高考数学试题分类大全理科圆锥曲线

2008年高考数学试题分类汇编

圆锥曲线

一． 选择题：

1.（福建卷11)又曲线22

221x y a b

==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，

且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B

A.(1,3)

B.(]1,3

C.(3,+∞)

D.[)3,+∞

2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到

抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ）

A. （4

1

，－1）

B. （

4

1

，1） C. （1，2） D. （1，－2）

3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点

1

2c 第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用

和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：

①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a ＜22

c

a . 其中正确式子的序号是B

A. ①③

B. ②③

C. ①④

D. ②④

4.（湖南卷8）若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32

a

的点到右焦点的距离大于

它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B )

A.(1,2)

B.(2,+∞)

C.(1,5)

D. (5,+∞)

5.（江西卷7）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ?=u u u u r u u u u r

的点M 总在椭圆内部，则

椭圆离心率的取值范围是C

A ．(0,1)

B ．1

(0,]2

C

．(0,

2 D

．,1)2 6.（辽宁卷10）已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A ） A

．

B ．3 C

D ．

92

7.（全国二9）设1a >，则双曲线22

22

1(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是（ B ） A

．2) B

． C ．(25)， D

．(2

8.（山东卷(10)设椭圆C 1的离心率为

13

5

，焦点在X 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为A

（A ）13422

22=-y x (B)15132222=-y x

(C)14

322

22=-y x (D)112132222=-y x

9.（陕西卷8）双曲线22

221x y a b

-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜

角为30o 的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ B ） A

．

B

C

．

D

．

3

10.（四川卷12）已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上

且AK AF =，则AFK ?的面积为( B )

A

B

C

D -

（Ａ）4 （Ｂ）8 （Ｃ）16 （Ｄ）32

11.（天津卷（7）设椭圆22

221x y m n

+=（0m >，0n >）的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，

离心率为

1

2

，则此椭圆的方程为B （A ）2211216x y +

= （B ）2211612x y += （C ）2214864x y += （D ）22

16448

x y += 12.（浙江卷7）若双曲线122

22=-b

y a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的

离心率是D

（A ）3 （B ）5 （C ）3 （D ）5

13.（浙江卷10）如图，AB 是平面a 的斜线段，A 为斜足，若点P 在平面a 内运动，使得△ABP 的面积为定值，则动点P 的轨迹是B

（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）一条直线 （D ）两条平行直线

14.（重庆卷(8)已知双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）的一条渐近线为y =kx (k ＞0),离心率

e =5k ,则双曲线方程为C

（A ）22x a －2

24y a =1

(B)22

2215x y a a

-=

(C)22

2214x y b b

-=

(D)22

2215x y b b

-=

二． 填空题：

1.（海南卷14）过双曲线22

1916

x y -

=的右顶点为A ，右焦点为F 。过点F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为_______

3215

2.（湖南卷12）已知椭圆22

221x y a b

+=（a ＞b ＞0）的右焦点为F,右准线为l ,离心率e =55过顶点A (0,b )作AM ⊥l ,垂足为M ，则直线FM 的斜率等于 .

1

2

3.（江苏卷12）在平面直角坐标系中，椭圆22

22x y a b

+=1( a b >>0)的焦距为2，以O 为圆心，

a 为半径的圆，过点2,0a c ?? ???作圆的两切线互相垂直，则离心率e =

．2

4.（江西卷15）过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 作倾角为30o 的直线，与抛物线分别交于A 、B 两点（A 在y 轴左侧）

，则AF FB

= ．1

3

5.（全国一14）已知抛物线21y ax =-的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ．2

6.（全国一15）在ABC △中，AB BC =，7

cos 18

B =-

．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．3

8

7.（全国二15）已知F 是抛物线24C y x =：的焦点，过F 且斜率为1的直线交C 于A B ，两点．设FA FB >，则FA 与FB 的比值等于

．3+

8.（浙江卷12）已知21F F 、为椭圆

19

252

2=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点若1222=+B F A F ，则AB =______________。8

三． 解答题：

1.（安徽卷22）．（本小题满分13分）

设椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>

过点M

，且着焦点为1(F

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 相交与两不同点,A B 时，在线段AB 上取点Q ，满足

AP QB AQ PB =u u u r u u u r u u u r u u u r

g g ，证明：点Q 总在某定直线上

解 (1)由题意：

2222222211c a b c a b ?=?

