2019年广东省佛山市高考数学一模试卷(理科)

2019年广东省佛山市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求．1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x|﹣1＜x＜1}，则A∪B＝（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，2）C．（﹣1，0）D．（0，1）2．（5分）若复数（a+i）（2+i）（i为虚数单位）在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数a ＝（）A．﹣2B．2C．﹣D．3．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x+y的最大值为（）A．7B．8C．15D．164．（5分）已知p：“x＝2”，q：“x﹣2＝”，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知sin2α＝，则cos2（）＝（）A．B．C．D．6．（5分）已知向量＝（2，1），＝（﹣1，k），⊥（2+），则k＝（）A．﹣8B．﹣6C．6D．87．（5分）（2x﹣y）（x+2y）5展开式中x3y3的系数为（）A．﹣40B．120C．160D．2008．（5分）某几何体的三视图如图所示则该几何体的体积为（）A．2π+8B．π+8C．D．9．（5分）将偶函数f（x）＝sin（2x+φ）﹣cos（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向右平移个单位，得到y＝g（x）的图象，则g（x）的一个单调递减区间为（）A．（﹣，）B．（，）C．（，）D．（，）10．（5分）已知矩形ABCD，AB＝1．AD＝，E为AD的中点，现分别沿BE，CE将△ABE，△DCE翻折，使点A，D重合，记为点P，则几何体P﹣BCE的外接球表面积为（）A．10πB．5πC．D．11．（5分）双曲线C的左、右焦点分别为F1、F2，且F2恰为抛物线y2＝4x的焦点，设双曲线C与该抛物线的个交点为A，若|AF2|＝|F1F2|，则双曲线C的离心率为（）A．1+B．1+C．2+D．2+12．（5分）设a为常数，函数f（x）＝e x（x﹣a）+a，给出以下结论：①若a＞1，则f（x）在区间（a﹣1，a）上有唯一零点；②若0＜a＜1，则存在实数x0，当x＜x0时，f（x）＞0：③若a＜0，则当x＜0时，f（x）＜0其中正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3二、填空题：本大题共4小题每小题5分，满分20分.13．（5分）已知双曲线＝1（a＞0）的一条渐近线为y＝x，则实数a＝．14．（5分）不透明的布袋中有3个白球，2个黑球，5个红球共10个球（除颜色外完全相同），从中随机摸出2个球，则两个球不同色的概率为．15．（5分）已知f（x）＝log2（4x+1）﹣x，则使得f（2x﹣1）+1＜log25成立的x的取值范围是16．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对边分别为a、b、c，且a＝1，A＝，若当b、c变化时，g（b，c）＝b+λc存在最大值，则正数λ的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共70分解否须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（12分）数列{a n}中，a1＝1，a n+a n+1＝pn+1，其中p为常数．（1）若a1，a2，a4成等比数列，求P的值：（2）是否存在p，使得数列{a n}为等差数列？并说明理由．18．（12分）如表中的数据是一次阶段性考试某班的数学、物理原始成绩：学号12345678910111213141516171819202122数学117128961131361391211241211151151231251171231221321299610510612物理80818385898191788591727687827982818963737745学号23242526272829303132333435363738394041424344数学1081378795108119101128125748113510197116102761006286120101物理7680715772656979055567763707563596442627765用这44人的两科成绩制作如下散点图：学号为22号的A同学由于严重感冒导致物理考试发挥失常，学号为31号的B同学因故未能参加物理学科的考试，为了使分析结果更客观准确，老师将A、B两同学的成绩（对应于图中A、B两点）剔除后，用剩下的42个同学的数据作分析，计算得到下列统计指标：数学学科平均分为110.5，标准差为18.36，物理学科的平均分为74，标准差为11.18，数学成绩（x）与物理成绩（y）的相关系数为γ＝0.8222，回归直线l（如图所示）的方程为y＝0.5006x+18.68．