高考数学试题分类大全理科圆锥曲线

2008年高考数学试题分类汇编

圆锥曲线

一. 选择题:

1.(福建卷11)又曲线22

221x y a b

==(a >0,b >0)的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点,

且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B

A.(1,3)

B.(]1,3

C.(3,+∞)

D.[)3,+∞

2.(海南卷11)已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上,那么点P 到点Q (2,-1)的距离与点P 到

抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P 的坐标为( A )

A. (4

1

,-1)

B. (

4

1

,1) C. (1,2) D. (1,-2)

3.(湖北卷10)如图所示,“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,最终卫星在P 点

1

2c 第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行,若用

和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长,给出下列式子:

①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a <22

c

a . 其中正确式子的序号是B

A. ①③

B. ②③

C. ①④

D. ②④

4.(湖南卷8)若双曲线22221x y a b -=(a >0,b >0)上横坐标为32

a

的点到右焦点的距离大于

它到左准线的距离,则双曲线离心率的取值范围是( B )

A.(1,2)

B.(2,+∞)

C.(1,5)

D. (5,+∞)

5.(江西卷7)已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点,满足120MF MF ?=u u u u r u u u u r

的点M 总在椭圆内部,则

椭圆离心率的取值范围是C

A .(0,1)

B .1

(0,]2

C

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.(0,

2 D

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.,1)2 6.(辽宁卷10)已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点,则点P 到点(0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( A ) A

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B .3 C

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D .

92

7.(全国二9)设1a >,则双曲线22

22

1(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是( B ) A

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.2) B

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. C .(25), D

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.(2

8.(山东卷(10)设椭圆C 1的离心率为

13

5

,焦点在X 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C 2的标准方程为A

(A )13422

22=-y x (B)15132222=-y x

(C)14

322

22=-y x (D)112132222=-y x

9.(陕西卷8)双曲线22

221x y a b

-=(0a >,0b >)的左、右焦点分别是12F F ,,过1F 作倾斜

角为30o 的直线交双曲线右支于M 点,若2MF 垂直于x 轴,则双曲线的离心率为( B ) A

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B

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C

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D

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3

10.(四川卷12)已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ,准线与x 轴的交点为K ,点A 在C 上

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且AK AF =,则AFK ?的面积为( B )

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A

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B

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C

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D -

(A)4 (B)8 (C)16 (D)32

11.(天津卷(7)设椭圆22

221x y m n

+=(0m >,0n >)的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同,

离心率为

1

2

,则此椭圆的方程为B (A )2211216x y +

= (B )2211612x y += (C )2214864x y += (D )22

16448

x y += 12.(浙江卷7)若双曲线122

22=-b

y a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3:2,则双曲线的

离心率是D

(A )3 (B )5 (C )3 (D )5

13.(浙江卷10)如图,AB 是平面a 的斜线段,A 为斜足,若点P 在平面a 内运动,使得△ABP 的面积为定值,则动点P 的轨迹是B

(A )圆 (B )椭圆 (C )一条直线 (D )两条平行直线

14.(重庆卷(8)已知双曲线22

221x y a b

-=(a >0,b >0)的一条渐近线为y =kx (k >0),离心率

e =5k ,则双曲线方程为C

(A )22x a -2

24y a =1

(B)22

2215x y a a

-=

(C)22

2214x y b b

-=

(D)22

2215x y b b

-=

二. 填空题:

1.(海南卷14)过双曲线22

1916

x y -

=的右顶点为A ,右焦点为F 。过点F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ,则△AFB 的面积为_______

3215

2.(湖南卷12)已知椭圆22

221x y a b

+=(a >b >0)的右焦点为F,右准线为l ,离心率e =55过顶点A (0,b )作AM ⊥l ,垂足为M ,则直线FM 的斜率等于 .

