上海市静安区2008学年高三教学质量检测(数学试卷)
上海市浦东新区2008学年度第一学期期末质量抽测试卷高三数学理科
12． (
1 ,
1 )
1 ( ,1)
23 2
二、选择题 13．D
14．A
15．B
9． 5 3 27
16．B
10． [5,6]
三、解答题 17．[ 解]（ 1）若 a 2 ， log 2 (x 2 x 2) 2 ，则 x 2 x 2 4 ………………２ 分
x 2 x 6 0， (x 3)( x 2) 0 ，得 x 2 或 x 3
所以 PMN 为异面直线 PM 与 AC 所成的角
………………７ 分
计算可得： PN 13 ， MN 1 ， PM 15
………………９ 分
cos PMN 1 15 13 15
2 15
10
……………… 11分
异面直线 PM 与 AC 所成的角为 arccos 15 10
……………… 12分
19．[ 解]（ 1）因为 B 60 ，所以 A C 120 ， C 120 A ………………１ 分
（ c 为实常数），则实数 m, n 的值依．次．为
．
12．研究问题： “已知关于 x 的不等式 ax 2 bx c 0 的解集为 (1, 2) ，解关于 x 的不等式
cx 2 bx a 0 ”，有如下解法：
解：由 ax 2 bx c 0
a
1 b( )
c( 1) 2
0 ，令 y
1
1
，则 y ( , 1) ，
………………４ 分
所以 A { x x 2,或 x 3}
………………５ 分
（2）因为 9
A
，所以
log
a [(
9 )
2
9
2]
2
4
44
上海高三数学_2008学年度第一学期上海市普陀区高三年级质量调研数学试卷（文科）
2008一学年度第一学市学期上海市普高普陀区高三量三年级质量调学调研数学试科试卷（文科））2008.12说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟。
本套试卷另附答题纸，本套试卷另附答题纸，每道题的解答必须写每道题的解答必须写．．．在答题纸的相应位置，本卷上任何解答都不作评分依据．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。
一、填空题（本大题满分55分）本大题共有11小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中空格中..每个空格填对得5分，填错或不填在正确的位置一律得零分分，填错或不填在正确的位置一律得零分. .1. 已知集合{}15,N I x x x =<<Î，集合{}2,3A =,则I A =ð2. 抛物线28y x =-的焦点坐标为的焦点坐标为 . 3. 已知函数2()321xxf x =×+，则11()4f-= . .4. 设定义在R 上的函数()f x 满足()()23f x f x ×+=，若()12f =，则()2009f = . 5. 已知两直线方程分别为1:210l x y --=、2:20l ax y ++=，若12l l ^，则直线2l 的一个法向量为n =. 6. 已知sin 2mp a æö+=ç÷èø，则()cos p a -= . 7. 在120°的二面角内放一个半径为6的球，使球与两个半平面各只有一个公共点（其过球心且垂直于二面角的棱的直截面如图所示），则这两个公共点AB 之间的球面距离为之间的球面距离为 . 8. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S . 若272k S =，且118k k a a +=-，则正整数k = . 9. 一个圆柱形容器的轴截面尺寸如右图所示，容器内有一个实心的球，球的直径恰等于圆柱的高球的直径恰等于圆柱的高..现用水将该容器注满，然后取出该球（假设球的密度大于水且操作过程中水量损失不计），则球取出后，容器中水面的高度为面的高度为 cm. （精确到0.1cm ） 10. 已知函数2()f x x x =-，若()()3l o g1(2)f mf +<，则实数m 的取值范围是取值范围是 ．11. 下列有关平面向量分解定理的四个命题．．．．中，所有正确命题的序号是中，所有正确命题的序号是 . （填写命题所对应的序号即可）（填写命题所对应的序号即可）OABP第7题图10cm20cm第9题① 一个平面内有且只有一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基；一个平面内有且只有一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基； ② 一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面内所有向量的基；一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面内所有向量的基； ③ 平面向量的基向量可能互相垂直；平面向量的基向量可能互相垂直；④ 一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内三个互不平行向量的线性组合一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内三个互不平行向量的线性组合. .二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. . . 每题选对得每题选对得4分，不选、选错或选出的代号超过一个，或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分过一个，或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分. .12. 若角a 和角b 的终边关于y 轴对称，则下列等式恒成立的是轴对称，则下列等式恒成立的是 （ ）A. sin sin a b =；B. cos cos a b =；C. tan tan a b =；D. cot cot a b =. 13. 若平面向量(1,)a x =和(23,)b x x =+- 互相平行，其中x R Î.则a b -= （ ）A. 2-或0；B. 25；C. 2或25；D. 2或10. 14. 设a 、b 为两条直线，a 、b 为两个平面. 下列四个命题中，正确的命题是下列四个命题中，正确的命题是 （ ）A. 若a 、b 与a 所成的角相等，则a b ∥；B. 若,,a b a b a a ^^则Ü；C. 若a ba ab b ∥苘，，，则a b ∥； D. 若a b a b ，∥∥，a b ∥，则a b ∥. 15. 已知不等式||1x m -<成立的一个充分非必要条件是2131<<x ，则，则实数m 的取值范围是的取值范围是 ( ) ( )A. 41,32éù-êúëû；B. 14,23éù-êúëû；C. 1,2æö-¥-ç÷èø； D. 4,3éö+¥÷êëø.三、解答题（本大题满分79分）本大题共有6题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤内写出必要的步骤. .16. （本题满分12分）设点F 为椭圆1121622=+y x 的左焦点，点P 是椭圆上的动点是椭圆上的动点..试求F P的模的最小值，并求此时点P 的坐标．的坐标．17. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）分）已知关于x 的不等式2(4)(4)0kx k x --->，其中k R Î. （1） 当k 变化时，试求不等式的解集A ；（2）对于不等式的解集A ，若满足A Z B = （其中Z 为整数集）. 试探究集合B 能C1主视图左视图俯视图22A1A 1C C旅游“旺季”. 那么，一年中的哪几个月是该地区的旅游“旺季”？请说明理由. 20. （本题满分22分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题12分）分）定义：将一个数列中部分项按原来的先后次序排列所成的一个新数列称为原数列的一个子数列.已知无穷等比数列{}n a 的首项、公比均为12. （1）试求无穷等比子数列{}31k a -（*N k ÎÎ）各项的和；）各项的和；（2）是否存在数列{}n a 的一个无穷等比子数列，的一个无穷等比子数列，使得它各项的和为使得它各项的和为17？若存在，？若存在，求出满足求出满足条件的子数列的通项公式；若不存在，请说明理由；条件的子数列的通项公式；若不存在，请说明理由；（3）试设计一个数学问题，研究：是否存在数列{}n a 的两个不同的无穷等比子数列，使得其各项和之间满足某种关系其各项和之间满足某种关系..请写出你的问题以及问题的研究过程和研究结论请写出你的问题以及问题的研究过程和研究结论. .【第3小题说明：本小题将根据你所设计的问题的质量分层评分；问题的表达形式可以参考第2小题的表述方法小题的表述方法..】08学年度第一学期高三质量调研数学试卷参考答案及评分标准一、填空题：（5’×11＝5555’’） 题号题号 1 2 3 4 5 6 答案答案 {}4(2,0)-0 2 ()1,2m -题号题号 7 8 9 10 11 答案答案2p4 8.3 8(,8)9-②、③②、③二、选择题：（4’×4＝1616’’） 题号题号 12 13 14 15 答案答案A C B B 三、解答题：（1212’’＋1414’’＋1515’’＋1616’’＋2222’’＝7979’’） 16.（理）解：设),(y x P 为椭圆上的动点，由于椭圆方程为1121622=+y x ，故44££-x ．因为(),M P x m y =-，所以22222()()12(1)16x M P x m y x m =-+=-+´-推出2M P2222312)4(4112241m m x m mx x -+-=++-=． 依题意可知，当4=x 时，2M P 取得最小值．而[]4,4x Î-，故有44³m ，解得1³m ．又点M 在椭圆的长轴上，即44££-m . 故实数m 的取值范围是]4,1[Îm ．…2 …6 …8 …10 …12 16.（文）解：由条件，可得2224c a b =-=，故左焦点F 的坐标为()2,0-.设),(y x P 为椭圆上的动点，由于椭圆方程为1121622=+y x ，故44££-x ．因为()2,FP x y =+，所以22222(2)(2)12(1)16x FPx y x =++=++´-2211416(8)44x x x =++=+,[]4,4x Î-由二次函数性质可知，当4x =-时，2FP 取得最小值4．…2 …6 …8 …10 所以，F P的模的最小值为2，此时点P 坐标为(4,0)-. …12 17. 解：（1）当0k =时，(,4)A =-¥； 当0k >且2k ¹时，4(,4)(,)A k k=-¥++¥ ；当2k =时，(,4)(4,)A =-¥+¥ ；（不单独分析2k =时的情况不扣分）时的情况不扣分） 当0k <时，4(,4)A k k=+. （2） 由（1）知：当0k ³时，集合B 中的元素的个数无限；中的元素的个数无限；当0k <时，集合B 中的元素的个数有限，此时集合B 为有限集. 因为44k k+£-，当且仅当2k =-时取等号，时取等号，所以当2k =-时，集合B 的元素个数最少. 此时()4,4A =-，故集合{}3,2,1,0,1,2,3B =---. …2 …4 …6 …8 …12 …14 18.(18.(理理) ) （本题满分（本题满分15分，第．1．小题．．7．分，第．．．2．小题．．8．分．） 解：（解：（11）如图，建立空间直角坐标系）如图，建立空间直角坐标系..不妨设12C C A C B C ===.依题意，可得点的坐标()2,0,1P ，()1,1,0Q ，()10,2,2B .于是，于是，()1,1,1PQ =-- ，()10,2,2B C =-- .由10PQ B C ×=，则异面直线PQ 与1B C 所成角的大小为2p.（2）解：连结C Q . . 由由A C B C =，Q 是A B 的中点，得C Q AB ^;由1A A ^面A B C ，C Q面A B C ，得1C Q A A ^.又1A A A B A = ，因此C Q ^面11A B B A 由直三棱柱111A B C A B C -的体积为12Þ11C C A C B C ===.可得22C Q =.所以，四棱锥1C B A P B -的体积为的体积为…3 …7 …9 …11 …13 ABC1A 1B 1C PQzyx1111211112332224C B A P B B A P B VC Q S-éùæö=××=××+×=ç÷êúèøëû.…15 18. （文）（本题满分15分，第．1．小题．．6．分，第．．．2．小题．．9．分．） 解：解：（2）解：如图所示）解：如图所示. . . 由由1111B C A C ^，111B C C C ^，则11B C ^面11C A CCC A .所以，四棱锥111B C A P C -的体积为()111111111121222332B C A P CC A P C VB C S -éù=××=××+×=êúëû.…3 …6 …10 …15 19．解：（1）根据三条规律，可知该函数为周期函数，且周期为12. 由此可得，2126T pp w w==Þ=；由规律②可知，max ()(8)100100f n f A k ==+，min()(2)100100f n f A k ==-+(8)(2)2004002f f A A -==Þ=；又当2n =时，(2)200cos(22)1001006f k p=××++=，所以， 2.99k »，由条件k 是正整数，故取3k =. 综上可得，()200cos 23006f n n p æö=++ç÷èø符合条件. …3 …6 …9 …10 ABC1A 1B 1C PCA1A 主视图左视图俯视图1C 221C 1A 1B 222C 21B B1C（2） 解法一：由条件，200cos 23004006n p æö++>ç÷èø，可得，可得1cos 262n p æö+>ç÷èø222363k n k p p p p p Þ-<+<+，k Z Î 66222233k n k p p p p p p æöæöÞ--<<+-ç÷ç÷èøèø，k Z Î1212122122k n k p pÞ--<<+-，k Z Î. 因为[]1,12n Î，*N n Î，所以当1k =时，6.1810.18n <<，故7,7,8,8,9,10n =，即一年中的7，8，9，10四个月是该地区的旅游“旺季”. 解法二：列表，用计算器可算得解法二：列表，用计算器可算得 月份n … 6 7 8 9 10 11 … 人数()f n…383 463 499 482 416 319 …故一年中的7，8，9，10四个月是该地区的旅游“旺季”. …12 …14 …16 …15 …16 20.20.解：（解：（1）依条件得：*31311(N )2k k a k --=Î 则无穷等比数列31{}k a -各项的和为：各项的和为：223122177128a ==-；（2）解法一：设此子数列的首项为1a ，公比为q ，由条件得：102q <£，则1112q £-<，即，即 1121q<£- 1111(1)[,)7147a q \=-Î而 *11(N )2ma m =Î 则 111,88a q ==. 所以，满足条件的无穷等比子数列存在且唯一，它的首项、公比均为18，其通项公式为18nn a æö=ç÷èø，*N n Î. 解法二：由条件，可设此子数列的首项为1a ，公比为12mq =*(N )m Î.…4 …7 …9 …10 由*N m ÎÞ10112m<-<Þ1111712ma a<=-………… ①又若1116a £，则对每一*N m Î都有11111161611187111222mm a ££=<---…………②从①、②得111167a <<Þ118a =；则11181171122mma ==--Þ1711288m q ==-=；因而满足条件的无穷等比子数列存在且唯一，此子数列是首项、公比均为18无穷等比子数列，通项公式为18nna æö=ç÷èø，*N n Î…7 …9 …10 （3）以下给出若干解答供参考，评分方法参考本小题阅卷说明：）以下给出若干解答供参考，评分方法参考本小题阅卷说明：问题一：是否存在数列{}n a 的两个不同的无穷等比子数列，使得它们各项的和互为倒数？若存在，求出所有满足条件的子数列；若不存在，说明理由求出所有满足条件的子数列；若不存在，说明理由. .解：假设存在原数列的两个不同的无穷等比子数列，假设存在原数列的两个不同的无穷等比子数列，使它们的各项和之积为使它们的各项和之积为1。
