2013届高三数学 章末综合测试题(10)概率
2013届高三理科数学综合试卷及答案
2013届高三理科数学综合试卷一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）α是第四象限角，5tan 12α=-，则sin α=（ ）A ．15B ．15-C ．513D ．513-（2）设a 是实数，且1i 1i2a +++是实数，则a =（ ）A ．12B ．1C ．32D ．2（3）设a b ∈R ，，集合{}10ba b a b a⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，，，，，则b a -=（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-（4）下面给出的四个点中，到直线10x y -+=的距离为2，且位于1010x y x y +-<⎧⎨-+>⎩，表示的平面区域内的点是（ ） A ．(11)，B ．(11)-，C ．(11)--，D ．(11)-，（5）如图，正四棱柱1111ABC D A B C D -中，12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为（ ） A ．15B ．25C ．35D ．45（6）设1a >，函数()log a f x x =在区间[]2a a ，上的最大值与最小值之差为12，则a =（ ）A．B ．2C． D ．4（7）21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为15，则n =（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6AB1B1A1D1C C D（8）．如图，三行三列的方阵中有9个数(123123)ij a i j ==，，；，，，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（ ） A ．1314 B ．47C ．114D ．37二、填空题：本大题共6小题，每小题5分共30分。
9．已知向量)3,(),2,4(x b a ==向量，且a ∥b ，则x = 。
10．曲线sin y x =在点（32π）处的切线方程为 ；11．已知等比数列{}n a 的前三项依次为1a -，1a +，4a +，则n a = ．12．已知正方形A B C D ，则以A B ，为焦点，且过C D ，两点的椭圆的离心率为_____．从以下三题中选做两题，如有多选，按前两题记分.13．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点()1,0到直线()c o s s i n 2ρθθ+=的距离为 ．14．（不等式选讲选做题）不等式142x x -<-+的解集是 ．15．几何证明选讲选做题］如图所示，圆Ｏ的直径为６，Ｃ为圆周上 一点。
2013届高三数学-章末综合测试题(13)立体几何(1)
2013届高三数学-章末综合测试题(13)立体几何(1)2013届高三数学章末综合测试题（13）立体几何（1）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )A．7 B．6 C．5 D．3解析 A 依题意，设圆台上、下底面半径分别为r、3r，则有π(r＋3r)·3＝84π，解得r＝7.2．如图所示，在空间四边形ABCD中，点E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且CFCB＝CGCD＝23，则( )解析 D k a＋b＝k(1,1,0)＋(－1,0,2)＝(k－1，k,2)，2a－b＝2(1,1,0)－(－1,0,2)＝(3,2，－2)，∵两向量垂直，∴3(k－1)＋2k－2×2＝0，∴k＝75 .4．已知直线m、n和平面α，在下列给定的四个结论中，m∥n的一个必要但不充分条件是( )A．m∥α，n∥αB．m⊥α，n⊥αC．m∥α，n⊂αD．m、n与α所成的角相等解析 D 对于选项A，当m∥α，n∥α时，直线m、n可以是平行、相交或异面；而当m∥n时，m、n与α的关系不确定，故选项A是m∥n的既不充分也不必要条件；选项B是m∥n 的充分不必要条件；选项C是m∥n的既不充分也不必要条件；对于选项D，由m∥n可以得到m、n与α所成的角相等，但是m、n与α所成的角相等得不到m∥n.故选项D符合题意．5．已知某个几何体的三视图如图(主视图的弧线是半圆)，根据图中标出的数据，这个几何体的体积是( ) A．288＋36πB．60πC．288＋72πD．288＋18π解析 A 依题意得，该几何体是由一个长方体与半个圆柱的组合体，其中长方体的长、宽、高分别为8、6、6，半个圆柱相应的圆柱底面半径为3、高为8，因此该几何体的体积等于8×6×6＋12×π×32×8＝288＋36π，故选A.6．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3 B．l1⊥l2，l2∥l 3⇒l 1⊥l 3C ．l 1∥l 2∥l 3⇒l 1，l 2，l 3共面D ．l 1，l 2，l 3共点⇒l 1，l 2，l 3共面解析 B 在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A 错；两平行线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B 正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C 错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D 错．7．将一个边长为a 的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了( )A ．6a 2B ．12a 2C ．18a 2D ．24a 2解析 B 依题意，小正方体的棱长为a3，所以27个小正方体的表面积总和为27×6×⎝ ⎛⎭⎪⎫a 32＝18a 2，故表面积增加量为18a 2－6a 2＝12a 2.8．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为( )A.63B.265C.155D.105解析 D 如图，连接A1C1，B1D1，交于点O1，由长方体的性质易知∠C1BO1为BC1与平面BB1D1D所成的角．∵BC＝2，CC1＝1，∴BC1＝22＋1＝5，又C1O1＝12A1C1＝1222＋22＝2，∴在Rt△BO1C1中，sin ∠C1BO1＝O1C1BC1＝25＝105.9．已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题，如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有命题中，真命题有( )A．0个B．1个C．2个D．3个解析 C 若α，β换为直线a，b，则命题化为“a∥b，且a⊥γ⇒b⊥γ”，此命题为真命题；若α，γ换为直线a，b，则命题化为“a∥β，且a⊥b⇒b⊥β”，此命题为假命题；若β，γ换为直线a，b，则命题化为“a∥α，且b ⊥α⇒a⊥b”，此命题为真命题．10．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝10，AD＝5，AA1＝4.分别过BC、A1D1的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为V1＝VAEA1－DFD1，V2＝VEBE1A1－FCF1D1，V3＝VB1E1B －C1F1C.若V1∶V2∶V3＝1∶3∶1，则截面A1EFD1的面积为( )A ．410B ．8 3C ．20 2D ．16 2解析 C 由V 1＝V 3，可得AE ＝B 1E 1，设AE ＝x ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ×4×5∶[(10－x )×4×5]＝1∶3，得x ＝4，则A 1E ＝42＋42＝42，所以截面A 1EFD 1的面积为20 2.11．如图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，A ，B ，C 是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC 的值为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 解析 C 还原正方体，如下图所示，连接AB ，BC ，AC ，可得△ABC 是正三角形，则∠ABC ＝60°.故选C.12．连接球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于27、43，M、N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦AB、CD可能相交于点M；②弦AB、CD可能相交于点N；③MN的最大值为5；④MN的最小值为1.其中真命题的个数是 ( )A．1 B．2C．3 D．4解析 C 易求得M、N到球心O的距离分别为OM＝3，ON＝2，若两弦交于M，则ON⊥MN，在Rt△ONM中，有ON<OM，符合题意，故①正确．若两弦交于N，同①推得，OM<ON，矛盾，故②错．当M、O、N共线，M、N在O同侧，则MN取最小值1；M、N在O两侧，则MN取最大值5，故③④正确．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13. 如图，在正四棱柱A1C中，E，F，G，H 分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M 只需满足条件________时，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)解析∵FH∥DD1，HN∥BD，∴平面FHN ∥平面B1BDD1，只要M∈FH，则MN⊂平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.(答案不唯一)【答案】M位于线段FH上14．已知α、β是两个不同的平面，m、n 是平面α及平面β之外的两条不同的直线，给出四个论断：①m∥n，②α∥β，③m⊥α，④n ⊥β，以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________.解析同垂直于一个平面的两条直线互相平行，同垂直于两个平行平面的两条直线也互相平行．【答案】②③④⇒①15．已知命题：“若x⊥y，y∥z，则x⊥z”成立，那么字母x，y，z在空间所表示的几何图形有可能是：①都是直线；②都是平面；③x，y 是直线，z是平面；④x，z是平面，y是直线．上述判断中，正确的有________(请将你认为正确的序号都填上)．解析当字母x，y，z都表示直线时，命题成立；当字母x，y，z都表示平面时，命题也成立；当x，z表示平面，y表示直线时，由相关的判定定理知命题也成立；当x，y表示直线，z表示平面时，x⊥z不一定成立，还有可能x∥z或x与z相交，故①②④正确，③不正确．【答案】①②④16．如图，二面角α－l－β的大小是60°，线段AB⊂α，B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是________．解析如图，作AO⊥β于O，AC⊥l于C，连接OB、OC，则OC⊥l.设AB与β所成角为θ，则∠ABO＝θ，由图得sin θ＝AOAB＝ACAB·AOAC＝sin 30°·sin 60°＝34.【答案】3 4三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)如图所示，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，沿对角线BD把△ABD折起，使点A 在平面BCD上的射影E落在BC上．(1)求证：平面ACD⊥平面ABC;(2)求三棱锥A－BCD的体积．解析(1)∵AE⊥平面BCD，∴AE⊥CD.又BC⊥CD，且AE∩BC＝E，∴CD⊥平面ABC.又CD⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABC.(2)由(1)知，CD⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC，∴CD⊥AB. 又∵AB⊥AD，CD∩AD＝D，∴AB⊥平面ACD.∴V A－BCD＝V B－ACD＝13·S△ACD·AB.又∵在△ACD中，AC⊥CD，AD＝BC＝4，AB ＝CD＝3，∴AC＝AD2－CD2＝42－32＝7.∴V A－BCD＝13×12×7×3×3＝372.18．(12分)如图，四边形ABCD为正方形，四边形BDEF为矩形，AB＝2BF，DE⊥平面ABCD，G为EF的中点．(1)求证：CF∥平面ADE；(2)求证：平面ABG⊥平面CDG；(3)求二面角C－FG－B的余弦值．解析(1)∵BF∥DE，BC∥AD，BF∩BC ＝B，DE∩AD＝D，∴平面CBF∥平面ADE.又CF⊂平面CBF，∴CF∥平面ADE.(2)如图，取AB的中点M，CD的中点N，连接GM、GN、MN、AC、BD，设AC、MN、BD交于O，连接GO.∵四边形ABCD为正方形，四边形BDEF为矩形，AB＝2BF，DE⊥平面ABCD，G为EF的中点，则GO⊥平面ABCD，GO＝12 MN，∴GN⊥MG.又GN⊥DC，AB∥DC，∴GN⊥AB.又AB∩MG＝M，∴GN⊥平面GAB.又GN⊂平面CDG，∴平面ABG ⊥平面CDG .(3)由已知易得CG ⊥FG ，由(2)知GO ⊥EF ， ∴∠CGO 为二面角C －FG －B 的平面角，∴cos ∠CGO ＝GO GC ＝33.19．