1

2

3.(江苏卷12)在平面直角坐标系中,椭圆22

22x y a b

+=1( a b >>0)的焦距为2,以O 为圆心,

a 为半径的圆,过点2,0a c ?? ???作圆的两切线互相垂直,则离心率e =

.2

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4.(江西卷15)过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 作倾角为30o 的直线,与抛物线分别交于A 、B 两点(A 在y 轴左侧)

,则AF FB

= .1

3

5.(全国一14)已知抛物线21y ax =-的焦点是坐标原点,则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 .2

6.(全国一15)在ABC △中,AB BC =,7

cos 18

B =-

.若以A B ,为焦点的椭圆经过点C ,则该椭圆的离心率e = .3

8

7.(全国二15)已知F 是抛物线24C y x =:的焦点,过F 且斜率为1的直线交C 于A B ,两点.设FA FB >,则FA 与FB 的比值等于

.3+

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8.(浙江卷12)已知21F F 、为椭圆

19

252

2=+y x 的两个焦点,过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点若1222=+B F A F ,则AB =______________。8

三. 解答题:

1.(安徽卷22).(本小题满分13分)

设椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>

过点M

,且着焦点为1(F

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(Ⅰ)求椭圆C 的方程;

(Ⅱ)当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 相交与两不同点,A B 时,在线段AB 上取点Q ,满足

AP QB AQ PB =u u u r u u u r u u u r u u u r

g g ,证明:点Q 总在某定直线上

解 (1)由题意:

2222222211c a b c a b ?=?

?+=??

?=-? ,解得22

4,2a b ==,所求椭圆方程为 22142x y +

= (2)方法一

设点Q 、A 、B 的坐标分别为1122(,),(,),(,)x y x y x y 。

由题设知,,,AP PB AQ QB u u u r u u u r u u u r u u u r

均不为零,记AP AQ PB QB

λ==u u u r u u u r u u u r u u u r ,则0λ>且1λ≠

又A ,P ,B ,Q 四点共线,从而,AP PB AQ QB λλ=-=u u u r u u u r u u u r u u u r

于是 1241x x λλ-=

-, 1211y y λλ-=- 121x x x λλ+=+, 12

1y y y λλ

+=+

从而

22212241x x x λλ-=-,L L (1) 222

12

2

1y y y λλ

-=-,L L (2) 又点A 、B 在椭圆C 上,即

(1)+(2)×2并结合(3),(4)得424s y += 即点(,)Q x y 总在定直线220x y +-=上

方法二

设点1122(,),(,),(,)Q x y A x y B x y ,由题设,,,,PA PB AQ QB u u u r u u u r u u u r u u u r

均不为零。

且 PA PB AQ QB =u u u r u u u r u u u r u u u r

又 ,,,P A Q B 四点共线,可设,(0,1)PA AQ PB BQ λλλ=-=≠±u u u r u u u r u u u r u u u r

,于是

1141,11x y

x y λλλλ--=

=

-- (1) 2241,11x y

x y λλλλ

++==

++ (2) 由于1122(,),(,)A x y B x y 在椭圆C 上,将(1),(2)分别代入C 的方程2224,x y += 整理得

222(24)4(22)140x y x y λλ+--+-+= (3) 222(24)4(22)140x y x y λλ+-++-+= (4)

(4)-(3) 得 8(22)0x y λ+-= 即点(,)Q x y 总在定直线220x y +-=上

2.(北京卷19).(本小题共14分)

已知菱形ABCD 的顶点A C ,在椭圆2234x y +=上,对角线BD 所在直线的斜率为1.

(Ⅰ)当直线BD 过点(01),时,求直线AC 的方程; (Ⅱ)当60ABC ∠=o 时,求菱形ABCD 面积的最大值. 解:(Ⅰ)由题意得直线BD 的方程为1y x =+. 因为四边形ABCD 为菱形,所以AC BD ⊥. 于是可设直线AC 的方程为y x n =-+.

