2016合肥一模理科数学(图片版)
2016年安徽省淮南市高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2016年安徽省淮南市高考数学一模试卷（理科）一、选择题1．（5分）复数的虚部是（）A．i B．﹣i C．1D．﹣12．（5分）已知集合U＝{1，2，3，4}，B＝{1，2，3}，且A∩B＝{1，2}，则满足条件的A的个数为（）A．1B．2C．3D．43．（5分）下面的程序框图能判断任意输入的数x的奇偶性．其中判断框内的条件是（）A．m＝0B．m＝1C．x＝0D．x＝14．（5分）函数f（x）＝2sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A．2，﹣B．2，﹣C．4，﹣D．4，5．（5分）经过抛物线y＝x2的焦点和双曲线﹣＝1的右焦点的直线方程为（）A．x+48y﹣3＝0B．x+80y﹣5＝0C．x+3y﹣3＝0D．x+5y﹣5＝0 6．（5分）设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则（）A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a 7．（5分）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，λ∈[0，+∞），则P的轨迹一定通过△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心8．（5分）如图，有一圆柱形无盖水杯，其轴截面ABCD是边长为2的正方形，P是BC的中点，现有一只蚂蚁位于外壁A处，内壁P处有一粒米，则这只蚂蚁取得米粒所经过的最短路程是（）A．B．π+1C．D．9．（5分）已知{a n}中，，且{a n}是递增数列，则实数的取值范围是（）A．（﹣2，+∞）B．[﹣2，+∞）C．（﹣3，+∞）D．[﹣3，+∞）10．（5分）椭圆C：+＝1的左，右顶点分别为A1，A2，点P在C上，且直线P A2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线P A1斜率的取值范围是（）A．[，]B．[，]C．[，1]D．[，1] 11．（5分）如图，是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A．B．C．D．12．（5分）设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z＝0，则当取得最小值时，x+2y﹣z的最大值为（）A．0B．C．2D．二、填空题13．（5分）过平面区域内一点P作圆O：x2+y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，记∠APB＝α，当α最小时，此时点P坐标为．14．（5分）已知过点M（﹣3，﹣3）的直线l被圆x2+y2+4y﹣21＝0所截得的弦长为8，则直线l的方程为．15．（5分）定义在[﹣2，2]上的偶函数f（x）在[﹣2，0]上为增，若满足f（1﹣m）＜f（m），则m的取值范围是．16．（5分）设函数y＝f（x）的图象与y＝2x+a的图象关于y＝﹣x+1对称，且f （﹣3）+f（﹣7）＝1，则a的值为．三.解答题17．（12分）在△ABC中，B＝，AC＝，求AB+BC的最大值并判断取得最大值时△ABC的形状．18．（12分）在公差为d的等差数列{a n}中，已知a1＝10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列．（Ⅰ）求d，a n；（Ⅱ）若d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|．19．（12分）如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B⊥AC，且A1B＝AC＝5，AA1＝BC＝13，且AB＝12．（1）求证：平面ABB1A1⊥平面ACC1A1；（2）求二面角A﹣BB1﹣C的正切值的大小．20．（12分）已知点A（2，0），椭圆E：（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆E的上焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（1）求E的方程；（2）设过点A的动直线l与E相交于点P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．21．（12分）已知函数f（x）＝xlnx+（2a﹣1）x﹣ax2﹣a+1，（1）若，求f（x）的单调区间；（2）若x∈[1，+∞）时恒有f（x）≤0，求a的取值范围．四.选做题，以下三题任选一题22．（10分）已知函数f（x）＝sin（x﹣ϕ）cos（x﹣ϕ）﹣cos2（x﹣ϕ）+（0≤ϕ≤）为偶函数．（I）求函数的最小正周期及单调减区间；（II）把函数的图象向右平移个单位（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，求函数g（x）的对称中心．23．已知p：|1﹣|＜2；q：x2﹣2x+1﹣m2＜0；若￢p是￢q的充分非必要条件，求实数m的取值范围．24．在直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2），点P（x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上．（Ⅰ）若++＝，求||；（Ⅱ）设＝m+n（m，n∈R），用x，y表示m﹣n，并求m﹣n的最大值．2016年安徽省淮南市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．（5分）复数的虚部是（）A．i B．﹣i C．1D．﹣1【解答】解：＝，则复数的虚部是1，故选：C．2．（5分）已知集合U＝{1，2，3，4}，B＝{1，2，3}，且A∩B＝{1，2}，则满足条件的A的个数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：∵U＝{1，2，3，4}，B＝{1，2，3}，且A∩B＝{1，2}，∴满足条件的A可能为{1，2}，{1，2，4}共2个，故选：B．3．（5分）下面的程序框图能判断任意输入的数x的奇偶性．其中判断框内的条件是（）A．m＝0B．m＝1C．x＝0D．x＝1【解答】解：由程序框图所体现的算法可知判断一个数是奇数还是偶数，看这个数除以2的余数是1还是0．由图可知应该填m＝1．故选：B．4．（5分）函数f（x）＝2sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A．2，﹣B．2，﹣C．4，﹣D．4，【解答】解：由函数的图象可知T＝＝π，ω＝＝2．x＝时，y＝2，可得：2sin（2×+φ）＝2，由五点法作图可知φ＝﹣．故选：A．5．（5分）经过抛物线y＝x2的焦点和双曲线﹣＝1的右焦点的直线方程为（）A．x+48y﹣3＝0B．x+80y﹣5＝0C．x+3y﹣3＝0D．x+5y﹣5＝0【解答】解：抛物线y＝x2的焦点坐标为（0，1），双曲线﹣＝1的右焦点的坐标为（5，0），∴所求直线方程为即x+5y﹣5＝0．故选：D．6．（5分）设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则（）A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a【解答】解：由题意可知：a＝log32∈（0，1），b＝log52∈（0，1），c＝log23＞1，所以a＝log32，b＝log52＝，所以c＞a＞b，故选：C．7．（5分）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，λ∈[0，+∞），则P的轨迹一定通过△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心【解答】解：∵、分别表示向量、方向上的单位向量∴+的方向与∠BAC的角平分线一致又∵，∴＝λ（+）∴向量的方向与∠BAC的角平分线一致∴一定通过△ABC的内心故选：B．8．（5分）如图，有一圆柱形无盖水杯，其轴截面ABCD是边长为2的正方形，P是BC的中点，现有一只蚂蚁位于外壁A处，内壁P处有一粒米，则这只蚂蚁取得米粒所经过的最短路程是（）A．B．π+1C．D．【解答】解：侧面展开后得矩形ABCD，其中AB＝π，AD＝2问题转化为在CD 上找一点Q使AQ+PQ最短作P关于CD的对称点E，连接AE，令AE与CD交于点Q，则得AQ+PQ的最小值就是AE为．故选：D．9．（5分）已知{a n}中，，且{a n}是递增数列，则实数的取值范围是（）A．（﹣2，+∞）B．[﹣2，+∞）C．（﹣3，+∞）D．[﹣3，+∞）【解答】解：∵{a n}是递增数列，∴∀n∈N*，a n+1＞a n，∴（n+1）2+λ（n+1）＞n2+λn，λ＞﹣（2n+1），∴λ＞﹣3．故选：C．10．（5分）椭圆C：+＝1的左，右顶点分别为A1，A2，点P在C上，且直线P A2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线P A1斜率的取值范围是（）A．[，]B．[，]C．[，1]D．[，1]【解答】解：由椭圆C：+＝1可知其左顶点A1（﹣2，0），右顶点A2（2，0）．设P（x0，y0）（x0≠±2），则得＝﹣．∵＝，＝kP A 1＝，∴＝•＝＝﹣．∵直线P A 2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]， ∴直线P A 1斜率的取值范围是[，] 故选：A ．11．（5分）如图，是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体为棱长是2的正方体，截去两个相同的三棱锥（底面直角三角形的直角边为2和2，高为1）；，再截去一个三棱柱（底面直角三角形的直角边为2和2，高为2）而得到，其直观图如图所示，∴该多面体的体积为：2×2×2﹣2×﹣2×（2××）＝．故选：B ．12．（5分）设正实数x ，y ，z 满足x 2﹣3xy +4y 2﹣z ＝0，则当取得最小值时，x +2y ﹣z 的最大值为（ ）A．0B．C．2D．【解答】解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z＝0，∴z＝x2﹣3xy+4y2，又x，y，z为正实数，∴＝+﹣3≥2﹣3＝1（当且仅当x＝2y时取“＝”），即x＝2y（y＞0），∴x+2y﹣z＝2y+2y﹣（x2﹣3xy+4y2）＝4y﹣2y2＝﹣2（y﹣1）2+2≤2．∴x+2y﹣z的最大值为2．故选：C．二、填空题13．（5分）过平面区域内一点P作圆O：x2+y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，记∠APB＝α，当α最小时，此时点P坐标为（﹣4，﹣2）．【解答】解：如图阴影部分表示，确定的平面区域，当P离圆O最远时，α最小，此时点P坐标为：（﹣4，﹣2），故答案为：：（﹣4，﹣2）．14．（5分）已知过点M（﹣3，﹣3）的直线l被圆x2+y2+4y﹣21＝0所截得的弦长为8，则直线l的方程为4x+3y+21＝0或x＝﹣3．【解答】解：圆x2+y2+4y﹣21＝0的圆心为（0，﹣2），半径r＝＝5，当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝﹣3，联立，得或，∴直线l：x＝﹣3被圆x2+y2+4y﹣21＝0所截得的弦长为8，成立；当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝k（x+3）﹣3，圆心（0，﹣2）到直线y＝k（x+3）﹣3的距离d＝＝，∵过点M（﹣3，﹣3）的直线l被圆x2+y2+4y﹣21＝0所截得的弦长为8，∴由勾股定理得：，即25＝+16，解得k＝﹣，∴直线l：，整理，得：4x+3y+21＝0．综上直线l的方程为：4x+3y+21＝0或x＝﹣3．故答案为：4x+3y+21＝0或x＝﹣3．15．（5分）定义在[﹣2，2]上的偶函数f（x）在[﹣2，0]上为增，若满足f（1﹣m）＜f（m），则m的取值范围是．【解答】解：因为f（x）是定义在[﹣2，2]上的偶函数，所以不等式f（1﹣m）＜f（m）等价于：f（|1﹣m|）＜f（|m|），因为f（x）在[﹣2，0]上为增函数，所以，解得﹣1≤m＜，即m的取值范围是，故答案为：．16．（5分）设函数y＝f（x）的图象与y＝2x+a的图象关于y＝﹣x+1对称，且f （﹣3）+f（﹣7）＝1，则a的值为2．【解答】解：设函数y＝f（x）的任意点的坐标为（x，y），关于y＝﹣x+1对称点的坐标（m，n），则（m，n）在y＝2x+a的图象上，，解得m＝1﹣y，n＝1﹣x，代入y＝2x+a可得：1﹣x＝21﹣y+a，即：y＝log2（1﹣x）﹣a﹣1，函数y＝f（x）＝log2（1﹣x）﹣a﹣1，∵f（﹣3）+f（﹣7）＝1，∴log24﹣a﹣1+log28﹣a﹣1＝1，解得，a＝2，故答案为：2．三.解答题17．（12分）在△ABC中，B＝，AC＝，求AB+BC的最大值并判断取得最大值时△ABC的形状．【解答】（本题满分为12分）解：∵B＝，AC＝，∴在△ABC中，根据＝＝，得AB＝•sin C＝sin C＝2sin C，∴同理BC＝2sin A，∴AB+BC＝2sin C+2sin A，…（4分）＝2sin C+2sin（π﹣C）＝，…（8分）当C＝，可得AB+BC的最大值为，…（10分）取最大值时，因而△ABC是等边三角形．…（12分）18．（12分）在公差为d的等差数列{a n}中，已知a1＝10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列．（Ⅰ）求d，a n；（Ⅱ）若d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，即，整理得d2﹣3d﹣4＝0．解得d＝﹣1或d＝4．当d＝﹣1时，a n＝a1+（n﹣1）d＝10﹣（n﹣1）＝﹣n+11．当d＝4时，a n＝a1+（n﹣1）d＝10+4（n﹣1）＝4n+6．所以a n＝﹣n+11或a n＝4n+6；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n，因为d＜0，由（Ⅰ）得d＝﹣1，a n＝﹣n+11．则当n≤11时，．当n≥12时，|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|＝﹣S n+2S11＝．综上所述，|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|＝．19．（12分）如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B⊥AC，且A1B＝AC＝5，AA1＝BC＝13，且AB＝12．（1）求证：平面ABB1A1⊥平面ACC1A1；（2）求二面角A﹣BB1﹣C的正切值的大小．【解答】证明：（1）在△ABC中，∵AB2+AC2＝BC2，∴AC⊥AB，…（2分）又∵A1B⊥AC且A1B、AC是面ABB1A1内的两条相交直线，∴AC⊥平面ABB1A1，..…（4分）又AC⊂平面ACC1A1，∴平面ABB1A1⊥平面ACC1A1．…（5分）解：（2）在△ABC中，∵，∴A1B⊥AB，又∵A1B⊥AC且AB、AC是面ABC内的两条相交直线，∴A1B⊥面ABC，…（7分）∴以B为原点，BA为x轴，在平面ABC中过B作BA的垂线为y轴，BA1为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B（0，0，0），A（12，0，0），C（12，5，0），A1（0，0，5），由，得B1（﹣12，0，5），…（8分）取平面ABB1A1的一个法向量＝（0，1，0），设平面BCC1B1的一个法向量，由，得取x＝5，则…（10分）∴cos＜＞＝＝﹣，设A﹣BB1﹣C的大小为θ，则，．∴二面角A﹣BB1﹣C的正切值的大小为…（12分）20．（12分）已知点A（2，0），椭圆E：（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆E的上焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（1）求E的方程；（2）设过点A的动直线l与E相交于点P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．【解答】解：（1）由e＝，可得：，即，设F（0，c），则，，又a2﹣b2＝c2＝3，∴a2＝4，b2＝1，∴E的方程是；（2）设l的方程为x＝my+2，设P（x1，y1），Q（x2，y2），由得（4m2+1）y2+16my+12＝0，y1+y2＝﹣，y1y2＝，△＝（16m）2﹣4×12×（4m2+1）＝16（4m2﹣3）＞0，＝，令，则，而当且仅当t＝2，≤1．即时等号成立，此时S△OPQ∴当△OPQ的面积最大时，求l的方程为，即．21．（12分）已知函数f（x）＝xlnx+（2a﹣1）x﹣ax2﹣a+1，（1）若，求f（x）的单调区间；（2）若x∈[1，+∞）时恒有f（x）≤0，求a的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）＝xlnx+（2a﹣1）x﹣ax2﹣a+1的导数为f′（x）＝lnx﹣2a（x﹣1），当时，f′（x）＝lnx﹣（x﹣1），令g（x）＝lnx﹣（x﹣1），则．x∈（0，1）时g′（x）＞0；x∈（1，+∞）时g′（x）＜0．∴g（x）≤g（1）＝0，即f′（x）≤0（只在x＝1处取等号）∴f（x）的单减区间是（0，+∞）；（2）f′（x）＝lnx﹣2a（x﹣1），令f′（x）＝0，则lnx＝2a（x﹣1）且函数lnx在x＝1处的切线为y＝x﹣1，由（1）知，时，f（x）在[1，+∞）上单减且f（1）＝0，∴f（x）≤0，合题意；当a＞时，数形结合知，f（x）在[1，+∞）上仍单减且f（1）＝0，∴f（x）≤0，合题意；当0＜a＜时，数形结合知，∃x0＞1，使得f′（x0）＝0．即x∈（1，x0）时f′（x）＞0，f（x）在（1，x0）上单增，f（x）＞f（1）＝0，不合题意；当a≤0时，数形结合知，x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上单增，f（x）＞f（1）＝0，不合题意．综上，若x∈[1，+∞）时恒有f（x）≤0，则a的取值范围是．四.选做题，以下三题任选一题22．（10分）已知函数f（x）＝sin（x﹣ϕ）cos（x﹣ϕ）﹣cos2（x﹣ϕ）+（0≤ϕ≤）为偶函数．（I）求函数的最小正周期及单调减区间；（II）把函数的图象向右平移个单位（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，求函数g（x）的对称中心．【解答】解：（I）函数f（x）＝sin（x﹣ϕ）cos（x﹣ϕ）﹣cos2（x﹣ϕ）+＝sin（2x﹣2φ）﹣（2cos2φ﹣1）＝sin（2x﹣2φ）﹣cos（2x﹣2φ）＝sin（2x﹣2φ）函数f（x）为偶函数，则﹣2φ＝kπ，k∈z∵0≤ϕ≤∴φ＝∴f（x）＝sin（2x﹣π）＝﹣sin2x∴函数的最小正周期T＝＝π令2x∈[﹣+2kπ，+2kπ]k∈Z解得：﹣+kπ≤x≤+kπ∴函数f（x）的单调递减区间为[﹣+kπ，+kπ]k∈Z（II）由（I）知f（x）＝﹣sin2x由题意知g（x）＝﹣sin[2（x﹣）]＝﹣sin（2x﹣）令2x﹣＝kπ（k∈Z），则x＝+（k∈Z），∴函数的对称中心坐标为（+，0）（k∈Z）．23．已知p：|1﹣|＜2；q：x2﹣2x+1﹣m2＜0；若￢p是￢q的充分非必要条件，求实数m的取值范围．【解答】解：p：|1﹣|＜2即为p：﹣2＜x＜10，q：x2﹣2x+1﹣m2＜0即为（x﹣1）2＜m2，即q：1﹣|m|＜x＜1+|m|，又￢p是￢q的充分非必要条件，所以q是p的充分非必要，∴（两式不能同时取等）得到|m|≤3，满足题意，所以m的范围为[﹣3，3]．24．在直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2），点P（x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上．（Ⅰ）若++＝，求||；（Ⅱ）设＝m+n（m，n∈R），用x，y表示m﹣n，并求m﹣n的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵A（1，1），B（2，3），C（3，2），++＝，∴（1﹣x，1﹣y）+（2﹣x，3﹣y）+（3﹣x，2﹣y）＝0∴3x﹣6＝0，3y﹣6＝0∴x＝2，y＝2，即＝（2，2）∴（Ⅱ）∵A（1，1），B（2，3），C（3，2），∴，∵＝m+n，∴（x，y）＝（m+2n，2m+n）∴x＝m+2n，y＝2m+n∴m﹣n＝y﹣x，令y﹣x＝t，由图知，当直线y＝x+t过点B（2，3）时，t取得最大值1，故m﹣n的最大值为1．。
