全国卷历年高考函数与导数真题归类分析(含答案)

全国卷历年高考函数与导数真题归类分析(含答案)全国卷历年高考函数与导数真题归类分析（含答案）（2015年-2018年共11套）函数与导数小题（共23小题）一、函数奇偶性与周期性1.（2015年1卷13）若函数$f(x)=x\ln(x+a+x^2)$为偶函数，则$a=$解析】由题知$y=\ln(x+a+x^2)$是奇函数，所以$\ln(x+a+x^2)+\ln(-x+a+x^2)=\ln(a+x-x)=\ln a$，解得$a=1$。

考点：函数的奇偶性。

2.（2018年2卷11）已知$$f(x)=\begin{cases}\frac{x+1}{x},x<0\\ax^2,x\geq0\end{cases}$$ 是定义域为$(-\infty,0)\cup[0,+\infty)$的奇函数，满足$f(\frac{1}{2})=1$。

若，$f'(-1)=-2$，则$a=$解：因为$f(x)$是奇函数，所以$f(-\frac{1}{2})=-1$，$f(0)=0$。

又因为$f'(-1)=-2$，所以$f'(-x)|_{x=1}=2$，$f'(0+)=0$，$f'(0-)=0$。

由此可得$$\begin{aligned}a&=\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\\&=\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{ax^2}{x}\\&=\lim\limits_{x\to0^+}ax\\&=\lim\limits_{x\to 0^-}ax\\&=-\frac{1}{2}\end{aligned}$$ 故选B。

3.（2016年2卷12）已知函数$f(x)(x\in R)$满足$f(-x)=2-f(x)$，若函数$y=\sum\limits_{i=1}^m(x_i+y_i)$的图像的交点为$(x_1,y_1),(x_2,y_2),\cdots,(x_m,y_m)$，则$\sum\limits_{i=1}^m(x_i+y_i)=( )$解析】由$f(x)$的奇偶性可得$f(0)=1$，又因为$f(x)$是偶函数，所以$f'(0)=0$。

所以$y=x+f(x)$在$x=0$处有切线，且斜率为1.因此对于每一组对称点$(x_i,y_i),(x_i',y_i')$，有$x_i+x_i'=y_i+y_i'=2$，所以$\sum\limits_{i=1}^m(x_i+y_i)=\sum\limits_{i=1}^m2m=2m^2$，故选C。

二、函数、方程与不等式4.（2015年2卷5）设函数$$f(x)=\begin{cases}1+\log_2(2-x),x<1\\x-1,x\geq1\end{cases}$$ 已知$f(-2)+f(\log_2 12)=()$解析】由已知得$f(-2)=1+\log_2 4=3$，又$\log_2 12>1$，所以$f(\log_2 12)=\log_2 12-1=2$，故$f(-2)+f(\log_212)=3+2=5$。

故选D。

5.（2018年1卷9）已知函数$$f(x)=\begin{cases}x+1,x\leq 0\\1+\log_2(2-x),x>0\end{cases}$$ 画出函数$f(x)$的图像，在$y$轴右侧的去掉，设直线$x+a$与函数$f(x)$的图像有两个交点，则$a$的取值范围是$[$$-1,+\infty)$。

解：画出函数$f(x)$的图像，发现在$x=2$处有一个间断点，故在$y$轴右侧的去掉。

设直线为$y=kx+b$，则$$\begin{cases}kx+b=x+1,x\leq 0\\kx+b=1+\log_2(2-x),x>0\end{cases}$$ 解得$k=1$，$b=1$。

故直线为$y=x+1$，$a=-1$，故选C。

1.设函数 $f(x)=\frac{6}{x+2}-\frac{1}{x}$，则满足$f(x)+f(x-2)>1$ 的 $x$ 的取值范围是 $\left(2,+\infty\right)$。

解析：将 $f(x)+f(x-2)>1$ 化简得到 $f(x-2)>1-f(x)$，即$\frac{6}{x}+\frac{6}{x-2}>1$。

化简得到$x\in\left(2,+\infty\right)$，故选 C。

2.已知函数$f(x)=x^2-2x+a(e^x-1+e^{-x}+1)$ 有唯一零点，则 $a=\frac{1}{2}$。

解析：由条件，$f(x)=x^2-2x+a(e^x-1+e^{-x}+1)$，得到$f(2-x)=(2-x)^2-2(2-x)+a(e^{2-x}-1+e^{x-2}+1)=x^2-2x+a(e^x-1+e^{-x}+1)=f(x)$，即 $x=1$ 为 $f(x)$ 的对称轴。

由题意，$f(x)$ 有唯一零点，即 $x=1$，代入 $f(x)$ 得到$a=\frac{1}{2}$。

3.函数$f(x)$ 在$(-\infty,+\infty)$ 单调递减，且为奇函数。

若 $f(1)=-1$，则满足 $-1\leq f(x-2)\leq 1$ 的 $x$ 的取值范围是$[1,3]$。

解析：$-1\leq f(x-2)\leq 1$ 可化为 $f(1)\leq f(x-2)\leq f(-1)$，即 $-1\leq x-2\leq 1$，解得 $1\leq x\leq 3$，故选 D。

