新课标平面向量考情分析
2020年高考“平面向量”专题命题分析
《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《标准》）指出，向量理论具有深刻的数学内涵、丰富的物理背景.向量既是代数研究对象，又是几何研究对象，是沟通几何与代数的桥梁.2020年的13份高考数学试卷中对平面向量内容均有考查，这些试题视角宽、层次多、区分度强，在考查向量概念、向量运算、向量基本定理及坐标表示、向量应用等内容的同时，也考查转化与化归、数形结合等思想方法.本文针对平面向量试题的考点分布、命题特点和命题趋势，对教学和复习备考提出建议.一、考点分析1.题型分布与分值难度2020年的13份高考数学试卷中平面向量试题的题型分布、分值和难度统计如下表所示.卷别全国Ⅰ卷全国Ⅱ卷科别理文理文题型分布填空题14解答题20填空题14解答题21填空题13选择题5分值51251255难度容易较难容易较难容易容易卷别全国Ⅲ卷全国新高考Ⅰ卷全国新高考Ⅱ卷北京卷上海卷天津卷江苏卷浙江卷科别理文——————————————题型分布选择题6选择题6选择题7选择题7填空题13填空题12解答题20填空题15解答题18填空题13解答题18填空题17分值555555165155164难度容易容易中等中等中等较难较难中等较难较难较难较难续表根据上表的统计，我们从以下两个方面分析.（1）从题型分布上看，各份试卷均命制了平面向量的试题，每份试卷都有一道选择题或填空题，分值占全卷的3%左右.其中，全国Ⅰ卷（文、理科）、上海卷、天津卷、江苏卷中又都出现了一道与解析几何结合的平面向量解答题，这几份试卷对平面向量的考查分值都在17分以上.对比往年的题型和分值情况，发现2020年高考对平面向量的考查力度有所加强，特别是加强了对平面向量与其他数学知识交会的考查.（2）从试题的难度上看，与往年相比，2020年平收稿日期：2020-08-25作者简介：王峥（1988—）男，中学一级教师，主要从事数学教学研究.2020年高考“平面向量”专题命题分析王摘要：针对2020年13份高考数学试卷中涉及的平面向量试题，从题型分布、分值难度、考点分析、文理差异、核心素养等角度横向比较分析了考查内容和命题特点，在分析考查重点和难点的基础上，探索高考中平面向量试题的命题特点和命题趋势，并针对该专题的教学和复习给出了建议．关键词：2020年高考；平面向量；命题分析；复习建议··2面向量高考试题的难度比较平稳，选择题和填空题延续了题干简洁清晰、几何背景丰富、入口宽泛、解法多样的风格特点，基础题、中档题、压轴题都有出现.大部分试题考查学生的基础知识、基本方法、基本技能，而江苏卷、上海卷、浙江卷中的平面向量试题出现在填空题最后两题的位置上，这三道题对学生能力的要求较高.涉及平面向量的解答题，都与解析几何交会，难度较高，要求学生在平时的学习中形成较好的数学抽象和数学运算素养.2.考点分布2020年高考对平面向量内容的考查主要集中在：平面向量的基本概念；平面向量的线性运算和基本定理；平面向量数量积的概念、几何背景、运算及应用；平面向量与解析几何、三角、函数、不等式交叉考查. 3.文、理科差异2020年很多省份都实行了新高考改革.北京卷、上海卷、天津卷、江苏卷、浙江卷、全国新高考Ⅰ卷、全国新高考Ⅱ卷都不分文、理科，而全国Ⅰ卷、全国Ⅱ卷、全国Ⅲ卷针对文、理科学生能力的差异命制了不同的平面向量试题.总体来看，文、理科试题难度差别不大，以考查学生基础知识、基本方法、基本技能为主，需要学生具有较好的数学抽象、直观想象、数学运算素养.4.核心素养的考查《标准》指出，高中数学关注学生知识技能的掌握，更应该关注数学学科核心素养的形成和发展.因此，立足基础、突出能力、聚焦核心素养是2020年高考数学命题的显著特点.各份高考数学试卷紧紧围绕平面向量的概念、平面向量的运算、向量基本定理及坐标表示、向量的应用等高中平面向量体系的主干内容进行设置，各份试卷不刻意追求知识的覆盖面.除了对基础知识、基本技能的考查，又重点考查学生进一步发展所需要的数学抽象、数学运算、直观想象等数学学科核心素养.二、命题思路分析1.平面向量基本概念和运算的考查平面向量基本概念和运算的考查内容主要集中在向量的加、减法运算，向量的数乘运算及其意义，向量的数量积运算及其意义，两个向量相等、共线、垂直的含义及相应的坐标表示和坐标运算.试题围绕平面向量的基础知识、基本技能命制，对学生的要求以理解和初步应用为主.例1（全国Ⅰ卷·文14）设向量a=()1，-1，b=()m+1，2m-4，若a⊥b，则m的值为.【评析】该题以平面向量的垂直为背景，即a⊥b⇔a·b=0，考查平面向量的坐标运算.例2（全国Ⅱ卷·理13）已知单位向量a，b的夹角为45°∘，k a-b与a垂直，则k的值为.【评析】该题考查平面向量数量积的运算和平面向量的垂直性质.例3（全国Ⅱ卷·文5）已知单位向量a，b的夹角为60°∘，则在下列向量中，与b垂直的是（）.（A）a+2b（B）2a+b（C）a-2b（D）2a-b【评析】该题考查平面向量数量积的运算、平面向量垂直的性质，以及平面向量的加、减运算.例4（全国Ⅲ卷·理6）已知向量a，b满足||a=5，||b=6，a·b=-6，则cos a，a+b的值为（）.（A）-3135（B）-1935（C）1735（D）1935【评析】该题以平面向量的数量积为背景，考查学生对数量积、模长、夹角之间关系的掌握情况，需要学生具备较好的数学运算素养.2.平面向量基本定理、数量积和几何背景的考查平面向量基本定理和数量积都具有丰富的几何特征，如等和线、投影、极化恒等式等可以用向量语言和坐标语言描述，进行代数化运算，结合函数、三角函数、解析几何、不等式等背景命题，综合性较强，常出现在选择题和填空题较靠后的位置上.此类问题是高考的重点和热点，常考常新，具有很好的区分度和选拔功能，可以很好地考查学生的数学抽象、直观想象、数学运算素养.例5（全国Ⅰ卷·理14）设a，b为单位向量，且||a+b=1，则||a-b的值为.【评析】该题考查平面向量数量积和模长之间的转化，以及平面向量数量积的运算，有一定的几何背景，与2017年浙江卷第15题背景相似.··3例6（全国新高考Ⅰ/Ⅱ卷·7）已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则 AP ·AB 的取值范围是（）.（A ）()-2，6（B ）()-6，2（C ）()-2，4（D ）()-4，6【评析】该题考查平面向量数量积的几何背景——投影，也考查学生运用坐标语言描述、解决平面几何数量积问题的能力.例7（北京卷·13）已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足 AP =12() AB + AC ，则||PD 的值为；PB · PD 的值为.【评析】该题以学生十分熟悉的图形——正方形为命题背景，考查平面向量数量积和模的处理，也考查平面向量基本定理，即用基底思想或坐标语言描述、解决平面几何数量积问题的能力.例8（天津卷·15）如图1，在四边形ABCD 中，∠B =60°，AB =3，BC =6，且 AD =λ BC ， AD ·AB =-32，则实数λ的值为，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|| MN =1，则 DM ·DN 的最小值为.A NM DCB图1【评析】该题考查平面向量数量积的运算，考查平面向量的基底思想、正交分解和坐标表示.该题第（2）小题也可以用极化恒等式解决，即 DM · DN =|| DS 2-14|| MN 2，其中S 为MN 的中点.该题入口宽泛，解法多样，区分度好，体现了从能力立意到素养导向的转变.例9（江苏卷·13）如图2，在△ABC 中，AB =4，AC =3，∠BAC =90°，点D 在边BC 上，延长AD 到点P ，使得AP =9，若 PA =m PB +æèöø32-mPC （m 为常数），则CD 的长度是.AC图2【评析】该题将解三角形和平面向量结合，考查学生平面向量的基底思想和坐标系下的正交分解及坐标表示，考查学生用向量的方法解决平面几何问题的能力，让学生体会向量在解决数学和实际问题中的作用.该题需要学生在掌握平面向量基础知识、基本技能的前提下，探究合适有效的解题方法.其中，应用等和线的结论入手较为简便，即向量系数m +æèöø32-m =32，故||PA || PD=32.该题要求学生在平时的学习中善于总结反思，具有较好的数学探索能力.该题有较好的区分度.例10（上海卷·12）已知a 1，a 2，b 1，b 2，…，b k ()k ∈N ∗是平面内两两互不平行的向量，满足||a 1-a 2=1，且||a i -b j ∈{}1，2（其中i =1，2，j =1，2，…，k ），则k 的最大值为.【评析】该题突出对平面向量符号语言到几何背景转化的考查，需要学生有较好的数形结合的思维能力和数学抽象、直观想象素养，体现了上海卷近年来淡化解题技巧、重视思维分析的风格特点.例11（浙江卷·17）已知平面单位向量e 1，e 2满足||2e 1-e 2≤2.设a =e 1+e 2，b =3e 1+e 2，a ，b 的夹角为θ，则cos 2θ的最小值是.【评析】该题以向量为背景，考查学生对数量积和夹角之间关系的理解.同时，结合函数思想进行范围求解，在考查学生数学运算能力的同时，也考查了学生综合应用不同知识的能力，具有较好的选拔功能和教学导向.3.平面向量与解析几何交会点的考查平面向量是沟通几何和代数的桥梁，长度、角、斜率、平行、垂直等都可以用向量表示.近几年，借助几何背景和代数工具结合解析几何、三角、函数、不等式等知识命制的试题经常出现.此类试题常以解答题的形式出现，难度较大，对学生的能力素养要求较高.例12（全国Ⅲ卷·文6）在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点.若 AC ·BC =1，则点C 的轨迹为（）.（A ）圆（B ）椭圆（C ）抛物线（D ）直线例13（全国Ⅰ卷·理20/文21）已知A ，B 分别··4为椭圆E ：x 2a 2+y 2=1()a >1的左、右顶点，G 为E 的上顶点， AG ·GB =8.P 为直线x =6上的动点，PA与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D .（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.例14（天津卷·18）已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0的一个顶点为A ()0，-3，右焦点为F ，且||OA =||OF ，其中O 为原点.（1）求椭圆的方程；（2）已知点C 满足3 OC =OF ，点B 在椭圆上（点B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点.求直线AB 的方程.例15（江苏卷·18）如图3，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 24+y 23=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B.（1）求△AF 1F 2的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求 OP ·QP 的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标.例16（上海卷·20）双曲线C 1：x 24-y2b2=1，圆C 2：x 2+y 2=4+b 2()b >0在第一象限交点为A ()x A ，y A ，曲线Γ：ìíîïïx 24-y 2b 2=1，x 2+y 2=4+b2()||x >x A .（1）若x A =6，求b ；（2）若b =5，C 2与x 轴交点记为F 1，F 2，P 是曲线Γ上一点，且在第一象限，并满足||PF 1=8，求∠F 1PF 2；（3）过点S æèçöø÷0，2+b 22且斜率为-b 2的直线l 交曲线Γ于M ，N 两点，用b 的代数式表示 OM ·ON ，并求出 OM ·ON 的取值范围.【评析】以上几道例题，以向量的几何背景和代数工具为载体，考查圆锥曲线中长度、角的大小、平行、垂直等几何背景问题.利用向量既有几何背景，又能通过坐标表示转化为代数工具的重要特点来命制解析几何解答题，是近年来的趋势，如2017年浙江卷第21题、2018年北京卷理科第19题等.三、复习建议随着新高考在全国各地的陆续推行，越来越多的高考数学试卷不分文、理科，起点低、区分度好、覆盖面全、思维能力要求高是这些试卷的共同特点.