人教版高中数学必修一函数的基本性质ppt课件
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人教版高中数学必修1(A版) 1.3.1 函数的基本性质-单调性与最值 PPT课件
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课后思考:函数y=f(x)在区间D上具有 单调性,那么在区间D的子区间(即区 间D的子集)上是否具有相同的单调 性?
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二、自主学习
自学辅导教材50页§1.3.1 时间20分钟 （完成所有探究与练习） 集中全部精力！提升自学能力！
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三、教师点拨 y
yx
2
f (x1 )
x1
O
x
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三、教师点拨 y
yx
2
f (x1 )
x1 O
x
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三、教师点拨 y
yx
2
f (x1 )
x1 O
x
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yx
2
f (x1 )
O
x1
x
函数f(x)=x2在区间[0,+∞)上,随着x的增大,相应 的f(x)值也随着增大 在区间(-∞,0)上,随着x的增大,相应的f(x) 值反而随着减小.
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三、教师点拨
如何利用函数解析式y=f(x)描述 “随着x的增大，相应的f（x）随着 减小”，“随着x的增大，相应的f （x）也随着增大”？
标题
§1.3.1函数的基本性质—单调性
§1.3.1函数的基本性质——单调性
一、问题情景 二、自主学习 三、教师点拨 四、课堂小结
本课结束
一、问题情景
大家是否记得这样精彩的瞬间：烟花在绽放 的刹那、高台跳水运动员纵身起跳至入水的 一瞬、陨星划过长空坠落的时刻，上述场景 多么美丽壮观啊！让我们闭上眼睛想一想： 烟花绽放后的轨迹、运动员跳入水中的过程 的身影、陨星坠落的弧线，这些曲线有的上 升、有的下降，这与我们研究的函数的单调 性有关．
自变量的值x x2 , 当x1 x 2时,都有f x1 f x2 1,
课后思考:函数y=f(x)在区间D上具有 单调性,那么在区间D的子区间(即区 间D的子集)上是否具有相同的单调 性?
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二、自主学习
自学辅导教材50页§1.3.1 时间20分钟 （完成所有探究与练习） 集中全部精力！提升自学能力！
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三、教师点拨 y
yx
2
f (x1 )
x1
O
x
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三、教师点拨 y
yx
2
f (x1 )
x1 O
x
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三、教师点拨 y
yx
2
f (x1 )
x1 O
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yx
2
f (x1 )
O
x1
x
函数f(x)=x2在区间[0,+∞)上,随着x的增大,相应 的f(x)值也随着增大 在区间(-∞,0)上,随着x的增大,相应的f(x) 值反而随着减小.
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三、教师点拨
如何利用函数解析式y=f(x)描述 “随着x的增大，相应的f（x）随着 减小”，“随着x的增大，相应的f （x）也随着增大”？
标题
§1.3.1函数的基本性质—单调性
§1.3.1函数的基本性质——单调性
一、问题情景 二、自主学习 三、教师点拨 四、课堂小结
本课结束
一、问题情景
大家是否记得这样精彩的瞬间：烟花在绽放 的刹那、高台跳水运动员纵身起跳至入水的 一瞬、陨星划过长空坠落的时刻，上述场景 多么美丽壮观啊！让我们闭上眼睛想一想： 烟花绽放后的轨迹、运动员跳入水中的过程 的身影、陨星坠落的弧线，这些曲线有的上 升、有的下降，这与我们研究的函数的单调 性有关．
自变量的值x x2 , 当x1 x 2时,都有f x1 f x2 1,
人教版高一数学必修一1.3函数的基本性质(单调性)(共25张PPT)
择决定命运，环境造就人生！
明朝未及，我只有过好每一个今天，唯一的今天。
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢（先别急着纠正我的错误，你确实可以在评判过去中学到许多）。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为 何不想想“现在”呢？为何不及时行乐呢？如果你的回答是“不”，那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们：不要惧怕失败。如 果你失败了他不会坐下来说：“靠，我真失败，我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做，他们都会反反复复，一次一次地尝试。如果一条路走不通，那就走走其他途径，不 断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质，没有人生来害怕失败，记住这一点。宁愿做事而犯错，也不要为了不犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。 开头也许艰难，但是随着时间的流逝，你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机，所以当你觉得做某事还不是时候，先做起来再说吧。喜欢追梦的人，切记不要被 梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意，明天不再升起；月亮不会因为你的抱怨，今 晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿 的脖子再长，总高不过它的脑袋。人的脚指头再长，也长不过他பைடு நூலகம்脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认 为太阳不可能从西边出来，这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放 弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环 无穷。机遇孕育着挑战，挑战中孕育着机遇，这是千古验证了的定律！种子放在水泥地板上会被晒死，种子放在水里会被淹死，种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选