（Ⅰ）若不剔除A、B两同学的数据，用全部44的成绩作回归分析，设数学成绩（x）与物理成绩（y）的相关系数为γ0，回归直线为l0，试分析γ0与γ的大小关系，并在图中画出回归直线l0的大致位置．（Ⅱ）如果B同学参加了这次物理考试，估计B同学的物理分数（精确到个位）：（Ⅲ）就这次考试而言，学号为16号的C同学数学与物理哪个学科成绩要好一些？（通常为了比较某个学生不同学科的成绩水平可按公式Z i＝统一化成标准分再进行比较，其中X i为学科原始分，为学科平均分，s为学科标准差）．19．（12分）如图，多面体ABCDEF中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，AB＝2，DF ＝BE＝1，AF＝CE＝，且平面ADF⊥底面ABCD，平面BCE⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：EF⊥平面ADF；（Ⅱ）求二面角A﹣EF﹣C的余弦值．20．（12分）已知过点D（4，0）的直线1与椭圆C：＝1交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），其中y1y2≠0，O为坐标原点．（Ⅰ）若x1＝0，求△OAB的面积：（Ⅱ）在x轴上是否存在定点T，使得直线TA，TB与y轴围成的三角形始终为等腰三角形．21．（12分）已知常数a＞0，函数f（x）＝ln（1+x）﹣．（Ⅰ）讨论函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性：（Ⅱ）若f（x）存在两个极值点x1，x2，且f（x1）+f（x2）＞0，求a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数，a＞0），直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）若a＝2，求曲线C与l的普通方程；（Ⅱ）若C上存在点P，使得P到l的距离为，求a的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣a|+x，a∈R．（Ⅰ）若f（1）+f（2）＞5，求a的取值范围；（Ⅱ）若a，b∈N*，关于x的不等式f（x）＜b的解集为（﹣∞，），求a，b的值．2019年广东省佛山市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求．1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x|﹣1＜x＜1}，则A∪B＝（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，2）C．（﹣1，0）D．（0，1）【考点】1D：并集及其运算．【专题】37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】化简集合A，根据并集的定义写出A∪B．【解答】解：集合A＝{x|x2﹣2x＜0}＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|﹣1＜x＜1}，则A∪B＝{x|﹣1＜x＜2}＝（﹣1，2）．故选：B．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2．（5分）若复数（a+i）（2+i）（i为虚数单位）在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数a ＝（）A．﹣2B．2C．﹣D．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【专题】38：对应思想；4A：数学模型法；5N：数系的扩充和复数．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再结合已知条件即可求出实数a的值．【解答】解：∵复数（a+i）（2+i）＝2a﹣1+（a+2）i在复平面内所对应的点在虚轴上，∴2a﹣1＝0，即a＝．故选：D．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x+y的最大值为（）A．7B．8C．15D．16【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5T：不等式．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z＝x+2y 过点B（3，0）时，z最大值即可．【解答】解：作出变量x，y满足约束条件可行域如图：由z＝2x+y知，所以动直线y＝﹣2x+z的纵截距z取得最大值时，目标函数取得最大值．由得A（3，2）．结合可行域可知当动直线经过点A（3，2）时，目标函数取得最大值z＝2×3+2＝8．故选：B．【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．4．（5分）已知p：“x＝2”，q：“x﹣2＝”，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】34：方程思想；48：分析法；5L：简易逻辑．【分析】直接求解一元二次方程，再分别判断p，q的关系，从而得到答案．