由2234x y y x n ?+=?=-+?,得2246340x nx n -+-=. 因为A C ,在椭圆上, 所以212640n ?=-+>

,解得33

n -

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<<. 设A C ,两点坐标分别为1122()()x y x y ,,

,, 则1232

n

x x +=,212344n x x -=,11y x n =-+,22y x n =-+.

所以122

n

y y +=

. 所以AC 的中点坐标为344n n ??

???

,.

由四边形ABCD 为菱形可知,点344n n ??

???

,在直线1y x =+上,

所以

3144

n n =+,解得2n =-. 所以直线AC 的方程为2y x =--,即20x y ++=. (Ⅱ)因为四边形ABCD 为菱形,且60ABC ∠=o , 所以AB BC CA ==. 所以菱形ABCD

的面积2

S =

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. 由(Ⅰ)可得22

2

2

1212316

()()2

n AC x x y y -+=-+-=,

所以2316)433S n n ?=

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-+-<< ?

?.

所以当0n =时,菱形ABCD 的面积取得最大值43. 3.(福建卷21)(本小题满分12分)

如图、椭圆22

221(0)x y a b a b

+=f f 的一个焦点

是F (1,

0),O 为坐标原点.

(Ⅰ)已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦

点构成正三角形,求椭圆的方程;

(Ⅱ)设过点F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点.

若直线l 绕点F 任意转动,值有2

2

2

OA OB AB +p ,

求a 的取

值范围.

本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、不等式的解法等基本知识,考查分类与整合思想,考查运算能力和综合解题能力.满分12分. 解法一:(Ⅰ)设M ,N 为短轴的两个三等分点,

因为△MNF 为正三角形, 所以3

2

OF MN =

, 即1=

32, 3.3

b

b g 解得= 2

2

14,a b =+=因此,椭圆方程为22

1.43

x y +

= (Ⅱ)设1122(,),(,).A x y B x y

(ⅰ)当直线 AB 与x 轴重合时,

(ⅱ)当直线AB 不与x 轴重合时,

设直线AB 的方程为:22

221,1,x y x my a b

=++=代入

整理得22222222()20,a b m y b my b a b +++-=

所以2222

1212222222

2,b m b a b y y y y a b m a b m -+==++

因为恒有222

OA OB AB +<,所以∠AOB 恒为钝角.

即11221212(,)(,)0OA OB x y x y x x y y ==+

g g 恒成立. 又a 2+b 2m 2>0,所以-m 2a 2b 2+b 2-a 2b 2+a 2<0对m ∈R 恒成立, 即a 2b 2m 2> a 2 -a 2b 2+b 2对m ∈R 恒成立.

当m ∈R 时,a 2b 2m 2最小值为0,所以a 2- a 2b 2+b 2<0. a 2

因为a >0,b >0,所以a 0,

解得a >

12+或a <12-(舍去),即a >12

+,

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综合(i )(ii),a ,+∞). 解法二:

(Ⅰ)同解法一, (Ⅱ)解:(i )当直线l 垂直于x 轴时,

x =1代入2222222

1(1)1,A y b a y a b a -+===1.

因为恒有|OA |2

+|OB |2

<|AB |2

,2(1+y A 2

)<4 y A 2,

y A 2

>1,即21

a a

->1,

解得a >

12+或a <12-(舍去),即a >12

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+. (ii )当直线l 不垂直于x 轴时,设A (x 1,y 1), B (x 2,y 2).

设直线AB 的方程为y =k (x -1)代入22

221,x y a b

+=

得(b 2+a 2k 2)x 2-2a 2k 2x + a 2 k 2- a 2 b 2=0,

故x 1+x 2=222222

22222222

2,.a k a k a b x x b a k b a k -=++

因为恒有|OA |2+|OB |2<|AB |2,

所以x 21+y 21+ x 22+ y 22<( x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2, 得x 1x 2+ y 1y 2<0恒成立.

x 1x 2+ y 1y 2= x 1x 2+k 2(x 1-1) (x 2-1)=(1+k 2) x 1x 2-k 2(x 1+x 2)+ k 2

=(1+k 2

)222222222222222

222222222

2()a k a b a k a a b b k a b k k b a k b a k b a k --+--+=+++.