2016年安徽省淮南市高考数学一模试卷(理科)(解析版)
2016年安徽省淮南市高考数学一模试卷（理科）一、选择题1．复数的虚部是（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣12．已知集合U={1，2，3，4}，B={1，2，3}，且A∩B={1，2}，则满足条件的A的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．43．下面的程序框图能判断任意输入的数x的奇偶性．其中判断框内的条件是（）A．m=0 B．m=1 C．x=0 D．x=14．函数f（x）=2sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A．2，﹣ B．2，﹣ C．4，﹣ D．4，5．经过抛物线y=x2的焦点和双曲线﹣=1的右焦点的直线方程为（）A．x+48y﹣3=0 B．x+80y﹣5=0 C．x+3y﹣3=0 D．x+5y﹣5=06．设a=log32，b=log52，c=log23，则（）A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b7．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，λ∈[0，+∞），则P的轨迹一定通过△ABC的（）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心8．如图，有一圆柱形无盖水杯，其轴截面ABCD是边长为2的正方形，P是BC的中点，现有一只蚂蚁位于外壁A处，内壁P处有一粒米，则这只蚂蚁取得米粒所经过的最短路程是（）A．B．π+1 C．D．9．已知{a n}中，，且{a n}是递增数列，则实数的取值范围是（）A．（﹣2，+∞）B．[﹣2，+∞）C．（﹣3，+∞）D．[﹣3，+∞）10．椭圆C： +=1的左，右顶点分别为A1，A2，点P在C上，且直线PA2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（）A．[，]B．[，]C．[，1]D．[，1]11．如图，是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A．B．C．D．12．设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当取得最小值时，x+2y﹣z的最大值为（）A．0 B．C．2 D．二、填空题13．过平面区域内一点P作圆O：x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，记∠APB=α，当α最小时，此时点P坐标为．14．已知过点M（﹣3，﹣3）的直线l被圆x2+y2+4y﹣21=0所截得的弦长为8，则直线l的方程为．15．定义在[﹣2，2]上的偶函数f（x）在[﹣2，0]上为增，若满足f（1﹣m）＜f（m），则m的取值范围是．16．设函数y=f（x）的图象与y=2x+a的图象关于y=﹣x+1对称，且f（﹣3）+f（﹣7）=1，则a的值为．三.解答题17．在△ABC中，B=，AC=，求AB+BC的最大值并判断取得最大值时△ABC的形状．18．在公差为d的等差数列{a n}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列．（Ⅰ）求d，a n；（Ⅱ）若d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|．19．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B⊥AC，且A1B=AC=5，AA1=BC=13，且AB=12．（1）求证：平面ABB1A1⊥平面ACC1A1；（2）求二面角A﹣BB1﹣C的正切值的大小．20．已知点A（2，0），椭圆E：（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆E的上焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（1）求E的方程；（2）设过点A的动直线l与E相交于点P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．21．已知函数f（x）=xlnx+（2a﹣1）x﹣ax2﹣a+1，（1）若，求f（x）的单调区间；（2）若x∈[1，+∞）时恒有f（x）≤0，求a的取值范围．四.选做题，以下三题任选一题22．已知函数f（x）=sin（x﹣ϕ）cos（x﹣ϕ）﹣cos2（x﹣ϕ）+（0≤ϕ≤）为偶函数．（I）求函数的最小正周期及单调减区间；（II）把函数的图象向右平移个单位（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，求函数g （x）的对称中心．23．已知p：|1﹣|＜2；q：x2﹣2x+1﹣m2＜0；若￢p是￢q的充分非必要条件，求实数m的取值范围．24．在直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2），点P（x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上．（Ⅰ）若++=，求||；（Ⅱ）设=m+n（m，n∈R），用x，y表示m﹣n，并求m﹣n的最大值．2016年安徽省淮南市高考数学一模试卷（理科）一、选择题1．【解答】解：=，则复数的虚部是1，故选：C2．【解答】解：∵U={1，2，3，4}，B={1，2，3}，且A∩B={1，2}，∴满足条件的A可能为{1，2}，{1，2，4}共2个，故选：B．3．【分析】本题考查了选择结构，由程序框图所体现的算法可知判断一个数是奇数还是偶数，看这个数除以2的余数是1还是0，从而得到判断框条件．【解答】解：由程序框图所体现的算法可知判断一个数是奇数还是偶数，看这个数除以2的余数是1还是0．由图可知应该填m=1．故选B4．【分析】利用函数的周期求解ω，然后利用五点法作图求解φ即可．【解答】解：由函数的图象可知T==π，ω==2．x=时，y=2，可得：2sin（2×+φ）=2，由五点法作图可知φ=﹣．故选：A．5．【分析】求出抛物线y=x2的焦点坐标、双曲线﹣=1的右焦点，即可求出直线方程．【解答】解：抛物线y=x2的焦点坐标为（0，1），双曲线﹣=1的右焦点的坐标为（5，0），∴所求直线方程为即x+5y﹣5=0．故选：D．6．【分析】判断对数值的范围，然后利用换底公式比较对数式的大小即可．【解答】解：由题意可知：a=log32∈（0，1），b=log52∈（0，1），c=log23＞1，所以a=log32，b=log52=，所以c＞a＞b，故选：D．7．【分析】先根据、分别表示向量、方向上的单位向量，确定+的方向与∠BAC的角平分线一致，再由可得到=λ（+），可得答案．【解答】解：∵、分别表示向量、方向上的单位向量∴+的方向与∠BAC的角平分线一致又∵，∴=λ（+）∴向量的方向与∠BAC的角平分线一致∴一定通过△ABC的内心故选B．8．【分析】画出圆柱的侧面展开图，根据对称性，求出AQ+PQ的最小值就是AE的长，求解即可．【解答】解：侧面展开后得矩形ABCD，其中AB=π，AD=2问题转化为在CD上找一点Q 使AQ+PQ最短作P关于CD的对称点E，连接AE，令AE与CD交于点Q，则得AQ+PQ的最小值就是AE为．故选：D．9．【分析】由于{a n}是递增数列，可得∀n∈N*，a n+1＞a n，即（n+1）2+λ（n+1）＞n2+λn，解出利用数列的单调性即可得出．【解答】解：∵{a n}是递增数列，∴∀n∈N*，a n+1＞a n，∴（n+1）2+λ（n+1）＞n2+λn，λ＞﹣（2n+1），∴λ＞﹣3．故选：C．10．【分析】由椭圆C： +=1可知其左顶点A1（﹣2，0），右顶点A2（2，0）．设P（x0，y0）（x0≠±2），代入椭圆方程可得=﹣，利用斜率计算公式可得，再利用已知给出的直线PA2斜率的取值范围是[﹣2，1]，即可解出．【解答】解：由椭圆C： +=1可知其左顶点A1（﹣2，0），右顶点A2（2，0）．设P（x0，y0）（x0≠±2），则得=﹣．∵=，=kPA1=，∴=•==﹣．∵直线PA2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，∴直线PA1斜率的取值范围是[，]故选：A．11．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体为棱长是2的正方体，截去两个相同的三棱锥，再截去一个三棱柱（底面直角三角形的直角边为2和2，高为2）而得到，画出它的直观图，即可求其体积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体为棱长是2的正方体，截去两个相同的三棱锥（底面直角三角形的直角边为2和2，高为1）；，再截去一个三棱柱（底面直角三角形的直角边为2和2，高为2）而得到，其直观图如图所示，∴该多面体的体积为：2×2×2﹣2×﹣2×（2××）=．故选：B．12．【分析】将z=x2﹣3xy+4y2代入，利用基本不等式化简即可求得x+2y﹣z的最大值．【解答】解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0，∴z=x2﹣3xy+4y2，又x，y，z为正实数，∴=+﹣3≥2﹣3=1（当且仅当x=2y时取“=”），即x=2y（y＞0），∴x+2y﹣z=2y+2y﹣（x2﹣3xy+4y2）=4y﹣2y2=﹣2（y﹣1）2+2≤2．∴x+2y﹣z的最大值为2．故选：C．13．（﹣4，﹣2）．【分析】先依据不等式组，结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用圆的方程画出图形，确定α最小时点P的位置即可．【解答】解：如图阴影部分表示，确定的平面区域，当P离圆O最远时，α最小，此时点P坐标为：（﹣4，﹣2），故答案为：：（﹣4，﹣2）．14．4x+3y+21=0或x=﹣3．【分析】求出圆x2+y2+4y﹣21=0的圆心、半径，当直线l的斜率不存在时，直线方程为x=﹣3，成立；当直线l的斜率存在时，设直线l：y=k（x+3）﹣3，求出圆心（0，﹣2）到直线y=k（x+3）﹣3的距离，由过点M（﹣3，﹣3）的直线l被圆x2+y2+4y﹣21=0所截得的弦长为8，利用勾股定理能求出直线l的方程．【解答】解：圆x2+y2+4y﹣21=0的圆心为（0，﹣2），半径r==5，当直线l的斜率不存在时，直线方程为x=﹣3，联立，得或，∴直线l：x=﹣3被圆x2+y2+4y﹣21=0所截得的弦长为8，成立；当直线l的斜率存在时，设直线l：y=k（x+3）﹣3，圆心（0，﹣2）到直线y=k（x+3）﹣3的距离d==，∵过点M（﹣3，﹣3）的直线l被圆x2+y2+4y﹣21=0所截得的弦长为8，∴由勾股定理得：，即25=+16，解得k=﹣，∴直线l：，整理，得：4x+3y+21=0．综上直线l的方程为：4x+3y+21=0或x=﹣3．故答案为：4x+3y+21=0或x=﹣3．15．．【分析】根据偶函数的性质等价转化所求的不等式，利用函数的单调性和定义域，列出关于m的不等式组，再求出m的取值范围．【解答】解：因为f（x）是定义在[﹣2，2]上的偶函数，所以不等式f（1﹣m）＜f（m）等价于：f（|1﹣m|）＜f（|m|），因为f（x）在[﹣2，0]上为增函数，所以，解得﹣1≤m＜，即m的取值范围是，故答案为：．16．2．【分析】先求出函数y=f（x）的解析式，再由f（﹣3）+f（﹣7）=1，问题得以解决．【解答】解：设函数y=f（x）的任意点的坐标为（x，y），关于y=﹣x+1对称点的坐标（m，n），则（m，n）在y=2x+a的图象上，，解得m=1﹣y，n=1﹣x，代入y=2x+a可得：1﹣x=21﹣y+a，即：y=log2（1﹣x）﹣a﹣1，函数y=f（x）=log2（1﹣x）﹣a﹣1，∵f（﹣3）+f（﹣7）=1，∴log24﹣a﹣1+log28﹣a﹣1=1，解得，a=2，故答案为：2．三.解答题17．【分析】根据正弦定理可得AB=2sinC，BC=2sinA，从而利用三角函数恒等变换的应用可求AB+BC=，利用正弦函数的图象和性质即可得解．【解答】（本题满分为12分）解：∵B=，AC=，∴在△ABC中，根据==，得AB=•sinC=sinC=2sinC，∴同理BC=2sinA，∴AB+BC=2sinC+2sinA，…=2sinC+2sin（π﹣C）=，…当C=，可得AB+BC的最大值为，…取最大值时，因而△ABC是等边三角形．…18．【分析】（Ⅰ）直接由已知条件a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列列式求出公差，则通项公式a n可求；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的结论，得到等差数列{a n}的前11项大于等于0，后面的项小于0，所以分类讨论求d＜0时|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|的和．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，即，整理得d2﹣3d﹣4=0．解得d=﹣1或d=4．当d=﹣1时，a n=a1+（n﹣1）d=10﹣（n﹣1）=﹣n+11．当d=4时，a n=a1+（n﹣1）d=10+4（n﹣1）=4n+6．所以a n=﹣n+11或a n=4n+6；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n，因为d＜0，由（Ⅰ）得d=﹣1，a n=﹣n+11．则当n≤11时，．当n≥12时，|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=﹣S n+2S11=．综上所述，|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=．19．【分析】（1）推导出AC⊥AB，A1B⊥AC，从而AC⊥平面ABB1A1，由此能证明平面ABB1A1⊥平面ACC1A1．（2）以B为原点，BA为x轴，在平面ABC中过B作BA的垂线为y轴，BA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣BB1﹣C的正切值．【解答】证明：（1）在△ABC中，∵AB2+AC2=BC2，∴AC⊥AB，…又∵A1B⊥AC且A1B、AC是面ABB1A1内的两条相交直线，∴AC⊥平面ABB1A1，..…又AC⊂平面ACC1A1，∴平面ABB1A1⊥平面ACC1A1．…解：（2）在△ABC中，∵，∴A1B⊥AB，又∵A1B⊥AC且AB、AC是面ABC内的两条相交直线，∴A1B⊥面ABC，…∴以B为原点，BA为x轴，在平面ABC中过B作BA的垂线为y轴，BA1为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B（0，0，0），A（12，0，0），C（12，5，0），A1（0，0，5），由，得B1（﹣12，0，5），…取平面ABB1A1的一个法向量=（0，1，0），设平面BCC1B1的一个法向量，由，得取x=5，则…∴cos＜＞==﹣，设A﹣BB1﹣C的大小为θ，则，．∴二面角A﹣BB1﹣C的正切值的大小为…20．【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和直线的斜率公式，以及a，b，c的关系，解方程可得椭圆方程；（2）设l的方程为x=my+2，设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，判别式大于0，运用三角形的面积公式，由基本不等式可得最大值，即可得到m，进而得到直线方程．【解答】解：（1）由e=，可得：，即，设F（0，c），则，，又a2﹣b2=c2=3，∴a2=4，b2=1，∴E的方程是；（2）设l的方程为x=my+2，设P（x1，y1），Q（x2，y2），由得（4m2+1）y2+16my+12=0，y1+y2=﹣，y1y2=，△=（16m）2﹣4×12×（4m2+1）=16（4m2﹣3）＞0，=，令，则，而当且仅当t=2，即时等号成立，此时S△OPQ≤1．∴当△OPQ的面积最大时，求l的方程为，即．21．【分析】（1）求出f（x）的导数，令g（x）=lnx﹣（x﹣1），求出g（x）的导数，可得单调区间和最值，进而得到f（x）的单调区间；（2）求出导数，对a讨论，当时，当a＞时，当0＜a＜时，结合函数的单调性，即可得到所求a的范围．【解答】解：（1）函数f（x）=xlnx+（2a﹣1）x﹣ax2﹣a+1的导数为f′（x）=lnx﹣2a（x﹣1），当时，f′（x）=lnx﹣（x﹣1），令g（x）=lnx﹣（x﹣1），则．x∈（0，1）时g′（x）＞0；x∈（1，+∞）时g′（x）＜0．∴g（x）≤g（1）=0，即f′（x）≤0（只在x=1处取等号）∴f（x）的单减区间是（0，+∞）；（2）f′（x）=lnx﹣2a（x﹣1），令f′（x）=0，则lnx=2a（x﹣1）且函数lnx在x=1处的切线为y=x﹣1，由（1）知，时，f（x）在[1，+∞）上单减且f（1）=0，∴f（x）≤0，合题意；当a＞时，数形结合知，f（x）在[1，+∞）上仍单减且f（1）=0，∴f（x）≤0，合题意；当0＜a＜时，数形结合知，∃x0＞1，使得f′（x0）=0．即x∈（1，x0）时f′（x）＞0，f（x）在（1，x0）上单增，f（x）＞f（1）=0，不合题意；当a≤0时，数形结合知，x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上单增，f（x）＞f（1）=0，不合题意．综上，若x∈[1，+∞）时恒有f（x）≤0，则a的取值范围是．22．【分析】（I）把函数解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，合并整理后，再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，即为函数解析式的最简形式，即可求出最小正周期以及单调区间；（II）由题意根据平移变换求出函数的解析式，然后求出函数的对称中心即可．【解答】解：（I）函数f（x）=sin（x﹣ϕ）cos（x﹣ϕ）﹣cos2（x﹣ϕ）+=sin（2x﹣2φ）﹣（2cos2φ﹣1）=sin（2x﹣2φ）﹣cos（2x﹣2φ）=sin（2x﹣2φ）函数f（x）为偶函数，则﹣2φ=kπ，k∈z∵0≤ϕ≤∴φ=∴f（x）=sin（2x﹣π）=﹣sin2x∴函数的最小正周期T==π令2x∈[﹣+2kπ， +2kπ]k∈Z 解得：﹣+kπ≤x≤+kπ∴函数f（x）的单调递减区间为[﹣+kπ， +kπ]k∈Z（II）由（I）知f（x）=﹣sin2x由题意知g（x）=﹣sin[2（x﹣）]=﹣sin（2x﹣）令2x﹣=kπ（k∈Z），则x=+（k∈Z），∴函数的对称中心坐标为（+，0）（k∈Z）．23．【分析】￢p是￢q的充分非必要条件，所以q是p的充分非必要条件，求出p、q的范围进而求解．【解答】解：p：|1﹣|＜2即为p：﹣2＜x＜10，q：x2﹣2x+1﹣m2＜0即为（x﹣1）2＜m2，即q：1﹣|m|＜x＜1+|m|，又￢p是￢q的充分非必要条件，所以q是p的充分非必要，∴（两式不能同时取等）得到|m|≤3，满足题意，所以m的范围为[﹣3，3]．24．【分析】（Ⅰ）先根据++=，以及各点的坐标，求出点p的坐标，再根据向量模的公式，问题得以解决；（Ⅱ）利用向量的坐标运算，先求出，，再根据=m+n，表示出m﹣n=y﹣x，最后结合图形，求出m﹣n的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵A（1，1），B（2，3），C（3，2），++=，∴（1﹣x，1﹣y）+（2﹣x，3﹣y）+（3﹣x，2﹣y）=0∴3x﹣6=0，3y﹣6=0∴x=2，y=2，即=（2，2）∴（Ⅱ）∵A（1，1），B（2，3），C（3，2），∴，∵=m+n，∴（x，y）=（m+2n，2m+n）∴x=m+2n，y=2m+n∴m﹣n=y﹣x，令y﹣x=t，由图知，当直线y=x+t过点B（2，3）时，t 取得最大值1，故m﹣n的最大值为1．。
