考研数学三选择题专项强化真题试卷21 (含答案解析)
考研数学三解答题专项强化真题试卷22(题后含答案及解析)
考研数学三解答题专项强化真题试卷22(题后含答案及解析)题型有：1.1．[2017年] 计算积分其中D是第一象限中曲线与x轴为边界所围成的无界区域．正确答案：涉及知识点：多元函数微积分学2．正确答案：3．正确答案：4．设总体X的概率密度为其中θ是未知参数(0＜θ＜1)，X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本，记N为样本值χ1，χ2，…，χn中小于1的个数．求(Ⅰ)θ的矩估计；(Ⅱ)θ的最大似然估计．正确答案：(Ⅰ)EX＝∫－∞＋∞χf(χ；θ)dχ＝∫01χ.θdχ＋∫12χ.(1－θ)dχ＝－θ∴故知θ的矩估计为．(Ⅱ)似然函数而由题意，χ1，χ2…，χn中有N个的值在区间(0，1)内。
故知L＝θN(1－θ)n-N ∴lnL＝Nlnθ＋(n－N)ln(1－θ)，得故知θ的最大似然估计为．涉及知识点：概率论与数理统计5．(93年)设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N(t)服从参数为λt的泊松分布．(1)求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布；(2)求在设备已经无故障工作8小时的情形下，再无故障运行8小时的概率Q．正确答案：由题意，P{N(t)＝k}＝，k＝0，1，2，…(1)考虑P{T＞t}．显然，t≤0时，P{T＞t}＝1；T＞0时，P{T＞t}＝P{N(t)＝0}＝＝e-λt 故T的分布函数F(t)＝P{T≤t}＝1－P{T＞t} ＝(2)所求概率为涉及知识点：概率论与数理统计6．(1996年)设f(x)在区间[0，1]上可微，且满足条件，试证：存在ξ∈(0，1)，使f(ξ)+ξf’(ξ)=0．正确答案：令φ(x)=xf(x)，由积分中值定理可知，存在使由已知条件，有由于φ(1)=f(1)=φ(η)并且φ(x)在[η，1]上连续，在(η，1)上可导，故由罗尔定理可知，存在ξ∈(η，1)(0，1)，使得φ’(ξ)=0即f(ξ)+ξf’(ξ)=07．正确答案：8．(2000年)生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重50千克，标准差为5千克。
考研数学三真题及答案
6、设二次型 f x , x , x 在正交变换 x Py 下的标准形为 2 y2 y2 y2 ，其中 P e , e , e ，
133
1
2
3
123
若 Q e1, e3, e2 ，则 f x1, x3 , x3 在正交变换 x Qy 下的标准形为（ ）
(n +1)! nn (n+1)
= limç
n
÷n = 1 <1 ，所以(D)是收敛的。
n (n +1) n! n ç1+ n÷ e
1 1 ç 1÷ 1
1 ç 1÷
对于(B)选项， n1
n
ln
1
n
，
ln
ç1+
n
÷
，所以
n
n ln ç1+ n÷
11 ，根据 p 级数的
nn
5
f 1 2
11. 若函数 z z(x, y) 由方程 ex2 y3z xyz 1确定，则 dz (0,0)
【答案】 1 dx 2dy
3
zz 【解析】这道题目主要考查的是隐函数求偏导数。对于这道题目求全微分，分别求出 ,
xy
ex2
y3z
1
3
z x
【答案】2
【解析】对于这道题目主要是考查变上限积分求导数。
(1)
1
f (t)dt 1
0
x2
x2
(x) 0 xf (t)dt x0 f (t)dt
(x) x2 f (t)dt xf x 2 2x 0
(1)
1
0f
2021考研数学三真题试卷(Word版)
2021考研数学三真题试卷(Word版)2021年全国硕士研究生招生考试数学（三）试题一、选择题（1-10小题，每小题5分，共50分）1) 当x趋近于无穷大时，∫x2(et-1)dt是x7的（）A) 低阶无穷小 (B) 等价无穷小 (C) 高阶无穷小 (D) 同阶但非等价无穷小2) 函数f(x)={ex-1.x≠0.x。
x=0}，在x=0处（）A) 连续且取得极大值 (B) 连续且取得极小值 (C) 可导且导数等于零 (D) 可导且导数不为零3) 设函数f(x)=ax-blngx(a>0)有2个零点，则b/a的取值范围（）A) (e。
+∞) (B) (0.e) (C) (0.1/e) (D) (-∞。
0)∪(1/e。
+∞)4) 设函数f(x,y)可微，且f(x+1,e)=x(x+1)，f(x,x)=2xlnx，则df(1,1)为()A) dx+dy (B) dx-dy (C) dy (D) -dy5) 二次型f(x1,x2,x3)=(x1+x2)2+(x2+x3)2-(x3-x1)2的正惯性指数与负惯性指数依次为()A) 2,0 (B) 1,1 (C) 2,1 (D) 1,26) 设A=(α1,α2,α3,α4)的4阶正交矩阵，若矩阵B=[α2;1 α3]，β=1，k表示任意常数，则线性方程组Bx=β的通解x=()A) α2+α3+α4+kα1 (B) α1+α3+α4+kα2 (C) α1+α2+α4+kα3 (D) α1+α2+α3+kα47) 已知矩阵A=[2 -1;1 1]，使得PAQ为对角矩阵，则下三角可逆矩阵P和上三角可逆矩阵Q，分别取()A) P=1，Q=[1 1;3 2] (B) P=2-1，Q=[1 1;3 2] (C) P=2-1，Q=[1 1;-3 1] (D) P=1，Q=[-3 1;1 1]8) 设A,B为随机事件，且0<P(B)<1，下列为假命题的是()A) 若P(A|B)=P(A)，则P(A∩B)=P(A)P(B)B) 若A,B互不相容，则P(A∪B)=P(A)+P(B)C) 若P(A|B)>P(A)，则P(B|A)>P(B)D) 若P(A|B)<P(A)，则P(B|A)<P(B)一、改错题B) 若 $P(A|B)>P(A)$，则 $P(A|B)>P(A)$。
2021考研数学三测试卷解析
f (0) _____ .
【答案】0
【解析】由已知等式得 f (0) 0.
等式两边同时对 x 求导，得 2 f (x) 1 f ( x) 2(1 2x), （*）.令 x 0, 得 f (0) 4 .
由 f (0, 0) 0, 得 C 0, 故 f (x, y) x2 3x y 2 4 y.