上海静安区高三2008学年第一学期期末试卷
静安区2008学年第一学期期末检测高三物理试卷2009.11 •本卷有答题纸，答题前，考生务必将姓名、考号等填写在答题纸的指定位置.2•全卷共24题，每道题的解答都要写在答题纸的对应位置，考试结束只交答题纸.3.第20、21、22、23、24题要求写出必要的文字说明，方程式和重要的演算步骤.只写出最后答案，而未写出主要演算过程的，不能得分•代入数据计算时g取10 m/s2.一. （40分）填空题：本大题共8小题，每小题5分.1.质量为m的物体从静止开始以g/2的加速度竖直向下运动，当下降高度为h时，该物体机械能的增量为__________ ，该物体动能的增量为 ___________ 。
2 .如图所示为热水系统的恒温器电路，R1是可变电阻，R2是热敏电阻，当温度低时，热敏电阻的阻值很大，温度高时，热敏电阻的阻值很小。
只有当热水器中的水位达到一定高度（由水位计控制）且水的温度低于某一温度时，发热器才会开启并加热，反之，便会关掉发热器。
门逻辑电路；为将发热器开启的水温调高一些，应使可变电阻的阻值3.右图中竖直方向的平行线表示电场线，但未标明方向。
一个带电量为q=- 10 6C的微粒，仅受电场力的作用，从M点运动到N点时，动能增加了10「4J,则该电荷运动的轨迹不可能是虚线_________ （选“ a”或“ b”）;若N点的电势为0V，贝U M点电势为_______ V。
4.如图所示，质量为m、边长为L的正方形线圈ABCD 由n匝导线绕成，线圈中有顺时针方向大小为I的电流，在AB边的中点用细线竖直悬挂于轻杆一端，轻杆另一端通过竖直的弹簧固定于地面，轻杆可绕杆中央的固定转轴O在竖直平面内转动。
在图中虚线的下方，有与线圈平面垂直的匀强磁场，磁感强度为B,平衡时，CD边水平且线圈有一半面积在磁场中，忽略电流I产生的磁场,穿过线圈的磁通量为_______ ;弹簧受到的拉力为 ________ M a1A*N图中虚线框中应接入的是// /.'/' 7 7 / 7/// / // / /Z / -'Z/5 •为了研究电阻R X的伏安特性，某同学设计了甲、乙两个电路，如图所示。
上海市普陀区2008学年度第二学期高三年级质量调研数学试题(文科)2009.04
上海市普陀区2008学年度第二学期高三年级质量调研 数学试卷 （文科） 2009.04说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟。
本套试卷另附答题纸，每道题的解答必须．．写在答题纸的相应位置，本卷上任何解答都不作评分依据．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。
一、填空题（本大题满分60分）本大题共有12小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得5分，填错或不填在正确的位置一律得零分. 1．若复数2z i i =+（i 是虚数单位），则||z = . 2. 不等式231x ->的解集为 . 3. 已知函数)10(log 1)(≠>+=a a x x f a 且 ，)(1x f -是)(x f 的反函数，若)(1x f y -=的图像过点(3,4)，则a = .4. 用金属薄板制作一个直径为0.2米，长为3米的圆柱形通风管.若不计损耗，则需要原材料平方米（保留3位小数）. 5. 关于x 、y 的二元线性方程组25,32x my nx y +=⎧⎨-=⎩的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛110301，则x y += . 6. 设1e 、2e 是平面内一组基向量，且122a e e =+ 、12b e e =-+ ，则向量12e e +可以表示为另一组基向量a 、b 的线性组合，即12e e +=a +b .7. 右图是某算法的程序框图，该算法可表示分段函数，则其输出的结果所表示的分段函数为()f x = .8. 已知非负实数x 、y 满足不等式组3,2,x y x y +≤⎧⎨-≤⎩则目标函数2z x y =+的最大值为 .9. 正方体骰子六个表面分别刻有1~6的点数. 现同时掷了两枚骰子，则得到的点数之和大于10的概率为 .10. 设联结双曲线22221x y a b -=与22221y x b a-=（0a >，0b >）的4个顶点的四边形面积为1S ，联结其4个焦点的四边形面积为2S ，则12S S 的最大值为 . 11.将函数sin ()cos xf x x=的图像向左平移a （0a >）个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则a 的最小值为 .12. 已知数列{}n a 是首项为a 、公差为1的等差数列，数列{}n b 满足1nn na b a +=.若对任意的*N n ∈,都有8n b b ≥成立,则实数a 的取值范围是 .二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得4分，不选、选错或选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分.13. 以下向量中，能成为以行列式形式表示的直线方程10121011xy =的一个法向量的是 （ ）A ． ()1,2n =- ； B. ()2,1n =- ； C. ()1,2n =-- ; D. ()2,1n =. 14. 若*Nn ∈，(1nn n b +=+（n a 、n b Z ∈），则55a b +=（ ）A. 32；B. 50;C. 70;D. 120. 15. 在△ABC 中，“C B A sin sin 2cos =”是“△ABC 为钝角三角形”的 （ ）A ．必要非充分条件；B ．充分非必要条件；C ．充要条件；D ．既非充分又非必要条件.16. 现有两个命题：（1） 若lg lg lg()x y x y +=+，且不等式2y x t >-+恒成立，则t 的取值范围是集合P ； （2） 若函数()1xf x x =-，()1,x ∈+∞的图像与函数()2g x x t =-+的图像没有交点，则t 的取值范围是集合Q ；则以下集合关系正确的是（ ）A ． P Q Ü； B. Q P Ü； C. P Q =； D. P Q =∅ .三、解答题（本大题满分74分）本大题共有6题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.17. （本题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，314a =. 对任意*N n ∈，向量()1,n a a =、11,2n b a +⎛⎫= ⎪⎝⎭ 都满足a b ⊥ ，求lim n n S →∞.18. （本题满分14分）已知复数1cos z x i =+，21sin z x i =+⋅（i 是虚数单位），且12z z -=当实数()2,2x ππ∈-时，试用列举法表示满足条件的x 的取值集合P .19.（本题满分14分）如图，圆锥体是由直角三角形AOC 绕直角边AO 所在直线旋转一周所得，2OC =.设点B 为圆锥体底面圆周上一点，60BOC ∠=︒，且ABC △的面积为3. 求该圆锥体的体积.20. （本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施.该设施的下部ABCD 是矩形，其中2AB =米，0.5BC =米.上部CmD 是个半圆，固定点E 为CD的中点.EMN △是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB 平行的伸缩横杆（MN 和AB DC 、不重合）. （1）当MN 和AB 之间的距离为1米时，求此时三角通风窗EMN 的通风面积； （2）设MN 与AB 之间的距离为x 米，试将三角通风窗EMN 的通风面积S （平方米）表示成关于x 的函数()S f x =；（3）当MN 与AB 之间的距离为多少米时，三角通风窗EMN 的通风面积最大？并求出这个最大面积.C第19题图C DNC 图（2）第20题图21. （本题满分18分，第1小题5分，第2小题6分，第3小题7分）已知等轴双曲线222:C x y a -=（0a >）的右焦点为F ，O 为坐标原点. 过F 作一条渐近线的垂线FP 且垂足为P ，OP =（1）求等轴双曲线C 的方程；（2）假设过点F 且方向向量为()1,2d =的直线l 交双曲线C 于A 、B 两点，求OA OB ⋅ 的值； （3）假设过点F 的动直线l 与双曲线C 交于M 、N 两点，试问：在x 轴上是否存在定点P ，使得PM PN ⋅为常数.若存在，求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由．。
【高考数学】2008年真题试卷及答案解析--上海理科
2008年全国普通高等学校招生统一考试 上海 数学试卷（理工农医类）一 填空（4’×11）1.不等式|x －1|＜1的解集是2.若集合A ＝{x |x ≤2}、B ＝{x |x ≥a }满足A ∩B ＝{2}，则实数a ＝3.若复数z 满足z ＝i (2-z)（i 是虚数单位），则z ＝4.若函数f (x )的反函数为f －1(x )＝x 2（x ＞0），则f (4)＝5.若向量→a 、→b 满足|→a |＝1，|→b |＝2，且→a 与→b 的夹角为π3，则|→a +→b |＝6.函数f (x )＝3sin x +sin(π2+x )的最大值是7.在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 （结果用分数表示）8.设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0,+∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )＞0的x 的取值范围 是9.已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7,a ,b ,12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5，若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别是10.某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2a ，短轴长为2b 的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h 1、h 2，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为θ1、θ2，那么船只已进入该浅水区的判别条件是11.方程x 2+2x －1＝0的解可视为函数y ＝x +2的图像与函数y ＝1x 的图像交点的横坐标，若x 4+ax －4＝0的各个实根x 1，x 2，…，x k (k ≤4)所对应的点(x i ,4x i )（i ＝1,2,…,k ）均在直线y ＝x 的同侧，则实数a 的取值范围是 二 选择（4’×4）12.组合数C rn （n ＞r ≥1，n 、r ∈Z ）恒等于（ ）A ．r +1n +1C r -1n -1B ．(n +1)(r +1)C r -1n -1 C ．nr C r -1n -1D ．n r C r -1n -113. 给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（ ）条件A ．充要B ．充分非必要C ．必要非充分D ．既非充分又非必要14. 若数列{a n }是首项为1，公比为a －32的无穷等比数列，且{a n }各项的和为a ，则a 的值是（ ）A ．1B ．2C ．12D ．5415.如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C 、D 的定圆所围成区域（含边界），A 、B 、C 、D 是该圆的四等分点，若点满足x ≤x ’ 且y ≥y ’，则称P 优于P ’，如果Ω中的点Q 满足：不存在Ω的其它点优于Q ，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧（ ）A ． AB ︵ B ． BC ︵ C ． CD ︵ D ． DA ︵16.(12’)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 是BC 1的中点，求直线DE 与平面ABCD 所成角的大小（结果用反三角函数表示）AE B 1D 1DC 1A 1 BC17.(13’)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形AOB ，小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，且小区里有一条平行于BO 的小路CD ，已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA 的长（精确到1米）18.(5’+10’)已知函数f (x )＝sin2x ，g (x )＝cos(2x +π6)，直线x ＝t （t ∈R ）与函数f (x )、g (x )的图像分别交于M 、N 两点 ⑴当t ＝π4时，求|MN|的值⑵求|MN|在t ∈[0,π2]时的最大值20.