【解答】解：由q：“x﹣2＝”，解得：x＝1（舍去）或x＝2，由p可推出q，充分性成立，反之，由q可推出p，即必要性成立．∴p是q的充分必要条件，故选：C．【点评】本题考查了充分必要条件，考查了一元二次方程的解法，是基础题．5．（5分）已知sin2α＝，则cos2（）＝（）A．B．C．D．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】11：计算题；33：函数思想；4R：转化法；56：三角函数的求值．【分析】由已知直接利用二倍角的余弦化简求值．【解答】解：∵sin2α＝，∴cos2（α﹣）＝＝＝．故选：C．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查二倍角的余弦，是基础题．6．（5分）已知向量＝（2，1），＝（﹣1，k），⊥（2+），则k＝（）A．﹣8B．﹣6C．6D．8【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11：计算题；5A：平面向量及应用．【分析】设＝（x，y），＝（m，n），则＝（x+m，y+n），＝xm+yn，⇔，结合向量的加法，数量积公式及两向量垂直的充要条件可得解【解答】由＝（2，1），＝（﹣1，k），得2+＝（3，2+k），由⊥（2+），所以2×3+1×（2+k）＝0，所以k＝﹣8，故选：A．【点评】本题考查了向量的加法，数量积公式及两向量垂直的充要条件，属简单题．7．（5分）（2x﹣y）（x+2y）5展开式中x3y3的系数为（）A．﹣40B．120C．160D．200【考点】DA：二项式定理．【专题】35：转化思想；49：综合法；5P：二项式定理．【分析】把（x+2y）5＝按照二项式定理展开，可得（2x﹣y）（x+2y）5展开式中x3y3的系数．【解答】解：∵（x+2y）5＝x5+10x4y+40x3y2+80x2y3+80xy4+32y5，∴（2x﹣y）（x+2y）5展开式中x3y3的系数为160﹣40＝120，故选：B．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．8．（5分）某几何体的三视图如图所示则该几何体的体积为（）A．2π+8B．π+8C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】35：转化思想；5F：空间位置关系与距离．【分析】首先根据三视图，把几何体进行复原，进一步利用几何体的体积公式的应用求出结果．【解答】解：根据三视图，转换为几何体为：左侧是一个半圆锥，右侧是一个四棱锥，如图所示：所以：V几何体＝V1+V2，＝+，＝故选：D．【点评】本题考查的知识要点：三视图的应用，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．9．（5分）将偶函数f（x）＝sin（2x+φ）﹣cos（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向右平移个单位，得到y＝g（x）的图象，则g（x）的一个单调递减区间为（）A．（﹣，）B．（，）C．（，）D．（，）【考点】HJ：函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】35：转化思想；56：三角函数的求值；57：三角函数的图象与性质．【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变变换和三角函数关系式的平移变换和伸缩变换及余弦型函数的性质的应用求出结果．【解答】解：函数f（x）＝sin（2x+φ）﹣cos（2x+φ），＝，由于函数f（x）为偶函数且0＜φ＜π，故：φ＝，所以：函数f（x）＝cos2x的图象向右平移个单位．得到：g（x）＝2cos（2x﹣）的图象，令：（k∈Z），解得：（k∈Z），故函数的单调递减区间为：[]（k∈Z），当k＝0时，单调递减区间为：[]，由于：（）⊂[]，故选：C．【点评】1本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，三角函数的平移和伸缩变换的应用，余弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题．10．（5分）已知矩形ABCD，AB＝1．AD＝，E为AD的中点，现分别沿BE，CE将△ABE，△DCE翻折，使点A，D重合，记为点P，则几何体P﹣BCE的外接球表面积为（）A．10πB．5πC．D．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；4R：转化法；5Q：立体几何．【分析】利用所给数据易得三线垂直，进而利用长方体外接球直径为其体对角线长，得解．【解答】解：由AB＝1，AD＝，E为AD中点，可得PE＝，PB＝PC＝1，得∠EPB＝∠EPC＝90°，∠CPB＝90°，∴P﹣BCE为长方体一角，其外接球直径为其体对角线长，∴＝，∴，∴外接球表面积为4πR2＝，故选：C．【点评】此题考查了长方体外接球问题，难度不大．11．（5分）双曲线C的左、右焦点分别为F1、F2，且F2恰为抛物线y2＝4x的焦点，设双曲线C与该抛物线的个交点为A，若|AF2|＝|F1F2|，则双曲线C的离心率为（）A．1+B．1+C．