由
z x
2x
3
0,
z y
2y
4
0,
得
x1
3 2
,
y1
2,
f
(3 2
, 2)
25 . 4
令 L(x, y, ) x2 y 2 3x 4 y (x2 y 2 25),
由
Lx Ly
L
因此 Y
X
2 1
X
2 2
X
2 3
X
2 4
2
X
2 3
X 42
~ F (2, 2). 因为 P{Y
y } , 即 y
F (2, 2), 又
2
1 1 P{Y
y} P{Y y} P{Y
y }
P{
1 Y
1 }, y
而
1 ~ F (2, 2), Y
所以
y1
1 y
, 所以（A）正确.
二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答．题．纸．指定位置上.
X
2 3
X 42
, 对给定的
(0 1), 数 y 满足 P{Y y } , 则有（ ）
（A） y y1 1.
2023考研数学三真题试卷+参考答案(超清版)
2023年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题及答案考试时间：180分钟，满分：150分一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．（1）已知函数(,)ln(sin )f x y y x y =+，则（）（A ）(0,1)f x ∂∂不存在，(0,1)fy ∂∂存在 （B ）(0,1)f x ∂∂存在，(0,1)fy ∂∂不存在（C ）(0,1)f x∂∂，(0,1)f y∂∂均存在（D ）(0,1)f x∂∂，(0,1)f y∂∂均不存在【答案】A（2）设0()(1)cos ,0x f x x x x ≤=+>⎩的一个原函数为（ ）（A）),0()(1)cos sin ,0x x F x x x x x ⎧⎪−≤=⎨+−>⎪⎩（B）)1,0()(1)cos sin ,0x x F x x x x x ⎧⎪−+≤=⎨+−>⎪⎩（C）),0()(1)sin cos ,0x x F x x x x x ⎧⎪+≤=⎨++>⎪⎩（D）)1,0()(1)sin cos ,x x F x x x x x ⎧⎪++≤=⎨++>⎪⎩【答案】D（3）若微分方程0y ay by ′′′++=的解在(,)−∞+∞上有界，则（ ） （A ）0,0a b <>（B ）0,0a b >>（C ）0,0ab =>（D ）0,0ab =<【答案】C （4）已知(1,2,)nn a b n <= ，若级数1n n a ∞=∑与1n n b ∞=∑均收敛，则“1n n a ∞=∑绝对收敛”是“1n n b ∞=∑绝对收敛”的（ ）（A ）充分必要条件（B ）充分不必要条件（C ）必要不充分条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A（5）设A ，B 为n 阶可逆矩阵，*M 为矩阵M 的伴随矩阵，则*A E OB ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） （A ）****A B B A O B A ⎛⎫−⎪⎝⎭（B ）****B A A B O A B ⎛⎫−⎪⎝⎭（C ）****B A B A OA B ⎛⎫−⎪⎝⎭（D ）****A B A B OB A ⎛⎫−⎪⎝⎭【答案】B （6）二次型222123121323(,,)()()4()f x x x x x x x x x =+++−−的规范形为（ ）（A ）2212y y +（B ）2212y y −（C ）2221234y y y +−（D ）222123y y y +−【答案】B（7）已知向量1123α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2211α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1259β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2101β⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，若γ既可由12,αα线性表示，也可由12,ββ线性表示，则γ=（ ）（A ）33,4k k R ⎛⎫⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭（B ）35,10k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭（C ）11,2k k R −⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭（D ）15,8k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】D（8）设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则()E X EX −=（ ）（A ）1e（B ）12（C ）2e（D ）1【答案】C（9）设12,,,n X X X 为来自总体21(,)N μσ的简单随机样本，12,,,m Y Y Y 为来自总体22(,2)N μσ的简单随机样本，且两样本相互独立，记11n i i X X n ==∑，11mi i Y Y m ==∑，22111()1n i i S X X n ==−−∑,22211(1m i i S Y Y m ==−−∑,则（ ） （A ）2122(,)S F n m S （B ）2122(1,1)S F n m S −− （C ）21222(,)S F n m S （D ）21222(1,1)S F n m S −− 【答案】D（10）设12,X X 为来自总体2(,)N μσ的简单随机样本，其中(0)σσ>是未知参数，记12a X X σ=−,若()E σσ=,则a =（ ）（A ）2π（B ）2π（C（D【答案】A二、填空题：11～16小题，每小题5分，共30分，请将答案写在答题纸指定位置上． （11）211lim 2sincos x x x x x →∞⎛⎫−−= ⎪⎝⎭________ 【答案】23（12）已知函数(,)f x y 满足22(,)xdy ydx df x y x y −=+，(1,1)4f π=，则f =________【答案】3π（13）20(2)!nn x n ∞==∑_________【答案】2x xe e −+（14）设某公司在t 时刻的资产为()f t ，从0时刻到t 时刻的平均资产等于()f t t t−，假设()f t 连续且(0)0f =，则()f t =________【答案】2(1)t e t −−（15）已知线性方程组13123123121202ax x x ax x x x ax ax bx +=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪+=⎩有解，其中,a b 为常数，若0111412a a a =，则11120a a ab =_______【答案】8（16）设随机变量X 与Y 相互独立，且(1,)X B p ，(2,)Y B p ,(0,1)p ∈，则X Y +与X Y −的相关系数为________【答案】13−三、解答题：17～22小题，共70分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）（本题满分10分）已知可导函数()y y x =满足2ln(1)cos 0x ae y y x y b ++−++=，且(0)0y =，(0)0y ′= （1）求,a b 的值；（2）判断0x =是否为()y x 的极值点【答案】（1）1,1a b ==− （2）0x =是()y x 的极大值点（18）（本题满分12分）已知平面区域{(,)01}D x y y x =≤≤≥（1）求D 的面积（2）求D 绕x 轴旋转所成旋转体的体积【答案】（1）ln(1S =+（2）24V ππ=−（19）（本题满分12分）已知平面区域22{(,)(1)1}D x y x y =−+≤，计算二重积分1DI dxdy=【答案】3299π−−（20）（本题满分12分）设函数()f x 在[,]a a −上具有2阶连续导数，证明： （1）若(0)0f =，则存在(,)a a ξ∈−，使得21()[()()]f f a f a aξ′′=+−（2）若()f x 在(,)a a −内取得极值，则存在(,)a a η∈−，使得21()()()2f f a f a a η′′≥−−【答案】（1）利用泰勒公式在0x =处展开，再利用介值性定理； （2）利用泰勒公式在极值点处展开，再利用基本不等式进行放缩；（21）（本题满分12分）设矩阵A 满足对任意123,,x x x 均有112321233232x x x x A x x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=−+ ⎪ ⎪⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭（1）求A（2）求可逆矩阵P 与对角矩阵Λ，使得1P AP −=Λ【答案】（1）111211011A ⎛⎫⎪=− ⎪⎪−⎝⎭（2）401310112P −⎛⎫⎪=− ⎪ ⎪⎝⎭，1221P AP −⎛⎫ ⎪=Λ=− ⎪ ⎪−⎝⎭（22）（本题满分12分）设随机变量X 的概率密度为2(),(1)xx e f x x e =−∞<<+∞+，令X Y e =（1）求X 的分布函数（2）求Y 的密度函数（3）Y 的期望是否存在？【答案】（1）(),1xxe F x x e=−∞<<+∞+（2）21,0(1)()0,y y f y else ⎧>⎪+=⎨⎪⎩（3）不存在。
考研数学三解答题专项强化真题试卷23(题后含答案及解析)
考研数学三解答题专项强化真题试卷23(题后含答案及解析)题型有：1.1．设函数f(x)=｜t2－x2｜dt(x＞0)，求f’(x)，并求f(x)的最小值．正确答案：当0当x>1时，f(x)=(x2一t2)dt=x2一，所以f(x)=而故由f’(x)=0求得唯一驻点x=，又f’()>0，从而x=为f(x)的最小值点，最小值为f()=．2．[2007年] 设二元函数计算二重积分其中D={(x，y)｜|x|+|y|≤2}．正确答案：解一由区域的对称性和被积函数的奇偶性，有其中D1为D 在第一象限的部分，而D=D11+D22={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1－x)+{(x，y)|1≤x+y≤2，x≥0，y≥0}，如图1．4．5．12所示．易求得因D22上的被积函数为可用极坐标系计算．令x=rcosθ，y=rsinθ．在极坐标系(r，θ)中，x+y=1的极坐标方程是的极坐标方程是因而解二由解一得到令作变量代换，则θ=2arctant，于是θ：时，有t：0→1，且代入即得综上所述，得到涉及知识点：多元函数微积分学3．正确答案：4．设由自动线加工的某种零件的内径X(毫米)服从正态分布N(μ，1)，内径小于10或大于12为不合格品，其余为合格品．销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损．已知销售利润T(单位：元)与销售零件的内径X有如下关系：问平均内径μ取何值时，销售一个零件的平均利润最大?正确答案：ET＝(－1)P(X＜10)＋20.P(10≤X≤12)－5.P(X＞12) ＝(－1).P(X－μ＜10－μ)＋20P(10－μ≤X－μ≤(12－μ)－5P(X－μ＞12－μ) ＝(－1)Ф(10－μ)＋20[Ф(12－μ)－Ф(10－μ)]－5[1－Ф(12－μ)] ＝25Ф(12－μ)－21Ф(10－μ)－5 ∴(ET)′μ＝25φ(12－μ).(－1)－21.Ф(10－μ).(－1) ＝其中φ(χ)＝为标准正态分布的概率密度令(ET)′μ，得．两边取对数，得μ0＝11－可以验证，故ET在μ＝μ0。
考研数学三选择题专项强化真题试卷11(题后含答案及解析)
考研数学三选择题专项强化真题试卷11(题后含答案及解析)题型有：1.1．[2004年]函数在区间( )内有界．A．(－1，0)B．(0，1)C．(1，2)D．(2，3)正确答案：A解析：解一大家知道，若f(x)在有限闭区间[a，b]上连续，则f(x)一定在[a，b]上有界，但若f(x)在开区间(a，b)内连续，则f(x)在(a，b)内未必有界，而如果再附加条件和存在，则f(x)必在(a，b)内有界，这就是命题1．1．1．1(2)．由于下述极限存在，又f(x)在(－1，0)内连续，故由命题1．1．1．1(2)知f(x)在(－1，0)内有界．仅(A)入选．解二因可补充定义则补充定义后的函数f(x)成为有界闭区间[－1，0]上的连续函数．利用有界闭区间上连续函数的有界性可知f(x)在[－1，0)[－1，0]上有界．仅(A)入选．解三因由命题[1．1．1．1(1)：如果x∈(a,b)，或则f(x)在(a,b)内无界。
即知，f(x)在(0，1)及(1，2)，(2，3)内均无界．仅(A)入选．注：命题1．1．1．1 (1)如果x0(a，b)，或则f(x)在(a，b)内无界．(2)如果和存在，且f(x)在(a，b)内连续，则f(x)在(a，b)内有界．知识模块：函数、极限、连续2．设随机变量X～N(0，1)，y～N(1，4)，且相关系数ρXY＝1，则A．P{Y＝－2X－1}＝1B．P{Y＝2X－1}＝1C．P{Y＝－2X＋1}＝1D．P{Y＝2X＋1}＝1正确答案：D解析：如果选项A或C成立，则应ρXY＝1，矛盾；如果选项B成立，那么EY＝2EX－1＝－1，与本题中EY＝1矛盾．只有选项D成立时，ρXY＝1，EY＝2EX＋1＝1，DY＝4DX＝4，符合题意，故选D．知识模块：概率论与数理统计3．(2000年)设对任意的x，总有φ(x)≤f(x)≤g(x)，且[g(x)一φ(x)]=0，则( )A．存在且一定等于零。