(3’+5’+8’)设P(a ,b )（b ≠0）是平面直角坐标系x O y 中的点，l 是经过原点与点(1,b )的直线，记Q 是直线l 与抛物线x 2＝2py （p ≠0）的异于原点的交点 ⑴已知a ＝1，b ＝2，p ＝2，求点Q 的坐标⑵已知点P(a ,b )（ab ≠0）在椭圆x 24+y 2＝1上，p ＝12ab ，求证：点Q 落在双曲线4x 2－4y 2＝1上⑶已知动点P(a ,b )满足ab ≠0，p ＝12ab ，若点Q 始终落在一条关于x 轴对称的抛物线上，试问动点P 的轨迹落在哪种二次曲线上，并说明理由AODBC19.(8’+8’)已知函数f (x )＝2x －12|x |⑴若f (x )＝2，求x 的值⑵若2t f (2t )+m f (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围21.(3’+7’+8’)已知以a 1为首项的数列{a n }满足：a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n +c ，a n <3a n d ， a n ≥3⑴当a 1＝1，c ＝1，d ＝3时，求数列{a n }的通项公式⑵当0＜a 1＜1，c ＝1，d ＝3时，试用a 1表示数列{a n }的前100项的和S 100⑶当0＜a 1＜1m （m 是正整数），c ＝1m ，d ≥3m 时，求证：数列a 2－1m ，a 3m+2－1m ，a 6m+2－1m ，a 9m+2－1m 成等比数列当且仅当d ＝3m2008年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷参考答案（理工农医类）一、（第1题至第11题）1.(0,2)2. 2.3.1i +.4.2.6.2.7.34. 8.(1,0)(1,)-+∞ . 9.10.5,10.5a b ==. 10.1122cot cot 2h h a θθ⋅+⋅≤ 11.(,6)(6,)-∞-+∞ .二、（第12题至第15题） 12.D 13.C 14.B 15.D三、（第16题到第21题）16.[解]过E 作EF BC ⊥，交BC 于F ，连接CO . EF ⊥平面ABCD ，∴EDF ∠是直线DE 与平面ABCD 所成的角. ……4分 由题意，得1112EF CC ==. 112CF CB == ∴DF =. ……8分EF DF ⊥，∴tan EF EDF DF ∠==……10分 故直线DE 与平面ABCD 所成角的大小是arctan5. ……12分17 [解法一]设该扇形的半径为r 米，连接CO . ……2分由题意，得500CD =(米)，300DA =（米），60CDO ∠=︒ ……4分 在△CDO 中，2222cos60CD OD CD OD OC +-⋅⋅︒= ……6分 即，2221500(300)2500(300)2r r r +--⨯⨯-⨯= ……9分解得490044511r =≈（米） 答：该扇形的半径OA 的长约为445米. ……13分[解法二]连接AC ，作OH AC ⊥，交AC 于H ， ……2分 由题意，得500CD =（米），300AD =（米），120CDA ∠=︒ ……4分 在△CDO 中，2222cos120AC CD AD CD AD =+-⋅⋅⋅︒AEB 1D 1D C 1A 1 BC AOD BCA ODBCH222150030025003007002=++⨯⨯⨯=. 700AC ∴=（米）. ……6分22211cos 214AC AD CD CAD AC AD +-∠==⋅⋅.在直角△HAO 中，350AH =（米），11cos 14HAO ∠=， ……9分 ∴ 4900445cos 11AH OA HAO ==≈∠（米）.答：该扇形的半径OA 的长约为445米. ……13分18.[解]（1）设11(,)P x y 是双曲线上任意一点，该双曲的两条渐近线方程分别是20x y -=和20x y +=. ……2分点11(,)P x y ， ……4分⋅2211|4|455x y -==.点P 到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常数. ……6分 （2）设的坐标为(,)x y ，则222||(3)PA x y =-+ ……8分22(3)14x x =-+- 25124()455x =-+ ……11分 ||2x ≥， ……13分 ∴ 当125x =时，2||PA 的最小值为45，即||PA 的最小值为5. ……15分 19．解（1）当0x <时，()0f x =；当0x ≥时，1()22xxf x =-由条件可知1222xx -=，即222210x x --=解得 21x=20log (1x x >=∵∴（2）当[1,2]t ∈时，22112(2)(2)022tttt t m -+-≥ 即24(21)(21)t t m -≥--，2210t->∵，2(21)t m ≥-+∴[1,2]t ∈∵，2(21)[17,5]t -+∈--∴故m 的取值范围是[5,)-+∞ 20．解（1）当1,2,2a b p ===时，解方程组242x y y x ⎧=⎨=⎩ 得816x y =⎧⎨=⎩ 即点Q 的坐标为(8,16)（2）【证明】由方程组21x y ab y bx ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 得1x ab y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 即点Q 的坐标为1(,)b a a P ∵时椭圆上的点，即2214a b +=2222144()4()(1)1b b a a a-=-=∴ ，因此点Q 落在双曲线22441x y -=上（3）设Q 所在的抛物线方程为22(),0y q x c q =-≠将1(,)b Q a a 代入方程，得2212()b q c a a=-，即2222b qa qca =-当0qc =时，22b qa =，此时点P 的轨迹落在抛物线上；当12qc =时，22211()24a b c c-+= ，此时点P 的轨迹落在圆上； 当102qc qc >≠且时，2221()2142a b c c c-+=，此时点P 的轨迹落在椭圆上；当0qc <时2221()211()42a b c qc c--=-，此时点P 的轨迹落在双曲线上；21．解（1）由题意得1,322,31,()3,3n n k a n k k Z n k +=-⎧⎪==-∈⎨⎪=⎩(2) 当101a <<时，211a a =+，312a a =+，413a a =+，1513a a =+，1623aa =+， 1733a a =+，, 1313113k k a a --=+，133123k k a a -=+，1313133k k aa +-=+10012345669899100()()()S a a a a a a a a a a =++++++++++ ∴1111131(36)(6)(6)(6)33a a a a a =+++++++++ 113111(31)63333a a =++++++⨯13111(11)19823a =-+（3）当3d m =时，211a a m=+311131311333m m m a a a a a m m +-=+=-+<<+=∵， 13213m a a m m +=+∴； 11661133333m m a a a a m m m +=-+<<+=∵， 162219m a a m m +=+∴；1199122133399m m a a a a m m m +=-+<<+=∵，1923127m a a m m+=+∴211a a m -=∴，13213m a a m m +-=， 162219m a a m m +-=，1923127m a a m m+-=∴综上所述，当3d m =时，数列21a m -，321m a m +-，621m a m +-，921m a m+-是公比为13m的等比数列当31d m ≥+时，132310,m a a d m ++⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭， 1623133,3,m a a d m ++⎛⎫=+∈+ ⎪⎝⎭1633310,,m a d a d m +++⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭192333113,3,m a m d a d m m +++-⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭ ……15分由于3210m a m +-<，6210m a m +->，9210m a m +-> 故数列23262921111,,,,m m m a a a a m m m m+++----不是等比数列所以，数列23262921111,,,,m m m a a a a m m m m+++----成等比数列当且仅当3d m = ……18分。
上海市浦东新区2008学年度第一学期期末质量抽测试卷高三数学理科
浦东新区2008学年度第一学期期末质量抽测试卷高三数学（理科）2009.1考生注意:1. 本次测试有试题纸和答题纸，作答必须在答题纸上，写在试题纸上的解答无效.2. 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号，以及试卷类型等填写清楚，并在规 定区域内贴上条形码.3. 本试卷共有21道试题，满分150分.考试时间120分钟.、填空题（本题满分 60分）本大题共有12题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写 结果，每个空格填对得 5分，否则一律得零分。
n丄2 -1lim — n _. 2n 1n H 2 1 — a*(a 式1 , n N ),验证 n = 11 -a时，等式左边= ___________ .1 1 14. 若函数f(x)二x- (x 0)的反函数为f (x)，则f (-2)= ____________________ .X5.等差数列｛a n ｝中，公差 d =1 , a 3 a 4 = 1,则 a 2 a^a 20= _________6. _______________________________________________________________ 函数f x =、3sin2x 「2cos 2x （x R ）的最小正周期为 ________________________________ .107. 在二项式（X V ）的展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率是 ________________ &无穷等比数列｛a n ｝各项和S 的值为2,公比q ：：：0,则首项a 1的取值范围是 _______ 9.如图，ABC 中，.C =90 , A =30］ BC =1 .在三角形内挖去半圆1.计算:3.用数学归纳法证明等式:1 a a 2— a n 12.函数 f （X ）二1一:的定义域是（圆心O在边AC上，半圆与BC、AB相切于点C、M，与AC交于N）,则图中阴影部分绕直线AC旋转一周所得旋转体的体积为__________________ 10.关于x的方程k 4x-k 2x16（^5）-0在区间［0,1 ］上有解，则实数k的取值范围是__________2 、、11.对于函数f(x)=mx —Jx +2x + n ( x壬[_2,xc))，若存在闭区间[a,b] =[-2,二)(a ：：：b)，使得对任意x [a,b]，恒有f (x) = c(c为实常数)，则实数m,n的值依次为_____________ .12•研究问题：已知关于x的不等式ax2 -bx • c ■ 0的解集为(1, 2)，解关于x的不等式2ex —bx+a >0”有如下解法:21 1 21 1 解：由ax -bx +c a 0= a - b(-) + c(-) a0 ,令y =—，贝U y 己(一，1), x x x 22 1 所以不等式ex —bx+an0的解集为(一，1) •2参考上述解法，已知关于x的不等式:: 0的解集为(-2,-1) (2, 3)，则x + a x +ckx bx—1 ”局关于x的不等式^ ::: 0的解集为____________________ •ax —1 ex —1、选择题(本题满分16分)本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得4分，否则一律得零分13.从4名男生和3名女生中选出4人参加迎新座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生,不同的选法共有............................................................ ( )A . 140 种B . 120 种C . 35 种D . 34 种14. ‘a=l ”是对任意的正数x,均有x a - 1 ”的...................................... ()4 xA .充分非必要条件B .必要非充分条件C.充要条件 D .既非充分也非必要条件15.直角-POB中，• PBO = 90，以O为圆心、OB为半径作圆弧交OP于A点若弧AB等分△ POB的面积，且/ AOB=〉弧度，则 ( )A. tan ：= ：B. tan ： =2 :C. sin'£=2cos =D. 2 sin 二=cos 芒" -------------16.函数y =乂1 -(x • 2)2图像上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为公比的数是三、解答题(本题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域(对应的题号)内写出必要的步骤。
上海市普陀区2008学年度第二学期高三年级质量调研数学试题(理科)2009.04
上海市普陀区2008学年度第二学期高三年级质量调研 数学试卷 （理科） 2009.04说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟。
本套试卷另附答题纸，每道题的解答必须．．写在答题纸的相应位置，本卷上任何解答都不作评分依据．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。