?+=??

?=-? ，解得22

4,2a b ==，所求椭圆方程为 22142x y +

= (2)方法一

设点Q 、A 、B 的坐标分别为1122(,),(,),(,)x y x y x y 。

由题设知,,,AP PB AQ QB u u u r u u u r u u u r u u u r

均不为零，记AP AQ PB QB

λ==u u u r u u u r u u u r u u u r ,则0λ>且1λ≠

又A ，P ，B ，Q 四点共线，从而,AP PB AQ QB λλ=-=u u u r u u u r u u u r u u u r

于是 1241x x λλ-=

-， 1211y y λλ-=- 121x x x λλ+=+， 12

1y y y λλ

+=+

从而

22212241x x x λλ-=-，L L （1） 222

12

2

1y y y λλ

-=-，L L （2） 又点A 、B 在椭圆C 上，即

（1）+（2）×2并结合（3），（4）得424s y += 即点(,)Q x y 总在定直线220x y +-=上

方法二

设点1122(,),(,),(,)Q x y A x y B x y ，由题设，,,,PA PB AQ QB u u u r u u u r u u u r u u u r

均不为零。

且 PA PB AQ QB =u u u r u u u r u u u r u u u r

又 ,,,P A Q B 四点共线，可设,(0,1)PA AQ PB BQ λλλ=-=≠±u u u r u u u r u u u r u u u r

,于是

1141,11x y

x y λλλλ--=

=

-- （1） 2241,11x y

x y λλλλ

++==

++ （2） 由于1122(,),(,)A x y B x y 在椭圆C 上，将（1），（2）分别代入C 的方程2224,x y += 整理得

222(24)4(22)140x y x y λλ+--+-+= （3） 222(24)4(22)140x y x y λλ+-++-+= (4)

(4)－(3) 得 8(22)0x y λ+-= 即点(,)Q x y 总在定直线220x y +-=上

2.（北京卷19）．（本小题共14分）

已知菱形ABCD 的顶点A C ，在椭圆2234x y +=上，对角线BD 所在直线的斜率为1．

（Ⅰ）当直线BD 过点(01)，时，求直线AC 的方程； （Ⅱ）当60ABC ∠=o 时，求菱形ABCD 面积的最大值． 解：（Ⅰ）由题意得直线BD 的方程为1y x =+． 因为四边形ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥． 于是可设直线AC 的方程为y x n =-+．

由2234x y y x n ?+=?=-+?，得2246340x nx n -+-=． 因为A C ，在椭圆上， 所以212640n ?=-+>

，解得33

n -

<<． 设A C ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，

，， 则1232

n

x x +=，212344n x x -=，11y x n =-+，22y x n =-+．

所以122

n

y y +=

． 所以AC 的中点坐标为344n n ??

???

，．

由四边形ABCD 为菱形可知，点344n n ??

???

，在直线1y x =+上，

所以

3144

n n =+，解得2n =-． 所以直线AC 的方程为2y x =--，即20x y ++=． （Ⅱ）因为四边形ABCD 为菱形，且60ABC ∠=o ， 所以AB BC CA ==． 所以菱形ABCD

的面积2

S =

． 由（Ⅰ）可得22

2

2

1212316

()()2

n AC x x y y -+=-+-=，

所以2316)433S n n ?=

-+-<< ?

?．

所以当0n =时，菱形ABCD 的面积取得最大值43． 3.（福建卷21）（本小题满分12分）

如图、椭圆22

221(0)x y a b a b

+=f f 的一个焦点

是F （1，

0），O 为坐标原点.

（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦

点构成正三角形，求椭圆的方程；

（Ⅱ）设过点F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点.

若直线l 绕点F 任意转动，值有2

2

2

OA OB AB +p ,

求a 的取

值范围.