由题意得(a 2- a 2 b 2+b 2)k 2- a 2 b 2<0对k ∈R 恒成立.

①当a 2- a 2 b 2+b 2>0时,不合题意;

②当a 2- a 2 b 2+b 2=0时,a =

12

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+; ③当a 2- a 2 b 2+b 2<0时,a 2- a 2(a 2-1)+ (a 2-1)<0,a 4- 3a 2 +1>0,

解得a 2>

a 2>,a >12+,因此a ≥12

+.

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综合(i )(ii ),a 的取值范围为(

12

+,+∞).

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A y

x O B

G

F

F 1

图4

4.(广东卷18).(本小题满分14分)

设0b >,椭圆方程为22

2212x y b b

+=,抛物线方程为28()x y b =-.如图4所示,过点

(02)F b +,作x 轴的平行线,与抛物线在第一象限的交点为G ,已知抛物线在点G 的切线经过椭圆的右焦点1F .

(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程;

(2)设A B ,分别是椭圆长轴的左、右端点,试探究在抛物线上是否存在点P ,使得ABP △为直角三角形?若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由(不必具体求出这些点的坐标).

【解析】(1)由28()x y b =-得21

8

y x b =+,

当2y b =+得4x =±,∴G 点的坐标为(4,2)b +,1

'4y x =,2y x b =+-,

4'|1x y ==,过点G 的切线方程为(2)4y b x -+=-即

令0y =得2x b =-,1F ∴点的坐标为(2,0)b -,由椭圆方程得1F 点

的坐标为(,0)b ,

2b b ∴-=即1b =,即椭圆和抛物线的方程分别为2

212

x y +=和28(1)x y =-;

(2)Q 过A 作x 轴的垂线与抛物线只有一个交点P ,∴以PAB ∠为直角的Rt ABP ?只有一个,

同理∴ 以PBA ∠为直角的Rt ABP ?只有一个。

若以APB ∠为直角,设P 点坐标为21

(,1)8

x x +,A 、B 两点的坐标分别为(2,0)-和

(2,0),

222421152(1)108644

PA PB x x x x =-++=+-=u u u r u u u r g 。

关于2x 的二次方程有一大于零的解,x ∴有两解, 即以APB ∠为直角的Rt ABP ?有两个,

因此抛物线上存在四个点使得ABP ?为直角三角形。 5.(湖北卷19).(本小题满分13分)

如图,在以点O 为圆心,||4AB =为直径的半圆ADB

中,

OD AB ⊥,P 是半圆弧上一点,30POB ∠=?,曲线C 是

满足||||||MA MB -为定值的动点M 的轨迹,且曲线

C 过

点P .

(Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系,求曲线C 的方程; (Ⅱ)设过点D 的直线l 与曲线C 相交于不同的两点E 、F . 若△OEF 的面积不小于

...l 斜率的取值范围.

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本小题主要考查直线、圆和双曲线等平面解析几何的基础知识,考查轨迹方程的求法、

不等式的解法以及综合解题能力.(满分13分)

(Ⅰ)解法1:以O 为原点,AB 、OD 所在直线分别为x 轴、y 轴,建立平面直角坐标系,则

A (-2,0),

B (2,0),D (0,2),P (1,3),依题意得

|MA |-|MB |=|PA |-|PB |=221321)32(2222=)(+--++<|AB |=4.

∴曲线C 是以原点为中心,A 、B 为焦点的双曲线. 设实平轴长为a ,虚半轴长为b ,半焦距为c , 则c =2,2a =22,∴a 2=2,b 2=c 2-a 2=2.

∴曲线C 的方程为12

22

2=-y x . 解法2:同解法1建立平面直角坐标系,则依题意可得|MA |-|MB |=|PA |-|PB |< |AB |=4.