2023年全国硕士研究生招生考试数学试题(数学三)真题解析
2023 考研数学三真题及解析一、选择题：1~10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1．已知函数 f( ,x y ) = ln ( y + x sin y )，则（ ）.（A ）()0,1f x ∂∂不存在，()0,1fy∂∂存在（B ）()0,1f x∂∂存在，()0,1fy ∂∂不存在（C ）()0,1f x∂∂()0,1f y∂∂均存在（D ）()0,1f x∂∂()0,1f y∂∂均不存在【答案】（A ）【解析】 本题考查具体点偏导数的存在性，直接用定义处理，()0,10f =()()()()0,1000ln 1sin1sin1,10,1sin1,0lim lim limsin1,0x x x x x f x f x fx x x x x +−→→→+ −→∂=== ∂−→ 故()0,1f x∂∂不存在()()()0,1110,0,1ln lim lim 111y y f y f f y y y y →→−∂===∂−−，()0,1f y∂∂存在，选（A ）2.函数() 0,()1cos ,0.x f x x x x ≤=+>的一个原函数是( )(A)), 0,()(1)cos sin ,0.x x F x x x x x −≤= +−>(B))1, 0,()(1)cos sin ,0.x x F x x x x x +≤=+−>(C)), 0,()(1)sin cos ,0.x x F x x x x x −≤= ++>(D))1, 0,()(1)sin cos ,0.x x F x x x x x +≤=++> 【答案】(D) .【分析】本题主要考查原函数的概念,分段函数不定积分的求法以及函数可导与连续的关系.【详解】由于当0x <时，)1()lnF xx x C==+∫当0x >时，()()2()1cos d 1sin cos F x x x x x x x C =+=+++∫由于()F x 在0x =处可导性，故()F x 在0x =处必连续因此，有00lim ()lim ()x x F x F x −+→→=，即 121C C =+.取20C =得)1, 0,()(1)sin cos ,0.x x F x x x x x −+≤= ++> 应选(D) .【评注】此题考查分段函数的不定积分，属于常规题，与2016年真题的完全类似，在《真题精讲班》系统讲解过. 原题为已知函数2(1),1,()ln , 1.x x f x x x −< = ≥则()f x 的一个原函数是( )(A) 2(1),1,()(ln 1), 1.x x F x x x x −<= −≥ (B) 2(1),1,()(ln 1)1, 1.x x F x x x x −<=+−≥ (C) 2(1),1,()(ln 1)1, 1.x x F x x x x −<= ++≥ (D) 2(1),1,()(ln 1)1, 1.x x F x x x x −<= −+≥3．若微分方程0y ay by ′′′++=的解在(,)−∞+∞上有界，则（ ）（A ）00a b <>， （B ）00a b >>， （C ）00a b =>， （D ）00a b =<， 【答案】（C ）【解析】特征方程为20r ar b ++=，解得1,2r =．记24a b ∆=−当0∆>时，方程的通解为1212()e e r x r x yx c c ⋅⋅=+，当12,c c 不全为零时()y x 在(,)−∞+∞上无界.当12,c c 不全为零时()y x 在(,)−∞+∞上无界.当0∆=时，1202ar r −=<=，方程的通解为1112()e e r x r x yx c c x =+，当12,c c 不全为零时()y x 在(,)−∞+∞上无界.当0∆<时，1,22a r i β=−±,方程的通解为()212()e cos sin axy x c x c x ββ−=+． 只有当0a =，且240a b ∆=−<，即0b >时，lim ()lim ()0x x y x y x →+∞→−∞==，此时方程的解在(,)−∞+∞上有界. 故选（C ）【评注】此题关于x →+∞方向的讨论，在《基础班》习题课上讲解过，见《基础班》习题课第八讲《常微分方程》第15题.4.已知()1,2,n n a b n <=，若1nn a∞=∑与1n n b ∞=∑均收敛.则1nn a∞=∑绝对收敛是1n n b ∞=∑绝对收敛的（ ）（A ）充分必要条件 （B ）充分不必要条件 （C ）必要不充分条件（D ）既非充分也非必要条件 【答案】（A ） 【解析】由题设条件知()1nn n ba ∞=−∑为收敛的正项级数，故()1n n n b a ∞=−∑也是绝对收敛的若1nn a∞=∑绝对收敛，则n n n n n n n b b a a b a a =−+≤−+，由比较判别法知，1n n b ∞=∑绝对收敛；若1n n b ∞=∑绝对收敛，则则nn n n n n n aa b b a b b =−+≤−+，由比较判别法知，1n n a ∞=∑绝对收敛；故应选（A ）【评注】本题考查正项级数的比较判别法，及基本不等式放缩.关于上述不等式《基础班》第一讲在讲解数列极限定义时就反复强调过.5.设A,B 分别为n 阶可逆矩阵，E 是n 阶单位矩阵，*M 为M 的伴随矩阵，则AE OB 为（ ） （A ）*****−A B B A O A B （B ）****− A B A B OB A（C ）****−B A B A OA B （D ）****−B A A B OA B 【答案】（D ）【解析】由分块矩阵求逆与行列式的公式，结合1∗−=A A A 得11111∗−−−−− −==A E A E A E E A A AB B O B O B O B O B ∗∗∗∗−=B O A A A B B 选（D ）【评注】这钟类型的题在02年，09年均考过完全类似的题，《基础班》第二讲也讲过，原题为【例1】设,A B ∗∗分别为n 阶可逆矩阵,A B 对应的伴随矩阵，∗∗=A O C O B6.二次型()()()222123121323(,,)4f x x x x x x x x x =+++−−的规范形为（ ）. （A ）2212y y + （B ）2212y y −（C ）222123y y y −−（D ）222123y y y +−【答案】（B ）【详解】因为123(,,)f x x x 222123121323233228x x x x x x x x x =−−+++方法1.二次型的矩阵为 211134143 =− −A , 由()()211134730143λλλλλλλ−−−−=−+−=+−=−−+E A ，得特征值为0,7,3−，故选（B ）方法2.