本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、不等式的解法等基本知识，考查分类与整合思想，考查运算能力和综合解题能力.满分12分. 解法一：(Ⅰ)设M ，N 为短轴的两个三等分点，

因为△MNF 为正三角形， 所以3

2

OF MN =

, 即1＝

32, 3.3

b

b g 解得＝ 2

2

14,a b =+=因此，椭圆方程为22

1.43

x y +

= (Ⅱ)设1122(,),(,).A x y B x y

(ⅰ)当直线 AB 与x 轴重合时，

(ⅱ)当直线AB 不与x 轴重合时，

设直线AB 的方程为：22

221,1,x y x my a b

=++=代入

整理得22222222()20,a b m y b my b a b +++-=

所以2222

1212222222

2,b m b a b y y y y a b m a b m -+==++

因为恒有222

OA OB AB +<，所以∠AOB 恒为钝角.

即11221212(,)(,)0OA OB x y x y x x y y ==+

g g 恒成立. 又a 2+b 2m 2>0,所以-m 2a 2b 2+b 2-a 2b 2+a 2<0对m ∈R 恒成立， 即a 2b 2m 2> a 2 -a 2b 2+b 2对m ∈R 恒成立.

当m ∈R 时，a 2b 2m 2最小值为0，所以a 2- a 2b 2+b 2<0. a 2

因为a >0,b >0,所以a 0,

解得a >

12+或a <12-(舍去)，即a >12

+,

综合（i ）(ii)，a ，+∞）. 解法二：

（Ⅰ）同解法一， （Ⅱ）解：（i ）当直线l 垂直于x 轴时，

x =1代入2222222

1(1)1,A y b a y a b a -+===1.

因为恒有|OA |2

+|OB |2

<|AB |2

,2(1+y A 2

)<4 y A 2,

y A 2

>1，即21

a a

->1,

解得a >

12+或a <12-(舍去)，即a >12

+. （ii ）当直线l 不垂直于x 轴时，设A （x 1,y 1）, B （x 2,y 2）.

设直线AB 的方程为y =k (x -1)代入22

221,x y a b

+=

得(b 2+a 2k 2)x 2-2a 2k 2x + a 2 k 2- a 2 b 2=0,

故x 1+x 2=222222

22222222

2,.a k a k a b x x b a k b a k -=++

因为恒有|OA |2+|OB |2<|AB |2,

所以x 21+y 21+ x 22+ y 22<( x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2, 得x 1x 2+ y 1y 2<0恒成立.

x 1x 2+ y 1y 2= x 1x 2+k 2(x 1-1) (x 2-1)=(1+k 2) x 1x 2-k 2(x 1+x 2)+ k 2

=(1+k 2

)222222222222222

222222222

2()a k a b a k a a b b k a b k k b a k b a k b a k --+--+=+++.

由题意得（a 2- a 2 b 2+b 2）k 2- a 2 b 2<0对k ∈R 恒成立.

①当a 2- a 2 b 2+b 2>0时，不合题意；

②当a 2- a 2 b 2+b 2=0时，a =

12

+; ③当a 2- a 2 b 2+b 2<0时，a 2- a 2(a 2-1)+ (a 2-1)<0，a 4- 3a 2 +1>0,

解得a 2>

a 2>，a >12+，因此a ≥12

+.

综合（i ）（ii ），a 的取值范围为（

12

+，+∞）.

A y

x O B

G

F

F 1

图4

4.（广东卷18）．（本小题满分14分）

设0b >，椭圆方程为22

2212x y b b

+=，抛物线方程为28()x y b =-．如图4所示，过点

(02)F b +，作x 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G ，已知抛物线在点G 的切线经过椭圆的右焦点1F ．

（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；

（2）设A B ，分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P ，使得ABP △为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．