一、填空题（本大题满分55分）本大题共有11小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得5分，填错或不填在正确的位置一律得零分. 1．若复数2z i i =+（i 是虚数单位），则||z = . 2. 已知函数)10(log1)(≠>+=a a x x f a且 ，)(1x f-是)(x f 的反函数，若)(1x f y -=的图像过点(3,4)，则a = .3. 用金属薄板制作一个直径为0.2米，长为3米的圆柱形通风管.若不计损耗，则需要原材料 平方米（保留3位小数）.4. 设1e 、2e 是平面内一组基向量，且122a e e =+ 、12b e e =-+，则向量12e e +可以表示为另一组基向量a 、b 的线性组合，即12e e +=a +b .5. 右图是某算法的程序框图，该算法可表示分段函数，则其输出结果所表示的分段函数为()f x = .6. 关于x 、y 的二元线性方程组⎩⎨⎧=-=+2352y nx my x 的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110301，则=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n m . 7. 在极坐标系中，设曲线4sin ρθ=-和cos 1ρθ=相交于点A 、B ，则A B ＝ . 8. 设联结双曲线22221x y ab-=与22221y x ba-=（0a >，0b >）的4个顶点的四边形面积为1S ，联结其4个焦点的四边形面积为2S ，则12S S 的最大值为 .9.将函数sin ()cos x f x x=的图像向左平移a （0a >）个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则a 的最小值为 .10. 园丁要用红、黄、蓝、白四种不同颜色的鲜花布置如图所示圆形花坛的四块区域. 要求同一区域内须用同一种颜色的鲜花，相邻区域须用不同颜色的鲜花. 设花圃中布置红色鲜花的区域数量为ξ，则随机变量ξ的数学期望E ξ= .11. 已知数列{}n a 是首项为a 、公差为1的等差数列，数列{}n b 满足1n n na b a +=.若对任意的*N n ∈,都有8n b b ≥成立,则实数a 的取值范围是 .二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得4分，不选、选错或选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分.12. 以下向量中，能成为以行列式形式表示的直线方程10121011xy=的一个法向量的是 （ ）A ． ()1,2n =- ； B. ()2,1n =- ； C. ()1,2n =-- ; D. ()2,1n =.13. 设数列{}n a 的首项11=a 且前n 项和为n S .已知向量()1,n a a = ，11,2n b a +⎛⎫= ⎪⎝⎭ 满足a b⊥，则=∞→n n S lim（ ） A.12； B. 1-; C.23; D.32.14. 在△ABC 中，“C B A sin sin 2cos =”是“△ABC 为钝角三角形”的 （ ） A ．必要非充分条件； B ．充分非必要条件； C ．充要条件； D ．既非充分又非必要条件.15. 现有两个命题：（1） 若lg lg lg()x y x y +=+，且不等式2y x t >-+恒成立，则t 的取值范围是集合P ； （2） 若函数()1x f x x =-，()1,x ∈+∞的图像与函数()2g x x t =-+的图像没有交点，则t 的取值范围是集合Q ；第10题图则以下集合关系正确的是 （ ） A ． P Q Ü； B. Q P Ü； C. P Q =； D. P Q =∅ .三、解答题（本大题满分79分）本大题共有6题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.16. （本题满分12分）过抛物线24y x =的焦点F 且方向向量为()1,2d =的直线l 交该抛物线于A 、B 两点，求OA OB ⋅的值.17. （本题满分14分） 已知复数1cos z x i =+，21sin z x i =+⋅（i 是虚数单位），且12z z -=当实数()2,2x ππ∈-时，试用列举法表示满足条件的x 的取值集合P .18. （本题满分15分，第1小题6分，第2小题9分）若*N n ∈，(1nn n b +=+（n a 、n b Z ∈）.(1) 求55a b +的值；（2）求证：数列{}n b 各项均为奇数.19. （本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施.该设施的下部A B C D 是矩形，其中2A B =米，0.5B C =米.上部C m D 是个半圆，固定点E 为C D的中点.E M N △是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），M N 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和A B 平行的伸缩横杆（M N 和A B D C 、不重合）. （1）当M N 和A B 之间的距离为1米时，求此时三角通风窗E M N 的通风面积； （2）设M N 与A B 之间的距离为x 米，试将三角通风窗E M N 的通风面积S （平方米）表示成关于x 的函数()S f x =；（3）当M N 与A B 之间的距离为多少米时，三角通风窗E M N 的通风面积最大？并求出这个最大面积.C D MNCD图（2）第19题图20. （本题满分22分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题12分）如图，四棱锥P A B C D -中，P A ⊥平面A B C D ，四边形A B C D 是直角梯形，其中D A AB ⊥，//A D B C . 22P A A D B C ===，AB =（1） 求异面直线P C 与A D 所成角的大小；（2） 若平面A B C D 内有一经过点C 的曲线E ，该曲线上的任一动点Q 都满足PQ 与A D 所成角的大小恰等于P C 与A D 所成角. 试判断曲线E 的形状并说明理由；（3）在平面A B C D 内，设点Q 是（2）题中的曲线E 在直角梯形A B C D 内部（包括边界）的一段曲线C G 上的动点，其中G 为曲线E 和D C 的交点. 以B 为圆心，BQ 为半径的圆分别与梯形的边A B 、B C 交于M 、N 两点. 当Q 点在曲线段G C 上运动时，试提出一个研究有关四面体P B M N -的问题（如体积、线面、面面关系等）并尝试解决.【说明：本小题将根据你提出的问题的质量和解决难度分层评分；本小题的计算结果可以使用近似值，保留3位小数】ABCD P第20题图。
上海市普陀区2008学年度第二学期高三年级质量调研数学试题(文理科)参考答案2009.04
数学试卷参考答案及评分标准（文理科） 数学试卷参考答案及评分标准（文理科） 标准
一、填空题（每题 5 分，理科总分 55 分、文科总分 60 分） 填空题（ ： 1. 2009 2009.04
2；
2. 理：2；文： ( ∞,1) U ( 2, +∞ ) ；
理：14；文：15 ； B
理 15；文：16 ； C
解：因为抛物线的焦点 F 的坐标为 (1, 0) ，设 A ( x1 , y1 ) 、 B ( x2 , y2 ) ， 因为抛物线的焦点 由条件， 由条件，则直线 l 的方程为
…2
x 1 y y = x = +1， 1 2 2
…4 …8
2 2 代入抛物线方程 y = 4 x ，可得 y = 4
2 2 2 2 2 2 代入 x y = 2 ，可得 (1 k ) x + 4k x ( 4k + 2) = 0 .
…13
4k 2 4k 2 + 2 由题意可 由题意可知， k ≠ ±1 ，则有 x1 + x 2 = 2 ， x1 x 2 = 2 ． k 1 k 1 uuuu uuur r 2 于是， 于是， PM PN = ( x1 m )( x2 m ) + k ( x1 2 )( x2 2 ) = (k 2 + 1) x1 x 2 (2k 2 + m)( x1 + x 2 ) + 4k 2 + m 2
1 1 S = f ( x) = | MN | x 2 2
D A
E
图（2）
C
B
1 1 1 = 2 1 ( x )2 ( x ) 2 2 2
全国各地2008年数学高考真题及答案-(上海.文)含详解
上海市教育考试院 保留版权 数学（文）2008第1页（共10页）2 0 0 8 年 全 国 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试上海 数学试卷(文史类)考生注意：1. 答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚.2. 本试卷共有21道试题，满分150分．考试时间120分钟. 请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上.一. 填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接 填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．不等式11<-x 的解集是 .2．若集合{}2≤=x x A 、{}a x x B ≥=满足{}2=B A ，则实数a = . 3．若复数z 满足)2(i z z -=（i 是虚数单位），则z = . 4．若函数)(x f 的反函数为x x f21log )(=-，则=)(x f .5．若向量a 、b 满足1=a ，2=b ，且a 与b 的夹角为3π，则b a += .6．若直线01=+-y ax 经过抛物线x y 42=的焦点，则实数=a . 7．若z 是实系数方程022=++p x x 的一个虚根，且2=z ，则=p .8．在平面直角坐标系中，从五个点：)0,0(A 、)0,2(B 、)1,1(C 、)2,0(D 、)2,2(E 中任取三个，这三点能构成三角形的概率是__________（结果用分数表示）.9．若函数)2)(()(a bx a x x f ++= )R (∈b a 、常数是偶函数，且它的值域为(]4,∞-， 则该函数的解析式=)(x f .数学（文）2008第2页（共10页）10．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12，13.7，18.3，20， 且总体的中位数为5.10. 若要使该总体的方差最小，则b a 、的取值分别是 .11．在平面直角坐标系中，点C B A 、、的坐标分别为），（10、），（24、），（62. 如果 ),(y x P 是△ABC 围成的区域（含边界）上的点，那么当xy w =取到最大值时，点P 的坐标是 .二. 选择题（本大题满分16分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论 是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内， 选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论 是否都写在圆括号内），一律得零分．12. 设P 是椭圆1162522=+y x 上的点. 若1F 、2F 是椭圆的两个焦点，则21PF PF +等于 [答] ( )(A) 4. (B) 5. (C) 8. (D) 10.13. 给定空间中的直线l 及平面α. 条件“直线l 与平面α内两条相交直线都垂直”是“直 线l 与平面α垂直”的 [答] ( ) (A) 充分非必要条件. (B) 必要非充分条件. (C) 充要条件. (D) 既非充分又非必要条件. 14. 若数列{}n a 是首项为1，公比为23-a 的无穷等比数列，且{}n a 各项的和为a ，则a 的值是 [答] ( ) (A) 1. (B) 2. (C)21. (D) 45. 15. 如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C 、D 的定圆所围成的区域（含边界），D C B A 、、、是该圆的四等分点. 若点),(y x P 、点()y x P ''',满足x x '≤且y y '≥， 则称P 优于P '. 如果Ω中的点Q 满足：不存在Ω中的其它点优于Q ，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧 [答] ( )(A) . (B) . (C) . (D) .数学（文）2008第3页（共10页）三. 解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．16.（本题满分12分）如图，在棱长为 2 的正方体1111D C B A ABCD 中，1BC E 是的中点. 求直线DE 与平面ABCD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）. [解]数学（文）2008第4页（共10页）17.（本题满分13分）如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC . 小区的两个出入口设置在点A 及点C 处. 小区里有两条笔直的小路AD 、DC ，且拐弯处的转角为120°. 已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟. 若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA 的长（精确到1米）. [解]数学（文）2008第5页（共10页）18.（本题满分15分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分10分．已知函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+==6π2cos )(,2sin )(x x g x x f ，直线t x =)R (∈t 与函数)(x f 、)(x g 的图像分别交于N M 、两点. （1）当4π=t 时，求||MN 的值； （2）求||MN 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2π,0t 时的最大值.[解]（1）（2）数学（文）2008第6页（共10页）19.（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分．已知函数||212)(x x x f -=.（1）若2)(=x f ，求x 的值；（2）若0)()2(2≥+t mf t f t 对于]2,1[∈t 恒成立，求实数m 的取值范围. [解] （1）（2）数学（文）2008第7页（共10页）20.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分， 第2小题满分6分，第3小题满分7分．已知双曲线12:22=-y x C . （1）求双曲线C 的渐近线方程；（2）已知点M 的坐标为)1,0(. 设P 是双曲线C 上的点，Q 是点P 关于原点的对称点. 