奥数-初中数学竞赛辅导资料及参考答案(初三下部分,共)-64

初中数学竞赛辅导资料(64)

最大 最小值

甲内容提要

1. 求二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)，的最大、最小值常用两种方法：

①配方法：原函数可化为y=a(x+a

b 2)2+a b a

c 442

-.

∵在实数范围内(x+

a

b 2)2

≥0， ∴若a>0时，当x=－a b

2 时， y 最小值=a b ac 442-；

若a<0时，当x=－a

b

2 时， y 最大值=a b ac 442-.

②判别式法：原函数可化为关于x 的二次方程ax 2+bx+c －y=0.

∵x 在全体实数取值时，

∴ △≥0

即b 2－4a(c －y)≥0， 4ay ≥4ac －b 2.

若a>0，y ≥a b ac 442-，这时取等号，则y 为最小值a b ac 442

-；

若a<0，y ≤a b ac 442-，这时取等号，则y 为最大值a

b a

c 442

-.

有时自变量x 定在某个区间内取值，求最大、最小值时，要用到临界点，一般用配方

法方便.

2. 用上述两种方法，可推出如下两个定理：

定理一：两个正数的和为定值时，当两数相等时，其积最大. 最大值是定值平方的四分之一.

例如：两正数x 和y ， 如果x+y=10, 那么xy 的积有最大值，最大值是25.

定理二：两个正数的积为定值时，当两数相等时，其和最小. 最小值是定值的算术平方根的2倍.

例如：两正数x 和y ，如果xy=16, 那么 x+y 有最小值，最小值是8. 证明定理一，可用配方法，也叫构造函数法. 设a>0, b>0, a+b=k . (k 为定值).

那么ab=a(k －a)

=－a 2+ka=－(a －2

1

k)2+42k .

当a=2

k

时，ab 有最大值42k .

证明定理二，用判别式法，也叫构造方程法. 设a>0, b>0, ab=k (k 为定值)，再设 y=a+b. 那么y=a+

a

k

, a 2－ya+k=0.（这是关于a 的二次议程方程） ∵ a 为正实数，

∴△≥0. 即(－y)2－4k ≥0， y 2－4k ≥0.

∴y ≤－2k (不合题意舍去)； y ≥2k . ∴ y 最小值=2k .

解方程组⎩⎨⎧==+.

2k ab k b a ，

得a=b=k .

∴当a=b=k 时，a+b 有最小值 2

k .

3. 在几何中，求最大、最小值还有下列定理：

定理三：一条边和它的对角都有定值的三角形，其他两边的和有最大值. 当这两边相

等时，其和的值最大.

定理四：一条边和这边上的高都有定值的三角形，其他两边的和有最小值. 当这两边相等时，其和的值最小.

定理五：周长相等的正多边形，边数较多的面积较大；任何正多边形的面积都小于同周长的圆面积. 乙例题

例1. 已知：3x 2+2y 2=6x, x 和y 都是实数，

求：x 2+y 2 的最大、最小值.

解：由已知y 2=2

362

x

x -, ∵y 是实数， ∴y 2≥0.

即2

362x x -≥0， 6x －3x 2 ≥0， x 2－2x ≤0.

解得 0≤x ≤2.

这是在区间内求最大、最小值，一般用配方法，

x 2+y 2=x 2+2362

x x -=－21( x －3)2+2

9

在区间0≤x ≤2中，当x=2 时，x 2+y 2有最大值 4.

∴当x=0时，x 2+y 2=0是最小值 .

例2. 已知：一个矩形周长的数值与它面积的数值相等.

求：这个矩形周长、面积的最小值. 解：用构造方程法.

设矩形的长，宽分别为 a, b 其周长、面积的数值为k. 那么2(a+b)=ab=k.

即 ⎪⎩⎪

⎨⎧

==+.

21k ab k b a ，

∴a 和b 是方程 x 2－

2

1

kx+k=0 的两个实数根. ∵a, b 都是正实数，∴△≥0. 即(－

2

k )2

－4k ≥0. 解得k ≥16；或k ≤0 . k ≤0不合题意舍去.

∴当k ≥16取等号时，a+b, ab 的值最小，最小值是16. 即这个矩形周长、面积的最小值是16.

例3. 如图△ABC 的边BC=a, 高AD=h, 要剪下一个 矩形EFGH ，问EH 取多少长时，

矩形的面积最大？ 最大面积是多少？ 解：用构造函数法 设EH=x, S 矩形=y, 则GH=x

y

. ∵△AHG ∽△ABC ，

∴h

x

h a x y

-= . ∴ y=4)2()(2ah h x h a h x h ax +

--=-. ∴当x=2h 时，y 最大值 =4ah

.

即当EH=2h 时，矩形面积的最大值是4

ah

.

例4. 如图已知：直线m ∥n ，A ，B ，C 都是定点，AB=a, AC=b, 点P 在AC 上，BP 的

延长线交直线m 于D. 问：点P 在什么位置时，S △PAB +S △PCD 最小？ 解：设∠BAC=α，PA=x, 则PC=b －x. ∵m ∥n ，∴

PA PC

AB CD ＝

. ∴CD=x x b a )(- S △PAB +S △PCD =21axSin α+21x

x b a )

(-(b －x) Sin α

=2

1

aSin α()222x x bx b x +-+

=2

1

aSin α(2x+)22b x b -. a h

X

A

B

C

D

H E

G

F

n

m

x b

a P

A C

B D