明朝未及，我只有过好每一个今天，唯一的今天。
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢（先别急着纠正我的错误，你确实可以在评判过去中学到许多）。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为 何不想想“现在”呢？为何不及时行乐呢？如果你的回答是“不”，那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们：不要惧怕失败。如 果你失败了他不会坐下来说：“靠，我真失败，我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做，他们都会反反复复，一次一次地尝试。如果一条路走不通，那就走走其他途径，不 断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质，没有人生来害怕失败，记住这一点。宁愿做事而犯错，也不要为了不犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。 开头也许艰难，但是随着时间的流逝，你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机，所以当你觉得做某事还不是时候，先做起来再说吧。喜欢追梦的人，切记不要被 梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意，明天不再升起；月亮不会因为你的抱怨，今 晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿 的脖子再长，总高不过它的脑袋。人的脚指头再长，也长不过他பைடு நூலகம்脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认 为太阳不可能从西边出来，这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放 弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环 无穷。机遇孕育着挑战，挑战中孕育着机遇，这是千古验证了的定律！种子放在水泥地板上会被晒死，种子放在水里会被淹死，种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选
高中数学—函数的基本性质—完整版课件
• 当 > 时， − < ，则
• − ＝ −
− ＝ − ＝ − ()．
• 综上，对 ∈ (−∞，) ∪ (，＋∞)，
• ∴ ()为奇函数．
都有 − ＝ − ()．
奇偶性判定
• 【解析】 (4) =
−
−
• 定义域为 −， 关于原点对称
• ③一个奇函数，一个偶函数的积是 奇函数 ．
函数的奇偶性
• 判断函数的奇偶性
• 1、首先分析函数的定义域，在分析时，不要把函数化简，而要根据
原来的结构去求解定义域，如果定义域不关于原点对称，则一定是非
奇非偶函数．
• 2、如果满足定义域对称，则计算(−)，看与()是否有相等或互为
相反数的关系.
−
−−
+
++
−+
• 即
= 恒成立，
• 则2(＋)2＋2＝0对任意的实数恒成立．
• ∴ ＝＝0.
函数的单调性
+
•
(2)∵ =
∈ 是奇函数, 只需研究(, ＋∞)上()的单调区间即可．
•
任取， ∈ (，＋∞)，且 < ，则
应值，故函数取得最值时，一定有相应的x的值．
抽象函数的单调性
• 函数()对任意的、 ∈ ，都有 ＋ ＝ ＋ − ，并且当
> 时，() > .
• (1)求证：()是上的增函数；
• (2)若()＝，解不等式( − − ) < .
抽象函数的单调性
• ∴ ()＝， ∴原不等式可化为( − − ) < ()，
• ∵ ()是上的增函数，
人教高中数学A必修一《函数的概念》函数的概念与性质PPT教学课件
.
(b , +∞)
。
[b , +∞)
.
(－∞,+∞) 数轴上所有的点
例题四：把下列集合用区间表示出来:
(1){x|3<x<5}; (2){x|x≤6}; (3){x|1<x<3}∪{x|7<x<8}; (4){x|x≠0}; (5){x|5≤x<7}.
20
答案 (1)(3,5); (2)(-∞,6]; (3)(1,3)∪(7,8); (4)(-∞,0)∪(0,+∞); (5)[5,7).
7
二 十 世 纪
康托尔提出了我们今天要学习的函数的概念
8
二.函数的概念
设A，B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中 的任意一个x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称 f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，其中x∈A，y∈B.
其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x相对应的y值叫 做函数值。
例题五：
(1){x|x≤-3}用区间表示为
答案: (1)(-∞,-3]
(2)数集{x|x>5}用区间表示为
(2)(5,+∞)
(3)数集{x|1<x≤7}用区间表示为
(3)(1,7]
(4)数集{x|x<-2或x≥6}用区间表示为 (4)(-∞,-2)∪[6,+∞)
21
注意：
1.区间是集合 2.区间的左端点必须小于右端点 3.区间中的元素都是实数，可以在数轴上表示出来 4.以－∞或+∞为区间的一端时，这一端必须是小括号
函数的概念
我们知道的函数有哪 些？
函数的基本性质ppt课件
答案 [－2，＋∞)
►单调性的两个易错点：单调性；单调区间.