记MQ MP ⋅=λ. 求λ的取值范围；（3）已知点M E D 、、的坐标分别为)1,0()1,2()1,2(、、---，P 为双曲线C 上在第一象限内的点. 记l 为经过原点与点P 的直线，s 为△DEM 截直线l 所得线段的长. 试将s 表示为直线l 的斜率k 的函数. [解]（1）（2）（3）数学（文）2008第8页（共10页）数学（文）2008第9页（共10页）21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2 小题满分6分，第3小题满分8分．已知数列{}n a ：11=a ，22=a ，r a =3，23+=+n n a a （n 是正整数），与数列{}n b ：11=b ，02=b ，13-=b ，04=b ，n n b b =+4（n 是正整数）. 记n n n a b a b a b a b T ++++= 332211.（1）若6412321=++++a a a a ，求r 的值； （2）求证：当n 是正整数时，n T n 412-=；（3）已知0>r ，且存在正整数m ，使得在 ,,212112++m m T T ，1212+m T 中有4项为100. 求r 的值，并指出哪4项为100. [解] (1)[证明]（2）[解]（3）数学（文）2008第10页（共10页）2 0 0 8 年 全 国 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试上海数学试卷(文史类)答案要点及评分标准说明1.本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．2.评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分． 解答一、（第1题至第11题）1.)2,0(.2. 2.3. +1i .4. )R (2∈x x .5.7. 6. 1-. 7. 4. 8.54. 9. 422+-x . 10.5.10,5.10==b a . 11. ⎪⎭⎫⎝⎛5,25.二、（第12题至第15题）16．[解] 过E 作BC EF ⊥，交BC 于F ，连接DF . A B C D EF 平面⊥，E DF ∠∴是直线DE 与平面ABCD 所成的角. …… 4分 由题意，得1211==CC EF . 121==CB CF , 5=∴DF . …… 8分 DF EF ⊥ ， 55tan ==∠∴DF EF EDF . …… 10分 故直线DE 与平面ABCD 所成角的大小是55arctan . …… 12分数学（文）2008第11页（共10页）17. [解法一] 设该扇形的半径为r 米. 由题意，得CD =500（米），DA =300（米），︒=∠60CDO . …… 4分 在△CDO 中，22260cos 2OC OD CD OD CD =︒⋅⋅⋅-+， …… 6分 即22221)300(5002)300(500r r r =⨯-⨯⨯--+, …… 9分 解得445114900≈=r （米）. 答：该扇形的半径OA 的长约为445米. …… 13分 [解法二] 连接AC ，作AC OH ⊥，交AC 于H . …… 2分 由题意，得CD =500（米），AD =300（米），︒=∠120CDA . …… 4分 在△ACD 中，︒⋅⋅⋅-+=120cos 2222AD CD AD CD AC 21300500230050022⨯⨯⨯++=2700=， ∴700=AC （米）， …… 6分14112cos 222=⋅⋅-+=∠AD AC CD AD AC CAD . …… 9分在直角△HAO 中，350=AH （米），1411cos =∠HAO ， ∴ 445114900cos ≈=∠=HAO AH OA （米）.答：该扇形的半径OA 的长约为445米. …… 13分18. [解] （1）⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=6π4π2cos 4π2sin ||MN …… 2分233π2c o s1=-=. …… 5分 （2）||MN ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=6π2cos 2sin t tt t 2cos 232sin 23-=…… 8分 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=6π2sin 3t . …… 11分数学（文）2008第12页（共10页）⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2π,0t ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈-6ππ,6π6π2t ， …… 13分∴ ||MN 的最大值为3. …… 15分 19. [解] （1）当0<x 时，0)(=x f ；当0≥x 时，xx x f 212)(-=. …… 2分 由条件可知 2212=-x x ，即 012222=-⋅-x x ， 解得 212±=x . …… 6分 02>x ，()21log 2+=∴x . …… 8分（2）当]2,1[∈t 时，021*******≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-t t t t t m ， …… 10分即 ()()121242--≥-t t m .0122>-t ， ∴ ()122+-≥t m . …… 13分 ()]5,17[21],2,1[2--∈+-∴∈t t ，故m 的取值范围是),5[∞+-. …… 16分 20. [解]（1）所求渐近线方程为022,022=+=-x y x y . …… 3分 （2）设P 的坐标为()00,y x ，则Q 的坐标为()00,y x --. …… 4分 ()()1,1,0000---⋅-=⋅=y x y x λ12020+--=y x 22320+-=x . …… 7分20≥x,∴ λ的取值范围是(]1,-∞-. …… 9分 （3）若P 为双曲线C 上第一象限内的点， 则直线l 的斜率⎪⎪⎭⎫⎝⎛∈22,0k . …… 11分 由计算可得，当⎥⎦⎤⎝⎛∈21,0k 时，22112)(k k k s +-=； 当⎪⎪⎭⎫⎝⎛∈22,21k 时，22112)(k k k k k s +++=. …… 15分 s ∴表示为直线l 的斜率k 的函数是数学（文）2008第13页（共10页）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<+++≤<+-=.2221,112,210,112)(2222k k k k k k k k k s …… 16分21. [解]（1） 12321a a a a ++++)6(87)4(65)2(4321++++++++++++++=r r r rr 448+=. …… 2分 64448=+r ，∴4=r . …… 4分 [证明]（2）用数学归纳法证明：当+∈Z n 时，n T n 412-=.① 当1=n 时，12T 1197531a a a a a a -+-+-=4-=，等式成立. …… 6分 ② 假设k n =时等式成立，即k T k 412-=， 那么当1+=k n 时，)1(12+k T k T 12=1112912712512312112++++++-+-+-+k k k k k k a a a a a a …… 8分)88()48()58()48()8()18(4+-++++-+++-++-=k r k k k r k k k 44--=k )1(4+-=k ，等式也成立.根据①和②可以断定：当+∈Z n 时，n T n 412-=. …… 10分 [解]（3）m T m 412-=(1≥m ).当212,112++=m m n 时，n T 14+=m ； 当412,312++=m m n 时，n T r m -+-=14； 当612,512++=m m n 时，n T r m -+=54； 当812,712++=m m n 时，r m T n --=4； 当1012,912++=m m n 时，44+=m T n ；当1212,1112++=m m n 时，44--=m T n . …… 13分 14+m 是奇数，r m -+-14，r m --4，44--m 均为负数，∴ 这些项均不可能取到100. …… 15分 ∴ 1004454=+=-+m r m ，解得24=m ，1=r ，此时298297294293,,,T T T T 为100. …… 18分数学（文）2008第14页（共10页）1．不等式11x -＜的解集是 ． 【答案】(0,2)【解析】由11102x x -<-<⇒<<.2．若集合{}|2A x x =≤，{}|B x x a =≥满足{2}A B = ，则实数a = ． 【答案】2【解析】由{2}, 22A B A B a =⇒⇒= 只有一个公共元素. 3．若复数z 满足(2)z i z =- (i 是虚数单位)，则z = ． 【答案】1i +【解析】由22(1)(2)11(1)(1)i i i z i z z i i i i -=-⇒===+++-. 4．若函数()f x 的反函数为12()log f x x -=，则()f x = ． 【答案】()2x x R ∈【解析】令2log (0),y x x => 则y R ∈且2,yx =()()2.x f x x R ∴=∈5．若向量a ，b 满足12a b == ，且a 与b 的夹角为3π，则a b += ．【解析】2||()()2a b a b a b a a b b a b +=++=++22||||2||||cos 73a b a b π=++=||a b ⇒+=6．若直线10ax y -+=经过抛物线24y x =的焦点，则实数a = ． 【答案】-1【解析】直线10ax y -+=经过抛物线24y x =的焦点(1,0),F 则10 1.a a +=∴=- 7．若z 是实系数方程220x x p ++=的一个虚根，且2z =，则p = ． 【答案】4【解析】设z a bi =+,则方程的另一个根为z a bi '=-,且22z =⇒=，由韦达定理直线22,1,z z a a '+==-∴=-23,b b ∴==所以(1)(1) 4.p z z '=⋅=--=8．在平面直角坐标系中，从五个点：(00)(20)(11)(02)(22)A B C D E ，，，，，，，，，中数学（文）2008第15页（共10页）任取三个，这三点能构成三角形的概率是 （结果用分数表示）． 【答案】45【解析】由已知得 A C E B C D 、、三点共线,、、三点共线, 所以五点中任选三点能构成三角形的概率为333524.5C C -= 9．若函数()()(2)f x x a bx a =++（常数a b ∈R ，）是偶函数，且它的值域为(]4-∞，，则该函数的解析式()f x = ． 【答案】224x -+【解析】22()()(2)(2)2f x x a bx a bx a ab x a =++=+++是偶函数，则其图象关于y 轴对称, 202,a ab b ∴+=⇒=-22()22,f x x a ∴=-+且值域为(]4-∞，，224,a ∴=2()2 4.f x x ∴=-+10．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12，13.7，18.3，20， 且总体的中位数为10.5．若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别 ． 【答案】10.5,10.5a b ==【解析】中位数为10.521,a b ⇒+=根据均值不等式知，只需10.5a b ==时，总体方差最小.11．在平面直角坐标系中，点A B C ，，的坐标分别为(01)(42)(26)，，，，，．如果()P x y ， 是ABC △围成的区域（含边界）上的点，那么当xy ω=取到最大值时，点P 的坐标是 ．【答案】5,52⎛⎫⎪⎝⎭【解析】作图知xy ω=取到最大值时，点P 在线段BC 上,:210,[2,4],BC y x x =-+∈(210),xy x x ω∴==-+故当5,52x y ==时, ω取到最大值.二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．数学（文）2008第16页（共10页）12．设p 是椭圆2212516x y +=上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点， 则12PF PF +等于（ ）A ．4B ．5C ．8D ．10【答案】D【解析】 由椭圆的第一定义知12210.PF PF a +==13．给定空间中的直线l 及平面α．条件“直线l 与平面α内两条相交直线都垂直” 是“直线l 与平面α垂直”的（ ）Ａ．充分非必要条件 Ｂ．必要非充分条件C ．充要条件 Ｄ．既非充分又非必要条件 【答案】C【解析】“直线l 与平面α内两条相交直线都垂直”⇔“直线l 与平面α垂直”. 14．若数列{}n a 是首项为1，公比为32a =的无穷等比数列，且{}n a 各项的和为a ， 则a 的值是（ ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．12 Ｄ．54【答案】B【解析】由11123121 22153||1||1222a a a a S a q a a q a ⎧=⎧⎪⎧==⎪=-+⎪⎪⎪-⇒⇒⇒=⎨⎨⎨⎪⎪⎪<<<⎩-<⎪⎪⎩⎩或. 15．如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C 、D 的定圆所围成的区域（含边界），A 、B 、C 、D 是该圆的四等分点．若点()P x y ，、点()P x y '''，满足x x '≤且y y '≥，则称P 优于P '．如果Ω中的点Q 满足：不存在Ω中的其它点优于Q ，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧（ D ） Ａ． ABB ． BCC ． CD D ． DA 【答案】D【解析】由题意知，若P 优于P ',则P 在P '的左上方,∴当Q 在 DA上时, 左上的点不在圆上, ∴不存在其它优于Q 的点,∴Q 组成的集合是劣弧 DA.数学（文）2008第17页（共10页）三、解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 16．(本题满分12分)如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是BC 1的中点．求直线DE 与平面ABCD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）． 16. 【解】过E 作EF ⊥BC ，交BC 于F ，连接DF.