您的位置：360文档中心› 上海高二数学练习册第二学期习题

上海高二数学练习册第二学期习题

合集下载

沪教版(上海)高二第二学期新高考辅导与训练第13章复数阶段训练7

沪教版(上海)高二第二学期新高考辅导与训练第13章复数阶段训练7

沪教版（上海）高二第二学期新高考辅导与训练第13章复数阶段训练7学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．在复数范围内分解因式：24+=x ________．2．方程22650x x +=-的解是________．3．2-的平方根是______．4．写出一个实系数的一元二次方程，使它的一个根为13i -________．5．关于x 的实系数一元二次方程20ax bx c ++=的两个虚根在复平面中关于________轴对称．6．若关于x 的实系数方程220x mx ++=的一个根是1i +，则m =________． 7．若α，β是方程260x x -+=的两根，则22||||+=αβ________．8．已知α，β是方程2(2)430+-++=x i x i 的两根，则22αβ+=________．9．虚数1x ，2x 是一个实系数一元二次方程的两个根，且11x =，212=x x ，则1x =________．10．实系数方程210ax bx ++=有纯虚根的充要条件是________．11．若关于x 的方程20++=x zx i 有实根z C ∈，则||z 的最小值为________．二、双空题12．α，β是方程20(,)++=∈x nx m m n R 的两根，若122=-+α，则m =________，n =________．三、单选题13．关于x 的方程210()++=∈x ax a R 没有实数根，则（ ）．A ．||2a <B ．||2a =C ．||2a >D ．||2≠a 14．关于x 的方程()22220()+-+=∈x t t tx i t R 有纯虚数根，则t 为（ ）．A ．0B ．1C ．2D ．0或215．当1a >时，方程220x x a ++=有两个根m ，n ，则||||+m n 的值为（ ）．A ．2B ．2aC ．D ．2或16．设1z ，2z 是非零复数，且满足2211220-+=z z z ，则1z 与2z 的关系是（ ）． A ．12z z >B ．12z z <C ．12=z zD ．不确定四、解答题17．方程20x px p ++=，求实数p 的值． 18．方程220x x m ++=的两个虚根为1z ，2z ，且12212<+-z z i ，求实数m 的范围．19．已知复数2i -是实系数一元二次方程20x bx c ++=的一个根，向量(,)=m b c ，(8,)=n t ，求实数λ和t ，使得m n λ=．20．方程2(2)220++--=x m i x m mi 有实数根，求实数m 的值．21．已知z 为复数，满足||0(0)++=>z z az i a ，求z 的值．22．已知复数1z ，2z 满足条件12<z ，22<z ．是否存在非零实数m ，使得121+=z z m 和121⋅=z z m同时成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案1．(2)(2)+-x i x i【分析】根据2(2)4i -=以及平方差公式可得结果.【详解】24+=x 22(2)x i -(2)(2)x i x i =-+.故答案为：(2)(2)+-x i x i .【点睛】本题考查了虚数单位i 的性质，属于基础题.2．32i +，32i - 【分析】用判别式可知方程22650x x +=-有2个虚根，再根据求根公式可求得结果.【详解】因为22650x x +=-，且2642540∆=-⨯⨯=-<，所以方程22650x x +=-有2个虚根，所以由求根公式可得622x ±=⨯=32i ±， 所以方程22650x x +=-的解是32i +，32i -. 故答案为：32i +，32i -. 【点睛】 本题考查了实系数一元二次方程的解法，属于基础题.3．【解析】【分析】设2-的平方根为i z a b =+，由22z =-列方程组，解方程组求得z .【详解】设2-的平方根为i z a b =+（,a b 为实数），故()2222i 2i 2z a b a b ab =+=-+=-，所以2220a b ab ⎧-=-⎨=⎩，解得0a =，b =，故z =.故答案为：.【点睛】本小题主要考查负数的平方根，考查复数运算，属于基础题.4．22100-+=x x【分析】设实系数一元二次方程为20ax bx c ++=(,,,0)a b c R a ∈≠，根据虚根成对定理得另一个根为13i +，再根据韦达定理可得2b a =-，10c a =，由此可以得到所有满足条件的方程为22100ax ax a -+=(0)a ≠，取a 的一个值就可得到答案.【详解】设实系数一元二次方程为20ax bx c ++=(,,,0)a b c R a ∈≠，因为实系数的一元二次方程，有一个根为13i -，则它必有另一个根13i +， 所以1313b i i a -++=-，(13)(13)c i i a-+=， 所2b a =-，10c a =，所以所有满足条件的实系数一元二次方程为22100ax ax a -+=，令1a =，则得2b =-，10c =，此时一元二次方程为22100-+=x x .故答案为：22100-+=x x .【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对定理和韦达定理，属于基础题.5．实【分析】根据求根公式求出两个虚根，再根据复数的几何意义可得答案.【详解】因为关于x 的实系数一元二次方程20ax bx c ++=有两个虚根，所以240b ac ∆=-<，所以根据求根公式可得x =所以方程的两个虚根为1x =，2x =，它们在复平面内所对应的的点分别为(,)2b a -，()2b a -， 这两个点关于实轴对称.故答案为：实.【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的求根公式和复数的几何意义，属于基础题.6．2-【分析】根据虚根成对定理以及韦达定理可得结果.【详解】因为关于x 的实系数方程220x mx ++=的一个根是1i +，所以另一个根为1i -， 根据韦达定理可得11i i m ++-=-，所以2m =-.故答案为：2-.【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对定理和韦达定理，属于基础题.7．12【分析】根据判别式分析可知，α，β是两个共轭虚根，设αa bi (),ab ∈R ，则a bi β=-，再根据韦达定理和模长公式可求得结果.【详解】因为2(1)46230∆=--⨯=-<，所以α，β是两个共轭虚根，设αa bi (),a b ∈R ，则a bi β=-，由韦达定理可得1αβ+=，6αβ⋅=，所以1a bi a bi ++-=，所以12a =，所以12bi α=+， 226a b αβ⋅=+=，所以2123644b =-=，所以2222||||6612αβ+=+=+=. 故答案为：12.【点睛】本题考查了虚根成对定理，考查了韦达定理和模长公式，属于基础题.8．510--i【分析】根据韦达定理以及配方法可求得结果.【详解】因为α，β是方程2(2)430+-++=x i x i 的两根， 所以(2)2i i αβ+=--=-+，43i αβ=+，所以2222()2(2)2(43)i i αβαβαβ+=+-=-+-+510i =--.故答案为：510--i .【点睛】本题考查了一元二次方程的韦达定理，属于基础题.9．12-± 【分析】根据题意分析可得虚数1x ，2x 必为共轭虚数，设1x a bi =+(,,0)a b R b ∈≠，则2x a bi =-，根据模长公式和复数相等的条件列方程可解得结果.【详解】因为虚数1x ，2x 是一个实系数一元二次方程的两个根，所以虚数1x ，2x 必为共轭虚数，设1x a bi =+(,,0)a b R b ∈≠，则2x a bi =-，由11x =，212=x x 1=，222a b abi a bi -+=-，所以221a b +=，222a b a ab b ⎧-=⎨=-⎩，因为0b ≠，所以12a =-，2b =±，所以1122x i =-±.故答案为：12-. 【点睛】本题考查了虚根成对定理，复数的模长公式和复数相等的条件，属于基础题.10．0b =，0a >【分析】根据一元二次方程的求根公式以及充分条件、必要条件的定义即可求解.【详解】充分性：若0b =，0a >，则21ax =-，即21x a =-，解得x =，所以实系数方程210ax bx ++=有纯虚根，充分性满足；必要性：实系数方程210ax bx ++=，2b x a-±= 若方程210ax bx ++=有纯虚根，则0b =，240b a -<，所以0a >，即0b =，0a >.故答案为：0b =，0a >【点睛】本题考查了复数的概念、充要条件的定义，属于基础题.11【分析】 根据题意可得2x i z x--=，再利用复数模的求法以及基本不等式即可求解. 【详解】关于x 的方程20++=x zx i 有实根z C ∈， 则21x i z x i x x--==--，所以||z ==≥=当且仅当1x =±时，取等号，所以||z .【点睛】本题考查了复数模的求法、基本不等式求最值，属于基础题.12．1 1【分析】由题得122i β=--，即得1,1n m αβαβ+=-=-==，即得,m n 的值. 【详解】因为方程20(,)++=∈x nx m m n R 是实数系数的一元二次方程，且12=-+α，所以12β=-，所以111,()()12222n m αβαβ+=-=-=-+--==， 所以1,1m n ==.故答案为：1；1.本题主要考查复数方程的根和复数的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 13．A【分析】根据判别式小于0，可解得结果.【详解】因为关于x 的方程210()++=∈x ax a R 没有实数根， 所以240a ∆=-<，所以||2a <.故选：A.【点睛】本题考查了实系数一元二次方程无实根的条件，属于基础题.14．C【分析】设出方程的纯虚根并代入方程，根据复数相等的条件即可解得结果.【详解】设关于x 的方程()22220()+-+=∈x t t tx i t R 的纯虚数根为bi (b R ∈，且0)b ≠，则22()(22)0bi t t tbi i +-+=，即2b -22(2)0bt t t i -+-=， 根据复数相等的条件得222020b bt t t ⎧--=⎨-=⎩， 因为b ≠0，所以2220b t t t =-⎧⎨-=⎩，解得2t =或0t =（舍去） 故选：C.【点睛】本题考查了纯虚根的概念和复数相等的条件，属于基础题.15．C【分析】根据判别式小于0，可知方程有2个共轭虚根，设(,)m c di c d R =+∈，则n c di =-，根据韦达定理以及模长公式可得结果.因为1a >，所以440a ∆=-<，所以,m n 为两个共轭虚根，设(,)m c di c d R =+∈，则n c di =-，所以22m n c +=-=，22mn a c d ==+，所以21,1c a d =-=+，所以|||||1||1|m n di di +=-++--===故选：C.【点睛】本题考查了虚根成对定理，考查了复数的模长公式，属于基础题.16．C【分析】 将方程两边同时除以22z ，化为12z z 的一元二次方程，利用求根公式求出12z z ，再求出其模，即可得到答案.【详解】因为2211220+=z z z ，且20z ≠，所以21122()10z z z z -+=，所以2121(24z z -=-，所以12122z i z -==±，所以1212z i z =±，所以121||||12z i z ===，所以12||1||z z =，所以12||||z z =. 故选：C.【点睛】本题考查了一元二次方程的求根公式，考查了复数的模长公式和复数模的性质，属于基础题.17．2p =1p =或3p =【分析】设方程的两根为1x ，2x ，则两根在复平面内对应的点之间的距离就是12x x -，由复数模的性质可得()()2212121243x x x x x x -=+-=，利用根与系数的关系式代入，可得到关于p 的方程，解方程可求p 的值.【详解】设方程的两根为1x ，2x ，则()2212121233x x x x x x -=⇔-=⇔-= ()2121243x x x x ⇔+-=，由韦达定理可得243-=p p ．当243-=⇒=p p p 2±当2431-=-⇒=p p p 或3p =. 【点睛】本题考查了复数的几何意义以及一元二次方程根与系数的关系，把复数在复平面上对应点的距离转化为复数差的模的形式是解题的关键，属于中档题.18．251,9⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】设1(,,0)z a bi a b R b =+∈≠，则2z a bi =-．根据韦达定理可得211a m b =-⎧⎨=+⎩，再根据模长公式化简不等式可得403b <<，由21m b =+可得答案. 【详解】设1(,,0)z a bi a b R b =+∈≠，则2z a bi =-．因为方程220x x m ++=有虚根，m R ∈，所以2240m ∆=-<，解得1m ，根据韦达定理得12122z z z z m +=-⎧⎨=⎩，∴2222a m a b =-⎧⎨=+⎩，即211a m b =-⎧⎨=+⎩， 因为12212<+-z z i ，所以22124|||12|z z i <+-，所以224|1||(2)|bi b i -+<-+，所以2244(2)b b +<+，所以2340b b -<，所以403b <<， 所以21609b <<， ∴225119m b <=+<． ∴251,9⎛⎫∈ ⎪⎝⎭m . 【点睛】 本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对定理，考查了韦达定理以及复数的模长公式，属于基础题.19．12λ=-，10t =- 【分析】根据虚根成对定理以及韦达定理可求出,b c ，再根据向量共线可求得结果.【详解】∵2i -是实系数一元二次方程20x bx c ++=的一个根，∴2i +也是方程的根． 则[(2)(2)]4=--++=-b i i ，(2)(2)5=-+=c i i ．∴(4,5)=-m ，由m n λ=，得(4,5)(8,)-=t λ． ∴485t λλ-=⎧⎨=⎩．∴1210t λ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩. 故答案为：12λ=-，10t =-. 【点睛】本题考查了虚根承兑定理、韦达定理，考查了平面向量共线定理，属于基础题. 20．0m =或1【分析】设x ∈R ，整理方程，利用复数相等可得220220x mx m x m ⎧+-=⎨-=⎩，解方程组即可求解.【详解】已知x ∈R ，由2(2)220++--=x m i x m mi ．整理，得22(22)0+-+-=x mx m x m i ． ∴22(22)+-+-x mx m x m i 2200220x mx m x m ⎧+-==⇔⎨-=⎩．解方程组，得0m =或1.【点睛】本题考查了复数相等，一元二次方程的根，考查了基本运算能力，属于基础题.21 【分析】根据题意分析可得z 为纯虚数，且虚部小于0，设(0)=<z yi y ，代入方程可得210-++=y ay ，解得y 即可得到答案.【详解】 由已知得||-=+i z z a，∵||+∈z a R ，∴z 为纯虚数，且虚部小于0， 设(0)=<z yi y ，则||0yi yi ayi i ++=，所以2(1)0y ay i -++=，所以210-++=y ay ．解方程得2±=a y （正根舍去）．∴2-=a y ，∴2-=a z .故答案为：2a . 【点睛】本题考查了复数方程，考查了复数相等的条件，属于基础题.22．存在，34m <-或14m > 【分析】 根据题意得到则12,z z 是方程2110-+=x x m m的两个根，讨论0∆≥和∆<0两种情况，计算得到答案.【详解】 121z z m =，则121z z m =，121+=z z m ，则12,z z 是方程2110-+=x x m m的两个根， 当2140m m ∆=-≥即14m ≤且0m ≠时，12,z z R ∈，记211()=-+f x x x m m ，12<z ，22<z ，故(2)0(2)012220f f m ->⎧⎪>⎪⎪⎨-<<⎪⎪∆≥⎪⎩，解得34m <-； 当214m m ∆=-<0即14m >时，1z ，2z 为一对共轭虚根，则12<z ，则14m <， 即14m >或0m <（舍）． 综上，存在实数m ，当34m <-或14m >，使得121+=z z m 和121⋅=z z m 同时成立. 【点睛】本题考查了复数的运算，复数的模，共轭复数，意在考查学生的计算能力和应用能力，确定12,z z 是方程2110-+=x x m m 的两个根是解题的关键.。

