平面直角坐标系、函数及其图像

1 x y O 例4图

平面直角坐标系、函数及其图像 【知识梳理】 一、平面直角坐标系 1. 坐标平面上的点与有序实数对构成一一对应； 2. 各象限点的坐标的符号； 3. 坐标轴上的点的坐标特征．

4. 点P（a，b）关于原点轴轴yx 对称点的坐标),(),(),(bababa 5.两点之间的距离

6.线段AB的中点C，若),(),,(),,(002211yxCyxByxA 则2,2210210yyyxxx 二、函数的概念 1.概念：在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x 的函数. 2.自变量的取值范围：（1）使解析式有意义 （2）实际问题具有实际意义 3.函数的表示方法； （1）解析法 （2）列表法 （3）图象法 【思想方法】 数形结合 【例题精讲】

例1.函数22yx中自变量x的取值范围是 ;函数23yx中自变量x的取值范围是 ． 例2.已知点(13)Am，与点(21)Bn，关于x轴对称，则m ，n ． 例3.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（10，0），点B的坐标为（8，0）,点C、D在以OA为直径的半圆M上,且四边形OCDB是平行四边形．求点C的坐标．

例4.阅读以下材料：对于三个数a,b,c用M{a,b,c}表示这三个数的平均数，用min{a,b,c}表示这三个数中最小的数．例如：123412333M，，；

min{-1,2,3}=-1；(1)min121(1).aaaa≤；，， 解决下列问题： （1）填空：min{sin30o,sin45o,tan30o}= ； （2）①如果M{2,x+1,2x}=min{2,x+1,2x}，求x；②根据①，你发现了结论 “如果M{a,b,c}= min{a,b,c}，那么 （填a,b,c的大小关系）”． ③运用②的结论，填空：M{2x+y+2,x+2y,2x-y}=min{2x+y+2,x+2y,2x-y}若，则x + y= ． （3）在同一直角坐标系中作出函数y=x+1，y=(x-1)2，y=2-x的图象（不需列表描点）．通过观察图象，填空：min{x+1, (x-1)2,2-x}的最大值为 ．

21212211PP)0()0()2(yyyPyP＝，　，，，21212211PP)0()0()1(xxxPxP＝，　，　，，　BCAyxOM

D

例3图 2

123456-1-2-3-4-5-6-1

-2-3-4-5-6

1234567Ox

yl

ABA'

D'E'

C

(第22题图）第4题图

【当堂检测】 1.点P在第二象限内，P到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，那么点P的坐标为（ ） A．(-4,3) B．(-3,-4) C．(-3,4) D．(3,-4) 2.已知点P(x,y)位于第二象限，并且y≤x+4 , x,y为整数，写出一个．．符合上述条件的点P的坐标： ． 3.点P(2m-1,3)在第二象限，则m的取值范围是（ ） A．m>0.5 B．m≥0.5 C．m<0.5 D．m≤0.5 4.如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线． ⑴由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点A的坐标为（2，0），请在图中分别标明B(5,3) 、C(-2,5) 关于直线l的对称点B、C的

位置，并写出他们的坐标: B 、C ； ⑵结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P(a,b)关于第一、三象限的角平分线l的对称点P的坐标为 （不必证明）； ⑶已知两点D(1,-3)、E(-1,-4)，试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出Q点坐标．

一次函数图象和性质 【知识梳理】 1．正比例函数的一般形式是y=kx(k≠0)，一次函数的一般形式是y=kx+b(k≠0).

2. 一次函数ykxb的图象是经过（kb，0）和（0，b）两点的一条直线.