关注高考的变化趋势，研究高考试题，可以引领课堂教学和高三复习.1.重视知识本质，提升数学学科核心素养《标准》指出，通过高中数学课程的学习，学生能获得基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验（简称“四基”）.同时，高考改革使得高考命题正在由能力立意向素养导向变革.在平面向量的教学中，一定要以教材为依据，以高考试题为导向，切实理解平面向量的概念；掌握平面向量加法、减法、数乘、数量积运算及其运算法则，理解其几何意义；理解平面向量基本定理，掌握平面向量的正交分解及坐标表示.帮助学生理清知识网络，引导学生养成用图形语言、向量语言、坐标语言去思考和解决平面向量问题的习惯，培养和发展学生的数学抽象、直观想象、数学运算等数学学科核心素养.2.关注高考差异，转变课堂教学模式教育部公布的“一核”“四层”“四翼”的中国高考评价体系中指出，高考的核心功能是“立德树人、服务选才、引导教学”.2020年起山东、海南率先使用了全国新高考数学试卷；2021年起江苏使用全国卷；2023年起浙江使用全国卷.横向比较各份高考数学试卷的差异，纵向关注历年高考的命题趋势，可以发现高考对平面向量内容的考查总体变化不大，但是对平面向量问题中数形结合思想应用的考查和将平面向量作为沟通几何和代数的工具解决三角、解析几何问题的考查明显增多.在高中数学教学中，要立足教材，··5以高考的变化引领高中数学课堂的改变，优化课程结构，改进教学过程，重视思想方法的渗透，强化学科核心素养的培养.3.加强热点研究，把握高考命题方向近几年的高考数学试卷中对向量基础知识和基本方法的考查是平稳变化的，而平面向量基本定理、数量积及其应用等重点问题一直是高考试题的热点、亮点和生长点.例如，2019年江苏卷第12题，2019年浙江卷第17题，2018年浙江卷第9题，2017年天津卷文科第14题，2017年上海卷第15题，2017年浙江卷第15题等，都体现了高考继承和创新的特点.因此，教师在引导学生复习时，要合理利用历年高考试题，研究问题的本质，总结并推广应用，如等和线的结论应用、极化恒等式a ·b =14[]()a +b 2-()a -b 2、向量三角不等式||||a -||b ≤||a ±b ≤||a +||b 等.这样学生可以在高考解题中迅速抓住问题的本质，理解命题意图，进而精准解决问题.四、模拟题欣赏1.在△ABC 中，若 AB · BC = BC · CA =2 CA ·AB ，则|| AB || BC的值为（）.（A ）1（B）（C）（D）解法1：设 CA ·AB =t ，则 AB ·()BC + CA = AB · BC + AB ·CA =2t +t =3t ，即-|| AB 2=3t ，|| AB 2=-3t .因为 BC ·()AC - AB = BC · AC - BC ·AB =-2t -2t =-4t ，所以|| BC 2=-4t .所以|| AB 2|| BC2=-3t -4t ，即|| AB || BC=.故答案选C.解法2：设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .由题意，得-ac cos B =-ab cos C =-2bc cos A .结合余弦定理，有a 2+c 2-b 22=a 2+b 2-c 22=b 2+c 2-a 2.得b =c ，且3a 2=4c 2.故|| AB || BC=c a=.故答案选C.2.在平面直角坐标系xOy 中，A ()2，0，B ()0，3，点C 在线段AB 上，若 OC · AB =143，||AC ||AB 的值为.解：由已知，得AB =()-2，3.设||AC ||AB =λ，则 AC =λ AB ，λ∈[]0，1.所以 OC · AB =()OA + AC · AB=()OA +λ AB · AB=()2-2λ，3λ·()-2，3=13λ-4=143.解得λ=23.故||AC ||AB 的值为23.3.已知向量a ，b 满足||a =4，||b -t a ()t ∈R 的最小值为1，当b ·∙()a -b 最大时，||a -2b 的值为.解：设 OA =a ，OB =b .由题意，知||OA =4，点B 到直线OA 的距离为1.设OA 的中点为C ，得b ·()a -b = OB ·()OA -OB=- BO · BA=-()BC 2- CA2=4- BC 2≤4-1=3，当且仅当||BC =1时，等号成立.此时||a -2b =||OA -2 OB =2||BC =2.4.设平面向量a ，b 满足||a ，||b ，||a -b ∈[]1，5，则a ·b 的最大值为，最小值为.解：因为a ·b =||a 2+||b 2-()a -b 22≤5+5-12=92，··6a ·b =()a +b 2-()a -b 24≥-()a -b 24=-54，所以a ·b 的最大值为92，最小值为-54.5.已知平面向量a ，b ，c 满足a ·b =60，||a -b =4，||c -a =1，则||c 的取值范围为.解法1：因为a ·b =60，||a -b =4，所以a 2+b 2=136.因为||a ||b ≥a ·b =60，所以||b ≥60||a .所以a 2+b 2≥a 2+3600a 2.所以36≤a 2≤100，即6≤||a ≤10.因为||c -a =1，所以1=||c -a ≥||||c -||a .所以||a -1≤||c ≤||a +1.所以5≤||c ≤11.解法2：如图4，由极化恒等式，得a ·b =|| OD 2-|| DA 2=60.O图4所以||OD =8.因为6≤||OA ≤10，所以5≤|| OA -|| OC ≤|| AC ≤|| OA +||AC =11，即5≤||c ≤11.6.已知平面向量a ，b ，c 满足：a ，b 的夹角为π4，||a -b =5，c -a ，c -b 的夹角为3π4，||c -a =32，则a ·c 的最大值为.解：如图5，设a =OA ，b = OB ，c =OC .图5因为a ，b 的夹角为π4，c -a ，c -b 的夹角为3π4，所以∠AOB =π4，∠ACB =3π4.所以∠AOB +∠ACB =π.所以O ，A ，B ，C 四点共圆.设圆心为O ′，圆的半径为R ，取AC 的中点M ，则a ·c = OA ·OC =OM 2-MC 2，2R =AB sin∠ACB ∘=5sin 3π4=52.所以||O ′M =22.所以||OM max =22+R =.所以()a ·c max =èø2-èø2=36.7.已知非零向量a ，b ，c 满足||a =2，a ·b =3||b ，c 2=32a ·c -2，则对任意实数t ，||c -t b 的最小值为.解：由||a=2，a ·b =3||b ，得2||b cos a ，b 3||b ，即cos a ，b .由a ，b ∈[]0，π，得a ，b =π6.如图6，记a = OA ，b = OB ，c =OC .则点B 的轨迹在与OA 夹角为π6的两条射线上.（方法1）由c 2=32a ·c -2，得c ·∙æèöøc -32a =-2.由极化恒等式，可得æèöø2c -32a 2-æèöø32a 24=-2.因为||a =2，化简，得||||||c -34a =14.记34a = OM ，得||||||c -34a =||OC - OM =|| MC =14，··7即点C 在以点M 为圆心、以12为半径的圆上运动.所以||c -t b min =|| CC 0≥||MM 0-r =34-12=14.（方法2）由||a =2，c 2=32a ·c -2，得c 2-32a ·c +12a 2=0.配方，得æèöøc -34a 2=116a 2，即||||||c -34a =14.下同解法1.8.已知平面向量a ，b ，c 满足a ·b =74，||a -b =3，()a -c ·()b -c =-2，则||c 的取值范围是.解法1：由||a -b =3，得||a -b 2=||a 2+||b 2-2a ·b =9.因为a ·b =74，所以||a +b 2=||a 2+||b 2+2a ·b =16，即||a +b =4.由()a -c ·()b -c =a ·b -()a +b ·c +||c 2=-2，得||c 2+154=()a +b ·c ≤||a +b ||c =4||c ，即||c 2-4||c +154≤0.所以32≤||c ≤52.解法2：如图7，设 OA =a ， OB =b ，OC =c .图7由||a -b =3，得AB =3.取线段AB 的中点为D ，则由极化恒等式，得a ·b =|| OD 2-|| AD 2=74.所以||OD =2，即点O 在以点D 为圆心、以2为半径的圆上运动.同时，()a -c ·()b -c =|| CD 2-|| AD 2=-2.所以||CD =12，即点C 在以D 为圆心，12为半径的圆上运动.因此|| OD -|| CD ≤||c ≤|| OD +|| CD .所以32≤||c ≤52.9.如图8，已知矩形ABCD 中，AD =1，AB =2，E 为边AB 的中点，P 为边DC 上的动点（不包括端点）， DP =λ DC ()0<λ<1.设线段AP 与DE 的交点为G ，则 AG ·AP 的最小值是.PGE DCBA图8解：因为△AGE ∽△PGD ，所以AG GP =AE DP =12λ.则 AG · AP =11+2λ· AP 2=11+2λ()1+2λ2.令t =1+2λ()1<t <3，则 AG · AP =t 2-2t +32t =12æèöøt +3t -1≥3-1.当且仅当t =3，即λ=2()0，1取到等号.所以 AG ·AP 的最小值为3-1.10.已知平面向量a ，b 满足||a =1，||b =2，向量a ，b 的夹角为π3，则||λa +b -||||||a -λ2b （其中λ为实数）的最大值为.解：因为||a =1，||b =2，向量a ，b 的夹角为π3，所以a ·b =1.所以()λa +b 2=λ2+2λ+4，即æèöøa -λ2b 2=λ2-λ+1.所以||λa +b -||||||a -λ2b =λ2+2λ+4-λ2-λ+1=()λ+12+3-=()λ+12+()0-32-.（下转第13页）··8题，一些试题源于教材又高于教材，重点考查向量问题的一般处理方法.因此，对于高三阶段的向量复习，教师应当帮助学生追本溯源，构建向量知识结构体系；引导学生紧追“数”和“形”两条主线，重视向量的几何背景；倡导学生举一反三，形成解决向量问题的一般思路.1.追本溯源，理清向量知识结构体系概念、定理与运算法则是知识运用的前提，如果没有对主干知识的理解，那么对向量体系的掌握也就无从谈起.因此，在高三向量复习中，教师的首要任务就是帮助学生梳理、建构向量的主干知识体系，明晰向量的概念和两个定理，熟练掌握向量数量积的运算及其几何意义，掌握向量平行、垂直的数量表示，掌握与长度、角度有关的运算技巧及坐标运算等核心知识.2.数形结合，充分重视向量的几何背景向量具有大小和方向，具有数与形两方面的特征.从核心知识点来说，向量服从平行四边形法则和三角形法则，具有明显的几何特征，向量的数量积运算也具有几何特征，特别在平行与垂直、长度与角度运算中起到纽带作用.因此，复习中要特别重视数形结合思想.例如，三角形四心问题的向量表述务必引导学生在理解的基础上掌握.教师要通过典型例题，引导学生明晰诸如三点共线的充要条件、距离为定长引发的圆、极化恒等式、绝对值三角不等式、阿波罗尼斯圆等常见模式，掌握这些常见模式应用的前提条件，引导学生既要善于转化图形关系，把向量问题几何化，使问题简洁直观，又要把几何问题向量化，通过平面向量运算解决一类几何问题.数形结合、类比联想是解题的核心思想.3.举一反三，初步形成问题解决思路在知识体系构建、数学思想方法提炼的基础上，教师要善于收集、整理近几年高考试题和各地模拟试题中的典型问题，引导学生通过举一反三进行重点强化训练，逐步形成解决向量问题的一般思路.例如，几何直观相对明确的问题，要尽可能理解其几何背景，挖掘出其几何意义，使问题表述简明直观，便于寻找解题的切入点.又如，涉及平面向量数量积的计算问题时，优先考虑三种常规方法，即定义法、基底法、坐标法.定义法局限性较大，如果没有模和夹角，很难直接套用.如果几何意义也不明显，就要考虑基底法是否适用，合理选取一组向量基底，把其余向量用基底表示，再进行运算；如果图形背景较为直观，就要建立坐标系实现坐标转化，把几何问题转化为代数运算是比较好的选择.几种方法各具特色，教师要引导学生进行甄别，合理选取方法求解问题，提升高三复习效率.参考文献：［1］庄迁福.品读平面向量考题、构建复习教学框架［J ］.中学教研，2018（10）：36-38.［2］邓城.平面向量的复习策略及其案例设计［J ］.中国数学教育（高中版），2018（3）：21-26.则问题转化为求平面内的动点P ()λ，0到两个定点A ()-1，3，B æèçø12，距离之差的最大值.当A ，B ，P 三点不共线时，||||PA -||PB <||AB =3；当A ，B ，P 三点共线时，||||PA -||PB =||AB =3.故||||PA -||PB ≤3.所以æèçöø÷||λa +b -||||||a -λ2b max =3.参考文献：［1］中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017年版）［M ］.北京：人民教育出版社，2018.［2］金克勤.2017年高考“平面向量”专题命题分析［J ］.中国数学教育（高中版），2017（7/8）：53-59，96.［3］邹发明，张晓斌.2018年高考“平面向量”专题命题分析［J ］.中国数学教育（高中版），2018（7/8）：46-51，58.［4］张永成.2019年高考“平面向量”专题命题分析［J ］.中国数学教育（高中版），2019（7/8）：53-57.（上接第8页）··13。