∴曲线C 是以原点为中心,A 、B 为焦点的双曲线.

设双曲线的方程为a b

y a x (122

22=->0,b >0).

则由 ??

???=+=-41

1322222

b a b

a )(解得a 2=

b 2=2, ∴曲线C 的方程为.12

22

2=-y x (Ⅱ)解法1:依题意,可设直线l 的方程为y =kx +2,代入双曲线C 的方程并整理得(1-K 2)

x 2-4kx-6=0.

∵直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ,

∴ ?????-?+-=?≠0

)1(64)4(012

22

φk k k -? ???-±≠331ππk k

∴k ∈(-3,-1)∪(-1,1)∪(1,3). 设E (x ,y ),F (x 2,y 2),则由①式得x 1+x 2=

k x x k k --=-16

,142

12

,于是 |EF |=2212221221))(1()()(x x k x y x x -+=++-

=.132214)(12

2

2

212212k

k k x x x x k --?

+=-+?+

而原点O 到直线l 的距离d =2

12k

+,

∴S △DEF =.1322132211221212222

22k

k k k k k EF d --=--?+?+?=? 若△OEF 面积不小于22,即S △OEF 22≥,则有

 解得.22,022********

2

≤≤-≤--?≥--k k k k k ③

综合②、③知,直线l 的斜率的取值范围为[-2,-1]∪(1-,1) ∪(1, 2). 解法2:依题意,可设直线l 的方程为y =kx +2,代入双曲线C 的方程并整理, 得(1-K 2)x 2-4kx -6=0.

∵直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ,

∴ ?????-?+-=?≠0

)1(64)4(012

22φk k k -? ???-±≠331ππk k .∴k ∈(-3,-1)∪(-1,1)∪(1,3). 设E (x 1,y 1),F (x 2,y 2),则由①式得 |x 1-x 2|=.132214)(2

2

2

212

21k

k k

x x x x --=

-?=

-+ ③

当E 、F 在同一去上时(如图1所示),

S △OEF =;2

1

212121x x OD x x OD S S ODE ODF -?=-?=

-?? 当E 、F 在不同支上时(如图2所示).

+=??ODF OEF S S S △ODE =.2

1

)(212121x x OD x x OD -?=+? 综上得S △OEF =

,2

1

21x x OD -?于是

由|OD |=2及③式,得S △OEF =

.13222

2

k

k --

若△OEF 面积不小于2则有即,22,2≥?OEF S

.22,022*******

2

≤≤-≤-?≥--k k k k k 解得 ④

综合②、④知,直线l 的斜率的取值范围为[-2,-1]∪(-1,1)∪(1,2).

6.(湖南卷20).(本小题满分13分)

若A 、B 是抛物线y 2=4x 上的不同两点,弦AB (不平行于y 轴)的垂直平分线与 x 轴相交于点P ,则称弦AB 是点P 的一条“相关弦”.已知当x >2时,点P (x ,0) 存在无穷多条“相关弦”.给定x 0>2.

(I )证明:点P (x 0,0)的所有“相关弦”的中点的横坐标相同; (II) 试问:点P (x 0,0)的“相关弦”的弦长中是否存在最大值?

若存在,求其最大值(用x 0表示):若不存在,请说明理由. 解: (I )设AB 为点P (x 0,0)的任意一条“相关弦”,且点A 、B 的坐标分别是

(x 1,y 1)、(x 2,y 2)(x 1≠x 2),则y 21=4x 1, y 2

2=4x 2, 两式相减得(y 1+y 2)(y 1-y 2)=4(x 1-x 2).因为x 1≠x 2,所以y 1+y 2≠0. 设直线AB 的斜率是k ,弦AB 的中点是M (x m , y m ),则 k=