沪教版(上海)高二第二学期新高考辅导与训练第12章圆锥曲线12.7抛物线的标准方程

沪教版(上海)高二第二学期新高考辅导与训练第12章圆锥曲线12.7抛物线的标准方程

沪教版（上海）高二第二学期新高考辅导与训练第12章圆锥曲线12.7抛物线的标准方程学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．（1）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，且过点(2,3)-，求抛物线的标准方程；（2）求到定点(4,0)F 的距离，比到定直线50x +=的距离小1的点的轨迹方程． 2．过抛物线22(0)y px p =>的焦点的直线交抛物线于()()1122,,,A x y B x y 两点，且直线,OA OB 的斜率分别为12,k k ，则121212,,y y x x k k 中有几个是定值？反过来是否成立？3．设F 为抛物线24y x =的焦点，,,A B C 为该抛物线上三点，若0FA FB FC ++=，试求||||||FA FB FC ++的值．4．对于抛物线22y x =上任意一点Q ，点(,0)P a 都满足||||PQ a ，试求a 的取值范围．二、单选题5．设M （x 0，y 0）为抛物线C ：x 2=8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是（ ） A ．（0，2）B ．[0，2]C ．（2，+∞）D ．[2，+∞）6．（2011•湖北）将两个顶点在抛物线y 2=2px （p ＞0）上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则（ ）A ．n=0B ．n=1C ．n=2D ．n≥3 7．点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2yx 于,A B 两点，且||||PA AB =，则称点P 为“A 点”，那么下列结论中正确的是（ ）．A ．直线l 上的所有点都是“A 点”B ．直线l 上仅有有限个点是“A 点”C ．直线l 上的所有点都不是“A 点”D ．直线l 上有无穷多个点（不是所有的点）是“A 点”8．设抛物线22y x = 的焦点为F ，过点0)M 的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，||2BF = ，则BCF △ 与ACF 的面积之比BCF ACFS S等于（ ）A ．45B ．23C ．47D ．12三、填空题9．设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的标准方程是__________.10．设抛物线28y x =上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是____．11．已知抛物线()220y px p =>的准线与圆()22316x y -+=相切，则p 的值为__________．12．设抛物线28y x =的焦点为F ，准线为,l P 为抛物线上一点，,PA l A ⊥为垂足，如果直线AF斜率为||PF =________．参考答案1．（1）292y x =-；（2）216y x = 【分析】（1）设抛物线的方程为22(0)y px p =->，将点(2,3)M -代入，即得解；（2）等价于到(4,0)F 与到直线40x +=的距离相等．由抛物线定义得，动点的轨迹是抛物线，再求出抛物线的方程即得解. 【详解】解：（1）由题意，因为抛物线过点(2,3)-，其开口方向向左，所以可设抛物线的方程为22(0)y px p =->．将点(2,3)M -代入，得94p =．解得94p =． 因此，抛物线的方程为292y x =-． （2）动点到(4,0)F 的距离比它到50x +=的距离小1， 等价于到(4,0)F 与到直线40x +=的距离相等． 由抛物线定义得，动点的轨迹是抛物线，该点(4,0)F 就是抛物线的焦点，该直线4x =-就是抛物线的准线， 所以抛物线开口向右，且4,82pp =∴=. 所求轨迹方程为216y x =． 【点睛】本题主要考查抛物线标准方程的求法，考查动点轨迹方程的求法和抛物线的定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 2．3个均为定值，反过来不一定成立 【分析】根据直线AB 是否存在斜率进行分类讨论，当存在斜率时，将直线方程与抛物线方程联立，利用一元二次方程根与系数的关系进行验证即可，当不存在斜率时，直接求出,A B 坐标，再进行验证；反过来时，假设三个都是定值，直线AB 是否存在斜率进行分类讨论，当存在斜率时，将直线方程与抛物线方程联立，利用一元二次方程根与系数的关系进行判断直线AB 是否过抛物线的焦点，当不存在斜率时，直接求出,A B 坐标，再进行判断直线AB 是否过抛物线的焦点即可； 【详解】解：设直线AB 的方程为(0)2p y k x k ⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭，即2=+y p x k ． 代入22y px =，得2220py y p k--=，则212y y p =-． 又22222121212*********,,,42244=====⋅=-y y y y y y p x x x x k k p p p x x ． 若直线AB 与x 轴垂直，由122p x x ==，得2124px x =．可求得12,==-y p y p ，则21212,4=-=-y y p k k ．故121212,,y y x x k k 均为定值．反过来，当212y y p =-时，设直线AB 的方程为()(0)y k x a k =-≠，即=+yx a k，代入抛物线方程，得2220--=py y pa k，则 2122,2=-=-∴=p y y pa p a ． 即直线AB 过焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭．若直线AB 的斜率不存在，也同样有此结论． 若2124p x x =，则,A B 可能为抛物线上x 轴上方的两点，则此直线AB 一定不过焦点．因此由2124p x x =不能得到直线AB 过焦点．若222212121212122112124,422⋅=⋅=⋅=∴=-⇔=-y y y y y p k k k k y y p y x x p y y p． 故当124k k =-时，直线AB 也过焦点，若直线AB 的斜率不存在，也同样有此结论．综上所述可知，121212,,y y x x k k 分别为定值2,,44--p p ；反过来，只有21212,4=-=-y y p k k 时，才有直线AB 过焦点． 【点睛】本题考查了利用直线与抛物线的位置关系判断代数式是否为定值问题，考查了当代数式为定值时直线是否过抛物线的焦点与抛物线相交问题，考查了分类讨论思想和数学运算能力. 3．6 【分析】设出,,A B C 三点的坐标，把||||||FA FB FC ++（三个焦半径之和）转化为三个点线距之和，用上条件即可求解. 【详解】解：设点,,A B C 的坐标分别为()()()112233,,,,,x y x y x y ． 又24,2,(1,0)p p F ==，则()()()1122331,,1,,1,FA x y FB x y FC x y =-=-=-．1231230,1110,3FA FB FC x x x x x x ++=∴-+-+-=∴++=．1233||||||3362pFA FB FC x x x ∴++=+++=+= 【点睛】考查抛物线的定义，把焦半径（点点距）转化为点到准线的距离是解答这类题的关键；基础题. 4．(,1]-∞ 【分析】当0a ≤时显然合适，当0a >时，根据两点间的距离公式代入||||PQ a ，再化简利用恒成立方法求解即可. 【详解】(1)若0a ≤，显然适合(2)若0a >，点(,0)P a 都满足||PQ a ，则 22222y a a y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，即211,014miny a a ⎛⎫+=< ⎪⎝⎭，则a 的取值范围(,1]-∞ 【点睛】本题主要考查了根据抛物线上的点满足的条件求解参数范围的问题，需要根据题意分情况讨论，代入距离公式化简.属于中档题. 5．C 【解析】试题分析：由已知，4p =，4FM >,即024FM y =+>.所以，02y >，选C . 考点：1.抛物线的定义；2.直线与圆的位置关系. 6．C【解析】y 2=2px （P ＞0）的焦点F （，0）等边三角形的一个顶点位于抛物线y 2=2px （P ＞0）的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则等边三角形关于x 轴轴对称两个边的斜率k=±tan30°=±，其方程为：y=±（x ﹣），每条直线与抛物线均有两个交点，焦点两侧的两交点连接，分别构成一个等边三角形． 故n=2， 故选C 7．A 【分析】设点,A P 的坐标分别为(,),(,1)m n x x -，则点B 的坐标为(2,21)m x n x --+．联立直线与抛物线方程, 消去n ,整理可得关于x 的方程，判断∆的值可得答案. 【详解】解：如图，设点,A P 的坐标分别为(,),(,1)m n x x -，则点B 的坐标为(2,21)m x n x --+．,A B 在2yx 上，22,21(2).n m n x m x ⎧=∴⎨-+=-⎩消去n ,整理，得关于x 的方程22(41)210x m x m --+-=． ①()222(41)4218850m m m m ∆=---=-+>恒成立，∴方程①恒有实数解， 故选：A. 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的阅读理解能力、信息迁移能力，分析问题与解决问题的能力，属于创新题型. 8．A 【解析】如图过B 作准线12l x =-：的垂线，垂足分别为11A B ，， BCF ACFBC S SAC=，又11,B BC A AC ∽11BC BB ACAA =，，由拋物线定义112BB BF AA AFAF ==． 由12BF BB ==知32B B x y ，==02AB y x ∴-=-： 把22y x = 代入上式，求得22A A y x ==，，15 2AF AA ∴==．故24552BCF ACFBF SSAF===． 故选A ． 9．28y x = 【分析】根据抛物线准线方程可求出p ，再根据准线方程设出抛物线的标准方程，代入p 值即可. 【详解】 由题意可知：22p=，4p ∴=且抛物线的标准方程的焦点在x 轴的正半轴上 故可设抛物线的标准方程为：22y px = 将p 代入可得28y x =.故答案为：28y x =. 【点睛】本题考查了根据抛物线准线的方程求抛物线标准方程，属于基础题. 10．6 【分析】先作出图形，再结合抛物线的定义进行计算即可. 【详解】抛物线28y x =的焦点为()2,0F ,准线方程为2x =-,如图所示,4PA =,2AB =,由抛物线的定义可得：6PF PB PA AB ==+=. 故答案为:6. 【点睛】本题考查抛物线的定义，考查数形结合思想，属于常考题. 11．2 【解析】抛物线的准线为2px =-，与圆相切，则342p +=，2p =． 12．8 【分析】设准线与x 轴焦点为B ,可得B 的坐标为(2,0)-，4BF =,由直线AF 斜率为，可得60o AFB ∠=，由抛物线的几何性质有PA PF =,可得PAF ∆是等边三角形，可得答案.【详解】 解：如图由抛物线方程为28y x =，可得其焦点为(2,0)F ，准线方程为2x =-， 设准线与x 轴焦点为B ,则B 的坐标为(2,0)-，4BF =,由直线AF 斜率为60o AFB ∠=，可得8cos60oBFAF ==，因为AP x 轴，所以60o PAF AFB ∠=∠=,又由抛物线的几何性质有PA PF =, 所以PAF ∆是等边三角形，故8PA PF ==， 故答案为：8. 【点睛】本题主要考查抛物线的性质，抛物线焦半径公式的应用，考查学生对相关知识的理解与应用，属于基础题型.。

2024年牛津上海版高二数学下册阶段测试试卷含答案

2024年牛津上海版高二数学下册阶段测试试卷含答案

2024年牛津上海版高二数学下册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______ 姓名：______ 班级：______ 考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、设函数若数列是单调递减数列，则实数a的取值范围为（）A. （- 2）B. （-C. （-）D.2、【题文】已知数列满足：A.B. 3C. 4D. 53、【题文】条件语句的一般形式如下所示；其中B表示的是。

A. 条件B. 条件语句C. 满足条件时执行的内容D. 不满足条件时执行的内容4、【题文】．如图，在一个长为宽为的矩形内，曲线与轴围成如图所示的阴影部分，向矩形内随机投一点（该点落在矩形内任何一点是等可能的）；则所投的点落在阴影部分的概率是。

