高考数学试题分类大全理科圆锥曲线
2008年高考数学试题分类汇编
圆锥曲线
一. 选择题:
1.(福建卷11)又曲线22
221x y a b
==(a >0,b >0)的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点,
且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B
A.(1,3)
B.(]1,3
C.(3,+∞)
D.[)3,+∞
2.(海南卷11)已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上,那么点P 到点Q (2,-1)的距离与点P 到
抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P 的坐标为( A )
A. (4
1
,-1)
B. (
4
1
,1) C. (1,2) D. (1,-2)
3.(湖北卷10)如图所示,“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,最终卫星在P 点
1
2c 第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行,若用
和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长,给出下列式子:
①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a <22
c
a . 其中正确式子的序号是B
A. ①③
B. ②③
C. ①④
D. ②④
4.(湖南卷8)若双曲线22221x y a b -=(a >0,b >0)上横坐标为32
a
的点到右焦点的距离大于
它到左准线的距离,则双曲线离心率的取值范围是( B )
A.(1,2)
B.(2,+∞)
C.(1,5)
D. (5,+∞)
5.(江西卷7)已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点,满足120MF MF ?=u u u u r u u u u r
的点M 总在椭圆内部,则
椭圆离心率的取值范围是C
A .(0,1)
B .1
(0,]2
C
.(0,
2 D
.,1)2 6.(辽宁卷10)已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点,则点P 到点(0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( A ) A
.
B .3 C
D .
92
7.(全国二9)设1a >,则双曲线22
22
1(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是( B ) A
.2) B
. C .(25), D
.(2
8.(山东卷(10)设椭圆C 1的离心率为
13
5
,焦点在X 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C 2的标准方程为A
(A )13422
22=-y x (B)15132222=-y x
(C)14
322
22=-y x (D)112132222=-y x
9.(陕西卷8)双曲线22
221x y a b
-=(0a >,0b >)的左、右焦点分别是12F F ,,过1F 作倾斜
角为30o 的直线交双曲线右支于M 点,若2MF 垂直于x 轴,则双曲线的离心率为( B ) A
.
B
C
.
D
.
3
10.(四川卷12)已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ,准线与x 轴的交点为K ,点A 在C 上
且AK AF =,则AFK ?的面积为( B )
A
B
C
D -
(A)4 (B)8 (C)16 (D)32
11.(天津卷(7)设椭圆22
221x y m n
+=(0m >,0n >)的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同,
离心率为
1
2
,则此椭圆的方程为B (A )2211216x y +
= (B )2211612x y += (C )2214864x y += (D )22
16448
x y += 12.(浙江卷7)若双曲线122
22=-b
y a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3:2,则双曲线的
离心率是D
(A )3 (B )5 (C )3 (D )5
13.(浙江卷10)如图,AB 是平面a 的斜线段,A 为斜足,若点P 在平面a 内运动,使得△ABP 的面积为定值,则动点P 的轨迹是B
(A )圆 (B )椭圆 (C )一条直线 (D )两条平行直线
14.(重庆卷(8)已知双曲线22
221x y a b
-=(a >0,b >0)的一条渐近线为y =kx (k >0),离心率
e =5k ,则双曲线方程为C
(A )22x a -2
24y a =1
(B)22
2215x y a a
-=
(C)22
2214x y b b
-=
(D)22
2215x y b b
-=
二. 填空题:
1.(海南卷14)过双曲线22
1916
x y -
=的右顶点为A ,右焦点为F 。过点F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ,则△AFB 的面积为_______
3215
2.(湖南卷12)已知椭圆22
221x y a b
+=(a >b >0)的右焦点为F,右准线为l ,离心率e =55过顶点A (0,b )作AM ⊥l ,垂足为M ,则直线FM 的斜率等于 .
1
2
3.(江苏卷12)在平面直角坐标系中,椭圆22
22x y a b
+=1( a b >>0)的焦距为2,以O 为圆心,
a 为半径的圆,过点2,0a c ?? ???作圆的两切线互相垂直,则离心率e =
.2
4.(江西卷15)过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 作倾角为30o 的直线,与抛物线分别交于A 、B 两点(A 在y 轴左侧)
,则AF FB
= .1
3
5.(全国一14)已知抛物线21y ax =-的焦点是坐标原点,则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 .2
6.(全国一15)在ABC △中,AB BC =,7
cos 18
B =-
.若以A B ,为焦点的椭圆经过点C ,则该椭圆的离心率e = .3
8
7.(全国二15)已知F 是抛物线24C y x =:的焦点,过F 且斜率为1的直线交C 于A B ,两点.设FA FB >,则FA 与FB 的比值等于
.3+
8.(浙江卷12)已知21F F 、为椭圆
19
252
2=+y x 的两个焦点,过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点若1222=+B F A F ,则AB =______________。8
三. 解答题:
1.(安徽卷22).(本小题满分13分)
设椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>
过点M
,且着焦点为1(F
(Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 相交与两不同点,A B 时,在线段AB 上取点Q ,满足
AP QB AQ PB =u u u r u u u r u u u r u u u r
g g ,证明:点Q 总在某定直线上
解 (1)由题意:
2222222211c a b c a b ?=?