2016年安徽省淮北市高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2016年安徽省淮北市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A＝{x||x﹣2|≤2，x∈R}，B＝{x|﹣1≤x≤2}，则∁R（A∩B）等于（）A．{x|﹣1＜x＜0}B．{x|2≤x＜4}C．{x|x＜0或x＞2}D．{x|x≤0或x ≥2}2．（5分）在复平面内，复数z＝的共轭复数对应的点所在的象限（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知x＞0，则“a＝4“是“x+≥4”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的n＝6，则输入整数p的最小值是．（）A．17B．16C．18D．195．（5分）在等差数列{a n}中，若a4+a6+a8+a10+a12＝120，则2a10﹣a12的值为（）A．6B．12C．24D．606．（5分）已知O为坐标原点，双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F，以OF为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点O的两点A、B，若（+）•＝0，则双曲线的离心率e为（）A．2B．3C．D．7．（5分）在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，使直线y＝k（x+3）与圆x2+y2＝1相交的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）有以下命题：①命题“∃x∈R，x2﹣x﹣2≥0”的否定是：“∀x∈R，x2﹣x﹣2＜0”；②已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），P（ξ≤4）＝0.79）则P（ξ≤﹣2）＝0.21；③函数f（x）＝﹣（）x的零点在区间（，）内；其中正确的命题的个数为（）A．3个B．2个C．1个D．0个9．（5分）已知函数y＝f（x）定义在实数集R上的奇函数，且当x∈（﹣∞，0）时xf′（x）＜﹣f（x）成立（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a＝f （），b＝f（1），c＝﹣2f（log2），则a，b，c的大小关系是（）A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．a＞c＞b10．（5分）已知实数x，y满足：，则使等式（t+2）x+（t﹣1）y+2t+4＝0成立的t取值范围为（）A．[﹣，﹣）B．（﹣∞，﹣]∪（﹣，+∞）C．[﹣，1）D．[﹣，1）11．（5分）已知四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，又AB＝3，BC＝2，BD＝4，且∠CBD＝60°，则球O的表面积为（）A．12πB．16πC．20πD．25π12．（5分）如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE＝CD．若动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，其中，下列判断正确的是（）A．满足λ+μ＝2的点P必为BC的中点B．满足λ+μ＝1的点P有且只有一个C．λ+μ的最大值为3D．λ+μ的最小值不存在二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．（5分）设a＝dx，则二项式（ax2﹣）6展开式中的常数项为．14．（5分）寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排A，B，C，D，E五个座位（一排共五个座位），上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有种．15．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中A＝120°，b＝1，且△ABC的面积为，则＝．16．（5分）对于问题：“已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣1，2），解关于x的不等式ax2﹣bx+c＞0”，给出如下一种解法：解：由ax2+bx+c＞0的解集为（﹣1，2），得a（﹣x）2+b（﹣x）+c＞0的解集为（﹣2，1），即关于x的不等式ax2﹣bx+c＞0的解集为（﹣2，1）．参考上述解法，若关于x的不等式+＜0的解集为（﹣3，﹣1）∪（1，2），则关于x的不等式+＜0的解集为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（12分）在等比数列{a n}中，a3＝，S3＝．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n＝log2，且{b n}为递增数列，若∁n＝，求证：C1+C2+C3+…∁n＜．18．（12分）一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：f1（x）＝x3，f2（x）＝5|x|，f3（x）＝2，f4（x）＝，f5（x）＝sin（+x），f6（x）＝x cos x．（Ⅰ）从中任意拿取2张卡片，若其中有一张卡片上写着的函数为奇函数．在此条件下，求两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率；（Ⅱ）现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数ξ的分布列和数学期望．19．（12分）已知某几何体直观图和三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，（Ⅰ）求证：BN⊥平面C1B1N；（Ⅱ）设θ为直线C1N与平面CNB1所成的角，求sinθ的值；（Ⅲ）设M为AB中点，在BC边上找一点P，使MP∥平面CNB1并求的值．20．（12分）定长为3的线段AB两端点A、B分别在x轴，y轴上滑动，M在线段AB上，且．（1）求点M的轨迹C的方程；（2）设过且不垂直于坐标轴的动直线l交轨迹C于A、B两点，问：线段OF上是否存在一点D，使得以DA，DB为邻边的平行四边形为菱形？作出判断并证明．21．（12分）对于函数y＝f（x）的定义域为D，如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足下列条件：①f（x）在[m，n]上是单调函数；②当f（x）的定义域为[m，n]时，值域也是[m，n]，则称区间[m，n]是函数f（x）的“Z区间”．对于函数f（x）＝（a＞0）．（Ⅰ）若a＝1，求函数f（x）在（e，1﹣e）处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）存在“Z区间”，求a的取值范围．选做题：（考生从以下三题中选做一题）选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C、F是⊙O上的两点，OC⊥AB，过点F 作⊙O的切线FD交AB的延长线于点D．连接CF交AB于点E．（1）求证：DE2＝DB•DA；（2）若DB＝2，DF＝4，试求CE的长．选修4-4：坐标系与参数方程．23．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．（Ⅰ）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；（Ⅱ）若直线l经过点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段AB的长．选修4-5：不等式选讲．24．设函数f（x）＝|x+1|+|x﹣5|，x∈R．（1）求不等式f（x）≤2x的解集；（2）如果关于x的不等式log a2＜f（x）在R上恒成立，求实数a的取值范围．2016年安徽省淮北市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A＝{x||x﹣2|≤2，x∈R}，B＝{x|﹣1≤x≤2}，则∁R（A∩B）等于（）A．{x|﹣1＜x＜0}B．{x|2≤x＜4}C．{x|x＜0或x＞2}D．{x|x≤0或x ≥2}【解答】解：A＝[0，2]，B＝[﹣1，2]，所以A∩B＝[0，2]＝A，∁R（A∩B）{x|x＜0或x＞2}，故选：C．2．（5分）在复平面内，复数z＝的共轭复数对应的点所在的象限（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：复数z＝＝＝﹣1﹣2i．复数z＝的共轭复数对应的点（﹣1，2），所在的象限是第二象限．故选：B．3．（5分）已知x＞0，则“a＝4“是“x+≥4”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若a＝4，则根据基本不等式的性质可知x+＝x+≥2＝4，当且仅当x＝，即x＝2时取等号，即充分性成立．若a＝16，x+＝x+≥2＝8，当且仅当x＝，即x＝4时取等号，此时满足x+≥4成立，但a＝4不成立，即必要性不成立，故“a＝4“是“x+≥4”的充分不必要条件，故选：A．4．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的n＝6，则输入整数p的最小值是．（）A．17B．16C．18D．19【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环S n循环前/0 1第一圈是 1 2第二圈是 3 3第三圈是7 4第四圈是15 5第五圈是31 6第六圈否故当S值不大于16时继续循环，故p的最小整数值为16．故选：B．5．（5分）在等差数列{a n}中，若a4+a6+a8+a10+a12＝120，则2a10﹣a12的值为（）A．6B．12C．24D．60【解答】解：∵在等差数列{a n}中，a4+a6+a8+a10+a12＝120，∴5a1+35d＝120，解得a1+7d＝24，∴2a10﹣a12＝2（a1+9d）﹣（a1+11d）＝a1+7d＝24．6．（5分）已知O为坐标原点，双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F，以OF为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点O的两点A、B，若（+）•＝0，则双曲线的离心率e为（）A．2B．3C．D．【解答】解：如图，设OF的中点为C，则+＝，由题意得，•＝0，∴AC⊥OF，∴AO＝AF，又c＝OF，OA：y＝，A的横坐标等于C的横坐标，所以A（，），且AO＝，AO2＝，所以a＝b，则双曲线的离心率e为＝．故选：C．7．（5分）在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，使直线y＝k（x+3）与圆x2+y2＝1相交的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：圆x2+y2＝1的圆心为（0，0）圆心到直线y＝k（x+3）的距离为要使直线y＝k（x+3）与圆x2+y2＝1相交，则＜1，解得﹣＜k＜．∴在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，使y＝k（x+3）与圆x2+y2＝1相交的概率为＝．8．（5分）有以下命题：①命题“∃x∈R，x2﹣x﹣2≥0”的否定是：“∀x∈R，x2﹣x﹣2＜0”；②已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），P（ξ≤4）＝0.79）则P（ξ≤﹣2）＝0.21；③函数f（x）＝﹣（）x的零点在区间（，）内；其中正确的命题的个数为（）A．3个B．2个C．1个D．0个【解答】解：①根据特称命题的否定是全称命题知：命题“存在x∈R，使x2﹣x ﹣2≥0”的否定是：“对任意的x∈R，都有x2﹣x﹣2＜0”；所以正确．②因为正态分布的对称轴为x＝1，所以P（ξ≤﹣2）＝P（ξ≥4）＝1﹣P（ξ≤4）＝1﹣0.79＝0.21，所以正确．③因为f（）＜0，f（）＞0，所以根据根的存在性定理可知，正确．故选：A．9．（5分）已知函数y＝f（x）定义在实数集R上的奇函数，且当x∈（﹣∞，0）时xf′（x）＜﹣f（x）成立（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a＝f （），b＝f（1），c＝﹣2f（log2），则a，b，c的大小关系是（）A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．a＞c＞b【解答】解：当x∈（﹣∞，0）时，xf′（x）＜﹣f（x），即xf′（x）+f（x）＜0，∴[xf（x）]′＜0，∴令F（x）＝xf（x），由函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，则F（x）为偶函数，且在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数，由c＝﹣2f（log2）＝﹣2f（﹣2）＝2f（2）＝g（2），a＝f（）＝g（），b＝f（1）＝g（1），由1＜＜2，可得b＜a＜c．故选：A．10．（5分）已知实数x，y满足：，则使等式（t+2）x+（t﹣1）y+2t+4＝0成立的t取值范围为（）A．[﹣，﹣）B．（﹣∞，﹣]∪（﹣，+∞）C．[﹣，1）D．[﹣，1）【解答】解：由题意作平面区域如下，，∵（t+2）x+（t﹣1）y+2t+4＝0，∴t（x+y+2）+2x﹣y+4＝0，∴t＝＝1﹣，几何意义是点A（﹣2，0）与阴影内的点的连线的斜率，而k AB＝＝，k AC＝＝1，故≤＜1，故＜≤，故﹣≤1﹣＜﹣，故选：A．11．（5分）已知四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，又AB＝3，BC＝2，BD＝4，且∠CBD＝60°，则球O的表面积为（）A．12πB．16πC．20πD．25π【解答】解：∵四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，又AB＝3，BC＝2，BD＝4，且∠CBD＝60°，∴CD＝＝2，∴BC2+CD2＝BD2，∴AB⊥平面BCD，BC⊥CD，∴以AB、BC、CD、AB为长方体的长、宽、高构造长方体AGHF﹣BCDF，则球O的半径R＝＝＝，∴球O的表面积S＝4＝25π．故选：D．12．（5分）如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE＝CD．若动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，其中，下列判断正确的是（）A．满足λ+μ＝2的点P必为BC的中点B．满足λ+μ＝1的点P有且只有一个C．λ+μ的最大值为3D．λ+μ的最小值不存在【解答】解：由题意，不妨设正方形的边长为1，建立如图所示的坐标系，则B（1，0），E（﹣1，1），故＝（1，0），＝（﹣1，1），所以＝（λ﹣μ，μ），当λ＝μ＝1时，＝（0，1），此时点P与D重合，满足λ+μ＝2，但P不是BC 的中点，故A错误；当λ＝1，μ＝0时，＝（1，0），此时点P与B重合，满足λ+μ＝1，当λ＝，μ＝时，＝（0，），此时点P为AD的中点，满足λ+μ＝1，故满足λ+μ＝1的点不唯一，故B错误；当P∈AB时，有0≤λ﹣μ≤1，μ＝0，可得0≤λ≤1，故有0≤λ+μ≤1，当P∈BC时，有λ﹣μ＝1，0≤μ≤1，所以0≤λ﹣1≤1，故1≤λ≤2，故1≤λ+μ≤3，当P∈CD时，有0≤λ﹣μ≤1，μ＝1，所以0≤λ﹣1≤1，故1≤λ≤2，故2≤λ+μ≤3，当P∈AD时，有λ﹣μ＝0，0≤μ≤1，所以0≤λ≤1，故0≤λ+μ≤2，综上可得0≤λ+μ≤3，故C正确，D错误．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．（5分）设a＝dx，则二项式（ax2﹣）6展开式中的常数项为15．【解答】解：a＝dx＝lnx＝2﹣1＝1，则二项式（ax2﹣）6＝（x2﹣）6的展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣1）r•x12﹣3r，令12﹣3r＝0，求得r＝4，可得展开式中的常数项为＝15，故答案为：15．14．（5分）寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排A，B，C，D，E五个座位（一排共五个座位），上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有45种．【解答】解：设5名同学也用A，B，C，D，E来表示，若恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法，设E同学坐在自己的座位上，则其他四位都不是自己的座位，则有BADC，CADB，DABC，BDAC，CDAB，DCAB，BCDA，DCBA，CDBA共9种坐法，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有5×9＝45种，故答案为：45．15．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中A＝120°，b＝1，且△ABC的面积为，则＝2．【解答】解：由题意，＝×c×1×sin120°∴c＝4，∴a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝1+16﹣2×1×4×（﹣）＝21．∴a＝∴＝＝2．故答案为：2．16．（5分）对于问题：“已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣1，2），解关于x的不等式ax2﹣bx+c＞0”，给出如下一种解法：解：由ax2+bx+c＞0的解集为（﹣1，2），得a（﹣x）2+b（﹣x）+c＞0的解集为（﹣2，1），即关于x的不等式ax2﹣bx+c＞0的解集为（﹣2，1）．参考上述解法，若关于x的不等式+＜0的解集为（﹣3，﹣1）∪（1，2），则关于x的不等式+＜0的解集为（﹣1，﹣）∪（，1）．【解答】解：由ax2+bx+c＞0的解集为（﹣1，2），得a（﹣x）2+b（﹣x）+c＞0的解集为（﹣2，1），发现﹣x∈（﹣1，2），则x∈（﹣2，1）若关于x的不等式+＜0的解集为（﹣3，﹣1）∪（1，2），则关于x的不等式+＜0可看成前者不等式中的x用代入可得，则∈（﹣3，﹣1）∪（1，2），∴x∈（﹣1，﹣）∪（，1），故答案为：（﹣1，﹣）∪（，1）．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（12分）在等比数列{a n}中，a3＝，S3＝．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n＝log2，且{b n}为递增数列，若∁n＝，求证：C1+C2+C3+…∁n＜．【解答】解：（Ⅰ）∵a3＝，S3＝，∴当q＝1时，S3＝3a1＝，满足条件，∴q＝1．当q≠1时，a1q2＝，＝，解得a1＝6，q＝﹣．