∵ EF ⊥平面ABCD ，∴ ∠ED F 是直线DE 与平面ABCD 所成的角. ……………4分由题意，得EF =111.2CC = ∵11,2CF CB DF ==∴=..8分 ∵ EF ⊥DF ， ∴tan EF EDF DF ∠==……………..10分故直线DE 与平面ABCD所成角的大小是.12分17．（本题满分13分） 如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC ．小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，小区里 有两条笔直的小路AD DC ，，且拐弯处的转角为120．已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA 的长（精确到1米）．17. 【解法一】设该扇形的半径为r 米. 由题意，得CD =500（米），DA =300（米），∠CDO=060在CDO ∆中，22022cos60,CD OD CD OD OC +-⋅⋅⋅=即()()22215003002500300,2r r r +--⨯⨯-⨯=解得490044511r =≈（米）. …………………………………………….13分 【解法二】连接AC ，作OH ⊥AC ，交A C 于H …………………..2分数学（文）2008第18页（共10页）由题意，得CD =500（米），AD =300（米），0120CDA ∠=2220222,2cos12015003002500300700,2ACD AC CD AD CD AD ∆=+-⋅⋅⋅=++⨯⨯⨯=在中 ∴ AC =700（米）…………………………..6分22211cos .214AC AD CD CAD AC AD +-∠==⋅⋅………….…….9分在直角11,350,cos 0,14HAO AH HA ∆=∠=中（米） ∴ 4900445cos 11AH OA HAO ==≈∠（米）. ………………………13分18．（本题满分15分）本题共有2个小题，第1个题满分5分，第2小题满分10分．已知函数f (x )=sin2x ，g (x )=cos π26x ⎛⎫+⎪⎝⎭，直线()x t t =∈R 与函数()()f x g x ，的图象分别交于M 、N 两点．（1）当π4t =时，求｜MN ｜的值； （2）求｜MN ｜在π02t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时的最大值．18、【解】（1）sin 2cos 2446MN πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………….2分231cos .32π=-=………………………………5分（2）sin 2cos 26MN t t π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭3sin 222t t =-……...8分 26t π⎛⎫=- ⎪⎝⎭…………………………….11分∵ 0,,2,,2666t t πππππ⎡⎤⎡⎤∈-∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦…………13分∴ ｜MN ……………15分19．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分．数学（文）2008第19页（共10页）已知函数||1()22xx f x =-． （1）若()2f x =，求x 的值；（2）若2(2)()0t f t mf t +≥对于[12]t ∈，恒成立，求实数m 的取值范围． 19、【解】（1）()()100;0,22x x x f x x f x <=≥=-当时，当时. …………….2分 由条件可知，2122,22210,2x x xx-=-⋅-=即解得21x =±…………6分 ∵(220,log 1x x >∴=+ …………..8分（2）当2211[1,2],2220,22t t t t t t m ⎛⎫⎛⎫∈-+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时 ……………10分即 ()()242121.t t m -≥--()22210,21.t t m ->∴≥+ ………………13分 ()2[1,2],12[17,5],t t ∈∴-+∈--故m 的取值范围是[5,)-+∞ …………….16分20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分．已知双曲线2212x C y -=：．（1）求双曲线C 的渐近线方程；（2）已知点M 的坐标为(01)，．设P 是双曲线C 上的点，Q 是点P 关于原点的对称点． 记MP MQ λ= ．求λ的取值范围；（3）已知点D E M ，，的坐标分别为(21)(21)(01)---，，，，，，P 为双曲线C 上在第一象限内的点．记l 为经过原点与点P 的直线，s 为DEM △截直线l 所得线段的长．试将s 表示为直线l 的斜率k 的函数．20、【解】（1）所求渐近线方程为0,0y y == ……………...3分 （2）设P 的坐标为()00,x y ，则Q 的坐标为()00,x y --， …………….4分()()000,1,1o MP MQ x y x y λ=⋅=-⋅---22200031 2.2x y x =--+=-+ ……………7分0xλ∴的取值范围是(,1].-∞-……………9分（3）若P 为双曲线C 上第一象限内的点，数学（文）2008第20页（共10页）则直线l的斜率.k ⎛∈ ⎝⎭……………11分由计算可得，当()1(0,],2k s k ∈时当()1,2k s k ⎛∈= ⎝⎭时……………15分∴ s 表示为直线l 的斜率k 的函数是()1(0,],21.2k s k k ∈=⎛∈ ⎝⎭….16分21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分４分，第2小题满分６分，第3小题满分8分． 已知数列{}n a ：11a =，22a =，3a r =，32n n a a +=+（n 是正整数），与数列{}n b ：11b =，20b =，31b =-，40b =，4n n b b +=（n 是正整数）．记112233n n n T b a b a b a b a =++++ ．（1）若1231264a a a a ++++= ，求r 的值； （2）求证：当n 是正整数时，124n T n =-；（3）已知0r >，且存在正整数m ，使得在121m T +，122m T +， ，1212m T +中有4项为100．求r 的值，并指出哪4项为100．21、【解】（1） 12312...a a a a ++++ ()()()12342564786r r r r =++++++++++++++484.r =+ ………………..2分∵ 48464, 4.r r +=∴= ………………..4分【证明】（2）用数学归纳法证明：当12,4.n n Z T n +∈=-时① 当n=1时，1213579114,T a a a a a a =-+-+-=-等式成立….6分 ② 假设n=k 时等式成立，即124,k T k =-那么当1n k =+时，()121211231251271291211121k k k k k k k k T T a a a a a a +++++++=+-+-+-………8分()()()()()()481884858488k k k r k k k r k =-++-+++-++++-+数学（文）2008第21页（共10页） ()4441,k k =--=-+等式也成立. 根据①和②可以断定：当12,4.n n Z T n +∈=-时…………………...10分 【解】（3） ()1241.121,12241;123,12441;125,12645;127,1284;129,121044;m n n n n T m m n m m T m n m m T m r n n m m T m r n m m T m r n m m T m =-≥=++=+=++=-+-=++=+-=++=--=++=+当时，当时，当时，当时，当时， 1211,1212,4 4.n n m m T m =++=--当时………………………..13分 ∵ 4m+1是奇数，41,4,44m r m r m -+-----均为负数， ∴ 这些项均不可能取到100. ………………………..15分 此时，293294297298,,,T T T T 为100. …………………………18分。
上海市闵行区2008学年第二学期高三年级质量调研考试数学试题(文理科)
上海市闵行区2008学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷（文理科）考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、考号、姓名等填写清楚． 2．本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟．一. 填空题（本大题满分60分）本大题共有12题，考生应在答题纸上相应编号的空格内 直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1．方程2log (34)1x -=的解=x .2．（理）若直线l 经过点(1,2)P ，且法向量为(3,4)n =-，则直线l 的方程是 （结果用直线的一般式表示）.（文）计算221lim 3(1)n n n n →∞+=- .3．（理）若函数31(1),()4(1).2x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪-⎩则1(2)f-= .（文）若4()2x f x x -=-，则1(2)f-= .4．（理）若()sin 3cos f x a x x =+是偶函数，则实数a = .（文）若直线l 经过点(1,2)P ，且法向量为(3,4)n =-，则直线l 的方程是 （结果用直线的一般式表示）.5．（理）在极坐标系中，两点的极坐标分别为(2,)3A π、(1,)3B π-，O 为极点，则O A B ∆面积为 .（文）若5,(0,0)2 6.x y x y x y +≤⎧≥≥⎨+≤⎩，则函数68k x y =+的最大值为 .6．（理）无穷数列1s i n 22n n π⎧⎫⎨⎬⎩⎭的各项和为 .（文）若()sin 3cos f x a x x =+是偶函数，则实数a = .7．根据右面的框图，该程序运行后输出的结果为 .8．（理）已知地球半径为6378公里，位于赤道上两点A 、B 分别在东经23 和143 上，则A 、B 两点的球面距离为 公里（π取3.14，结果精确到1公里）.（文）已知一个圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形，则该圆柱的体积为 . 9．（理）一个袋子里装有外形和质地一样的5个白球、3个绿球和2个红球，将它们充分混合后，摸得一个白球计1分，摸得一个绿球计2分，摸得一个红球计4分，记随机摸出一个球的得分为ξ，则随机变量ξ的数学期望E ξ= .（文）在航天员进行的一项太空试验中，先后要实施6道程序，则满足程序A 只能出现在最后一步，且程序B 和程序C 必须相邻实施的概率为 .10．（理）若关于x 的方程2310x a -+=在(],1-∞上有解，则实数a 的取值范围是 .（文）若关于x 的方程2310x a -+=在[1,)-+∞上有解，则实数a 的取值范围是 . 11．（理）对于任意0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，不等式242sin cos 2sin p x x x +≥恒成立，则实数p 的范围为 . （文）对于任意0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，不等式24sin cos 0p x x +≥恒成立，则实数p 的最小值为 .12．（理）通过研究函数42()21021f x x x x =-+-在实数范围内的零点个数，进一步研究可得2()21021(3,)ng x x x x n n =+--≥∈N 在实数范围内的零点个数为 . （文）通过研究方程4221021x x x =-++在实数范围内的解的个数，进一步研究可得函数212()21021(3,)n g x xx x n n -=+--≥∈N 在实数范围内的零点个数为 .二. 选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，选对得4分，答案代号必须填在答题纸上．注意试题题号与答题纸上相应编号一一对应，不能错位. 13．（理）“21<-x ”是“103x <-”的 [答]（ ）(A) 充分非必要条件. (B) 必要非充分条件. (C) 充要条件. (D) 既非充分也非必要条件.（文）“21<-x ”是“3<x ”的 [答]（ ）(A) 充分非必要条件. (B) 必要非充分条件. (C) 充要条件. (D) 既非充分也非必要条件.14．（理）若z ∈C ，且221z i +-=，则22z i --的取值范围是 [答]（ ）(A) []2,3. (B) []3,5. (C) []4,5. (D) []4,6.（文）若z ∈C ，且1z =，则2z i -的最大值是 [答]（ ）(A) 2. (B) 3. (C) 4. (D) 5. 15．函数xx x f 52)(+=图像上的动点P 到直线x y 2=的距离为1d ，点P 到y 轴的距离为2d ，则=21d d [答]（ ）(A) 5. (B)55. (C)5. (D) 不确定的正数.16．（理）已知椭圆cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）上的点P 到它的两个焦点1F 、2F的距离之比12:2:PF PF =12(0)2P F F παα∠=<<，则α的最大值为[答]（ ）(A)6π. (B)4π. (C)3π.(D) arccos3.（文）椭圆22221x y ab+=上的点P 到它的两个焦点1F 、2F的距离之比12:2:PF PF =且12(0)2P F F παα∠=<<，则α的最大值为 [答]（ ）(A) 6π. (B)4π. (C)3π.(D) arccos3.三. 解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸上与题号对应的区域内写出必要的步骤． 17.（本题满分12分）（理）已知22cos 10()210311xf x m x -=+的最大值为2，求实数m 的值．D 1 . A 1C 1EABCD B 1（文）已知sin 10()cos 1011x f x m x=-的最大值为2，求实数m 的值．