()222123123121323,,233228f x x x x x x x x x x x x =−−+++()()()22232322211232323233842x x x x x x x x x x x x ++=+++−−−+ 222222322332323126616222x x x x x x x x x x x +++++−=+−()22231237222x x x x x +=+−− 故所求规范形为()2212312,,f x x x y y =−【评注】本题考查二次型的规范形，与考查正负惯性指数是同一类题，在《基础班》《强化班》均讲过. 《解题模板班》类似例题为【11】设123123(,,),(,,)T T a a a b b b αβ==，,αβ线性无关，则二次型123112233112233(,,)()()f x x x a x a x a x b x b x b x =++++的规范型为( )．(A)21y (B) 2212y y + (C) 2212y y − (D) 222123y y y ++7．已知向量12121,,1222150390,1====ααββ，若γ既可由12,αα表示，也由与12,ββ表示，则=γ（ ）.（A ）334k （B ）3510k（C ）112k − （D ）158k【答案】（D ） 【解析】由题意可设11212212x y x y +==+γααββ，只需求出21,x x 即可即解方程组112112220x y y x +−−=ααββ()121212211003,,2150010131910011,−−−−=−→− −−ααββ 得()()2211,,1,3,,1,1TTx k x y y =−−，k 为任意常数11221212133215318x k k k k k x+=−+=−+=−=γαααα，故选（D ）【评注】1.此题与《强化班》讲义第三讲练习第12题完全类似，原题为【12】(1)设21,αα，21,ββ均是三维列向量，且21,αα线性无关, 21,ββ线性无关，证明存在非零向量ξ，使得ξ既可由21,αα线性表出，又可由21,ββ线性表出．(2)当 =4311α，=5522α：1231β= − ，2343β−=−时，求所有既可由21,αα线性表出，又可21,ββ线性表出的向量。
(完整版)全国考研数学三真题
2021 年全国硕士研究生入学一致考试真题试卷?数学三?试题一、选择题 :1 —8 小题．每题 4 分，共 32 分．1．假设函数 f ( x)1cos x, x在 x 0 处连续，那么axb,x0〔 A〕ab 1〔〕ab1〔〕ab 0〔〕2B2C D ab 22．二元函数z xy(3x y) 的极值点是〔〕〔 A〕(0,0)〔B〕(0, 3)〔C〕(3, 0)〔D〕(1,1)3．设函数 f ( x)是可导函数，且满足 f ( x) f (x)0 ，那么〔 A〕f (1) f (1)〔B〕f (1) f ( 1)〔 C〕f (1) f ( 1)〔D〕f (1) f (1)4．假设级数1k ln(11收敛，那么k〔〕sin)n 2n n〔A〕 1〔B〕 2〔C〕 1〔D〕 2 5．设为n单位列向量，E为n阶单位矩阵，那么〔 A〕E T不可以逆〔〕T 不可以逆B E〔 C〕E 2T不可以逆〔〕E 2T不可以逆D2002101006．矩阵A 021， B020 ， C020，那么001001002〔A〕A,C相似，B,C相似〔B〕A, C相似，B,C不相似〔C〕A,C不相似，B,C相似〔D〕A,C不相似，B,C不相似B与C相第1页共16页〔 A〕A, B相互独立〔B〕A, B互不相容〔C〕AB,C相互独立〔D〕AB,C互不相容8．设X1, X2,, X n (n 2) 为来自正态整体 N ( ,1) 的简单随机样本，假设1 n X i，那么Xn i1以下结论中不正确的选项是〔〕n)2遵从 2 分布22 分布〔 A〕( X i〔B〕 2 X n X1遵从i1nX)2遵从2分布) 2遵从 2 分布〔 C〕( X i〔 D〕n( Xi1二、填空题〔此题共 6 小题，每题 4 分，总分值 24 分.把答案填在题中横线上〕9．(sin 3 x2x2 ) dx．10．差分方程y t 1 2 y t2t的通解为．11．设生产某产品的平均本钱 C (Q ) 1 e Q，其中产量为 Q ，那么边缘本钱为.12．设函数 f ( x, y) 拥有一阶连续的偏导数，且df ( x, y) ye y dx x(1y)e y dy ，f (0,0) 0 ，那么 f ( x, y)1 0113．设矩阵A 112，1 ,2 , 3为线性没关的三维列向量，那么向量组 A 1, A 2, A 3011的秩为．14．设随机变量 X 的概率分布为P X21，PX 1 a ，P X 3b ，假设EX0 ，2那么 DX．三、解答题15．〔此题总分值 10 分〕x求极限 limx te tdt3x 0x16．〔此题总分值 10 分〕计算积分y 32 dxdy ，其中 D 是第一象限中以曲线 yx 与 x 轴为界线的无界x 24)D (1y地域．17．〔此题总分值 10 分〕求 limn k2 ln 1k nk 1 nn18．〔此题总分值 10 分〕方程11内有实根，确定常数 k 的取值范围．ln(1 x)k 在区间 (0,1)x19．〔此题总分值 10 分〕设 a01,a10, a n 11(na n a n 1 )(n 1,2,3 ), ， S( x) 为幂级数a n x n的和函数n1n 0〔 1〕证明a n x n的收敛半径不小于1．n0（2〕证明(1 x)S (x) xS(x) 0( x ( 1,1))，并求出和函数的表达式．20．〔此题总分值 11 分〕设三阶矩阵 A 1 ,2 , 3有三个不同样的特色值，且 3 12 2.〔 1〕证明：r ( A)2；〔2〕假设1 2 ,3，求方程组 Ax的通解．21．〔此题总分值 11 分〕设二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 2x12x22ax322x1x28x1x32x2x3在正交变换 x Qy 下的标准形为 1 y12 2 y22，求a的值及一个正交矩阵Q．22．〔此题总分值 11 分〕设随机变量 X , Y 相互独立，且X的概率分布为 P X 0P{ X 2}1，Y的概率密度22 y,0 y1为 f ( y)．0,其他（1〕求概率P〔Y EY〕；（2〕求 Z X Y 的概率密度．23．〔此题总分值 11 分〕某工程师为认识一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做了n 次测量，该物体的质量是的，设 n 次测量结果 X1, X2 ,, X n相互独立且均遵从正态分布 N (, 2). 