12121242m y y x x y y y -==-+.从而AB 的垂直平分线l 的方程为 ().2

m m m y

y y x x -=-- 又点P (x 0,0)在直线l 上,所以 0().2

m

m m y y x x -=-

- 而0,m y ≠于是0 2.m x x =-故点P (x 0,0)的所有“相关弦”的中点的横坐标都是x 0-2. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,弦AB 所在直线的方程是()m m y y k x x -=-,代入24y x =中,

整理得2222[()2]()0.m m m m k x k y kx x y kx +--+-= (·)

则12x x 、是方程(·)的两个实根,且2

122

().m m y kx x x k

-?= 设点P 的“相关弦”AB 的弦长为l ,则

因为0<2m y <4x m =4(x m -2) =4x 0-8,于是设t=2

m y ,则t ∈(0,4x 0-8).

记l 2=g (t )=-[t-2(x 0-3)]2+4(x 0-1)2.

若x 0>3,则2(x 0-3) ∈(0, 4x 0-8),所以当t=2(x 0-3),即2m y =2(x 0-3)时,

l 有最大值2(x 0-1).

若2

综上所述,

当x 0>3时,点P (x 0,0)的“相关弦”的弦长中存在最大值,且最大值

为2(x 0-1);当2< x 0≤3时,点P (x 0,0)的“相关弦”的弦长中不存在最大值. 7.(江西卷21).(本小题满分12分)

设点00(,)P x y 在直线(,01)x m y m m =≠±<<上,过点P 作双曲线221x y -=的两条切线

PA PB 、,切点为A 、B ,定点1

(

,0)M m

. (1)求证:三点A M B 、、共线。

(2)过点A 作直线0x y -=的垂线,垂足为N ,试求AMN ?的重心G 所在曲线方程.

证明:(1)设1122(,),(,)A x y B x y ,由已知得到120y y ≠,且22111x y -=,222

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21x y -=, 设切线PA 的方程为:11()y y k x x -=-由1122

()

1y y k x x x y -=-??-=?得

从而2222211114()4(1)()4(1)0k y kx k y kx k ?=-+--+-=,

11

x k y =

因此PA 的方程为:111y y x x =- 同理PB 的方程为:221y y x x =-

又0(,)P m y 在PA PB 、上,所以1011y y mx =-,2021y y mx =- 即点1122(,),(,)A x y B x y 都在直线01y y mx =-上 又1

(

,0)M m

也在直线01y y mx =-上,所以三点A M B 、、共线 (2)垂线AN 的方程为:11y y x x -=-+,

由110y y x x x y -=-+??-=?得垂足1111(,)22x y x y N ++,

设重心(,)G x y

所以111111

11()321(0)32x y x x m x y y y +?=++???+?=++??

解得1139341934

x y m x y x m y ?

--?=????-+?=??

由22111x y -= 可得11(33)(33)2x y x y m m --+-=即2212

()39

x y m --=为重心G 所在曲线方程

8.(辽宁卷20).(本小题满分12分)

在直角坐标系xOy 中,点P

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到两点(0,

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,(0的距离之和等于4,设点P 的轨迹为C ,直线1y kx =+与C 交于A ,B 两点. (Ⅰ)写出C 的方程;

(Ⅱ)若OA u u u r ⊥OB uuu r

,求k 的值;

(Ⅲ)若点A 在第一象限,证明:当k >0时,恒有|OA u u u r |>|OB uuu r

|.

20.本小题主要考查平面向量,椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识,考查综合运用解析几何知识解决问题的能力.满分12分. 解:

(Ⅰ)设P (x ,y ),由椭圆定义可知,点P 的轨迹C

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是以(0(0,

为焦点,长半轴为2

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的椭圆.它的短半轴1b ==,

故曲线C 的方程为2

2

14

y x +=. ·················· 3分 (Ⅱ)设1122()()A x y B x y ,,,,其坐标满足 消去y 并整理得22(4)230k x kx ++-=, 故121222

23

44

k x x x x k k +=-

=-++,. ················ 5分 若OA OB ⊥u u u r u u u r

,即12120x x y y +=.