A.B.C.D.5、【题文】某人射击1次击中目标的概率为0.6,经过3次射击，此人至少两次击中目标的概率为（高☆考♂资♀源*网）A.B.C.D.6、【题文】设为等比数列的前项和，则A. 11B. 5C.D.7、【题文】已知等于A.B.C.D.8、如图所示为一电路图，从A到B共有（）条不同的线路可通电（）A. 1B. 2C. 3D. 49、若焦点在x轴上的椭圆的离心率为则m=（）A.B.C.D.评卷人得分二、填空题(共5题，共10分)10、甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为____．．11、设f（x）是定义在（-∞，+∞）上的奇函数，且在区间（0，+∞）上单调递增，若三角形的内角A 满足f（cosA）＜0，则A的取值范围是____．12、【题文】设函数有以下结论：①点（）是函数图象的一个对称中心；②直线是函数图象的一条对称轴；③函数的最小正周期是④将函数的图象向右平移个单位后；对应的函数是偶函数。

其中所有正确结论的序号是____。

2023-2024学年上海市高二下册开学考试数学模拟试题1(含解析)

2023-2024学年上海市高二下册开学考试数学模拟试题1(含解析)

2023-2024学年上海市高二下册开学考试数学模拟试题一、填空题1．已知集合{}{}3,1,0,1,2,1A B x x =--=>，则A B = __________.【正确答案】{}3,2-将A 中元素逐个代入判断1x >是否成立即可得解.【详解】将A 中元素逐个代入1x >，符合的有3-、2，即{}3,2A B ⋂=-.故答案为.{}3,2-本题考查了描述法表示集合和集合的交集运算，属于基础题.2．函数y =__________.【正确答案】(],0-∞【分析】由根式的性质，结合指数函数单调性及指对数关系求自变量范围，即得定义域.【详解】由题设1102x⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，故12log 10x ≤=，故定义域为(],0-∞.故(],0-∞3．设向量()2,1a = ，e 是与a 方向相反的单位向量，则e 的坐标为__________.【正确答案】55⎛-- ⎝⎭【分析】根据相反向量、向量模的概念，求得a 相反向量的坐标及模长，即可求e 的坐标.【详解】由a 相反向量为(2,1)--∴e = ()55--.故(4．复数34i -的虚部是__________.【正确答案】4-【分析】利用复数的相关概念即可得解.【详解】由复数虚部的概念，易知复数34i -的虚部为4-.故答案为.4-5．已知1sin 3α=-，则cos2α的值为__________.【正确答案】79【分析】应用二倍角余弦公式求值即可.【详解】由217cos212sin 1299αα=-=-⨯=.故796．在所有由1，2，3，4，5这五个数字组成的无重复数字的五位数中，任取一个数，则取出的数是奇数的概率为_________.【正确答案】35##0.6【分析】根据古典概型的概率公式即可解出．【详解】任意一个数，共有5种可能，而这个数是奇数的可能有3种，所以任取一个数，则取出的数是奇数的概率为35P =．故35．7．已知公差为()0d d ≠的等差数列{}n a ，其中2312a a a =，则12345a a a a a -+-=____________．【正确答案】34-##-0.75【分析】由题干条件得到143a d =-，从而求出答案.【详解】由题意得：()()21112a d a a d +=+，解得：()1340a d d +=，因为0d ≠，所以143a d =-，则12345122344443a a a a d d d a a d d -+---===-+-+，故34-8．已知一个圆柱的高不变，它的体积扩大为原来的4倍，则它的侧面积扩大为原来的___________倍.【正确答案】2【分析】求出底面半径扩大为原来的2倍，从而得到侧面积扩大为原来的2倍.【详解】设圆柱的高为h ，底面半径为r ，则体积为2πr h ，体积扩大为原来的4倍，则扩大后的体积为24πr h ，因为高不变，故体积()224ππ2r h r h =，即底面半径扩大为原来的2倍，原来侧面积为2πrh ，扩大后的圆柱侧面积为2π24πrh rh ⋅=，故侧面积扩大为原来的2倍.故29．某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A 和B ，系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为110和p ，若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，则p =________【正确答案】15##0.2【分析】根据相互独立事件概率的乘法公式和互斥事件的加法公式列方程即可求解.【详解】由题意可得：()()11149111110101050p p p ⎛⎫⎛⎫-+-+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理可得：90111045p -=，解得：15p =，故答案为.1510．直线l 过点()1,3P ，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为______【正确答案】3y x =或40x y +-=【分析】分截距为0和不为0两种情况讨论即可.【详解】错解：因为直线l 过点()1,3P ,且在两坐标轴上的截距相等,设直线l 的方程为1x y a a +=,则131a b +=,所以4a =,故直线l 的方程为144x y +=,即40x y +-=.错因：错误原因是忽略直线l 过原点,截距为零的情况.正解：若直线l 过原点，满足题意，此时直线l 的方程为3y x =；若直线l 不过原点，设直线l 的方程为1x y a a +=,则131a a +=，所以4a =,故直线l 的方程为144x y +=，即40x y +-=.综上，直线l 的方程为3y x =或40x y +-=.故3y x =或40x y +-=.11．将函数()y f x =的图象关于y 轴对称，得到()y g x =的图象，当函数()y f x =与()y g x =在区间[],a b 上同时递增或同时递减时，把区间[],a b 叫做函数()y f x =的“不动区间”．若区间[]1,2022为函数10x y t =-的“不动区间”，则实数t 的取值范围是_________．【正确答案】1,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】求出函数10x y t =-的图象关于y 轴对称对称的函数的解析式为10x y t -=-，分0t ≤、0t >两种情况讨论，化简两个函数的解析式，对两个函数在区间[]1,2022上的单调性进行分类讨论，可的关于实数t 的不等式（组），综合可求得实数t 的取值范围.【详解】函数10x y t =-的图象关于y 轴对称对称的函数的解析式为10x y t -=-，因为区间[]1,2022为函数10x y t =-的“不动区间”，所以，函数10x y t =-与函数10x y t -=-在[]1,2022上的单调性相同，若0t ≤，则1010x x y t t =-=-在[]1,2022上单调递增，1010x x y t t --=-=-在[]1,2022上单调递减，不合乎题意；若0t >，则10,lg 1010,lg x xx t x t y t t x t ⎧-≥=-=⎨-<⎩，10,lg 1010,lg x x x t x t y t t x t ---⎧-≤-=-=⎨->-⎩若函数10x y t =-在[]1,2022上单调递增，则lg 1t ≤，可得010t <≤，此时函数10x y t -=-在[]1,2022也单调递增，则lg 1t -≤，可得110t ≥，则11010t ≤≤；若函数10x y t =-在[]1,2022上单调递减，则lg 2022t ≥，可得202210t ≥，此时函数10x y t -=-在[]1,2022也单调递减，则lg 2022t -≥，可得2022010t -<≤，则t 不存在.综上所述，实数t 的取值范围是1,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为.1,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦12．已知数列{}n a 的前n 项和为()0,n n n S S T ≠为数列{}n S 的前n 项积，满足n n n n S T S T +=⋅（n 为正整数），其中11T a =，给出下列四个结论：①12a =；②2(21)n a n n =-；③{}n T 为等差数列；④1n n S n +=.其中所有正确结论的序号是__________.【正确答案】①③④【分析】根据关系式n n n n S T S T +=⋅，当1n =时，即可求得1a 的值；由n n n n S T S T +=⋅得1n n n S T S =-，当2n ≥时，可得1111n n n S T S ---=-，两式相除整理可证明11n S ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列，即可求得n S ，从而可求得,n n T a ，由此得以判断各结论.【详解】因为n n n n S T S T +=⋅()*n ∈N ，所以当1n =时，21111112S T S T a a +=⋅⇒=，解得12a =或10a =，又0n S ≠，所以10a ≠，故12a =，故①正确；因为n n n n S T S T +=⋅，易得1n S ≠，所以1n n n S T S =-，当2n ≥时，1111n n n S T S ---=-，所以11111n n n n n n T S S T S S ----=⨯-，则1111n n n n n S S S S S ---=⨯-，所以()11111111111111n n n n n n S S S S S S ------+===+----，则111111n n S S --=--，又1111111S a ==--，所以11n S ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以1111S =-为首项，1为公差的等差数列，所以()11111n n n S =+-⨯=-，则1n n S n+=，经检验，112S a ==满足上式，所以1n n S n+=，故④正确；所以11111n n n n S n T n n S n+===++--，则()111,2n n T T n n n --=+-=≥，所以{}n T 为等差数列，故③正确；当2n ≥时，()()221111111n n n n n n n a S S n n n n n n -+--=-===----，又12a =不符合上式，所以()2,11,21n n a n n n =⎧⎪=⎨-≥⎪-⎩，故②错误.故①③④.二、单选题13．已知0a >，0b >，若4a b +=，则A ．22a b +有最小值BC ．11a b +有最大值D有最大值【正确答案】A【分析】根据基本不等式的性质，即可求解22a b +有最小值，得到答案.【详解】由题意，可知a 0>，b 0>，且a b 4+=，因为0,0a b >>，则a b +≥2(42a b ab +≤=，所以()222a b a b 2ab 162ab +=+-=-16248≥-⨯=，当且仅当2a b ==时，等号成立，取得最小值8，故选A ．本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中合理应用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.14．设函数()sin cos f x a x x =+（a 为常数），则“0a =”是“()f x 为偶函数”的（）A ．充分非必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件【正确答案】C【分析】根据定义域为R 的函数()f x 为偶函数等价于()=()f x f x -进行判断.【详解】解：当0a =时，()sin cos cos f x x x x a =+=,所以()f x 为偶函数；当()f x 为偶函数时，()=()f x f x -对任意的x 恒成立，∴()sin()cos()sin +cos a f x x x a x x -=-+-=-，即sin cos sin +cos x x x x a a +=-，得sin 0a x =对任意的x 恒成立，从而0a =.从而“0a =”是“()f x 为偶函数”的充分必要条件.故选：C.15．点()2,1M 到直线()()():21130,R l x y λλλ++-+=∈的距离的最大值为（）AB C ．3D ．【正确答案】D【分析】由题意，求得直线所过定点，由两点之间距离公式，可得答案.【详解】由直线()()():21130,R l x y λλλ++-+=∈，整理可得()230x y x y λ-+++=，令2030x y x y -=⎧⎨++=⎩，解得12x y =-⎧⎨=-⎩，点()2,1M 到直线l 距离的最大值为点()2,1M 到定点()1,2--的距离，则=故选：D.16．()2,0A -，()2,0B ，()0,2C ，()1,0E -，()1,0F ，一束光线从点F 出发射到BC 上的点D ，经BC 反射后，再经AC 反射，落到线段AE 上（不含端点），则FD 的斜率的取值范围是（）A ．(),2-∞B ．()0,∞+C ．()1,+∞D ．()4,+∞【正确答案】D【分析】先根据题意求得()2,0A -关于直线BC 对称的点为()12,4A ，点()1,0E -关于直线AC 的对称点为()12,1E -，点()12,1E -关于直线BC 的对称点为()21,4E ，再数形结合得到点D 的变动范围，从而得到1FD A F k k >，由此得解.【详解】设直线BC 方程为y kx b =+，则022k b b =+⎧⎨=⎩，解得12k b =-⎧⎨=⎩，即:2BC y x =-+，即:20BC x y +-=，设()2,0A -关于直线BC 对称的点为()1,A x y ，则1222022y x x y ⎧=⎪⎪+⎨-⎪+-=⎪⎩，解得24x y =⎧⎨=⎩，即()12,4A ，14A F k =，同理可得：点()1,0E -关于直线:2AC y x =+的对称点为()12,1E -，点()12,1E -关于直线:2BC y x =-+的对称点为()21,4E ，如图所示：利用光线反射的性质可知，当这束光线反射后最终经过点A 时，则其先经过点N ；当这束光线反射后最终经过点E 时，则其先经过点M ；所以点,M N 之间为点D 的变动范围，因为()21,4E ，()1,0F ，所以直线2FE ，即直线FM 斜率不存在，而14FN A F k k ==，所以4FD FN k k >=，即()4,FD k ∈+∞.故选：D三、解答题17．如图，设长方体1111ABCD A B C D -中，3AB BC ==，14AA =．(1)求异面直线1A B 与1B C 所成角的大小；(2)求二面角11B A C B --的大小．【正确答案】(1)16arccos25(2)9arccos 25【分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得；【详解】（1）解：以DA ，DC ，1DD 为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()13,0,4A ，()3,3,0B ，()13,3,4B ，()0,3,0C，∴()10,3,4A B =-uuu r ，()13,0,4B C =-- ，11111116cos ,25169169A B B C A B B C A B B C⋅∴==+⨯+ ，∴异面直线1A B 与1B C 所成角的大小为16arccos25；（2）解：()110,3,0A B = ，()3,0,0CB = ，设平面1A BC 的一个法向量为(),,n x y z =r ，则134030n A B y z n CB x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，令4y =，则()0,4,3n = ，设平面11A B C 的一个法向量为(),,m a b c =，则11130340m A B b m B C a c ⎧⋅==⎪⎨⋅=--=⎪⎩ ，令4a =，则()4,0,3n =-，9cos ,25n m n m n m ⋅∴===- ，又二面角11B A C B --为锐二面角，∴二面角11B A C B --的大小为9arccos 25．18．在ABC 中，有πsin cos 6b A a B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其中,,a b c 分别为角,,A B C 的对边.(1)求角B 的大小；(2)设点D 是AC的中点，若BD =a c +的取值范围.【正确答案】(1)π3B =；(2)4a c <+≤.【分析】（1）由正弦定理边角关系将条件转化为πsin cos 6a B a B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，应用差角余弦公式及三角形内角性质求角的大小；（2）延长BD 到E 满足DE BD =，连接,AE CE ，易知ABCE 为平行四边形，再应用余弦定理、基本不等式求a c +上界，结合三角形三边关系求下界，即可得范围.【详解】（1）在ABC 中，由正弦定理sin sin a b A B=，可得sin sin b A a B =，由πsin cos 6b A a B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得πsin cos 6a B a B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即πsin cos 6B B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以1sin sin 22B B B =+，可得tan B =，又0πB <<，可得π3B =.（2）如图，延长BD 到E 满足DE BD =，连接,AE CE ，则ABCE 为平行四边形，则2π,,3BE BAE AB c AE BC a =∠====，在BAE中，由余弦定理得：2222π2cos3a c ac =+-，即2212,a c ac ++=可变形为：2()12a c ac +-=，即2()12ac a c =+-，由基本不等式得：22()122a c ac a c +⎛⎫=+-≤ ⎪⎝⎭，即2()16a c +≤，得4a c +≤（当且仅当2a c ==取等号）.又AE AB BE +>，有a c +>a c +的取值范围是4a c <+≤.19．已知ABC 的顶点()5,1A ，重心()3,3G ．(1)求线段BC 的中点坐标；(2)记ABC 的垂心为H ，若B 、H 都在直线y x =-上，求H 的坐标．【正确答案】(1)(2,4)(2)(5,5)H -【分析】第一问根据顶点到重心的距离与重心到底边中点的距离比为2:1，可得对应的共线向量解决求BC 的中点；根据BH 求AC ，设点C 的坐标，根据BC 的中点可以用C 表示B ，根据点C 在AC 上且点B 在BH 上，求出点C 的坐标，根据BC 与AH 垂直求出AH 的方程，然后联立AH 与BH .【详解】（1）设BC 中点()00,M x y ，因为G 为ABC 的重心，且()()5,1,3,3A G ，所以2AG GM = ，即()()002223,3x y -=--，所以0000312314x x y y -=-=⎧⎧∴⎨⎨-==⎩⎩，所以BC 中点()2,4M （2）因为BH 的方程为y x =-，且H 为ABC 的垂心所以1BH AC k k ⋅=-即11AC k -⋅=-，所以1AC k =所以直线AC 的方程为：15y x -=-，即4y x =-所以设点(),4C C C x x -，又因为BC 的中点()2,4M ，设(),B B B x y 则2244248B C B C x x y x +=⨯=⎧⎨+-=⨯=⎩即412B C B C x x y x =-⎧⎨=-⎩又因为点B 在直线y x =-上，即()124C C x x -=--，所以8C x =所以()8,4C ，所以44082BC MC k k -===-，则BC 边上的高线AH 为5x =而点H 也在直线BH ：y x =-上，所以点H 的坐标即为AH 与BH 的交点即()5,5H -.20．第22届世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔尔举办．在决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军．(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有23的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数X 的分布列和期望；(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲､乙､丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n 次传球之前球在甲脚下的概率为pn ，易知121,0==p p ．①试证明：13n p ⎧⎫-⎨⎩⎭为等比数列；②设第n 次传球之前球在乙脚下的概率为qn ，比较p 10与q 10的大小．【正确答案】(1)分布列见解析；期望为13(2)①证明见解析；②1010p q <【分析】（1）方法一：先计算门将每次可以扑出点球的概率，再列出其分布列，进而求得数学期望；方法二：判断13,9X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，结合二项分布的分布列和期望公式确定结论；（2）①记第n 次传球之前球在甲脚下的概率为n p ，则当2n ≥时，第n 1-次传球之前球在甲脚下的概率为1n p -，由条件确定1,n n p p -的关系，结合等比数列定义完成证明；②由①求出1010,p q ，比较其大小即可.【详解】（1）方法一：X 的所有可能取值为0,1,2,3，在一次扑球中，扑到点球的概率111133339P =⨯⨯⨯=，所以()()3201338512181920C ,1C 972999729P X P X ⎛⎫⎛⎫=====⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()2323331824112C ,3C 997299729P X P X ⎛⎫⎛⎫==⋅⨯==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以X 的分布列如下：X0123P 512729192729247291729()19224311237297297297293241E X =⨯++⨯==方法二：依题意可得，门将每次可以扑到点球的概率为111339p =⨯=，门将在前三次扑到点球的个数X 可能的取值为0,1,2,3，易知13,9X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，所以()3318C ,0,1,2,399k k k P X k k -⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故X 的分布列为：X0123P 5127296424382431729所以X 的期望()11393E X =⨯=．（2）①第n 次传球之前球在甲脚下的概率为n p ，则当2n ≥时，第n 1-次传球之前球在甲脚下的概率为1n p -，第n 1-次传球之前球不在甲脚下的概率为11n p --，则()11111101222n n n n p p p p ---=⨯+-⨯=-+，即1111323n n p p -⎛⎫-=-- ⎝⎭，又11233p -=，所以13n p ⎧⎫-⎨⎩⎭是以23为首项，公比为12-的等比数列．②由①可知1211323n n p -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以91021113233p ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭，所以()910101122111223323q p ⎡⎤⎛⎫=-=->⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，故1010p q <．21．设函数()f x 的定义域为R .若存在实数()a b m n a b ≠、、、使得()()22f x f a x m +-=，()()22f x f b x n +-=均对任意x R ∈成立，则称()f x 为“(),,,a b m n 型—Ω函数”.（1）若()f x 是“()0,1,0,0型—Ω函数”，求()2020f 的值；（2）若()f x 是“()0,1,0,1型—Ω函数”，求证：函数()y f x x =-是周期函数；（3）若()f x 是“(),,,a b m n 型—Ω函数”，且()f x 在R 上单调递增，求证：存在正实数c 、M ，使得()f x cx M -≤对任意x R ∈成立.【正确答案】（1）0；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）由()f x 是“()0,1,0,0型—Ω函数”，可得0,1,0,0a b m n ====，结合已知条件，即可求得()2020f 值；（2）由()f x 是“()0,1,0,1型—Ω函数”，可得0,1,0,0a b m n ====，结合已知条件，推导出()()()22f x x f x x +-+=-，根据周期函数定义，即可求得答案；（3）构造函数()()g x f x cx =-，设m n c a b -=-，根据已知条件推导出()g x 是周期函数，结合已知条件，即可求得答案.【详解】（1） 函数()f x 的定义域为R .若存在实数()a b m n a b ≠、、、使得()()22f x f a x m +-=，()()22f x f b x n +-=均对任意x R ∈成立，则称()f x 为“(),,,a b m n 型—Ω函数”若()f x 是“()0,1,0,0型—Ω函数”则0,1,0,0a b m n ====，将其代入()()22f x f a x m +-=，()()22f x f b x n +-=可得：()()0f x f x +-=，令0x =，可得()00f =()()()()()202f x f x f x f x f x +-=⇒+=--=2T ⇒=()()202000f f ⇒==（2） ()f x 是“()0,1,0,1型—Ω函数”则0,1,0,1a b m n ====，将其代入()()22f x f a x m +-=，()()22f x f b x n +-=可得：()()0f x f x +-=，()()()()()22222f x f x f x f x f x +-=⇒+=--=+()()()22f x x f x x⇒+-+=-∴()y f x x =-，周期为：2T =∴函数()y f x x =-是周期函数（3）()()22f x f a x m +-=，()()22f x f b x n +-=⇒()()()()222222f x m f a x m n f b a x =--=---+()2222mm n f x b a =--+-令0m n c a b-=>-及()()g x f x cx =-，则()()()()2222g x f x cx f x b a c x b a =-=+--+-()22g x b a =+-，不妨设0b a T -=>，则()g x 是周期为T 的函数.∵12x x <时，()()()()121122f x f x g x cx g x cx <⇒+<+()()1212g x g x c x x ⇒-<-，对任意12,x x R ∈，对任意x R ∈，取()0,t T ∈使()()g x g t =()()()()00g x g g t g ct cT ⇒-=-<<()()120g x g cT x x ⇒≤+-，对任意12,x x R ∈，综上，取0m n c a b-=>-，()0M g cT =+，则()f x x M -≤对任意x R ∈成立本题解题关键是理解()f x 为“(),,,a b m n 型—Ω函数”定义和周期的求法，考查了分析能力和计算能力，属于难题.。