该工程师记录的是n 次测量的绝对误差,(1,2, , ) ，利用估计参数Z i X i i n Z1, Z2 , , Z n．（1〕求Z i的概率密度；（2〕利用一阶矩求的矩估计量；（3〕求参数最大似然估计量．2021 年全国硕士研究生入学一致考试真题试卷?数学三?试题答案一、选择题 :1 —8 小题．每题4 分，共 32 分．1 cos x1 x 1， lim1．解： lim f ( x) limlim 2 f ( x)bf (0) ，要使函数在 x 0x 0 x 0 ax x 0 ax2ax 0处连续，必定满足1 bab1．所以应入选〔 A 〕2a22．解：zy(3 x y)xy 3y2xyy 2 ， z3x x 2 2xy ，xy2z2 y,2z2x,2z2z3 2xx2y2x y y xz 3y 2xy y 2 0解方程组x，得四个驻点． 对每个驻点考据 AC B 2 ，发现只有在点 z 3x x 2 2xy 0y(1,1) 处满足 AC B 23 0，且AC2 0 ，所以 (1,1) 为函数的极大值点，所以应该选〔 D 〕3．解：设 g(x)( f ( x))2 ，那么 g( x)2 f ( x) f (x)2是单调增加函数．也0 ，也就是 f ( x)2f (2f (1)f ( 1) ，所以应入选〔 C 〕就获取 f (1)1)4．11 1211 k 11解： iv nk ln(11 1 1o(1时 sin nn )n kn2nn 2k) n2 n 2 on 2显然当且仅当 (1k) 0 ，也就是 k1 时，级数的一般项是关于 1的二阶无量小，级数n收敛，从而选择〔 C 〕．5．解：矩阵T的特色值为 1和 n 1个0，从而 ET, ET,E 2T,E 2T的特色值分别为 0,1,1,1； 2,1,1, ,1 ； 1,1,1, ,1 ； 3,1,1, ,1 ．显然只有 ET存在零特6．解：矩阵A, B的特色值都是12 2,31．可否可对解化，只需要关心 2 的情况．000关于矩阵 A ，2E A001，秩等于 1 ，也就是矩阵 A 属于特色值 2 存在两001个线性没关的特色向量，也就是可以对角化，也就是A~C．010关于矩阵 B ，2E B000，秩等于 2 ，也就是矩阵 A 属于特色值 2 只有一001个线性没关的特色向量，也就是不可以对角化，自然B, C 不相似应选择〔B〕．7．解：P(( A B)C ) P( AC AB )P(AC)P( BC)P( ABC )P( A) P(C) P( B)P(C)P( ABC ) P(A B) P(C) (P( A)P(B)P( AB )) P(C)P(A) P(C)P( B)P(C ) P(AB) P(C )显然， A B与 C 相互独立的充分必要条件是P( ABC)P( AB)P(C) ，所以选择〔C〕．8．解：〔 1 〕显然( X i) ~ N (0,1)( X i) 2~2 (1),i 1,2,n 且相互独立，所以n)22 (n) 分布，也就是〔A〕结论是正确的；( X i遵从i 1n22(n 22〔 2〕( X i X )(n1)S1)S(n1)，所以〔 C〕结论也是正确的；2~i1〔 3〕注意1n( X) ~ N (0,1)n( X2~2〕结论也是X~N( , ))(1) ，所以〔Dn正确的；〔 4〕关于选项〔 B〕：( X n X1) ~ N (0,2)X nX1 ~ N (0,1)1( X n X1 )2 ~2 (1)，所22以〔 B〕结论是错误的，应入选择〔B〕第 10页共16页二、填空题〔此题共 6 小题，每题4 分，总分值 24 分. 把答案填在题中横线上〕(sin 3 x2x 2 )dx2x 2 dx39．解：由对称性知2．210．解：齐次差分方程 y t 1 2 y t 0 的通解为 yC 2x ；设 y t 1 2 y t 2t 的特解为 y t at 2t ，代入方程，得 a1 ；12所以差分方程 y t12 y t2t 的通解为 yC 2tt 2t .211．解：答案为 1 (1 Q) e Q ．平均本钱 C(Q)1 e Q ，那么总本钱为 C (Q) QC (Q) Q Qe Q ，从而边缘本钱为C (Q ) 1 (1 Q )e Q .12．解： df (x, y)ye y dx x(1 y)e y dyd( xye y ) ，所以 f (x, y) xye yC ，由 f (0,0)0 ，得 C 0 ，所以 f (x, y)xye y ．1 0 1 1 0 1 1 0 113．解：对矩阵进行初等变换 A1 12 0 1 1 0 1 1 ，知矩阵 A 的秩0 1 10 1 10 0 0为 2，由于 1,2 ,3 为线性没关，所以向量组 A 1, A 2, A 3的秩为 2．14．解：显然由概率分布的性质，知a b1 1211 1 EXa 3b a 3b 10 ，解得 a21,b429，DX EX 29 ． 4EX22 a 9bE 2(X )22三、解答题15．〔此题总分值 10 分〕解：令 x tu ，那么 t xu , dtdu ，x te t dtx ue x u dux 0xtx xuxuxx te dt eueduueduxe 2 limlimlimlimx 0x3x 0x 3x 0x 3x 03 x 3216．〔此题总分值 10 分〕解：y 3xy3y 4 ) 2dxdydxy 4 )2dyD (1 x 2(1 x21xd (1 x 2 y 4 )4 0 dx(1 x 2y 4 )2111 dx1 24 01 x 21 2x 28 217．〔此题总分值 10 分〕解：由定积分的定义nklnk lim 1 n k lim21ln 1n1 nnnn k 1 nk1 1x)dx 22ln(1k1 n x ln(1 x)dx1418．〔此题总分值 10 分〕解：设 f ( x) 11 (0,1) ，那么ln(1 x), xxf (x)11(1 x) ln 2 (1 x) x 2(1 x) ln 2(1 x) x 2x 2(1 x) ln 2(1 x)令 g (x) (1x)ln 2 (1 x)x 2 ，那么 g(0) 0, g(1) 2ln 2 21g (x) ln 2 (1 x)2ln(1 x) 2x, g (0)g (x)2(ln(1 x) x)0, x (0,1) ，所以 g ( x) 在 (0,1) 上单调减少，1 x由于 g (0) 0 ，所以当 x (0,1) 时， g (x) g0) 0 ，也就是 g( x) g ( x) 在 (0,1) 上单调减少，当 x (0,1) 时， g( x)g(0)0 ，进一步获适当 x (0,1) 时， f (x) 0 ，也就是 f (x) 在(0,1) 上单调减少．lim f ( x) lim11 lim x ln(1 x)1 ， f (1)1 1，也就是获取 x 0x 0ln(1 x)x x 0x ln(1 x) 2ln 21 1 k 1 ． ln 2219．