(12分)(2011·南昌二模)如图所示的多面体ABC －A 1B 1C 1中，三角形ABC 是边长为4的正三角形，AA 1∥BB 1∥CC 1，AA 1⊥平面ABC ，AA 1＝BB 1＝2CC 1＝4.(1)若O 是AB 的中点，求证：OC 1⊥A 1B 1； (2)求平面AB 1C 1与平面A 1B 1C 1所成的角的余弦值．解析 (1)设线段A 1B 1的中点为E ，连接OE ，C 1E .由AA 1⊥平面ABC 得AA 1⊥AB ， 又BB 1∥AA 1且AA 1＝BB 1， 所以AA 1B 1B 是矩形． 又点O 是线段AB 的中点，所以OE∥AA1，所以OE⊥A1B1.由AA1⊥平面ABC得AA1⊥AC，A1A⊥BC.又BB1∥AA1∥CC1，所以BB1⊥BC，CC1⊥AC，CC1⊥BC，且AC＝BC＝4，AA1＝BB1＝4，CC1＝2，所以A1C1＝B1C1，所以C1E⊥A1B1.又C1E∩OE＝E，所以A1B1⊥平面OC1E，因为OC1⊂平面OC1E，所以OC1⊥A1B1.(2)如图，以O为原点，OE→，OA→，OC→所在方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系O－xyz，则A(0,2,0)，A1(4,2,0)，B1(4，－2,0)，C 1(2,0,23)，设平面AB1C1的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB 1→＝0，n 1·AC1→＝0⇒错误!⇒错误!令x 1＝1，则n 1＝(1,1,0)．设平面A 1B 1C 1的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧n 2·A 1B 1→＝0，n 2·A 1C 1→＝0⇒错误!⇒⎩⎨⎧y 2＝0，x 2＝3z 2，令z 2＝1，则n 2＝(3，0,1)．所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝32×2＝64，所以平面AB 1C 1与平面A 1B 1C 1所成的角的余弦值是64.20．(12分)如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，DB＝BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点．(1)求证：B1D1∥平面A1BD；(2)求证：MD⊥AC；(3)试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.解析(1)由直四棱柱概念，得BB1綊DD1，∴四边形BB1D1D是平行四边形，∴B1D1∥BD.而BD⊂平面A1BD，B1D1⊄平面A1BD，∴B1D1∥平面A1BD.(2)∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴BB1⊥AC.又∵BD⊥AC，且BD∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1D1D.而MD⊂平面BB1D1D，∴MD⊥AC.(3)当点M为棱BB1的中点时，取DC的中点N，D1C1的中点N1，连接NN1交DC1于O，连接OM，如图所示．∵N是DC的中点，BD＝BC，∴BN⊥DC.又∵DC是平面ABCD与平面DCC1D1的交线，而平面ABCD⊥平面DCC1D1，∴BN⊥平面DCC1D1.又可证得，O是NN1的中点，∴BM綊ON，即四边形BMON是平行四边形，∴BN∥OM，∴OM⊥平面CC1D1D，∵OM⊂平面DMC1，∴平面DMC1⊥平面CC1D1D.21．(12分)如图所示，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD＝DC＝PD＝2.E，F，G分别为线段PC，PD，BC的中点，现将△PDC折起，使平面PDC⊥平面ABCD.(1)求证：PA∥平面EFG；(2)求二面角G－EF－D的大小．解析(1)∵PE＝EC，PF＝FD，∴EF∥CD.又CD∥AB，∴EF∥AB，∴EF∥平面PAB.同理，EG∥平面PAB.又∵EF∩EG＝E，∴平面PAB∥平面EFG，而PA在平面PAB内，∴PA∥平面EFG.(2)如图，以D为坐标原点，DA，DC，DF所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A(2,0,0)，P(0,0,2)，E(0,1,1)，F(0,0,1)，G(1,2,0)，易知DA→＝(2,0,0)为平面EFD的一个法向量．设平面EFG 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 又EF →＝(0，－1，0)，EG →＝(1,1，－1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·EF →＝0，n ·EG →＝0，得⎩⎨⎧x ，y ，z ·0，－1，0＝0，x ，y ，z ·1，1，－1＝0，即⎩⎨⎧y ＝0，x ＋y －z ＝0，取x ＝1，得n ＝(1,0,1)．设所求二面角为θ，cos θ＝n ·DA→|n ||DA →|＝222＝22， ∴θ＝45°，即二面角G －EF －D 的平面角的大小为45°.22．(12分)在侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，且∠BAD ＝60°，A1A＝AB，E为BB1延长线上的一点，D1E ⊥面D1AC.(1)求二面角E－AC－D1的大小；(2)在D1E上是否存在一点P，使A1P∥平面EAC？若存在，求D1P∶PE的值；若不存在，说明理由．解析设AC与BD交于O，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz，设AB＝2，则A(3，0,0)，B(0,1,0)，C(－3，0,0)，D(0，－1,0)，D1(0，－1,2)，A1(3，0,2)．→＝(0,2，h)，AC→＝(1)设E(0,1,2＋h)，则D1E→＝(3，1，－2)，(－23，0,0)，D1A∵D1E⊥平面D1AC，∴D1E⊥AC，D1E⊥D1A，∴D 1E →·AC →＝0，D 1E →·D 1A →＝0， ∴2－2h ＝0，∴h ＝1，即E (0,1,3)， ∴D 1E →＝(0,2,1)，AE →＝(－3，1,3)． 设平面EAC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则m ⊥AC →，m ⊥AE →，∴⎩⎨⎧x ＝0，－3x ＋y ＋3z ＝0，令z ＝－1，得m ＝(0,3，－1)， ∴cos 〈m ，D 1E →〉＝m ·D 1E→|m ||D 1E →|＝22，∴二面角E －AC －D 1的大小为45°. (2)设D 1P →＝λPE →＝λ(D 1E →－D 1P →)， 则D 1P →＝λ1＋λD 1E →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2λ1＋λ，λ1＋λ， ∴A 1P →＝A 1D 1→＋D 1P →＝(－3，－1,0)＋⎝⎛⎭⎪⎫0，2λ1＋λ，λ1＋λ＝⎝⎛⎭⎪⎫－3，λ－11＋λ，λ1＋λ. ∵A 1P ∥平面EAC ， ∴A 1P →⊥m ， ∴A 1P →·m ＝0，∴－3×0＋3×λ－11＋λ＋(－1)×λ1＋λ＝0，∴λ＝32.∴存在点P 使A 1P ∥平面EAC ， 此时D 1P ∶PE ＝3∶2.。
北京市各地市2013年高考数学 最新联考试题分类汇编(13)概率
北京市各地市2013年高考数学最新联考试题分类汇编（13）概率一、选择题:（4）（北京市昌平区2013年1月高三期末考试理）设不等式组22,42x yxy-+≥≥-⎧⎪⎨⎪⎩≤，表示的平面区域为D．在区域D内随机取一个点，则此点到直线+2=0y的距离大于2的概率是A.4 13B.513C.825D.925二、填空题:（12）(北京市东城区2013年4月高三综合练习一文）从1，3，5，7这四个数中随机地取两个数组成一个两位数，则组成的两位数是5的倍数的概率为．【答案】14三、解答题:（16）(北京市朝阳区2013年4月高三第一次综合练习理)（本小题满分13分）盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数字1,01-，,2．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数字后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响）．（Ⅰ）在一次试验中，求卡片上的数字为正数的概率；（Ⅱ）在四次试验中，求至少有两次卡片上的数字都为正数的概率；（Ⅲ）在两次试验中，记卡片上的数字分别为ξη，，试求随机变量X=ξη⋅的分布列与数学期望EX．（16）（本小题满分13分）（16）(北京市朝阳区2013年4月高三第一次综合练习文)（本小题满分13分）国家环境标准制定的空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表：由全国重点城市环境监测网获得2月份某五天甲城市和乙城市的空气质量指数数据用 茎叶图表示如下：空气质量指数 0-50 51-100101-150 151-200 201-300 300以上空气质量等级 1级优 2级良 3级轻度污染 4级中度污染 5级重度污染 6级严重污染（Ⅰ）试根据上面的统计数据，判断甲、乙两个城市的空气质量指数的方差的大小关系（只需写出结果）；（Ⅱ）试根据上面的统计数据，估计甲城市某一天空气质量等级为2级良的概率；（Ⅲ）分别从甲城市和乙城市的统计数据中任取一个，试求这两个城市空气质量等级相同的概率．(注：])()()[(1222212x x x x x x ns n -++-+-=Λ，其中x 为数据n x x x ,,,21Λ的平均数.) （16）（本小题满分13分）级良的为甲53，甲57，甲75，乙55，乙58，乙78.则空气质量等级相同的为： （29，41），（29，43），（53，55），（53，58），（53，78）, （57，55），（57，58），（57，78），（75，55），（75，58），（75，78）.共11个结果.则11()25P A =. 所以这两个城市空气质量等级相同的概率为1125． …………………………………………………………………13分（17）(北京市东城区2013年4月高三综合练习一文）（本小题共13分）为了解高三学生综合素质测评情况，对2000名高三学生的测评结果进行了统计，其中优秀、良好、 优秀 良好 合格男生人数x 380 373女生人数y 370 37780份进行比较分析，应抽取综合素质测评结果是优秀等级的多少份？（Ⅱ）若245x ≥，245y ≥，求优秀等级的学生中男生人数比女生人数多的概率．（17）（共13分）解：（Ⅰ）由表可知，优秀等级的学生人数为： 2000(380373370377)500x y +=-+++=．17. (北京市房山区2013年4月高三第一次模拟理)（本小题满分13分）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米:75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．PM2.5日均值(微克/立方米)2 83 7 14 3 4 45 56 3 8某城市环保局从该市市区2012年全年每天的PM2.5监测数据中随机的抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）．（Ⅰ）从这15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天数据，求恰有一天空气质量达到一级的概率；（Ⅱ）从这15天的数据中任取三天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据这15天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按365天计算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级．17（本小题满分13分）（Ⅰ）从茎叶图可知，空气质量为一级的有4天，为二级的有6天，超标的有5天（说明：答243天，244天不扣分）17．(北京市西城区2013年4月高三一模文)（本小题满分13分）7 98 6 39 2 5某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元， 超过1小时的部分每小时收费8元（不足1小时的部分按1小时计算）．现有甲、乙二人在该商区临时停车，两人停车都不超过4小时．（Ⅰ）若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为31，停车付费多于14元的概率为125，求甲 停车付费恰为6元的概率；（Ⅱ）若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为36元的概率． 17．（本小题满分13分）16. (北京市海淀区2013年4月高三第二学期期中练习理)（本小题满分13分）在某大学自主招生考试中，所有选报II 类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A,B,C,D,E 五个等级. 某考场考生两科的考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B 的考生有10人. （I ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A 的人数； （II ）若等级A ，B ，C ，D ，E 分别对应5分，4分，3分，2分，1分. （i ）求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；(ii)若该考场共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分. 从这10人中随机抽取两人，求两人成绩之和的分布列和数学期望.16.解：（Ｉ）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B 的考生有10人， 所以该考场有100.2540÷=人………………1分17．（北京市丰台区2013年高三第二学期统一练习一文）（本题13分）在一次抽奖活动中，有a、b、c、d、e、f 共6人获得抽奖的机会。