上海同济大学实验学校数学高二下期中阶段练习(培优专题)

上海同济大学实验学校数学高二下期中阶段练习(培优专题)

一、选择题1．(0分)[ID ：13609]已知向量a ，b 满足2a =，||1b =，且2b a +=，则向量a 与b 的夹角的余弦值为（ ）A ．2B C D 2．(0分)[ID ：13602]在ABC ∆中，若()()sin 12cos sin()A B B C A C -=+++，则ABC ∆的形状一定是（ ）A ．等边三角形B ．不含60°的等腰三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形3．(0分)[ID ：13599]已知向量5168,77AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，68,77AC ⎛⎫= ⎪⎝⎭，D ，E 是线段BC 上两点，且15BD BC =，13CE CB =，则向量AD 与AE 的关系是（ ） A ．2AD AE = B ．12AD AE =C ．AD AE ⊥D ．AD 与AE 成60︒夹角4．(0分)[ID ：13581]若在直线l 上存在不同的三点 A B C 、、，使得关于x 的方程20x OA xOB BC ++=有解（O l ∉），则方程解集为（ ）A ．∅B ．{}1-C ．{}1,0-D ．1122⎧-+-⎪⎨⎪⎪⎩⎭5．(0分)[ID ：13580]在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，三边a ，b ，c 成等差数列，且6B π=，则()2cos cos A C -的值为（ ）A ．1BC ．22+D ．06．(0分)[ID ：13559]已知平面向量()2,a x =-，()1,3b =，且()a b b -⊥，则实数x 的值为（ ）A ．-B ．C ．D ．7．(0分)[ID ：13613]已知在ABC 中，::3:2:4sinA sinB sinC =，那么cosC 的值为（ ） A ．14-B ．14C ．23-D ．238．(0分)[ID ：13611]若1sin 24α=，42ππα<<，则cos sin αα-的值是（ ）A ．2B ．C ．34D ．34-9．(0分)[ID ：13594]已知向量()()2,1,,2a b x ==-，若//a b ，则a b +=（ ） A ．()2,1--B ．()2,1C ．()3,1-D ．()3,1-10．(0分)[ID ：13592]已知向量a,b 满足a 1=，a b 1⋅=-，则a (2a b)⋅-= A ．4B ．3C ．2D ．011．(0分)[ID ：13572]将函数()()sin 222f x x ππθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象向右平移()1ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()(),f x g x 的图象都经过点0P ⎛ ⎝⎭，则ϕ的值可以是（ ）A ．53πB ．56π C ．2π D ．6π 12．(0分)[ID ：13571]已知点P 是直线:260l x y +-=上的动点，过点P 作圆222:(2)C x y r ++=(0)r >的两条切线PM ，PN ，M ，N 为切点.若MPN ∠的最大值为60︒，则r 的值为（ ）A ．2B ．1C ．D 13．(0分)[ID ：13536]将函数()2sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位，得到函数()g x 的图象，则2g π⎛⎫ ⎪⎝⎭（ ）AB ．2C ．D ．014．(0分)[ID ：13533]下列命题中，真命题是（ ） A ．若a 与b 互为相反向量，则0a b += B ．若0a b ⋅=，则0a =或0b = C ．若a 与b 都是单位向量，则1a b ⋅=D ．若k 为实数且0ka =，则0k =或0a =15．(0分)[ID ：13529]设O 是△ABC 所在平面上的一点，且满足()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，则△ABC 的形状一定是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．以上都不对二、填空题16．(0分)[I∆：13720]∆ABC 的AB 边中点为D ，AC =1，BC =2，则AB CD ⋅的值为_______________.17．(0分)[ID ：13713]若向量a 、b 满足a ＝1，b ＝2，且a 与b 的夹角为3π，则a b +＝_________.18．(0分)[ID ：13704]设等边三角形ABC 的边长为6，若3BC BE =，AD DC =，则BD AE ⋅=______.19．(0分)[ID ：13702]在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP =λ AB +μAD ，则λ+μ的最大值为__________． 20．(0分)[ID ：13699]向量||8a =，b 12=，则b a +的最大值和最小值的和是________.21．(0分)[ID ：13663]已知向量a →，b →均为单位向量，若它们的夹角是60°，则3a b -等于___________；22．(0分)[ID ：13662]函数f (x )＝3sin x +cos x 的最大值是___________.23．(0分)[ID ：13658]ABC ∆的三个顶点坐标分别为()1,2A -，()3,1B -，()5,3C -，D 是BC 上一点，若14ABD ABC S S ∆∆=，则D 的坐标为________. 24．(0分)[ID ：13648]ABC 中，D 是边AC 的中点，点P 满足12BP PC =，则向量DP 用向量AB ，AC 表示为____________．25．(0分)[ID ：13645]如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==．若点E 为边CD 上的动点，当AE BE ⋅取到最小值时，DE 的长为______．三、解答题26．(0分)[ID ：13814]已知02ω<<，函数()sin 4f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，且()2f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的最小正周期；（2）若()f x 在[],t t -上单调递增，求t 的最大值.27．(0分)[ID ：13793]已知函数()22cos sin 2x f x a x b ⎛⎫=++⎪⎝⎭.（1）当1a =时，求()f x 的单调递增区间；（2）当0a >，且[]0,x π∈时，()f x 的值域是[]3,4，求a ，b 的值.28．(0分)[ID ：13773]已知函数2()sin cos f x x x x =+．（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间; （2）当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的值域．29．(0分)[ID ：13742]已知直线l 上两个点()()0330A C ，、，，其中O 为坐标原点． （1）若1433OD OA OC =+，求点D 的坐标，并确定点D 与直线l 的位置关系； （2）已知点B 是直线l 上的一点，求证：若存在实数m 、n ，使向量OB mOA nOC =+，则1m n +=30．(0分)[ID ：13782]已知动点M 到点()A 1,0-与点()B2,0的距离之比为2，记动点M 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)过点()P 6,2作曲线C 的切线，求切线方程．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．D 2．C 3．A 4．B 5．A 6．B 7．A9．A10．B11．B12．D13．A14．D15．A二、填空题16．【解析】【分析】如图所示利用向量的运算法则将向量和都用和来表示然后展开即可得出答案【详解】如图所示：在△ABC中有由D是AB边的中点则有又因AC1BC2所以故答案为：【点睛】本题考查了向量的运算17．【解析】【分析】由夹角为利用平面向量数量积公式求得平方的值从而可得结果【详解】夹角为所以所以故答案为18．-18【解析】【分析】由已知得由此根据数量积定义求出的值【详解】∵等边三角形的边长为6∴为中点∴∵∴∴故答案为：-18【点睛】本题考查向量数量积的求法是中档题解题时要认真审题注意平面向量加法法和向量19．【解析】分析：如图：以A为原点以ABAD所在的直线为xy轴建立如图所示的坐标系先求出圆的标准方程再设点P的坐标为（cosθ+1sinθ+2）根据=λ+μ求出λμ根据三角函数的性质即可求出最值详解：如20．24【解析】【分析】计算得到取得到最大最小值得到答案【详解】当时有最大值为；当时有最大值为；故答案为：【点睛】本题考查了向量模的最值计算是解题的关键21．【解析】【分析】结合向量数量积先求向量模的平方再开方得结果【详解】【点睛】本题考查向量的模以及向量数量积考查基本求解能力22．【解析】由23．【解析】【分析】根据等高的两个三角形的面积之比等于底边长之比可得再得到设出的坐标代入可解得【详解】因为又因为所以所以所以所以设所以所以所以且解得且所以的坐标为故答案为:【点睛】本题考查了向量共线的坐24．【解析】【分析】利用向量加法和减法的运算将用表示出来【详解】依题意故答案为：【点睛】本小题主要考查平面向量加法和减法的运算考查平面向量基本定理属于基础25．【解析】【分析】设由已知结合余弦定理可求而展开结合向量的数量积的运算及二次函数的性质即可求出结果【详解】设中由余弦定理可得中此时故答案为：【点睛】本题以向量的基本运算为载体主要考查了向量的数量积的定三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】根据平方运算可求得12a b⋅=，利用cos,a ba ba b⋅<>=求得结果.【详解】由题意可知：2222324b a b a b a a b+=+⋅+=+⋅=，解得：12a b⋅=1cos ,422a b a b a b⋅∴<>===本题正确选项：D 【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过平方运算求得向量的数量积.2．C解析：C 【解析】 【分析】结合三角形的性质，对等式进行恒等变换，可以得到sin 1C =，进而求出角C 是直角，即可选出答案． 【详解】由题意知，()sin sin cos sin cos A B A B B A -=-，()()cos sin cos sin B C A C A B ++=-， 所以题中等式可转化为：sin cos sin cos 12cos sin A B B A A B -=-， 即sin cos sin cos 1A B B A +=， 则()sin 1A B +=， 故sin 1C =， 所以角C 为直角，即ABC ∆的形状一定是直角三角形． 故答案为C. 【点睛】本题考查了三角形的性质，及三角恒等变换，属于基础题．3．A解析：A 【解析】 【分析】先求出=6,8AD （），=3,4AE （），所以2AD AE =，即得解. 【详解】1141()5555AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+45168168,,(6,8)577577⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 111215168268(),,3333377377AE AC CE AC CB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+=+=+-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(3,4)=，所以2AD AE =. 故选：A.本题主要考查基底法和向量的坐标运算，考查共线向量，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4．B解析：B 【解析】 【分析】利用向量的运算法则将等式中的向量都用以O 为起点的向量表示，利用三点共线的条件列出方程求出x . 【详解】20x OA xOB BC ++=，即20x OA xOB OC OB ++-=，所以2x OA xOB OB OC --+=， 因为,,A B C 三点共线，所以2(1)1x x -+-=，解得120,1x x ==-，当0x =时，20x OA xOB BC ++=等价于0BC =，不合题意， 所以1x =-，即解集为{}1-， 故选B. 【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的减法运算，三点共线的条件对应的等量关系式，属于简单题目.5．A解析：A 【解析】 【分析】三边a ，b ，c 成等差数列，可得2b a c =+，利用正弦定理可得：2sin sin sin B A C =+，即sin sin 1A C +=，设cos cos A C m -=，平方相加即可得出． 【详解】解：三边a ，b ，c 成等差数列， 2b a c ∴=+，利用正弦定理可得：2sin sin sin B A C =+，sin sin 2sin16A C π∴+==，设cos cos A C m -=，则平方相加可得：222cos()1A C m -+=+，22cos 11m B ∴=+=．故选：A ．本题考查了等差数列的通项公式性质、正弦定理、同角三角函数基本关系式、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．B解析：B 【解析】∵向量()2,a x =-，()1,3b =， ∴(3,3)a b x -=-- ∵()a b b -⊥∴()0a b b -⋅=，即310x -⨯+-=∴x =故选B7．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】::sin :sin :sin 3:2:4a b c A B C == ，不妨设3,2,4a k b k c k ===，,则()()()2223241cos 2324k k k C k k+-==-⨯⨯ ，选A.8．B解析：B 【解析】22122cos ,sin cos 14sin sin ααααα==+=，()213cos 144sin αα∴-=-=，,cos sin 42ππααα<<∴-= B. 9．A解析：A 【解析】 【分析】先根据向量的平行求出x 的值，再根据向量的加法运算求出答案． 【详解】向量()()2,1,,2a b x ==-， //a b ， 22x ∴⨯-=（），解得4x =-， ∴214221a b +=+--=--（，）（，）（，），【点睛】本题考查了向量的平行和向量的坐标运算，属于基础题．10．B解析：B 【解析】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.详解：因为22(2)22||(1)213,a a b a a b a ⋅-=-⋅=--=+= 所以选B.点睛：向量加减乘： 221212(,),||,cos ,a b x x y y a a a b a b a b ±=±±=⋅=⋅11．B解析：B 【解析】 试题分析：依题意，因为()f x 、()g x 的图象都经过点3P ⎛ ⎝⎭，所以()3sin {3sin 22θθϕ=-=，因为22ππθ-<<，所以3πθ=，223k πθϕπ-=+或()2223k k Z πθϕπ-=+∈，即k ϕπ=-或()6k k Z πϕπ=--∈．在()6k k Z πϕπ=--∈中取1k =-，即得56πϕ=，选B ． 考点：1.图象的平移；2.由三角函数值求角．【方法点晴】本题主要考查的是三角函数图象的变换，属于中档题题，本题首先根据平移变换得到()()sin 22g x x θϕ=+-，再由函数均经过30,2P ⎛ ⎝⎭，将0x =代入两个函数可得()3sin 2{3sin 2θθϕ=-=22ππθ-<<，得3πθ=和223k πθϕπ-=+或()2223k k Z πθϕπ-=+∈，解出k ϕπ=-或()6k k Z πϕπ=--∈，再取k 值即可．本题一定注意角的范围，否则容易出错．12．D解析：D 【解析】 【分析】根据题意，画出图象，当MPN ∠取得最大值时，则MPC ∠取得最大值，而sin MC rMPC PC PC∠==，当PC 取得最小值时，MPC ∠取得最大值，结合已知，即可求得答案. 【详解】结合题意，绘制图象如下：当MPN ∠取得最大值时， 则MPC ∠取得最大值，而sin MC rMPC PC PC∠==， 当PC 取得最小值时，MPC ∠取得最大值.故PC 的最小值为点C 到该直线的距离， 故222521d ==+故1sin 30225r PC ==︒=，解得5r = 故选：D . 【点睛】本题主要考查了圆的基础知识，和数形结合，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.13．A解析：A 【解析】 【分析】根据平移关系求出()g x 32sin 22sin 2444x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，代入即可求解. 