空间几何异面直线间的距离经典例题与同步练习

立体几何专题复习

考点1 异面直线所成的角

此类题目一般是按定义作出异面直线所成的角，然后通过解三角形来求角.异面直线所成的角是高考考查的重点.

例1如图，在Rt AOB △中，π6

OAB ∠=，

斜边4AB =．Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到，且二面角B AO C --的直二面角．D 是AB 的

中点．

（I ）求证：平面COD ⊥平面AOB ；

（II ）求异面直线AO 与CD 所成角的正切值的大小．

思路启迪：（II ）的关键是通过平移把异面直线转化到一个三角形内. 解答过程：（I ）由题意，CO AO ⊥，BO AO ⊥，

BOC ∴∠是二面角B AO C --是直二面角， CO BO ∴⊥，又AO BO O = ，

CO ∴⊥平面AOB ， 又CO ⊂平面COD ．

∴平面COD ⊥平面AOB ．

（II ）作DE OB ⊥，垂足为E ，连结CE （如图），则DE AO ∥，

CDE ∴∠是异面直线AO 与CD 所成的角．

在Rt COE △中，2CO BO ==，112

OE BO ==，

CE ∴=

又12

DE AO =

∴在Rt CDE △

中，tan CE CDE DE

==．

O

C

A

D

B

E

同步练习：

1.在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD 中，∠ABC=90°，SA ⊥面ABCD ，SA=AB=BC=1，AD=1

2

（1）求四棱锥S-ABCD 的体积； （2）求直线AB 与直线SD 所成角的大小

2.在如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC=BC=BD=2AE，M是AB 的中点．

（I）求证：CM⊥EM；

（Ⅱ）求CM与平面CDE所成的角

3.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．

（Ⅰ）求PB和平面PAD所成的角的大小；

（Ⅱ）证明AE⊥平面PCD；

（Ⅲ）求二面角A-PD-C的大小．

考点2.简单多面体的侧面积及体积的计算

棱柱侧面积转化成求矩形或平行四边形面积，棱柱侧面积转化成求三角形的面积. 直棱柱体积V 等于底面积与高的乘积.

棱锥体积V 等于3

1

Sh 其中S 是底面积，h 是棱锥的高.

例2.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝2a ，BC ＝CA ＝AA 1＝a ，

A 1在底面△ABC 上的射影O 在AC 上 ① 求A

B 与侧面A

C 1所成角；

② 若O 恰好是AC 的中点，求此三棱柱的侧面积.

[思路启迪]

①找出AB 与侧面AC 1所成角即是∠CAB ；

②三棱锥侧面积转化成三个侧面面积之和，侧面BCC 1B 1是正方形，侧面ACC 1A 1和侧面ABB 1A 1是平行四边形，分别求其面积即可. 解答过程：①点A 1在底面ABC 的射影在AC 上， ∴平面ACC 1A 1⊥平面ABC .

在△ABC 中，由BC ＝AC ＝a ，AB ＝2a . ∴∠ACB ＝90°，∴BC ⊥AC . ∴BC ⊥平面ACC 1A 1.

即∠CAB 为AB 与侧面AC 1所成的角在Rt △ABC 中，∠CAB ＝45°. ∴AB 与侧面AC 1所成角是45°.

∵O 是AC 中点，在Rt △AA 1O 中，AA 1＝a ，AO ＝

2

1a . ∴AO 1＝

2

3a . ∴侧面ACC 1A 1面积S 1＝2123a ＝AO AC .

又BC ⊥平面ACC 1A 1，∴BC ⊥CC 1. 又BB 1＝BC ＝a ，∴侧面BCC 1B 1是正方形，面积S 2＝a 2. 过O 作OD ⊥AB 于D ，∵A 1O ⊥平面ABC ，∴A 1D ⊥AB . 在Rt △AOD 中，AO ＝

2

1

a ，∠CAD ＝45° A 1

B 1

C 1

A

B

C

D

O

∴OD ＝

4

2

a 在Rt △A 1OD 中，A 1D ＝222122342）＋（）

（＝a a O ＋A OD ＝a 87. ∴侧面ABB 1A 1面积S 3＝a a D ＝A AB 8721⋅

⋅＝2

2

7a . ∴三棱柱侧面积S ＝S 1＋S 2＋S 3＝27322

1

a ）＋＋（.

同步练习：

1. 如图，平行四边形ABCD 中，∠DAB=60°，AB=2，AD=4将△CBD 沿BD 折起到△EBD 的位置，使平面EDB ⊥平面ABD

（I ）求证：AB ⊥DE

（Ⅱ）求三棱锥E-ABD 的侧面积

2.如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径，∠ABD=60°，∠BDC=45°，△ADP～△BAD．

（1）求线段PD的长；

（2）若PC＝11R，求三棱锥P-ABC的体积．