启东中学2013届高三数学综合训练 含答案
启东中学2013届高三数学（综合）训练三一、填空题（本题共14题，每题5分，计70分，请把答案填写在答题．．纸．相应位置上．．．．．） 1.已知R 为实数集，2{|20},{|1}M x x x N x x =-<=≥，则=)(N C M R . 2.命题:“(0,)x ∀∈+∞,210x x ++>”的否定是 . 3.已知()()i 1i z a =-+（a ∈R ，i 为虚数单位），若复数z 在复平面内对应的点在实轴上，则a = ． 4.设不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤20,20y x ，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是____ ____.5.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的s 值 等于______.6.椭圆()222210x y a b a b=>>+的右焦点为1F ，右准线为1l ，若过点1F 且垂直于x 轴的弦的弦长等于点1F 到1l 的距离，则椭圆的离心率是 ．7．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DC DE ⋅的最大值为______. 8.设,,a b R ∈且2,a ≠若定义在区间(),b b -内的函数()1lg 12axf x x+=+是奇函数，则a b +的取值范围是 .9.巳知函数))2,0((cos )(π∈=x x x f 有两个不同的零点21,x x ，且方程m x f =)(有两个不同的实根43,x x .若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m 的值为____ ______.10.关于x 的不等式2x ＋25＋|3x －52x |≥ax 在[1，12]上恒成立，则实数a 的取值范围是 .11.已知正数x ，y 满足(1＋x )(1＋2y )＝2，则4xy ＋1xy 的最小值是____ 。
12.已知函数()4322f x x ax x b =+++，其中,a b ∈R ．若函数()f x 仅在0x =处有极值，则a 的取值范围是 ．13.已知)(,,c b a c b a <<成等差数列，将其中的两个数交换，得到的三个数依次成等比数列，则2222a c b +的值为 ．14.如图，用一块形状为半椭圆1422=+y x )0(≥y 的铁皮截取一个以短轴BC 为底的等腰梯形ABCD ，记所得等腰梯形ABCD 的面积为S ，则1S的最小值是 ．二、解答题(本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. （本小题满分14分）在△ABC 中，,,A B C 为三个内角,,a b c 为三条边，23ππ<<C ，且.2sin sin 2sin CA Cb a b -=- （I ）判断△ABC 的形状；（II ）若||2BA BC +=，求BA BC ⋅的取值范围．16．（本小题满分14分）如图，四边形ABCD 是矩形，平面ABCD ⊥平面BCE ，BE ⊥EC. （1） 求证：平面AEC ⊥平面ABE ； （2） 点F 在BE 上，若DE ∥平面ACF ，求BEBF的值．ABCDxyo17．（本小题满分15分）已知椭圆C ：x 2 a 2 +y 2 b 2 =1(a ＞b ＞0)的离心率为1 2 ，且经过点P (1，3 2).（I ）求椭圆C 的方程；（II ）设F 是椭圆C 的右焦点，M 为椭圆上一点，以M 为圆心，MF 为半径作圆M .问点M 满足什么条件时，圆M 与y 轴有两个交点?(Ⅲ)设圆M 与y 轴交于D 、E 两点，求点D 、E 距离的最大值.18. （本小题满分15分）如图，AB 是沿太湖南北方向道路,P 为太湖中观光岛屿, Q 为停车场， 5.2PQ =km ．某旅游团游览完岛屿后，乘游船回停车场Q ,已知游船以13km/h 的速度沿方位角θ的方向行驶，135sin =θ．游船离开观光岛屿3分钟后，因事耽搁没有来得及登上游船的游客甲为了及时赶到停车地点Q 与旅游团会合，立即决定租用小船先到达湖滨大道M 处，然后乘出租汽车到点Q (设游客甲到达湖滨大道后能立即乘到出租车)．假设游客甲乘小船行驶的方位角是α，出租汽车的速度为66km/h ．(Ⅰ)设54sin =α，问小船的速度为多少km/h 时，游客甲才能和游船同时到达点Q ； (Ⅱ)设小船速度为10km/h ，请你替该游客设计小船行驶的方位角α，当角α余弦值的大小是多少时，游客甲能按计划以最短时间到达Q ．19．(本小题满分16分)已知各项均为正数的等差数列{}n a 的公差d 不等于0，设13,,k a a a 是公比为q 的等比数列{}n b 的前三项，（I ）若k=7，12a =（i ）求数列{}n n a b 的前n 项和T n ；（ii ）将数列{}n a 和{}n b 的相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列{}n c ，设其前n 项和为S n ，求211*21232(2,)n n n n S n n N -----+⋅≥∈的值；（II ）若存在m>k,*m N ∈使得13,,,k m a a a a 成等比数列，求证k 为奇数.20.(本小题满分16分)已知函数x a x g b x x x f ln )(,)(23=++-=． （I ）若)(x f 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈1,21x 上的最大值为83，求实数b 的值；（II ）若对任意[]e x ,1∈，都有x a x x g )2()(2++-≥恒成立，求实数a 的取值范围； (Ⅲ)在（1）的条件下，设()()⎩⎨⎧≥<=1,1,)(x x g x x f x F ，对任意给定的正实数a ，曲线)(x F y =上是否存在两点Q P ,，使得POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形（O 为坐标原点），且此三角形斜边中点在y 轴上？请说明理由．参考答案一、填空题1. {|01}x x <<2.01),,0(2≤+++∞∈∃x x x 3.14. 44π-5. 3-6. 217. 1 8.]23,2(--10.]10,(-∞ 11. 12 12.88,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦13．10二、解答题15. (Ⅰ)解：由CA Cb a b 2sin sin 2sin -=-及正弦定理有：C B 2sin sin = ∴2B C =或π=+C B 2若2B C=，且32C ππ<<，∴23B ππ<<，)(舍π>+C B ；∴2B C π+=，则A C =，∴ABC ∆为等腰三角形．………………7分(Ⅱ)∵ ||2BA BC +=，∴222cos 4a c ac B ++⋅=，∴222cos ()a B a c a-==，而C B 2cos cos -=，∴1cos 12B <<，∴2413a <<，∴2(,1)3BA BC ⋅∈． (14)分16.解：（1）证明：因为ABCD 为矩形，所以AB ⊥BC ；又因为平面ABCD ⊥平面BCE ，且平面ABCD ∩平面BCE ＝BC ，AB ⊂面ABCD ， 所以AB ⊥平面BCE ， ……………………3分 因为CE ⊂平面BCE ，所以CE ⊥AB ………………3分 又因为CE ⊥BE ，AB ⊂面ABE ，BE ⊂面ABE ，AB ∩BE ＝B ， 所以CE ⊥面ABE ………………6分 又CE ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面ABE ；…………………8分 （2）连结BD 交AC 于点O ，连结OF ，因为DE ∥平面ACF ，DE ⊂平面BDE ，平面ACF ∩平面BDF ＝OF ，所以DE ∥OF ， ………………12分 又因为矩形ABCD 中，O 为BD 中点，所以F 为BE 的中点，从而BF ：BE ＝1：2． ………………………14分 17.解：(Ⅰ)∵椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2 =1(a ＞b ＞0)的离心率为1 2 ，且经过点P (1，32)，∴⎩⎨⎧a 2-b 2 a =121 a2 +9 4b 2=1，即 ⎩⎪⎨⎪⎧3a 2-4b 2=01 a 2 +9 4b 2 =1，解得 ⎩⎨⎧a 2=4b 2=3，∴椭圆C 的方程为x 2 4 +y 23=1。
2013年高二数学课后提分章综合训练第3章《概率》(新人教A版必修3)
（三）第三章（120分钟 150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.从一批产品（其中正品、次品都多于两件）中任取两件，观察正品件数和次品件数，下列事件是互斥事件的是（）①恰有一件次品和恰有两件次品；②至少有一件次品和全是次品；③至少有一件正品和至少有一件次品；④至少有一件次品和全是正品.（A）①②（B）①④（C）③④（D）①③2.在400毫升自来水中有一个大肠杆菌,今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察,求发现大肠杆菌的概率为（）（A）0.005 （B）0.004 （C）0.001 （D）0.0023.先后抛掷两枚骰子，设出现的点数之和是12,11,10的概率依次是P1,P2,P3，则（）（A）P1=P2<P3 （B）P1<P2<P3（C）P1<P2=P3 （D）P3=P2<P14.（2012·德州高一检测）抽查10件产品，设事件A：至少有两件次品，则A的对立事件为（）（A）至多两件次品（B）至多一件次品（C）至多两件正品（D）至少两件正品5.把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（）（A）对立事件（B）互斥但不对立事件（C）不可能事件（D）必然事件6.（易错题）分别写上数字1，2，3，…，9的9张卡片中，任取2张，观察上面的数字，两数之积为完全平方数的概率是（）1215（）（）（）（）A B C D99397.小莉与小明一起用A,B两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）玩游戏，以小莉掷的A立方体朝上的数字为x，小明掷的B立方体朝上的数字为y，来确定点P（x，y），那么他们各掷一次所确定的点P（x，y）落在已知抛物线y=-x2+4x上的概率为（）1111（）（）（）（）A B C D6912188.（2012·银川高一检测）甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲紧接着排在乙的前面值班的概率是（）1111（）（）（）（）A B C D64329.从标有1，2，3，4的卡片中先后抽出两张卡片，则号码4“在第一次被抽到的概率”、“在第一次未被抽到而第二次被抽到的概率”、“在整个抽样过程中被抽到的概率”分别是（）111111111111A B C D 432434442422（），， （），， （），， （），， 10.如图，一颗豆子随机扔到桌面上，假设豆子不落在线上，则它落在阴影区域的概率为（ ）1121A B C D 9633（） （） （） （）11.如图，，四个全等的直角三角形围成一个小正方形，即阴影区域．较短的直角边长为2，现向大正方形靶盘投掷飞镖，则飞镖落在阴影区域的概率为（ ）4213A B C D 13131313（） （） （） （） 12.（易错题）如图，圆C 内切于扇形AOB ，AOB 3π∠=，若在扇形AOB 内任取一点，则该点在圆C 内的概率为（ ）1123（）（）（）（）A B C D6334二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中的横线上）13.如图，在一个边长为3 cm的正方形内部画一个边长为2 cm的正方形，向大正方形内随机投点，则所投的点落入小正方形内的概率是_________.14.从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得为黑桃”，则概率P（A∪B）=__________（结果用最简分数表示）.15.（2011·江西高考）小波用做游戏的方式来确定周末活动，他随，则周末去看机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则去打篮球；否则，在家看书.电影；若此点到圆心的距离小于14则小波周末不在家看书的概率为_________.16.如图，利用随机模拟的方法可以估计图中由曲线2x=与两直线y2x=2及y=0所围成的阴影部分的面积S：①先产生两组0～1的均匀随机数，a=rand（），b=rand （）；②做变换，令x=2a，y=2b；③产生N个点（x，y），并统计满足条件2x<的点（x，y）的个数N1，已知某同学用计算器做模拟试验结果，y2当N=1 000时，N1=332，则据此可估计S的值为________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM的长小于AC的长的概率.18.