第六章 信道编码

第六章信道编码

信道编码以提高信息传输的可靠性为目的，是要使从信源发出的信息经过信道传输后，尽可能准确地、不失真地再现在接收端。信道编码通常通过增加信源冗余度的方式来实现。

本章首先介绍信道的基本模型，探讨信道传输信息的能力，讨论抗干扰信道编码的基本原理，然后详细介绍二元线性码和循环码的编码、译码，最后简要介绍限失真编码定理。

[学习目标]

（1）理解和掌握信道编码的基本原理；

（2）理解抗干扰信道编码定理；

（3）理解和掌握二元线性码的编码和译码；

（4）理解和掌握循环码的编码和译码；

（5）理解限失真编码定理。

6.1 信道编码概述

6.1.1信道模型

信息必须首先转换成能在信道中传输或存储的信息后才能通过信道传送给收信者。在信息传输过程中，噪声或干扰主要是从信道引入的，它使信息通过信道传输后产生错误和失真。因此信道的输入和输出之间一般不是确定的函数关系，而是统计依赖的关系。只要知道信道的输入信号、输出信号以及它们之间的统计依赖关系，就可以确定信道的全部特性。

信道的种类很多，这里只研究无反馈、固定参数的单用户离散信道。

1．离散信道的数学模型

离散信道的数学模型一般如图6.1所示。图中输入和输出信号用随机矢量表示，输入信号为

X= (X1, X2,…,X N)，输出信号为Y= (Y1, Y2,…,Y N)；每个随机变量X i和Y i又分别取值于符号集A={a1,

a 2, …, a r }和B ={

b 1, b 2, …, b s }，其中r 不一定等于s ；条件概率P (y |x ) 描述了输入信号和输出信号之间的统计依赖关系，反映了信道的统计特性。

),...,,(

21N X X X X = )|(x y P ),...,,(21N Y Y Y Y =

∑=1)|(x y P

图6.1 离散信道模型

根据信道的统计特性即条件概率P (y |x ) 的不同，离散信道可以分为三种情况：

（1）无干扰信道。信道中没有随机干扰或干扰很小，输出信号Y 与输入信号X 之间有确定的一一对应的关系。

（2）有干扰无记忆信道。实际信道中常有干扰，即输出符号与输入符号之间没有确定的对应关系。若信道任一时刻的输出符号只统计依赖于对应时刻的输入符号，而与非对应时刻的输入符号及其他任何时刻的输出符号无关，则这种信道称为无记忆信道。

（3）有干扰有记忆信道。这是更一般的情况，既有干扰又有记忆，实际信道往往是这种类型。在这一类信道中某一瞬间的输出符号不但与对应时刻的输入符号有关，而且与此前其他时刻信道的输入符号及输出符号有关，这样的信道称为有记忆信道。

2．单符号离散信道的数学模型

单符号离散信道的输入变量为X ，取值于{a 1, a 2, …, a r }，输出变量为Y ，取值于{b 1, b 2, …, b s }，并有条件概率

P (y |x )= P (y=b j |x=a i )= P (b j |a i ) (i =1,2,…,r ；j =1,2,…,s )

这一组条件概率称为信道的传递概率或转移概率。

因为信道中有干扰（噪声）存在，信道输入为x =a i 时，输出是哪一个符号y ，事先无法确定。但信道输出一定是b 1, b 2, …, b s 中的一个，即有

∑==s

j i j

a b

P 1

1)|( (i =1,2,…,r ) (6-1)

由于信道的干扰使输入符号x 在传输中发生错误，所以可以用传递概率P (b j |a i );,,2,1(r i Λ= ),,2,1s j Λ=来描述干扰影响的大小。因此，一般简单的单符号离散信道的数学模型可以用概率空间

[Y x y P X ),|(,]加以描述。另外，也可以用图来描述，如图6.2所示。

⎪⎪

⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧a a a X r

M M 21

b b s ⎪⎭⎫1图6.2 单符号离散信道

例6.1 二元对称信道

这是很重要的一种特殊信道（简记为BSC ），如图6.3所示。它的输入符号X 取值于{0,1}，输出符号Y 取值于{0,1}，r =s =2， a 1=b 1=0，a 2=b 2=1，传递概率为

p p P a b P =-==1)0|0()|(11, p p P a b P =-==1)1|1()|(22

p P a b P ==)1|0()|(21, p P a b P ==)0|1()|(12

其中，)0|1(P 表示信道输入符号为0而接收到的符号为1的概率，)1|0(P 表示信道输入符号为1而接受到的符号为0的概率，它们都是单个符号传输发生错误的概率，通常用p 表示。而)0|0(P 和)1|1(P 是无错误传输的概率，通常用p p =-1表示。

显然，这些传递概率满足式(6-1)，即

1)|()|(2

1

221

1=∑=∑==j j j j a b P a b P

X 1-p Y 01=a 10b =

p

p

12=a 21b =

图6.3 二元对称信道一

用矩阵来表示，即得二元对称信道的传递矩阵为

⎥⎦⎤-⎢⎣⎡-p p p

p 111100

依此类推，一般离散单符号信道的传递概率可用以下形式的矩阵来表示，即

b 1 b 2 … b s ⎥

⎥

⎥⎥⎦

⎤⎢

⎢⎢⎢⎣⎡)|()

|()|()|()

|()|()|()

|()|(21222211121121r s r r s s r a b P a b P a b P a b P a b P a b P a b P a b P a b P a a a Λ

M ΛM M ΛΛM

并满足式∑==s

j i j a b P 1

1)|( （r i ,,2,1Λ=）。

为了表述简便，记ij i j p a b P =)|(，信道的传递矩阵表示为

⎥

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡=rs r r s s p p p p p p p p p P ΛM M M M ΛΛ

11

22221

112

11

而且满足

0>j i p ⎩

⎨⎧是列的标号是行的标号

j i

且

∑==s

j ij

p

1

1 （r i ,,2,1Λ=) (6-2)

式(6-2)表示传递矩阵中的每一行之和等于1。

这个矩阵完全描述了信道的统计特征，又称为信道矩阵，其中有些概率是信道干扰引起的错误概率，有些概率是信道正确传输的概率。可以看到，信道矩阵][P 既表达了输入符号集A ={a 1,…, a r }，又表达了输出符号集B ={b 1,…, b s }，同时还表达了输入与输出之间的传递概率关系，故信道矩阵][P 能完整地描述给定的信道。因此，信道矩阵][P 也可以作为离散单符号信道的另一种数学模型