综上可得：a n＝或a n＝6•（﹣）n﹣1；（Ⅱ）证明：由题意可得b n＝log2＝log2＝log222n＝2n，则∁n＝＝＝（﹣），即有C1+C2+C3+…∁n＝（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）＝﹣＜．故原不等式成立．18．（12分）一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：f1（x）＝x3，f2（x）＝5|x|，f3（x）＝2，f4（x）＝，f5（x）＝sin（+x），f6（x）＝x cos x．（Ⅰ）从中任意拿取2张卡片，若其中有一张卡片上写着的函数为奇函数．在此条件下，求两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率；（Ⅱ）现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数ξ的分布列和数学期望．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）为奇函数；为偶函数；f3（x）＝2为偶函数；为奇函数；为偶函数；f6（x）＝x cos x为奇函数…（3分）所有的基本事件包括两类：一类为两张卡片上写的函数均为奇函数；另一类为两张卡片上写的函数为一个是奇函数，一个为偶函数；故基本事件总数为满足条件的基本事件为两张卡片上写的函数均为奇函数，故满足条件的基本事件个数为故所求概率为．…（6分）（Ⅱ）ξ可取1，2，3，4．…（7分），；故ξ的分布列为…（10分）．∴ξ的数学期望为．…（12分）19．（12分）已知某几何体直观图和三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，（Ⅰ）求证：BN⊥平面C1B1N；（Ⅱ）设θ为直线C1N与平面CNB1所成的角，求sinθ的值；（Ⅲ）设M为AB中点，在BC边上找一点P，使MP∥平面CNB1并求的值．【解答】证明：（Ⅰ）∵该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，∴BA，BC，BB1两两垂直．…（2分）以BA，BB1，BC分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则N（2，2，0），B1（0，4，0），C1（0，4，2），C（0，0，2），∵＝4﹣4+0＝0，＝0，∴BN⊥NB1，BN⊥B1C1且NB1，∵B1C1相交于B1，∴BN⊥平面C1B1N．（4分）解：（Ⅱ）设＝（x，y，z）为平面NCB1的一个法向量，则，取x＝1，得＝（1，1，2），∵＝（2，﹣2，﹣2），∴sinθ＝＝＝．（Ⅲ）∵M（1，0，0）．设P（0，0，a）为BC上一点，则＝（﹣1，0，a），∵MP∥平面CNB1，∴，＝﹣1+2a＝0，解得a＝，又PM⊄平面CNB1，∴MP∥平面CNB1，∴当PB＝时，MP∥平面CNB1，∴＝．…（12分）20．（12分）定长为3的线段AB两端点A、B分别在x轴，y轴上滑动，M在线段AB上，且．（1）求点M的轨迹C的方程；（2）设过且不垂直于坐标轴的动直线l交轨迹C于A、B两点，问：线段OF上是否存在一点D，使得以DA，DB为邻边的平行四边形为菱形？作出判断并证明．【解答】解：（1）设A（x1，0），B（0，y1），M（x，y）则，|AB|＝3＝＝1（2）存在满足条件的D点．设满足条件的点D（0，m），则，设l的方程为：y＝kx+，（k≠0），代入椭圆方程，得（k2+4）x2+2kx﹣1＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝﹣，∴y1+y2＝k（x1+x2）+2．∵以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形，∴，＝，的方向向量为（1，k），＝0，∴﹣﹣2mk＝0即m＝∵k2＞0，∴m＝，∴0＜m＜，∴存在满足条件的点D．21．（12分）对于函数y＝f（x）的定义域为D，如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足下列条件：①f（x）在[m，n]上是单调函数；②当f（x）的定义域为[m，n]时，值域也是[m，n]，则称区间[m，n]是函数f（x）的“Z区间”．对于函数f（x）＝（a＞0）．（Ⅰ）若a＝1，求函数f（x）在（e，1﹣e）处的切线方程；（Ⅱ） 若函数f （x ）存在“Z 区间”，求a 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）若a ＝1，x ＝e ， 则f （x ）＝lnx ﹣x ，f ′（x ）＝，则切点坐标为（e ，1﹣e ）， 切线斜率k ＝f ′（e ）＝﹣1，∴函数f （x ）在（e ，1﹣e ）处的切线方程为y ﹣（1﹣e ）＝（﹣1）（x ﹣e ）， 即（e ﹣1）x +ey ＝0． （Ⅱ）∵f （x ）＝（a ＞0）． ∴f ′（x ）＝（a ＞0）．列表如下设函数f （x ）存在“Z 区间”是[m ，n ]， （1）当0＜m ＜n 时，由f ′（x ）≥0得：≥0，解得0＜x ≤a ，即0＜x ≤a 时函数f （x ）为增函数， 当x ＝n 时，取得最大值， 当x ＝m 时，取最小值， 即，即方程alnx ﹣x ＝x 有两个解， 即方程a ＝有两个解，做出y ＝的图象，由图象以及函数的导数可知， 当x ＞1时，y ＝在x ＝e 处取得最小值2e ，在x＝a时，y＝，故方程a＝有两个解，由a≤得：a≤e2，此时正数a的取值范围是（2e，e2]．由f′（x）＜0得：＜0，解得x＞a，即x＞a时，函数f（x）为单调减函数，则当x＝m时，取得最大值，当x＝n时，取得最小值，即，两式相减可得，alnm﹣alnn＝0，即m＝n，不符合；当x≤0时，函数f（x）为减函数，则当x＝m时取最大值，当x＝n时，取得最小值，即，两式相减，可以得到+＝1，回代到方程组的第一个式子得到1﹣﹣a＝n，整理得到1﹣﹣n＝a，由图象可知，方程由两个解，则a∈（，1]，综上正数a的取值范围是（，1]∪（2e，e2]选做题：（考生从以下三题中选做一题）选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C、F是⊙O上的两点，OC⊥AB，过点F 作⊙O的切线FD交AB的延长线于点D．连接CF交AB于点E．（1）求证：DE2＝DB•DA；（2）若DB＝2，DF＝4，试求CE的长．【解答】（1）证明：连接OF．因为DF切⊙O于F，所以∠OFD＝90°．所以∠OFC+∠CFD＝90°．因为OC＝OF，所以∠OCF＝∠OFC．因为CO⊥AB于O，所以∠OCF+∠CEO＝90°．所以∠CFD＝∠CEO＝∠DEF，所以DF＝DE．因为DF是⊙O的切线，所以DF2＝DB•DA．所以DE2＝DB•DA．（2）解：∵DF2＝DB•DA，DB＝2，DF＝4．∴DA＝8，从而AB＝6，则OC＝3．又由（1）可知，DE＝DF＝4，∴BE＝2，OE＝1．从而在Rt△COE中，．选修4-4：坐标系与参数方程．23．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．（Ⅰ）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；（Ⅱ）若直线l经过点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段AB的长．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程ρ＝化为ρ2sin2θ＝4ρcosθ，得到曲线C的直角坐标方程为y2＝4x，故曲线C是顶点为O（0，0），焦点为F（1，0）的抛物线；（2）直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．故l经过点（0，1）；若直线l经过点（1，0），则，∴直线l的参数方程为（t为参数）．代入y2＝4x，得t+2＝0设A、B对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2＝﹣6，t1t2＝2．|AB|＝|t1﹣t2|＝＝＝8．选修4-5：不等式选讲．24．设函数f（x）＝|x+1|+|x﹣5|，x∈R．（1）求不等式f（x）≤2x的解集；（2）如果关于x的不等式log a2＜f（x）在R上恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：设函数f（x）＝|x+1|+|x﹣5|，x∈R．（1）若当x≥5时，f（x）＝x+1+x﹣5＝2x﹣4，当﹣1＜x＜5，f（x）＝x+1﹣x+5＝6，当x≤﹣1时，f（x）═﹣x﹣1﹣x+5＝﹣2x+4，即f（x）＝，则不等式f（x）≤2x等价为：当x≥5时，f（x）＝2x﹣4≤2x，即﹣4≤0恒成立，此时x≥5，当﹣1＜x＜5时，f（x）＝6≤2x，解得x≥3，此时3≤x＜5，当x≤﹣1时，f（x）＝﹣2x+4≤2x，即x≥1，此时x无解，综上不等式的解集为{x|x≥5或3≤x＜5}．（2）如果关于x的不等式log a2＜f（x）在R上恒成立，则只需log a2＜f（x）min即可，∵f（x）＝，∴函数f（x）的最小值为6，∴log a2＜6＝log a a6，若0＜a＜1，则log a2＜6恒成立．若a＞1，则a6＞2，解得a＞，即实数a的取值范围是0＜a＜1或a＞．。
2016年安徽省六安一中高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2016年安徽省六安一中高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{x|y＝log2（﹣x2+2x）}，B＝{y|y＝1+}，那么A∩∁U B＝（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|x＜0}C．{x|x＞2}D．{x|1＜x＜2}2．（5分）在复平面内，复数z满足z（1+i）＝|1+|，则对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a m+1•a m﹣1＝2a m（m≥2），数列{a n}的前n项积为T n，若T2m﹣1＝512，则m的值为（）A．4B．5C．6D．74．（5分）已知函数f（x）＝sin2ωx+sinωx sin（ωx+），（ω＞0）的最小正周期为π，则f（x）在区间[0，]上的值域为（）A．[0，]B．[﹣，]C．[﹣，1]D．[﹣，] 5．（5分）执行如图的程序框图，那么输出S的值是（）A．2B．C．﹣1D．16．（5分）在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对边的边长，若cos A+sin A ﹣＝0，则的值是（）A．1B．C．D．28．（5分）一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如下图所示（单位：cm），则该几何体的体积为（）A．120cm2B．80cm2C．100cm2D．60cm29．（5分）在△ABC中，BC＝5，G，O分别为△ABC的重心和外心，且＝5，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．上述三种情况都有可能10．（5分）平行四边形ABCD中，•＝0，沿BD将四边形折起成直二面角A一BD﹣C，且2||2+||2＝4，则三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为（）A．B．C．4πD．2π11．（5分）已知双曲线C的方程为，其左、右焦点分别是F1、F2．已知点M坐标为（2，1），双曲线C上点P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0）满足，则＝（）A．﹣1B．1C．2D．412．（5分）定义在R上的函数f（x）满足，当x∈[0，2）时，，函数g（x）＝x3+3x2+m．若∀s∈[﹣4，﹣2），∃t∈[﹣4，﹣2），不等式f（s）﹣g（t）≥0成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣12]B．（﹣∞，﹣4]C．（﹣∞，8]D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设a＝（sin x﹣1+2cos2）dx，则（a﹣）6•（x2+2）的展开式中常数项是．14．（5分）以下四个命题中：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样，②两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，③某项测量结果ξ服从正态分布N（1，a2），P（ξ≤5）＝0.81，则P（ξ≤﹣3）＝0.19，④对于两个分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“X与Y有关系”的把握程度越大．以上命题中其中真命题的个数为．15．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的取值范围是．16．（5分）f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f′（x），若f（x）﹣f′（x）＜1，f（0）＝2016，则不等式f（x）＞2015•e x+1（其中e为自然对数的底数）的解集为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，向量＝（S n，1），＝（2n﹣1，），满足条件∥，（1）求数列{a n}的通项公式，（2）设函数f（x）＝（）x，数列{b n}满足条件b1＝1，f（b n+1）＝．①求数列{b n}的通项公式，②设c n＝，求数列{c n}的前n项和T n．18．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA 丄底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1．M是棱SB 的中点．（1）求证：AM∥平面SCD；（2）求平面SCD与平面SAB所成的二面角的余弦值；（3）设点N是直线CD上的动点，MN与平面SAB所成的角为θ，求sinθ的最大值．19．（12分）心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如右表：（单位：人）（1）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（2）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5～7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6～8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率．（3）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望EX．附表及公式K2＝．20．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+12＝0相切．（1）求椭圆C的方程；（2）设A（﹣4，0），过点R（3，0）作与x轴不重合的直线l交椭圆C于P，Q两点，连接AP，AQ分别交直线x＝于M，N两点，若直线MR、NR的斜率分别为k1、k2，试问：k1k2是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝ln（x+1）﹣x（x＞﹣1）．（1）求f（x）的单调区间；（2）若k∈Z，且f（x﹣1）+x＞k（1﹣）对任意x＞1恒成立，求k的最大值；（3）对于在（0，1）中的任意一个常数a，是否存在正数x0，使得e＜1﹣x02成立？请说明理由．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.（本小题满分10分）【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．（Ⅰ）证明：DB＝DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC＝，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系．已知曲线C：ρsin2θ＝2a cosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C分别交于M、N两点．（1）写出曲线C和直线l的普通方程；（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）＝|x+1|+2|x﹣1|．（Ⅰ）解不等式f（x）＜4；（Ⅱ）若不等式f（x）≥|a+1|对任意的x∈R恒成立，求实数a的取值范围．2016年安徽省六安一中高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{x|y＝log2（﹣x2+2x）}，B＝{y|y＝1+}，那么A∩∁U B＝（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|x＜0}C．{x|x＞2}D．{x|1＜x＜2}【解答】解：由﹣x2+2x＞0得，0＜x＜2，∴A＝{x|y＝log2（﹣x2+2x）}＝{x|0＜x＜2}，又，∴1+≥1，则B＝{y|y＝1+}＝{y|y≥1}，∴∁U B＝{y|y＜1}，则A∩∁U B＝{x|0＜x＜1}，故选：A．2．（5分）在复平面内，复数z满足z（1+i）＝|1+|，则对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：复数z满足z（1+i）＝|1+i|，可得z＝＝1﹣i，复数z对应的点为（1，﹣1），在复平面内z的共轭复数＝1+i对应的点为（1，1），在第一象限．故选：A．3．（5分）在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a m+1•a m﹣1＝2a m（m≥2），数列{a n}的前n项积为T n，若T2m﹣1＝512，则m的值为（）A．4B．5C．6D．7【解答】解：设数列{a n}公比为qa m﹣1＝，a m+1＝a m•q，∵a m+1•a m＝2a m，∴，﹣1∴，解得a m＝2，或a m＝0（舍），＝（a m）2m﹣1＝512，∴22m﹣1＝512＝29，∵T2m﹣1∴2m﹣1＝9，解得m＝5．故选：B．4．（5分）已知函数f（x）＝sin2ωx+sinωx sin（ωx+），（ω＞0）的最小正周期为π，则f（x）在区间[0，]上的值域为（）A．[0，]B．[﹣，]C．[﹣，1]D．[﹣，]【解答】解：化简可得f（x）＝sin2ωx+）+sinωx sin（ωx＝+sinωx cosωx＝+sin2ωx cos2ωx＝sin（2ωx﹣）+，∵函数的最小正周期为π，∴＝π，解得ω＝1，∴f（x）＝sin（2x﹣）+，∵x∈[0，]，∴2x﹣∈[，]，∴sin（2x﹣）∈[，1]，∴f（x）＝sin（2x﹣）+的值域为[0，]故选：A．5．（5分）执行如图的程序框图，那么输出S的值是（）A．2B．C．﹣1D．1【解答】解：模拟程序框图的运行情况，如下；开始，s＝2，k＝1；1＜2013，是，s＝＝﹣1，k＝1+1＝2，2＜2013，是，s＝＝，k＝2+1＝3，3＜2013，是，s＝＝2，…∴程序框图计算s的值是以3为周期的函数，当k＝2012+1＝2013时，2013＜2013，否，输出s＝，结束；故选：B．6．（5分）在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：在二项式的展开式中，前三项分别为：，即，即．∵前三项的系数成等差数列，∴＝1+，化为：n2﹣9n+8＝0，解得n＝8．由通项公式可得：T r+1＝＝．可知当r＝0，3，6时，为有理项，其余6项为无理项．∴有理项都互不相邻的概率p＝＝．故选：D．7．（5分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对边的边长，若cos A+sin A ﹣＝0，则的值是（）A．