高二数学《平面向量的坐标表示》说课稿 3篇
高二数学《平面向量的坐标表示》说课稿1各位老师好：我是户县二中的李敏，今天讲的课题是《平面向量的坐标的表示》，本节课是高中数学北师大版必修4第二章第4节的内容，下面我将从四个方面对本节课的教学设计来加以说明。
一、学情分析本节课是在学生已学知识的基础上进行展开学习的，也是对以前所学知识的巩固和发展，但对学生的知识准备情况来看，学生对相关基础知识掌握情况是很好，所以在复习时要及时对学生相关知识进行提问，然后开展对本节课的巩固性复习。
而本节课学生会遇到的困难有：数轴、坐标的表示；平面向量的坐标表示；平面向量的坐标运算。
二、高考的考点分析：在历年高考试题中，平面向量占有重要地位，近几年更是有所加强。
这些试题不仅平面向量的相关概念等基本知识，而且常考平面向量的运算；平面向量共线的条件；用坐标表示两个向量的夹角等知识的解题技能。
考查学生在数学学习和研究过程中知识的迁移、融会，进而考查学生的学习潜能和数学素养，为考生展现其创新意识和发挥创造能力提高广阔的空间，相关题型经常在高考试卷里出现，而且经常以选择、填空、解答题的形式出现。
三、复习目标1.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.2.理解用坐标表示的`平面向量共线的条件.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能用坐标表示两个向量的夹角，理解用坐标表示的平面向量垂直的条件.教学重难点的确定与突破：根据《20xx高考大纲》和对近几年高考试题的分析，我确定本节的教学重点为：平面向量的坐标表示及运算。
难点为：平面向量坐标运算与表示的理解。
我将引导学生通过复习指导，归纳概念与运算规律，模仿例题解决习题等过程来达到突破重难点。
四、说教法根据本节课是复习课，我采用了“自学、指导、练习”的教学方法，即通过对知识点、考点的复习，围绕教学目标和重难点提出一系列精心设计的问题，在教师的指导下，用做题来复习和巩固旧知识点。
五、说学法根据平时作业中的问题来看，学生会本节课遇到的困难有：数轴、坐标的表示；平面向量的坐标表示；平面向量的坐标运算等方面。
高考全国卷平面向量专题命题动向分析__杜龙安
ʏ广东省汕头市六都中学 杜龙安(特级教师) 向量是沟通几何与代数的桥梁,是进一步学习和研究其他数学知识的基础,是解决有关数学问题的重要工具,更是每年高考全国卷必考的内容㊂主要考查平面向量的基本关系(平行与垂直关系)㊁基本运算(线性运算㊁坐标运算㊁数量积㊁求夹角㊁求模)及几何意义等内容㊂试题的难度不大,主要以中低档题为主,突出基础性与综合性,主要考查数形结合,转化与化归等数学思想方法,考查运算求解和推理论证等数学能力,考查数学运算,逻辑推理等数学核心素养㊂本文结合实例,对近年来高考全国卷中平面向量专题的命题动向进行分析,目的是帮助同学们把握好高考动向,提高复习备考的针对性和有效性㊂一㊁已知某些向量的坐标,通过运算判断其他向量的关系或根据已知向量关系求参数例1 已知平面向量a =(-1,2),b =(m ,-3),若a +2b 与a 共线,则m =㊂解析:因为a =(-1,2),b =(m ,-3),所以a +2b =(-1+2m ,-4)㊂若(a +2b )ʊa ,则4=2(-1+2m ),解得m =32㊂评注:本题首先通过向量的坐标运算求得向量a +2b 的坐标,再根据向量的共线关系求得参数m 的值㊂试题难度不大,属于基础题㊂例2 已知向量m =(2,0),n =(1,1),则下列选项正确的是( )㊂A.m ʊn B .(m -n )ʅnC .m ʅnD .|m |=2|n |解析:由m =(2,0),n =(1,1),得m -n=(1,-1)㊂对于选项A ,由于2ˑ1ʂ0ˑ1,故选项A 错误;对于选项B ,由于(m -n )㊃n =1ˑ1+(-1)ˑ1=0,所以(m -n )ʅn ,故选项B 正确;对于选项C ,由于m ㊃n =2ˑ1+0ˑ1=2ʂ0,故选项C 错误;对于选项D ,由于|m |=2,|n |=12+12=2,所以|m |=2|n |,故选项D 错误㊂故选B ㊂评注:本题主要考查向量的基本运算,判断它们的位置关系或数量关系,试题比较容易,属于基础题㊂例3 设向量a ,b 是互相垂直的单位向量,则与向量a -b 垂直的一个单位向量是( )㊂A.a +b B .55(a -2b )C .22(-a -b )D .55(a +2b )解析:因为a ,b 是相互垂直的单位向量,所以|a |=|b |=1,且a ㊃b =0㊂设向量k a+μb (k ,μɪR )是与向量a -b 垂直的单位向量,则有(k a +μb )㊃(a -b )=0,|k a +μb |=1,所以k a 2+(μ-k )a ㊃b -μb 2=0,k 2a 2+2μk a ㊃b +μ2b 2=1⇒k -μ=0,k 2+μ2=1,解得k =μ=ʃ22,则向量22(-a -b )与向量22(a +b )是与向量a -b 垂直的单位向量㊂故选C ㊂评注:本题主要考查向量的基本概念,具有一定的灵活性与综合性,属于中档题㊂例4 已知O (0,0),A (1,2),B (3,-1),若向量m ʊO A ң,且m 与O B ң的夹角为钝角,写出一个满足条件的m 的坐标为㊂解析:根据题意可得O A ң=(1,2),O B ң=(3,-1),设m =(x ,y ),因为向量m ʊO A ң,且m与O Bң的夹角为钝角,所以1㊃y =2㊃x ,3㊃x +(-1)㊃y <0,3㊃y ʂ(-1)㊃x ,所以x <0㊂不妨令x =-1,则y =-2,所以m =(-1,-2)㊂21 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2023年10月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.评注:本题是开放性试题,由已知三个点的坐标,再通过告知向量的位置关系,要求写出满足题意的一个向量,具有一定的灵活性与综合性,属于中档题㊂二㊁已知几个向量的等量关系,求其中某些向量的有关问题例5 已知单位向量a ,b 满足a ㊃b =0,若向量c =a +3b ,则c o s <a ,c >=( )㊂A.32 B .12 C .34 D .14解析:由单位向量a ,b ,知|a |=1,|b |=1,则|c |2=(a +3b )2=|a |2+23a ㊃b +3|b |2=4,故|c |=2㊂又因为a ㊃c =a ㊃(a+3b )=|a |2+3a ㊃b =1,所以c o s <a ,c >=a ㊃c |a |㊃|c |=12㊂故选B ㊂评注:本题是以单位向量为载体,已知向量a ,b 的位置关系及向量a ,b ,c 的等量关系,通过变形运算,由向量的夹角公式求得向量a 与c 夹角的余弦值㊂试题难度不大,但有一定的综合性,属于基础题㊂例6 已知平面向量a ,b 满足2|a |=|b |,|a +b |=|2a -b |,则向量a ,b 夹角的余弦值为( )㊂A.12 B .-12 C .14 D .-14解析:因为|a +b |=|2a -b |,所以(a +b )2=(2a -b )2,化简整理得a 2=2a ㊃b ,所以c o s <a ,b >=a ㊃b |a ||b |=a222|a |2=14㊂故选C ㊂评注:本题通过已知向量的模的两个等量关系,求向量夹角的余弦值㊂本题求解的关键是要明确求解目标,对等式进行变形,从而得到正确答案㊂三㊁根据已知平面图形中的几何关系用向量运算表示或转化为代数关系或位置关系例7 在әA B C 中,若A B =2,A C =22,A =45ʎ,点M 满足B M ң=3B C ң,则A M 的值为( )㊂A .42 B .210 C .35 D .52解析:依题意得A C ң=23A B ң+13A M ң,所以3A C ң=2A B ң+A M ң,即A M ң=3A C ң-2A B ң,所以A M ң2=9A C ң2-12A B ң㊃A C ң+4A B ң2=9ˑ(22)2-12ˑ22ˑ2㊃c o s A +4ˑ22=40,所以|A M ң|=210,即A M =210㊂故选B㊂评注:本题求解首先要根据已知图形的几何关系,将问题向量化,再通过向量的基本运算解决问题㊂试题难度不大,属于基础题㊂例8 在平行四边形A B C D中,B C ң=3B E ң,D F ң=3F C ң,直线D E 与直线B F 交于点G ㊂设A B ң=a ,A D ң=b ,若A G ң=x a +y b ,则x -y =㊂解析:由E ,G ,D 三点共线得A G ң=λA E ң+(1-λ)A D ң=λa +b 3b+(1-λ)b =λa +1-23λb ,所以x =λ,y =1-23λ,所以x -y =53λ-1㊂由B ,G ,F 三点共线得A G ң=μAB ң+(1-μ)A F ң=μa +(1-μ)㊃34a +b=34+14μa +(1-μ)b ,所以λ=34+14μ,1-μ=1-23λ,解得λ=910,所以x -y =53λ-1=12㊂评注:本题主要考查平面向量的共线定理,问题求解时两次利用共线定理列方程㊂本题具有一定的综合性和复杂性,属于中档题㊂近年来,高考全国卷强调基础性㊁综合性㊁创新性,以及应用意识㊁必备知识和关键能力,这些要求在近几年的高考全国卷中体现得淋漓尽致㊂向量是描述直线㊁曲线㊁平面等数学问题的基本工具,以向量为载体,多个知识交织融合考查也是命题的趋势㊂因此,在平面向量的复习备考中,同学们要重视向量的基本概念㊁基本运算及几何意义,关注以向量为载体,多个知识交织融合考查的试题,在分析㊁解决问题中提升自己的数学素养和理性思维㊂(责任编辑 王福华)31知识篇 科学备考新指向 高考数学 2023年10月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
专题09 平面向量(解析版)-三年(2022–2024)高考数学真题分类汇编(全国通用)