（12分）投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面中，有两个面的数字是0，两个面的数字是2，两个面的数字是4.将此玩具连续抛掷两次，以两次朝上一面出现的数字分别作为点P的横坐标和纵坐标.（1）求点P落在区域C:x2+y2≤10上的概率；（2）若以落在区域C上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域M，在区域C上随机撒一粒豆子，求豆子落在区域M上的概率.19.（12分）口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人玩一种游戏：甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲胜，否则算乙胜.（1）求甲胜且编号的和为6的事件发生的概率；（2）这种游戏规则公平吗?试说明理由.20.（12分）（能力题）某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别，公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料.若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为合格.假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力.（1）求此人被评为优秀的概率；（2）求此人被评为良好及以上的概率.21.（12分）平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r<a 的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任一条平行线相碰的概率.22.（12分）（能力题）某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：（1）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a,b,c的值；（2）在（1）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1,x2,x3，等级系数为5的2件日用品记为y1,y2，现从x1,x2,x3,y1,y2这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率.答案解析1.【解析】选B.∵从一批产品中任取两件，观察正品件数和次品件数，其中正品、次品都多于两件，∴恰有一件次品和恰有两件次品是互斥的，至少有一件次品和全是正品是互斥的，∴①④是互斥事件，故选B．2.【解析】选A.由于取水样的随机性,所求事件的概率等于水样的体积与总体积之比，即20.005.4003.【解题指南】我们列出先后抛掷两枚骰子出现的点数的所有的基本事件个数，再分别求出点数之和是12,11,10的基本事件个数，进而求出点数之和是12,11,10的概率P 1,P 2,P 3，即可得到它们的大小关系．【解析】选B.先后抛掷两枚骰子，出现的点数共有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）共36种，其中点数之和是12的有1种，故11P 36=；点数之和是11的有2种，故22P 36=；点数之和是10的有3种，故33P 36=，故P 1＜P 2＜P 3，故选B. 4.【解析】选B.事件A 的对立事件是至多一件次品，故选B.5.【解析】选B.根据题意，把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生，故两者是互斥事件，但除了“甲分得红牌”与“乙分得红牌”之外，还有“丙分得红牌”，故两者不是对立事件，所以事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件．6.【解析】选A.从1，2，3，…，9的9张卡片中，任取2张共有36种取法，其中两数之积为完全平方数的有1×9,4×9,1×4,2×8共4个，故所求概率为41369＝. 7.【解析】选C.根据题意，两人各掷骰子一次，每人都有六种可能性，则（x ，y ）的情况有6×6=36（种），即P 点有36种可能，而y=-x 2+4x=-（x-2）2+4，即（x-2）2+y=4，易得在抛物线上的点有（2，4），（1，3），（3，3）共3个，因此满足条件的概率为313612=． 8.【解析】选C.甲、乙、丙三人在3天中值班的情况为甲、乙、丙；甲、丙、乙；丙、甲、乙；丙、乙、甲；乙、甲、丙；乙、丙、甲共6种，其中符合题意的有2种，故所求概率为13.9.【解析】选C.第一次抽，每张卡片被抽到的概率相同，∴号码4在第一次被抽到的概率为14；号码4在第一次未被抽到而第二次被抽到的概率为311434⨯=⨯；号码4在整个抽样过程中被抽到的概率为111442+=.10.【解析】选D.由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的事件对应的图形是一个大正方形，若设大正方形的边长是3，则大正方形的面积是9，满足条件的事件是三个小正方形，面积和是3，∴落在图中阴影部分中的概率是3193=．11.【解析】选C.根据题意，图中四个全等的直角三角形直角边分别是3和2，则阴影区域的正方形的边长为1，面积为1；大正方形的13，故飞镖落在阴影区域的概率为113. 12.【解析】选C.设圆O 的半径为1，圆C 的半径为r,如图所示，∠COB=6π,∴OC=2r,∴2r+r=1,∴r=13,∴S 圆C =9π. 又OAB 1S 1,236ππ=⨯⨯=扇形 ∴所求概率29P 36π==π，故选C.13.【解析】由题图可知，小正方形的面积为大正方形面积的49，故所求的概率为49. 答案：4914.【解析】考查互斥事件概率公式1137P A B 525226⋃=+=（）. 答案：726 15.【解题指南】根据条件先求出小波周末去看电影的概率，再求出他去打篮球的概率，易得周末不在家看书的概率.【解析】记“看电影”为事件A ， “打篮球”为事件B ，“不在家看书”为事件C. 221113124P A 11P B 144116ππ=-=-===ππ（）（）（），（），∴3113P C P A P B .41616=+=+=（）（）（） 答案：131616.【解题指南】先由计算器做模拟试验结果估计满足条件2x y 2<的点（x ，y ）的概率，再转化为几何概型的面积求解．【解析】根据题意：满足条件2x y 2<的点（x ，y ）的概率是3321 000，矩形的面积为4，则有S 3324 1 000=，∴S=1.328. 答案：1.328 17.【解析】如图，在AB 上截取AC ′=AC ，于是P （AM ＜AC ）=P （AM ＜AC ′）=AC AC AB AB '==18.【解析】（1）点P 的坐标有：（0，0），（0，2），（0，4），（2，0），（2，2），（2，4），（4，0），（4，2），（4，4）共9种，其中落在区域C ：x 2+y 2≤10上的点P 的坐标有（0，0），（0，2），（2，0），（2，2）共4种，故点P 落在区域C:x 2+y 2≤10上的概率为4.9（2）区域M 为一边长为2的正方形，其面积为4，区域C 的面积为10π，则豆子落在区域M 上的概率为25π. 19.【解析】（1）设“甲胜且两数字之和为6”为事件A ，事件A 包含的基本事件为（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）共5个. 又甲、乙二人取出的数字共有5×5＝25（个）等可能的结果，所以51P A 255==（）． （2）这种游戏规则不公平．设“甲胜”为事件B ，“乙胜”为事件C ，则甲胜即两数字之和为偶数所包含的基本事件数为13个：（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（5，1），（5，3），（5，5）． 所以甲胜的概率13P B 25=（），从而乙胜的概率1312P C 12525（）＝－＝，由于P （B ）≠P （C ），所以这种游戏规则不公平．20.【解题指南】首先将所有情况一一列举出来，共有10种情况，结合题意可得此人被评为优秀及被评为良好及以上的概率.【解析】将5杯饮料编号为：1,2,3,4,5，编号1,2,3表示A 饮料，编号4，5表示B 饮料，则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为：（123），（124），（125），（134），（135），（145），（234），（235），（245），（345），共有10种，令D 表示此人被评为优秀的事件，E 表示此人被评为良好的事件，F 表示此人被评为良好及以上的事件，则（1）1P D 10=（）. （2）37P E ,P F P D P E 510==+=（）（）（）（）. 21.【解析】记事件A ：“硬币不与任一条平行线相碰”.为了确定硬币的位置，由硬币中心O 向靠得最近的平行线引垂线OM ，垂足为M ，如图，这样线段OM 长度（记作|OM|）的取值范围是［0，a ］，只有当r ＜|OM|≤a 时，硬币不与平行线相碰，所以r,a a r P A .0,a a-==（］的长度（）［］的长度 22.【解题指南】（1）由等级系数为4和5的件数可求得频率b,c 的值，再由频率和为1求得a 的值;（2）此问属于求古典概型的概率问题，用列举法可求.【解析】（1）由频率分布表得a+0.2+0.45+b+c=1，即a+b+c=0.35. 因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以b=3=0.15.20=0.1，等级系数为5的恰有2件，所以c=220从而a=0.35-b-c=0.1，所以a=0.1,b=0.15,c=0.1.（2）从日用品x1,x2,x3,y1,y2中任取两件，所有可能情况为：{x1,x2},{x1,x3}，{x1,y1},{x1,y2},{x2,x3},{x2,y1},{x2,y2},{x3,y1},{x3,y2},{y1,y2}. 设事件A表示“从日用品x1,x2,x3,y1,y2中任取两件，其等级系数相等”，则A包含的基本事件为{x1,x2},{x1,x3},{x2,x3},{y1,y2}共4个.又基本事件的总数为10,故所求的概率P（A）=4=0.4.10。
高三数学综合试题2013.10[1]
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高三数学综合试题2013.10[1]高三数学综合试题一、选择题（每题4分共56分）1、若直线210x y +-=的倾斜角为α，则sin 2α的值为____45-__________。
2、若复数z 满足：4z z +=，5z z ⋅=，则z z -=_____2______。
3、关于x 、y 的二元线性方程组25,32x my nx y +=⎧⎨-=⎩的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛110301，则x y +=4 . 4、已知集合A n={}Nn m m x x x n n∈+=<<+,,17,221且,则A6中各元素之和是____891___。
5、右图是某算法的程序框图，该算法可表示分段函数，则其输出的结果所表示的分段函数为()f x =1,00,01,0x x x >⎧⎪=⎨⎪-<⎩.6、函数1)(-=x x f 的反函数是=-)(1x f_____12+x （0≥x ）______．7、（文）不等式组33390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩表示平面区域的面积为开始x输入0x >1y ←0x <1y ←-0y ←结束y输出是是否否第7题图____15____。
（理）已知圆的极坐标方程为2sin ρθ=，则圆心的极坐标为(1,)2π． 8、方程 2cos()24x π-=在区间()0,π内的解集 2π⎧⎫⎨⎬⎩⎭9、设a 为()sin 3x x x R ∈的最大值，则二项式6(ax x展开式中含2x 项的系数是 -192 ． 10、已知x 是1、2、x 、4、5这五个数据的中位数，又知1-、5、1x -、y 这四个数据的平均数为3，则x y +最小值为 1102. 11、（理）已知球面上有A 、B 、C 三点，AB=AC=2，BC=22，球心到平面ABC 的距离为1，则球的表面积为__π12_______.（文）已知正四棱柱的一条对角线长为22，底面边长为1，则此正四棱柱的表面积为_____642+____.12、已知对于任意正整数n ，都有321n a aa n =+++Λ，则)111111(lim 32-++-+-+∞→n n a a a Λ= 31 ． 13、（理）已知关于x 2lg (211)10xx t -+-=有实数解，则实数t 的范围是(,0]t ∈-∞（文）若不等式11x a --≤的解集非空，则整数a 的最小值是1- ． 14、（理）若存在实数R a ∈，使得不等式x x a b -+<对于任意的]1,0[∈x 都成立，则实数b 的取值范围是322<-+b ．（文）若关于x 的方程2x x a x -=-有三个不同的解，则实数a 的取值范围是212<->或a a 二、填空题（每题5分共20分）15、以下向量中，能成为以行列式形式表示的直线方程10121011xy =的一个法向量的是 （ A ）A ． ()1,2n =-r ； B. ()2,1n =-r ； C. ()1,2n =--r; D. ()2,1n =r.16、1i +是实系数方程20x ax b --=的一个虚数根，则直线1ax by +=与圆C ：221x y +=交点的个数是（ A ） A ．2 B ．1 C ．0 D ．以上都可能 17、定义在),0()0,(+∞-∞Y 上的奇函数)(x f 在),0(+∞上是减函数，且在0>x 时，)(x f 的图像如下图所示，则不等式0)]()([>--x f x f x 的解集为…………（ D ）A ．)2,0()2,(Y --∞B ．),2()2,(+∞-YC ．),2()0,2(+∞-YD ．)2,0()0,2(Y -第172 Oyx18、如图，一质点A 从原点O 出发沿向量1(3,1)OA =u u u u r 到达点1A ，再沿y 轴正方向从点1A 前进11||2OA u u u u r 到达点2A ，再沿1OA u u u u r的方向从点2A 前进121||2A A u u u u ur 到达点3A ，再沿y 轴正方向从点3A 前进231||2A A u u u u r到达点4A ，L，这样无限前进下去，则质点A 最终到达的点的坐标是 （D ）(A)234(234)2n--. (B)(23,4).(C)434388)334n-⋅. (D)438(,)33.三、解答题(共74分)19、（本题满分12分）第1小题满分7分，第2小题满分5分在△ABC 中，c b a 、、是内角A 、B 、C 的对边，O1(3,1)A 2A 3A 4A xy且acb=2，43cos =B 。