3. 一次函数ykxb的图象与性质

【思想方法】 数形结合 【例题精讲】 例1. 已知一次函数物图象经过A(-2,-3)，B(1,3)两点. （1）求这个一次函数的解析式； （2）试判断点P(-1,1)是否在这个一次函数的图象上； （3）求此函数与x轴、y轴围成的三角形的面积.

k、b的符号 k＞0，b＞0 k＞0，b＜0 k＜0，b＞0 k＜0，b＜0 图像的大致位置 经过象限 第 象限 第 象限 第 象限 第 象限 性质 y随x的增大而 y随x的增大而 y随x的增大 而 y随x的增大 而 3

x y O 3 2yxa

1ykxb

例2. 已知一次函数y=(3a+2)x－(4－b),求字母a、b为何值时： （1）y随x的增大而增大；（2）图象不经过第一象限；（3）图象经过原点； （4）图象平行于直线y=－4x+3；（5）图象与y轴交点在x轴下方.

例3. 如图，直线l1 、l2相交于点A，l1与x轴的交点坐标为（－1，0），l2与y轴的交点坐标为（0，－2），结合图象解答下列问题： （1）求出直线l2表示的一次函数表达式； （2）当x为何值时，l1 、l2表示的两个一次函数的函数值都大于0？

例4.如图，反比例函数xy2的图像与一次函数bkxy的图像交于点A(ｍ，2)，点B(－2, n )，一次函数图像与y轴的交点为C. （1）求一次函数解析式；（2）求C点的坐标；（3）求△AOC的面积.

【当堂检测】 1.直线y＝2x＋8与x轴和y轴的交点的坐标分别是_______、_______；

2.一次函数1ykxb与2yxa的图象如图，则下列结论：①0k；

②0a；③当3x时，12yy中，正确的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 3.一次函数(1)5ymx，y值随x增大而减小，则m的取值范围是（ ） A．1m B． 1m C．1m D．1m 4.一次函数23yx的图象不经过（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．已知函数ykxb的图象如图，则2ykxb的图象可能是（ ）

6.已知整数x满足-5≤x≤5，y1=x+1，y2=-2x+4对任意一个x，m都取y1，y2中的较小值，则m的最大值是（ ） A.1 B.2 C.24 D.-9

第2题图 第5题图 4

y x O B

A

7.如图，点A的坐标为(－1，0)，点B在直线y=x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为 ( ) A.（0，0） B.（22，22） C.（－21，－21） D.（－22，－22）

一次函数的应用 【例题精讲】 例题1.某地区的电力资源丰富，并且得到了较好的开发.该地区一家供电公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法来计算电费.月用电量x（度）与相应电费y（元）之间的函数图像如图所示. ⑴月用电量为100度时，应交电费 元； ⑵ 当x≥100时，求y与x之间的函数关系式； ⑶ 月用电量为260度时，应交电费多少元？

例题2. 在一次远足活动中，某班学生分成两组，第一组由甲地匀速步行到乙地后原路返回，第二组由甲地匀速步行经乙地继续前行到丙地后原路返回，两组同时出发，设步行的时间为t（h），两组离乙地的距离分别为S1（km）和S2(km)，图中的折线分别表示S1、S2与t之间的函数关系． （1）甲、乙两地之间的距离为 km，乙、丙两地之间的距离为 km； （2）求第二组由甲地出发首次到达乙地及由乙地到达丙地所用的时间 分别是多少？ （2）求图中线段AB所表示的S2与t间的函数关系式，并写出t的取 值范围．

例题3.某加油站五月份营销一种油品的销售利润y（万元）与销售量x（万升）之间函数关系的图象如图中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止至15日进油时的销售利润为5.5万元．（销售利润＝（售价－成本价）×销售量） 请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答下列问题： （1）求销售量x为多少时，销售利润为4万元； （2）分别求出线段AB与BC所对应的函数关系式； （3）我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在OA、AB、BC三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大？（直接写出答案）

第7题图 2· 4· 6· 8· S(km) 2 0

t(h)

A

B

1日：有库存6万升，成本价4元/升，售价5元/升． 13日：售价调整为5.5元/升． 15日：进油4万升，成本价4.5元/升． 31日：本月共销售10万升．