哈工大 数字信号处理实验报告

实验一： 用FFT 作谱分析

实验目的：

(1) 进一步加深DFT 算法原理和基本性质的理解(因为FFT 只是DFT 的一种快速算法， 所以FFT 的运算结果必然满足DFT 的基本性质)。

(2) 熟悉FFT 算法原理和FFT 子程序的应用。

(3) 学习用FFT 对连续信号和时域离散信号进行谱分析的方法，了解可能出现的分析误差及其原因，以便在实际中正确应用FFT 。

实验原理： DFT 的运算量：

一次完整的DFT 运算总共需要2N 次复数乘法和(1)N N -复数加法运算，因而

直接计算DFT 时，乘法次数和加法次数都和2N 成正比，当N 很大时，运算量很客观的。例如，当N=8时，DFT 运算需64位复数乘法，当N=1024时，DFT 运算需1048576次复数乘法。而N 的取值可能会很大，因而寻找运算量的途径是很必要的。

FFT 算法原理：

大多数减少离散傅里叶变换运算次数的方法都是基于nk N W 的对称性和周期

性。

（1）对称性

()

*()k N n kn kn

N

N N

W W W --==

（2）周期性

kn N

kn n N k

n k N

N

N N

N

W W W W ++===

由此可得

()()/2

(/2)1

n N k N n k nk N N N N N k N k N N W W W W W W ---+⎧==⎪=-⎨⎪=-⎩

这样：

1.利用第三个方程的这些特性，DFT 运算中有些项可以合并；

2.利用nk N W 的对称性和周期性，可以将长序列的DFT 分解为短序列的DFT 。

前面已经说过，DFT 的运算量是与2N 成正比的，所以N 越小对计算越有利，

因而小点数序列的DFT 比大点数序列的DFT 运算量要小。

快速傅里叶变换算法正是基于这样的基本思路而发展起来的，她的算法基本

上可分成两大类，即按时间抽取法和按频率抽取法。

我们最常用的是2M N =的情况，该情况下的变换成为基2快速傅里叶变换。

完成一次完整的FFT 计算总共需要

2log 2

N N

次复数乘法运算和2log N N 次复

数加法运算。很明显，N 越大，FFT 的优点就越突出。

实验步骤 (1) 复习DFT 的定义、 性质和用DFT 作谱分析的有关内容。

(2) 复习FFT 算法原理与编程思想， 并对照DIT-FFT 运算流图和程序框图， 读懂本实验提供的FFT 子程序。

(3) 编制信号产生子程序， 产生以下典型信号供谱分析用：

1423()()1,03()8470403()3

47

x n R n n n x n n

n n n x n n n =⎧+≤≤⎪

=-≤≤⎨⎪⎩-≤≤⎧⎪

=-≤≤⎨⎪⎩

456()cos 4

()sin

8

()cos 8cos16cos 20x n n x n n

x t t t t

π

π

πππ===++

(4) 编写主程序。

(5) 按实验内容要求， 上机实验， 并写出实验报告。

实验程序与结果:

（1）对x 1(n)进行FFT 变换（N=8和N=16）

clear all;

N=4;%读入长度

x=[1,1,1,1];%调用信号产生子程序产生实验信号

n=0:N-1;subplot(3,1,1);stem(n,abs(x));%调用绘图子程序(函数)绘制时间序列波形图

title('原时间序列');

N=8;%读入长度

y1=fft(x,N);%调用FFT 子程序（函数）计算信号的DFT n=0:N-1;subplot(3,1,2);stem(n,fftshift(abs(y1)));hold

on;plot(n,fftshift(abs(y1)),'r--');%调用绘图子程序(函数)绘制|X(k)|曲线 title('N=8');

N=16;%读入长度

y2=fft(x,N);%调用FFT 子程序（函数）计算信号的DFT n=0:N-1;subplot(3,1,3);stem(n,fftshift(abs(y2)));hold

on;plot(n,fftshift(abs(y2)),'r--');%调用绘图子程序(函数)绘制|X(k)|曲线 title('N=16'); 结果图形

实验误差分析：

理论FFT频谱为一个抽样信号，由图形看出，随着采样率的提高，得到的FFT 频谱分辨率就越高，当N趋于无限时频谱包络接近理论的抽样函数。

（2）对x2(n)进行FFT变换（N=8和N=16）

clear all;

x=[1,2,3,4,4,3,2,1];%调用信号产生子程序产生实验信号

N=8;%读入长度

n=0:N-1;subplot(3,1,1);stem(n,abs(x));%调用绘图子程序(函数)绘制时间序列波形图

title('原时间序列');

N=8;%读入长度

y1=fft(x,N);%调用FFT子程序（函数）计算信号的DFT

n=0:N-1;subplot(3,1,2);stem(n,fftshift(abs(y1)));hold

on;plot(n,fftshift(abs(y1)),'r--');%调用绘图子程序(函数)绘制|X(k)|曲线

title('N=8');

N=16;%读入长度

y2=fft(x,N);%调用FFT子程序（函数）计算信号的DFT

n=0:N-1;subplot(3,1,3);stem(n,fftshift(abs(y2)));hold

on;plot(n,fftshift(abs(y2)),'r--');%调用绘图子程序(函数)绘制|X(k)|曲线

title('N=16');