2013年全国高考理科数学试题分类汇编11：概率与统计Word版含答案
2013 年全国高考理科数学试题分类汇编11：概率与统计一、选择题1 ．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试辽宁数学（理）试题（WORD版））某学校组织学生参加英语测试, 成绩的频次散布直方图如图, 数据的分组一次为20,40 , 40,60 , 60,80 ,8 20,100 . 若低于60分的人数是15人,则该班的学生人数是（）A．45B．50C．55D．60【答案】B2 ．（ 2013 年高考陕西卷（理））某单位有840 名员工 ,现采纳系统抽样方法,抽取42人做问卷检查 ,将840人按1, 2, , 840随机编,则抽取的42 人中 ,编落入区间[481,720]的人数为（）A． 11B． 12C． 13D． 14【答案】B50 名学3 ．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））某班级有生, 此中有 30 名男生和 20 名女生 , 随机咨询了该班五名男生和五名女生在某次数学测试中的成绩, 五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.以下说法必定正确的选项是（）A．这类抽样方法是一种分层抽样B．这类抽样方法是一种系统抽样C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D．该班级男生成绩的均匀数小于该班女生成绩的均匀数【答案】 C4．（ 2013 年高考湖南卷（理））某学校有男、女学生各500名 . 为认识男女学生在学习兴趣与业余喜好方面能否存在明显差别, 拟从全体学生中抽取100 名学生进行检查 , 则宜采用的抽样方法是（）A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．分层抽样法【答案】 D5．（ 2013 年高考陕西卷（理））如图,在矩形地区的 ,两点处各有一个通讯基站,假ABCD A C设其信覆盖范围分别是扇形地区ADE和扇形地区 CBF(该矩形地区内无其余信根源,基站工作正常 ).若在该矩形地区内随机地选一地址, 则该地址无．信的概率是DF C1EA2B（）A ． 1B ．1C ． 2D ．4224【答案】 A6 ．（ 2013 年高考四川卷（理） ） 日里某家前的 上挂了两串彩灯 , 两串彩灯的第一次亮相互独立 , 若接通 后的 4 秒内任一 刻等可能 生 , 而后每串彩灯在内 4 秒 隔亮, 那么 两串彩灯同 通 后 , 它 第一次 亮的 刻相差不超2 秒的概率是（）A ．1B ．1C ．3D ．7424 8【答案】 C7 ．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试福建数学（理）试题（纯 WORD 版）） 某校从高一年学生中随机抽取部分学生, 将他 的模 成 分 6 :[40,50), [50,60),[60,70), [70,80), [80,90), [90,100) 加以 , 获取如 所示的 率散布直方 , 已知高一年 共有学生600 名 , 据此估 , 模 成 许多于 60 分的学生人数 （）A ． 588B ． 480C ． 450D ． 120【答案】 B8 ．（ 2013 年高考江西卷（理） ） 体有 01,02, ⋯,19,20的 20 个个体 成。
常州市2013届高三教学期末调研测试
常州市2013届高三教学期末调研测试数学Ⅰ试题2013．1参考公式：样本数据1x ，2x ，… ，n x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中x =11n i i x n =∑．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡．．．相对应．．．位置上．．．． 1．设集合{A =，{}B a =，若B A ⊆，则实数a 的值为 ▲ ． 2． 已知复数1i z =-+（i 为虚数单位），计算：z zz z⋅-= ▲ ． 3． 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线经过点(1,2)，则该双曲线的离心率的值为 ▲ ．4． 根据右图所示的算法，可知输出的结果为 ▲ ．5． 已知某拍卖行组织拍卖的10幅名画中，有2幅是膺品．某人在这次拍卖中随机买入了一幅画，则此人买入的这幅画是膺品的事件的概率为 ▲ ． 6． 函数(1)()coscos22x x f x -=的最小正周期为 ▲ ． 7． 函数22()log (4)f x x =-的值域为 ▲ ．8． 已知点(1,1)A 和点(1,3)B --在曲线C ：32(,,y ax bx d a b d =++为常数)上，若曲线在点A和点B 处的切线互相平行，则32a b d++= ▲ ．102321Pr int n S n While S S S n n End While n++ ≤ ←←0←←4(第题)9． 已知向量a ，b 满足()22,4a b +=-，()38,16a b -=-，则向量a ，b 的夹角的大小为 ▲ ． 10．给出下列命题：（1）若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；（2）若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； （3）若两条平行直线中的一条垂直于直线m ，那么另一条直线也与直线m 垂直； （4）若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中，所有真命题的序号为 ▲ ．11．已知函数f (x )＝32,2,(1),02x x x x ⎧⎪⎨⎪-<<⎩≥，若关于x 的方程f (x )＝kx 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是 ▲ ．12．已知数列{}n a 满足143a =，()*11226n n a n N a +-=∈+，则11ni ia =∑= ▲ ． 13．在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：224x y +=分别交x 轴正半轴及y 轴负半轴于M ，N两点，点P 为圆C 上任意一点，则PM PN ⋅的最大值为 ▲ ． 14．已知实数,x y 同时满足54276x y --+=，2741log log 6y x -≥，2741y x -≤，则x y +的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知,αβ均为锐角，且3sin 5α=，1tan()3αβ-=-． （1）求sin()αβ-的值； （2）求cos β的值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，CD ∥AB ， 22AB AD =，3CD =，直线P A 与底面ABCD 所成角为60°，点M 、N 分别是P A ，PB 的中点． （1）求证：MN ∥平面PCD ；（2）求证：四边形MNCD 是直角梯形； （3）求证：DN ⊥平面PCB ．17．（本小题满分14分）第八届中国花博会将于2013年9月在常州举办，展览园指挥中心所用地块的形状是大小一定的矩形ABCD ，BC a =，CD b =．a ，b 为常数且满足b a <.组委会决定从该矩形地块中划出一个直角三角形地块AEF 建游客休息区（点E ，F 分别在线段AB ，AD 上），且该直角三角形AEF 的周长为l （2l b >），如图．设AE x =，△AEF 的面积为S ．（1）求S 关于x 的函数关系式；（2）试确定点E 的位置，使得直角三角形地 块AEF 的面积S 最大，并求出S18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知12,F F 分别是椭圆E :22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，A ，B 分别是椭圆E 的左、右顶点，且2250AF BF +=. （1）求椭圆E 的离心率；（2）已知点()1,0D 为线段2OF 的中点，M 为椭圆E 上的动点（异于点A 、B ），连接1MF 并延长交椭圆E 于点N ，连接MD 、ND 并分别延长交椭圆E 于点P 、Q ，连接PQ ，设直线MN 、PQ 的斜率存有且分别为1k 、2k ，试问是否存有常数λ，使得120k k λ+=恒成立？若存有，求出λ的值；若不存有，说明理由.FE baBDC A19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 是等差数列，12315a a a ++=，数列{}n b 是等比数列，12327b b b =． （1）若1243,a b a b ==．求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若112233,,a b a b a b +++是正整数且成等比数列，求3a 的最大值．20．（本小题满分16分）已知函数()ln f x x x a x =--.（1）若a =1，求函数()f x 在区间[1,]e 的最大值; （2）求函数()f x 的单调区间；（3）若()0f x >恒成立，求a 的取值范围．2013届高三教学期末调研测试 数学Ⅱ（附加题）2013．121．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的直径，,C F 是⊙O 上的两点，OC ⊥AB ， 过点F 作⊙O 的切线FD 交AB 的延长线于点D ．连结CF 交AB 于点E .求证：2DE DB DA =⋅.B ．选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c A 33，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111α，属于特征值1的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=232α．求矩阵A 的逆矩阵． C ．选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的极坐标方程为cos 13πρθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，曲线2C 的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭，判断两曲线的位置关系． D ．选修4—5：不等式选讲设2()14,||1f x x x x a =-+-<且，求证：|()()|2(||1)f x f a a -<+．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22． (本小题满分10分)袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为512．现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，每次摸取1个球，取出的球不放回，直到其中有一人取到白球时终止．用X 表示取球终止时取球的总次数． （1）求袋中原有白球的个数；（2）求随机变量X 的概率分布及数学期望()E X ． 23．(本小题满分10分)空间内有n 个平面，设这n 个平面最多将空间分成n a 个部分. （1）求1234,,,a a a a ；（2）写出n a 关于n 的表达式并用数学归纳法证明.2013届高三教学期末调研测试数学Ⅰ试题参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．0 2．i - 3.4. 11 5．8156．2 7．(,2]-∞ 8．7 9． 10．()1、()3、()411．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 12．2324n n ⋅-- 13． 4+ 14．56⎧⎫⎨⎬⎩⎭二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．解：（1）∵π,(0,)2αβ∈，从而ππ22αβ-<-<．