2+D．2+【考点】KI：圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出抛物线的焦点坐标，即可得到双曲线C的值，利用抛物线与双曲线的交点以及△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，结合双曲线a、b、c关系求出a的值，然后求出离心率．【解答】解：抛物线的焦点坐标（1，0），所以双曲线中，c＝1，因为双曲线C与该抛物线的一个交点为A，|AF2|＝|F1F2|，由抛物线的定义可知，抛物线的准线方程过双曲线的左焦点，所以＝2c，c2＝a2+b2＝1，解得a＝﹣1，双曲线的离心率e＝＝1+．故选：A．【点评】本题考查抛物线的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．12．（5分）设a为常数，函数f（x）＝e x（x﹣a）+a，给出以下结论：①若a＞1，则f（x）在区间（a﹣1，a）上有唯一零点；②若0＜a＜1，则存在实数x0，当x＜x0时，f（x）＞0：③若a＜0，则当x＜0时，f（x）＜0其中正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3【考点】2K：命题的真假判断与应用．【专题】33：函数思想；48：分析法；51：函数的性质及应用．【分析】由题意可得f（x）过原点，求得f（x）的导数，可得单调性、极值和最值，即可判断①；结合最小值小于0，以及x的变化可判断②③．【解答】解：函数f（x）＝e x（x﹣a）+a，可得f（0）＝0，f（x）恒过原点，①，若a＞1，由f（x）的导数为f′（x）＝e x（x﹣a+1），即有x＞a﹣1时，f（x）递增；x＜a﹣1时，f（x）递减，可得x＝a﹣1处取得最小值，且f（a﹣1）＝a﹣e a﹣1，由e x≥x+1，可得a﹣e a﹣1＜0，即有f（a﹣1）＜0，f（a）＝a＞0，则f（x）在区间（a﹣1，a）上有唯一零点，故正确；②，若0＜a＜1，由①可得f（x）的最小值为f（a﹣1）＜0，且x→+∞时，f（x）→+∞，可得存在实数x0，当x＜x0时，f（x）＞0，故正确；③，若a＜0，由①可得f（x）的最小值为f（a﹣1）＜0，且f（0）＝0，x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，结合图象可得当x＜0时，f（x）＜0，故正确．故选：D．【点评】本题考查导数的运用：求单调性和极值、最值，考查函数的零点问题，以及函数值的符号，考查化简整理的运算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题每小题5分，满分20分.13．（5分）已知双曲线＝1（a＞0）的一条渐近线为y＝x，则实数a＝1．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用已知条件，双曲线的渐近线方程，列出方程求解即可．【解答】解：双曲线＝1（a＞0）的一条渐近线为y＝x，可得，解得a＝1．故答案为：1．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．14．（5分）不透明的布袋中有3个白球，2个黑球，5个红球共10个球（除颜色外完全相同），从中随机摸出2个球，则两个球不同色的概率为．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】从中随机摸出2个球，基本事件总数n＝＝45，两个球不同色的包含的基本事件个数m＝＝31，由此能求出两个球不同色的概率．【解答】解：不透明的布袋中有3个白球，2个黑球，5个红球共10个球（除颜色外完全相同），从中随机摸出2个球，基本事件总数n＝＝45，两个球不同色的包含的基本事件个数m＝＝31，∴两个球不同色的概率为p＝．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15．（5分）已知f（x）＝log2（4x+1）﹣x，则使得f（2x﹣1）+1＜log25成立的x的取值范围是（0，1）【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【专题】33：函数思想；4R：转化法；59：不等式的解法及应用．【分析】根据题意，由函数的解析式可得f（﹣x）＝log2（4﹣x+1）+x＝log2（4x+1）﹣x ＝f（x），则函数f（x）为偶函数，求出函数的导数，分析可得函数在（0，+∞）递增，进而分析可得|2x﹣1|＜1，解出即可．【解答】解：根据题意，f（x）＝log2（4x+1）﹣x，f（﹣x）＝log2（4﹣x+1）+x＝log2（4x+1）﹣x＝f（x），则函数f（x）为偶函数，当x＞0时，f（x）＝log2（4x+1）﹣x，其导数f′（x）＝﹣1＝＞0，故f（x）在（0，+∞）递增，f（1）＝log25﹣1，故f（2x﹣1）+1＜log25，即f（2x﹣1）＜f（1），则有f（|2x﹣1|）＜f（1），故|2x﹣1|＜1，解得：0＜x＜1，故不等式的解集是（0，1），故答案为：（0，1）．【点评】本题考查了对数函数的性质，考查函数的单调性问题，考查转化思想，是一道常规题．16．