?+=??
?=-? ,解得22
4,2a b ==,所求椭圆方程为 22142x y +
= (2)方法一
设点Q 、A 、B 的坐标分别为1122(,),(,),(,)x y x y x y 。
由题设知,,,AP PB AQ QB u u u r u u u r u u u r u u u r
均不为零,记AP AQ PB QB
λ==u u u r u u u r u u u r u u u r ,则0λ>且1λ≠
又A ,P ,B ,Q 四点共线,从而,AP PB AQ QB λλ=-=u u u r u u u r u u u r u u u r
于是 1241x x λλ-=
-, 1211y y λλ-=- 121x x x λλ+=+, 12
1y y y λλ
+=+
从而
22212241x x x λλ-=-,L L (1) 222
12
2
1y y y λλ
-=-,L L (2) 又点A 、B 在椭圆C 上,即
(1)+(2)×2并结合(3),(4)得424s y += 即点(,)Q x y 总在定直线220x y +-=上
方法二
设点1122(,),(,),(,)Q x y A x y B x y ,由题设,,,,PA PB AQ QB u u u r u u u r u u u r u u u r
均不为零。
且 PA PB AQ QB =u u u r u u u r u u u r u u u r
又 ,,,P A Q B 四点共线,可设,(0,1)PA AQ PB BQ λλλ=-=≠±u u u r u u u r u u u r u u u r
,于是
1141,11x y
x y λλλλ--=
=
-- (1) 2241,11x y
x y λλλλ
++==
++ (2) 由于1122(,),(,)A x y B x y 在椭圆C 上,将(1),(2)分别代入C 的方程2224,x y += 整理得
222(24)4(22)140x y x y λλ+--+-+= (3) 222(24)4(22)140x y x y λλ+-++-+= (4)
(4)-(3) 得 8(22)0x y λ+-= 即点(,)Q x y 总在定直线220x y +-=上
2.(北京卷19).(本小题共14分)
已知菱形ABCD 的顶点A C ,在椭圆2234x y +=上,对角线BD 所在直线的斜率为1.
(Ⅰ)当直线BD 过点(01),时,求直线AC 的方程; (Ⅱ)当60ABC ∠=o 时,求菱形ABCD 面积的最大值. 解:(Ⅰ)由题意得直线BD 的方程为1y x =+. 因为四边形ABCD 为菱形,所以AC BD ⊥. 于是可设直线AC 的方程为y x n =-+.
由2234x y y x n ?+=?=-+?,得2246340x nx n -+-=. 因为A C ,在椭圆上, 所以212640n ?=-+>
,解得33
n -
<<. 设A C ,两点坐标分别为1122()()x y x y ,,
,, 则1232
n
x x +=,212344n x x -=,11y x n =-+,22y x n =-+.
所以122
n
y y +=
. 所以AC 的中点坐标为344n n ??
???
,.
由四边形ABCD 为菱形可知,点344n n ??
???
,在直线1y x =+上,
所以
3144
n n =+,解得2n =-. 所以直线AC 的方程为2y x =--,即20x y ++=. (Ⅱ)因为四边形ABCD 为菱形,且60ABC ∠=o , 所以AB BC CA ==. 所以菱形ABCD
的面积2
S =
. 由(Ⅰ)可得22
2
2
1212316
()()2
n AC x x y y -+=-+-=,
所以2316)433S n n ?=
-+-<< ?
?.
所以当0n =时,菱形ABCD 的面积取得最大值43. 3.(福建卷21)(本小题满分12分)
如图、椭圆22
221(0)x y a b a b
+=f f 的一个焦点
是F (1,
0),O 为坐标原点.
(Ⅰ)已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦
点构成正三角形,求椭圆的方程;
(Ⅱ)设过点F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点.
若直线l 绕点F 任意转动,值有2
2
2
OA OB AB +p ,
求a 的取
值范围.
本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、不等式的解法等基本知识,考查分类与整合思想,考查运算能力和综合解题能力.满分12分. 解法一:(Ⅰ)设M ,N 为短轴的两个三等分点,
因为△MNF 为正三角形, 所以3
2
OF MN =
, 即1=
32, 3.3
b
b g 解得= 2
2
14,a b =+=因此,椭圆方程为22
1.43
x y +
= (Ⅱ)设1122(,),(,).A x y B x y
(ⅰ)当直线 AB 与x 轴重合时,
(ⅱ)当直线AB 不与x 轴重合时,
设直线AB 的方程为:22
221,1,x y x my a b
=++=代入
整理得22222222()20,a b m y b my b a b +++-=
所以2222
1212222222
2,b m b a b y y y y a b m a b m -+==++
因为恒有222
OA OB AB +<,所以∠AOB 恒为钝角.
即11221212(,)(,)0OA OB x y x y x x y y ==+
g g 恒成立. 又a 2+b 2m 2>0,所以-m 2a 2b 2+b 2-a 2b 2+a 2<0对m ∈R 恒成立, 即a 2b 2m 2> a 2 -a 2b 2+b 2对m ∈R 恒成立.