【详解】由题函数()2sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位，得到函数()g x 的图象， 所以()g x 32sin 22sin 2444x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以2g π⎛⎫⎪⎝⎭32sin 2sin 44πππ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭. 故选：A 【点睛】此题考查根据函数的平移求函数解析式，并根据函数解析式求函数值，需要熟练掌握函数的平移变换.14．D解析：D 【解析】 【分析】根据两个向量和仍然是一个向量，可以判断A 的真假；根据向量数量积为0，两个向量可能垂直，可以判断B 的真假；根据向量数量积公式，我们可以判断C 的真假；根据数乘向量及其几何意义，可以判断D 的真假；进而得到答案． 【详解】对A ，若a 与b 互为相反向量，则0a b +=，故A 为假命题； 对B ，若0a b ⋅=，则0a =或0b =或a b ⊥，故B 为假命题； 对C ，若a ，b 都是单位向量，则11a b -⋅，故C 为假命题； 对D ，若k 为实数且0ka =，则0k =或0a =，故D 为真命题； 故选：D ． 【点睛】本题考查向量的加法及其几何意义、向量的数乘运算及其几何意义、面向量的数量积的运算，其中熟练掌握平面向量的基本定义，基本概念，是解答本题的关键．15．A解析：A 【解析】 【分析】根据已知条件，利用向量的线性运算以及数量积运算，证得AB AC =，由此证得ABC ∆是等腰三角形.【详解】由()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，得()()0CB OB OA OC OA ⎡⎤⋅-+-=⎣⎦，()()0AB AC AB AC -⋅+=，220ABAC -=，所以AB AC =，所以ABC ∆是等腰三角形. 故选：A 【点睛】本小题主要考查平面向量线性运算，考查平面向量数量积运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.二、填空题16．【解析】【分析】如图所示利用向量的运算法则将向量和都用和来表示然后展开即可得出答案【详解】如图所示：在△ABC 中有由D 是AB 边的中点则有又因AC 1BC 2所以故答案为：【点睛】本题考查了向量的运算解析：32【解析】 【分析】如图所示，利用向量的运算法则，将向量AB 和CD 都用CB 和CA 来表示，然后展开即可得出答案. 【详解】如图所示：在△ABC 中，有AB CB CA =-，由D 是AB 边的中点，则有CB CACD 2+=， 又因AC =1，BC =2，所以()()()2222CB CA 113AB CD CB CA CB CA 212222+⋅=-⋅=-=-=.故答案为：32. 【点睛】本题考查了向量的运算法则的应用，能够把向量AB 和CD 进行有效的转化是解题的关键，属于一般难度的题.17．【解析】【分析】由夹角为利用平面向量数量积公式求得平方的值从而可得结果【详解】夹角为所以所以故答案为 7【解析】 【分析】由1,2,,a b a b ==夹角为3π，利用平面向量数量积公式，求得a b +平方的值，从而可得结果. 【详解】1,2,,a b a b ==夹角为3π，所以2222a ba b a b +=++⋅142cos 3a b π=++152125272=+⨯⨯⨯=+= 所以7a b +=，故答案为7. .18．-18【解析】【分析】由已知得由此根据数量积定义求出的值【详解】∵等边三角形的边长为6∴为中点∴∵∴∴故答案为：-18【点睛】本题考查向量数量积的求法是中档题解题时要认真审题注意平面向量加法法和向量解析：-18 【解析】 【分析】由已知得12BD BA AC =+，13AE AB BC =+，由此根据数量积定义求出BD AE ⋅的值. 【详解】∵等边三角形ABC 的边长为6，AD DC =， ∴D 为AC 中点，∴12BD BA AC =+， ∵3BC BE =，∴13AE AB BC =+， ∴1123BD AE BA AC AB BC ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111326BA AB BA BC AC AB AC BC ⋅+⋅+⋅+⋅1113636cos6066cos6066cos60326=-+⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒36693=-+++18=-.故答案为：-18.【点睛】本题考查向量数量积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意平面向量加法法和向量数量积公式的合理运用.19．【解析】分析：如图：以A为原点以ABAD所在的直线为xy轴建立如图所示的坐标系先求出圆的标准方程再设点P的坐标为（cosθ+1sinθ+2）根据=λ+μ求出λμ根据三角函数的性质即可求出最值详解：如解析：3【解析】分析：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，先求出圆的标准方程，再设点P的坐标为（255cosθ+1，255sinθ+2），根据AP=λAB+μAD，求出λ，μ，根据三角函数的性质即可求出最值．详解：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，设圆的半径为r，∵BC=2，CD=1，∴2221+5∴12BC•CD=12BD•r，∴5∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=45，设点P的坐标为（255cosθ+1，55sinθ+2），∵AP=λAB+μAD，∴（5cosθ+1，5sinθ+2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ），cosθ+1=λsinθ+2=2μ，∴（θ+φ）+2，其中tanφ=2， ∵﹣1≤sin （θ+φ）≤1， ∴1≤λ+μ≤3，故λ+μ的最大值为3， 故答案为：3．点睛：本题考查了向量的坐标运算以及圆的方程和三角函数的性质，关键是设点P 的坐标，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题．20．24【解析】【分析】计算得到取得到最大最小值得到答案【详解】当时有最大值为；当时有最大值为；故答案为：【点睛】本题考查了向量模的最值计算是解题的关键解析：24 【解析】 【分析】计算得到2||208192cos a b θ+=+，取cos 1θ=，cos 1θ=-得到最大最小值得到答案. 【详解】222||2208192cos a b a b a b θ+=++⋅=+当cos 1θ=时，||a b +有最大值为20；当cos 1θ=-时，||a b +有最大值为4； 故答案为：24 【点睛】本题考查了向量模的最值，计算2||208192cos a b θ+=+是解题的关键.21．【解析】【分析】结合向量数量积先求向量模的平方再开方得结果【详解】【点睛】本题考查向量的模以及向量数量积考查基本求解能力【解析】 【分析】结合向量数量积先求向量模的平方，再开方得结果. 【详解】2239619611a b a b a b -=+-⋅=+-⨯⨯=【点睛】本题考查向量的模以及向量数量积，考查基本求解能力.22．【解析】由 解析：2【解析】由max ()cos 2sin()()26f x x x x f x π=+=+⇒=.23．【解析】【分析】根据等高的两个三角形的面积之比等于底边长之比可得再得到设出的坐标代入可解得【详解】因为又因为所以所以所以所以设所以所以所以且解得且所以的坐标为故答案为:【点睛】本题考查了向量共线的坐 解析：()1,0【解析】 【分析】根据等高的两个三角形的面积之比等于底边长之比,可得||1||3BD DC =,再得到13BD DC =,设出D 的坐标,代入13BD DC =可解得. 【详解】因为||||ABD ABCS BD SBC =,又因为14ABD ABC S S ∆∆=,所以14ABD ABCS S =, 所以||1||4BD BC =,所以||1||3BD DC =, 所以13BD DC =, 设(,)D a b ,所以(3,1)BD a b =-+,(5,3)DC a b =---, 所以1(3,1)(5,3)3a b a b -+=---, 所以13(5)3a a -=--且11(3)3b b +=-, 解得1a =,且0b =, 所以D 的坐标为(1,0). 故答案为:(1,0). 【点睛】本题考查了向量共线的坐标表示,平面向量基本定理,属于基础题.24．【解析】【分析】利用向量加法和减法的运算将用表示出来【详解】依题意故答案为：【点睛】本小题主要考查平面向量加法和减法的运算考查平面向量基本定理属于基础题解析：2136AB AC - 【解析】 【分析】利用向量加法和减法的运算，将DP 用AB ，AC 表示出来. 【详解】依题意()12122323DP DC CP AC CB AC AB AC =+=+=+-2136AB AC =-. 故答案为：2136AB AC -.【点睛】本小题主要考查平面向量加法和减法的运算，考查平面向量基本定理，属于基础题.25．【解析】【分析】设由已知结合余弦定理可求而展开结合向量的数量积的运算及二次函数的性质即可求出结果【详解】设中由余弦定理可得中此时故答案为：【点睛】本题以向量的基本运算为载体主要考查了向量的数量积的定 3【解析】 【分析】设DE x =，由已知结合余弦定理可求30ABD BDA ∠=∠=︒，而()()AE BE AD DE BA AD DE ⋅=+⋅++，展开结合向量的数量积的运算及二次函数的性质，即可求出结果． 【详解】 设DE x =，1201BAD AB AD ∠=︒==，，ABD △中，由余弦定理可得，2221BD AB AD 2AB AD cos1201121132︒⎛⎫=+-⋅=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，BD ∴=ABD ∆中，30ABD BDA ∠=∠=︒，AB BC AD CD ⊥⊥，()()AE BE AD DE BA AD DE ∴⋅=+⋅++22AD BA AD AD DE DE BA DE AD DE =⋅++⋅+⋅+⋅+22311cos 60101cos150022x x x ︒︒=⨯⨯++-++⨯⨯++2322x x =-+ 221211616x ⎛=+≥ ⎝⎭，此时4DE x ==，【点睛】本题以向量的基本运算为载体，主要考查了向量的数量积的定义的应用及二次函数的最值的求解，属于知识的简单综合．三、解答题 26．（1）2π；（2）4π. 【解析】 【分析】（1）由题意可得()f x 的图象关于直线4x π=对称，由此求得ω的值，可得它的最小正周期．（2）根据()f x 在[-t ，t ]上单调递增，可得42t ππ-+≥-，且42t ππ+≤，由此解得t的最大值． 【详解】（1）因为()2f x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 所以()f x 的图象关于直线4x π=对称，所以()442k k Z πππωπ⨯+=+∈，解得()14k k Z ω=+∈，又因为02ω<<，所以1ω=， 则()f x 的最小正周期22T ππω==.（2）因为()sin 4f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以()f x 的单调递增区间为()32,244k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦. 因为()f x 在[],t t -上单调递增，所以434t t t t ππ⎧⎪⎪⎪--⎨⎪>-⎪⎪⎩，解得04t π<≤.故t 的最大值为4π. 【点睛】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，正弦函数的单调性和周期性，属于中档题．27．（1）()32,244kk k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）1,3a b == 【解析】 【分析】（1）当1a =时，利用降幂公式22cos1cos 2xx =+，和辅助角公式化简函数()14f x x bπ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，再求函数的单调递增区间；（2）类似于（1）的化简()sin 4f x x b a π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，先求4x π+的范围，再求sin 4x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的范围，再用,a b 表示函数的最值，列方程组求解.【详解】 （1）当1a =时，()22cossin 1cos sin 2x x b x x b f x =++=+++14x b π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭.由()22242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈得：()32244k x k k Z ππππ-≤≤+∈， 所以()f x 的单调递增区间为()32,244k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）因为()22cos sin 2x f x a x b ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()1cos sin 2sin 4a x x b a x b a π⎛⎫=+++=+++ ⎪⎝⎭， []50,,sin 4444x x x πππππ⎡⎤⎛⎫∈⇒+∈⇒+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭2,12sin ,224a x a a π⎡⎤⎛⎫⎡⎤∈-⇒+∈-⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎣⎦， 所以，()(),21f x b a b ⎡⎤∈++⎣⎦，又()f x 的值域是[]3,4， 所以3b =，432121a -==-+. 【点睛】 本题考查三角函数恒等变形和三角函数性质的综合应用，属于基础题型，本题的关键是熟练掌握降幂公式和辅助角公式.28．（1）最小正周期为T π=，单调递增区间是5[,]1212k k ππππ-++，k ∈Z ；（2）值域是30,12⎡⎤+⎢⎥⎣⎦． 【解析】【分析】【详解】（1）3sin(2)32x π=-+， ∴函数的最小正周期为T π=， ∵222232k x k πππππ-+≤-≤+，解得51212k x k ππππ-+≤≤+，，∴函数的单调递增区间是5[,]1212k k ππππ-++，k ∈Z ； （2）∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 3sin(2)3x π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦， ∴3()0,1f x ⎡∈+⎢⎣⎦．29．（1）点D 的坐标为()41，,点D 不在直线l 上（2）证明见解析【解析】【分析】（1）运用平面向量的坐标表示，求得D 的坐标，即可判定，得到结果；（2）运用平面向量基本定理，求得(1)OB OC OA λλ=+-，进而求得,m n ，即可得到结果．【详解】（1）由题意，向量14033001404133OD ==+=+=（，）（，）（，）（，）（，）， 所以点D 的坐标为(4,1)，又因为14133+≠，所以点D 不在直线l 上． （2）因为点B 是直线l 上的一点()AB AC OC OA λλ==⋅-，所以OB OA OC OA λλ-=-，即(1)OB OC OA λλ=+-，又由OB OA nOC +=，可得得1,m n λλ=-=，所以11m n λλ+=-+=所以命题得证．【点睛】本题主要考查了平面向量的坐标运算，以及平面向量的基本定理的应用，其中解答中熟练应用平面向量的基本定理是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 30．(1)()2234x y -+=；(2) 125620x y --=或2y =．【解析】【分析】(1)根据题意设出M 点的坐标，然后根据距离之比等于2，化简出x ，y 的关系式，求出M 的轨迹方程.(2)由第一问的结论可判断点()P 6,2在圆外，可知切线方程有两条，设出切线方程，根据圆心到直线的距离公式可求出斜率k 的值，从而求出切线方程.【详解】（1）设动点M 的坐标为(),x y ， 则MA MB ==2=，化简得()2234x y -+=，因此，动点M 的轨迹方程为()2234x y -+=；（2）∵圆心(3,0)到点(6,2)3，∴点(-2,4)在已知圆外,过该点的圆的切线有两条不妨设过该点的切线斜率为k ，则切线方程为()26y k x -=-，即620kx y k --+=，2=，解得0k =或125k =． 所以，切线方程为125620x y --=或2y =．【点睛】本题考查直接法求点的轨迹方程，考查圆的切线问题，同时考查了学生的计算能力，属于基础题.。

