学生的预计或许计算，学生思想上、感情上经历束手无策、如有所思、茅塞顿开、悠闲心会的过程，对均匀数的意义以及性质都有了深切的领会。

有前述对均匀数意义以及性质的认识，学生能否真切理解了均匀数的看法呢 ?表达出看法的定义或许会计算不等于真切理解某个看法，还要看能否在不一样情境中运用看法。

因为均匀数这个看法对小学生而言是特别抽象的 ( 如前所说，它是“空幻的数” ，学生不可以详尽看到) ，均匀数的背景也很复杂，假如学生能在稍复杂的背景下运用均匀数的看法解决问题，说明学生初步理解了均匀数。

所以，张老师设计了四个复杂程度不一样的问题，即“纸带均匀长短”“球员均匀身高”“均匀水深”“均匀寿命”，这四个问题中的均匀数的复杂程度不一样。

前两个问题中的均匀数比较简单，数据的个数都是有限个，并且又有直观图形做理解上的支撑，所以前两个问题是简单应用均匀数的性质——离差之和为零，即有比均匀数大的数据就必定有比均匀数小的数据。

学生可以借助于直观图形以及计算求出这两个问题中的均匀数。

在“纸带”问题中数据的表现方式不一样于前方，是横向表现，但均匀数的意义不变，淡化表现形式增强意义理解，为学生理解均匀数供给另一视角。

“球员均匀身高”问题不是让学生计算球员的均匀身高而是让学生借助均匀数的性质进行推理判断，并经过学生熟习的中国男子篮球队队员的均匀身高以及姚明的特别身高明入对均匀数的理解。

最后两个情境的均匀数是比较复杂的，是以样本的均匀数取代整体的均匀数。

比方，均匀水深究竟是什么意思呢 ?可以是随机采用有限个点，丈量这些点到水底的距离，再求这些距离的均匀数作为池塘均匀水深的代表值。

相同， 2008 年中国男性的均匀寿命也是经过计算样本的均匀年龄来表示全体中国男性的均匀年龄。

真切理解这些均匀数的意义对小学生而言有难度。

所以，张老师在教课中表现子池塘的截面图，并标明出五个距离，将复杂的问题简单化，使学生还能借助于均匀数的性质理解冬冬下水游泳仍有危险。

经过均匀数意义的增强，使学生能从数学的角度解说能否有危险，防止学生从其余角度解说。

在解释男性均匀寿命问题中，借助于学生亲人的年龄这样的特别而详尽的数据，来理解均匀寿命是 71 岁不等于每个男人都活到 71 岁。

但不是所有的学生都能借助于前方所学均匀数的意义和性质来解说这些问题，学生很难真切理解这两个情境下的均匀数的意义。

《数学课程标准 ( 实验稿 ) 》中明确提出，学生学习统计与概率内容的重要目标是培育学生的统计看法。