专题09平面向量考点三年考情（2022-2024）命题趋势考点1：平面向量线性运算2022年新高考全国I 卷数学真题平面向量数量积的运算、化简、证明及数量积的应用问题，如证明垂直、距离等是每年必考的内容，单独命题时，一般以选择、填空形式出现．交汇命题时，向量一般与解析几何、三角函数、平面几何等相结合考查，而此时向量作为工具出现．向量的应用是跨学科知识的一个交汇点，务必引起重视．预测命题时考查平面向量数量积的几何意义及坐标运算，同时与三角函数及解析几何相结合的解答题也是热点．考点2：数量积运算2022年高考全国甲卷数学（理）真题2023年高考全国乙卷数学（文）真题2022年高考全国乙卷数学（理）真题2024年北京高考数学真题考点3：求模问题2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题2023年北京高考数学真题2022年高考全国乙卷数学（文）真题考点4：求夹角问题2023年高考全国甲卷数学（文）真题2023年高考全国甲卷数学（理）真题2022年新高考全国II 卷数学真题考点5：平行垂直问题2024年上海夏季高考数学真题2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题2022年高考全国甲卷数学（文）真题2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题2024年高考全国甲卷数学（理）真题考点6：平面向量取值与范围问题2024年天津高考数学真题2023年高考全国乙卷数学（理）真题2022年新高考北京数学高考真题2022年新高考天津数学高考真题2022年新高考浙江数学高考真题2023年天津高考数学真题考点1：平面向量线性运算1．（2022年新高考全国I 卷数学真题）在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n == ，，则CB=（）A ．32m n- B ．23m n-+C ．32m n+ D ．23m n+ 【答案】B【解析】因为点D 在边AB 上，2BD DA =，所以2BD DA =，即()2CD CB CA CD -=- ，所以CB =3232CD CA n m -=- 23m n =-+ ．故选：B ．考点2：数量积运算2．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）设向量a ，b 的夹角的余弦值为13，且1a = ，3b =r ，则()2a b b +⋅= ．【答案】11【解析】设a 与b 的夹角为θ，因为a 与b 的夹角的余弦值为13，即1cos 3θ=，又1a = ，3b =r ，所以1cos 1313a b a b θ⋅=⋅=⨯⨯= ，所以()22222221311a b b a b b a b b +⋅=⋅+=⋅+=⨯+= ．故答案为：11．3．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）正方形ABCD 的边长是2，E 是AB 的中点，则EC ED ⋅=（）A 5B ．3C ．25D ．5【答案】B【解析】方法一：以{},AB AD为基底向量，可知2,0AB AD AB AD ==⋅=uu u r uuu r uu u r uuu r ，则11,22EC EB BC AB AD ED EA AD AB AD =+=+=+=-+uu u r uu r uu u r uu u r uuu r uu u r uu r uuu r uuu r uuu r ，所以22111143224EC ED AB AD AD AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=-+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭uu u r uu u r uu u r uuu r uu u r uuu r uu ur uuu r ；方法二：如图，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，则()()()1,0,2,2,0,2E C D ，可得()()1,2,1,2EC ED ==-uu u r uu u r，所以143EC ED ⋅=-+=uu u r uu u r；方法三：由题意可得：5,2ED EC CD ===，在CDE 中，由余弦定理可得2223cos 25255DE CE DC DEC DE CE +-∠==⋅⨯⨯，所以3cos 5535EC ED EC ED DEC ⋅=∠==uu u r uu u r uu u r uu u r .故选：B.4．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知向量,a b 满足||1,||3,|2|3a b a b ==-= ，则a b ⋅=（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】C【解析】∵222|2|||44-=-⋅+a b a a b b ，又∵||1,||3,|2|3,==-=a b a b ∴91443134=-⋅+⨯=-⋅a b a b ，∴1a b ⋅= 故选：C.5．（2024年北京高考数学真题）设a ，b 是向量，则“()()·0a b a b +-=”是“a b =- 或a b = ”的（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为()()220a b a b a b +⋅-=-= ，可得22a b = ，即a b = ，可知()()0a b a b +⋅-= 等价于a b = ，若a b = 或a b =- ，可得a b = ，即()()0a b a b +⋅-=，可知必要性成立；若()()0a b a b +⋅-= ，即a b =，无法得出a b = 或a b =- ，例如()()1,0,0,1a b ==，满足a b = ，但a b ≠ 且a b ≠- ，可知充分性不成立；综上所述，“()()0a b a b +⋅-=”是“a b ≠ 且a b ≠- ”的必要不充分条件.故选：B.考点3：求模问题6．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知向量a ，b满足3a b -= ，2a b a b +=- ，则b = ．3【解析】法一：因为2a b a b +=- ，即()()222a ba b +=-，则2222244a a b b a a b b +⋅+=-⋅+r r r r r r r r ，整理得220a a b -⋅= ，又因为3a b -= ()23a b -= ，则22223a a b b b -⋅+==r r r r r ，所以3b = 法二：设c a b =-r rr ，则3,2,22c a b c b a b c b =+=+-=+r r r r r r r r r ，由题意可得：()()2222c b c b +=+r r r r ，则22224444c c b b c c b b +⋅+=+⋅+r r r r r r r r ，整理得：22c b =r r ，即3b c ==r r 37．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知向量,a b满足1,22a a b =+= ，且()2b a b -⊥ ，则b = （）A ．12B ．22C ．32D ．1【答案】B【解析】因为()2b a b -⊥ ，所以()20b a b -⋅= ，即22b a b =⋅，又因为1,22a a b =+=，所以22144164a b b b +⋅+=+= ，从而22=b .故选：B.8．（2023年北京高考数学真题）已知向量a b，满足(2,3),(2,1)a b a b +=-=- ，则22||||a b -= （）A ．2-B ．1-C ．0D ．1【答案】B【解析】向量,a b 满足(2,3),(2,1)a b a b +=-=-，所以22||||()()2(2)311a b a b a b -=+⋅-=⨯-+⨯=-.故选：B9．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）已知向量(2,1)(2,4)a b ==-，，则a b -r r （）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】因为()()()2,12,44,3a b -=--=- ，所以()22435-=+-a b .故选：D考点4：求夹角问题10．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）已知向量()()3,1,2,2a b ==，则cos ,a b a b +-= （）A ．117B ．1717C 55D 255【答案】B【解析】因为(3,1),(2,2)a b ==，所以()()5,3,1,1a b a b +=-=- ，则225334,112a b a b +=+-=+= ()()()51312a b a b +⋅-=⨯+⨯-= ，所以()()17cos ,342a b a b a b a b a b a b+⋅-+-==⨯+-.故选：B.11．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知向量,,a b c 满足1,2a b c === 0a b c ++=，则cos ,a c b c 〈--〉=（）A ．45-B ．25-C ．25D ．45【答案】D【解析】因为0a b c ++=,所以a b c +=-r r r ,即2222a b a b c ++⋅= ,即1122a b ++⋅=r r ,所以0a b ⋅= .如图,设,,OA a OB b OC c ===,由题知,1,2,OA OB OC OAB === 是等腰直角三角形,AB 边上的高2222OD AD =所以22222CD CO OD =+=,1tan ,cos 310AD ACD ACD CD ∠==∠=,2cos ,cos cos 22cos 1a c b c ACB ACD ACD 〈--〉=∠=∠=∠-2421510=⨯-=.故选:D.12．（2022年新高考全国II 卷数学真题）已知向量(3,4),(1,0),t ===+ a b c a b ，若,,<>=<>a cbc ，则t =（）A ．6-B ．5-C ．5D ．6【答案】C【解析】()3,4c t =+ ,cos ,cos ,a c b c =,即931635t t c c+++= ,解得5t =,故选：C考点5：平行垂直问题13．（2024年上海夏季高考数学真题））已知()(),2,5,6,k a b k ∈==R ，且//a b ，则k 的值为．【答案】15【解析】//a b，256k ∴=⨯，解得15k =．故答案为：15．14．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知向量(0,1),(2,)a b x == ，若(4)b b a ⊥-，则x =（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】D【解析】因为()4b b a ⊥- ，所以()40b b a ⋅-=，所以240b a b -⋅=即2440x x +-=，故2x =，故选：D.15．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知向量(,3),(1,1)a m b m ==+．若a b ⊥ ，则m =．【答案】34-/0.75-【解析】由题意知：3(1)0a b m m ⋅=++=，解得34m =-.故答案为：34-.16．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知向量()()1,1,1,1a b ==-，若()()a b a b λμ+⊥+ ，则（）A ．1λμ+=B ．1λμ+=-C ．1λμ=D ．1λμ=-【答案】D【解析】因为()()1,1,1,1a b ==- ，所以()1,1a b λλλ+=+- ，()1,1a b μμμ+=+-，由()()a b a b λμ+⊥+可得，()()0a b a b λμ+⋅+= ，即()()()()11110λμλμ+++--=，整理得：1λμ=-．故选：D ．17．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）设向量()()1,,,2a x x b x =+=，则（）A ．“3x =-”是“a b ⊥”的必要条件B ．“3x =-”是“//a b ”的必要条件C ．“0x =”是“a b ⊥”的充分条件D ．“13x =-”是“//a b ”的充分条件【答案】C【解析】对A ，当a b ⊥时，则0a b ⋅= ，所以(1)20x x x ⋅++=，解得0x =或3-，即必要性不成立，故A 错误；对C ，当0x =时，()()1,0,0,2a b == ，故0a b ⋅= ，所以a b ⊥，即充分性成立，故C 正确；对B ，当//a b时，则22(1)x x +=，解得13x =，即必要性不成立，故B 错误；对D ，当13x =-时，不满足22(1)x x +=，所以//a b不成立，即充分性不立，故D 错误.故选：C.考点6：平面向量取值与范围问题18．（2024年天津高考数学真题）在边长为1的正方形ABCD 中，点E 为线段CD 的三等分点，1,2CE DE BE BA BC ==+uur uu r uu u r λμ，则λμ+=；F 为线段BE 上的动点，G 为AF 中点，则AF DG ⋅的最小值为．