又∵1tan()03αβ-=-<，∴π02αβ-<-<． …………………………4分∴sin()αβ-=． ………………………………6分（2）由（1）可得，cos()αβ- ∵α为锐角，3sin 5α=，∴4cos 5α=． ……………………………………10分∴cos cos[()]cos cos()sin sin()βααβααβααβ=--=-+- …………12分=43(55⨯ …………………………14分 16．证明：（1）因为点M ，N 分别是P A ，PB 的中点，所以MN ∥AB ．…………………2分因为CD ∥AB ，所以MN ∥CD ．又CD ⊂平面PCD ， MN ⊄平面PCD ，所以MN ∥平面PCD . ……4分（2）因为AD ⊥AB ，CD ∥AB ，所以CD ⊥AD ，又因为PD ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， 所以CD ⊥PD ，又ADPD D =，所以CD ⊥平面PAD ．……………6分因为MD ⊂平面PAD ，所以CD ⊥MD ，所以四边形MNCD 是直角梯形．……………………………………8分 （3）因为PD ⊥底面ABCD ，所以∠PAD 就是直线PA 与底面ABCD 所成的角，从而∠PAD = 60． …………………………9分在Rt △PDA 中，AD ，PD =，PA =MD在直角梯形MNCD中，1MN =，ND ，3CD =，CN ==从而222DN CN CD +=，所以DN ⊥CN ． …………………………11分在Rt △PDB 中，PD = DB ， N 是PB 的中点，则DN ⊥PB ．……13分 又因为PB CN N =，所以DN ⊥平面PCB ． …………………14分17．解：（1）设AF y =，则x y l +=，整理，得222()l lxy l x -=-．………3分2(2)4(12)l l x S lx x xy --==，](0,x b ∈． …………………………………4分（2）()()]22'22242,(0,44l x lx l l S x x x b x l x l ⎛⎫⎛⎫-+=⋅=⋅∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∴当b ≤时，'0S >，S 在](0,b 递增，故当x b =时，()()max 24bl b l S b l -=-；当b >时，在x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭上，'0S >，S 递增，在,x b ⎫∈⎪⎪⎝⎭上，'0S <，S 递减，故当x =时，2max S =. 18．解：（1）2250AF BF +=，225AF F B ∴=.()5a c a c ∴+=-，化简得23a c =，故椭圆E 的离心率为23.（2）存有满足条件的常数λ，47=-.点()1,0D 为线段2OF 的中点，2c ∴=，从而3a =，b =()12,0F -，椭圆E 的方程为22195x y +=.设()11,M x y ，()22,N x y ，()33,P x y ，()44,Q x y ，则直线MD 的方程为1111x x y y -=+，代入椭圆方程22195x y +=，整理得，2112115140x x y y y y --+-=.()1113115y x y y x -+=-，13145y y x ∴=-.从而131595x x x -=-，故点1111594,55x y P x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭.同理，点2222594,55x y Q x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭.三点M 、1F 、N 共线，121222y y x x ∴=++，从而()1221122x y x y y y -=-.从而()()()()121221121234121212341212124457557595944455y y x y x y y y y y y y x x k k x x x x x x x x x x --+-----=====--------.故21407kk -=，从而存有满足条件的常数λ，47=-.19．解：（1）由题得225,3a b ==，所以123a b ==，从而等差数列{}n a 的公差2d =，所以21n a n =+，从而349b a ==，所以13n n b -=． ……………………3分（2）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，则15a d =-，13b q=，35a d =+，33b q =.因为112233,,a b a b a b +++成等比数列，所以2113322()()()64a b a b a b +⋅+=+=．设1133a b m a b n+=⎧⎨+=⎩，*,m n N ∈，64mn =， 则3553d m q d q n ⎧-+=⎪⎨⎪++=⎩，整理得，2()5()800d m n d m n +-++-=.解得d =（舍去负根）.35a d =+，∴要使得3a 最大，即需要d 最大，即n m -及2(10)m n +-取最大值.*,m n N ∈，64mn =，∴当且仅当64n =且1m =时，n m -及2(10)m n +-取最大值.从而最大的d =所以，最大的3a =………16分 20．解：（1）若a =1, 则()1ln f x x x x =--．当[1,]x e ∈时, 2()ln f x x x x =--,2'121()210x x f x x x x--=--=>， 所以()f x 在[1,]e 上单调增, 2max ()()1f x f e e e ∴==--. ……………2分（2）因为()ln f x x x a x =--，(0,)x ∈+∞．（ⅰ）当0a ≤时，则2()ln f x x ax x =--，2'121()2x ax f x x a x x--=--=，令'()0f x =，得00x =>（负根舍去）， 且当0(0,)x x ∈时，'()0f x <；当0(,)x x ∈+∞时，'()0f x >，所以()f x 在上单调减，在)+∞上单调增.……4分 （ⅱ）当0a >时，①当x a ≥时， 2'121()2x ax f x x a x x--=--=,令'()0f x =，得14a x =（4a x a -=<舍），a ≤，即1a ≥, 则'()0f x ≥，所以()f x 在(,)a +∞上单调增；a >，即01a <<, 则当1(0,)x x ∈时，'()0f x <；当1(,)x x ∈+∞时，'()0f x >，所以()f x 在区间上是单调减，在)+∞上单调增. ………………………………………………………6分②当0x a <<时, 2'121()2x ax f x x a x x-+-=-+-=,令'()0f x =，得2210x ax -+-=，记28a ∆=-，若280a ∆=-≤，即0a <≤, 则'()0f x ≤，故()f x 在(0,)a 上单调减；若280a ∆=->，即a >,则由'()0f x =得34a x -=，44a x +=且340x x a <<<，当3(0,)x x ∈时，'()0f x <；当34(,)x x x ∈时，'()0f x >；当4(,)x x ∈+∞ 时，'()0f x >，所以()f x 在区间(0,4a 上是单调减，在(44a a上单调增；在()4a +∞上单调减. …………………………………………8分综上所述，当1a <时,()f x 单调递减区间是 ，()f x 单调递增区间是)+∞；当1a ≤≤, ()f x 单调递减区间是(0,)a ，()f x 单调的递增区间是(,)a +∞；当a >, ()f x 单调递减区间是(0, )和)a ，()f x 单调的递增区间是和(,)a +∞. ………………10分 （3）函数()f x 的定义域为(0,)x ∈+∞． 由()0f x >，得ln xx a x->． * （ⅰ）当(0,1)x ∈时，0x a -≥，ln 0xx<，不等式*恒成立，所以R a ∈； （ⅱ）当1x =时，10a -≥，ln 0xx=，所以1a ≠； ………………12分（ⅲ）当1x >时，不等式*恒成立等价于ln x a x x <-恒成立或ln xa x x>+恒成立． 令ln ()xh x x x =-，则221ln ()x x h x x -+'=． 因为1x >，所以()0h x '>，从而()1h x >． 因为ln xa x x<-恒成立等价于min (())a h x <，所以1a ≤． 令ln ()xg x x x=+，则221ln ()x x g x x +-'=．再令2()1ln e x x x =+-，则1()20e x x x '=->在(1,)x ∈+∞上恒成立，()e x 在(1,)x ∈+∞上无最大值．综上所述，满足条件的a 的取值范围是(,1)-∞． …………………………16分2013届高三教学调研测试（二） 数学Ⅱ（附加题） 参考答案21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分． A ．选修4—1：几何证明选讲证明：连结OF ．因为DF 切⊙O 于F ，所以∠OFD =90°． 所以∠OFC +∠CFD =90°．因为OC =OF ，所以∠OCF =∠OFC ． 因为CO ⊥AB 于O ，所以∠OCF +∠CEO =90°所以∠CFD =∠CEO =∠DEF ，所以DF =DE ． 因为DF 是⊙O 的切线,所以DF 2=DB ·DA ． 所以DE 2=DB ·DA ．B ．选修4—2：矩阵与变换解：由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111α，可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c 33⎥⎦⎤⎢⎣⎡11＝6⎥⎦⎤⎢⎣⎡11， 即6=+d c ； 由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=232α可得，⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c 33⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23， 即223-=-d c ，解得⎩⎨⎧==,4,2d c 即A ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡4233，A 逆矩阵是⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡2131-21-32. C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：将曲线12,C C 化为直角坐标方程得：1:20C x +=，222:220C x y x y +--=即()()222:112C x y -+-=，圆心到直线的距离d ==> ∴曲线12C C 与相离．D ．选修4—5：不等式选讲证明：由22|()()||||()(1)|f x f a x a a x x a x a -=-+-=-+-=|||1||1||()21|x a x a x a x a a -+-<+-=-+-|||2|1x a a ≤-++|2|2a <+ =2(||1)a +．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．解：（1）设袋中原有n 个白球，则从9个球中任取2个球都是白球的概率为229n C C ，由题意知229n C C =512，即(1)5298122n n -=⨯，化简得2300n n --=． 解得6n =或5n =-（舍去） 故袋中原有白球的个数为6. （2）由题意，X 的可能取值为1，2，3，4. 62(1)93P X ===； 361(2)984P X ⨯===⨯； 3261(3)98714P X ⨯⨯===⨯⨯；32161(4)987684P X ⨯⨯⨯===⨯⨯⨯.所以取球次数X 的概率分布列为：所求数学期望为E （X ）=1⨯23+2⨯14+3⨯114+4⨯184=10.723．解：（1）12342,4,8,15a a a a ====；（2）31(56)6n a n n =++.证明如下： 当1n =时显然成立，设(1,)n k k k N *=≥∈时结论成立，即31(56)6k a k k =++， 则当1n k =+时，再添上第1k +个平面，因为它和前k 个平面都相交，所以可得k 条互不平行且不共点的交线，且其中任3条直线不共点，这k 条交线可以把第1k +个平面划最多分成21[(1)(1)2)]2k k +-++个部分，每个部分把它所在的原有空间区域划分成两个区域.因此，空间区域的总数增加了21[(1)(1)2)]2k k +-++个，2321111[(1)(1)2)](56)[(1)(1)2)]262k k a a k k k k k k +∴=++-++=++++-++ 31[(1)5(1)6)]6k k =++++，即当1n k =+时，结论也成立. 综上，对n N *∀∈，31(56)6n a n n =++.。
上海2013届高三理科数学最新试题精选(13份含16区二模)分类汇编11概率与统计