上海市高二数学复习练习附答案及过程

上海市高二数学复习练习附答案及过程

高二数学4一、填空题（每小题4 分，满分 40 分，请将正确答案直接填写在相应空格上） 1．已知 A2 1 4 ， B 13 1 ，则AB 。

75 30 8 5．已知lim an 2bn 100 2 ，则 a b 。

2n3n 13．已知矩阵2 3 120 ，则 a 。

4 6 a 04．平面上 A 、 B 、 C 三点的坐标分别为(2 , 1)、( 3 , 2)、( 1 , 3)，如果四边形 ABCD 是平行四边形，则 D 的坐标是。

5．已知某个线性方程组的增广矩阵是645，则该增广矩阵对应的线性方程组可83 2以是。

r r(3 ,1)，且 rr r6．已知 a (2 , 3) , bb a 与 b 垂直，则实数 的值是。

7．若关于 x 、 y 的二元一次方程组 mx4 y m 2无解，则实数 m 。

x my m8．已知无穷等比数列 { a n } 的各项的和是 4，则首项 a 1 的取值范围是。

9．某算法的程序框如下图所示，则输出量y 与输入量 x 满足的关系式是。

开始输入 x是输出 y uur 结束uuuuruuuuuur 1 uuuur10．设点 A 0 为坐标原点， A n (n ,) (nN * ) ，记向量 a n A 0 A 1A 1 A 2A n 1A n ，uur r 否 n 1rn是an与 i 的夹角（其中 i(1, 0) ），设 S n tan 1tan2tan n ，则lim S n。

n二、选择题（每小题3 分，满分 15 分，每小题只有一个正确答案，请将正确答案的代号填写在题后括号内）a b c11．行列式de f 中元素 f 的代数余子式是 （）g hi（ A ）a b； （ B ） a b ； （ C ） a c ；（ D ） ab 。

g hg h g i d ex 2 a 2 b 212．关于 x 的方程 xa b 0 的解是 （）111（ A ）xa （ B ） xb （C ） x a 和 x b ；（D ） x a 和 xb 13．下列条件中，A 、B 、P 三点不共线的是 （）uuur1 uuur 3 uuuruuur uuur uuur（A ）MPMA MB ； （ B ） MP 2MAMB ；4 4uuur uuur uuuruuur 3 uuur 1 uuur（C ）MP 3MA 3MB ；（D ）MP MA 4 MB ；4 uuur uuur14．在 ABC 中， AB 2， AC1 ， D 为 BC 的中点，则 AD BC （）（A ）3； （B ）1；（ C ）3； （D ） 1。