而2121212()1y y k x x k x x =+++,

于是22

12122

2233210444

k k x x y y k k k +=---+=+++, 化简得2410k -+=,所以1

2

k =±. ················· 8分

(Ⅲ)22

2222112

2()OA OB x y x y -=+-+u u u u r u u u u r

1226()

4

k x x k -=

+.

因为A 在第一象限,故10x >.由1223

4

x x k =-

+知20x <,从而120x x ->.又0k >, 故22

0OA OB ->u u u u r u u u u r ,

即在题设条件下,恒有OA OB >u u u u r u u u u r

. ················ 12分 9.(全国一21).(本小题满分12分) (注意:在试题卷上作答无效.........

) 双曲线的中心为原点O ,焦点在x 轴上,两条渐近线分别为12l l ,,经过右焦点F 垂直于1l 的

直线分别交12l l ,于A B ,两点.已知OA AB OB u u u r u u u r u u u r 、

、成等差数列,且BF u u u r 与FA u u u r

同向. (Ⅰ)求双曲线的离心率;

(Ⅱ)设AB 被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程. 解:(Ⅰ)设OA m d =-,AB m =,OB m d =+ 由勾股定理可得:222()()m d m m d -+=+

得:14d m =,tan b AOF a ∠=,4tan tan 23

AB AOB AOF OA ∠=∠==

由倍角公式∴2

2

431b

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a b a =??

- ???

,解得12b a =,

则离心率e = (Ⅱ)过F 直线方程为()a

y x c b

=--,与双曲线方程22221x y a b -=联立

将2a b =

,c =

代入,化简有

22152104x x b -+=

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将数值代入,有4=解得3b = 故所求的双曲线方程为22

1369

x y -

=。 10.(全国二21).(本小题满分12分)

设椭圆中心在坐标原点,(20)(01)A B ,,,是它的两个顶点,直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ,

与椭圆相交于E 、F 两点.

(Ⅰ)若6ED DF =u u u r u u u r

,求k 的值; (Ⅱ)求四边形AEBF 面积的最大值.

(Ⅰ)解:依题设得椭圆的方程为2

214

x y +=,

直线AB EF ,的方程分别为22x y +=,(0)y kx k =>. ········ 2分 如图,设001122()()()D x kx E x kx F x kx ,,,,,,其中12x x <, 且12x x ,满足方程22(14)4k x +=,

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故21x x =-=

.①

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由6ED DF =u u u r u u u r 知01206()x x x x -=-

,得021215(6)77x x x x =+==;

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由D 在AB 上知0022x kx +=,得02

12x k

=+.

所以

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212k =+, 化简得2242560k k -+=,

解得23k =

或3

8

k =. ······················· 6分 (Ⅱ)解法一:根据点到直线的距离公式和①式知,点E F ,到AB 的距离分别

1h =

=

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2h =

=

. ·············· 9分

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又AB ==,所以四边形AEBF 的面积为

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当21k =,即当1

2

k =

时,上式取等号.所以S

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的最大值为 ···· 12分 解法二:由题设,1BO =,2AO =.

设11y kx =,22y kx =,由①得20x >,210y y =->, 故四边形AEBF 的面积为

222x y =+ ···························· 9分

=

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当222x y =时,上式取等号.所以S 的最大值为22. ········ 12分

11.(山东卷22) (本小题满分14分)

如图,设抛物线方程为x 2=2py (p >0),M 为 直线y =-2p 上任意一点,过M 引抛物线的切线,切点分别为A ,B .

(Ⅰ)求证:A ,M ,B 三点的横坐标成等差数列; (Ⅱ)已知当M 点的坐标为(2,-2p )时,410AB =,求此时抛物线的方程;

(Ⅲ)是否存在点M ,使得点C 关于直线AB 的对称点D 在

抛物线2

2(0)x py p =>上,其中,点C 满足OC OA OB =+u u u r u u u r u u u r (O 为坐标原点).若存在,求出所有适合题意的点M 的坐标;若不存在,请说

明理由.