18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． （理）在长方体1111ABC D A B C D -中，2A B =，1AD =，11A A =，点E 在棱A B 上移动.（1）探求A E 等于何值时，直线1D E 与平面11AA D D 成45 角； （2）点E 移动为棱A B 中点时，求点E 到平面11A D C 的距离．（文）如图几何体是由一个棱长为2的正方体1111ABC D A B C D -与一个侧棱长为2的正四棱锥1111P A B C D -组合而成. （1）求该几何体的主视图的面积；（2）若点E 是棱B C 的中点，求异面直线A E 与1PA 所成角的大小（结果用反三角函数表示）.A 1B 1C 1D 1E C BAPD.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．课本中介绍了诺贝尔奖，其发放方式为：每年一次，把奖金总金额平均分成6份，奖励在6项（物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平）为人类作出了最有益贡献的人.每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息用于增加基金总额，以便保证奖金数逐年递增.资料显示:1998年诺贝尔奖发奖后基金总额已达19516万美元，假设基金平均年利率为 6.24%r =.（1）请计算：1999年诺贝尔奖发奖后基金总额为多少万美元？当年每项奖金发放多少万美元（结果精确到1万美元）？（2）设()f x 表示为第x (*x ∈N )年诺贝尔奖发奖后的基金总额(1998年记为(1)f ),试求函数()f x 的表达式.并据此判断新民网一则新闻 “2008年度诺贝尔奖各项奖金高达168万美元”是否与计算结果相符，并说明理由.20.（本题满分17分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分、第3小题满分7分．（理）斜率为1的直线过抛物线22(0)y px p =>的焦点，且与抛物线交于两点A 、B . （1）若2p =，求A B 的值；（2）将直线A B 按向量(,0)a p =-平移得直线m ，N 是m 上的动点，求NA NB ⋅ 的最小值．（3）设(,0)C p ，D 为抛物线22(0)y px p =>上一动点，是否存在直线l ，使得l 被以C D 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由. （文）斜率为1的直线过抛物线24y x =的焦点，且与抛物线交于两点A 、B ． （1）求A B 的值；（2）将直线A B 按向量(2,0)a =-平移得直线m ，N 是m 上的动点，求NA NB ⋅ 的最小值．（3）设(2,0)C ，D 为抛物线24y x =上一动点，证明：存在一条定直线l ：x a =，使得l被以C D 为直径的圆截得的弦长为定值，并求出直线l 的方程．21.（本题满分17分）（理）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．第3小题根据不同思维层次表现予以不同评分．对于数列{}n a（1）当{}n a 满足1n n a a d +-=（常数）且1n na q a +=（常数）， 证明：{}n a 为非零常数列.（2）当{}n a 满足221n naa d +'-=（常数）且212n na q a+'=（常数），判断{}n a 是否为非零常数列，并说明理由.（3）对（1）、（2）等式中的指数进行推广,写出推广后的一个正确结论,并说明理由. （文）本题共有3个小题，第1、2小题满分各5分，第3小题满分7分．第3小题根据不同思维层次表现予以不同评分．对于数列{}n a（1）当{}n a 满足1n n a a d +-=（常数）且1n na q a +=（常数）， 证明：{}n a 为非零常数列.（2）当{}n a 满足221n naa d +'-=（常数）且212n na q a+'=（常数），判断{}n a 是否为非零常数列，并说明理由.（3）对（1）、（2）等式中的指数进行推广,写出推广后的一个正确结论（不用说明理由）.闵行区2008学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷参考答案和评分标准一、填空题：（每题5分）1. 2；2. 理：3450x y -+=、文：23； 3. 理：0、文：0；4.理：0、文：3450x y -+=；5.2；文：40； 6.理：25、文：0；7. 16； 8.理：13351、文：16π； 9.理：1.9、文：115；10.理：1,13⎛⎤⎥⎝⎦、文：1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭； 11.理：[)2,+∞、文：0； 12.理：当n 为大于3的偶数时，2个零点；当n 为大于或等于3的奇数时，3个零点、文：3个零点. 二、选择题：（每题4分）13. A ； 14. B ； 15. C ； 16. C 三、解答题： 17.（本题满分12分） (理) 解：按行列式展开可得：2()2cos 2f x x x m =++ (3分)2cos 21x x m =+++ (6分)2sin(2)16x m π=+++，(9分)从而可得：212m ++=1m ⇒=-．(12分)(文) 解：按行列式展开可得()sin cos f x x m x =- (3分))x φ=+ (6分)由题意得：2= (9分) m =(12分)18.（本题满分14分）（理）解：（1）法一：长方体1111ABC D A B C D -中，因为点E 在棱AB 上移动，所以E A ⊥平面11AA D D ，从而1ED A ∠为直线1D E 与平面11AA D D 所成的平面角，(3分)1Rt ED A ∆中，145ED A ∠=1AE AD ⇒==(6分)法二：以D 为坐标原点，射线DA 、DC 、DD 1依次为x 、y 、z 轴,建立空间直角坐标系，则点1(0,0,1)D ，平面11AA D D 的法向量为(0,2,0)D C =，设(1,,0)E y ，得1(1,,1)D E y =-，(3分)由11sin 4D E D C D E D Cπ⋅=，得y =AE =(6分)（2）以D 为坐标原点，射线DA 、DC 、DD 1依次为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，则点(1,1,0)E ，1(1,0,1)A ， 1(0,2,1)C ，从而1(1,0,1)D A = ，1(0,2,1)DC = ，(1,1,0)D E =(3分)设平面11D A C 的法向量为(,,)n x y z = ，由110n D A n D C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 020x z y z +=⎧⇒⎨+=⎩ 令1(1,,1)2n =-- ， (5分)所以点E 到平面11A D C 的距离为n D Ed n⋅=1=. (8分) （文）解：（1）画出其主视图（如下图）， 可知其面积S 为三角形与正方形面积之和. 在正四棱锥1111P A B C D -中，棱锥的高h =(2分)12442S =⋅=. (6分)（2）取11B C 中点1E ，联结11A E ，11A E AE 则11PA E ∠为异面直线A E 与1PA 所成角. (2分) 在11P A E ∆中，1112A E PA ==，又在正四棱锥1111P A B C D -中，斜高为1PE =， (4分)由余弦定理可得11cos PA E ∠==(6分)所以11arccosPA E ∠=，异面直线A E 与1PA所成的角为arccos(8分)19.（本题满分14分） 解：（1）由题意知：1999年诺贝尔奖发奖后基金总额为119516(1 6.24%)19516 6.24%2⨯+-⨯⨯20124.899220125=≈万美元； (3分)每项奖金发放额为11(19516 6.24%)101.483210162⨯⨯⨯=≈万美元； (6分)（2）由题意知：(1)19516f =，1(2)(1)(1 6.24%)(1) 6.24%2f f f =⋅+-⋅⋅(1)(1 3.12%)f =⋅+，1(3)(2)(1 6.24%)(2) 6.24%2f f f =⋅+-⋅⋅(2)(1 3.12%)f =⋅+2(1)(1 3.12%)f =⋅+所以， 1()19516(1 3.12%)x f x -=⋅+（*x ∈N ）. (5分)2007年诺贝尔奖发奖后基金总额为9(10)19516(1 3.12%)f =⋅+2008年度诺贝尔奖各项奖金额为11(10) 6.24%13462f ⨯⨯⨯≈万美元，与168万美元相比少了34万美元，计算结果与新闻不符. (8分)1千万瑞典克朗怎么换成美元成了，137，154，168万美元？20.（本题满分17分）（理）解：（1）设1122(,),(,)A x y B x y ，2p =时，直线A B ：1,y x =-代入24y x =中可得：2610x x -+= （2分） 则126x x +=，由定义可得：128AB x x p =++=. （4分） （2）直线A B ：2p y x =-，代入22(0)y px p =>中，可得：221304x px p -+=则123x x p +=，2124px x =，设00(,)2p N x x +，则10102020(,),(,)22p p N A x x y x N B x x y x =---=---即22120120120120()()()()22p p N A N B x x x x x x y y x y y x ⋅=-+++-++++ （2分）由22121212123,,,24px x p x x y y p y y p +===-+= （4分）则222200037242()22N A N B x px p x p p ⋅=--=--当0x p =时，NA NB ⋅ 的最小值为272p -． （6分）（3）假设满足条件的直线l 存在，其方程为x a =，设C D 的中点为O '，l 与以C D 为直径的圆相交于点P 、Q ，设PQ 的中点为H ，则O H PQ '⊥，O '点的坐标为1122x p y +⎛⎫⎪⎝⎭，．12O P C D '===∵，111222x p O H a a x p +'=-=--， （2分）222PHO P O H''=-∴2221111()(2)44x p a x p =+---1()2p a x a p a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭， 22(2)PQPH =∴14()2p a x a p a ⎡⎤⎛⎫=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦． （5分）令02p a -=，得2p a =，此时PQ p =为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2p x =，即抛物线的通径所在的直线． （7分）（文）（1）设1122(,),(,)A x y B x y ，直线A B ：1,y x =-代入24y x =中可得：2610x x -+= （2分） 则126x x +=，由定义可得：128AB x x p =++=. （4分） （2）由（1）可设00(,1)N x x +，则10102020(,1),(,1)NA x x y x NB x x y x =---=---即22120120120120()(1)()(1)NA NB x x x x x x y y x y y x ⋅=-+++-++++（2分）由126x x +=，121x x =，12124,4y y y y =-+= （4分） 则220002862(2)14NA NB x x x ⋅=--=--当02x =时，NA NB ⋅的最小值为14-． （6分）（3）设C D 的中点为O '，l 与以C D 为直径的圆相交于点P 、Q ，设PQ 的中点为H ，则O H PQ '⊥，O '点的坐标为11222x y +⎛⎫⎪⎝⎭，．12O P C D '===∵，11212222x O H a a x +'=-=--， （2分） 222PH O P O H''=-∴221111(4)(22)44x a x =+---()2112a x a a =--+，22(2)PQPH =∴()21412a x a a ⎡⎤=--+⎣⎦． （5分） 令10a -=，得1a =，此时2PQ =为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为1x =，即抛物线的通径所在的直线． （7分） 21.（本题满分17分）（理）解：（1）（法一）11n n n n a a da qa ++-=⎧⎪⎨=⎪⎩(1)n n n qa a d q a d ⇒-=⇒-= 当1q =时，0n a ≠ ，所以0d =； 当1q ≠时，1n d a q ⇒=-是一常数，矛盾，所以{}n a 为非零常数列； （4分）（法二）设1(1)n a a n d =+-，则有：111(11)(1)n na a n d q a a n d+++-==+-，即11()a nd a q qd qdn +=-+所以11d qd a qa qd=⎧⎨=-⎩，解得01d q =⎧⎨=⎩.由此可知数列{}n a 为非零常数列； （4分）（2）记2n n a b =，由（1）证明的结论知： {}2n a 为非零常数列. （2分） 显然，{}2n a 为非零常数列时，{}n a 不一定为非零常数列,如:非常数数列()nn a p =-（p 为大于0的正常数）和常数列(n a p p =为非零常数）均满足题意要求. （5分） （3）根据不同思维层次表现予以不同评分．1仅推广到3次方或4次方的结论或者是特殊次方的结论 （结论1分，解答1分）2{}na 满足1m m n naad +'-=（常数）且1mn m na q a+'=（常数），则当m 为奇数时，{}n a 必为非零常数列；当m 为偶数时，{}n a 不一定为非零常数列.事实上，记m n n a b =，由（1）证明的结论知：{}n b 为非零常数列，即{}m n a 为非零常数列.所以当m 为奇数时，{}n a 为非零常数列；当m 为偶数时，{}n a 不一定为非零常数列. （结论2分，解答2分）或者：设1(1)m m n a a n d =+-，即mn a A B n =+，则1(1)mmn mna A n B q a A n B +++⎛⎫'== ⎪+⎝⎭,即1mB A Bn ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭对一切n *∈N 均为常数，则必有0B =，即有m n a A =，当m为奇数时，n a =m为偶数时，0)n a A =>或者(0)n a A =<.3{}na 满足1mm n naad +'-=（常数）且1ln l na q a +'=（常数），且m l 、为整数，当m l 、均为奇数时，{}n a 必为非零常数列；否则{}n a 不一定为常数列.