【解析】（1）由28()x y b =-得21

8

y x b =+，

当2y b =+得4x =±，∴G 点的坐标为(4,2)b +，1

'4y x =，2y x b =+-，

4'|1x y ==，过点G 的切线方程为(2)4y b x -+=-即

令0y =得2x b =-，1F ∴点的坐标为(2,0)b -，由椭圆方程得1F 点

的坐标为(,0)b ，

2b b ∴-=即1b =，即椭圆和抛物线的方程分别为2

212

x y +=和28(1)x y =-；

（2）Q 过A 作x 轴的垂线与抛物线只有一个交点P ,∴以PAB ∠为直角的Rt ABP ?只有一个，

同理∴ 以PBA ∠为直角的Rt ABP ?只有一个。

若以APB ∠为直角，设P 点坐标为21

(,1)8

x x +，A 、B 两点的坐标分别为(2,0)-和

(2,0)，

222421152(1)108644

PA PB x x x x =-++=+-=u u u r u u u r g 。

关于2x 的二次方程有一大于零的解，x ∴有两解， 即以APB ∠为直角的Rt ABP ?有两个，

因此抛物线上存在四个点使得ABP ?为直角三角形。 5.(湖北卷19).（本小题满分13分）

如图，在以点O 为圆心，||4AB =为直径的半圆ADB

中，

OD AB ⊥，P 是半圆弧上一点，30POB ∠=?，曲线C 是

满足||||||MA MB -为定值的动点M 的轨迹，且曲线

C 过

点P .

（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程； （Ⅱ）设过点D 的直线l 与曲线C 相交于不同的两点E 、F . 若△OEF 的面积不小于

．．．l 斜率的取值范围.

本小题主要考查直线、圆和双曲线等平面解析几何的基础知识，考查轨迹方程的求法、

不等式的解法以及综合解题能力.（满分13分）

（Ⅰ）解法1：以O 为原点，AB 、OD 所在直线分别为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，则

A （-2，0），

B （2，0），D (0,2),P （1,3），依题意得

｜MA ｜-｜MB ｜=｜PA ｜-｜PB ｜＝221321)32(2222＝）（+--++＜｜AB ｜＝4.

∴曲线C 是以原点为中心，A 、B 为焦点的双曲线. 设实平轴长为a ，虚半轴长为b ，半焦距为c ， 则c ＝2，2a ＝22，∴a 2=2,b 2=c 2-a 2=2.

∴曲线C 的方程为12

22

2=-y x . 解法2：同解法1建立平面直角坐标系，则依题意可得｜MA ｜-｜MB ｜=｜PA ｜-｜PB ｜＜ ｜AB ｜＝4.

∴曲线C 是以原点为中心，A 、B 为焦点的双曲线.

设双曲线的方程为a b

y a x (122

22=-＞0，b ＞0）.

则由 ??

???=+=-41

1322222

b a b

a ）（解得a 2=

b 2=2, ∴曲线C 的方程为.12

22

2=-y x (Ⅱ)解法1：依题意，可设直线l 的方程为y ＝kx +2，代入双曲线C 的方程并整理得（1-K 2）

x 2-4kx-6=0.

∵直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ，

∴ ?????-?+-=?≠0

)1(64)4(012

22

φk k k －? ???-±≠331ππk k

∴k ∈（-3,-1）∪（-1，1）∪（1，3）. 设E （x ，y ），F (x 2,y 2)，则由①式得x 1+x 2=

k x x k k --=-16

,142

12

,于是 ｜EF ｜＝2212221221))(1()()(x x k x y x x -+=++-

＝.132214)(12

2

2

212212k

k k x x x x k --?

+=-+?+

而原点O 到直线l 的距离d ＝2

12k

+，

∴S △DEF =.1322132211221212222

22k

k k k k k EF d --=--?+?+?=? 若△OEF 面积不小于22,即S △OEF 22≥，则有

　解得.22,022********

2

≤≤-≤--?≥--k k k k k ③

综合②、③知，直线l 的斜率的取值范围为[-2，-1]∪(1-,1) ∪(1, 2). 解法2：依题意，可设直线l 的方程为y ＝kx +2，代入双曲线C 的方程并整理， 得（1-K 2）x 2-4kx -6=0.

∵直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ，

∴ ?????-?+-=?≠0

)1(64)4(012

22φk k k －? ???-±≠331ππk k .∴k ∈（-3，-1）∪（-1，1）∪（1，3）. 设E (x 1,y 1),F (x 2,y 2),则由①式得 ｜x 1-x 2｜=.132214)(2

2

2

212

21k

k k

x x x x --=

-?=

-+ ③

当E 、F 在同一去上时（如图1所示），

S △OEF ＝;2

1

212121x x OD x x OD S S ODE ODF -?=-?=

-?? 当E 、F 在不同支上时（如图2所示）.