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对边分别为a、b、c，且a＝1，A＝，若当b、c变化时，g（b，c）＝b+λc存在最大值，则正数λ的取值范围是（，2）．【考点】HP：正弦定理．【专题】11：计算题；58：解三角形．【分析】由正弦定理得b+λc＝（sin B+λsin C）由辅助角公式得：b+λc═sin（B+α）其中tanα＝，b+λc 存在最大值，即B+α＝有解，即α∈（）即＞，得解【解答】解：由正弦定理得：＝＝＝，所以b+λc＝（sin B+λsin C）＝[sin B+λsin（）]＝[（1﹣）sin B+cos B]＝sin（B+α）其中tanα＝，由B），b+λc存在最大值，即B+α＝有解，即α∈（）即＞，所以，故答案为：（，2）【点评】本题考查了正弦定理、辅助角公式、函数有解问题，属中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分解否须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（12分）数列{a n}中，a1＝1，a n+a n+1＝pn+1，其中p为常数．（1）若a1，a2，a4成等比数列，求P的值：（2）是否存在p，使得数列{a n}为等差数列？并说明理由．【考点】8H：数列递推式．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）推导出a1+a2＝p+1，a2+a3＝2p+1，a3+a4＝3p+1，从而a2＝p，a3＝p+1，a4＝2p，再由a1，a2，a4成等比数列，能求出p．（2）当n≥2时，a n+a n+1＝pn+1，a n﹣1+a n＝pn﹣p+1，推导出a n+1﹣a n﹣1＝p，从而{a2n}是首项为1，公差为p的等差数列，{a2n}是首项为p，公差为p的等差数列，由此能﹣1求出存在p＝2，使得数列{a n}为等差数列．【解答】解：（1）∵数列{a n}中，a1＝1，a n+a n+1＝pn+1，其中p为常数．∴a1+a2＝p+1，a2+a3＝2p+1，a3+a4＝3p+1，∴a2＝p，a3＝p+1，a4＝2p，∵a1，a2，a4成等比数列，∴，∴p2＝2p，∵p≠0，∴p＝2．（2）当n≥2时，a n+a n+1＝pn+1，a n﹣1+a n＝pn﹣p+1，相减，得：a n+1﹣a n﹣1＝p，∴{a2n﹣1}是首项为1，公差为p的等差数列，{a2n}是首项为p，公差为p的等差数列，∴a2n﹣1＝p+（n﹣1）p＝pn+1﹣p＝，a2n＝p+（n﹣1）p＝np ＝，∴要使得数列{a n}为等差数列，则1﹣＝0，解得p＝2，∴存在p＝2，使得数列{a n}为等差数列．【点评】本题考查实数值的求法，考查满足等差数列的实数是否存在的判断与求法，考查等差数列、构造法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．18．（12分）如表中的数据是一次阶段性考试某班的数学、物理原始成绩：学号12345678910111213141516171819202122数学117128961131361391211241211151151231251171231221321299610510612物理80818385898191788591727687827982818963737745学号23242526272829303132333435363738394041424344数学1081378795108119101128125748113510197116102761006286120101物理7680715772656979055567763707563596442627765用这44人的两科成绩制作如下散点图：学号为22号的A同学由于严重感冒导致物理考试发挥失常，学号为31号的B同学因故未能参加物理学科的考试，为了使分析结果更客观准确，老师将A、B两同学的成绩（对应于图中A、B两点）剔除后，用剩下的42个同学的数据作分析，计算得到下列统计指标：数学学科平均分为110.5，标准差为18.36，物理学科的平均分为74，标准差为11.18，数学成绩（x）与物理成绩（y）的相关系数为γ＝0.8222，回归直线l（如图所示）的方程为y＝0.5006x+18.68．（Ⅰ）若不剔除A、B两同学的数据，用全部44的成绩作回归分析，设数学成绩（x）与物理成绩（y）的相关系数为γ0，回归直线为l0，试分析γ0与γ的大小关系，并在图中画出回归直线l0的大致位置．（Ⅱ）如果B同学参加了这次物理考试，估计B同学的物理分数（精确到个位）：（Ⅲ）就这次考试而言，学号为16号的C同学数学与物理哪个学科成绩要好一些？（通常为了比较某个学生不同学科的成绩水平可按公式Z i＝统一化成标准分再进行比较，其中X i为学科原始分，为学科平均分，s为学科标准差）．【考点】BK：线性回归方程．【专题】38：对应思想；4R：转化法；5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）判断出γ0＜γ，根据相关数据分析判断即可；（Ⅱ）代入x的值，求出y的预报值即可；（Ⅲ）根据原始分，分别求出标准分，判断即可．