事实上，条件1ln l na q a +'=（正常数）可以转化为1()mm n l mna q a +'=（常数），整个问题转化为2 ，结论显然成立. （结论3分，解答3分）或者：设1(1)m m n a a n d =+-,即mn a A Bn =+，当m为奇数时，有n a =,则1(1)l l mn l naA nB q aA nB +++⎛⎫'== ⎪+⎝⎭，即1lmB A Bn ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭对一切n *∈N 均为常数，则必有0B =，即有mn a A =，则n a =m 为偶数时，如反例：(1)nn a =-n *∈N ,它既满足m 次方后是等差数列，又是l （不管l 为奇数还是偶数）次方后成等比数列，但它不为常数列. 4{}na 满足1m m n naad +'-=（常数）且1ln l na q a+'=（常数）,m l 、为有理数，'0q >, 则{}n a 必为非零常数列；否则{}n a 不一定为常数列.证明过程同3（结论4分，解答3分）5{}na 满足1m m n naad +'-=（常数）且1ln lna q a +'=（常数），且m l 、为实数，'0q >,{}na 是不等于1的正数数列，则{}na 必为非零且不等于1的常数列；否则{}na 不一定为常数列.事实上，当'0q >，m l 、为实数时，条件1ln l na q a+'=同样可以转化为1()mm n l m na q a+'=,记mnn a b =，由第（1）题的结论知：{}n b 必为不等于1的正常数数列，也即{}m n a 为不等于1的正常数数列，n a ={}n a 也是不等于1的正常数数列.（结论5分，解答3分）（文）解：（1）（法一）11n n n n a a d a qa ++-=⎧⎪⎨=⎪⎩(1)n n n qa a d q a d ⇒-=⇒-= （2分）当1q =时，0n a ≠ ，所以0d =； 当1q ≠时，1n d a q ⇒=-是一常数，矛盾，所以{}n a 为非零常数列； （5分）（法二）设1(1)n a a n d =+-，则有：111(11)(1)n na a n d q a a n d+++-==+-，即11()a nd a q qd qdn +=-+ （2分） 所以11d qd a qa qd =⎧⎨=-⎩，解得01d q =⎧⎨=⎩.由此可知数列{}n a 为非零常数列； （5分）（2）记2n n a b =，由（1）证明的结论知： {}2n a 为非零常数列. （2分） 显然，{}2n a 为非零常数列时，{}n a 不一定为非零常数列,如:非常数数列()nn a p =-（p 为大于0的正常数）和常数列(n a p p =为非零常数）均满足题意要求. （5分） （3）根据不同思维层次表现予以不同评分．1仅推广到3次方或4次方的结论或者是特殊次方的结论 （结论1分）2{}na 满足1m m n naad +'-=（常数）且1mn m na q a+'=（常数），则当m 为奇数时，{}n a 必为非零常数列；当m 为偶数时，{}n a 不一定为非零常数列.事实上，记m n n a b =，由（1）证明的结论知：{}n b 为非零常数列，即{}m n a 为非零常数列.所以当m 为奇数时，{}n a 为非零常数列；当m 为偶数时，{}n a 不一定为非零常数列. （结论3分）或者：设1(1)m m naan d =+-，即m naA B n =+，则1(1)mmn mna A n B q a A n B +++⎛⎫'== ⎪+⎝⎭,即1mBA Bn ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭对一切n *∈N 均为常数，则必有0B =，即有m n a A =，当m为奇数时，n a =m为偶数时，0)n a A =>或者(0)n a A =<.3{}na 满足1mm n naad +'-=（常数）且1ln l n a q a+'=（常数），且m l 、为整数，当m l 、均为奇数时，{}n a 必为非零常数列；否则{}n a 不一定为常数列.事实上，条件1ln ln a q a+'=（正常数）可以转化为1()mm n l mna q a+'=（常数），整个问题转化为2 ，结论显然成立. （结论5分）或者：设1(1)m m n a a n d =+-,即mn a A Bn =+，当m为奇数时，有n a =,则1(1)l l mn l naA nB q aA nB +++⎛⎫'== ⎪+⎝⎭，即1lmB A Bn ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭对一切n *∈N 均为常数，则必有0B =，即有mn a A =，则n a =m 为偶数时，如反例：(1)nn a =-n *∈N ,它既满足m 次方后是等差数列，又是l （不管l 为奇数还是偶数）次方后成等比数列，但它不为常数列. 4{}na 满足1m m n naad +'-=（常数）且1ln l na q a+'=（常数）,m l 、为有理数，'0q >, 则{}n a 必为非零常数列；否则{}n a 不一定为常数列.证明过程同3（结论6分）5{}n a 满足1m m n naad +'-=（常数）且1ln l na q a+'=（常数），且m l 、为实数，'0q >,{}na 是不等于1的正数数列，则{}na 必为非零且不等于1的常数列；否则{}na 不一定为常数列.事实上，当'0q >，m l 、为实数时，条件1ln l na q a+'=同样可以转化为1()mm n l m na q a+'=,记mnn a b =，由第（1）题的结论知：{}n b 必为不等于1的正常数数列，也即{}m n a 为不等于1的正常数数列，n a ={}n a 也是不等于1的正常数数列.（结论7分）。
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上海市静安区2008学年第二学期高三教学质量检测 数学理科 2009.4
（满分150分，考试时间120分钟） 考生注意： 本试卷包括试题纸和答题纸两部分．在本试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题．可使用符合规定的计算器答题． 一、填空题（本大题满分60分）本大题共有12题，每题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果． 1．直线013yx的倾斜角为 ． 2．已知全集RU，集合0542xxxM，1xxN， 则)(NCMU= ． 3．若复数z满足iiz3 (其中i是虚数单位)，则z= ． 4．二项式6)21(x展开式中3x系数的值是 ． 5．市场上有一种“双色球”福利彩票，每注售价为2元，中奖 概率为6.71%，一注彩票的平均奖金额为14.9元．如果小王购 买了10注彩票，那么他的期望收益是 元． 6．把5cos3cos化为积的形式，其结果为 ． 7．已知)(yxP，是椭圆191622yx上的一个动点，则 yx的最大值是 ．
8．已知21tan1tan2xx（]0[，x），则x的值是 ． 9．如图是输出某个数列前10项的框图，则该数列第3项 的值是 ． 10. 在极坐标系中,过圆6cos的圆心,且垂直于极轴的 直线的极坐标方程是 ． 11．如图，用一平面去截球所得截面的面积为2cm2，已知 球心到该截面的距离为1 cm，则该球的体积是 cm3.
输出A 1NN
10N否
结束 是
1A 1A
开始
1N
第9题 322AAA
理第11题 12．在△ABC中，5AB，7AC，D是BC边的中点，则BCAD的值 是 . 二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题4分．每题只有一个正确答案，选择正确答案的字母代号并按照要求填涂在答题纸的相应位置．
13．线性方程组78615304zyxzyxzyx的增广矩阵是„„„„„„„„„（ ）．
A．786115130411 B．786115130411 C． 861513411 D．854611131 14．在直角坐标系xoy中，已知△ABC的顶点)01(，A和)01(，C，顶点B在椭圆13422yx 上，则BCAsinsinsin的值是„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（ ）． A．23 B．3 C．2 D．4 15. 以cba、、依次表示方程232212xxxxxx、、的根，则cba、、的大小顺 序为„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（ ）． A．cba B．cba C．bca D．cab
16．已知数列na，对于任意的正整数n，)2010(.)31(2)20091(12009nnann，，设nS表示数列na 的前n项和．下列关于nnSlim的结论，正确的是„„„„„„„„„„„„„„（ ）． A．1limnnS B．2008limnnS C．)2010(.1)20091(2009limnnSnn，（*Nn） D．以上结论都不对 三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸上与题号对应的区域写出必要的步骤. 17．(本题满分12分) 动物园要建造一面靠墙的2间面积相同的长方形熊猫居室（如图所 示）．如果可供建造围墙的材料长是30米，那么宽x为多少米时才能使所建造的熊猫居室面积最大？熊猫居室的最大面积是多少平方米？ 18. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.
303x x 在长方体DCBAABCD中，2AB，1AD，1AA．求： （1）顶点D到平面ACB的距离； （2）二面角BACB的大小．（结果用反三角函数值表示）
19．(本题满分15分) 本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分4分， 第3小题满分8分. 设数列na的前n和为nS，已知311S，3132S，3163S，3644S，
一般地，)().12(3412)(),12(3412)1(212为偶数时当为奇数时当nnnnSnnn（*Nn）． （1）求4a； （2）求na2； （3）求和：nnaaaaaaaa212654321．
20．(本题满分15分) 本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分10分. 已知a为实数，函数3sin)(af，1sin)1(3)(ag（R）． （1）若cos)(f，试求a的取值范围； （2）若1a，求函数)()(gf的最小值．
A D B C
B C D A 21．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分7分，
第3小题满分7分. 已知BA、是抛物线xy42上的相异两点． （1）设过点A且斜率为1的直线1l，与过点B且斜率1的直线2l相交于点P(4，4)，求直线AB的斜率； （2）问题（1）的条件中出现了这样的几个要素：已知圆锥曲线，过该圆锥曲线上的 相异两点A、B所作的两条直线21ll、相交于圆锥曲线上一点；结论是关于直线AB的斜率的值．请你对问题（1）作适当推广，并给予解答；
（3）线段AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点)0(0，xQ．若50x，试用线段AB中点的纵坐标表示线段AB的长度，并求出中点的纵坐标的取值范围．
数学文理科试卷参考答案与评分标准2009.4 说明 1. 本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分. 2. 评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅. 当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分. 3. 第17题至第21题中右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的该题累加分数. 4. 给分或扣分均以1分为单位. 答案及评分标准
1．3； 2．1xx； 3．10； 4．160； 5．（理）66.8元；（文）0.7； 6．（理）coscos42； （文）200赫兹； 7．（理）5； （文）p=4．
8．（理）858xx或； （文）Zkkxx,6
9．2113； 10．（理）cos3； （文）方程为01yx． 11．（理）34； （文）21； 12．12．
13——16：A； C ； C； 理B文A 17．设熊猫居室的总面积为y平方米，由题意得：)100()330(xxxy．„ 6分 解法1：75)5(32xy，因为)10,0(5，而当5x时，y取得最大值75． 10分 所以当熊猫居室的宽为5米时，它的面积最大，最大值为75平方米． „„ 12分 解法2：2]2)330(3[31)]330(3[31)330(xxxxxxy=75，当且仅当
xx3303，即5x时，y取得最大值75． „„ 10分
所以当熊猫居室的宽为5米时，它的面积最大，最大值为75平方米． „„ 12分
18．理：如图，建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为)0,0,1(A、)0,0,0(D、)0,2,0(C、)1,0,1(A、)1,2,1(B、)1,0,0(D． „„2分
设平面ACB的法向量为),,(wvun，则ABn，CBn． 因为)1,2,0(AB，)1,0,1(CB， „„3分 0ABn，0CBn， 所以.0,02wuwv解得vwvu2,2，取1v，得平面ACB一个法向量)2,1,2(n，且3n． „„5分 （1）在平面ACB取一点A，可得)1,0,1(DA，于是顶点D到平面ACB的距离
34nDAnd，所以顶点D到平面ACB的距离为34， „„8分
（2）因为平面ABC的一个法向量为)1,0,0(1n，设n与1n的夹角为，则 32cos11
nn
nn， „„12分
结合图形可判断得二面角BACB是一个锐角，它的大小为32arccos．„„14分
文：（1）圆锥底面积为9 cm2， „„1分 设圆锥高为hcm，由体积hV931， „„5分 由12Vcm3得4hcm； „„8分 （2）母线长5lcm， „„9分
设底面周长为c，则该圆锥的侧面积=cl21， „„12分 所以该圆锥的侧面积=15cm2． „„14分
19．（理）（1）164a； „„3分 （2）当kn2时，（*Nk）
kkkkkkkkSSa22222212222)]12(3412)2([)12(3412)2(， „„6分
所以，nna42（*Nn）． „„8分
A D A B C
B C D