+=??ODF OEF S S S △ODE =.2

1

)(212121x x OD x x OD -?=+? 综上得S △OEF ＝

,2

1

21x x OD -?于是

由｜OD ｜＝2及③式，得S △OEF =

.13222

2

k

k --

若△OEF 面积不小于2则有即,22,2≥?OEF S

.22,022*******

2

≤≤-≤-?≥--k k k k k 解得 ④

综合②、④知，直线l 的斜率的取值范围为[-2，-1]∪（-1，1）∪（1，2）.

6.（湖南卷20）.（本小题满分13分）

若A 、B 是抛物线y 2=4x 上的不同两点，弦AB （不平行于y 轴）的垂直平分线与 x 轴相交于点P ，则称弦AB 是点P 的一条“相关弦”.已知当x >2时，点P （x ,0） 存在无穷多条“相关弦”.给定x 0>2.

（I ）证明：点P （x 0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标相同； (II) 试问：点P （x 0,0）的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？

若存在，求其最大值（用x 0表示）：若不存在，请说明理由. 解: （I ）设AB 为点P （x 0,0）的任意一条“相关弦”，且点A 、B 的坐标分别是

（x 1,y 1）、（x 2,y 2）（x 1≠x 2）,则y 21=4x 1, y 2

2=4x 2, 两式相减得（y 1+y 2）（y 1-y 2）=4（x 1-x 2）.因为x 1≠x 2,所以y 1+y 2≠0. 设直线AB 的斜率是k ，弦AB 的中点是M （x m , y m ）,则 k=

12121242m y y x x y y y -==-+.从而AB 的垂直平分线l 的方程为 ().2

m m m y

y y x x -=-- 又点P （x 0,0）在直线l 上，所以 0().2

m

m m y y x x -=-

- 而0,m y ≠于是0 2.m x x =-故点P （x 0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标都是x 0-2. (Ⅱ)由(Ⅰ)知，弦AB 所在直线的方程是()m m y y k x x -=-，代入24y x =中，

整理得2222[()2]()0.m m m m k x k y kx x y kx +--+-= （·）

则12x x 、是方程（·）的两个实根，且2

122

().m m y kx x x k

-?= 设点P 的“相关弦”AB 的弦长为l ，则

因为0<2m y <4x m =4(x m -2) =4x 0-8,于是设t=2

m y ,则t ∈(0,4x 0-8).

记l 2=g (t )=-[t-2(x 0-3)]2+4(x 0-1)2.

若x 0>3,则2(x 0-3) ∈(0, 4x 0-8),所以当t=2(x 0-3),即2m y =2(x 0-3)时,

l 有最大值2(x 0-1).

若2

综上所述，

当x 0>3时，点P （x 0,0）的“相关弦”的弦长中存在最大值，且最大值

为2（x 0-1）；当2< x 0≤3时，点P （x 0,0）的“相关弦”的弦长中不存在最大值. 7.（江西卷21）．（本小题满分12分）

设点00(,)P x y 在直线(,01)x m y m m =≠±<<上，过点P 作双曲线221x y -=的两条切线

PA PB 、，切点为A 、B ，定点1

(

,0)M m

. （1）求证：三点A M B 、、共线。

（2）过点A 作直线0x y -=的垂线，垂足为N ，试求AMN ?的重心G 所在曲线方程.

证明：（1）设1122(,),(,)A x y B x y ，由已知得到120y y ≠，且22111x y -=，222

21x y -=， 设切线PA 的方程为：11()y y k x x -=-由1122

()

1y y k x x x y -=-??-=?得

从而2222211114()4(1)()4(1)0k y kx k y kx k ?=-+--+-=,

解

得

11

x k y =

因此PA 的方程为：111y y x x =- 同理PB 的方程为：221y y x x =-

又0(,)P m y 在PA PB 、上，所以1011y y mx =-，2021y y mx =- 即点1122(,),(,)A x y B x y 都在直线01y y mx =-上 又1

(

,0)M m

也在直线01y y mx =-上,所以三点A M B 、、共线 （2）垂线AN 的方程为：11y y x x -=-+，

由110y y x x x y -=-+??-=?得垂足1111(,)22x y x y N ++，

设重心(,)G x y

所以111111

11()321(0)32x y x x m x y y y +?=++???+?=++??