1B．C．D．2【解答】解：由cos A+sin A﹣＝0，整理得：（cos A+sin A）（cos B+sin B）＝2，即cos A cos B+sin B cos A+sin A cos B+sin A sin B＝cos（A﹣B）+sin（A+B）＝2，∴cos（A﹣B）＝1，sin（A+B）＝1，∴A﹣B＝0，A+B＝，即A＝B＝，C＝，利用正弦定理＝＝＝2R，得：a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C，则＝＝＝＝．故选：B．8．（5分）一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如下图所示（单位：cm），则该几何体的体积为（）A．120cm2B．80cm2C．100cm2D．60cm2【解答】解：由三视图可判断几何体为一长方体削去一个角，其直观图如图：长方体的长、宽、高分别为5、4、6，∴长方体的体积为5×4×6＝120，削去的三棱锥的体积为××5×4×6＝20，∴该几何体的体积为120﹣20＝100cm2．故选：C．9．（5分）在△ABC中，BC＝5，G，O分别为△ABC的重心和外心，且＝5，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．上述三种情况都有可能【解答】解：在△ABC中，G，O分别为△ABC的重心和外心，取BC的中点为D，连接AD、OD、GD，如图：则OD⊥BC，GD＝AD，∵，，由＝5，则（）＝＝﹣•＝5，即﹣•（）＝5，则，又BC＝5，则有||2＝||2+||2＞||2+||2，由余弦定理可得cos C＜0，即有C为钝角．则三角形ABC为钝角三角形．故选：B．10．（5分）平行四边形ABCD中，•＝0，沿BD将四边形折起成直二面角A一BD﹣C，且2||2+||2＝4，则三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为（）A．B．C．4πD．2π【解答】解：平行四边形ABCD中，∵•＝0，∴AB⊥BD，沿BD折成直二面角A﹣BD﹣C，∵将四边形折起成直二面角A一BD﹣C，∴平面ABD⊥平面BDC∴三棱锥A﹣BCD的外接球的直径为AC，∴AC2＝AB2+BD2+CD2＝2AB2+BD2，∵2||2+||2＝4，∴AC2＝4∴外接球的半径为1，故表面积是4π．故选：C．11．（5分）已知双曲线C的方程为，其左、右焦点分别是F1、F2．已知点M坐标为（2，1），双曲线C上点P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0）满足，则＝（）A．﹣1B．1C．2D．4【解答】解：∵，∴||cos∠MF1P＝||cos∠MF1F2，∴∠MF1P＝∠MF1F2，∵cos∠MF1F2＝∴cos∠PF1F2＝2cos2∠MF1F2﹣1＝∴tan∠PF1F2＝∴直线PF1的方程为y＝（x+3）与双曲线联立可得P（3，），∴|PF1|＝，∵sin∠MF1F2＝∴＝×××＝，∵＝＝，∴＝2，故选：C．12．（5分）定义在R上的函数f（x）满足，当x∈[0，2）时，，函数g（x）＝x3+3x2+m．若∀s∈[﹣4，﹣2），∃t∈[﹣4，﹣2），不等式f（s）﹣g（t）≥0成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣12]B．（﹣∞，﹣4]C．（﹣∞，8]D．【解答】解：∵当x∈[0，2）时，，∴x∈[0，2），f（0）＝为最大值，∵f（x+2）＝f（x），∴f（x）＝2f（x+2），∵x∈[﹣2，0]，∴f（﹣2）＝2f（0）＝2×＝1，∵x∈[﹣4，﹣3]，∴f（﹣4）＝2f（﹣2）＝2×1＝2，∵∀s∈[﹣4，2），＝2，∴f（s）最大∵f（x）＝2f（x+2），x∈[﹣2，0]，∴f（﹣）＝2f（）＝2×（﹣2）＝﹣4，∵x∈[﹣4，﹣3]，∴f（﹣）＝2f（﹣）＝﹣8，∵∀s∈[﹣4，2），∴f（s）＝﹣8，最小∵函数g（x）＝x3+3x2+m，∴g′（x）＝3x2+6x，3x2+6x＞0，x＞0，x＜﹣2，3x2+6x＜0，﹣2＜x＜0，3x2+6x＝0，x＝0，x＝﹣2，∴函数g（x）＝x3+3x2+m，在（﹣∞，﹣2）（0，+∞）单调递增．在（﹣2，0）单调递减，＝g（﹣4）＝m﹣16，∴∃t∈[﹣4，﹣2），g（t）最小∵不等式f（s）﹣g（t）≥0，∴﹣8≥m﹣16，故实数满足：m≤8，故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设a＝（sin x﹣1+2cos2）dx，则（a﹣）6•（x2+2）的展开式中常数项是﹣332．【解答】解：设＝＝（﹣cos x+sin x）＝1+1＝2，则多项式（a﹣）6•（x2+2）＝（2﹣）6•（x2+2）＝[••+++…+]（x2+2），故展开式的常数项为﹣×2×1﹣×2＝﹣12﹣320＝﹣332，故答案为：﹣332．14．（5分）以下四个命题中：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样，②两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，③某项测量结果ξ服从正态分布N（1，a2），P（ξ≤5）＝0.81，则P（ξ≤﹣3）＝0.19，④对于两个分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“X与Y有关系”的把握程度越大．以上命题中其中真命题的个数为2．【解答】解：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是系统抽样，故①错误，②根据线性相关系数r的意义可知，当两个随机变量线性相关性越强，r的绝对值越接近于1，故②正确；③某项测量结果ξ服从正态分布N（1，a2），则曲线关于直线x＝1对称，P（ξ≤5）＝P（1＜ξ＜5）+0.5＝0.81，则P（1＜ξ＜5）＝0.31，故P（﹣3＜ξ＜1）＝0.31，即有P（ξ≤﹣3）＝P（ξ＜1）﹣P（﹣3＜ξ＜1）＝0.5﹣0.31＝0.19，故③正确．④根据两个分类变量X与Y的随机变量k2的观测值k来说，k越大，判断“X与Y有关系”的把握程度越大，得④是假命题．故④错误，故正确的是②③，故答案为：215．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的取值范围是[4，6]．【解答】解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1的圆心C（3，4），半径为1，∵圆心C到O（0，0）的距离为5，∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6，最小值为4，再由∠APB＝90°，以AB为直径的圆和圆C有交点，可得PO＝AB＝m，故有4≤m≤6，故答案为：[4，6]．16．（5分）f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f′（x），若f（x）﹣f′（x）＜1，f（0）＝2016，则不等式f（x）＞2015•e x+1（其中e为自然对数的底数）的解集为（0，+∞）．【解答】解：设g（x）＝e﹣x f（x）﹣e﹣x，则g′（x）＝﹣e﹣x f（x）+e﹣x f′（x）+e﹣x＝﹣e﹣x[f（x）﹣f′（x）﹣1]，∵f（x）﹣f′（x）＜1，∴f（x）﹣f′（x）﹣1＜0，∴g′（x）＞0，∴y＝g（x）在定义域上单调递增，∵f（x）＞2015•e x+1，∴g（x）＞2015，∵g（0）＝e﹣0f（0）﹣e﹣0＝f（0）﹣1＝2016﹣1＝2015，∴g（x）＞g（0）．∴x＞0，∴f（x）＞2015•e x+1（其中e为自然对数的底数）的解集为（0，+∞）．故答案为：（0，+∞）．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，向量＝（S n，1），＝（2n﹣1，），满足条件∥，（1）求数列{a n}的通项公式，（2）设函数f（x）＝（）x，数列{b n}满足条件b1＝1，f（b n+1）＝．①求数列{b n}的通项公式，②设c n＝，求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（1）由向量＝（S n，1），＝（2n﹣1，），∥，可得S n＝2n﹣1，即S n＝2n+1﹣2，＝（2n+1﹣2）﹣（2n﹣2）＝2n，当n＞1时，a n＝S n﹣S n﹣1当n＝1时，a1＝S1＝2，满足上式．则有数列{a n}的通项公式为a n＝2n，n∈N*；（2）①f（x）＝（）x，b1＝1，f（b n+1）＝．可得（）＝＝（），即有b n+1＝b n+1，可得{b n}为首项和公差均为1的等差数列，即有b n＝n；②∁n＝＝，前n项和T n＝1•+2•（）2+…+（n﹣1）•（）n﹣1+n•（）n，T n＝1•（）2+2•（）3+…+（n﹣1）•（）n+n•（）n+1，相减可得，T n＝+（）2+…+（）n﹣1+（）n﹣n•（）n+1＝﹣n•（）n+1，化简可得，前n项和T n＝2﹣．18．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA 丄底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1．M是棱SB 的中点．（1）求证：AM∥平面SCD；（2）求平面SCD与平面SAB所成的二面角的余弦值；（3）设点N是直线CD上的动点，MN与平面SAB所成的角为θ，求sinθ的最大值．【解答】证明：（1）∵在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA 丄底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1．M是棱SB的中点，∴以点A为坐标原点，AD为x轴，AB为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），D（1，0，0），S（0，0，2），M（0，1，1），∴＝（0，1，1），＝（1，0，﹣2），＝（﹣1，﹣2，0），设平面SCD的一个法向量为＝（x，y，z），则，令z＝1，得＝（2，﹣1，1），∵＝0，∴，∵AM⊄平面SCD，∴AM∥平面SCD．解：（2）由题意平面SAB的一个法向量＝（1，0，0），设平面SCD与平面SAB所成的二面角为α，由题意0，则cosα＝＝＝，∴平面SCD与平面SAB所成的二面角的余弦值为．（3）设N（x，2x﹣2，0），则＝（x，2x﹣3，﹣1），∵平面SAB的一个法向量＝（1，0，0），MN与平面SAB所成的角为θ∴sinθ＝|cos＜＞|＝＝||＝＝．当，即x＝时，sinθ取得最大值（sinθ）max＝．19．（12分）心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如右表：（单位：人）（1）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（2）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5～7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6～8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率．（3）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望EX．附表及公式K2＝．【解答】解：（1）由表中数据得K2的观测值，所以根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关；（2）设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x、y分钟，则基本事件满足的区域为（如图所示）设事件A为“乙比甲先做完此道题”则满足的区域为x＞y，∴由几何概型即乙比甲先解答完的概率为；（3）由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有种；恰有一人被抽到有种；两人都被抽到有种，∴X可能取值为0，1，2，，，X的分布列为：∴．20．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+12＝0相切．（1）求椭圆C的方程；（2）设A（﹣4，0），过点R（3，0）作与x轴不重合的直线l交椭圆C于P，Q两点，连接AP，AQ分别交直线x＝于M，N两点，若直线MR、NR的斜率分别为k1、k2，试问：k1k2是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．【解答】解：（1）由题意得e＝＝，a2﹣b2＝c2，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+12＝0相切，可得d＝＝b，解得a＝4，b＝2，c＝2，故椭圆C的方程为+＝1；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线PQ的方程为x＝my+3，代入椭圆方程3x2+4y2＝48，得（4+3m2）y2+18my﹣21＝0，∴y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，由A，P，M三点共线可知，＝，即y M＝•；同理可得y N＝•．所以k1k2＝•＝＝．因为（x1+4）（x2+4）＝（my1+7）（my2+7＝m2y1y2+7m（y1+y2）+49，所以k1k2＝＝＝﹣．即k1k2为定值﹣．21．（12分）已知函数f（x）＝ln（x+1）﹣x（x＞﹣1）．（1）求f（x）的单调区间；（2）若k∈Z，且f（x﹣1）+x＞k（1﹣）对任意x＞1恒成立，求k的最大值；（3）对于在（0，1）中的任意一个常数a，是否存在正数x0，使得e＜1﹣x02成立？请说明理由．【解答】解：（1）∵f（x）＝ln（x+1）﹣x，∴f′（x）＝﹣1＝﹣，∴当x∈（﹣1，0）时，f′（x）＞0；当x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0；故f（x）的单调增区间为（﹣1，0），单调减区间为（0，+∞）；（2）∵f（x﹣1）+x＞k（1﹣），∴lnx﹣（x﹣1）+x＞k（1﹣），∴lnx+1＞k（1﹣），即xlnx+x﹣kx+3k＞0，令g（x）＝xlnx+x﹣kx+3k，则g′（x）＝lnx+1+1﹣k＝lnx+2﹣k，∵x＞1，∴lnx＞0，若k≤2，g′（x）＞0恒成立，即g（x）在（1，+∞）上递增；∴g（1）＝1+2k≥0，解得，k≥﹣；故﹣≤k≤2，故k的最大值为2；若k＞2，由lnx+2﹣k＞0解得x＞e k﹣2，故g（x）在（1，e k﹣2）上单调递减，在（e k﹣2，+∞）上单调递增；∴g min（x）＝g（e k﹣2）＝3k﹣e k﹣2，令h（k）＝3k﹣e k﹣2，h′（k）＝3﹣e k﹣2，∴h（k）在（1，2+ln3）上单调递增，在（2+ln3，+∞）上单调递减；∵h（2+ln3）＝3+3ln3＞0，h（4）＝12﹣e2＞0，h（5）＝15﹣e3＜0；∴k的最大取值为4，综上所述，k的最大值为4．（3）假设存在这样的x0满足题意，∵e＜1﹣x02，∴x02+﹣1＜0，令h（x）＝x2+﹣1，∵h′（x）＝x（a﹣），令h′（x）＝x（a﹣）＝0得e x＝，故x＝﹣lna，取x0＝﹣lna，在0＜x＜x0时，h′（x）＜0，当x＞x0时，h′（x）＞0；∴h min（x）＝h（x0）＝（﹣lna）2﹣alna+a﹣1，在a∈（0，1）时，令p（a）＝（lna）2﹣alna+a﹣1，则p′（a）＝（lna）2≥0，故p（a）在（0，1）上是增函数，故p（a）＜p（1）＝0，即当x0＝﹣lna时符合题意．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.（本小题满分10分）【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．（Ⅰ）证明：DB＝DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC＝，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．【解答】（I）证明：连接DE交BC于点G．由弦切角定理可得∠ABE＝∠BCE，而∠ABE＝∠CBE，∴∠CBE＝∠BCE，BE＝CE．又∵DB⊥BE，∴DE为⊙O的直径，∠DCE＝90°．∴△DBE≌△DCE，∴DC＝DB．（II）由（I）可知：∠CDE＝∠BDE，DB＝DC．故DG是BC的垂直平分线，∴BG＝．设DE的中点为O，连接BO，则∠BOG＝60°．从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°．∴CF⊥BF．∴Rt△BCF的外接圆的半径＝．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系．已知曲线C：ρsin2θ＝2a cosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C分别交于M、N两点．（1）写出曲线C和直线l的普通方程；（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．【解答】解：（1）曲线C：ρsin2θ＝2a cosθ（a＞0），转化成直角坐标方程为：y2＝2ax线l的参数方程为（t为参数），转化成直角坐标方程为：x﹣y﹣2＝0．（2）将直线的参数方程（t为参数），代入y2＝2ax得到：，所以：，t 1t2＝32+8a，①则：|PM|＝t1，|PN|＝t2，|MN|＝|t1﹣t2||PM|，|MN|，|PN|成等比数列，所以：，②由①②得：a＝1．【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）＝|x+1|+2|x﹣1|．（Ⅰ）解不等式f（x）＜4；（Ⅱ）若不等式f（x）≥|a+1|对任意的x∈R恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（I）．…（1分）当x≤﹣1时，由﹣3x+1＜4得x＞﹣1，此时无解；当﹣1＜x≤1时，由﹣x+3＜4得x＞﹣1，∴﹣1＜x≤1；当x＞1时，由3x﹣1＜4得，∴．…（4分）综上，所求不等式的解集为．…（5分）（II）由（I）的函数解析式可以看出函数f（x）在（﹣∞，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，故f（x）在x＝1处取得最小值，最小值为f（1）＝2，…（7分）不等式f（x）≥|a+1|对任意的x∈R恒成立等价于|a+1|≤2，即﹣2≤a+1≤2，解得﹣3≤a≤1，故a的取值范围为{a|﹣3≤a≤1}．…（10分）。
