概率论与数理统计学1至7章课后答案

第7章作业题解

7.1解： 已知总体~(,)X B m p

(1) 总体的一阶原点矩为()E X mp =，因此得方程1mp a =，解之得1

a p m

=

， 以样本矩1A X =代替总体原点矩，可得参数的矩估计为ˆX

p

m

=。 (2) 因为总体的概率函数为(,)(1)x x m x

m f x p C p p -=-

所以关于p 的似然函数为

1

1

()()(1)

i i

i

n n

x x m x i m

i i L p f x C p p -====-∏∏1

1

(

)

(

)

1

()(1)

n

n

i i i i i n x mn x x m

i C p

p ==-=∑

∑=-∏

取对数，得

1

1

1

ln[()](ln )()ln [()]ln(1)i n n n

x m

i i i i i L p C x p mn x p ====++--∑∑∑

求导数，并令导数为零，得似然方程

11

11ln[()]()[()]01n n

i i i i d L p x mn x dp p p ==-=+-=-∑∑ 解之得 x

p m

=， 其中11n i i x x n ==∑

用X x 代替即可得到参数p 的极大似然估计：ˆX

p

m

= 7.2解：(1) 因为总体服从指数分布，所以总体的一阶原点矩为1

()E X λ

=

由此得方程

11

a λ

=，解之得1

1a λ=

， 以样本矩1A X =代替总体原点矩，可得参数λ的矩估计为1

ˆX

λ

=。 (2) 因为关于λ的似然函数为

1

1

()()i

n n

x i i i L f x e

λλλ-====∏∏1

n

i

i x n

e

λ

λ=-∑=

取对数，得

1

ln[()]ln ()n

i i L n x λλλ==-∑

求导数，并令导数为零，得似然方程

1

1

ln[()]()0n

i i d L n x d λλλ==-=∑ 解之得

11

1n i i x x n λ===∑，即1x

λ= 用X x 代替即可得到参数λ的极大似然估计：1

ˆX

λ

=。 7.3 解：(1) 因为总体服从均匀分布[0,]U θ，所以总体的一阶原点矩为()2

E X θ=

由此得方程

12

a θ

=，解之得12a θ=，

以样本矩1A X =代替总体原点矩，可得参数θ的矩估计为ˆ2X θ

=。 (2) 因为关于θ的似然函数为

11

0()()0

n

i n

i i x L f x θλθ=⎧≤≤⎪

==⎨⎪⎩∏其它

根据极大似然估计的定义，要()L λ尽可能大的话，就要θ尽可能地小，但是又不能大于样

本值，所以可取样本的最大值ˆmax{}i

X θ=作为参数的极大似然估计。 7.5解：因为总体X 服从正态分布2

(,)N μσ

，其密度函数为22

()2

2(,)x f x μσσ--

=

所以，关于2

σ的似然函数为

2222

2

2

1

1

()()()22222

/2

1

1()(2)

n

n

i i i i i x x x n

n i L e μμμσσσσπσ==----

-

-

=∑

∑

==

=

取对数，得

2

22

2

1

1

ln ()ln(2)()

22n

i

i n L x σπσμσ

==---∑

求导数，并令导数为零，得似然方程

2

2

224

1

11

ln[()]()

022n

i

i d

n L x d σμσσσ==-+-=∑

解之得 2

2

1

1()n i i x n σμ==-∑，

用i i X x 代替即可得到参数2

σ的极大似然估计：2

21

1ˆ()n

i i X n σ

μ==-∑。

7.6解：因为总体服从指数分布，其参数为1

λθ

=，所以总体的均值为1

()E X θλ

=

=，总

体的方差为2

()Var X θ=，于是有

123()()()()E X E X E X E X θ====

2123()()()()Var X Var X Var X Var X θ====

(1) 因为11

ˆ()()E E X θθ==，2121

ˆ()[()()]2

E E X E X θθ=+=， 3121ˆ()[()2()]3

E E X E X θθ=+=，4

ˆ()()()E E X E X θθ=== 所以这四个估计量都是θ的无偏估计。

(2) 2

11

ˆ()()Var Var X θθ==，2

2121ˆ()[()()]42

Var Var X Var X θθ=+=， 231215ˆ()[()4()]99Var Var X Var X θθ=+=，2

4

ˆ()()3

Var Var X θθ== 比较可得 1234ˆˆˆˆ()()()()Var Var Var Var θθθθ>>>。所以这四个估计中4

ˆθ是最优估计。 7.7解： 已知总体X 服从均匀分布[,1]U θθ+，所以总体的一阶原点矩为21

()2

E X θ+=

(1) 因为21

()()2

E X E X θθ+==

≠，所以X 不是θ的无偏估计。 (2) 建立方程121

2a θ+=，解之得1212

a θ-=，

以样本矩1A X =代替总体原点矩a 1，可得参数θ的矩估计为21

ˆ2

X θ

-=。 因为 212()11211

ˆ()()()22222

X E X E E E X θθ

θ--+===-=-=， 所以21

ˆ2

X θ

-=是θ的无偏估计。 7.8解：因为 12ˆˆ,θθ是θ的无偏估计，所以12ˆˆ()()E E θθθ==，则

1212

ˆˆˆˆˆ()[(1)]()(1)()(1)E E c c cE c E c c θθθθθθθθ=+-=+-=+-= 所以12

ˆˆˆ(1)c c θθθ=+-是θ的无偏估计。 又已知221122ˆˆ(),()Var Var θσθσ==，且12ˆˆ,θθ相互独立，则