解得1139341934

x y m x y x m y ?

--?=????-+?=??

由22111x y -= 可得11(33)(33)2x y x y m m --+-=即2212

()39

x y m --=为重心G 所在曲线方程

8.（辽宁卷20）．（本小题满分12分）

在直角坐标系xOy 中，点P

到两点(0，

，(0的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ，直线1y kx =+与C 交于A ，B 两点． （Ⅰ）写出C 的方程；

（Ⅱ）若OA u u u r ⊥OB uuu r

，求k 的值；

（Ⅲ）若点A 在第一象限，证明：当k >0时，恒有|OA u u u r |>|OB uuu r

|．

20．本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．满分12分． 解：

（Ⅰ）设P （x ，y ），由椭圆定义可知，点P 的轨迹C

是以(0(0，

为焦点，长半轴为2

的椭圆．它的短半轴1b ==，

故曲线C 的方程为2

2

14

y x +=． ·················· 3分 （Ⅱ）设1122()()A x y B x y ，，，，其坐标满足 消去y 并整理得22(4)230k x kx ++-=， 故121222

23

44

k x x x x k k +=-

=-++，． ················ 5分 若OA OB ⊥u u u r u u u r

，即12120x x y y +=．

而2121212()1y y k x x k x x =+++，

于是22

12122

2233210444

k k x x y y k k k +=---+=+++， 化简得2410k -+=，所以1

2

k =±． ················· 8分

（Ⅲ）22

2222112

2()OA OB x y x y -=+-+u u u u r u u u u r

1226()

4

k x x k -=

+．

因为A 在第一象限，故10x >．由1223

4

x x k =-

+知20x <，从而120x x ->．又0k >， 故22

0OA OB ->u u u u r u u u u r ，

即在题设条件下，恒有OA OB >u u u u r u u u u r

． ················ 12分 9.（全国一21）．（本小题满分12分） （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．

） 双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1l 的

直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB u u u r u u u r u u u r 、

、成等差数列，且BF u u u r 与FA u u u r

同向． （Ⅰ）求双曲线的离心率；

（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程． 解：（Ⅰ）设OA m d =-，AB m =，OB m d =+ 由勾股定理可得：222()()m d m m d -+=+

得：14d m =，tan b AOF a ∠=，4tan tan 23

AB AOB AOF OA ∠=∠==

由倍角公式∴2

2

431b

a b a =??

- ???

，解得12b a =,

则离心率e = （Ⅱ）过F 直线方程为()a

y x c b

=--,与双曲线方程22221x y a b -=联立

将2a b =

，c =

代入，化简有

22152104x x b -+=

将数值代入，有4=解得3b = 故所求的双曲线方程为22

1369

x y -

=。 10.（全国二21）．（本小题满分12分）

设椭圆中心在坐标原点，(20)(01)A B ，，，是它的两个顶点，直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ，

与椭圆相交于E 、F 两点．

（Ⅰ）若6ED DF =u u u r u u u r

，求k 的值； （Ⅱ）求四边形AEBF 面积的最大值．

（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为2

214

x y +=，

直线AB EF ，的方程分别为22x y +=，(0)y kx k =>． ········ 2分 如图，设001122()()()D x kx E x kx F x kx ，，，，，，其中12x x <， 且12x x ，满足方程22(14)4k x +=，

故21x x =-=

．①

由6ED DF =u u u r u u u r 知01206()x x x x -=-

，得021215(6)77x x x x =+==；

由D 在AB 上知0022x kx +=，得02

12x k

=+．

所以

212k =+， 化简得2242560k k -+=，

解得23k =

或3

8

k =． ······················· 6分 （Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点E F ，到AB 的距离分别

为

1h =

=

2h =

=

． ·············· 9分

又AB ==，所以四边形AEBF 的面积为

≤

当21k =，即当1

2

k =

时，上式取等号．所以S

的最大值为 ···· 12分 解法二：由题设，1BO =，2AO =．

设11y kx =，22y kx =，由①得20x >，210y y =->， 故四边形AEBF 的面积为

222x y =+ ···························· 9分

=

当222x y =时，上式取等号．所以S 的最大值为22． ········ 12分

11.（山东卷22) (本小题满分14分)

如图，设抛物线方程为x 2=2py (p ＞0),M 为 直线y =-2p 上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B .