沪教版(上海)高二第二学期新高考辅导与训练第13章复数阶段训练6

沪教版（上海）高二第二学期新高考辅导与训练第13章复数阶段训练6学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．设z 是复数，()a z 表示满足1n z =的最小正整数n ，则对虚数单位i ，()a i =______. 2．若复数12429,69,z i z i =+=+其中i 是虚数单位，则复数12()z z i -的实部为 ． 3．如果复数()2(1)++m i mi 是实数，则实数m =________． 4．设1z i =+（i 是虚数单位），则22z z+=________． 5．若复数()()211z x x i =-+-为纯虚数，则实数x 的值为________．6．已知1iZ＋=2+i,则复数=______． 7．在复平面上，已知直线l 上的点所对应的复数z 满足3z i z i +=--，则直线l 的倾斜角为 （结果用反三角函数值表示）8．已知02a <<，复数z 的实部为a ，虚部为1，则z 的取值范围是 . 9．设集合4{|10,}A x x x C =-=∈，23i z =-，若x A ∈，则||x z -最大值是________10．已知复数34z i =+所对应的向量为OZ ，把OZ 依逆时针旋转θ得到一个新向量为1OZ ．若1OZ 对应一个纯虚数，当θ取最小正角时，这个纯虚数是________．二、单选题 11．复数31ii--等于（ ） A ．B ．12i -C ．2i +D ．2i -12．给出以下命题：①若,a b ∈R ，且a b >，则a i b i ；②12,z z C ∈，120z z ->是12z z >的必要条件；③,a b ∈R ，则a b =是()()a b a b i -++为纯虚数的充要条件；④12,z z C ∈，若120z z ⋅=，则10z =或20z =． 其中正确的命题有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个13．设O 为坐标原点，复数12z z 、在复平面内对应的点分别为P 、Q ，则下列结论中不一定正确的是（ ） A ．12z z OP OQ +=+ B ．12z z OP OQ -=- C ．12z z OP OQ +=+D ．12z z OP OQ ⋅=⋅14．已知集合{|()()20,,,}A z a bi z a bi z a b R z C =++-+=∈∈，{|||1,}B z z z C ==∈，若A B =∅，则a ，b 之间的关系是（ ）A ．1a b +>B ．1a b +<C ．221a b +<D ．221a b +>三、解答题 15．求满足111+=-z z 且2+∈z R z的复数z ． 16．设两复数集合(){}2|4,==+-∈M z z m i m m R ，{|2cos (3sin ),}==++∈N z z i R θλθθ，且MN ≠∅，求实数λ的取值范围．17．设虚数z 满足|215|10|z z +=+．（1）计算z 的值； （2）是否存在实数a ，使z aR a z+∈？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由． 18．对于任意的复数(,)z x yi x y R =+∈，定义运算P 为2()(cos sin )P z x y i y ππ=+．（1）设集合A ={|(),||1,Re ,Im P z z z z ωω=≤均为整数}，用列举法写出集合A ； （2）若2()=+∈z yi y R ，()P z 为纯虚数，求||z 的最小值；（3）问：直线:9=-L y x 上是否存在横坐标、纵坐标都为整数的点，使该点(,)x y 对应的复数z x yi =+经运算P 后，()P z 对应的点也在直线L 上？若存在，求出所有的点；若不存在，请说明理由．参考答案1．4 【分析】 逐个计算n i 即可. 【详解】由题,因为234,1,,1i i i i i i ==-=-=,故()4a i =.故答案为：4 【点睛】本题主要考查新定义与复数的基本运算,属于基础题型. 2．-20 【解析】试题分析：()12()220202z z i i i i -=-+=--，实部为20-. 考点：1.查复数的减法、乘法运算；2.以及实部的概念. 3．1- 【分析】利用复数的四则运算法则将()2(1)++m i mi 化简为a bi +的形式，结合实数的定义即可求解. 【详解】由题意可得，()223(1)(1)m i mi m m m i ++=-++，因为复数()2(1)++m i mi 是实数，所以310m +=，解得1m =-. 故答案为：-1 【点睛】本题主要考查复数的四则运算及复数的概念与分类，属于基础题. 4．1i + 【分析】根据复数的运算求解即可. 【详解】由题，()()()()22212212121111i z i i i i i z i i i -+=++=+=-+=+++-. 故答案为：1i + 【点睛】本题主要考查了复数的基本运算，属于基础题. 5．1- 【分析】由复数()()211z x x i =-+-为纯虚数，得到21010x x ⎧-=⎨-≠⎩，即可求解.【详解】由题意，复数()()211z x x i =-+-为纯虚数，则满足21010x x ⎧-=⎨-≠⎩，解得1x =-，即实数x 的值为1-. 故答案为：1-. 【点睛】本题主要考查了复数的概念及分类，其中解答中熟记复数的概念，列出方程组是解答的关键，着重考查计算能力，属于基础题. 6． 【解析】 因为1iZ＋=2+i ，所以，则，=．7．3arctan 2π- 【分析】利用复数模的几何意义判断出直线l 的轨迹，由此求得直线l 的斜率，进而求得对应的倾斜角. 【详解】由题意得()()3z i z i --=-+，即z 的轨迹是到()0,1A -和()3,1B 两点的距离相等的点，也即线段AB 的垂直平分线，()112303ABk --==-，故32l k =-，斜率为负数，倾斜角为钝角，故倾斜角为3πtan 2arc -. 【点睛】本题主要考查复数模的几何意义，考查两直线垂直时斜率的关系，考查反三角函数，属于基础题.8． 【详解】试题分析：，而0＜a ＜2，∴1＜|z| 考点：复数的基本概念．9．【解析】由410,x x C -=∈得： 1x x i ，=±=±，则x=1时 123x z i -=-+=，1x =-时，123x z i -=--+=，当x i =时，2324x z i i i -=-+=-+=x i =-时，2322x z i i i -=--+=-+=故答案为10．5i 【分析】确定复数对应点在第一象限，旋转后在y 轴的正半轴上，计算复数模得到答案. 【详解】34z i =+，对应的点为()3,4在第一象限，逆时针旋转最小正角时，对应的点在y 轴的正半轴上，5z ==，故纯虚数为5i . 故答案为：5i . 【点睛】本题考查了复数对应的点，复数的旋转，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 11．C 【解析】因为3(3)(1)4221(1)(1)2i i i ii i i i --++===+--+,故选C.12．B 【分析】①根据虚数不能比较大小判断；②举例121,z i z i =+=，结合实数能比较大小判断；③举例0ab 判断；④直接利用复数的乘法判断.【详解】 ①因为,ai b i 都是虚数，而虚数不能比较大小，故错误；②因为12,z z C ∈，如121,z i z i =+=，满足120zz ->，由于虚数不能比较大小，所以推不出12z z >，不充分，当12z z >，则12,z z 为实数，所以120z z ->，必要，故正确； ③因为,a b ∈R ，如0a b ，满足a b =，推不出()()a b a b i -++为纯虚数，故不充分，故错误；④因为12,z z C ∈，设12,z a bi z c di =+=+，则()()()120z z a bi c di ac bd bc ad i ⋅=++=-++=，所以00ac bd bc ad -=⎧⎨+=⎩，所以()()2200ac bd bc ad ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，所以()()()()22222020ac abcd bd bc abcd ad ⎧-+=⎪⎨++=⎪⎩，两式相加整理得：()()22220ab c d ++=，则0a b 或0c d ==，所以10z =或20z =，故正确故选：B 【点睛】本题主要考查有关复数的命题的真假判断，还考查了理解辨析，分析求解问题的能力，属于中档题. 13．D 【解析】 【分析】设出两个复数的代数式表达式,写出复数12z z 、在复平面内对应的点分别为P 、Q 两点的坐标,运用平面向量运算的坐标表示公式、模的公式,结合复数的运算公式和复数模的计算公式对四个选项逐一判断即可. 【详解】设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈,因此(,),(,)P a b Q c d , (,),(,)OP a b OQ c d ==选项A: (,)O a c b d P OQ ++=+,因为12z z a bi c di +=+++=(OP OQ a +=所以本选项一定正确；选项B: (,)O a c b d P OQ --=-,因为12z z a bi c di -=+--=(OP OQ a -=所以本选项一定正确；选项C:因为12z z +=,2OP OQ a +=所以本选项一定正确； 选项D:12()()()a bi c di ac bd bc ad i z z +⋅+=-++=⋅=21z z ⋅=222222222222cos cos OP OQ a b c d OP OQ a c b d b OP OQ c a d ⋅=+⋅+⋅〈⋅++〉〉+〈⋅⋅=,显然本选项不一定正确. 故选：D 【点睛】本题考查了复数的加法、减法、乘法的运算法则,考查了复数模的计算公式,考查了平面向量的运算坐标表示以及平面向量模的计算公式. 14．C 【分析】先设出复数z ，利用复数相等的定义得到集合A 看成复平面上直线上的点，集合B 可看成复平面上圆的点集，若A ∩B ＝∅即直线与圆没有交点，借助直线与圆相离的定义建立不等关系即可． 【详解】设z ＝x +yi ，,x y R ∈,则（a +bi ）（x ﹣yi ）+（a ﹣bi ）（x +yi ）+2＝0 化简整理得，ax +by +1＝0即，集合A 可看成复平面上直线上的点， 集合B 可看成复平面上圆x 2+y 2=1的点集，若A ∩B ＝∅，即直线ax +by +1＝0与圆x 2+y 2=1没有交点，1d=，即a2+b2＜1故选C．【点睛】本题考查了复数相等的定义及几何意义，考查了直线与圆的位置关系，考查了转化思想，属于中档题．15．z=【分析】设(,)z a bi a b R=+∈，再根据模长公式列式求解得z bi=，再根据实数的性质求解b即可. 【详解】设(,)z a bi a b R=+∈，由11|1||1|1+=⇒+=--zz zz，即|(1)||(1)|++=-+a bi a bi，∴2222(1)(1)++=-+a b a b，得0a=，∴z bi=．又由2+∈bi Rbi，即2222i ibi bi b i Rbi b b⎛⎫+=-=-∈⎪⎝⎭，故2202b bb-=⇒=，解得b=．∴z=【点睛】本题主要考查了复数的模长公式及其运算，同时也考查了复数为实数的性质，属于基础题. 16．9716λ-≤≤【分析】至少存在一个复数z同时属于集合M和N，根据复数相等得到2394sin816λθ⎛⎫=--⎪⎝⎭，根据三角函数的有界性和二次函数性质得到范围.【详解】由M N≠∅，可知至少存在一个复数z同时属于集合M和N，即()242cos (3sin )m i m i θλθ+-=++，故22cos 43sin m m θλθ=⎧⎨-=+⎩， 从而2223944cos 3sin 4sin 3sin 4sin 816λθθθθθ⎛⎫=--=-=-- ⎪⎝⎭，由1sin 1θ-≤≤，得9716λ-≤≤. 【点睛】本题考查了相等复数，三角恒等变换，根据集合的交集求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.17．（1）z =2）存在，a =± 【分析】（1）设0()z a bi a b R b =+∈≠，且则z a bi =-代入条件215|10|z z +=+然后根=|z |的值 （2）对于此种题型可假设存在实数a 使z aR a z+∈根据复数的运算法则设(())0z c bi c b R b =+∈≠，且可得2222z a c ac b ab R a z a c b a c b ⎛⎫+=++-∈ ⎪++⎝⎭即220b ab a c b -=+再结合0b ≠和（1）的结论即可求解． 【详解】解：（1）设0()z a bi a b R b =+∈≠，且则z a bi =-∵215|10|z z +=+∴|(215)2|(10)|a bi a bi ++=+-= ∴2275a b +==∴z =（2）设0()z c bi c b R b =+∈≠，且假设存在实数a 使z aR a z+∈ 则有2222z a c ac b ab R a z a c b a c b ⎛⎫+=++-∈ ⎪++⎝⎭∴220b ab a c b -=+ ∵0b ≠∴a =由（1=∴a =±【点睛】本题考查了复数的运算法则以及复数模的运算，属于中档题.18．（1）{0,1}A =；（2）2；（3）存在，(3,6)-或(3,12)-- 【分析】（1）根据题意得到0,1,,,1=--z i i ，代入计算得到答案. （2）根据计算法则得到1()2=+∈y k k Z ，代入计算复数模，根据二次函数性质得到最值. （3）假设存在这样的点(,9)-x x ，计算得到2()[cos(9)sin(9)]P z x x i x ππ=-+-，讨论x 为奇数和x 为偶数两种情况，计算得到答案.【详解】（1）||1,Re ,Im z z z ≤均为整数，则0,1,,,1=--z i i ，(0)0P =，()11p =，()0p i -=，()0p i =，()11p -=，故{0,1}A =.（2）()4(cos sin )P z y i y ππ=+，∵()P z 是纯虚数，∴cos 0=y π且sin 0≠y π，∴1()2=+∈y k k Z ，∴||=z 0k =或1-时，||z . （3）假设存在这样的点(,9)-x x ，设该点对应的复数为z ， 则2()[cos(9)sin(9)]P z x x i x ππ=-+-，若x 为奇数，则2()=P z x ，∴209=-x ，3x =±； 若x 为偶数，则2()=-P z x ，∴209=--x ，无解． 综上，存在这样的点，坐标为(3,6)-或(3,12)--.【点睛】本题考查了复数运算的新定义，复数的模，复数对应的点，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.。

高二数学练习册练习题

高二数学练习册练习题1. 函数的性质- 已知函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1，求f(x)的最小值。

- 判断函数g(x) = x^3 - 3x^2 + 2x的单调性，并找出其单调区间。

2. 三角函数的图像和性质- 求正弦函数y = sin(2x)的周期。

- 已知余弦函数y = cos(x)在区间[0, π]上的最大值和最小值。

3. 直线和圆的方程- 已知直线l: y = 2x + 3与圆C: (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 9的交点坐标。

- 求圆心在(2, -1)，半径为5的圆的标准方程。

4. 概率和统计- 一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机抽取一个球，求抽到红球的概率。

- 一组数据的平均数为5，中位数为4，众数为3，求这组数据的极差。

5. 空间几何- 求正方体对角线的长度，已知正方体的边长为a。

- 已知一个长方体的长、宽、高分别为2a、b、c，求其体积。

6. 数列- 已知等差数列的首项为3，公差为2，求第10项的值。

- 判断数列{1/n}是否为等比数列，并说明理由。

7. 导数和微分- 求函数h(x) = x^4 - 4x^3 + 3x^2的导数。

- 利用导数求函数k(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 4在x=2处的切线方程。

8. 积分- 计算定积分∫[0, 1] (2x - 3) dx。

- 求函数f(x) = 3x^2 + 2x - 5在区间[1, 3]上的定积分。

9. 解析几何- 已知椭圆E: x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a = 2，b = 1，求椭圆E的焦点坐标。