【答案】43518-【解析】解法一：因为12CE DE =，即23CE BA =uur uu r ，则13BE BC CE BA BC =+=+uu u r uur u uu ur r uu u r ，可得1,13λμ==，所以43λμ+=；由题意可知：1,0BC BA BA BC ==⋅=，因为F 为线段BE 上的动点，设[]1,0,13BF k BE k BA k BC k ==+∈，则113AF AB BF AB k BE k BA k BC ⎛⎫=+=+=-+ ⎪⎝⎭，又因为G 为AF 中点，则1111112232DG DA AG BC AF k BA k BC ⎛⎫⎛⎫=+=-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得11111113232AF DG k BA k BC k BA k BC ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-+⋅-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 22111563112329510k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又因为[]0,1k ∈，可知：当1k =时，AF DG ⋅ 取到最小值518-；解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则()()()()11,0,0,0,0,1,1,1,,13A B C D E ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，可得()()11,0,0,1,,13BA BC BE ⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭，因为(),BE BA BC λμλμ=+=- ，则131λμ⎧-=-⎪⎨⎪=⎩，所以43λμ+=；因为点F 在线段1:3,,03BE y x x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦上，设()1,3,,03F a a a ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，且G 为AF 中点，则13,22a G a -⎛⎫-⎪⎝⎭，可得()131,3,,122a AF a a DG a +⎛⎫=+-=--⎪⎝⎭，则()()22132331522510a AF DG a a a +⎛⎫⎛⎫⋅=+---=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，且1,03a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以当13a =-时，AF DG ⋅ 取到最小值为518-；故答案为：43；518-.19．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知O 的半径为1，直线PA 与O 相切于点A ，直线PB 与O 交于B ，C 两点，D 为BC 的中点，若2PO =，则PA PD ⋅的最大值为（）A ．122+B ．1222+C ．12+D ．22+【答案】A【解析】如图所示，1,2OA OP ==，则由题意可知:π4APO ∠=，由勾股定理可得221PA OP OA =-=当点,A D 位于直线PO 异侧时或PB 为直径时，设=,04OPC παα∠≤<，则：PA PD⋅ =||||cos 4PA PD πα⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭ 12cos 4παα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭222sin 22ααα⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭2cos sin cos ααα=-1cos 21sin 222αα+=-122224πα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭04πα≤<，则2444πππα-≤-<∴当ππ244α-=-时，PA PD ⋅ 有最大值1.当点,A D 位于直线PO 同侧时，设,04OPC παα∠<<，则：PA PD ⋅ =||||cos 4PA PD πα⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭ 12cos 4παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭22222ααα⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭2cos sin cos ααα=+1cos 21sin 222αα+=+122224πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，04πα≤<，则32444πππα≤+<∴当242ππα+=时，PA PD ⋅有最大值122.综上可得，PA PD ⋅的最大值为122.故选：A.20．（2022年新高考北京数学高考真题）在ABC 中，3,4,90AC BC C ==∠=︒．P 为ABC 所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是（）A ．[5,3]-B ．[3,5]-C ．[6,4]-D ．[4,6]-【答案】D【解析】依题意如图建立平面直角坐标系，则()0,0C ，()3,0A ，()0,4B ，因为1PC =，所以P 在以C 为圆心，1为半径的圆上运动，设()cos ,sin P θθ，[]0,2θπ∈，所以()3cos ,sin PA θθ=-- ，()cos ,4sin PB θθ=-- ，所以()()()()cos 3cos 4sin sin PA PB θθθθ⋅=-⨯-+-⨯- 22cos 3cos 4sin sin θθθθ=--+13cos 4sin θθ=--()15sin θϕ=-+，其中3sin 5ϕ=，4cos 5ϕ=，因为()1sin 1θϕ-≤+≤，所以()415sin 6θϕ-≤-+≤，即[]4,6PA PB ⋅∈- ；故选：D21．（2022年新高考天津数学高考真题）在ABC 中，,CA a CB b == ，D 是AC 中点，2CB BE = ，试用,a b表示DE 为，若AB DE ⊥ ，则ACB ∠的最大值为【答案】3122b a - 6π【解析】方法一：31=22DE CE CD b a -=- ，,(3)()0AB CB CA b a AB DE b a b a =-=-⊥⇒-⋅-= ，2234b a a b +=⋅ 222333cos 244a b a b b a ACB a b a b a b⋅+⇒∠==≥= 3a b = 时取等号，而0πACB <∠<，所以(0,]6ACB π∠∈．故答案为：3122b a - ；6π．方法二：如图所示，建立坐标系：(0,0),(1,0),(3,0),(,)E B C A x y ，3(,),(1,)22x y DE AB x y +=--=-- ，23()(1)022x y DE AB x +⊥⇒-+ 22(1)4x y ⇒++=，所以点A 的轨迹是以(1,0)M -为圆心，以2r =为半径的圆，当且仅当CA 与M 相切时，C ∠最大，此时21sin ,426r C C CM π===∠=．故答案为：3122b a - ；6π．22．（2022年新高考浙江数学高考真题）设点P 在单位圆的内接正八边形128A A A 的边12A A 上，则222182PA PA PA +++ 的取值范围是．【答案】[122,16]+【解析】以圆心为原点，37A A 所在直线为x 轴，51A A 所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示：则1345726222222(0,1),,,(1,0),,,(0,1),,,(1,0)222222A A A A A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,82222A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设(,)P x y ,于是()2222212888PA PA PA x y +++=++ ，因为cos 22.5||1OP ≤≤ ，所以221cos 4512x y +≤+≤ ，故222128PA PA PA +++ 的取值范围是[1222,16]+.故答案为：[1222,16]+．23．（2023年天津高考数学真题）在ABC 中，160BC A =∠= ，，11,22AD AB CE CD == ，记,AB a AC b == ，用,a b 表示AE = ；若13BF BC = ，则AE AF ⋅ 的最大值为．【答案】1142a b + 1324【解析】空1：因为E 为CD 的中点，则0ED EC += ，可得AE ED AD AE EC AC⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ ，两式相加，可得到2AE AD AC =+ ，即122AE a b =+ ，则1142AE a b =+ ；空2：因为13BF BC = ，则20FB FC += ，可得AF FC AC AF FB AB ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，得到()22AF FC AF FB AC AB +++=+ ，即32AF a b =+ ，即2133AF a b =+ .于是()2211211252423312a b a F b a AE A a b b ⎛⎫⎛⎫+⋅+=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⋅=⎭⎝⎭ .记,AB x AC y ==，则()()222222111525225cos 602221212122A x xy a a b b xy y x y E AF ⎛⎫+⋅+=++=++ ⎪⋅⎝⎭= ，在ABC 中，根据余弦定理：222222cos601BC x y xy x y xy =+-=+-= ，于是1519222122122AE xy x xy AF y ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭=⎝⎭⋅ ，由221+-=x y xy 和基本不等式，2212x y xy xy xy xy +-=≥-=，故1xy ≤，当且仅当1x y ==取得等号，则1x y ==时，AE AF ⋅ 有最大值1324.故答案为：1142a b + ；1324.。
第二章 平面向量基本定理
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2．两向量的夹角与垂直 → → (1)夹角：已知两个 非零向量 a 和 b，作OA＝a， ＝b， OB 则∠AOB＝θ，叫做向量 a 与 b 的夹角．
①范围： 向量 a 与 b 的夹角的范围是[0°， 180°]． ②当 θ＝0°时，a 与 b 同向． ③当 θ＝180°时，a 与 b 反向．
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→ → 解法二：(方程思想)：设AB＝x，BC＝y，则有 → → → → → → → → AB＋BC＝AC，AD－AB＝BD且AD＝BC＝y. x＋y＝a， 1 1 1 1 1 → 1 即 ∴x＝ a－ b，y＝ a＋ b，即AB＝ a－ 2 2 2 2 2 2 y－x＝b. → 1 1 b，BC＝ a＋ b. 2 2
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向量夹角的概念 【例 4】 已知两非零向量 a 与 b 的夹角为 80°，试求下 列向量的夹角： (1)a 与－b； (2)2a 与 3b.
思路分析：作出向量 a，b，再作出相应的向量，依据向 量夹角的定义来确定．
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解：(1)由向量夹角的定义，如下图①，向量 a 与－b 的 夹角为 100°.(2)如下图②，向量 2a 与 3b 的夹角为 80°.
