利用中值定理证明不等式

利用中值定理证明不等式

拉格朗日中值定理的证明过程是基于罗尔定理上的, 并将拉格朗日中值定理作为 罗尔定理的推广, 找出辅助函数满足罗尔定理条件得证的:

定理3.2[8] 罗尔定理: 如果函数()f x 在闭区间[],a b 上连续,在开区间(),a b 内可导, 且在区间端点的函数值相等, 即()()f a f b =那么在(),a b 内至少存在一点ζ使得函数在该点的导数值等于零. 即

()'0f ζ=. (3.1)

证明 由于()f x 在闭区间[],a b 上连续, 所以()f x 在[],a b 上一定取到最小值与最大值, 分别设为m 与M .

(1)当m M =,则()f x 在[],a b 是常值函数,即

()()[]',0,,f x m f x x a b =≡∈.

因此,ξ可取(),a b 内任意一点,有()'0f ξ=.

(2)当m M <时,由于()()f a f b =,所以最大值、最小值至少有一个在内部取到，不妨设最大值M 在内部取到. 设()()',,a b f

M ξξ∈=, 则()f ξ为极大值. 由()f x 在(),a b 内可导,知()'f ξ存在.由费马定理知, ()'0f ξ=

定理3.3[8] 拉格朗日中值定理: 如果函数()f x 在闭区间[],a b 上连续, 在开区间(),a b 内可导, 那么在(),a b 内至少存在一点使等式

()()()()'f b f a f b a ζ-=- (3.2)

成立.

证明 构造一个函数,设

()()()()()()f b f a F x f x x a f a b a

-=----, 由于()[]()(),,,F x C a b F x D a b ∈∈, 且()()0F a F b ==. 所以由罗尔定理知至少存在一点(),a b ξ∈, 使()'0F ξ=. 又

()()()()''f b f a F x f x b a

-=-

-, 所以 ()()()'0f b f a f b a

ξ--

=-, 于是 ()()()'f b f a f b a

ξ-=- 例3.2[4] 证明0,1x

x e x ≠>+

分析:因为0x ≠当0x >时, 将不等式1x e x >+ 改写成()()00,0,x e e e x x ζζ-=-∈ 当0x <时, 将不等式1x e x >+改写成

()()00,,0x e e e x x ζζ-=-∈

证明 令()x f x e =当0x > 时, 对()x

f x e =在[]0,x 上应用拉格朗日中值定理. ()()00,0,x e e e x x ζζ-=-∈ 因为1x e e ζ<<, 所以1x e x ->, 即 1x e x >+

当0x <时, 对()x

f x e =在[],0x 上应用拉格朗日中值定理, ()()00,,0x e e e x x ζζ-=-∈．因为1x e e ζ<<，所以1x e x ->. 即 1x e x >+.

故当0x ≠时，1x e x >+.

例3.3 证明不等式: 当0x >时,

()()ln 1ln 101x x x x

<+-+<+ 分析:所证不等式中的函数()ln 1x +的导数为11x +, 即所证不等式中含有函数及其导数,

因而可用拉格朗日中值定理试之. 由于ln10=, 因此可构造函数的改变量ln(1)ln1x +-, 则相应自变量的改变量为x , 原不等式等价于: ()ln 1ln1111(1)1

x x x +-<<++-由不等式中间部分的形式可知, 可利用拉格朗日中值定理证明.

证明 原不等式可等价变形为：()()ln 1ln 101110

x x x +-+<<+-.

令()()ln 1f x x =+, 显然它在[]()0,0x x >上满足拉格朗日中值中定理的条件, 故存在()0,x ξ∈, 使得

()()()'00f x f f x ξ-=-, 即()ln 1ln11.1x x ξ

+-=+ 又x <<ξ0, 所以11111x ξ

<<++. 所以

1ln(1)11x x x +<<+. 因此, 当0x >时,

()()ln 1ln 10110x x x x +-+<<+-.