〔此题总分值 10 分〕解：〔1〕由条件 a n 11a n 1 )(n 1)a n 1na n a n 1(na nn 1也就获取 (n1)(a n 1 a n )( a n a n 1 ) ，也就获取a n 1a n 1 , n 1,2,a nan 1n 1a n 1 a n a n 1 a n a n a n 1a 2 a 1 ( 1)n 1a 1 a 0 a nan 1an 1an 2a 1 a 0(n 1)!也就获取 a n1a n( 1)n 1 1 , n 1,2,(n 1)!n( 1)k 1 1a n 1(an 1a n ) (a n a n 1 )(a 2 a 1) a 1k 2k!lim na nn111n1limlime 1，所以收敛半径 Rnn2! 3!n!n〔 2〕所以关于幂级数a n x n ， 由和函数的性质，可得 S ( x)na n x n 1 ，所以n 0n 1(1 x)S ( x) (1 x)na n x n 1na n x n 1na n x nn 1n 1n 1( n 1)a n 1x nna n x nn 0n 1a(( n 1)a1 na ) x n1n 1nna n 1 x na n x n 1xa n x n xS( x)n 1n 0n 0也就是有 (1 x) S (x) xS( x) 0( x ( 1,1)) ．解微分方程 (1 x)S ( x) xS( x) 0 ，得 S(x)CexS(0)a 01，得C 11，由于x所以 S(x)e x．1 x20．〔此题总分值 11 分〕解：〔1〕证明：由于矩阵有三个不同样的特色值，所以 A 是非零矩阵，也就是 r ( A) 1．假假设 r(A)1 时，那么 r0 是矩阵的二重特色值，与条件不吻合，所以有r (A) 2 ，又由于31220 ，也就是 1, 2,3 线性相关， r ( A) 3 ，也就只有 r ( A)2 ．〔 2〕由于 r ( A) 2 ，所以 Ax0 的基础解系中只有一个线性没关的解向量．由于1312 2，所以基础解系为 x2；11又由12 ,3 ，得非齐次方程组 Ax的特解可取为1 ；11 1方程组 Ax的通解为 x k 21 ，其中 k 为任意常数．1121．〔此题总分值 11 分〕2 1 4 解：二次型矩阵 A11 141a由于二次型的标准形为1 y 122 y 22．也就说明矩阵 A 有零特色值，所以 A0 ，故 a 2.11 4E A1 1 1(3)( 6)41 2令 E A0 得矩阵的特色值为13,26, 3 0 ．1经过分别解方程组 ( i EA) x 0 得矩阵的属于特色值3 的特色向量1，111 311 111 属于特色值特色值26 的特色向量20 ， 3 0 的特色向量 32 ，26111113 26所以 Q1,2,31 02为所求正交矩阵．3611 132622．〔此题总分值 11分〕解：〔1〕 EYyf Y ( y) dy12dy2 . 2y3224 .所以P Y EY P Y3 2 ydy309〔2〕 Z X Y 的分布函数为F Z (z) P Z z P X Y z P X Y z, X 0 P X Y z, X 2P X0,Y z P X2,Y z21z}1z2P{ Y P Y221F Y (z2)F Y ( z)2故 Z X Y 的概率密度为f Z ( z)F Z( z)1f (z) f ( z 2) 2z,0z1 z2,2z3 0,其他23．〔此题总分值 11 分〕解：〔1〕先求Z i的分布函数为F Z (z)P Z i z P X iX i z z P当 z0 时，显然F Z( z)0 ；当 z0 时， F Z ( z) P Z i z P X iX i z z；z P21 2z2e 2 2所以 Z i的概率密度为 f Z ( z) F Z (z)20,,z 0 ．z 02z22〔 2〕数学希望 EZ i zf (z)dz ze 22dz，0022令EZ Z 1n，解得的矩估计量2Z2n．n iZ i22nZ i 1i 1〔3〕设Z1, Z2,, Z n的察看值为 z1, z2 ,, z n．当 z i0, i1,2,n 时1nn2n z i2似然函数为L( ) f ( z i , )22i 1，i 1( 2)n e第 15页共16页nln(2 ) nln1n取对数得： ln L( )n ln 2z i22 2 2i 1令d ln L ( )n 1 n20 ，得参数最大似然估计量为1 n2．d3z in i 1z ii1第 16页共16页。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
选择题---为题目类型 1.[2009年]当x→0时，f(x)=x—sinax与g(x)=x2ln(1—bx)是等价无穷小量，则( )． （A）a=1，b=－1／6 （B）a=1，b=1／6 （C）a=－1，b=－1／6 （D）a=－1，b=1／6 2.
（A） （B） （C） （D） 3.
（A） （B） （C） （D）
4.设矩阵A＝，b＝ （A）aΩ，d （B）a （C）a∈Ω，d （D）a∈Ω，d∈Ω． 5.(91年)下列各式中正确的是 【 】
（A） （B） （C） （D） 6.(04年)设f′(χ)在[a，b]上连续，且f′(a)＞0，f′(b)＜0，则下列结论中错误的是 【 】 （A）至少存在一点χ0∈(a，b)，使得f(χ0)＞f(a)． （B）至少存在一点χ0∈(a，b)，使得f(χ0)＞f(b)． （C）至少存在一点χ0∈(a，b)，使得f′(χ0)＝0． （D）至少存在一点χ0∈(a，b)，使得f(χ0)＝0． 7.(14年)设函数f(χ)具有2阶导数，g(χ)＝f(0)(1－χ)＋f(1)χ，则在区间[0，1]上 【 】 （A）当f′(χ)≥0时，f(χ)≥g(χ) （B）当f′(χ)≥0时，f(χ)≤g(χ) （C）当f〞(χ)≥0时，f(χ)≥g(χ) （D）当f〞(χ)≥0时，f(χ)≤g(χ)
8.(03年)设三阶矩阵A＝ （A）a＝b或a＋2b＝0． （B）a＝b或a＋2b≠0． （C）a≠b且a＋2b＝0． （D）a≠b且a＋2b≠0．
9.(98年)齐次线性方程组 （A）λ＝－2且｜B｜＝0 （B）λ＝－2且｜B｜≠0 （C）λ＝1且｜B｜＝0 （D）λ＝1且｜B｜≠0
10.(01年)设f(χ)的导数在χ＝a处连续，又 （A）χ＝a是f(χ)的极小值点． （B）χ＝a是f(χ)的极大值点． （C）(a，f(a))是曲线y＝f(χ)的拐点． （D）χ＝a不是f(χ)的极值点，(a，f(a))也不是曲线y＝f(χ)的拐点．
11.(94年)设函数f(χ)在闭区间[a，b]上连续，且f(χ)＞0，则方程∫aχf(t)dt＋ （A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）无穷多个