2016年安徽省芜湖市、马鞍山市高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2016年安徽省芜湖市、马鞍山市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）下列结论错误的是（）A．命题“若p，则￢q”与命题“若q，则￢p”互为逆否命题B．命题p：∀x∈[0，1]，e x≥1，命题q：∃x∈R，x2+x+1＜0，则p∧q为真C．“若am2＜bm2，则a＜b”为真命题D．若p∨q为假命题，则p、q均为假命题3．（5分）（2x+）4的展开式中x3的系数是（）A．6B．12C．24D．484．（5分）设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列四个命题中，正确命题的个数是（）①若a⊥b，a⊥α，则b∥α；②若a∥α，α⊥β，则a∥β；③若a⊥β，α⊥β，则a∥α；④若a∥b，a∥α，b∥β，则α∥β．A．3B．2C．1D．05．（5分）△ABC中，tan A，tan B是方程6x2﹣5x+1＝0的两根，则tan C＝（）A．﹣1B．1C．D．6．（5分）要计算的结果，下面的程序框图中的横线上可以填（）A．n＜2016？B．n≤2016？C．n＞2016？D．n≥2016？7．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A．B．9πC．D．10π8．（5分）点P是圆（x+1）2+（y﹣2）2＝2上任一点，则点P到直线x﹣y﹣1＝0距离的最大值为（）A．B．C．D．9．（5分）函数f（x）＝sin（ωx+φ）（x∈R）的部分图象如图所示，如果，且f（x1）＝f（x2），则f（x1+x2）＝（）A．B．C．D．10．（5分）设P（x0，y0）是函数f（x）图象上任意一点，且，则f（x）的解析式可以是（）A．B．f（x）＝e x﹣1C．D．f（x）＝tan x 11．（5分）7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法种数为（）A．120B．240C．360D．48012．（5分）已知函数，g（x）＝kx﹣1，若方程f（x）﹣g（x）＝0在x∈（﹣2，2）有三个实根，则实数k的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知抛物线y2＝2px的焦点是双曲线＝1的一个焦点，则双曲线的渐近线方程为．14．（5分）已知f（x）是R上的奇函数，f（1）＝1，且对任意x∈R都有f（x+6）＝f（x）+f（3）成立，则f（2015）+f（2016）＝．15．（5分）已知，，，与的夹角为θ，则cosθ＝．16．（5分）在△ABC中，已知AB＝8，BC＝7，cos（C﹣A）＝，则△ABC 的面积为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）设数列{a n}的前n项和S n＝2n+1，数列{b n}满足b n＝+n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）2015年12月6日宁安高铁正式通车后，极大地方便了沿线群众的出行生活．小明与小强都是在芜湖工作的马鞍山人，他们每周五下午都乘坐高铁从芜湖返回马鞍山．因为工作的需要，小明每次都在15：30至18：30时间段出发的列车中任选一车次乘坐；小强每次都在16：00至18：30时间段出发的列车中任选一车次乘坐．（假设两人选择车次时都是等可能地随机选取）（Ⅰ）求2016年1月8日（周五）小明与小强乘坐相同车次回马鞍山的概率；（Ⅱ）记随机变量X为小明与小强在1月15日（周五），1月22日（周五），1月29日（周五）这3天中乘坐的车次相同的次数，求随机变量X的分布列与数学期望．附：2016年1月10日至1月31日每周五下午芜湖站至马鞍山东站的高铁时刻表．19．（12分）如图，几何体ABCA1B1C1中，面ABC是边长为2的正三角形，AA1，BB1，CC1都垂直于面ABC，且AA1＝2BB1＝2CC1＝2，D为B1C1的中点，E 为A1D的中点．（Ⅰ）求证：AE⊥面A1B1C1；（Ⅱ）求BC1与面A1B1C1所成角的正弦值．20．（12分）如图，椭圆E：＝1（a＞b＞0）的离心率为，点为椭圆上的一点．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）若斜率为k的直线l过点A（0，1），且与椭圆E交于C，D两点，B为椭圆E的下顶点，求证：对于任意的k，直线BC，BD的斜率之积为定值．21．（12分）设函数f（x）＝x3a x，其中a＞0且a≠1，若φ（x）＝是区间（0，2）上的增函数．（Ⅰ）求a的最小值；（Ⅱ）当a取得最小值时，证明：对于任意的0＜x1＜x2，当x1+x2＝6时，有f （x1）＜f（x2）．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图所示，点P是圆O直径AB延长线上的一点，PC切圆O于点C，直线PQ平分∠APC，分别交AC、BC于点M、N．求证：（1）△CMN为等腰三角形；（2）PB•CM＝PC•BN．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C的参数方程为（α为参数），直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）求直线l截曲线C所得的弦长．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）＝|x﹣3|﹣2|x+a|（Ⅰ）当a＝3时，求不等式f（x）＞2的解集；（Ⅱ）若f（x）+x+1≤0的解集为A，且[﹣2，﹣1]⊆A，求a的取值范围．2016年安徽省芜湖市、马鞍山市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵＝，∴复数在复平面内对应的点的坐标为（），位于第一象限．故选：A．2．（5分）下列结论错误的是（）A．命题“若p，则￢q”与命题“若q，则￢p”互为逆否命题B．命题p：∀x∈[0，1]，e x≥1，命题q：∃x∈R，x2+x+1＜0，则p∧q为真C．“若am2＜bm2，则a＜b”为真命题D．若p∨q为假命题，则p、q均为假命题【解答】解：A．命题“若p，则￢q”与命题“若q，则￢p”互为逆否命题，正确，B．命题p：∀x∈[0，1]，e x≥1，为真命题．∵判别式△＝1﹣4＝﹣3＜0，故命题q：∃x∈R，x2+x+1＜0为假命题．，则p∧q为假命题．故B错误，C．若am2＜bm2，则m≠0，则a＜b成立，故C正确，D．若p∨q为假命题，则p、q均为假命题，正确，故选：B．3．（5分）（2x+）4的展开式中x3的系数是（）A．6B．12C．24D．48【解答】解：展开式的通项为＝令解得r＝2故展开式中x3的系数是4×C42＝24故选：C．4．（5分）设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列四个命题中，正确命题的个数是（）①若a⊥b，a⊥α，则b∥α；②若a∥α，α⊥β，则a∥β；③若a⊥β，α⊥β，则a∥α；④若a∥b，a∥α，b∥β，则α∥β．A．3B．2C．1D．0【解答】解：由a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：在①中，若a⊥b，a⊥α，则b∥α或b⊂α，故①错误；在②中，若a∥α，α⊥β，则a与β相交、平行，故②错误；在③中，若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a⊂α，故③错误；④若a∥b，a∥α，b∥β，则α与β相交或平行，故④错误．故选：D．5．（5分）△ABC中，tan A，tan B是方程6x2﹣5x+1＝0的两根，则tan C＝（）A．﹣1B．1C．D．【解答】解：∵由所给条件，且tan A、tan B是方程6x2﹣5x+1＝0 的两根，可得tan A+tan B＝，tan A•tan B＝，∴解得：tan（A+B）＝═1．∵A+B+C＝π，∴C＝π﹣（A+B），∴tan C＝﹣tan（A+B）＝﹣1．故选：A．6．（5分）要计算的结果，下面的程序框图中的横线上可以填（）A．n＜2016？B．n≤2016？C．n＞2016？D．n≥2016？【解答】解：通过分析，本程序框图为“当型“循环结构，判断框内为满足循环的条件，第1次循环，S＝1，n＝1+1＝2，第2次循环，S＝1+，n＝2+1＝3，…当n＝2017时，由题意，此时，应该不满足条件，退出循环，输出S的值．所以，判断框内的条件应为：n≤2016．故选：B．7．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A．B．9πC．D．10π【解答】解：由三视图可知几何体为圆柱与球的组合体．圆柱的底面半径为1，高为3，球的半径为1．所以几何体的表面积为π×12+2π×1×3+++＝9π．故选：B．8．（5分）点P是圆（x+1）2+（y﹣2）2＝2上任一点，则点P到直线x﹣y﹣1＝0距离的最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵圆（x+1）2+（y﹣2）2＝2的圆心（﹣1，2），半径r＝，圆心（﹣1，2）到直线x﹣y﹣1＝0距离d＝＝2，点P是圆（x+1）2+（y﹣2）2＝2上任一点，∴点P到直线x﹣y﹣1＝0距离的最大值为：＝3．故选：C．9．（5分）函数f（x）＝sin（ωx+φ）（x∈R）的部分图象如图所示，如果，且f（x1）＝f（x2），则f（x1+x2）＝（）A．B．C．D．【解答】解：由函数f（x）＝sin（ωx+φ）（x∈R）的部分图象，可得•＝﹣，∴ω＝2．再根据五点法作图可的2•+φ＝0，∴φ＝﹣，f（x）＝sin（2x﹣）．在上，且f（x1）＝f（x2），则（x1+x2）＝，∴x1+x2＝，f（x1+x2）＝sin（2•﹣）＝sin＝﹣sin＝﹣，故选：A．10．（5分）设P（x0，y0）是函数f（x）图象上任意一点，且，则f（x）的解析式可以是（）A．B．f（x）＝e x﹣1C．D．f（x）＝tan x 【解答】解：A．当x＝1时，y＝1﹣1＝0，此时02≥12不成立，B．当x＝﹣1时，y＝﹣1＜﹣1，此时y2≥x2不成立，D．当x＝时，y＝1，此时y2≥x2不成立，故选：C．11．（5分）7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法种数为（）A．120B．240C．360D．480【解答】解：第一步，从甲、乙、丙三人选一个加到前排，有3种，第二步，前排3人形成了4个空，任选一个空加一人，有4种，第三步，后排4分人，形成了5个空，任选一个空加一人，有5种，此时形成了6个空，任选一个空加一人，有6种，根据分步计数原理可得3×4×5×6＝360，故选：C．12．（5分）已知函数，g（x）＝kx﹣1，若方程f（x）﹣g （x）＝0在x∈（﹣2，2）有三个实根，则实数k的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：显然，x＝0不是方程f（x）﹣g（x）＝0的根，则f（x）﹣g（x）＝0，即为k＝，可设，由x＜0，可得φ（x）＝x++4≤﹣2+4＝2，即有φ（x）在x＜0时，有最大值φ（﹣1）＝2；当x＞0时，φ（x）＝+lnx的导数为φ′（x）＝﹣+＝，在x＞1时，φ′（x）＞0，φ（x）递增；在0＜x＜1时，φ′（x）＜0，φ（x）递减．可得x＝1处取得最小值1．作出φ（x）在x∈（﹣2，2）图象得在1＜k＜ln2+或﹣2﹣+4＜k＜2时，直线y＝k和y＝φ（x）的图象均有三个交点．则k的取值范围是（1，ln2）∪（，2）．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知抛物线y2＝2px的焦点是双曲线＝1的一个焦点，则双曲线的渐近线方程为y＝±x．【解答】解：抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为（，0），由抛物线y2＝2px的焦点是双曲线＝1的一个焦点，可得＝，解得p＝8，即有双曲线的方程为﹣＝1，可得渐近线方程为y＝±x．故答案为：y＝±x．14．（5分）已知f（x）是R上的奇函数，f（1）＝1，且对任意x∈R都有f（x+6）＝f（x）+f（3）成立，则f（2015）+f（2016）＝﹣1．【解答】解：∵f（x+6）＝f（x）+f（3）中，∴令x＝﹣3，得f（3）＝f（﹣3）+f（3），即f（﹣3）＝0．又f（x）是R上的奇函数，故f（﹣3）＝﹣f（3）＝0．f（0）＝0，∴f（3）＝0，故f（x+6）＝f（x），∴f（x）是以6为周期的周期函数，从而f（2015）＝f（6×336﹣1）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣1．f（2016）＝f（6×336）＝f（0）＝0．故f（2015）+f（2016）＝﹣1+0＝﹣1，故答案为：﹣115．（5分）已知，，，与的夹角为θ，则cosθ＝．【解答】解：∵（）＝＝3，∴＝﹣1．∴（）＝＝2．（）2＝＝7，∴||＝．∴cosθ＝＝．故答案：．16．（5分）在△ABC中，已知AB＝8，BC＝7，cos（C﹣A）＝，则△ABC 的面积为10．【解答】解：∵AB＞BC，∴C＞A，作CD＝AD，则∠DCA＝∠A，则∠BCD＝C﹣A，即cos∠BCD＝cos（C﹣A）＝，设AD＝CD＝x，则BD＝8﹣x，在△BDC中，由余弦定理得：BD2＝CD2+BC2﹣2CD•BC•cos∠BCD，即（8﹣x）2＝x2+49﹣2×7x•＝x2+49﹣13x，即64﹣16x+x2＝x2+49﹣13x，即3x＝15解得：x＝5，∴AD＝5，BD＝3，CD＝5在△BCD中，由余弦定理得cos B＝＝＝．则sin B＝＝，则三角形的面积S＝×7×8×＝10，故答案为：10三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）设数列{a n}的前n项和S n＝2n+1，数列{b n}满足b n＝+n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）当n＝1时，a1＝S1＝4，…（2分）由S n＝2n+1，得S n＝2n，n≥2，﹣1＝＝2n，n≥2．∴a n＝S n﹣S n﹣1∴．…（6分）（2）当n＝1时，+1＝，∴，…（7分）当n≥2时，+n＝＝，…（9分）+…++（2+3+4+…+n）＝+（+…++（1+2+3+4+…+n）＝，…（11分）上式对于n＝1也成立，∴T n ＝．…（12分）18．（12分）2015年12月6日宁安高铁正式通车后，极大地方便了沿线群众的出行生活．小明与小强都是在芜湖工作的马鞍山人，他们每周五下午都乘坐高铁从芜湖返回马鞍山．因为工作的需要，小明每次都在15：30至18：30时间段出发的列车中任选一车次乘坐；小强每次都在16：00至18：30时间段出发的列车中任选一车次乘坐．（假设两人选择车次时都是等可能地随机选取）（Ⅰ）求2016年1月8日（周五）小明与小强乘坐相同车次回马鞍山的概率；（Ⅱ）记随机变量X为小明与小强在1月15日（周五），1月22日（周五），1月29日（周五）这3天中乘坐的车次相同的次数，求随机变量X的分布列与数学期望．附：2016年1月10日至1月31日每周五下午芜湖站至马鞍山东站的高铁时刻表．【解答】解：（Ⅰ）设“2016年1月29日（周五）小明与小强两人乘坐同一趟列车回马鞍山”为事件A，由题意，小明可选择的列车有3趟，小强可选择的列车有2趟，其中两人可以同时乘坐的有2趟．所以．…（5分）（Ⅱ）随机变量X的可能取值为0，1，2，3，由题意，X～B（3，），，，，．…（9分）随机变量X的分布列为：（或）．…（12分）19．（12分）如图，几何体ABCA1B1C1中，面ABC是边长为2的正三角形，AA1，BB1，CC1都垂直于面ABC，且AA1＝2BB1＝2CC1＝2，D为B1C1的中点，E 为A1D的中点．（Ⅰ）求证：AE⊥面A1B1C1；（Ⅱ）求BC1与面A1B1C1所成角的正弦值．【解答】证明：（I）取BC的中点O，连结AO，OD，则OD∥A1A，OA⊥BC．∵AA1⊥平面ABC，∴OD⊥平面ABC．以O为原点，以OC，OA，OD为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：则O（0，0，0），A（0，，0），A1（0，，2），B1（﹣1，0，1），C1（1，0，1），D（0，0，1），E（0，，）．∴＝（0，﹣，），＝（2，0，0），＝（﹣1，﹣，﹣1），∴＝0，＝0，∴AE⊥B1C1，AE⊥A1B1，又B1C1⊂平面A1B1C1，A1B1⊂平面A1B1C1，A1B1∩B1C1＝B1，∴AE⊥平面A1B1C1．（II）由（I）知＝（0，﹣，）为平面A1B1C1的一个法向量，∵＝（2，0，1），∴＝，||＝，||＝，∴cos＜，＞＝＝．∴BC1与面A1B1C1所成角的正弦值为．20．（12分）如图，椭圆E：＝1（a＞b＞0）的离心率为，点为椭圆上的一点．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）若斜率为k的直线l过点A（0，1），且与椭圆E交于C，D两点，B为椭圆E的下顶点，求证：对于任意的k，直线BC，BD的斜率之积为定值．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴，∴①，又椭圆过点，∴②由①②解得a2＝6，b2＝4，所以椭圆E的标准方程为；（Ⅱ）证明：设直线l：y＝kx+1，联立得：（3k2+2）x2+6kx﹣9＝0，设C（x1，y1），D（x2，y2），则有，．易知B（0，﹣2），故＝为定值．21．（12分）设函数f（x）＝x3a x，其中a＞0且a≠1，若φ（x）＝是区间（0，2）上的增函数．（Ⅰ）求a的最小值；（Ⅱ）当a取得最小值时，证明：对于任意的0＜x1＜x2，当x1+x2＝6时，有f （x1）＜f（x2）．【解答】解：（Ⅰ）∵f′（x）＝3x2a x+x3a x lna＝a x（3x2+x3lna），∴φ（x）＝＝3x2+x3lna，∴φ′（x）＝6x+（3lna）x2，∵φ（x）＝是区间（0，2）上的增函数，∴当x∈（0，2）时，φ′（x）＝6x+（3lna）x2≥0恒成立，即恒成立；又x∈（0，2）时，，故lna≥﹣1，故a≥；即a的最小值为．（Ⅱ）证明：当时，，∵0＜x1＜x2且x1+x2＝6，∴0＜x1＜3，x2＝6﹣x1，要证f（x1）＜f（x2），只需证（0＜x1＜3），只需证，只需证x2﹣x1＜3lnx2﹣3lnx1，只需证3lnx1﹣3lnx2+x2﹣x1＜0，只需证3lnx1﹣3ln（6﹣x1）+6﹣2x1＜0（*）；设g（x）＝3lnx﹣3ln（6﹣x）+6﹣2x，x∈（0，3），则，当x∈（0，3）时，g′（x）＞0，即g（x）在（0，3）上单调递增，于是对于任意的0＜x1＜3，g（x1）＜g（3）＝0，即（*）式成立，故原命题成立．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图所示，点P是圆O直径AB延长线上的一点，PC切圆O于点C，直线PQ平分∠APC，分别交AC、BC于点M、N．求证：（1）△CMN为等腰三角形；（2）PB•CM＝PC•BN．【解答】解：（1）∵PC是圆O的切线，切点为C，∴∠PCB＝∠P AC；又∵∠CPM＝∠APM，∴∠CNM＝∠CPM+∠PCB＝∠APM+∠P AM＝∠CMN，∴△CMN是等腰三角形；（2）∵∠CMN＝∠CNM，∠CNM＝∠BNP，∴∠CMN＝∠BNP，又∵∠CNP＝∠BPN，∴△PNB∽△PMC，∴＝，即PB•CM＝PC•BN．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C的参数方程为（α为参数），直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）求直线l截曲线C所得的弦长．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的参数方程化为直角坐标方程为x2+（y﹣1）2＝4．令x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入上式，得曲线C的极坐标方程为：ρ2﹣2ρsinθ﹣3＝0．（Ⅱ）将代入x2+（y﹣1）2＝4得t2＝2，∴，所以所求弦长为．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）＝|x﹣3|﹣2|x+a|（Ⅰ）当a＝3时，求不等式f（x）＞2的解集；（Ⅱ）若f（x）+x+1≤0的解集为A，且[﹣2，﹣1]⊆A，求a的取值范围．【解答】解（Ⅰ）a＝3时，f（x）＞2⇔|x﹣3|﹣2|x+3|＞2⇔或或即，∴不等式f（x）＞2的解集为：．…（5分）（Ⅱ）[﹣2，﹣1]⊆A⇔|x﹣3|﹣2|x+a|+x+1≤0在x∈[﹣2，﹣1]恒成立⇔（3﹣x）﹣2|x+a|+x+1≤0在x∈[﹣2，﹣1]恒成立⇔|x+a|≥2在x∈[﹣2，﹣1]恒成立⇔a≥2﹣x或a≤﹣2﹣x在x∈[﹣2，﹣1]恒成立⇔a≥4或a≤﹣1．…（10分）第21页（共21页）。
2016年安徽省合肥市初中毕业学业考试模拟试卷(1)