【解答】解：（Ⅰ）γ0＜γ，说明理由可以是：①离群的点A，B会降低变量间的线性关联程度，②44个数据点与回归直线l0的总偏差更大，回归效果更差，所以相关系数更小，③42个数据点与回归直线l的总偏差更小，回归效果更好，所以相关系数更大，④42个数据点更加贴近回归直线l，⑤44个数据点与回归直线l0更离散，或其他言之有理的理由均可；，要点：直线l0斜率须大于0且小于l的斜率，具体位置稍有出入没有关系，无需说明理由；（Ⅱ）令x＝125，代入y＝0.5006x+18.68≈81，故估计B同学的物理分数大约是81分；（Ⅲ）由表中知C同学的数学原始分为122，物理原始分为82，数学标准分为Z16＝＝≈0.63，物理标准分为Z16＝＝≈0.72，0.72＞0.63，故C同学物理成绩比数学成绩要好一些．【点评】本题考查了回归方程问题，考查相关系数以及转化思想，是一道常规题．19．（12分）如图，多面体ABCDEF中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，AB＝2，DF ＝BE＝1，AF＝CE＝，且平面ADF⊥底面ABCD，平面BCE⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：EF⊥平面ADF；（Ⅱ）求二面角A﹣EF﹣C的余弦值．【考点】LW：直线与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】14：证明题；31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（Ⅰ）分别过点E，F作BC，AD的垂线，垂足为N，M，连结MN，推导出FM ⊥MN，EN⊥平面ABCD，从而FM∥EN，过点B作BG⊥AD，垂足为G，推导出四边形BNMG为平行四边形，则MN∥GB，MN⊥AD，由此能证明MN⊥平面ADF，从而EF⊥平面ADF．（Ⅱ）以M为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣EF﹣C的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）分别过点E，F作BC，AD的垂线，垂足为N，M，连结MN，∵平面ADF⊥平面ABCD，且平面ADF∩平面ABCD＝AD，∴FM⊥平面ABCD，又MN⊂平面ABCD，∴FM⊥MN，同理可证EN⊥平面ABCD，∴FM∥EN，过点B作BG⊥AD，垂足为G，在Rt△AGB中，∠BAD＝60°，AB＝2，则AG＝1，又MD＝，∴GM＝BN＝，又GM∥BN，∴四边形BNMG为平行四边形，则MN∥GB，∴MN⊥AD，又FM∩AD＝M，∴MN⊥平面ADF，故EF⊥平面ADF．解：（Ⅱ）以M为原点，建立空间直角坐标系，由（Ⅰ）知MN＝GB＝，则A（，0，0），F（0，0，），E（0，），C （﹣，，0），∴＝（0，，0），＝（﹣），＝（﹣），设平面AEF的一个法向量＝（x，y，z），则，即，取x＝1，得＝（1，0，），设平面EFC的法向量＝（x，y，z），则，即，取x＝1，得＝（1，0，﹣），设二面角A﹣EF﹣C的平面角为θ，则cosθ＝﹣＝﹣＝﹣，∴二面角A﹣EF﹣C的余弦值为﹣．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20．（12分）已知过点D（4，0）的直线1与椭圆C：＝1交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），其中y1y2≠0，O为坐标原点．（Ⅰ）若x1＝0，求△OAB的面积：（Ⅱ）在x轴上是否存在定点T，使得直线TA，TB与y轴围成的三角形始终为等腰三角形．【考点】KL：直线与椭圆的综合．【专题】15：综合题；38：对应思想；4R：转化法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）根据对称性可得直线k的方程，求出点B的坐标，即可求出三角形的面积，（Ⅱ）设直线l：x＝my+4，根据韦达定理和斜率公式，结合直线TA与TB的斜率互为相反数，即可求出【解答】解：（Ⅰ）当x1＝0时，A（0，1）或A（0，﹣1），由对称性，不妨令A（0，1），此时直线l：x+4y﹣4＝0，联立，消x整理可得5y2﹣8y+3＝0，解得y1＝1，或y2＝，故B（，），所以△OAB的面积为×1×＝，（Ⅱ）显然直线l的斜率不为0，设直线l：x＝my+4，联立，消去x整理得（m2+4）y2+8my+12＝0，所以△＝64m2﹣4×12（m2+4）＞0，即m2＞12，则y1+y2＝﹣，y1y2＝，设T（t，0），则k TA+k TB＝+＝＝，因为直线TA，TB与y轴围成的三角形始终为等腰三角形，所以k TA+k TB＝0，即2my1y2+（4﹣t）（y1+y2）＝+＝＝0，解得t＝1，故x轴上存在定点T（1，0），使得直线TA，TB与y轴围成的三角形始终为等腰三角形．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查直线的斜率，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．21．（12分）已知常数a＞0，函数f（x）＝ln（1+x）﹣．