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规 律 归 纳 本类型题需不断地利用三点共线进行转化，最后通过利 用任意一向量基底表示的唯一性，即若 a＝λ1e1＋µ1e2 且 a＝ λ ＝λ ， 1 2 λ2e1＋µ2e2，则 来构建方程，使得问题获解． µ1＝µ2
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答案：C
对高考中平面向量试题特点的分析
及线面垂直的性质定理和三次函数求最值的方法．解㊀如图１０所示,易知四边形E F G H 为矩形,әA １E F ,әB F G 为等边三角形,设E F ＝x ,则F G ＝３２－x ,设棱锥的高为h ,则h ＝２２A １F ＝２２x ,V A １ＧE F G H ＝１３ˑ２２x ２ˑ(３２－x )＝４３ˑ２２ˑ(x ２)２(３２－x )ɤ２２３ˑ(３２－x ＋x ２＋x２３)３＝８３．当且仅当x ２＝３２－x ,即x ＝２２时,体积取最大值８３．图１０通过对空间图形的观察㊁实验㊁操作和思辨,使学生了解平行㊁垂直关系的基本性质以及判定方法,空间想象能力的培养是立体几何教学的重点．２㊀总结与反思纵观近几年的高考试题可以发现,高考试题来源于教材,又高于教材．高考中的立体几何试题大多数是以长方体模型和截面模型为依托,考查学生的空间想象能力,关注学生的学科核心素养．在立体几何中,长方体模型和截面模型是非常重要的两个模型,依托长方体模型和截面模型可以解决很多立体几何问题．同时,把空间问题转化为平面问题,也是求解立体几何问题的一种基本方法．作几何体的截面,既是将立体几何问题转化为平面问题的一个方法,也是理解空间点线面关系的一个很好的途径．长方体模型和截面模型的研究,对于发展学生的空间想象能力,提升综合运用立体几何各方面的知识技能,提高学生的解题能力,都是十分有启发㊁有思考价值的题材．同时对学生进行空间几何体截面的作图等训练也是培养和发展学生核心素养的拓展课题．(本文系江西省基础教育研究课题 高考数学命题中学科核心素养的考查方式及其对教学的反拨作用研究 (项目编号:N C S X ２０１９Ｇ０６９)的研究成果．)(作者单位:１．江西省南昌市铁路第一中学２．江西省南昌市第十五中学)Җ㊀北京㊀韩静波㊀㊀向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一,它是沟通代数㊁几何和三角函数的一种工具,有着极其丰富的实际背景．在高中阶段,向量问题灵活多变,解决向量问题既要求透彻理解概念,又需要掌握解决相关问题的通性通法,还要有数学思想的引领．本文通过对高考试题的分析,总结在平面向量教与学中应该重视的问题．１㊀注重概念的理解和知识的系统性数学概念是数学基础知识的核心,是学好数学知识和培养数学能力的基础．对于高中学生而言,向量是一种新的数学研究对象,很多概念都可从数和形两种角度理解,并且有多种不同表现形式,另外概念间相互联系形成网络,因此在平面向量的教与学中应该注重概念的理解和知识的系统性．例１㊀(２０１７年北京卷理６)设m ,n 为非零向量,则 存在负数λ,使得m ＝λn 是 m n ＜０ 的(㊀㊀)．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D．既不充分也不必要条件分析㊀解答此题的关键是理解 存在负数λ,使得m ＝λn 和 m n ＜０的本质分别是什么．考查了向量共线(向量平行)㊁向量的数乘㊁向量的夹角㊁向量的数量积等概念,也就是考查是否理解相关概念的本质以及是否形成了知识体系,考查了转化与化归思想以及逻辑推理能力．解㊀存在负数λ,使得m ＝λn ⇔m 与n 方向相反．因为m ,n 为非零向量,所以|m |ʂ０且|n |ʂ０．m n ＜０⇔|m ||n |c o s ‹m ,n ›＜０⇔c o s ‹m ,n ›＜０⇔π２＜‹m ,n ›ɤπ,得出m 与n 方向相反或夹角为钝角．所以 存在负数λ,使得m ＝λn 是 m n ɤ０ ．故选A ．解决此题需要准确理解向量共线(向量平行)㊁向量的数乘㊁向量的夹角㊁向量的数量５积等概念,并掌握相关概念间的关系,例如,对于非零向量a ,b ,a ʊb ⇔存在唯一非零实数λ,a ＝λb ⇔a ,b的夹角为０或π,其中a ,b 同向⇔存在唯一正实数λ,a ＝λb ⇔a ,b 的夹角为０,a ,b 反向⇔存在唯一负实数λ,a ＝λb ⇔a ,b 的夹角为π．由此可以看出,平面向量的教与学应该注重概念的理解和知识的系统性．２㊀注重通性通法和方法的全面性平面向量问题的问题情境新颖多变,但从基本概念出发,会发现问题的本质不变,解决问题的思想方法也是不变的,因此要全面透彻地理解解决相关问题的通性通法．通性通法是高考考查的重点,要学会用通性通法解决平面向量问题．例２㊀(２０２０年北京卷３)已知正方形A B C D 的边长为２,点P 满足A P ң＝１２(A B ң＋A C ң),则|P D ң|＝;P B ң P D ң＝．分析㊀解答此题的关键是根据向量的线性运算由 A P ң＝１２(A B ң＋A C ң) 分析出P 的位置,再根据向量的数量积运算求解 P B ң P D ң ．旨在考查学生是否全面地掌握了解决向量的线性运算和向量的数量积运算的通性通法,考查了数形结合和转化与化归思想以及逻辑推理能力．解㊀先求|P D |ң．解法１㊀从 形 的角度如图１所示,根据向量加法的平行四边形法则,以线段A B ,A C 为邻边作平行四边形A B P ᶄC ,则A P ᶄң＝A B ң＋A C ң,所以A P ң＝１２(A B ң＋A C ң)＝１２A P ᶄң,因为平行四边形A B P ᶄC 对角线A P ᶄ与B C 互相平分,所以点P 为B C 的中点．㊀㊀图１㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图２也可以从另一个角度证明点P 为边B C 的中点．如图２所示,设点B ᶄ,C ᶄ分别为线段A B ,A C 的中点,所以A P ң＝１２(A B ң＋A C ң)＝A B ᶄң＋A C ᶄң,则线段A P 是以线段A B ᶄ,A C ᶄ为邻边的平行四边形的对角线,所以点P 为边B C 的中点．因此,|P D ң|D C ２＋C P ２＝５㊀㊀图３解法２㊀从 坐标 的角度建立平面直角坐标系,如图３所示,则A (０,０),B (２,０),C (２,２),D (０,２),A B ң＝(２,０),A C ң＝(２,２),所以A P ң＝１２(A B ң＋A C ң)＝(２,１)．点P 的坐标为(２,１),所以P D ң＝(－２,１),则|P D ң|２＝(－２)２＋１２＝５．下面再求P B ң P D ң．解法１㊀从 形 的角度．如图４所示,向量P D ң在向量P B ң上的投影为－|P Cң|＝－１,P B ң P D ң|P B ң|１．图４解法２㊀从 坐标 的角度．易知P D ң＝(－２,１),P B ң＝(０,－１),P B ң P D ң＝－１．解法３㊀从 代数 角度．P B ң P D ң＝P B ң (P C ң＋C D ң)＝P B ң P C ң＋P B ң C D ң＝－１＋０＝－１,或P B ң P D ң＝|P B ң||P D ң|c o s øD P B ＝|P B ң||P D ң|(－c o s øD P C )＝－|P B ң||P D ң||P C ң||P D ң|＝－１．一般而言,解决平面向量问题可以从 数 和形 两个角度考虑,此题所求的是平面向量的数量积,解决此类问题可以用数量积的几何意义(关键在于投影),也可用坐标法(关键在建系),还可以用定义法(关键在转化)．由高考题可以看出,平面向量的教与学应该注重通性通法,而且方法不能只掌握一种,要全面．３㊀注重数形结合思想对于向量问题,要善于从 数 和 形 两个角度考虑问题,尤其要有 形 的意识,要善于利用直观想象将抽象的符号直观化为图形,但当从几何角度不易求解时,也要能利用代数方法求解．６例３㊀(２０２０年上海卷１２)已知a１,a２,b１,b２, ,b k(kɪN∗)是平面内两两互不平等的向量,满足|a１－a２|＝１,且|a i－b j|ɪ{１,２}(其中i＝１,２,j＝１,２, ,k),则k的最大值为．分析㊀解答此题的关键是从 形 的角度理解|a１－a２|＝１,|a i－b j|ɪ{１,２},并将其翻译为图形语言．考查了相等向量㊁向量的减法和向量的模,考查了数形结合和转化与化归思想以及直观想象能力．解㊀任意取一点O(不妨设为坐标原点),分别作O A１ң＝a１,O A２ң＝a２,O B１ң＝b１,O B２ң＝b２, ,O B kң＝b k(kɪN∗)．由|a１－a２|＝１,得|A１A２ң|＝１,且点A１,A２的距离为１．不妨设A１(１,０),A２(２,０)．由|a i－b j|ɪ{１,２},得|A i B jң|＝１或２(其中i＝１,２,j＝１,２, ,k),即B j到A１和A２的距离都为１或２(j＝１,２, ,k)．所以B j是分别以A１和A２为圆心,半径分别为１,１的圆交点,或分别以A１和A２为圆心,半径分别为１,２的圆交点,或分别以A１和A２为圆心,半径分别为２,１的圆交点,或分别以A１和A２为圆心,半径分别为２,２的圆交点(j＝１,２, ,k)．以A１和A２为圆心,半径分别为１,１的圆交点有２个(如图５);以A１和A２为圆心,半径分别为１,２的圆交点有１个(如图６);以A１和A２为圆心,半径分别为２,１的圆交点有１个(如图７);分别以A１和A２为圆心,半径分别为２,２的圆交点有２个(如图８)．所以k的最大值为图５㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图６图７㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图８例４㊀(２０２０年天津卷１５)如图９所示,在四边形A B C D中,øB＝６０ʎ,A B＝３,B C＝６,且A Dң＝λB Cң,A Dң A Bң＝－３２,则实数λ的值为;若M,N是线段B C上的动点小值为．图９分析㊀此题考查的是向量的数量积,与例３一样可以从向量数量积的几何意义㊁坐标以及定义三个方面考虑,但此题从几何角度不易解决此题,考查了相等向量㊁向量的减法和向量的模,考查了数形结合思想以及逻辑推理能力．解㊀由已知得A Dң A Bң＝λB Cң A Bң＝－λB CңB Aң＝－λ|B Cң||B Aң|c o søB＝－９λ＝－３２,所以λ＝１６．