上海2013届高三理科数学最新试题精选（13份含16区二模）分类汇编11：概率与统计姓名____________班级___________学号____________分数______________一、选择题1 ．（上海市奉贤区2013年高考二模数学（理）试题 ）设事件A ,B ,已知()P A =51,()P B =31,()P A B =815,则A ,B 之间的关系一定为（ ）A ．两个任意事件B ．互斥事件C ．非互斥事件D ．对立事件GkStK 2 ．（上海徐汇、松江、金山区2013年高考二模理科数学试题）气象意义上从春季进入夏季的标志为:“连续5天的日平均温度均不低于22 (0C)”.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数): ①甲地:5个数据的中位数为24,众数为22; ②乙地:5个数据的中位数为27,总体均值为24;③丙地:5个数据中有一个数据是32,总体均值为26,总体方差为10.8; 则肯定进入夏季的地区有 （ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个二、填空题3 ．（上海徐汇、松江、金山区2013年高考二模理科数学试题）一质地均匀的正方体三个面标有数字0,另外三个面标有数字1.将此正方体连续抛掷两次,若用随机变量ξ表示两次抛掷后向上面所标有的数字之积,则数学期望ξE =___________.4 ．（四区（静安杨浦青浦宝山）联考2012学年度第二学期高三（理））某中学在高一年级开设了4门选修课,每名学生必须参加这4门选修课中的一门,对于该年级的甲、乙、丙3名学生,这3名学生选择的选修课互不相同的概率是_____________(结果用最简分数表示). 5 ．（上海市闸北区2013届高三第二学期期中考试数学(理)试卷）一个袋中装有大小相同的黑球、白球和红球共10个.已知从袋中任意摸出1个球,得到黑球的概率是52;从袋中任意摸出2个球,至少得到1个白球的概率是97.从袋中任意摸出2个球,记得到白球的个数为ξ,则随机变量ξ的数学期望=ξE ____.6 ．（上海市十二校2013届高三第二学期联考数学（理）试题 ）连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ,记向量(,)a m n =与向量(1,1)b =-的夹角为θ, 则(0,]2πθ∈的概率是 ( )A.512 B.12 C.712 D.567 ．（上海市普陀区2013届高三第二学期（二模）质量调研数学（理）试题）某班从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者服务,若选出的男生人数为ξ,则ξ的方差ξD =____________.8 ．（上海市黄浦区2013年高考二模理科数学试题）一厂家向用户提供的一箱产品共10件,其中有1件次品. 用户先对产品进行随机抽检以决定是否接受. 抽检规则如下:至多抽检3次,每次抽检一件产品(抽检后不放回),只要检验到次品就停止继续抽检,并拒收这箱产品;若3次都没有检验到次品,则接受这箱产品,按上述规则,该用户抽检次数的数学期望是___________.9 ．（上海市虹口区2013年高考二模数学（理）试题 ）从集合{}3,2,1的所有非空子集中,等可能地取出一个,记取出的非空子集中元素个数为ξ,则ξ的数学期望=ξE _____________.10．（上海市长宁、嘉定区2013年高考二模数学（理）试题 ）(理)抛掷一枚质地均匀的骰子,记向上的点数是偶数的事件为A ,向上的点数大于2且小于或等于5的事件为B ,则事件B A 的概率=)(B A P ____________.11．（上海市八校2013届高三下学期联合调研考试数学（理）试题）从1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这10个数中任意抽取三个数,其中仅有两个数是连续整数的概率是 ______________.12．（2013年上海市高三七校联考（理））一个盒子装有六张卡片,上面分别写着如下六个函数:31()f x x =,2()5xf x =,3()2f x =,421()21x x f x -=+,5()sin()2f x x π=+,6()cos f x x x =.从中任意拿取2张卡片,则两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率是________ 高[考∴试﹤题∴库GkStK]13．（2013届浦东二模卷理科题）某人从标有1、2、3、4的四张卡片中任意抽取两张.约定如下:如果出现两个偶数或两个奇数,就将两数相加的和记为ξ;如果出现一奇一偶,则将它们的差的绝对值记为ξ,则随机变量ξ的数学期望为_________.14．（2013届闵行高三二模模拟试卷（数学）理科）已知随机变量ξ所有的取值为1,2,3,对应的概率依次为121,,p p p ,若随机变量ξ的方差12ξ=D ,则12+p p 的值是________________. 学优高考网GkStK] 15．（2013届浦东二模卷理科题）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3:4:3,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本,则应从高二年级抽取______名学生.16．（2013届闵行高三二模模拟试卷（数学）理科）某工厂对一批产品进行抽样检测,根据抽样检测后的产品净重(单位:克)数据绘制的频率分布直方图如图所示,已知产品净重的范围是区间[]96,106,样本中净重在区间[)96100，的产品个数是24,则样本中净重在区间[)100,104的产品个数是________________.三、解答题 17．（2013年上海市高三七校联考（理））本题共有2小题,第(1)小题满分6分,第(2)小题满分8分.空气污染指数(API)是一种用于反映和评价空气质量的数量,我国计入空气污染指数的项目暂定为:总悬浮颗粒物(10PM )、2SO 和2NO .其计算公式为()I I I C C I C C -=-+-大小小小大小,其中I 为某污染物的污染指数,C 为该污染物的浓度;C 大(I 大)和C 小(I 小)分别是API 分级限值表(附表)中最贴近C (I )值的两个限值.根据这个公式分别计算各污染物的API 分指数;选取API 分指数最大值为全市API,且该项污染物即为该市空气中的首要污染物.(1)若某地区的10PM 、2SO 和2NO 日均值分别为0.215毫克/立方米,0.105毫克/立方米和0.080毫克/立方米,求空气污染指数API,并指出首要污染物;(2)已知某地的首要污染物为2SO ,10PM 和2NO 的API 分指数分别为122和67,政府对相关企业进行限排,减少2SO 和10PM 的污染,使得首要污染物变成了10PM ,且其分指数不超过80,2SO 的API 分指数低于2NO 的API 分指数,求限排后2SO 和10PM 浓度的范围.上海2013届高三理科数学最新试题精选（13份含16区二模）分类汇编11：概率与统计参考答案一、选择题 高[考∴试﹤题∴库GkStK] 1. B 2. C 二、填空题 3.144.834334=P 5. 1 GkStK 6. C 7. 4.0 8.27109. 712; 10. 6511. 71512. 15(或0.2)13. 3814. 34,;15. 20 16. 44; 三、解答题17.解:(1)设(12 3)k I k =，，分别为210 PM SO 、和2NO 的污染指数, (1 2 3)k C k =，，分别为210 PM SO 、和2NO 的浓度根据上表,对于10PM ,∵0.1500.2150.350<<,∴0.350 0.150 200 100C C I I ====小小大大，，，, 其API 分指数为1200100(0.2150.150)100132.50.3500.150I -=-+=-同理2SO 的API 分指数210050(0.1050.050)5077.50.1500.050I -=-+=- 2NO 的API 分指数350I =由此可见,空气污染指数API 为132.5,首要污染物为总悬浮颗粒物10PM (2)依题意,1110050(0.050)50(67 80]0.1500.050I C -=-+∈-，, 学优高考解得10.0840.110C <≤2210050(0.050)50670.1500.050I C -=-+<-,解得10.084C <∴限排后10PM 和2SO 浓度的范围分别是(0.084 0.110]，和[0 0.084)，高考)试[题;库。
2013届高三数学综合试卷
2013届高三数学综合试卷（三）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）1.若集合{}0A x x =≥，且A B B = ，则集合B 可能是（ ）A.{}1,2B.{}1x x ≤C.{}1,0,1-D.R 2. 若复数z 满足z(2-i)=11+7i(i 为虚数单位)，则z 为（ ）A 3+5iB 3-5iC -3+5iD -3-5i3.设α是第二象限角,(),4P x 为其终边上的一点,且1cos 5x α=,则tan α=（ ）A.43B.34C.34-D.43- 4.设,l m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若,,//m l m l αα⊥⊥则； ②若,,,.l m l m αβαββ⊥=⊥⊥ 则③若//,,//,l m l m αβαβ⊥⊥则； ④若//,//,,//l m l m αβαβ⊂则. 其中正确命题的个数是（ ）A.1B.2C.3D.45已知点F 、A 分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点、右顶点，点B （0，b ）满足0=⋅AB FB ，则双曲线的离心率为（ ） A.2 B.3 C.231+ D.251+ 6.设0x 是方程ln 4x x +=的解，则0x 属于区间（ ）A.（0，1）B.（1，2） C .（2，3） D.（3，4）7.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为（ ） A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1 D.x 220－y 280＝1 8.设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a 2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）A.12B.23C.34D.459.若实数x ，y 满足10,0,0x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则z =3x +2y 的最小值是( )A.0B. 1C.3D. 910.直线032=--y x 与圆()()22239x y -++=交于E ，F 两点，则△EOF （O 是原点）的面积为（ ） A.23 B.43 C.52 D.556 11. [2012·课标全国卷]已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =，则此棱锥的体积为（ ）12.一个几何体的三视图如图2所示，其中正视图是一个正三角形， 则这个几何体的外接球的表面积为（ ）A. B. 8π3 C. D. 16π3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若直线1:20l ax y +=和()2:3110l x a y +++=平行，则实数a 的值为 .14.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若3230S S +=，则公比q =_______.15.在△ABC 中，已知a ,b ,c 分别为角A ， B ， C 所对的边，S 为△ABC 的面积.若向量p =(),,4222c b a -+q =()S ,3满足p ∥q ,则∠C = . 16. [2012·辽宁卷]已知P ，Q 为抛物线22x y =上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，-2，过P 、Q 分别作抛物线的切线，两切线交于A ，则点A 的纵坐标为__________.三、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）17.（本小题满分10分）已知函数()2sin cos f x x x =()22cos x x -∈R . （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的取值范围.18.（本小题满分12分）[2012·课标全国卷]如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝12AA 1， D 是棱AA 1的中点，DC 1⊥BD .（1）证明：DC 1⊥BC ；（2）求二面角A 1－BD －C 1的大小.19.（本小题满分12分） 已知各项都不相等的等差数列{}n a 的前6项和为60，且6a 为1a 和21a 的等比中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足()1n n n b b a n *+-=∈N ，且1b =项和n T .20. （本小题满分12分） [2012·安徽卷]如图，F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.（1）求椭圆C 的离心率；（2）已知△AF1B 的面积为403，求a ，b 的值.21. （本小题满分12分）已知()()2,ln 23+-+==x ax x x g x x x f (Ⅰ)求函数()x f 的单调区间;(Ⅱ)求函数()x f 在[]()02,>+t t t 上的最小值;(Ⅲ)对一切的()+∞∈,0x ,()()22'+≤x g x f 恒成立,求实数a 的取值范围.请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．22．(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲 已知AB 为半圆O 的直径，4AB =，C 为半圆上一点，过点C 作半圆的切线CD ，过点A 作AD CD ⊥于D ，交半圆于点E ，1DE =．