高考：导数题型归类,分类解题方法举例,如极值点偏移、隐零点运用

高考：导数题型归类,分类解题方法举例,如极值点偏移、隐零点运用高考压轴题：导数题型及解题方法一、切线问题题型1：求曲线y=f(x)在x=x处的切线方程。

方法：f'(x)为在x=x处的切线的斜率。

题型2：过点(a,b)的直线与曲线y=f(x)的相切问题。

方法：设曲线y=f(x)的切点(x,f(x))，由(x-a)f'(x)=f(x)-b求出x，进而解决相关问题。

注意：曲线在某点处的切线若有则只有一条，曲线过某点的切线往往不止一条。

例题：已知函数f(x)=x-3x。

1）求曲线y=f(x)在点x=2处的切线方程；（答案：9x-y-16=0）2）若过点A(1,m)(m≠-2)可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围。

提示：设曲线y=f(x)上的切点(x,f(x))，建立x,f(x)的等式关系。

将问题转化为关于x,m的方程有三个不同实数根问题。

答案：m的范围是(-3,-2)）练1：已知曲线y=x-3x。

1）求过点(1,-3)与曲线y=x-3x相切的直线方程。

（答案：3x+y=0或15x-4y-27=0）2）证明：过点(-2,5)与曲线y=x-3x相切的直线有三条。

题型3：求两个曲线y=f(x)、y=g(x)的公切线。

方法：设曲线y=f(x)、y=g(x)的切点分别为(x1,f(x1))、(x2,g(x2))，建立x1,x2的等式关系，(x2-x1)f'(x1)=g(x2)-f(x1)，(x2-x1)f'(x2)=g(x2)-f(x1)；求出x1,x2，进而求出切线方程。

解决问题的方法是设切点，用导数求斜率，建立等式关系。

例题：求曲线y=x与曲线y=2elnx的公切线方程。

（答案：2ex-y-e=0）练1：求曲线y=x与曲线y=-(x-1)的公切线方程。

（答案：2x-y-1=0或y=0）2.设函数f(x)=p(x-2)-2lnx，g(x)=x，直线l与函数f(x),g(x)的图象都相切，且与函数f(x)的图象相切于(1,0)，求实数p的值。

（答案：p=1或3）二、单调性问题题型1：求函数的单调区间。

求含参函数的单调区间的关键在于确定分类标准。

分类的方法包括：（1）在求极值点的过程中，未知数的系数与常数的关系不定而引起的分类；（2）在求极值点的过程中，有无极值点引起的分类（涉及到二次方程问题时，判别式与系数的关系不定）；(3)在求极值点的过程中，极值点的大小关系不定而引起的分类；(4)在求极值点的过程中，极值点与区间的关系不定而引起分类等。

注意分类时必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏。

例如，已知函数$f(x)=\ln x+\frac{1}{2}x-(a+1)\frac{x^2}{2}$，求函数$f(x)$的单调区间。

我们可以利用极值点的大小关系分类。

首先求出$f'(x)=\frac{1}{x}+x-(a+1)x$，令其等于0，得到$x=\frac{1}{a}$或$x=\pm\sqrt{\frac{1}{a}-1}$。

由于$x>0$，所以只考虑$x=\frac{1}{a}$和$x=\sqrt{\frac{1}{a}-1}$两个点。

接下来，我们需要确定这两个点所在的单调区间。

当$x0$，即$f(x)$单调递增；当$\sqrt{\frac{1}{a}-1}\frac{1}{a}$时，$f'(x)>0$，即$f(x)$单调递增。

因此，当$a>0$时，$f(x)$在$(0,\sqrt{\frac{1}{a}-1})$和$(\frac{1}{a},+\infty)$上单调递增，在$(\sqrt{\frac{1}{a}-1},\frac{1}{a})$上单调递减；当$a<0$时，$f(x)$在$(0,\frac{1}{a})$上单调递减。

又例如，已知函数$f(x)=\frac{1}{3}(k+1)x^2-x$，且$f(x)$在区间$(2,+\infty)$上为增函数，求函数$f(x)$的单调区间。

我们可以利用极值点的大小关系和极值点与区间的关系分类。

首先求出$f'(x)=\frac{2}{3}(k+1)x-1$，令其等于0，得到$x=\frac{3}{2(k+1)}$。

由于$f(x)$在$(2,+\infty)$上为增函数，因此$x>\frac{3}{2(k+1)}>2$，即$k<1-\frac{3}{2\times 2}=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$。

因此，当$k<\frac{1}{4}$时，$f(x)$在$(2,+\infty)$上单调递增。

题型2是已知函数在某区间是单调，求参数的范围问题。

解决这类问题的方法包括：（1）研究导函数讨论；（2）转化为$f(x)\geq$或$f(x)\leq$在给定区间上恒成立问题；（3）利用子区间（即子集思想）。

其中，方法（3）首先求出函数的单调增区间或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集。

例如，已知函数$f(x)=x+a\ln x+\frac{1}{2}$在$[1,+\infty)$上是单调函数，求实数$a$的取值范围。

由于$f(x)$在$[1,+\infty)$上是单调函数，因此$f'(x)>0$，即$1+\frac{a}{x}>0$，解得$x>\frac{-a}{1}=a$。