2016年安徽省初中毕业学业考试模拟试卷注意事项：1. 你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．2. 本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共5页，“答题卷”共4页．3. 请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．4. 考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．一、选择题（本大题共10题，每小题4分，共40分）每小题都给出A 、B 、C 、D 四个选项，其中只有一个是正确的. 1．下列各数中，是无理数的是（ ）A ．﹣3.14B ．0C ．D ．2．下列各式计算正确的是（ ）A ．3a+2b=5B ．a 5÷a=a 4C ．（﹣2a 2）3=﹣6a 6D ．3a ﹣2=3．如图1所示几何体的俯视图是（ ）图1 A B C D 4．体积为80的正方体的棱长在( )A ．3到4之间B ．4到5之间C ．5到6之间D ．6到7之间5．下列调查中，最适合采用抽样调查的是（ ） A ．乘坐高铁对旅客的行李的检查B ．了解全校师生对我校校庆文艺表演节目的满意程度C ．调查我校2016级8个班全体同学的身高情况D ．对新研发的新型战斗机的零部件进行检查6．如图，l ∥m ，等边△ABC 的顶点A 、B 分别在直线l 、m 上，∠1=25°，则∠2=（ ）A ．35°B ．45°C ．55°D ．75°7．已知方程组()32113x y ax a y +=⎧⎪⎨--=⎪⎩的解x 和y 互为相反数，则a 的值为（ ）A ．1-B ．2-C ．1D ．28．如图，正五边形ABCDE 绕点A 顺时针旋转后得到正五边形AB ′C ′D ′E ′，旋转角为α（0°≤α≤90°），若DE ⊥B ′C ′，则∠α的度数为（ ）．A ．60°B ．45°C ．54°D ．72°9． 如图，每个图形都由同样大小的“”按照一定的规律组成，其中第1个图形有1个“”，第2个图形有2个“”，第3个图形有5个“”，…，则第6个图形中“”的个数为（ ）A ．23B ．24C ．25D ．2610． 如图，已知双曲线)0k (xky ＞经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ．若△OBC 的面积为3，则k 值是（ ）A ．3B ．2C ．4D ．23 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．为认真贯彻落实党的十八大和中央政治局关于八项规定的精神，某市严格控制“三公”经费支出，共节约“三公”经费505 000 000元，用科学记数法可把505 000 000表示为 .12．分解因式： x 3y-2x 2y 2+xy 3= .13. 某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元．设平均每月降价的百分率为x ，根据题意列出的方程是 . 14．如图，在Rt △ABC 中，AB=CB ，BO ⊥AC ，把△ABC 折叠，使AB 落在AC 上，点B与AC 上的点E 重合，展开后，折痕AD 交BO 于点F ，连接DE 、EF ．下列结论：①tan ∠ADB=2；②图中有4对全等三角形；③若将△DEF 沿EF 折叠，则点D 不一定落在AC 上；④BD=BF ；⑤S 四边形DFOE =S △AOF ，上述结论中正确的是 ．ABCDE B ′C ′D ′E ′三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．计算：16．解方程：2132 x x=-四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．在下列网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．（1）试在图中做出△ABC以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△AB1C1；并求出线段AB旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）.（2）若点B的坐标为（﹣3，5），试在图中画出直角坐标系，并根据坐标系作出与△ABC关于原点对称的图形△A2B2C2，并写出B2、C2两点的坐标．第17题第18题18．在一次课外实践活动中,同学们要测量某公园人工湖两侧A，B两个凉亭之间的距离.现测得AC=50m,BC=100m,∠CAB=120º,请计算A，B两个凉亭之间的距离．（结果保留根号）五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．某中学九(1)班体育老师对班上一个组学生进行跳绳测试并规定：每分钟跳100次以下的为D等；每分钟跳100～109次的为C等；每分钟跳110～119次的为B等；每分钟跳120次及以上的为A等．测试结果整理绘制成如下两幅不完整的统计图。
安徽省合肥市高考数学一模试卷(理科)
安徽省合肥市高考数学一模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2018·中山模拟) 已知复数满足，则（）A .B .C . 1D . 52. （2分）有关命题的说法错误的是（）A . 命题“若,则x=1”的逆否命题为：“若则”B . “x=1”是“”的充分不必要条件C . 若为假命题，则p、q均为假命题D . 对于命题使得，则均有3. （2分） (2016高一下·韶关期末) 执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A . 26B . 11C . 4D . 14. （2分） (2016高三上·珠海模拟) 函数y=x5﹣xex在区间（﹣3，3）上的图象大致是（）A .B .C .D .5. （2分）cos105°cos45°+sin45°sin105°的值（）A .B .C .D .6. （2分）(2017·襄阳模拟) 榫卯（sǔn mǎo）是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式，凸出部分叫做“榫头”．某“榫头”的三视图及其部分尺寸如图所示，则该“榫头”体积等于（）A . 12B . 13C . 14D . 157. （2分） (2018高三上·山西期末) 已知双曲线的焦点到渐进线的距离等于实半轴长，则该双曲线的离心率为（）A .B . 2C .D .8. （2分） (2017高一下·新乡期中) 已知函数，x∈[﹣π，0]，则f（x）的最大值为（）A .B .C . 1D . 29. （2分）(2017·贵港模拟) 用半径为R的圆铁皮剪一个内接矩形，再以内接矩形的两边分别作为圆柱的高与底面半径，则圆柱的体积最大时，该圆铁皮面积与其内接矩形的面积比为（）A .B .C .D .10. （2分） (2017高一下·汽开区期末) 已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2 ,BC=CC1=1 ,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A .B .C .D .11. （2分）抛物线的准线方程为，则抛物线的标准方程为（）A .B .C .D .12. （2分）函数f(x)＝excosx的图像在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为（）A .B .C . 1D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二下·泰州月考) 若的方差为3，则的方差为________.14. （1分）办公室刚装修一新，放些植物花草可以清除异味，公司提供绿萝、文竹、碧玉、芦荟4种植物供员工选择，每个员工只能任意选择1种，则员工甲和乙选择不同的概率为________．15. （1分） (2017高二下·高淳期末) 在△ABC中，已知，sinB=cosA•sinC，S△ABC=6，P为线段AB上的点，且，则xy的最大值为________．16. （1分） (2017高二上·南通开学考) 设p：方程x2+2mx+1=0有两个不相等的正根；q：方程x2+2（m-2）x-3m+10=0无实根．则使p∨q为真，p∧q为假的实数m的取值范围是________．三、解答题 (共5题；共58分)17. （10分） (2017高二下·河南期中) 已知正项数列{an}的前n项和为Sn ，若{an}和都是等差数列，且公差相等．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn= ，cn=bn•bn+1，求数列{cn}的前n项和Tn．18. （10分） (2020高二上·青铜峡期末) 如图，是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的一点.（1）求证：平面平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.19. （18分）(2017·临汾模拟) 某印刷厂为了研究印刷单册书籍的成本y（单位：元）与印刷册数x（单位：千册）之间的关系，在印制某种书籍时进行了统计，相关数据见下表：印刷册数（千册）23458单册成本（元） 3.2 2.42 1.9 1.7根据以上数据，技术人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程，方程甲： = ，方程乙： = ．（1）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务．完成下表（计算结果精确到0.1）；印刷册数x（千册）23458单册成本y（元） 3.2 2.42 1.9 1.7________ 2.4 2.1________ 1.6模型甲估计值________ 0﹣0.1________ 0.1残差模型乙________ 2.32 1.9________估计值________ 0.100________残差（2）分别计算模型甲与模型乙的残差平方和Q1及Q2，并通过比较Q1，Q2的大小，判断哪个模型拟合效果更好．（3）该书上市之后，受到广大读者热烈欢迎，不久便全部售罄，于是印刷厂决定进行二次印刷．根据市场调查，新需求量为8千册（概率0.8）或10千册（概率0.2），若印刷厂以每册5元的价格将书籍出售给订货商，问印刷厂二次印刷8千册还是10千册能获得更多利润？（按（1）中拟合效果较好的模型计算印刷单册书的成本）20. （10分）(2020·金堂模拟) 已知直线的参数方程是（是参数），以坐标原点为原点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 .（1）判断直线与曲线的位置关系；（2）过直线上的点作曲线的切线，求切线长的最小值.21. （10分） (2018高二下·河南月考) 已知函数在上是增函数.（1）求实数的取值范围；（2）在（1）的结论下，设，求函数的最小值.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共58分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、21-2、。
2016年安徽合肥文科高三一模数学试卷-学生用卷
2016年安徽合肥文科高三一模数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）1、【来源】 2016年安徽合肥高三一模文科第1题5分已知集合，，则（）．A.B.C.D.2、【来源】 2016年安徽合肥高三一模文科第2题5分已知（为虚数单位），则复数（）．A. B. C. D.3、【来源】 2016年安徽合肥高三一模文科第3题5分2016年安徽合肥高三一模理科第2题5分2017~2018学年福建福州闽侯县福建省福州第一中学高一下学期期末第2题4分等于（）．A.B.C.D.4、【来源】 2016年安徽合肥高三一模文科第4题5分““是““成立的()A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5、【来源】 2016年安徽合肥高三一模文科第5题5分已知直线与圆相切，则实数的值为（）．A. 或B.C. 或D. 或6、【来源】 2016年安徽合肥高三一模文科第6题5分2017~2018学年海南海口美兰区海口市第四中学高二下学期期末文科第7题5分执行如图所示的程序框图，如果输出的的值为，则输入的的值可以是（）．A. B. C. D.7、【来源】 2016年安徽合肥高三一模文科第7题5分2017年天津南开区高三一模理科第5题5分2016年安徽合肥高三一模理科第7题5分2016~2017学年陕西西安雁塔区西安高新第一中学高一下学期期中第6题4分2018~2019学年广东佛山三水区高一下学期期末第6题5分中，角，，所对应的边分别为，，，若，，，则（）．A. B. C. D.8、【来源】 2016年安徽合肥高三一模文科第8题5分2018年四川遂宁高三三模理科第4题5分在一圆柱中挖去一圆锥所得的机械部件的三视图如图所示，则此机械部件的表面积为（）．A.B.C.D.9、【来源】 2016年安徽合肥高三一模文科第9题5分2016年安徽合肥高三一模理科第8题5分若双曲线：与：(，)的渐近线相同，且双曲线的焦距为，则()A. B. C. D.10、【来源】 2016年安徽合肥高三一模文科第10题5分2017~2018学年湖北武汉洪山区华中师大一附中高一上学期期末第9题5分函数在处取得最大值，则正数的最小值为（）．A. B. C. D.11、【来源】 2016年安徽合肥高三一模文科第11题5分2020年四川成都金牛区成都七中万达学校高三三模理科第7题5分已知等边的边长为，若，，则等于（）．A. B. C. D.12、【来源】 2016年安徽合肥高三一模文科第12题5分2019~2020学年11月北京海淀区首都师范大学附属中学高三上学期月考第7题5分2016~2017学年广东广州南沙区广州外国语学校高二上学期期末文科第12题5分直线分别与函数的图象及的图象相交于，两点，则的最小值为（）．A. B. C. D.二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分13、【来源】 2016年安徽合肥高三一模文科第13题5分函数的定义域为．14、【来源】 2016年安徽合肥高三一模文科第14题5分2021年四川德阳高三三模文科第14题5分2016年安徽合肥高三一模理科第14题5分2021年四川德阳高三三模理科第14题5分已知实数，满足，则目标函数的最大值是．15、【来源】 2016年安徽合肥高三一模文科第15题5分2019~2020学年北京海淀区北京一零一中学高二上学期期中第12题5分将红白共个球随机排成一排，则同色球均相邻的概率为．16、【来源】 2016年安徽合肥高三一模文科第16题5分已知函数，则关于的不等式的解集为．三、解答题：本大题共5小题，共60分17、【来源】 2016年安徽合肥高三一模文科第17题12分已知等差数列的前项和为，，且，，成等比数列，公比不为．(1) 求数列的通项公式．(2) 设，求数列的前项和．18、【来源】 2016年安徽合肥高三一模文科第18题12分某校拟在高一年级开设英语口语选修课，该年级男生人，女生人．按性别分层抽样，抽取名同学做意向调查．(1) 求抽取的名同学中的男生人数．(2) 将下列列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为“该校高一学生是否愿意选修英语口语课程与性别有关”？附：，其中．19、【来源】 2016年安徽合肥高三一模文科第19题12分四棱锥中，，，，平面平面，点为的中点．(1) 求证：平面．(2) 若，求四棱锥的体积．20、【来源】 2016年安徽合肥高三一模文科第20题12分已知抛物线，是坐标原点，点，为抛物线上异于点的两点，以为直径的圆过点．(1) 若，求的值以及圆的方程．(2) 求圆的面积的最小值（用表示）．21、【来源】 2016年安徽合肥高三一模文科第21题12分已知函数，，，其中是自然对数的底数．(1) 求函数在点处切线方程．(2) 若对任意恒成立，求的取值范围．四、选做题：共3题，选做1题计10分22、【来源】 2016年安徽合肥高三一模文科第22题10分2016年安徽合肥高三一模理科第22题10分已知是圆的直径，点在圆上（异于点，），连接并延长至点，使得，连接交圆于点，过点作圆的切线交于点．(1) 若，求证：点为的中点．(2) 若，其中为圆的半径，求．23、【来源】 2016年安徽合肥高三一模文科第23题10分2016年安徽合肥高三一模理科第23题10分已知直线：（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴且两坐标系中具有相同的长度单位，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．(1) 将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程．(2) 若曲线与直线有唯一公共点，求实数的值．24、【来源】 2016年安徽合肥高三一模文科第24题10分2016年安徽合肥高三一模理科第24题10分已知，，记，．(1) 求的最大值．(2) 若，是否存在，，使得？并说明理由．1 、【答案】 C;2 、【答案】 C;3 、【答案】 D;4 、【答案】 B;5 、【答案】 B;6 、【答案】 A;7 、【答案】 A;8 、【答案】 A;9 、【答案】 B;10 、【答案】 D;11 、【答案】 A;12 、【答案】 C;13 、【答案】;14 、【答案】;15 、【答案】;16 、【答案】;17 、【答案】 (1) 数列的通项公式为：．;(2) 数列的前项和．;18 、【答案】 (1) 男生人数为人．;(2) 补充表格如下：能在犯错误的概率不超过的前提下认为“该校高一学生是否愿意选修英语口语课程与性别有关”．;19 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) ．;20 、【答案】 (1) ，圆的方程为．;(2) 圆的面积最小值为．;21 、【答案】 (1) 函数在点处切线方程为．;(2) 的取值范围为．;22 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) ．;23 、【答案】 (1) 化为直角坐标方程为．;(2) 实数的值为．;24 、【答案】 (1) 的最大值是．;(2) 存在，，使得，同时成立．理由见解析．;第11页，共11页。
2016安徽高考数学理科复习试卷
2016安徽高考数学理科复习试卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 的值为( ) A. B. C. D. 2.设全集 ， ， ( ) A. B. C. D. 3. 已知直线 和平面 ，则 的一个必要条件是( ) A. ， B. ， C. ， D. 与 成等角 4. 已知 是以1为首项的等比数列，若 ，则 的值是( ) A.-10 B.10 C. D.不确定 5. 已知 ， ， ，则( ) A. B. C. D. 6. 设函数 ，其中 是正数，对于任意实数 ，等式 恒成立，则当 时， 与 的大小关系为( ). A. B. C. D. 7. 某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为( ) A. B. C. D. 8. 已知函数 ， ， 的零点分别为 ， ， ，则 A. < < ， B. < < C. < < D. < < 9. 某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含 个小正方形.则 ( )
A.61 B.62 C.85 D.86 10. 已知函数 ， 则下列结论正确的是( ) A.若 =0，则 = ( ) B. 函数 在区间 上是增函数 C.函数 的图像与 的图像相同 D.函数 的图像关于点 对称 11. 已知向量 , ，若 则 的最小值为( ) A. 2 B. C. 6 D. 9 12.函数 ，若关于 的方程 有六个不同的实数解，则实 数 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13.已知点 在由不等式组 确定的平面区域内，则 的最大值是 . 14.在三棱柱 中侧棱垂直于底面， ， ， ，且 三棱柱 的体积为3，则三棱柱 的外接球的表面积为 . 15. 向量 , 在正方形网格中的位置如图所示.设向量若 ，则实数 __________.