4.已知 $a=2$，$b=4$，$c=25$，则 $b<a<c$。

解析：$a=2=\sqrt{4}>2^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{8}=b$，$c=25>2^3=8=2^{\frac{6}{3}}>2^{\frac{4}{3}}=4=a$，故$b<a<c$，选 A。

1.用特殊值法，令a=3，b=2，c=1，得到32>22，3log2<2log3，故选项C正确。

2.为正数，且2x=3y=5z，则可求得2x=log2(1/30)，3y=log3(1/30)，5z=log5(1/30)。

对分母乘以30可得30log2=1，30log3=2，30log5=1，故而可得m>1，log3>log2>log5，即3y<2x<5z，故选D。

3.设a=log0.2(0.3)，b=log2(0.3)，则XXX(0.3)log2(0.3)，a+b=log0.2(0.3)+log2(0.3)。

化简可得ab<log0.2(0.3)+log2(0.3)<a+b，故选B。

4.根据函数的奇偶性，排除A和C；根据函数图像，排除B，故选D。

5.在点处的切线方程为y=-2x+3，1处的切线的斜率为-2，则a=-2.6.曲线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的斜率为a+1，且过该点的切线方程为y=x+1，解得a=0.7.设f(x)=x^3+ax^2+bx+c，则f(-x)=-x^3+ax^2-bx+c，因为f(x)为奇函数，所以f(-x)=-f(x)，代入得到-a=0，即a=0.8.已知f(x)在x=1处的导数为2，设g(x)=f(x-1)，则g'(x)=f'(x-1)=2，即g(x)在x=2处的导数为2，故选B。

9.设f(x)=x^3+ax^2+bx+c，则f'(x)=3x^2+2ax+b，f''(x)=6x+2a，因为f''(0)=2，所以2a=2，即a=1，代入f'(1)=0得到b=-4，代入f(0)=1得到c=1，故f(x)=x^3+x^2-4x+1.10.设f(x)=ax^3+bx^2+cx+d，则f'(x)=3ax^2+2bx+c，f''(x)=6ax+2b，因为f'(1)=0，所以3a+2b+c=0，因为f''(1)=0，所以6a+2b=0，解得a=-b/3，c=-2b，代入f(1)=1得到b=3/4，代入f(0)=0得到d=0，故f(x)=3/4x^3+9/4x。

1.给定函数f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)=ln(-x)+3x，求曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程。

解析】当x>0时，-x<0，因此f(-x)=ln(x)-3x。

由于f(x)为偶函数，因此f(x)=f(-x)=ln(x)-3x。

因此f'(x)=1/x-3.在x=1处，f(1)=-2，因此切线斜率为f'(1)=-2，所以切线方程为y+3=-2(x-1)，即y=-2x-1.考点：1、函数的奇偶性与解析式；2、导数的几何意义。

2.给定函数f(x)=e^(2x-1)-ax+a，其中a>1.若存在唯一的整数x，使得f(x)<f(1)-1，则a的取值范围是（）。

解析】设g(x)=e^(2x-1)，y=ax-a。

由题知存在唯一的整数x，使得g(x)在直线y=ax-a的下方。

因为g'(x)=e^x(2x+1)，所以当x0时，g'(x)>0.因此，g(x)在x=0处取得极小值。

由于a>1，因此y=ax-a在x=1处与y=f(1)-1相交，且在x=1处g(x)的导数为正。

因此，当a>2e时，g(x)在y=ax-a的下方存在唯一的整数解x。

因此，a的取值范围为(a>2e)。

考点：导数的几何意义；函数的单调性。

1.已知函数 $f(x)=x^3+ax+\frac{1}{4}。

g(x)=-\ln x$。

Ⅰ）求出使得曲线 $y=f(x)$ 在 $x$ 轴上有切线的 $a$ 的取值。

Ⅱ）定义函数 $h(x)=\min\{f(x),g(x)\}$，讨论 $h(x)$ 的零点个数。

解析：Ⅰ）设曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x,0)$ 处与 $x$ 轴相切，则$f(x)=0$，$f'(x)=0$。

解得 $x=\frac{1}{2}$，$a=-\frac{3}{2}$，此时曲线$y=f(x)$ 在 $x$ 轴上有切线。

Ⅱ）当 $x\in(1,+\infty)$ 时，$g(x)=-\ln x<0$，因此$h(x)=\min\{f(x),g(x)\}\leq g(x)<0$，所以 $h(x)$ 在$(1,+\infty)$ 无零点。

当 $x=1$ 时，若 $a\geq -\frac{5}{5}$，则$f(1)=a+\frac{1}{4}\geq 0$，$h(1)=\min\{f(1),g(1)\}=g(1)=0$，所以 $x=1$ 是 $h(x)$ 的一个零点；若 $a<-\frac{5}{4}$，则$f(1)=a+\frac{1}{4}<0$，$h(1)=\min\{f(1),g(1)\}=f(1)<0$，所以 $x=1$ 是 $h(x)$ 的一个零点。