又因为$f''(x)=-\frac{a}{x^2}1$，即$a<1$。

又因为$f(x)$在$(1,x_0)$上单调递减，在$(x_0,+\infty)$上单调递增，因此$x_0$是$f(x)$的极小值点。

因此，当$a<1$时，$f(x)$在$[1,+\infty)$上单调递增，且极小值点为$x_0=\frac{1}{a}$。

题型3是已知函数在某区间的不单调，求参数的范围问题。

解决这类问题的方法包括：（1）正难则反，研究在某区间的不单调；（2）研究导函数是零点问题，再检验；（3）直接研究不单调，分情况讨论。

例如，设函数$f(x)=x+ax+x^2+1$在区间$\left(\frac{1}{2},1\right)$内不单调，求实数$a$的取值范围。

由于$f(x)$在$\left(\frac{1}{2},1\right)$内不单调，因此$f'(x)$在$\left(\frac{1}{2},1\right)$内有至少一个零点。

设$f'(x)=0$的解为$x_0$，则$x_0=\frac{-1\pm\sqrt{1-4a}}{2}$。

由于$f(x)$在$\left(\frac{1}{2},1\right)$内不单调，因此$x_0$必须在$\left(\frac{1}{2},1\right)$之外。

又因为$x_0$是$f(x)$的极值点，因此$f''(x_0)=2>0$，即$x_0$是$f(x)$的极小值点。

因此，当$x_01$时，$f(x)$在$\left(\frac{1}{2},1\right)$上单调递减。

因此，$x_0$必须在$(\frac{1}{2},1)$内。

解得$a\in\left(-2,-3\right)$。

的最小值大于等于g(x2的最大值。

练已知函数f(x)x24x2a1，g(x)x22x a2，若对任意x，f(x)g(x)，求a的取值范围。

（答案：a≤1）五．不等式求值问题1.常用方法：配方法2.特殊方法：几何方法、换元法、单调性分析法练已知a0，b0，c0，a2b2c21，求最小值（答案：0）提示：配方法）练已知x0，y0，x y1，求x3y3的最大值。

（答案：1/432）提示：换元法）1.对于任意的$x_1\in(m,n)$，对于任意的$x_2\in(m,n)$，都有$f(x_1)\geq g(x_2)$成立。

则$f(x_1)_{max}\geqg(x_2)_{max}$。

2.对于$x_1\in(m,n)$，$x_2\in(m,n)$，在$(m,n)$上$f(x)$是增函数。

3.题型1：已知不等式恒成立，求系数范围。

解题方法：(1)分离法：求最值时，可能用罗比达法则；研究单调性时，或多次求导。

(2)讨论法：有的需要构造函数。

关键是确定讨论标准。

分类的方法：在求极值点的过程中，未知数的系数与$a$的关系不定而引起的分类；有无极值点引起的分类（涉及到二次方程问题时，$\Delta$与$a$的关系不定）；极值点的大小关系不定而引起的分类；极值点与区间的关系不定而引起分类。

分类必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏。

(3)数形结合：若$f(x_1)-f(x_2)\geq a$成立，则构造函数$t(x)=f(x)-ax$，转化证明$t(x_1)-t(x_2)\geq 0$。

4.解题思路：(1)代特定值缩小范围。

(2)化简不等式。

(3)选用方法（用讨论法时，或构造新函数）。

方法：分离法。

求最值时，可能用罗比达法则；研究单调性时，或多次求导。

例如，对于函数$f(x)=e^{x-\ln x}+a$，在$x\in[1,e]$上$f(x)\geqe$恒成立，求实数$a$的取值范围。

解题方法是分离$x^2$法，多次求导，得到$a\in(-\infty,1]$。

5.练：设函数$f(x)=x(e^{-1}-a)-x$，若当$x\geq 0$时$f(x)\geq 0$，求$a$的取值范围。

解题方法是分离法和罗比达法则，得到$a\in(-\infty,1]$。

又如，设函数$f(x)=e^{-1}-x-ax$，若当$x\geq 0$时$f(x)\geq 0$，求$a$的取值范围。

解题方法是讨论法，确定讨论标准为$f(x)$的极值点和$f(x)$与$x$的关系，得到$a\in(-\infty,1]$。

3.已知函数 $f(x)=x-aln(x)$，$g(x)=\frac{-1}{1+a}$，$(a\in R)$。

若在 $[1,e]$ 上存在一点 $x$，使得$\frac{x}{e^2+1}f(x)<g(x)$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围。

解法：首先将不等式等价变形，得到$x<\frac{e^2+1}{f(x)}g(x)$。

将 $f(x)$ 和 $g(x)$ 分别看成两个函数，其中 $g(x)$ 的图像为一条直线，而 $f(x)$ 的图像为一条曲线。

我们可以利用导数研究 $f(x)$ 的单调性、极值、最值以及图像的凹凸性，然后画出两个函数的图像。

根据不等式关系和图像的位置关系，列式求解。

具体地，我们可以计算出$f(x)$ 的导数为 $f'(x)=1-\frac{a}{x}$，令其等于 $0$，解得$x=a$，代入 $f(x)$ 得到 $f(a)=a-a\ln a$。