(Ⅰ)证明:由题意设22

12

12120(,),(,),,(,2).22x x A x B x x x M x p p p

-<

由2

2x py =得22x y p =,则,x

y p

'=

所以12,.MA MB x x k k p p

=

= 因此直线MA 的方程为1

02(),x y p x x p

+=

- 直线MB 的方程为2

02().x y p x x p

+=

- 所以211102(),2x x

p x x p p

+=- ①

222202().2x x

p x x p p

+=- ②

由①、②得

2

12

120,2x x x x x +=+- 因此 2

12

02

x x x +=,即0122.x x x =+

所以A 、M 、B 三点的横坐标成等差数列.

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,当x 0=2时, 将其代入①、②并整理得:

所以 x 1、x 2是方程22440x x p --=的两根,

因此212124,4,x x x x p +==-

又22

210122122,2AB

x x x x x p p k x x p p

-

+===- 所以2.AB k p

=

由弦长公式得

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又AB = 所以p =1或p =2,

因此所求抛物线方程为22x y =或24.x y =

(Ⅲ)解:设D (x 3,y 3),由题意得C (x 1+ x 2, y 1+ y 2),

则CD 的中点坐标为123123

(,),22x x x y y y Q ++++

设直线AB 的方程为0

11(),x y y x x p

-=

- 由点Q 在直线AB 上,并注意到点1212

(,)22

x x y y ++也在直线AB 上, 代入得0

33.x y x p

=

若D (x 3,y 3)在抛物线上,则2

3

30322,x py x x == 因此 x 3=0或x 3=2x 0.

即D (0,0)或2

02(2,).x D x p

(1)当x 0=0时,则12020x x x +==,此时,点M (0,-2p )适合题意.

(2)当00x ≠,对于D (0,0),此时22

12

22

22

12

12000

2(2,),,224CD

x x x x x x p

C x k p

x px +++==

又0

,AB x k p

=

AB ⊥CD , 所以2222

012122

01,44AB CD

x x x x x k k p px p ++===-g g 即22

212

4,x x p +=-矛盾.

对于2002(2,),x D x p 因为2212

0(2,),2x x C x p

+此时直线CD 平行于y 轴, 又0

0,AB x k p

=

≠ 所以 直线AB 与直线CD 不垂直,与题设矛盾, 所以00x ≠时,不存在符合题意的M 点.

综上所述,仅存在一点M (0,-2p )适合题意.

12.(陕西卷20).(本小题满分12分)

已知抛物线C :22y x =,直线2y kx =+交C 于A B ,两点,M 是线段AB 的中点,过M 作x 轴的垂线交C 于点N .

(Ⅰ)证明:抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行;

(Ⅱ)是否存在实数k 使0NA NB =u u u r u u u r

g ,若存在,求k 的值;若不存在,说明理由.

20.解法一:(Ⅰ)如图,设211(2)A x x ,,222(2)B x x ,,把2

y kx =+代入

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22y x =得2220x kx --=,

由韦达定理得122

k

x x +=

,121x x =-, ∴1224N M x x k

x x +===,∴N 点的坐标为248k k ?? ???

,.

设抛物线在点N 处的切线l 的方程为284k k y m x ?

?-=- ??

?, 将2

2y x =代入上式得2

2

2048

mk k x mx -+-=, Q 直线l 与抛物线C 相切,

22

22282()04

8mk k m m mk k m k ??

∴?=--=-+=-= ???,m k ∴=.

即l AB ∥.

(Ⅱ)假设存在实数k ,使0NA NB =u u u r u u u r

g ,则NA NB ⊥,又M Q 是AB 的中点,

1

||||2

MN AB ∴=

. 由(Ⅰ)知121212111

()(22)[()4]222

M y y y kx kx k x x =+=+++=++

2

2142224

k k ??=+=+ ???.

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