2021届高考数学圆锥曲线压轴题专题07 圆锥曲线的最值(范围)问题(通用版解析版)

专题7 圆锥曲线的最值（范围）问题

圆锥曲线的最值（范围）问题，因考查知识容量比较大，分析能力要求高，区分度高成为高考命题老师青睐的一个热点。

关于圆锥曲线最值（范围）问题处理常见有两种方法：○1利用圆锥曲线的定义和几何关系解决；○2利用基本不等式或函数最值问题解决。

方法1、利用定义法和几何关系求最值

解题技巧:遇见椭圆和双曲线中的最值问题常把到左焦点的距离转化为右焦点，反之也可以；遇见抛物线中的最值常把到焦点的距离转化为到准线的距离，反之也可以。 经典例题：

例1.（2020年广东省深圳四校联考）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy 中，A (-2，1)，B (-2，4)，点P 是满足1

2

λ=

的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为___________________；若点Q 为抛物线E ：y 2=4x 上的动点，Q

在直线x =-1上的射影为H ，则1

2

++PB PQ QH 的最小值为___________.

【答案】()2

224x y ++=

【解析】（1）利用直译法直接求出P 点的轨迹．（2）先利用阿氏圆的定义将

1

2

PB 转化为P 点到另一个定点的距离，然后结合抛物线的定义容易求得1

2

++PB PQ QH 的最小值．

设P （x ，y ），由阿氏圆的定义可得

||1

||2

PA PB =， 即2222

(2)(1)1,(2)(4)4

x y x y ++-=++-化简得()2

224x y ++=

||1||2PA PB =，则1

||||2PA PB = 设(1,0),F 则由抛物线的定义可得||||QH QF = 1

2

PB PQ QH PA PQ QF AF ∴++=++≥=当且仅当,,,A P Q F 四点共线时取等号， 1

2

PB PQ QH ∴

++ 故答案为：()2

224x y ++=. 【点睛】本题考查了抛物线的定义及几何性质，同时考查了阿氏圆定义的应用．还考查了学生利用转化思想、方程思想等思想方法解题的能力．难度较大．

例2、（2020年成都市外国语实验学校高三二诊模拟12题）已知点P 在离心率为2的双曲线22

221x y a b

-=的

左支上，(0,A ，F 是双曲线的右焦点，若PAF ∆周长的最小值是20，则此时PAF ∆的面积为（ ）

A

． B ．C ．D ．18

【答案】B

【解析】首先由双曲线的定义可知PAF ∆周长的最小值等于12AF AF a ++，再根据离心率的值可求出双曲线方程，求出直线1AF 与双曲线联立即可求出P 点的坐标，最后利用11PAF AF F PF F S S S ∆∆∆=-即可求出面积.

设双曲线的左焦点为1F ，由题知：12PF PF a -=，12PF a PF =+.

PAF ∆周长1122AP PF AF AP PF AF a AF AF a =++=+++≥++.

当且仅当A ，P ，1F 三点共线时取等号.所以1220AF AF a ++=.

所以222

220

2a c a c a b

⎧=⎪

⎪=⎨⎪=+⎪⎩

，解得24a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩22

1412x y -=.

1AF k =

=1AF l

：y =+

. 22

22

13120412x y x y ⎧-=⎪⇒-+-=⎨

⎪=+⎩

,解得52x =-

，代入y =+

，得y =所以P

的坐标为5(2-

.11118822PAF AF F PF F S S S ∆∆∆=-=⨯⨯⨯=故选：B 【点睛】本题主要考查双曲线的性质，同时考查了直线与双曲线的位置关系，属于难题.

例3、（2021江苏高三期中）已知椭圆22

12516

x y +=内有两点A （1，3），B （3，0），P 为椭圆上一点，则PA PB

+的最大值为______. 【答案】15

【分析】根据椭圆的方程，算出它的焦点坐标为B （3，0）和'30B -（，）

.因此连接''PB AB 、，根据椭圆的定义得2'10'PA PB PA a PB PA PB +=+

-=+-（）（）.再由三角形两边之差小于第三边，得到当且仅当点P 在'AB 延长线上时，PA PB +=10'15AB +=达到最大值，从而得到本题答案.

【解析】∵椭圆方程为22

12516

x y +=，∴焦点坐标为B （3，0）和'30B -（，）

连接''PB AB 、，根据椭圆的定义，得'210PB PB a +==，可得10'PB PB =-

因此10'10'PA PB PA PB PA PB +=+-=+-（）（）

''PA PB AB -≤

||||101010515PA PB AB '∴++==+=

当且仅当点P 在'AB 延长线上时，等号成立

综上所述，可得PA PB +的最大值为15

【点睛】本题考查了椭圆相关距离的最值，变换得到10'PA PB PA PB +=+-（）是解题的关键. 例4.（2018年成都市高三模拟16题）已知F 是双曲线()22

2:401x C y a a

-=>的右顶点到其一条渐近线的

距离等于

3

，抛物线E :22(0)y px p =>焦点与双曲线C 的右焦点重合，则抛物线上的动点M 到直线:12:4360,:1l x y l x -+==-的距离之和的最小值为 ．

【答案】2

【解析】双曲线的渐近线方程为2x

y a

=±

，右顶点(),0a 3，

2

3

14a =

+34a =，即有1c =。

由题意可得

12

p

=，解得2p =，即有抛物线的方程为24y x =， 如图，过点M 作MA ⊥l 1于点A ,作MA ⊥准线l 2：x =-1于点C ，连接MF ， 根据抛物线的定义得MA +MC =MA +MF ,设M 到l 1的距离为d 1，M 到l 2的距离为d 2 则d 1 + d 2=MA +MC =MA +MF ,易知M,A,F 三点共线时，MA +MF 有最小值。 由焦点F （1,0）到直线l 1的距离为2，即MA +MF 的最小值为2 。