2016届安徽省合肥一中高三下学期冲刺模拟考试理科数学(C卷,解析版)
2016届安徽省合肥一中高三下学期冲刺模拟理科数学（C 卷，解析版）.doc1．已知集合{{}2,20A x y B x x x ===-<，则（ ）A ．AB =∅ B ．A B R =C ．B A ⊆D ．A B ⊆ 2．复数1cossin66z i ππ=-的共轭复数z 是（ ）A．12+ B．12 C12i D12i 3．在等差数列{}n a 中，1328,3a a a ⋅==，则公差d =（ ）A ．1B ．1-C ．1±D ．2±4．在平面直角坐标系中，不等式组040x y x y x a +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩（a 为常数）表示的平面区域面积是9，那么实数a 的值为（ ）A．2 B．2- C ．5- D ．1 5．如图给出了一个算法流程图，该算法流程图的功能是（ ）A ．求,,a b c 三数的最大数B ．求,,a b c 三数的最小数C ．将,,a b c 按从小到大排列D ．将,,a b c 按从大到小排列6．设函数()()()ln 0310x x x f x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，若()00f x >，则0x 的取值范围是（ ） A ．()(),11,-∞-+∞ B ．()(),10,-∞-+∞ C ．()()1,00,1- D ．()()1,00,-+∞7．设M 是ABC ∆内任一点，且30AB AC BAC =∠=︒，设,,MBC MAC MAB∆∆∆的面积分别为,,x y z ，且12z =，则在平面直角中坐标系中，以,x y 为坐标的点(),x y 的轨迹图形是（ ）A ．B ．C ．D ．8．函数32362y x x x =+-+在其对称中心处的切线方程为（ ） A ．91y x =-+ B ．91y x =+ C ．0y = D ．9y x =-+9．已知函数()sin f x x π=和函数()cos g x x π=在区间[]1,2-上的图象交于A 、B 、C 三点，则ABC ∆的面积是（ ） ABC10．3位男生和 3位女生共6位同学站成一排，则男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻的概率是（ ） A ．12 B ．47180 C ．25 D ．21511．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．4 B．21 C．12+．612．已知向量α 、β 、γ 满足()()4,2,0ααβαγβγ=⋅=-⋅-=,若对于每一个确定的,βγ 的最大值和最小值分别为m 、n ，则对于任意的β，m n -的最小值为（ ）A ．3B ．52C ．72D ．9213．()5221x x +- 的展开式中，3x 的系数为 .（ 用数字填写答案）14．双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点分别是12,F F ，过1F 作倾斜角为45︒的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为 ．15．已知空间四面体ABCD 中，2AC AD BC BD ====，且四面体ABCD 的外接球的表面积为7π，如果AB CD a ==，则a = ．16．设1220,...,a a a 是首项为1，公比为2的等比数列，对于满足019k ≤≤的整数k ，数列1220,,...,b b b 由20n k n n k a b a ++-⎧=⎨⎩202020n k k n ≤≤--<≤当1时当时确定，记201n n n M a b ==∑.则M 取最小值时，k 等于 ．17．如图在平面四边形ABCD 中，75,75,120,4A B C BC ∠=︒∠=︒∠=︒=.（1）求AB 的取值范围；（2）若8AD =，求AB 及DC 的长.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，等边 PAD ∆所在的平面与正方形ABCD 所在的平面互相垂直，O 为AD 的中点，E 为DC 的中点，且2AD =.（1）求证：PO ⊥平面ABCD ；（2）在线段AB 上是否存在点M ，使线段PM 与PAD ∆所在平面成30︒角，若存在，求出AM 的长，若不存在，请说明理由.19．为了对2015年合肥市中考成绩进行分析，在60分以上的全体同学中随机抽出8 位，他们的数学分数（已折算为百分制） 从小到大排是60、65、70、75、80、85、90、95，物理分数从小到大排是72、77、80、84、88、90、93 、95.（1）若规定85分（包括85分） 以上为优秀，求这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀的概率；②求y 与x 、z 与x 的线性回归方程（系数精确到0.01）,并用相关指数比较所求回归模型的效果.参考公式：相关系数()()niix x y y r --=∑回归直线方程是：^y bx a =+，其中^121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑ ，a y bx =-相关指数22121()1()niii nii y y R y y ==-=--∑∑，其中iy 是，i x 对应的回归估计值.参考数据：()()22881177.5,85,81,1050,456i i i i x y z x xy y=====-≈-≈∑∑，()()()28811550,688,ii i i i z z x x y y ==-≈--≈∑∑()() ()88211755,7iii i i x x z z y y==--≈-≈∑∑,()82194i i z z=-≈∑23.5≈≈≈.20．在平面直角坐标系xOy 中，F 是抛物线()2:20C x py p =>的焦点，M 是抛物线C 上位于第一象限内的任意一点，过,,M F O 三点的圆的圆心为N ，点N 到抛物线C 的准线的距离为34. （1）求抛物线C 的方程；（2）当过点()4,1P 的动直线l 与抛物线C 相交于不同点,A B 时，在线段AB 上取点Q ，满足AP QB AQ PB ⋅=⋅，证明：点Q 总在某定直线上.21．设函数()(),ln xf x e axg x x ax =-=-，其中a 为实数.（1）若()g x 在()1,e 上是单调减函数，且()f x 在()1,+∞上有最小值，求a 的取值范围； （2）若()g x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是单调减函数，试求()f x 的零点个数，并证明你的结论. 22．选修4-1：几何证明选讲如图，在直角ABC ∆中，,AB BC D ⊥为BC 边上异于,B C 的一点，以AB 为直径作圆O ，并分别交,AC AD 于点,E F .（1）证明：,,,C E F D 四点共圆；（2）若D 为BC 的中点，且3,1AF FD ==，求AE 的长. 23．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为cos (sin x t t y t αα=⎧⎨=⎩为参数，0απ<<），以原点O 为极点，以x 轴正半轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标系方程为()01cos pp ρθ=>-.（1）写出直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求11OA OB+的值. 24．选修4-5：不等式选讲已知函数()()3f x x a x a R =++-∈.（1）当1a =时，求不等式()8f x x ≥+的解集； （2）若函数()f x 的最小值为5 ，求a 的值.参考答案1．C 【解析】试题分析：因为{{}2(,2],20(0,2)A x yB x x x ===-∞=-<=，所以(0,2),(,2],A B A B B AA B ==-∞⊆⊇ ，，因此选C. 考点：集合运算及关系【名师点睛】本题重点考查集合间关系，容易出错的地方是审错题意，由求函数定义域改为函数值域，错求集合A.属于基本题，难点系数较小.一要注意培养良好的答题习惯，避免出现粗心错误，二是明确集合题要关注区间端点开与闭，强化对集合关系正确的理解. 2．D 【解析】试题分析：112cossin66z i i ππ===-，所以z12i=，选D.考点：复数运算及概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)+∈a bi a b R 的实部为a 、虚部为b.-a bi 3．C 【解析】试题分析：由题意得：22(3)(3)89811d d d d d -+=⇒-=⇒=⇒=± ，选C. 考点：等差数列公差【名师点睛】本题考查等差数列基本量，对于特殊数列，一般采取待定系数法，即列出关于首项及公差的两个独立条件即可.为使问题易于解决，往往要利用等差数列相关性质，如*1()(),(1,)22n m t n n a a n a a S m t n m t n N ++==+=+∈、、及等差数列广义通项公式().n m a a n m d =+-4．D【解析】试题分析：由题意得平面区域为一个等腰直角三角形ABC ，其中(2,2),(,),(,4),(2)A B a a C a a a --+>-，因此1(2)2(2)2a a a a +⋅+=⇒+，选D.考点：线性规划【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围. 5．B 【解析】试题分析：若a b >，则a 赋值为b ，比较b 与c 大小，若b c >，则a 赋值为c ，输出c ，即,,a b c 三数的最小数；若a b >，则a 赋值为b ，比较b 与c 大小，若b c ≤，则输出b ，即,,a b c 三数的最小数；若a b ≤，则比较a 与c 大小，若a c >，则a 赋值为c ，输出c ，即,,a b c 三数的最小数；若a b ≤，则比较a 与c 大小，若a c ≤，则输出a ，即,,a b c 三数的最小数；因此选B. 考点：循环结构流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项. 6．B 【解析】试题分析：由题意得000010ln 010310x x x x x x x x x x <<≥≥⎧⎧⎧⎧⇒⇒<->⎨⎨⎨⎨>>>->⎩⎩⎩⎩或或或，因此0x 的取值范围是()(),10,-∞-+∞ ，选B.考点：分段函数不等式【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值. 7．A【解析】试题分析：由题意得111cos304sin 3041222ABC ac ac S ac ∆︒==⇒=︒=⨯⨯=，因此112x y z x y ++=⇒+=，又0,0x y >>，所以选A.考点：向量数量积8．A 【解析】试题分析：因为323362(1)9(1)10y x x x x x =+-+=+-++，所以对称中心为(1,10)-，又21366,|9x y x x k y =-''=+-==-，故切线方程为109(1),91y x y x -=-+=-+，选A.考点：导数几何意义9．C 【解析】 试题分析：由题意得：1s i nc o s t a n144x x x x k k Z x k k Zππππππ=⇒=⇒=+∈⇒=+∈，又[]1,2x ∈-，所以315,,444x =-，因此315(,),(,(,424242A B C ---,从而ABC ∆的面积是153(2)()2244⨯⨯+=，选C.考点：三角函数求值10．C 【解析】试题分析：3位男生和 3位女生共6位同学站成一排共有66A 种不同排法,其中男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻有2322233422(6)A A A A A -种不同排法,因此所求概率为232223342266(6)2=.5A A A A A A -选C. 考点：排列组合11．C 【解析】试题分析：几何体为边长为2的正方体截去一个正六边形，其表面积为2222116+31+3[21]3322⨯⨯⨯⨯-⨯=，选C.考点：三视图 【名师点睛】1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据． 12．C 【解析】试题分析：不妨设(4,0)α= ，(,)m n β''= ，(,)x y γ=，则142,2m m ''==；1(4)()()02x x y y n '--+-=，222949()()42416n n x y ''-+-=+，因此241944416n γ≤≤ 7,2m n ≥-=选C. 考点：向量坐标表示，圆中最值【名师点睛】直线与圆中三个定理：切线的性质定理，切线长定理，垂径定理；两个公式：点到直线距离公式及弦长公式，其核心都是转化到与圆心、半径关系上，这是解决直线与圆的根本思路.对于多元问题，也可先确定主元，如本题以n '为主元，揭示(,)x y γ=在动圆上运动，从而转化为原点到动圆上点距离最值，这也是解决直线与圆问题的一个思路，即将问题转化为直线与圆、圆与圆位置关系. 13．30- 【解析】试题分析：因为()525521=(21)(1)x x x x +--+，所以3x 的系数为23324413555555552122230.C C C C C C C⋅-⋅+⋅-⋅=-考点：二项式定理【名师点睛】1.求特定项系数问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件（特定项）和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ）；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．2．有理项是字母指数为整数的项．解此类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为整数，再根据数的整除性来求解． 14．1+【解析】试题分析：由题意得22222222222(2)(2)12210c c c b ac c a e e a b b a -=⇒=⇒=-⇒--=，因为1e >，所以1e =考点：双曲线离心率15【解析】试题分析：由题意得，四面体ABCD的外接球球心为线段AB中点与线段CD中点连线的中点，设外接球半径为,R则227744R Rππ=⇒=,因此2224aR a=+⇒=考点：四面体外接球【名师点睛】1.解答本题的关键是确定球心、圆锥底面圆心与两圆锥顶点之间的关系，这需要根据球的对称性及几何体的形状来确定．2．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．球与旋转体的组合通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题．16．10【解析】试题分析：因为数列以几何级数递增，所以M的最值决定于和式中的最大数，因为0,1,2,,19k= 时，M和式中的最大数依次为220192018201120102011201920a a a a a a a a a a a a a⋅⋅⋅，，，，，，，，，而220192018201020a a a a a a a>>>>⋅，因此M取最小值时，k等于10.考点：数列17．（1）()+∞（2）AB=8CD=+【解析】试题分析：（1）AB的取值范围，使ABCD为一个凸四边形，其极端位置为点D与点C重合，此时由余弦定理可得2161624432AB=+-⨯⨯=-，从而AB的范围是()+∞（2）因为90D∠=︒，所以在两个三角形中解三角形，列等量关系：222228424cos75AC CD AB AB=+=+-⋅⋅ ；22222828cos75424cos120BD AB AB DC CD=+-⋅⋅=+-⋅⋅最后联立方程组解得AB =8CD =+试题解析：解：（1）75,120,90A B C D ︒︒∠=∠=∠=∴∠=︒。