（2）函数的单调递增(减)区间有多个时，不能用并集表示， 可以用逗号或“和”。
例如 函数 f(x)＝x＋1x的单调递增区间为________.
解析 由f(x)图象易知递增区间为(－∞，－1]，[1，＋∞). 答案 (－∞，－1]，[1，＋∞)
变式训练：
已知奇函数f (x)的定义域为- 2,2，且在区间 - 2,0上递减，则满足f (1 m) f (1 m2) 0的 实数m的取值范围是-1,1
题型五、函数的周期性解题方略
1.有关函数周期性的常用结论 (1)若 f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为 2|a|； (2)若 f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为 2|a|； (3)若 f(x＋a)＝f（1x），则函数的周期为 2|a|； (4)若 f(x＋a)＝－f（1x），则函数的周期为 2|a|.
叫做f(x)的最小正周期.
题型归纳
题型一 判断函数的单调性 判断函数的单调性或求单调区间的方法 (1)利用已知函数的单调性. (2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义.
(3) 图 象 法 ： 如 果 f(x) 是 以 图 象 形 式 给 出 的 ， 或 者 f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单
域为[a－1，2a]，则a＝________，b＝________.
解析 由定义域关于原点对称得 a－1＋2a＝0，解得 a＝13，即
f(x)＝13x2＋bx＋b＋1，又 f(x)为偶函数，由 f(－x)＝f(x)得 b＝0.
答案
1 3
0
（2）若函数 f(x)为奇函数且在原点有意义，则 f(0)＝0
[点评] 解题(1)的关键是会判断复合函数的单调性；解题(2) 的关键是利用奇偶性和单调性的性质画出草图.
►单调性的两个易错点：单调性；单调区间.
（2）函数的单调递增(减)区间有多个时，不能用并集表示， 可以用逗号或“和”。
例如 函数 f(x)＝x＋1x的单调递增区间为________.
解析 由f(x)图象易知递增区间为(－∞，－1]，[1，＋∞). 答案 (－∞，－1]，[1，＋∞)
变式训练：
已知奇函数f (x)的定义域为- 2,2，且在区间 - 2,0上递减，则满足f (1 m) f (1 m2) 0的 实数m的取值范围是-1,1
题型五、函数的周期性解题方略
1.有关函数周期性的常用结论 (1)若 f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为 2|a|； (2)若 f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为 2|a|； (3)若 f(x＋a)＝f（1x），则函数的周期为 2|a|； (4)若 f(x＋a)＝－f（1x），则函数的周期为 2|a|.
叫做f(x)的最小正周期.
题型归纳
题型一 判断函数的单调性 判断函数的单调性或求单调区间的方法 (1)利用已知函数的单调性. (2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义.
(3) 图 象 法 ： 如 果 f(x) 是 以 图 象 形 式 给 出 的 ， 或 者 f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单
域为[a－1，2a]，则a＝________，b＝________.
解析 由定义域关于原点对称得 a－1＋2a＝0，解得 a＝13，即
f(x)＝13x2＋bx＋b＋1，又 f(x)为偶函数，由 f(－x)＝f(x)得 b＝0.
答案
1 3
0
（2）若函数 f(x)为奇函数且在原点有意义，则 f(0)＝0
[点评] 解题(1)的关键是会判断复合函数的单调性；解题(2) 的关键是利用奇偶性和单调性的性质画出草图.