(Ⅰ)求证：AC 平分BAD ∠；(Ⅱ)求BC 的长．23．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆221:4C x y +=，圆222:(2)4C x y -+=.(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆12,C C 的极坐标方程，并求出圆12,C C 的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆12C C 与的公共弦的参数方程.24.（本小题满分10分）选修4－5《不等式选讲》．(1)设a ，b是非负实数，求证：22).a b a b +≥+(2)设1≤a ，函数)11()(2≤≤--+=x a x ax x f ，证明：45)(≤x f参考答案：一、AADA DCAC BDAD二、 13. -3或2 14.-2 15.60度 16. 14 三、21. (Ⅰ)(),10,0,1ln )(''ex x f x x f <<<+=解得令 ();1,0⎪⎭⎫ ⎝⎛∴e x f 的单调递减区间是……2分 (),1,0'e x x f >>解得令().,e 1⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞∴的单调递减区间是x f ……4分 (Ⅱ)(ⅰ)0<t<t+2<e1，t 无解；……5分 (ⅱ)0<t<e 1<t+2，即0<t<e 1时，ee f x f 1)1()(min -==；……7分 (ⅲ)e 12+<≤t t ，即e t 1≥时，单调递增在]2,[)(+t t x f ， tlnt )t ()(min ==f x f ……9分et e t x f 110tlnt e 1-)(min ≥<<⎪⎩⎪⎨⎧∴，……10分 (Ⅲ)由题意:2123ln 22+-+≤ax x x x 在()+∞∈,0x 上恒成立 即123ln 22++≤ax x x x 可得x x x a 2123ln --≥……11分 设()x x x x h 2123ln --=, 则()()()22'213121231x x x x x x h +--=+-=……12分 令()0'=x h ,得31,1-==x x (舍) 当10<<x 时,()0'>x h ;当1>x 时, ()0'<x h∴当1=x 时,()x h 取得最大值, ()x h max =-2……13分 2-≥∴a .a ∴的取值范围是[)+∞-,2.……14分。
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2013届高三数学章末综合测试题（10）概率 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．从装有5只红球，5只白球的袋中任意取出3只球，有事件： ①“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”； ②“取出2只红球和1只白球”与“取出3只红球”； ③“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只白球”； ④“取出3只红球”与“取出3只白球”． 其中是对立事件的有( ) A．①② B．②③ C．③④ D．③ D解析：从袋中任取3只球，可能取到的情况有：“3只红球”，“2只红球1只白球”，“1只红球，2只白球”，“3只白球”，由此可知①、②、④中的两个事件都不是对立事件．对于③，“取出3只球中至少有一只白球”包含“2只红球1只白球”，“1只红球2只白球”，“3只白球”三种情况，与“取出3只红球”是对立事件. 2．取一根长度为4 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段都不少于1 m的概率是( )
A.14 B.13
C.12 D.23 C解析：把绳子4等分，当剪断点位于中间两部分时，两段绳子都不少于1 m，故所求概率为P＝24＝12. 3．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为30%，甲不输的概率为80%，则甲、乙两人下一盘棋，你认为最为可能出现的情况是( ) A．甲获胜 B．乙获胜 C．甲、乙下成和棋 D．无法得出 C解析：两人下成和棋的概率为50%，乙胜的概率为20%，故甲、乙两人下一盘棋，最有可能出现的情况是下成和棋. 4．如图所示，墙上挂有边长为a的正方形木板，它的四个角的空白
部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为a2的扇形，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是( ) A．1－π4 B.π4 C．1－π8 D．与a的取值有关
A 解析：几何概型，P＝a2－πa22a2＝1－π4，故选A. 5．从1,2,3,4这四个数中，不重复地任意取两个种，两个数一奇一偶的概率是( ) A.16 B.25
C.13 D.23 D 解析：基本事件总数为6，两个数一奇一偶的情况有4种，故所求概率P＝46＝23. 6．从含有4个元素的集合的所有子集中任取一个，所取的子集是含有2个元素的集合的概率是( )
A.310 B.112
C.4564 D.38 D解析：4个元素的集合共16个子集，其中含有两个元素的子集有6个，故所求概 率为P＝616＝38. 7．某班准备到郊外野营，为此向商店定了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨，则下列说法正确的是( )
A．一定不会淋雨 B．淋雨的可能性为34
C．淋雨的可能性为12 D．淋雨的可能性为14 D解析：基本事件有“下雨帐篷到”、“不下雨帐篷到”、“下雨帐篷未到”、“不下 雨帐篷未到”4种情况，而只有“下雨帐篷未到”时会淋雨，故淋雨的可能性为14. 8．将一颗骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为( ) A.19 B.112
C.115 D.118 D解析：基本事件总数为216，点数构成等差数列包含的基本事件有(1,2,3)，(1,3,5)，(2,3,4)，(2,4,6)，(3,2,1)，(3,4,5)，(4,3,2)，(4,5,6)，(5,4,3)，(5,3,1)，(6,5,4)，
(6,4,2)共12个，故求概率为P＝12216＝118. 9．设集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，分别从集合A和集合B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P(a，b)，记“点P(a，b)落在直线x＋y＝n上”为事件Cn(2≤n≤5，n∈N)，若事件Cn的概率最大，则N的所有可能值为( ) A．3 B．4 C．2和5 D．3和4
D解析：点P(a，b)的个数共有2×3＝6个，落在直线x＋y＝2上的概率P(C2)＝16；落
在直线x＋y＝3上的概率P(C3)＝26；落在直线x＋y＝4上的概率P(C4)＝26；落在直线x＋y＝5上的概率P(C5)＝16，故选D. 10．连掷两次骰子得到的点数分别为m，n，记向量a＝(m，n)与向量b＝(1，－1)的夹角为θ，则θ∈0，π2的概率是( )
A.512 B.12 C.712 D.56 C 解析：基本事件总数为36，由cosθ＝a·b|a|·|b|≥0得a·b≥0，即m－n≥0，包含的基本事件有(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)共21
个，故所求概率为P＝2136＝712. 11．在一张打方格的纸上投一枚直径为1的硬币，方格的边长(方格边长设为a)要多少才能使得硬币与方格线不相交的概率小于1%( )
A．a＞910 B．a＞109
C．1＜a＜109 D．0＜a＜910 C解析：硬币与方格线不相交，则a＞1时，才可能发生，在每一个方格内，当硬币的圆心落在边长为a－1，中心与方格的中心重合的小正方形内时，硬币与方格线不相交，故硬币与方格线不相交的概率P＝(a－1)2a2.，由(a－1)2a2＜1%，得1＜a＜109. 12．集合A＝{(x，y)| x－y－1≤0，x＋y－1≥0，x∈N}，集合B＝{(x，y)|y≤－x＋5，x∈N}，先后掷两颗骰子，设掷第一颗骰子得点数记作a，掷第二颗骰子得数记作b，则(a，b)∈A∩B的概率等于( )
A.14 B.29
C.736 D.536 B解析：根据二元一次不等式组表示的平面区域，可知A∩B对应如图所示的阴影部分的区域中的整数点．其中整数点有(0,1)，(0,2)，(0,3)，(0,4)，(0,5)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)共14个．现先后抛掷2颗骰子，所得点数分别有6种，共会出现36种结果，其中落入阴影区域内的有8种，即(1,1)，(1,2)，
(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)．所以满足(a，b)∈A∩B的概率为836＝29，
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分． 13．若实数x，y满足|x|≤2，|y|≤1，则任取其中x，y，使x2＋y2≤1的概率为__________．
解析：点(x，y)在由直线x＝±2和y＝±1围成的矩形上或其内部，使x2＋y2≤1的点(x，
y)在以原点为圆心，以1为半径的圆上或其内部，故所求概率为P＝π4×2＝π8.
答案：π8 14．从所有三位二进制数中随机抽取一个数，则这个数化为十进制数后比5大的概率是 ________． 解析：三位二进制数共有4个，分别111(2),110(2),101(2),100(2)，其中111(2)与110(2)化为十
进制数后比5大，故所求概率为P＝24＝12.
答案：12 15．把一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为m，第二次出现的点数记为n，方程 组 mx＋ny＝3，2x＋3y＝2，只有一组解的概率是__________． 1718 解析：由题意，当m2≠n3，即3m≠2n时，方程组只有一解．基本事件总数为36， 满足3m＝2n的基本事件有(2,3)，(4,6)共两个，故满足3m≠2n的基本事件数为34个，
故所求概率为P＝3436＝1718.
16．在圆(x－2)2＋(y－2)2＝8内有一平面区域E： x－4≤0，y≥0，mx－y≤0(m≥0)，点P是圆内的 任意一点，而且出现任何一个点是等可能的．若使点P落在平面区域E内的概率最 大，则m＝__________. 0 解析：如图所示，当m＝0时，平面区域E的面积最大， 则点P落在平面区域E内的概率最大．
三、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．(10分)某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1 000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如下表所示
分组 [500，900) [900，1 100) [1 1001 300) [1 300，1 500) [1 500，1 700) [1 700，1 900) [1 900，＋∞) 频数 48 121 208 223 193 165 42 频率 (1)将各组的频率填入表中； (2)根据上述统计结果，计算灯管使用寿命不足1 500小时的频率； (3)该公司某办公室新安装了这种型号的灯管15支，若将上述频率作为概率，估计经过1 500小时约需换几支灯管． 解析：
分组 [500，900) [900，1 100) [1 1001 300) [1 300，1 500) [1 500，1 700) [1 700，1 900) [1 900，＋∞) 频数 48 121 208 223 193 165 42 频率 0.048 0.121 0.208 0.223 0.193 0.165 0.042 (2)由(1)可得0.048＋0.121＋0.208＋0.223＝0.6， 所以，灯管使用寿命不足1 500小时的频率是0.6. (3)由(2)只，灯管使用寿命不足1 500小时的概率为0.6. 15×0.6＝9，故经过1 500小时约需换9支灯管． 18．(12分)袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球． (1)一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果； (2)若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率． 解析：(1)一共有8种不同的结果，列举如下： (红，红，红)、(红，红，黑)、(红，黑，红)、(红，黑，黑)、 (黑、红，红)、(黑，红，黑)、(黑，黑，红)、(黑、黑、黑)． (2)记“3次摸球所得总分为5”为事件A， 事件A包含的基本事件为： (红，红，黑)、(红，黑，红)、(黑，红，红)． 事件A包含的基本事件数为3. 由(1)可知，基本事件总数为8，
所以事件A的概率为P(A)＝38. 19．(12分)将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次，记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b.设复数z＝a＋bi. (1)求事件“z－3i为实数”的概率； (2)求事件“复数z在复平面内的对应点(a，b)满足(a－2)2＋b2≤9”的概率． 解析：(1)z－3i为实数， 即a＋bi－3i＝a＋(b－3)i为实数，∴b＝3.