- 求双曲线H: x^2/4 - y^2/3 = 1的渐近线方程。

10. 复数- 求复数z = 1 + 2i的共轭复数。

- 计算复数z1 = 3 + 4i和z2 = 2 - i的乘积。

高二练习册及答案

高二练习册及答案# 高二数学练习册及答案## 第一章：函数与方程### 练习一：函数的基本概念1. 定义域与值域给定函数 \( f(x) = \frac{1}{x - 2} \)，求其定义域和值域。

2. 函数的单调性判断函数 \( g(x) = x^2 + 3x + 2 \) 在 \( x > -1 \) 时的单调性。

3. 函数的奇偶性判断函数 \( h(x) = |x| \) 是奇函数还是偶函数。

### 练习二：二次函数1. 二次函数的图像描述函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 4 \) 的图像特征。

2. 二次函数的顶点求函数 \( f(x) = -x^2 + 6x - 5 \) 的顶点坐标。

3. 二次函数的对称轴确定函数 \( g(x) = 2x^2 + 8x + 3 \) 的对称轴。

### 练习三：方程的解法1. 一元二次方程解方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \)，其中 \( a = 1, b = -5, c = 6 \)。

2. 方程的根与系数关系如果 \( x_1 \) 和 \( x_2 \) 是方程 \( x^2 + px + q = 0 \)的根，证明 \( x_1 + x_2 = -p \)。

3. 判别式的应用使用判别式 \( \Delta = b^2 - 4ac \) 判断方程 \( 2x^2 + 3x- 2 = 0 \) 的根的情况。

## 第二章：不等式与不等式组### 练习一：不等式的基本性质1. 不等式的基本性质证明不等式 \( a < b \) 时，\( a + c < b + c \)。

2. 不等式的传递性如果 \( a < b \) 且 \( b < c \)，证明 \( a < c \)。

3. 不等式的同向相加如果 \( a < b \) 且 \( c < d \)，证明 \( a + c < b + d \)。

上海市2019-2020高二数学第二学期直线与圆锥曲线综合演练

上海市2019-2020学年度高二数学精品讲义直线与圆锥曲线综合演练【知识梳理】1、设直线l 与二次曲线(),0F x y =相交于()()1222,,,A x x B x y 两点，设AB 的中点为()00,M x y ，则0x =___________，0y =________________【答案】122x x + 122y y + 2、弦的斜率与弦中点坐标之间的关系：以椭圆为例，设直线l 与椭圆22221x y a b+=相交于()()1222,,,A x x B x y 两点，弦AB 的中点为()00,M x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，相减得AB k =____________【答案】2020b x a y -【课前小练】1、若双曲线221164x y -=，则经过点()8,1P 且被平分的弦所在直线的方程是____________ 2、过双曲线2212y x -=的右焦点作直线l ，交双曲线于,A B ，若4AB =，则这样的直线l 有（ ）A 1条B 2条C 3条D 4条 3、已知椭圆2224x y +=，则以()1,1为中点的弦的长度是 （ ）A B CD 4、抛物线2y ax =与直线()0y kx b k =+≠交于,A B 两点，且此两点的横坐标分别是12,x x ，直线与x 轴的交点的横坐标是3x ，则恒有 （ ）A 312x x x =+B 121323x x x x x x =+C 3120x x x ++=D 1213230x x x x x x ++=5、椭圆221mx ny +=与直线1x y +=交于,M N 两点，的中点为P ，且OP 的斜率为2，则mn的值为 （ ）A2B 3C 2D 276、过抛物线()20y axa =>的焦点F 作一直线交抛物线于,P Q 两点，若线段PF 与FQ 的长度分别是,p q ，则11p q+等于（ ） A 2a B12a C 4a D 4a7、过椭圆22194x y +=内一点()1,0作直线l 交椭圆于,A B 两点，求弦AB 中点的轨迹方程。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

精心整理 上海高二数学练习册第二学期习题 第11章坐标平面上的直线 1.（本P20例4）已知直线l 经过点P(-2,，且与直线l 0：x+2=0的夹角为求直线l的方程. 2.（本P24.3）已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,1)，B(9,3)，C(2,5)，求∠BAC的角平分线所在直线的方程.

3.（本P24例4）已知直线l：y=kx+1与两点A(-1,5)、B(4,-2)，若直线l与线段AB相交，求k的取值范围.

4.（册P3.4）已知原点O在直线l上的射影为H(-2,1)，求直线l的方程.

5.（册P5.7）已知直线l的倾斜角为α，sinα= 的一般式方程. 6.（册P6.1）直线x-ay+2=0（a0所截得的线段的长为，求直线l的方程.

10.（册P13.4）已知P1、P2到直线l的1(1,0)、P2(7,-8)两点分别在直线l的两侧，且P 精心整理 距离均为4，求直线l的方程. 11.（册P15.8）已知△ABC的AB、AC边上的高所在直线的方程分别为2x-3y+1=0和x+y=0，点A的坐标为(1,2)，求BC边所在直线的方程.

12.（册P16.1）已知直线l：f(x,y)=0.如果直线l外一点P的坐标为(x0,y0)，那么直线f(x,y)-f(x0,y0)=0（）

（A）过点P且与直线l斜交（B）过点P且与直线l重合 （C）过点P且与直线l平行（D）过点P且与直线l垂直 13.（册P16.2（1））如果直线xcosθ+y-2=0（θ∈R）的倾斜角为α，那么α的取值范围是______________

14.（册P16.2（2））若直线l1：a1x+b1y+2=0（实数a1、b1不同时为0）与直线l2：a2x+b2y+2=0（实数a2、b2不同时为0）的交点为(1,2)，则经过P(a1,b1)、Q(a2,b2)两点的直线的方程为________________

15.（册P17.3）如果直线l经过点(3,4)，且点(-3,2)到直线l的距离，求这条直线的方程.

16.（册P175）过点P(2,1)作直线l，分别交x轴、y轴的正半轴于A、B两点.当△AOB的面积最小时，求直线l的方程.

17.（册P17.6）已知直线l经过点P(1,2)，且与两坐标轴围成的三角形面积为S. 精心整理 （1）当S=3时，满足条件的直线有几条？ （2）当S=4时，满足条件的直线有几条？ （3）当S=5时，满足条件的直线有几条？ 第12章圆锥曲线 a,b)=0”18.（本P33.3）若点P的坐标为(a,b)，曲线C的方程为F(x,y)=0，则“F(

是“点P在曲线C上”的____________条件. 19.（本P34例5）已知定点A(4,0)和曲线x+y=1上的动点B，求线段AB的中点P的轨迹方程.

20.（本P38例3）已知M(x0,y0)为圆C：x+y=r上一点，求过点M的圆C的切线22222

l的方程. 21.（本P40例5 ）求过点M(2,且与圆x+y=4相切的直线的方程. 22.（本P41.2）求过点A(3,2)、B(1,1)、C(2,-1)三点的圆的方程.2223.（本P42例7）过圆O：x2+y2=16外一点M(2,-6)作直线交圆O于A、B两点，求弦AB的中点C的轨迹.

24.（本P45例2）已知定点F1(-4,0)、F2(4,0)和动点M(x,y)，求满足 精心整理 |MF1|+|MF2|=2a（a>0）的动点M的轨迹及其方程. x2y2 +=1上的动点，过点P作x轴的垂线，垂足为M，25.（本P49.3）若点P是椭圆95

求PM的中点的轨迹方程. x2y2 +=1的焦点为F1、F2，26.（本P50例4）已知椭圆椭圆上的动点P的坐标为(xP,yP)，94

且∠F1PF2为钝角，求xP的取值范围. x2 +y2=1中斜率为1的平行弦的中点的轨迹.27.（本P50例5）求椭圆4 28.（本P55例1）已知点M(x,y)到点F1(-3,0)的距离与它到点F2(3,0)的距离的差为2a（a≥0），求点M的轨迹方程.

x2y2 -=1的两个焦点为F1、F2，29.（本P56例3）双曲线点P在双曲线上，若PF1⊥PF2，916

求点P到x轴的距离. y2 精心整理 30.（本P61例3）已知点F1、F2为双曲线x-2=1（b>0）的焦点，过F2作垂直于xb2

轴的直线，交双曲线于点P，且∠PF1F2=30，求双曲线的渐近线方程. 31.（本P64例1）点P与点F(2,0)的距离比它到直线x+4=0的距离小4，求点P的轨迹方程.

32.（本P65.1）在平面直角坐标系内，到点A(1,1)和直线l：x+2y-3=0距离相等的点的轨迹是（）

（A）直线（B）抛物线（C）椭圆（D）双曲线 33.（本P67例2）求过定点M(0,1)且与抛物线y=2x只有一个公共点的直线的方程.34.（本P68.8）已知点A的坐标为(3,2)，F为抛物线y=2x的焦点，若点P在抛物线上移动，求|PA|+|PF|的最小值，并求此时点P的坐标.

35.（册P18.4）定长为4的线段AB的两端点分别在x轴、y轴上滑动，求AB中点的轨迹方程.

36.（册P22.5（2））直线Ax+By=0与圆x2+y2+Ax+By=0的位置关系是_______

37.（册P22.6）已知a2x2+(a+2)y2+2ax+a=0表示圆，求实数a的值.2 x2y2 +=1上一个动点，F1是椭圆的左焦点，那么38.（册P29.1（2））如果点P是椭圆3620 精心整理 |PF1|的值是________，|PF1|的最小值是________. x2y2 +=1恒有公共点，那么实数m的取39.（册P29.1（3））如果直线y=kx+1与椭圆5m

值范围是_____________. 40.（册P29.2（2））在△ABC中，已知A(-1,0)、C(1,0).若a>b>c，且满足2sinB=sinA+sinC，则顶点B的轨迹方程是_______________.

x2y2 -=1表示焦点在y轴的双曲线，求实数m的取值范围.41.（册P31.2）设方程m+2m+1

x2y2 -=1的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过点F1，交42.（册P32.2）已知双曲线6436

双曲线的左支于A、B两点，且|AB|=m，求△ABF2的周长. 43.（册P33.4）已知双曲线的虚轴的长为6，一条渐近线的方程为3x-y=0，求此双曲线的标准方程.

y2 =1有共同渐近线，且过点M(2,2)的双曲线的标准方44.（册P33.5）求与双曲线x-42 精心整理 程. 45.（册P34.2）已知定点A(3,0)和定圆B：(x+3)+y=16，动圆C与圆B外切，且过点A，求动圆的圆心C的轨迹方程.22

第4/8页 46.（册P35.4）已知直线l：y=ax+1与双曲线C：3x2-y2=1相交于A、B两点.

（1）求实数a的取值范围； （2）若A、B两点都在双曲线C的左支，求实数a的取值范围； （3）求当实数a为何值时，以线段AB为直径的圆经过坐标原点. 47.（册P36.3）求抛物线y=x的一组斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程.

248.（册P38.8）在抛物线x=21y上求一点M，使点M到直线y=4x-5的距离最短.4

249.（册P39.2）已知过抛物线y=4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，过原点O

OM作，使OM⊥AB，垂足为M，求点M的轨迹方程. 50.（册P39.3）抛物线y=8x的动弦AB的长为16，求弦AB的中点M到y轴的最短距离.

51.（册P40.1）下列四个命题中，正确的是（） 精心整理 （A）到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程为y=x （B ）两相交直线y= 2x与y=的夹角平分线的方程为y=x（C）△ABC的三个顶点的坐标分别是A(1,1)、B(3,1)、C(1,3)，BC边上的中线方程为

y=x （D）与两顶点A(-1,0)、B(1,0)的连线的夹角为90°的动点的轨迹方程为x+y=122

P2两点，52.（册P42.8）已知过点M(-2,0)的直线l与椭圆x+2y=2交于P1、线段P1P2

的中点为P，设直线l的斜率为k1（k1≠0），直线OP的斜率为k2，求证：k1k2的值为定值.22

第13章复数 53.（本P84例4）当n∈N时，计算i+(-i)所有可能的值. 54.（本P86例6）已知复数z满足|z|=1，求证：z+ 【思考】“z+nn1是实数.z1是实数”是“|z|=1”的______________条件.z

第5/8页 55.（本P87.2）已知复数z=a+bi（a、b∈R，a≠0，b≠0），求证：精心整理 z+z是纯虚数.z-z (1+3i)3(3-i)56.（本P87.4）已知复数z=，求z的模.2(1-2i) 57.（本P87例1）求7-24i的平方根. ⎛1⎫58.（本P89.4 ）计算-+22⎪⎪的值. ⎝⎭ 59.（本P91.3）把下列各式分解成一次因式的积： 244（1）x+4；（2）a-b.10 60.（本P91.4）在复数集中分解因式：3x-6x+4. 61.（本P92例3）已知方程x-px+1=0（p∈R）的两根为x1、x2，若|x1-x2|=1，求实数p的值.

62.（册P51.2）在复平面上，平行于y轴的非零向量所对应的复数一定是___________

63.（册P54.4）已知复数z=cosθ+isinθ（θ∈R），求|z+2i|的取值范围.

64.（册P58.1）非零实数a的立方根是______________ 65.（册P58.2） 已知复数z1i，|z2|=1，z1⋅z2是虚部为负数的纯虚数，求复

相关文档
最新文档