高一数学必修一第二章函数的基本性质(人教版必修一第一章第三节,27ppt)(共27张PPT)
… 清晰 …
自我表述
结果展示
交流评价
质疑修正
重点突出---合作探究、动画展示定义生成
设D为定义域内I的某个区间
精确表达 任意 x1 , x2 D,当x1 x2 , 都有f ( x1 ) f ( x2 ),则f ( x)为D上增函数 类比归纳 任意 x1 , x2 D,当x1 x2 , 都有f ( x1 ) f ( x2 ),则f ( x)为D上减函数
变式训练1：求函数 f ( x) x 2 1 的单调区间
变式训练2：讨论函数 f ( x) kx2 1 在[0, ) 的单调性。
教材例题
例2.物理学中的玻意耳定律 p k (k为正常数）告诉我们， v 对于一定量的气体，当 其体积V减小时，压强 P将增大。
试用函数的单调性证明 之。
设计意图
学生作为探究主体体验定义生成，让定义教学由 被动接受转变为既有知识的再创造过程。
自我表述
结果展示
交流评价
质疑修正
合理设置问题情境 ── 分解教学难度 难点突破---1. 合理设置问题情境
定义法证明函数的单调性 教材处理 结合物理实例展开定义证明
学生反馈 生搬硬套程式化证明过程 方法处理 合理设置问题情境，分解教学难度
①从左往右，图象上升 直观 ② “y随着x的增大而增大”形象 ③列表 x … -3 -2 -1 0 1 2
f(x) … -3 1.大小比较体现动态变化； 2.符号表述符合数学要求
3
-2
-1
④ 1<2<3
有f(1)<f(2)<f(3)
… x1<x2 … f(x1)<f(x2)
0 1 2 3 特值对比能反 映整体趋势吗 ？
函数的基本性质ppt课件
−
1
即函数f（x）＝x＋ 为奇函数．
函数的基本性质
例1 判断下列函数的奇偶性：
（3）f（x）＝0；
（2）f（x）＝ ；
解：（1）函数f（x）的定义域为R．
∀x∈R，都有－x∈R，且f（－x）＝0＝-f(x)＝f（x），
函数f（x）既是奇函数，又是偶函数．
1
（2）函数f（x）＝x＋ 的定义域I为[0，＋∞）．
(1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间
[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)．
(2)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]
上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，
最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．
当 > 0时,(1 ) − (2 )<0，即(1 ) < (2 )
所以函数() = + 在R上单调递增，即函数() = + 是增函数。
当 < 0时,(1 ) − (2 )>0，即(1 ) > (2 )
所以函数() = + 在R上单调递减，即函数() = + 是减函数。
1
（2）f（x）＝x＋
；
解：（1）函数f（x）＝x4的定义域为R．
∀x∈R，都有－x∈R，且f（－x）＝（－x）4＝x4＝f（x），
函数f（x）＝x4为偶函数．
1
（2）函数f（x）＝x＋ 的定义域I为（－∞，0）∪（0，＋∞）．
1
1
∀x∈I，都有－x∈I，且f（－x）＝－x＋ ＝－（x＋ ）＝－f（x），
1
即函数f（x）＝x＋ 为奇函数．
函数的基本性质
例1 判断下列函数的奇偶性：
（3）f（x）＝0；
（2）f（x）＝ ；
解：（1）函数f（x）的定义域为R．
∀x∈R，都有－x∈R，且f（－x）＝0＝-f(x)＝f（x），
函数f（x）既是奇函数，又是偶函数．
1
（2）函数f（x）＝x＋ 的定义域I为[0，＋∞）．
(1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间
[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)．
(2)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]
上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，
最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．
当 > 0时,(1 ) − (2 )<0，即(1 ) < (2 )
所以函数() = + 在R上单调递增，即函数() = + 是增函数。
当 < 0时,(1 ) − (2 )>0，即(1 ) > (2 )
所以函数() = + 在R上单调递减，即函数() = + 是减函数。
1
（2）f（x）＝x＋
；
解：（1）函数f（x）＝x4的定义域为R．
∀x∈R，都有－x∈R，且f（－x）＝（－x）4＝x4＝f（x），
函数f（x）＝x4为偶函数．
1
（2）函数f（x）＝x＋ 的定义域I为（－∞，0）∪（0，＋∞）．
1
1
∀x∈I，都有－x∈I，且f（－x）＝－x＋ ＝－（x＋ ）＝－f（x），
人教版高中数学必修一函数的基本性质ppt课件
1.3 函数的基本性质
1.3.1 单调性与最大（小）值
请观察函数y=x2与y=x3图象，回答下列问题：
1、当x∈[0，+∞)，x增大时，图（1）中的y值
（2）增中大的y值
。
增大
2、当x∈(－∞，0)，x增大时，图（1）中的y值
图（2减）小中的y值
。
增大
；图 ；
3、分别指出图(1)、图(2)中，当x ∈[0，+∞)和x∈(－∞， 0)时，函数图象是上升的还是下降的？ 4、通过前面的讨论，你发现了什么？
定义
如果对于函数f(x)的定义域内任意 偶函数 一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函
数f(x)是偶函数
图象特点
关于 y轴 对称
如果对于函数f(x)的定义域内任意 奇函数 一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么
函数f(x)是奇函数
关于 原点 对称
基础知识梳理
3.奇偶函数的定义域有何特点？ 【思考·提示】 若函数f(x)具有奇偶性， 则f(x)的定义域关于原点对称．反之，若函数 的定义域不关于原点对称，则该函数无奇偶 性．
课堂互动讲练
【规律小结】 用定义证明函数单调性的 一般步骤：
(1)取值：即设x1，x2是该区间内的任意两 个值，且x1＜x2.