㊀㊀图１０如图１０所示,以B原点,以B C所在直线为x轴建立平面直角坐标系,则D(５２,３３２)．不妨设M在N的左侧时,M(x,０),则N(x＋１,０)(０ɤxɤ５),DMң＝(x－５２,－３３２),DNң＝(x－３２,－３３２),DMң DNң＝(x－５２)(x－３２)＋２７４(０ɤxɤ５)．此二次函数开口向上,对称轴为x＝２ɪ[０,５]．所以当x＝２时,DMң DNң取得最小值１３２．上面两道高考题,例３从 形 的角度,容易发现问题本质,而例４考查的是平面向量数量积运算．解决此类问题可以从三个方面考虑,但例４不易从利用数量积几何意义解决,因此考虑利用坐标．由高考题可以看出,平面向量的教与学应该注重数形结合思想,对于一些情境新颖㊁较复杂的问题,尤其要善于从 形 的角度思考问题本质,但从 形 的角度不易解决问题时,也要能利用代数方法求解．４㊀注重转化与化归的思想在解决平面向量问题时,经常利用向量的线性运算将 不好 的向量转化为 好 的向量,有时,也会在问题中选择两个不共线的 好 向量作为基底,将问题中所有的向量都用这组基底表示,就能化未知为已７知,化复杂为简单从本质上,向量的坐标形式就是由此推导出的．㊀㊀图１１例５㊀(２０２０年江苏卷１３)在әA B C 中,A B ＝４,A C ＝３,øB AC ＝９０ʎ,D 在边B C 上,延长A D 到P ,使得A P ＝９,若P A ң＝mP B ң＋(３２－m )P C ң(m 为常数),则C D 的长度是．分析㊀解答此题的关键是根据向量的线性运算处理 P A ң＝m P B ң＋(３２－m )P C ң ,直接根据该式子构造平行四边形或三角形比较困难,所以可以考虑坐标法,也可考虑将所有向量用基底A B ң,A C ң表示．考查的是向量的线性运算,考查了数形结合和转化与化归思想以及逻辑推理能力．㊀㊀图１２解法１㊀如图１２所示,以A 原点,分别以A B ,A C所在直线为x 轴,y 轴建立平面直角坐标系,则A (０,０),B (４,０),C (０,３)．设P (x ,y ),则x ２＋y ２＝９,PA ң＝(－x ,－y ),PB ң＝(４－x ,－y ),PC ң＝(－x ,３－y )．由P A ң＝mP B ң＋(３２－m )P C ң,得(－x ,－y )＝(m (４－x )－(３２－m )x ,－m y ＋(３２－m )(３－y ))．所以－x ＝m (４－x )－(３２－m )x ,－y ＝－m y ＋(３２－m )(３－y ),ìîíïïïï即x ＝８m ,y ＝９－６m ．{所以(８m )２＋(９－６m )２＝９,解得m ＝０或２７２５．当m ＝０时,P A ң＝３２P C ң,则D 与C 重合,所以C D 的长度是０．当m ＝２７２５时,P (２１６２５,６３２５)．直线A P :y ＝７２４x ,直线B C :y ＝－３４x ＋３．由y ＝７２４x ,y ＝－３４x ＋３,ìîíïïïï得x ＝７２２５,y ＝２１２５．ìîíïïïï所以D (７２２５,２１２５),所以C D 的长度是１８５．综上所述,C D 的长度是０或１８５．解法２㊀P C ң＝A C ң－A P ң,P B ң＝A B ң－A P ң,所以P A ң＝mP B ң＋(３２－m )P C ң＝m (A B ң－A P ң)＋(３２－m )(A C ң－A P ң)＝mA B ң＋(３２－m )A C ң－３２A P ң．所以１２A P ң＝mA B ң＋(３２－m )A C ң,即A P ң＝２mA B ң＋(３－２m )A C ң．因为A P ＝９,所以|２mA B ң＋(３－２m )A C ң|＝４m ２A B ң２＋４m (３－２m )㊀A B ң A C ң＋(３－２m )２A Cң２＝９,所以６４m ２＋９(３－２m )２＝９,解得m ＝０或２７２５．当m ＝０时,P A ң＝３２P C ң,则D 与C 重合,所以C D 的长度是０．当m ＝２７２５时,A P ң＝５４２５A B ң＋２１２５A C ң．设C D ң＝λC B ң(０＜λ＜１),A D ң＝A C ң＋C D ң＝A C ң＋λC B ң＝A C ң＋λ(A B ң－A C ң)＝λA B ң＋(１－λ)A C ң．因为A P ң,A D ң共线,且A B ң,A C ң不共线,故λ１－λ＝５４２１＝１８７,所以λ＝１８２５,|C D ң|＝１８２５|C B ң|＝１８５．综上所述,C D 的长度是０或１８５．解法１利用数形结合思想,从 数 的角度将问题坐标化．解法２是利用转化与化归思想,选择 好 向量A B ң,A Cң作为基底,将所有向量用这组基底表示,将问题转化为简单的问题．由高考题可以看出,平面向量的教与学应该注重转化与化归思想,对于一些情境新颖㊁较复杂的问题,可以考虑将 不好 的向量转化为 好 的向量．高考数学试卷是数学教与学的一个指挥棒,它通过一道道题目引导如何进行数学教学和学习．通过对高考试卷中平面向量问题的分析,总结出平面向量的教与学要注重概念的理解和知识的系统性,注重通性通法和方法的全面性,注重数形结合思想,注重转化与化归的思想．(作者单位:人大附中北京经济技术开发区学校)８。
高中新课程“平面向量”的教材分析及教学建议
高中新课程“平面向量”的教材分析及教学建议作者：李芳奇来源：《数学教学通讯(教师阅读)》2007年第10期“平面向量”是高中数学的一块极其重要的内容，被安排在必修数学4的第二章(以人民教育出版社A版的普通高中课程标准实验教科书为例)．它作为数形结合的桥梁，沟通了代数、三角函数、几何等知识，是进一步学习数学学科和其他自然学科的基础，有着极其丰富的实际背景．对于这部分内容，《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称《标准》)与《全日制普通高级中学数学教学大纲》(以下简称《大纲》)在教学内容和教学要求上都有些变化．本文就结合《标准》，谈一下对于新教材中“平面向量”章节的教材分析以及相关的教学建议．1教学体系、内容和要求上的变化1．1教学体系、内容上的变化在体系上，《标准》将必修4的内容分成三章：三角函数、平面向量和三角恒等变换，将原“平面向量”中的“正弦定理、余弦定理和解斜三角形应用举例”两节改成“解三角形”放入必修5中．在内容上，新教材删减了“线段的定比分点”和“平移”这两节，不再明确地提出定比分点坐标公式，而将其作为书本上的一道探究题，由学生自己完成．这样做是为了降低难度、减少课时．并且，新教材增加了“平面向量应用举例”一节，用向量解决平面几何和物理中的问题，让学生深切体会向量的工具作用，发展他们应用向量知识的数学意识．1．2教学要求上的变化2新课标教材的主要特点2．1倡导主动探索的学习方式《标准》明确指出：高中数学课程应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识．而人教A版的新教材正是很好地贯彻了这一基本理念．不难发现，在每一节的引入、文中和结尾部分都有一些探究题和思考题，这不仅使得整个课堂教学过渡自然、循序渐进，更为积极的方面便是，它为学生提供了一个个合理的问题情境，让他们通过动手画图、类比、猜想并验证等形式经历数学发现的过程，提高了学习的主动性和创造性，这远比“满堂灌”的被动式接受学习要有意义得多．2．2注重对数学思想方法的提炼人教A版新教材的一个突出亮点即是：在一些基本定理和例题的旁边附注提示性或归纳总结性语言，以强化重要的知识点．比如在给出平面向量基本定理后，旁边附注：同一平面可以有不同的基底，就像平面上可以选取不同的坐标系一样．形象直观，通俗易懂，学生很容易理解原本较为复杂的概念．又如新教材第120页例5旁边的归纳总结性附注：向量的数量积是否为零，是判断相应的两条线段或直线是否垂直的重要方法之一，以及第123页例1旁边的提示性附注：遇到有关长度的问题时，我们常常需要考虑向量的数量积．此类附注，以框图的形式呈现，醒目而明了，给出了基本数学思想方法，对类似问题的解决起到了积极的指导作用．2．3渗透数学的文化价值新教材增设了“阅读与思考”这一栏目，所选取的阅读材料通常短小精悍，融科学性、教育性、知识性、趣味性于一体，大大地丰富了中学教材的内容．通过让学生阅读平面向量这一章节的阅读材料“向量及向量符号的由来”，使得他们从历史的角度认识了向量的背景及其符号的来源，以“史”为鉴，增长了数学知识，充分发挥阅读材料的德育功能，获得高质量的教学效果．除此之外，新教材还图文并茂地给出了章头图以及相应的文字说明，让学生从一开始就能对本章节的学习内容有个大致的了解：“向量是一种既有大小又有方向的量”，但对于具体的解释却不甚清楚，于是带着一种问题情境以及兴趣进入学习，为引入向量作好了铺垫．2．4强调信息技术的工具作用《标准》明确指出：高中数学课程应提倡利用信息技术来呈现以往教学中难以呈现的课程内容，加强数学教学与信息技术的结合，鼓励学生运用计算机、计算器等进行探索和发现．正如人教A版的新教材中第124页例2巧妙地利用信息技术工具通过动态地演示，发现线段长度相等的关系始终保持不变，于是就可以对探究性问题的结论加以猜测，继而通过严谨的分析过程得以验证．信息技术在这里对课堂教学起了一定的推动作用，打破了学生冥思苦想后终无从下手的僵局．3“平面向量”的教学建议3．1应注重结合实际背景来引入概念对于概念的教学，务必要把握其实际背景，阐明知识的来龙去脉，这样有利于学生认同其合理性，深化对问题的感悟．新教材与原教材，在概念的引入方面有了一些改进．比如，向量加法的三角形法则这一节中，新教材先让学生们探究物理学中力的合成，此即为两个向量加法的实际背景，继而过渡到数学中向量加法的具体概念，实现知识的有效迁移．但对于两个向量的和坐标与数量积的运算内容虽并不难掌握，但新教材的导入却并不自然，会让学生产生生搬硬套的危险．建议可以举一些生活化的例子使学生能更深入地了解概念的本质：学生甲跑了x1分钟，又走了y1分钟；学生乙跑了x2分钟，又走了y2分钟．问甲和乙一共跑了多少分钟，走了多少分钟?学生可以很容易地得出；他们一共跑了x1+x2分钟，走了y1+y2分钟．这时教师可提出用a=(x，y)表示时间向量，学生马上可以归纳出：设a2=(x1，y1), a2=(x2，y2)，则a1+a2=(x1+x2，y1+y2)．至此，学生无形中深刻地明白了何为教材中所指的“相应坐标”，并且，他们也明白了x与y之间也无特定关系，它们只是向量的两个维度．