（Ⅰ）求证：A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列； （Ⅱ）已知当M 点的坐标为（2，-2p ）时，410AB =，求此时抛物线的方程；

（Ⅲ）是否存在点M ，使得点C 关于直线AB 的对称点D 在

抛物线2

2(0)x py p =＞上，其中，点C 满足OC OA OB =+u u u r u u u r u u u r （O 为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M 的坐标；若不存在，请说

明理由.

（Ⅰ）证明：由题意设22

12

12120(,),(,),,(,2).22x x A x B x x x M x p p p

-＜

由2

2x py =得22x y p =，则,x

y p

'=

所以12,.MA MB x x k k p p

=

= 因此直线MA 的方程为1

02(),x y p x x p

+=

- 直线MB 的方程为2

02().x y p x x p

+=

- 所以211102(),2x x

p x x p p

+=- ①

222202().2x x

p x x p p

+=- ②

由①、②得

2

12

120,2x x x x x +=+- 因此 2

12

02

x x x +=，即0122.x x x =+

所以A 、M 、B 三点的横坐标成等差数列.

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当x 0=2时， 将其代入①、②并整理得：

所以 x 1、x 2是方程22440x x p --=的两根，

因此212124,4,x x x x p +==-

又22

210122122,2AB

x x x x x p p k x x p p

-

+===- 所以2.AB k p

=

由弦长公式得

又AB = 所以p =1或p =2，

因此所求抛物线方程为22x y =或24.x y =

（Ⅲ）解：设D (x 3,y 3)，由题意得C (x 1+ x 2, y 1+ y 2),

则CD 的中点坐标为123123

(,),22x x x y y y Q ++++

设直线AB 的方程为0

11(),x y y x x p

-=

- 由点Q 在直线AB 上，并注意到点1212

(,)22

x x y y ++也在直线AB 上， 代入得0

33.x y x p

=

若D （x 3,y 3）在抛物线上，则2

3

30322,x py x x == 因此 x 3=0或x 3=2x 0.

即D (0，0)或2

02(2,).x D x p

（1）当x 0=0时，则12020x x x +==，此时，点M (0,-2p )适合题意.

（2）当00x ≠，对于D (0，0)，此时22

12

22

22

12

12000

2(2,),,224CD

x x x x x x p

C x k p

x px +++==

又0

,AB x k p

=

AB ⊥CD ， 所以2222

012122

01,44AB CD

x x x x x k k p px p ++===-g g 即22

212

4,x x p +=-矛盾.

对于2002(2,),x D x p 因为2212

0(2,),2x x C x p

+此时直线CD 平行于y 轴， 又0

0,AB x k p

=

≠ 所以 直线AB 与直线CD 不垂直，与题设矛盾， 所以00x ≠时，不存在符合题意的M 点.

综上所述，仅存在一点M (0，-2p )适合题意.

12.（陕西卷20）．（本小题满分12分）

已知抛物线C ：22y x =，直线2y kx =+交C 于A B ，两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N ．

（Ⅰ）证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；

（Ⅱ）是否存在实数k 使0NA NB =u u u r u u u r

g ，若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．

20．解法一：（Ⅰ）如图，设211(2)A x x ，，222(2)B x x ，，把2

y kx =+代入

22y x =得2220x kx --=，

由韦达定理得122

k

x x +=

，121x x =-， ∴1224N M x x k

x x +===，∴N 点的坐标为248k k ?? ???

，．

设抛物线在点N 处的切线l 的方程为284k k y m x ?

?-=- ??

?， 将2

2y x =代入上式得2

2

2048

mk k x mx -+-=， Q 直线l 与抛物线C 相切，

22

22282()04

8mk k m m mk k m k ??

∴?=--=-+=-= ???，m k ∴=．

即l AB ∥．

（Ⅱ）假设存在实数k ，使0NA NB =u u u r u u u r

g ，则NA NB ⊥，又M Q 是AB 的中点，

1

||||2

MN AB ∴=

． 由（Ⅰ）知121212111

()(22)[()4]222

M y y y kx kx k x x =+=+++=++

2

2142224

k k ??=+=+ ???．