(2)作差：即f(x2)－f(x1)(或f(x1)－f(x2))，并 通过通分、配方、因式分解等方法，向有利于 判断差的符号的方向变形．
课堂互动讲练
(3)定号：根据给定的区间和x2－x1的符号， 确定差f(x2)－f(x1)(或f(x1)－f(x2))的符号．当符 号不确定时，可以进行分类讨论．
（maximum value）。
你能给出函数最小值的定义吗？
1.3.1 单调性与最大（小）值
请观察函数y=x2与y=x3图象，回答下列问题：
1、当x∈[0，+∞)，x增大时，图（1）中的y值
（2）增中大的y值
。
增大
2、当x∈(－∞，0)，x增大时，图（1）中的y值
图（2减）小中的y值
。
增大
；图 ；
3、分别指出图(1)、图(2)中，当x ∈[0，+∞)和x∈(－∞， 0)时，函数图象是上升的还是下降的？ 4、通过前面的讨论，你发现了什么？
定义
如果对于函数f(x)的定义域内任意 偶函数 一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函
数f(x)是偶函数
图象特点
关于 y轴 对称
如果对于函数f(x)的定义域内任意 奇函数 一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么
函数f(x)是奇函数
关于 原点 对称
基础知识梳理
3.奇偶函数的定义域有何特点？ 【思考·提示】 若函数f(x)具有奇偶性， 则f(x)的定义域关于原点对称．反之，若函数 的定义域不关于原点对称，则该函数无奇偶 性．
课堂互动讲练
【规律小结】 用定义证明函数单调性的 一般步骤：
(1)取值：即设x1，x2是该区间内的任意两 个值，且x1＜x2.
(2)作差：即f(x2)－f(x1)(或f(x1)－f(x2))，并 通过通分、配方、因式分解等方法，向有利于 判断差的符号的方向变形．
课堂互动讲练
(3)定号：根据给定的区间和x2－x1的符号， 确定差f(x2)－f(x1)(或f(x1)－f(x2))的符号．当符 号不确定时，可以进行分类讨论．
（maximum value）。
你能给出函数最小值的定义吗？
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结论：若一个函数在某个区间内图象是上升的，则函数值y随x 的增大而增大，反之亦真； 若一个函数在某个区间内图象是下降的，则函数值y随x 的增大而减小，反之亦真。
观察下列图象， 想一想：怎样给增函数和减函数下定义？
一、增函数
y 设函数f(x)的定义域为I: 如果对于属于定义域I内某个区间上的 任意两个自变量的值x1,x2, 当x1＜x2时, 都有f(x1)＜ f(x2),那么就说f(x)在这个区 间上是增函数 x
②函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即 xI 对于任意的 ， 都有 f ( x) M ( f ( x． ) m) 2．利用函数单调性来判断函数最大（小）值的方法． ①配方法 ②换元法 ③数形结合法
例1：“菊花”烟花是最壮观的烟花之一。制造时 一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距 地面的高度hm与时间ts之间的关系为 h(t ) = 4.9t 2 14.7t，那么烟花冲出后什么时候是 18 它爆裂的最佳时刻？这时距地面的 高度是多少（精确到1m）？
1.3 函数的基本性质
1.3.1 单调性与最大（小）值
请观察函数y=x2与y=x3图象，回答下列问题：
1、当x∈[0，+∞)，x增大时，图（1）中的y值 增大 y值 增大 （2）中的 。 2、当x∈(－∞，0)，x增大时，图（1）中的y值 减小 y值 增大 图（2）中的 。
；图 ；
3、分别指出图(1)、图(2)中，当x ∈[0，+∞)和x∈(－∞，0) 时，函数图象是上升的还是下降的？ 4、通过前面的讨论，你发现了什么？
f ( x) = x 2 2 x 1
f ( x) = x2 2 x 1 x [2, 2]
1．函数最大（小）值定义
y = f ( x) 最大值：一般地 ，设函数的定义域为 I如果存在实数M满 足： xI （1）对于任意的 ，都有 ；f ( x) M x0 I f ( x0 ) = M （2）存在 ，使得 ． y = f ( x) 那么，称M是函数 的最大值． y=的 f ( x) 思考：依照函数最大值的定义，结出函数 最小值的定义． 注意： ①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在 ， x0 I f ( x0 ) = M 使得 ；
通过观察图象，先对函数是否具有某种性质做 出猜想，然后通过逻辑推理，证明这种猜想的正确 性，是研究函数性质的一种常用方法。
图象上有一个最低点（0,0），即对于任意的 都有 f ( x) f (0).
