高考数学压轴专题最新备战高考《三角函数与解三角形》难题汇编附答案

新数学《三角函数与解三角形》高考知识点

一、选择题

1．定义在R 上的函数()f x 既是偶函数又是周期函数，若()f x 的最小正周期是π，且当

π0,2x ⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦

时，()sin f x x =，则

5π3f ⎛⎫

⎪⎝⎭

的值为( )

A ．12

-

B C ． D ．

12

【答案】B 【解析】 分析：要求53

f π⎛⎫

⎪⎝⎭

，则必须用()sin f x x =来求解，通过奇偶性和周期性，将变量转化到区间02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦

，上，再应用其解析式求解 详解：()f x Q 的最小正周期是π

552333f f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=-

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

()f x Q 是偶函数

33f f ππ⎛⎫⎛⎫

∴-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，

53

3f f π

π⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

Q 当02x π⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦

，时，()sin f x x =，

则5 sin 3332f f πππ⎛⎫⎛⎫

===

⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭

故选B

点睛：本题是一道关于正弦函数的题目，掌握正弦函数的周期性是解题的关键，考查了函数的周期性和函数单调性的性质．

2．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 满足，222b c a bc +-=，

0AB BC ⋅>u ur u u r u u ，2

a =，则

b

c +的取值范围是( )

A ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭

B ．32⎫⎪⎪⎝⎭

C ．13,22⎛⎫

⎪⎝⎭

D ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦

【答案】B 【解析】 【分析】

利用余弦定理222

cos 2b c a A bc

+-=，可得3A π=，由

|||cos()|0AB BC AB BC B π⋅=⋅->u u u u u u u u r u ur u r u r

，可得B

为钝角，由正弦定理可得

sin sin(120)30)o o b c B B B ∴+=+-=+，结合B 的范围，可得解

【详解】

由余弦定理有：222

cos 2b c a A bc

+-=，又222b c a bc +-=

故2221

cos 222

b c a bc A bc bc +-===

又A 为三角形的内角，故3

A π

=

又a

=sin sin sin(120)o

b c c B C B ==

- 又|||cos()|0AB BC AB BC B π⋅=⋅->u u u u u u u u r u ur u r u r

故cos 0B B <∴为钝角

3sin sin(120)sin 30)22o o b c B B B B B ∴+=+-=+=+

(90,120)o o B ∈Q ，可得

130(120150)sin(30)(2o o o o B B +∈∴+∈，

330))22

o b c B ∴+=+∈ 故选：B 【点睛】

本题考查了正弦定理、余弦定理和向量的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题

3．函数()[]()

cos 2,2f x x x ππ=∈-的图象与函数()sin g x x =的图象的交点横坐标的和为（ ） A ．

53

π B ．2π

C ．

76

π D ．π

【答案】B 【解析】 【分析】

根据两个函数相等，求出所有交点的横坐标，然后求和即可.

【详解】

令sin cos2x x =，有2sin 12sin x x =-，所以sin 1x =-或1

sin 2

x =.又[],2x ππ∈-，所以2x π=-

或32x π=或6x π=或56

x π=，所以函数()[]()cos 2,2f x x x ππ=∈-的图象与函数()sin g x x =的图象交点的横坐标的和3522

266

s π

πππ

π=-+

++=，故选B. 【点睛】

本题主要考查三角函数的图象及给值求角，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.

4．已知函数(

)()03f x x πωω⎛

⎫=

-> ⎪⎝

⎭的最小正周期为π，若

()()122f x f x ⋅=-，则12x x -的最小值为（ ）

A ．

2

π B ．

3

π C ．π

D ．

4

π

【答案】A 【解析】 【分析】

由正弦型函数的最小正周期可求得ω，得到函数解析式，从而确定函数的最大值和最小值；根据()()122f x f x ⋅=-可知1x x =和2x x =必须为最大值点和最小值点才能够满足等式；利用整体对应的方式可构造方程组求得()12122

x x k k π

π-=-+，12,k k Z ∈；从

而可知120k k -=时取最小值. 【详解】

由()f x 最小正周期为π可得：

2π

πω

= 2ω∴= (

)23f x x π⎛

⎫∴=

- ⎪⎝

⎭

(

)max f x ∴，(

)min f x =()()122f x f x ⋅=-Q 1x x ∴=和2x x =分别为()f x 的最大值点和最小值点

设1x x =为最大值点，2x x =为最小值点

()1112222232,2232x k k k Z x k ππππππ⎧

-=+⎪⎪∴∈⎨⎪-=-⎪⎩

()12122x x k k ππ∴-=-+，

当120k k -=时，12min

2

x x π

-=

本题正确选项：A 【点睛】