12. （A）(ad－bc)2 （B）－(ad－bc)2 （C）a2d2－b2c2 （D）b2c2－a2d2 13.设A、B为同阶可逆矩阵，则 【 】 （A）AB=BA． （B）存在可逆矩阵P，使p-1AP=B． （C）存在可逆矩阵C，使CTAC=B． （D）存在可逆矩阵P和Q，使PAQ=B． 14.设A，B均为2阶矩阵，A*，B*分别为A，B的伴随矩阵．若∣A∣=2，∣B∣=3，则分块
矩阵的伴随矩阵为【 】
（A） （B） （C） （D） 15.(1998年)设周期函数f(x)在(一∞，+∞)内可导，周期为4，又
（A） （B）0 （C）一1 （D）一2 16.(2005年)设
（A）I3＞I2＞I1 （B）I1＞I2＞I3 （C）I2＞I1＞I3 （D）I3＞I1＞I2 17.设A为m×n矩阵，则齐次线性方程组AX=0仅有零解的充分条件是( ) （A）A的列向量线性无关． （B）A的列向量线性相关． （C）A的行向量线性无关． （D）A的行向量线性相关． 18.(2007年)设某商品的需求函数为Q=160一2p，其中Q，p分别表示需求量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是( ) （A）10。 （B）20。 （C）30。 （D）40。
19.(2016年)已知函数f(x，y)= （A）fx'-fy'=0。 （B）fx'+fy'=0。 （C）fx'-fy'=f。 （D）fx'+fy'=f。
20.设矩阵 （A）合同，且相似． （B）合同，但不相似． （C）不合同，但相似． （D）既不合同，也不相似．
21.(2007年)当x→0+时，与等价的无穷小量是( )
（A） （B） （C） （D） 22.(2006年) 设函数y=f(x)具有二阶导数，且f'(x)＞0，f''(x)＞0，△x为自变量x在点x0处的增量，△y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若△x＞0，则( ) （A）0＜dy＜△y． （B）0＜△y＜dy． （C）△y＜dy＜0． （D）dy＜△y＜0． 23.（A） （B） （C） （D）
24.(2015年)设总体X～B(m，θ)，X1，X2，…，Xn为来自该总体的简单随机样本，为样本
均值，则 （A）(m-1)nθ(1-θ)。 （B）m(n-1)θ(1-θ)。 （C）(m-1)(n-1)0(1-θ)。 （D）mnθ(1-θ)。 25.[2002年] 设A是m×n矩阵，B是n×m的矩阵，则线性方程组(AB)X=0( )． （A）当n＞m时，仅有零解 （B）当n＞m时，必有非零解 （C）当m＞n时，仅有零解 （D）当m＞n时，必有非零解 选择题---为题目类型 1.[2009年]当x→0时，f(x)=x—sinax与g(x)=x2ln(1—bx)是等价无穷小量，则( )． （A）a=1，b=－1／6 （B）a=1，b=1／6 （C）a=－1，b=－1／6 （D）a=－1，b=1／6 【正确答案】A
【试题解析】 解一 因
故必存在，所以必有因而a=1．再由－a3／(6b)=1得－1／(6b)=1，故b=－1／6．仅(A)入选． 解二 反复利用洛必达法则求之．
即a3=－6b(排除(B)、(C))．又因存在，而故必有 2.
（A） （B） （C） （D） 【正确答案】C 3. （A） （B） （C） （D） 【正确答案】D
4.设矩阵A＝，b＝ （A）aΩ，d （B）a （C）a∈Ω，d （D）a∈Ω，d∈Ω． 【正确答案】D 5.(91年)下列各式中正确的是 【 】
（A）
（B） （C） （D） 【正确答案】A 【试题解析】 ＝e-1≠－e．所以，不能选
C． 又＝e-1≠e，所以，也不能选D． 则 6.(04年)设f′(χ)在[a，b]上连续，且f′(a)＞0，f′(b)＜0，则下列结论中错误的是 【 】 （A）至少存在一点χ0∈(a，b)，使得f(χ0)＞f(a)． （B）至少存在一点χ0∈(a，b)，使得f(χ0)＞f(b)． （C）至少存在一点χ0∈(a，b)，使得f′(χ0)＝0． （D）至少存在一点χ0∈(a，b)，使得f(χ0)＝0． 【正确答案】D 【试题解析】 由以上分析知，由f′(a)＞0知，存在χ0∈(a，b)使f(χ0)＞f(a)；由f′(b)＜0知，存在χ0∈(a，b)，使f(χ0)＞f(b)，则选项A、B均不能选．又f′(a)＞0，f′(b)＜0，且f′(χ)在[a，b]上连续，由零点定理知，存在χ0∈(a，b)，使f′(χ0)＝0，则C也不能选，故应选D． 7.(14年)设函数f(χ)具有2阶导数，g(χ)＝f(0)(1－χ)＋f(1)χ，则在区间[0，1]上 【 】 （A）当f′(χ)≥0时，f(χ)≥g(χ) （B）当f′(χ)≥0时，f(χ)≤g(χ) （C）当f〞(χ)≥0时，f(χ)≥g(χ) （D）当f〞(χ)≥0时，f(χ)≤g(χ) 【正确答案】D 【试题解析】 由于g(0)＝f(0)，g(1)＝f(1)，则直线y＝f(0)(1－χ)＋f(1)χ过点(0，f(0))和(1，f(1))，当f〞(χ)≥0时，曲线y＝f(χ)在区间[0，1]上是凹的，曲线y＝f(χ)应位于过两个端点(0，f(0))和(1，f(1))的弦y＝f(0)(1－χ)＋f(1)χ的下方，即 f(χ)≤g(χ) 故应选D．
8.(03年)设三阶矩阵A＝ （A）a＝b或a＋2b＝0． （B）a＝b或a＋2b≠0． （C）a≠b且a＋2b＝0． （D）a≠b且a＋2b≠0． 【正确答案】C
9.(98年)齐次线性方程组 （A）λ＝－2且｜B｜＝0 （B）λ＝－2且｜B｜≠0 （C）λ＝1且｜B｜＝0 （D）λ＝1且｜B｜≠0 【正确答案】C 【试题解析】 设B按列分块为B＝[β1 β2 β3]，则由题设条件，有 O＝AB＝[Aβ1 Aβ2 Aβ3] 所以Aβj＝0(j＝1，2，3)，即矩阵B的每一列都是方程组Aχ＝0的解．又B≠O，故B至少有一列非零，因而方程组Aχ＝0存在非零解，从而有
10.(01年)设f(χ)的导数在χ＝a处连续，又 （A）χ＝a是f(χ)的极小值点． （B）χ＝a是f(χ)的极大值点． （C）(a，f(a))是曲线y＝f(χ)的拐点． （D）χ＝a不是f(χ)的极值点，(a，f(a))也不是曲线y＝f(χ)的拐点． 【正确答案】B
【试题解析】 若取f′(χ)＝－(χ－a)，即令f(χ)＝－(χ－a)2，则显然f(χ)符合原题条件，f(χ)
＝－(χ－a)2在χ＝0取极大值，且(a，f(a))也不是y＝－ 11.(94年)设函数f(χ)在闭区间[a，b]上连续，且f(χ)＞0，则方程∫aχf(t)dt＋ （A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）无穷多个 【正确答案】B
【试题解析】 由题设条件，可令f(χ)≡1，此时方程∫f(t)dt＋＝0变为(χ－a)
＋(χ－b)＝0，即2χ－(a＋b)＝0．该方程在(a，b)内有且仅有一个实根χ＝
12. （A）(ad－bc)2 （B）－(ad－bc)2 （C）a2d2－b2c2 （D）b2c2－a2d2 【正确答案】B