，
xR
图象没有最低点。
四、函数的最大值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在 实数M满足： f ( x) M xI （1）对于任意的 ，都有 ； x0 I f ( x0 ) = M . （2）存在 ，使得 那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值 （maximum value）。
例1.下图是定义在 闭区间[-5,5]上的函数y=f(x)的图象,根据图象说 出y=f(x)的单调区间,以及在每个单调区间上, y=f(x)是增函数还是 减函数?
解:函数y=f(x)的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5], 其中y=f(x)在区间[-5,-2),[1,3)上是减函数, 在区间[-2,1),[3,5]上是增函数.
例2．将进货单价40元的商品按50元一个售出时，能卖出 500个，若此商品每个涨价1元，其销售量减少10个，为了 赚到最大利润，售价应定为多少？ 解：设利润为 元，每个售价为 元，则每个涨（ －50） 元，从而销售量减少 x x x ∴ 10( x 50)个, 共售出500-10(x-50)=100-10x(个) ＜100） 2 y=(x-40)(1000-10x) =-10(x-70) 9000 (50 x ∴ x = 70时 ymax = 9000 ∴答：为了赚取最大利润，售价应定为 70元．
请问: 在单调区间上增函数的图象是__________, 减函数的图象是__________. (填“上升的”或“下降的”)
上升的 下降的
想一想 ：如何从一个函数的图象来判断这个函数在定义域 内的某个单调区间上是增函数还是减函数？ 如果这个函数在某个单调区间上的图象是上升的，那么 它在这个单调区间上就是增函数；如果图象是下降的，那么 它在这个单调区间上就是减函数。
你能给出函数最小值的定义吗？
例1：“菊花”烟花是最壮观的烟花之一。制造时 一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距 地面的高度hm与时间ts之间的关系为 h(t ) = 4.9t 2 14.7t，那么烟花冲出后什么时候是 18 它爆裂的最佳时刻？这时距地面的 高度是多少（精确x1
x2
二、减函数
y 设函数f(x)的定义域为I: 如果对于属于定义域I内某个区间上的 任意两个自变量的值x1,x2, 当x1＜x2时, 都有f(x1)＞ f(x2),那么就说f(x)在这个区 间上是减函数
f(x1)
f(x2)
0
x1
x2
x
三、单调性与单调区间
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x) 在这个区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做y=f(x)的单调区间.
例2：物理学中的玻意耳定律 告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时， 压强p将增大。试用函数的单调性证明之。 分析：按题意，只要证明函数在区间上是减函数 即可。
k p = V （k为正常数）
1 探究： y= 画出反比例函数 的图象。 x （1）这个函数的定义域I是什么？ （2）它在定义域I上的单调性是怎样的？证明 你的结论。
fx =
2
2 x-1
1
-2
2
4
6
8
-1
分析：由函数 在区间[2,6]上递减.所以，函数在区间[2,6]的 两个端点上分别取得最大值和最小值。
-3 -4 -5
-2
2 y= ( x [ 2,6]) x 1 的图象可知，函数
（一）创设情景，揭示课题． 画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说 明它能体现函数的什么特征？ ① ② f ( x) = x 3 x [1, 2] ③ f ( x) = x 3 ④