关于高等数学A 期末试题及答案

济南大学2013～2014学年第一学期课程考试试卷（A 卷）

课 程 高等数学A （一） 考试时间 2013 年 12 月 31 日

………………注：请将答案全部答在答题纸上，直接答在试卷上无效。………………

一、填空题（每小题2分，共10分）

(1) =-∞→x x x )11(lim e

1

．

(2) 设)tan(2x x y +=，则=dy dx x x x )(sec )21(22++ ． (3) 曲线36223+++=x x x y 的拐点是 )6,1(- . (4) =-⎰10

2

11dx x

2

π

. (5) =⎰

∞

+12

1

dx x 1 ． 二、选择题（每小题2分，共10分）

(1) =∞→x

x

x 2sin lim (A)

(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 2

1

. (2) 设x

x

x f tan )(=

，则0=x 是函数)(x f 的(A) (A) 可去间断点. (B) 跳跃间断点. (C) 第二类间断点. (D) 连续点. (3) 当0→x 时，下列变量中与x 是等价无穷小的是(B)

(A) x 3sin . (B) 1-x e . (C) x cos . (D) x +1. (4) 函数)(x f 在0x 点可导是它在该点连续的(C)

(A) 充分必要条件. (B) 必要条件. (C) 充分条件. (D) 以上都不对.

(5) 设)(x f 在),(∞+-∞内有连续的导数，则下列等式正确的是(D) (A) ⎰=')()(x f dx x f . (B)

C x f dx x f dx d

+=⎰

)()(. (C) )0()())((0

f x f dt t f x -='⎰. (D) )())((0

x f dt t f x ='⎰. 三、计算下列极限、导数（每小题6分，共18分）

(1) 213lim

21

-++--→x x x x x .解： )

13)(2()

13)(13(lim 213lim 2121x x x x x x x x x x x x x x ++--+++-+--=-++--→→ (2) 22

)2(sin ln lim x x x -→ππ.解：)2(4sin cos lim )2(sin ln lim 2

22

x x x

x x x x --=-→

→ππππ (3) 设函数)(x y y =由方程0ln =+-y x y y 所确定，求：dx

dy

和22dx y d .

两边对x 求导得：01)1(ln ='+-'+y y y 所以得; y

y ln 21

+=

' 四、计算下列积分（每小题8分，共32分）

(1) ⎰-dx x x )2sin(2. 解：C x x d x dx x x +-=---=-⎰⎰)2cos(21

)2()2sin(21)2sin(2222

(2) ⎰-dx x 21. 解：令t x sin =，2

||π≤

t ，则：⎰⎰=-tdt dx x 22cos 1

(3) ⎰1

arctan xdx . 解：⎰

⎰+-=1

02

101

1]arctan [arctan dx x x

x x xdx (4) ⎰1

dx e x . 解：令x t =，则2

t x =，tdt dx 2=，⎰⎰=1

1

2dt te dx e t x

五、综合题（每小题10分，共20分）

(1) 设函数)(x y y =由参数方程⎪⎩

⎪⎨⎧=++=⎰2

2

03

1t u du e y t t x 所确定，求函数)(x y y =的极值. 解：23124

t te dx dy t +=，令0=dx

dy

，得0=t ，代入得：1=x 。

当1

0x 时，0>t ，所以0>dx

dy

。 函数)(x y y =的极大值为0)1(=y 。

(2) 过点)0,0(O 做曲线L ：x e y =的切线，切点为A ；由曲线L ，直线OA 和y 轴所围成的图形记为D . 求：

(Ⅰ) OA 的直线方程；

(Ⅱ) D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.

解：(Ⅰ)设A 点的横坐标为0x 。由于x

e y ='，所以00

x x e x e =，即10=x ，

A 点的坐标为),1(e ，OA 的直线方程为ex y =。

(Ⅱ) 2

6

)(21

222πππ-

=

-=⎰e dx x e e V x

六、证明题（10分）设函数)(x f 在闭区间]1,0[上连续，在开区间)1,0(内可导，且

0)0(=f ，1)1(=f .证明：(Ⅰ) 存在一点)1,0(0∈x ，使得2

1)(0=

x f ； (Ⅱ) 在)1,0(内存在两点1x 和2x ，使得

2)

(1

)(121='+'x f x f . 证：(Ⅰ)由于)(x f 在闭区间]1,0[上连续，且)1(2

1

)0(f f <<

，有介值定理，存在一点)1,0(0∈x ，使得2

1)(0=

x f 。 (Ⅱ)由于)(x f 在闭区间]1,0[上连续，在开区间)1,0(内可导，则在),0(0x 内存在一点1x ，使得0

00121

0)0()()(x x f x f x f =--='；又在)1,(0x 内存在一点2x ，使

得)

1(21

1)()1()(0002x x x f f x f -=--=

'。

所以：

2)1(22)

(1

)(10021=-+='+'x x x f x f