接着，继续深入问题：学生每分钟跑b1米，每分钟走b2米，问此学生的行程是多少?用b=(b1,b2)表示速度向量，则有：a·b=xb1+yb2．这样的教学设计避免了教材中繁琐的推理过程，看似理所当然却抓住了概念的本质，浅显易懂，印象深刻．3．2应重视几何作图的功能向量的几何属性为平面向量的教与学提供了一个非常便利的直观手段．教材在引入向量知识时，十分重视其平面几何背景．概念、法则及例题都配备了相关的图形，并安排了较多的作图练习、视图填空练习和作图验证练习，为学生主体参与提供了条件，既抓住了平面向量的特点进行教学，又使学生通过操作性练习达到对新概念的理解．比如，在学生掌握了向量加法运算的三角形法则和平行四边形法则的作图后，对于向量减法运算的教学，只需要让学生先作出一个向量的反向量，再作出两个向量的差向量，通过作图让学生自行定义向量的减法，实现知识的主动构建．这样的教学设计，把课堂重新交给了学生，具有动态性和可操作性，符合建构主义的学习理论．3．3应强化向量与数学其他知识的联系向量作为一个有用的数学工具，应用非常广泛，在代数、几何、三角函数等问题中均有所涉及．它不仅要求教师要学习新内容，而且要从思想方法上研究新内容的内涵实质，修整原有的认知，用向量的观点研究以往教材的知识结构体系，培养学生运用向量解决问题的意识．最为显著的优势表现在利用向量知识解决几何问题，这样可以避开繁琐复杂的定性分析，把抽象的理论证明转化为向量代数运算，把空间的研究从“定性”推到“定量”的深度，图1有利于学生克服由于空间想象力和逻辑推理能力的不足造成的解题困难．例1如图1，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°．（1）证明: CC1⊥BD；（2）当CDCC1的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD?请给出证明．此题是一道高考题，第(1)问利用三垂线定理或转化为线面垂直定理都可以得证，但绝大多数考生对于第(2)问都显得束手无策，这样的探究式提问比起证明题要难得多，但如果换个角度，采用向量方法将抽象的理论问题转化为代数运算，只须证明CA1·BD=0和CA1·C1D=0而直接可以计算得出此比值为1，茅塞顿开，免去了漫无目的的猜测．参考文献1中华人民共和国教育部制订．普通高中数学课程标准(实验)［M］．北京：人民教育出版社，20032人民教育出版社．课程教材研究所．中学数学课程教材研究开发中心．普通高中课程标准实验教科书数学必修4．北京：人民教育出版社，20043王华民．新课标实验教材平面向量一章的特点与建议［J］．数学教学通讯，2006(11) “本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。
2011年新课标高考试题分类选析——平面向量
的 角 的 值 同 ［， ． 夹 取 范 是 詈 ］
２ 平 面 向量 基 本 定 理 及 向 量 的 坐 标 表 示
《，
பைடு நூலகம்
例 ４ （０ １ ２ １ 年北 京 卷理 ）已知 向量 ｎ √ １ ， 一（ ３， ）
—
图３
’ —— ＋ —
直 角 坐标 系 ， ＤＣ＝“ ＤＰ一 则 Ｃ（ ， ） 设 ， ． ０“ ，
析
ｙ 由行 边 的 积 平 四 形 面 馘 ，一 × Ｐ（ ）， １，）， ２， ）．所 以 ＰＡ一 （２，一 ．），ＰＢ一 吉 ０， Ｂ（ ｎ Ａ（ ０
读 书破 万卷， 下笔如有神
ＣＡ一３ＣＥ， 则
Ａ Ｄ・ ＢＥ ： ： ＝
萎差 标和
① 平 面 向量 的概念 和几何 表 示 ；
② 平 面 向量基 本定 理及 坐标 表示 ；
③ 向量 的线性 运算 与平 面 向量 的数量 积 ； ④ 平 面 向量 与其他 数学 问题 的融 合．
１ 平 面 向 量 的 概 念 和 几 何 表 示
●
化
（ ｎ— ）， １，
则满 足条 件 的点 Ｍ 恰 是 线段 Ａ Ａ 的 中点 Ａ。 由此 ， 猜想 ， 足 条 件 的 点 Ｍ 的个 数 为 １ 满 ＿下 面 证 明 这 个
结论 ：
故 Ｐ Ａ＋ ３Ｐ Ｂ一 （ ，口 ４ ） ５３ 一 ｙ ， 所 以 （ Ａ４ ３ Ｐ － ２ ＋ （ａ ４ ）≥ ２ ． ＰＢ）一 ５ ３ 一 ｙ ５
在 ２ １ 年 的新 课 程 高 考 中 ． 地 都 考 查 ｌ 面 Ｏ１ 各 ｒ平 向量 这部分 内容 ， 且 大都 以 客 观题 的形 式 出 现 ， 并 主
平面向量三点共线定理和等和线定理(学生用)
平面向量三点共线定理与等和线定理（方法素养·助学培优）【考情分析】平面向量是有效连接代数和几何的桥梁，已成为高考数学命题的一个热点，向量三点共线和等和线巧妙地将代数问题转化为图形关系问题，将系数和的代数式运算转化为距离的比例运算，数形结合思想得到了有效体现。
平面向量三点共线定理和等和线定理在近些年高考及各省市的模拟考试相继出现，这类问题综合性较强，难度稍大，学生在解决此类问题大多会思路不清晰，解题繁琐，得分率不高，通过三点共线和等和线定理的研究学习为求解此类问题打开崭新的解题空间。
【考点知识回顾】1.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.2.平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．【考点探究·题型突破】▶▶▶思考1 如图所示，在平面内，已知C在直线AB上（即A,B,C三点共线），= ，若点C在线段AB 上，则。
▶▶▶引申探究，则A,B,C三点一定共线吗？★★★1.三点共线定理：已知为平面内两个不共线的向量且，是A,B,C三点共线的充要条件。
2.已知，若A,B,C三点共线且点C在线段AB 上，则（系数交叉对应）。
3.特别地：当C为AB的中点时，.☛☛☛练习1 如图，在☛ABC中，D为BC的中点，E在线段AD上，且AE=2ED,则( )▶▶▶思考2如图所示，在平面内，已知，，若点C在直线AB外，则=★★★等和线定理：平面内一组基底及任一向量,,若点C在直线AB上或者平行与AB的直线上，则且，反之也成立。
（直线AB以及直线AB平行的直线称为等和线）。
性质：（1）；（2）当等和线恰为直线AB时，；（3）当等和线在O和直线AB之间时，；（4）当直线AB在点O和等和线之间时，；（5）当等和线过O点时，。
平面向量常见典型考题赏析
平面向量常见典型考题赏析随着科技的发展，平面向量的应用越来越广泛，在数学中，平面向量也是一个重要的内容。
本文将以《平面向量常见典型考题赏析》为标题，讨论平面向量的概念及常见考题。
一、平面向量的概念平面向量是由两个实数组成的有序对，也可以由一个实数组成的有序三元组，它表示一个点在二维坐标系（x-y坐标系）中的位置。
例如，平面向量<3,7>表示直角坐标系中点(3,7)。
平面向量运算有四种主要方法：加法、减法、数乘、叉乘。
（1）平面向量的加法：平面向量的加法在图象上是两个向量的并集，它的运算结果为结果向量的长度与其角度。
设<x1,y1>和<x2,y2>是两个平面向量，则x1+x2,y1+y2为两个向量的和：<x1+x2,y1+y2>。
（2）平面向量的减法：平面向量的减法在图象上表示两个向量以同一起点开始，以第一个向量结束，以第二个向量为方向反向延长的向量。
设<x1,y1>和<x2,y2>是两个平面向量，则<x1-x2,y1-y2>为两个向量的差。
（3）平面向量的数乘：平面向量的数乘是把向量和一个实数相乘后得到的新的向量。
设<x1,y1>为一个平面向量，它与实数k相乘，可得到新的向量<kx1,ky1>。
（4）平面向量的叉乘：平面向量的叉乘是两个平面向量的积，它的结果是一个实数，可以表示两个向量的夹角大小，设<x1,y1>和<x2,y2>是两个向量，则它们的叉积为：x1x2+y1y2。
二、平面向量常见典型考题赏析1、求两个向量的和解：设<x1,y1>和<x2,y2>是两个平面向量，则两个向量的和为：<x1+x2,y1+y2>。
2、求两个向量的积解：设<x1,y1>和<x2,y2>是两个平面向量，则两个向量的积为：x1x2+y1y2。
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平面向量
孙 文
一、真题展示：(2010年—2015年)
2010年真题：未考查
2011年真题：
10、已知
a
与b
均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题：
1
p
：2||1[0,)3ab；2p：
2
||1(,]3ab
；
3
p
：||1[0,)3ab；4p：
||1(,]3ab
。其中的真命题是（ ）
A．1p，4p B．1p，3p C．2p，3p D．2p，4p
答案：A
点评：本题考查平面向量的的概念、数量积运算以及三角不等式的解法，要熟练把握
概念及运算。
2012年真题：
13、已知向量,ab夹角为45 ，且1,210aab；则_____b
答案：
32
点评：本题考查向量的模以及数量积的运算。
2013年真题：
13、已知两个单位向量a，b的夹角为
60
，(1)ctatb，若0bc，则t_____。
答案：2
点评：本题考查向量的数量积运算，考查学生的基本运算能力。
2014年真题：
15、已知CBA,,为圆O上的三点，若
ACABAO
2
1
，则AB与AC的夹角为______．
答案：
2
点评：本题考查平面向量基本定理和圆的性质。
2015年真题：
5、已知M（00,xy）是双曲线C：2212xy上的一点，12,FF是C上的两个焦点，若
12
0MFMF
，
则
0
y
的取值范围是( )
A （-33，33） B （-36，36） C（223，223） D （233，
23
3
）
答案：A
点评：本题考查双曲线的标准方程和向量数量积坐标表示以及一元二次不等式解法.
7、设D为ABC所在平面内一点
3BCCD
，则
(A) 1433ADABAC (B) 1433ADABAC
(C) 4133ADABAC (D) 4133ADABAC
答案：A
点评：考查平面向量的线性运算.
二、高考预测
从前面的题目中可以看出进6年中只有2010年未考查平面向量，另外考查平面
向量的5年中以选填题的形式考查，难度较小。
预测2016年高考仍然会以选填题的形式考查平面向量，主要考查内容是：平面
向量的数量积运算和线性运算以及结合几何图形（三角形或者圆）来考查平面向量的
基本定理和运算。