用十字相乘法分解因式

用十字相乘法分解因式

本节课帮助学生复习巩固十字相乘法。使学生能正确熟练地运用十字相乘法分解因式，能对某些比较复杂的多项式进行分解。主要解决以下两个问题。

1.因式分解的结果是唯一的，但二次三项式中二次项系数与常数项系数分解成两个数相乘的方法却不是唯一的，因此用十字相乘法需要试验、需要经验，不能一蹴而就。

2 .通过换元把较为复杂的多项式转化为可以用十字相乘法分解因式的二次三项式。

[疑难精讲]

例1.十字相乘法的图解及待定系数

已知二次三项式2x2-mx-20有一个因式为(x+4)，求m的值.

分析：用十字相乘法分解这个二次三项式有如下的图解：

8-5=3=-m

解：2x2-mx-20=(x+4)(2x-5)=2x2+3x-20

∴-m=3

m=-3

（由例1我们应该明白，“十字相乘”法，并非凭空而来，也没有什么新东西——像不像

只要懂(ax+b)(cx+d)，就懂“十字相乘”，这样，十字相乘中各数的意义，你记得更清楚了吧)

例2.因式分解与系数的关系

若多项式a2+ka+16能分解成两个系数是整数的一次因式的积，则整数k可取的值有( )

个个个个

分析：因为二次项系数为1，所以原式可分解为(a+m)(a+n)的形式，其中mn=16，k=m+n，所以整数k 可取值的个数取决于式子mn=16的情况.(其中m、n为整数)

因为16=2×8，16=(-2)×(-8)

16=4×4，16=(-4)×(-4)

16=1×16，16=(-1)×(-16)

所以k=±10，±8，±16

答案：B

(是不是有一点即通的感觉这一层窗户纸不厚，数学要的就是心细，胆大)

例3.分组分解后再用十字相乘

把2x2-8xy+8y2-11x+22y+15分解因式

解：原式=(2x2-8xy+8y2)-(11x-22y)+15

=2(x-2y)2-11(x-2y)+15

=[(x-2y)-3][2(x-2y)-5]

=(x-2y-3)(2x-4y-5)

说明：分组后运用十字相乘进行因式分解，分组的原则一般是二次项一组，一次项一组，常数项一组.本题通过这样分组就化为关于(x-2y)的二次三项式，利用十字相乘法完成因式分解.

例4.换元法与十字相乘法

把(x2+x+1)(x2+x+2)-6分解因式

分析：观察式子特点，二次项系数和一次项系数分别相同，把(x2+x)看成一个“字母”，把这个式子展开，就可以得到关于(x2+x)的一个二次三项式(或设x2+x=u，将原式化为(u+1)(u+2)-6=u2+3u-4，则更为直观)再利用十字相乘法进行因式分解.

解：(x2+x+1)(x2+x+2)-6

=[(x2+x)+1][(x2+x)+2]-6

=(x2+x)2+3(x2+x)-4

=(x2+x+4)(x2+x-1)

说明：本题结果中的两个二次三项式在有理数范围内不能再分解了，若能分解一定要继续分解，如摸底检测第3题答案应当是C.

(上一次，我们说到的整体分析又用到了，还记得我们在哪提到它的对，在分组分解法中，试比一下“分组分解”与“十字相乘”适用的题目的类型特点，从各项的次幂的次数及各项系数去分析)

例5.因式分解与十字相乘法

已知(x2+y2)(x2-1+y2)=12

求：x2+y2的值

解：(x2+y2)(x2-1+y2)=12

(x2+y2)[(x2+y2)-1]-12=0

(x2+y2)2-(x2+y2)-12=0

[(x2+y2)-4][(x2+y2)+3]=0

∵x2+y2≥0

∴(x2+y2)+3≠0

∴(x2+y2)-4=0

∴x2+y2=4

说明：我们把(x2+y2)看成一个“字母”，则原式转化为关于这个“字母”的一个一元二次方程。虽然目前还没学二次方程的解法，但通过这个题，我们可以发现，对二次三项式因式分解是解一元二次方程的方法之一.

1.把下列各式分解因式

(1)x-x2+42

(2)

(3)a2n+a4n-2a6n

(4)(x-y)2+3(x2-y2)-4(x+y)2

(5)x2-xy-2y2-x-y

2.已知：x2+xy-2y2=7,求：整数x、y的值

答案与提示：

1.(1)-(x-7)(x+6)

(2)

(3)-a2n(a n+1)(a n-1)(2a2n+1)

(4)-2y(5x+3y)

提示：可分别把(x-y)和(x+y)各看成一个“字母”，如设x-y=m，x+y=n，则原式化为m2+3mn-4n2 (5)(x+y)(x-2y-1)

提示：可参考“疑难精讲例3”

2.

提示：将已知条件的左边分解因式得：

(x+2y)(x-y)=7

∵x、y都为整数

∴有