（Ⅰ）讨论函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性：（Ⅱ）若f（x）存在两个极值点x1，x2，且f（x1）+f（x2）＞0，求a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】33：函数思想；4R：转化法；53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出f（x1）+f（x2）＝ln（1+x1+x2+x1x2）﹣，得到f（x1）+f（x2）＝ln（4a2﹣4a+1）﹣，令2a﹣1＝t，得：f（x1）+f（x2）＝lnt2+﹣2，记h（t）＝lnt2+﹣2，通过讨论t的范围求出a的范围即可．【解答】解；（Ⅰ）f′（x）＝，①当4a2﹣4a≥0即a≥1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，②当4a2﹣4a＜0即0＜a＜1时，由f′（x）＝0，即x2+4a2﹣4a＝0，解得：x1＝﹣2（舍），x2＝2，由f′（x）＜0，解得：0＜x＜x2，由f′（x）＞0，解得：x＞x2，故f（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，若f（x）的两个极值点是x1，x2，则0＜a＜1，且x1＝﹣2，x2＝2分别是f（x）的极大值点和极小值点，由f（x）的定义域知﹣2＞﹣1，且﹣2≠﹣2a，解得：a≠，又f（x1）+f（x2）＝ln（1+x1）﹣+ln（1+x2）﹣＝ln（1+x1+x2+x1x2）﹣，将x1+x2＝0，x1x2＝4a2﹣4a代入得：f（x1）+f（x2）＝ln（4a2﹣4a+1）﹣，令2a﹣1＝t，得：f（x1）+f（x2）＝lnt2+﹣2，由0＜a＜1且a≠知，﹣1＜t＜1且t≠0，记h（t）＝lnt2+﹣2，①当0＜t＜1时，h（t）＝2（lnt+）﹣2，h′（t）＝2＜0，故h（t）在（0，1）递减，故h（t）＞h（1）＝0，即当0＜2a﹣1＝t＜1即＜a＜1时，f（x1）+f（x2）＞0，②当﹣1＜t＜0时，h（t）＝2（ln（﹣t）+﹣2，h′（t）＝2＜0，故h（t）在（﹣1，0）递减，h（t）＜h（﹣1）＝﹣4＜0，即当﹣1＜2a﹣1＝t＜0，即0＜a＜时，f（x1）+f（x2）＜0，综上，满足条件的a的范围是（，1）．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查转化思想，是一道综合题．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数，a＞0），直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）若a＝2，求曲线C与l的普通方程；（Ⅱ）若C上存在点P，使得P到l的距离为，求a的取值范围．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【专题】35：转化思想；59：不等式的解法及应用；5S：坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系式，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之进行转换．（Ⅱ）利用点到直线的距离公式的应用和分类讨论的方法，对无理不等式进行求解，最后求出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的参数方程为（θ为参数，a＞0），由于：a＝2，故：（θ为参数），所以转换为直角坐标方程为：．（Ⅱ）设点P（a cosθ，sinθ），则：点P到直线的距离d＝＝，当时，即a时，，当时，即：时，，由于：，．当a时，，解得：故：a的取值范围是：[．【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，无理不等式的解法及应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣a|+x，a∈R．（Ⅰ）若f（1）+f（2）＞5，求a的取值范围；（Ⅱ）若a，b∈N*，关于x的不等式f（x）＜b的解集为（﹣∞，），求a，b的值．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】33：函数思想；4R：转化法；59：不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）通过讨论a的范围，去掉绝对值，求出a的范围即可；（Ⅱ）通过讨论x的范围，去掉绝对值，求出不等式的解集，得到关于a，b的不等式组，求出a，b的值即可．【解答】解：（Ⅰ）由f（1）+f（2）＞5得|1﹣a|+|2﹣a|＞2，当a≥2时，a﹣1+a﹣2＞2，解得：a＞，当1≤a＜2时，a﹣1+2﹣a＞2，不等式无解，当a≤1时，1﹣a+2﹣a＞2，解得：a＜，综上，a的范围是（﹣∞，）∪（，+∞）；（Ⅱ）∵f（x）＜b，∴|x﹣a|+x＜b，当x≥a时，x﹣a+x＜b，解得：x＜，当x＜a时，a﹣x+x＜b，得a＜b，由不等式的解集是（﹣∞，），则，又a，b∈N*，故a＝1，b＝2．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道综合题．。